Raskite trigonometrinių lygčių išraiškų vertę. Pamoka „trigonometrinių išraiškų supaprastinimas“

Skyriai: Matematika

Klasė: 11

1-oji pamoka

Tema: 11 klasė (pasirengimas egzaminui)

Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas.

Paprasčiausias sprendimas trigonometrinės lygtys... (2 valandos)

Tikslai:

• Sisteminti, apibendrinti, išplėsti studentų žinias ir įgūdžius, susijusius su trigonometrijos formulių taikymu ir paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimu.

Pamokos įranga:

Pamokos struktūra:

1. Organizacinis momentas
2. Testavimas nešiojamuose kompiuteriuose. Rezultatų aptarimas.
3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas
4. Sprendžiant paprasčiausias trigonometrines lygtis
5. Savarankiškas darbas.
6. Pamokos santrauka. Namų užduoties paaiškinimas.

1. Organizacinis momentas. (2 minutės.)

Mokytojas pasveikina auditoriją, paskelbia pamokos temą, primena ankstesnę užduotį pakartoti trigonometrijos formules ir paskiria mokinius testavimui.

2. Testavimas. (15min + 3min diskusija)

Tikslas yra patikrinti žinias trigonometrinės formulės ir gebėjimas juos pritaikyti. Kiekvienas studentas ant savo stalo turi nešiojamą kompiuterį su bandomąja versija.

Variantų gali būti bet koks skaičius, pateiksiu vieno iš jų pavyzdį:

I variantas.

Supaprastinkite išraiškas:

a) pagrindiniai trigonometriniai tapatumai

1.sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) papildymo formulės

3. sin5x - sin3x;

c) konvertuoti produktą į sumą

6.2sin8y jaukus;

d) dvigubo kampo formulės

7,2sin5x cos5x;

e) pusės kampo formulės

f) trigubo kampo formulės

g) universalus pakeitimas

h) laipsnio mažinimas

16. cos 2 (3x / 7);

Nešiojamojo kompiuterio studentai mato savo atsakymus prieš kiekvieną formulę.

Darbą akimirksniu patikrina kompiuteris. Rezultatai rodomi dideliame ekrane, kad visi galėtų juos pamatyti.

Taip pat, pasibaigus darbui, teisingi atsakymai rodomi ant mokinių nešiojamųjų kompiuterių. Kiekvienas mokinys mato, kur buvo padaryta klaida ir kokias formules reikia pakartoti.

3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas. (25 min.)

Tikslas yra peržiūrėti, praktikuoti ir įtvirtinti pagrindinių trigonometrijos formulių taikymą. Egzamino B7 uždavinių sprendimas.

Šiame etape patartina klasę suskirstyti į stiprių (dirbti savarankiškai su vėlesniu patikrinimu) ir silpnų mokinių, dirbančių su mokytoju, grupes.

Užduotis stipriai besimokantiems (parengta iš anksto spausdintine forma). Pagal 2011 m. Egzaminą pagrindinis akcentas yra redukcijos ir dvigubo kampo formulės.

Supaprastinkite išraiškas (stipriems besimokantiems):

Tuo pačiu metu mokytojas dirba su silpnais studentais, aptarinėdamas ir spręsdamas užduotis ekrane pagal mokinių nurodymą.

Apskaičiuoti:

5) nuodėmė (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Supaprastinkite:

Atėjo eilė stipriosios grupės darbo rezultatų aptarimui.

Ekrane pasirodo atsakymai, taip pat vaizdo kameros pagalba rodomi 5 skirtingų mokinių darbai (po vieną užduotį kiekvienam).

Silpna grupė mato sprendimo sąlygą ir būdą. Vyksta diskusijos ir analizė. Tai greitai įvyksta naudojant technines priemones.

4. Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas. (30 min.)

Tikslas yra pakartoti, sisteminti ir apibendrinti paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, užrašant jų šaknis. B3 problemos sprendimas.

Bet kuri trigonometrinė lygtis, kad ir kaip ją išspręstume, veda prie paprasčiausios.

Atlikdami užduotį, studentai turėtų būti atkreipti dėmesį į ypatingų atvejų lygčių šaknų ir bendros formos įrašymą bei šaknų pasirinkimą paskutinėje lygtyje.

Išspręskite lygtis:

Atsakydami užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

5. Savarankiškas darbas (10 min.)

Tikslas yra išbandyti įgytus įgūdžius, nustatyti problemas, klaidas ir jų pašalinimo būdus.

Studentui pasirenkant siūlomas skirtingo lygio darbas.

