Tetraedro tūris yra formulės darinys. Tetraedro tūris. Tetraedro tūrio apskaičiavimas, jei žinomos jo viršūnių koordinatės

Iš pagrindinės tetraedro tūrio formulės

kur S yra bet kurio veido sritis ir H- ant jo nuleistas aukštis, galite gauti visą eilę formulių, išreiškiančių tūrį įvairiais tetraedro elementais. Pateikiame šias tetraedro formules ABCD.

(2) ,

kur ∠ ( REKLAMA,ABC) yra kampas tarp briaunų REKLAMA ir veido plokštuma ABC;

(3) ,

kur ∠ ( ABC,ABD) yra kampas tarp paviršių ABC Ir ABD;

kur | AB,CD| - atstumas tarp priešingų šonkaulių AB Ir CD, ∠ (AB,CD) yra kampas tarp šių kraštinių.

Formulės (2)–(4) gali būti naudojamos kampams tarp tiesių ir plokštumų rasti; Formulė (4) yra ypač naudinga, su kuria galite rasti atstumą tarp kreivų linijų AB Ir CD.

(2) ir (3) formulės yra panašios į formulę S = (1/2)ab nuodėmė C už trikampio plotą. Formulė S = rp panaši formulė

kur r yra įbrėžto tetraedro sferos spindulys, Σ yra jo bendras paviršius (visų paviršių plotų suma). Taip pat yra graži formulė, jungianti tetraedro tūrį su spinduliu R jo aprašyta apimtis ( Crelle formulė):

čia Δ yra trikampio, kurio kraštinės yra skaitine prasme lygios priešingų briaunų sandaugoms, plotas ( AB× CD, AC× BD,REKLAMA× pr. Kr). Iš (2) formulės ir trikampių kampų kosinuso teoremos (žr. Sferinę trigonometriją) galima gauti formulę, panašią į Herono trikampių formulę.

Apsvarstykite savavališką trikampį ABC ir tašką D, kuris nėra šio trikampio plokštumoje. Sujunkite šį tašką atkarpomis su trikampio ABC viršūnėmis. Dėl to gauname trikampius ADC , CDB , ABD . Paviršius, apribotas keturių trikampių ABC, ADC, CDB ir ABD, vadinamas tetraedru ir žymimas DABC.
Trikampiai, sudarantys tetraedrą, vadinami jo veidais.
Šių trikampių kraštinės vadinamos tetraedro kraštinėmis. O jų viršūnės yra tetraedro viršūnės

Tetraedras turi 4 veidai, 6 šonkauliai Ir 4 viršūnės.
Dvi briaunos, neturinčios bendros viršūnės, vadinamos priešingomis.
Dažnai patogumo dėlei vadinamas vienas iš tetraedro paviršių pagrindu, o likę trys veidai yra šoniniai paviršiai.

Taigi tetraedras yra paprasčiausias daugiakampis, kurio paviršiai yra keturi trikampiai.

Tačiau taip pat tiesa, kad bet kuri savavališka trikampė piramidė yra tetraedras. Tada taip pat tiesa, kad tetraedras vadinamas piramidė, kurios pagrinde yra trikampis.

Tetraedro aukštis vadinama atkarpa, jungiančia viršūnę su tašku, esančiu priešingame paviršiuje ir statmenu jam.
Tetraedro mediana vadinama atkarpa, jungiančia viršūnę su priešingo veido medianų susikirtimo tašku.
Bimedianinis tetraedras vadinamas atkarpa, jungiančia tetraedro susikertančių briaunų vidurio taškus.

Kadangi tetraedras yra piramidė su trikampiu pagrindu, bet kurio tetraedro tūrį galima apskaičiuoti naudojant formulę

• S yra bet kurio veido sritis,
• H- ūgis nuleistas ant šio veido

Taisyklingasis tetraedras – ypatingas tetraedro tipas

Vadinamas tetraedras, kurio visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai teisinga.
Taisyklingo tetraedro savybės:

• Visos briaunos lygios.
• Visi taisyklingo tetraedro plokštumos kampai yra 60°
• Kadangi kiekviena jo viršūnė yra trijų taisyklingų trikampių viršūnė, kiekvienos viršūnės plokštumos kampų suma yra 180°
• Bet kuri taisyklingo tetraedro viršūnė projektuojama į priešingo paviršiaus ortocentrą (iki trikampio aukščių susikirtimo taško).

Pateiksime taisyklingąjį tetraedrą ABCD, kurio briaunos lygios a . DH yra jo aukštis.
Padarykime papildomas konstrukcijas BM - trikampio ABC aukštis ir DM - trikampio ACD aukštis .
Aukštis BM lygus BM ir lygus
Apsvarstykite trikampį BDM , kur DH , kuris yra tetraedro aukštis, taip pat yra šio trikampio aukštis.
Trikampio, nukritusio į kraštinę MB, aukštį galima rasti pagal formulę

, kur
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Pakeiskite šias reikšmes į aukščio formulę. Gauk


Išimkime 1/2a. Gauk

Taikykite kvadratų formulės skirtumą

Po kai kurių nedidelių transformacijų gauname


Bet kurio tetraedro tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę
,
kur ,

Pakeitę šias reikšmes, gauname

Taigi taisyklingo tetraedro tūrio formulė yra

kur a-tetraedro kraštas

Tetraedro tūrio apskaičiavimas, jei žinomos jo viršūnių koordinatės

Pateikiame tetraedro viršūnių koordinates

Nubrėžkite vektorius iš viršūnės , , .
Norėdami rasti kiekvieno iš šių vektorių koordinates, iš pabaigos koordinatės atimkite atitinkamą pradžios koordinatę. Gauk

Pastaba. Tai dalis pamokos su geometrijos problemomis (pjūvio kietoji geometrija, problemos apie piramidę). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra - parašykite apie tai forume. Užduotyse vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ naudojama funkcija sqrt (), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.Paprastoms radikalioms išraiškoms galima naudoti ženklą „√“.. taisyklingas tetraedras yra taisyklinga trikampė piramidė, kurios visi paviršiai yra lygiakraštiai trikampiai.

Taisyklingo tetraedro visi dvikampiai kampai kraštuose ir visi trikampiai kampai viršūnėse yra lygūs

Tetraedras turi 4 paviršius, 4 viršūnes ir 6 briaunas.

Pagrindinės reguliaraus tetraedro formulės pateiktos lentelėje.

Kur:
S – taisyklingo tetraedro paviršiaus plotas
V - tūris
h - aukštis nuleistas iki pagrindo
r – į tetraedrą įbrėžto apskritimo spindulys
R - apibrėžto apskritimo spindulys
a - šonkaulio ilgis

Praktiniai pavyzdžiai

Užduotis.
Raskite trikampės piramidės, kurios kiekviena briauna lygi √3, paviršiaus plotą

Sprendimas.
Kadangi visos trikampės piramidės briaunos yra lygios, tai teisinga. Taisyklingos trikampės piramidės paviršiaus plotas yra S = a 2 √3.
Tada
S = 3√3

Atsakymas: 3√3

Užduotis.
Taisyklingosios trikampės piramidės visos briaunos yra 4 cm Raskite piramidės tūrį

Sprendimas.
Kadangi taisyklingoje trikampėje piramidėje piramidės aukštis projektuojamas į pagrindo centrą, kuris kartu yra ir apibrėžto apskritimo centras, tada

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3/3

Taigi piramidės OM aukštį galima rasti iš stačiojo trikampio AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 – AO 2
OM 2 = 4 2 – (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Piramidės tūris randamas pagal formulę V = 1/3 Sh
Šiuo atveju bazės plotą randame pagal formulę S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Atsakymas: 16√2/3cm

Tetraedro apibrėžimas

Tetraedras- paprasčiausias daugiakampis kūnas, kurio paviršiai ir pagrindas yra trikampiai.

Internetinis skaičiuotuvas

Tetraedras turi keturis paviršius, kurių kiekvieną sudaro trys kraštinės. Tetraedras turi keturias viršūnes, kurių kiekviena turi tris briaunas.

Šis kūnas yra suskirstytas į keletą tipų. Žemiau pateikiama jų klasifikacija.

1. Izoedrinis tetraedras- visi jo paviršiai yra vienodi trikampiai;
2. Ortocentrinis tetraedras- visi aukščiai, nubrėžti nuo kiekvienos viršūnės iki priešingo paviršiaus, yra vienodo ilgio;
3. Stačiakampis tetraedras- briaunos, kylančios iš vienos viršūnės, sudaro 90 laipsnių kampą viena su kita;
4. rėmelis;
5. Proporcingas;
6. incentrinis.

Tetraedro tūrio formulės

Tam tikro kūno tūrį galima rasti keliais būdais. Išanalizuokime juos išsamiau.

Per vektorių mišrų sandaugą

Jei tetraedras pastatytas ant trijų vektorių su koordinatėmis:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

tada šio tetraedro tūris yra mišrus šių vektorių sandauga, tai yra toks determinantas:

Tetraedro tūris per determinantą

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z(vmatrix) )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

1 užduotis

Žinomos keturių oktaedro viršūnių koordinatės. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Raskite jo tūrį.

Sprendimas

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )

Pirmiausia reikia nustatyti vektorių, ant kurių pastatytas duotas kūnas, koordinates.
Norėdami tai padaryti, turite rasti kiekvieną vektoriaus koordinates, atimant atitinkamas dviejų taškų koordinates. Pavyzdžiui, vektorių koordinatės A B → \overrightarrow(AB) A B, tai yra vektorius, nukreiptas iš taško A A A iki taško B B B, tai yra atitinkamų taškų koordinačių skirtumai B B B Ir A A A:

AB → = (8 - 1 , 7 - 4 , 3 - 9) = (7 , 3 , - 6) \overright arrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, -2, -6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, -8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)REKLAMA= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Dabar randame mišrią šių vektorių sandaugą, todėl sudarome trečios eilės determinantą, darydami prielaidą, kad A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)REKLAMA= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6 − 8) (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrica) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 ir 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Tai yra, tetraedro tūris yra:

$V=61\cdot |$

Atsakymas

$44.8\text{cm3 .}$

Izoedrinio tetraedro išilgai jo šono tūrio formulė

Ši formulė galioja tik apskaičiuojant izoedrinio tetraedro, tai yra tetraedro, kurio visi paviršiai yra identiški taisyklingi trikampiai, tūrį.

Izoedrinio tetraedro tūris

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa yra tetraedro krašto ilgis.

2 užduotis

Raskite tetraedro tūrį, jei jo kraštinė yra lygi $11\text{cm.}$

Sprendimas

$a=11$

Pakaitalas a aaį tetraedro tūrio formulę:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Atsakymas

$156.8\text{cm3 .}$