„3“ variantas

1) Raskite išraiškos vertę

2) Supaprastinkite išraišką 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Išspręskite lygtį

„4“ variantas

1) Raskite išraiškos vertę

2) Išspręskite lygtį Atsakyme užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

„5“ variantas

1) Raskite tgα, jei

2) Raskite lygties šaknį Atsakyme užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

6. Pamokos santrauka (5 min.)

Mokytojas apibendrina tai, kad pamokoje jie pakartojo ir įtvirtino trigonometrines formules, paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą.

Namų užduotis (parengta iš anksto atspausdintai) su patikrinimais vietoje kitoje pamokoje.

Išspręskite lygtis:

9)

10) Atsakyme nurodykite mažiausią teigiamą šaknį.

2 sesija

Tema: 11 klasė (pasirengimas egzaminui)

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai. Šaknų pasirinkimas. (2 valandos)

Tikslai:

• Apibendrinti ir susisteminti žinias apie įvairių tipų trigonometrinių lygčių sprendimą.
• Skatinti mokinių matematinio mąstymo plėtrą, gebėjimą stebėti, palyginti, apibendrinti, klasifikuoti.
• Paraginkite mokinius įveikti protinės veiklos sunkumus, susivaldyti, apžiūrėti savo veiklą.

Pamokos įranga: KRMu, nešiojamieji kompiuteriai kiekvienam studentui.

Pamokos struktūra:

1. Organizacinis momentas
2. Diskusija d / h ir samot. paskutinės pamokos darbai
3. Trigonometrinių lygčių sprendimo būdų kartojimas.
4. Trigonometrinių lygčių sprendimas
5. Šaknų pasirinkimas trigonometrinėse lygtyse.
6. Savarankiškas darbas.
7. Pamokos santrauka. Namų darbai.

1. Organizacinis momentas (2 min.)

Mokytojas sveikina susirinkusius, paskelbia pamokos temą ir darbo planą.

2. a) Namų darbų peržiūra (5 min.)

Tikslas yra patikrinti vykdymą. Vienas darbas vaizdo kameros pagalba rodomas ekrane, likusi dalis yra renkama pasirinktinai mokytojo patikrai.

b) Savarankiško darbo analizė (3 min.)

Tikslas - išanalizuoti klaidas, nurodyti būdus, kaip jas įveikti.

Ekrane, atsakymai ir sprendimai, studentai turi iš anksto paskirti savo darbus. Analizė vyksta greitai.

3. Trigonometrinių lygčių sprendimo būdų kartojimas (5 min.)

Tikslas yra priminti trigonometrinių lygčių sprendimo metodus.

Paklauskite mokinių, kokius metodus jie žino spręsdami trigonometrines lygtis. Pabrėžkite, kad yra vadinamųjų pagrindinių (dažnai naudojamų) metodų:

• kintamasis pakeitimas,
• faktorizavimas,
• vienalytės lygtys,

ir yra taikomi metodai:

• pagal formules, kaip konvertuoti sumą į produktą, o produktą į sumą,
• pagal laipsnio mažinimo formules,
• universalus trigonometrinis pakeitimas
• pagalbinio kampo įvedimas,
• padauginus iš kokios nors trigonometrinės funkcijos.

Taip pat reikėtų atsiminti, kad vieną lygtį galima išspręsti skirtingais būdais.

4. Trigonometrinių lygčių sprendimas (30 min.)

Tikslas yra apibendrinti ir įtvirtinti žinias ir įgūdžius šia tema, pasirengti C1 sprendimui iš egzamino.

Manau, kad tikslinga kiekvieno metodo lygtis išspręsti kartu su studentais.

Studentas diktuoja sprendimą, mokytojas užrašo ant planšetinio kompiuterio, visas procesas rodomas ekrane. Tai leis greitai ir efektyviai prisiminti anksčiau padengtą medžiagą.

Išspręskite lygtis:

1) kintamojo 6cos 2 x + 5sinx pokytis - 7 \u003d 0

2) faktoringas 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) vienalytės lygtys sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) konvertuojant sumą į sandaugą cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) konvertuojant sandaugą į sumą 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) galios sin2x sumažinimas - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) universalus trigonometrinis pakaitalas sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Sprendžiant šią lygtį, reikia pažymėti, kad naudojant šį metodą susiaurėja apibrėžimo sritis, nes sinusas ir kosinusas pakeičiami tg (x / 2). Todėl prieš išrašydami atsakymą turite patikrinti, ar skaičiai iš aibės π + 2πn, n Z yra šios lygties arkliai.

8) pagalbinio kampo √3sinx + cosx - √2 \u003d 0 įvedimas

9) padauginimas iš kai kurios trigonometrinės funkcijos cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Trigonometrinių lygčių šaknų pasirinkimas (20 min.)

Kadangi įnirtingos konkurencijos sąlygomis stojant į universitetus neužtenka išspręsti vienos pirmosios egzamino dalies, tuomet dauguma studentų turėtų atkreipti dėmesį į antrosios dalies užduotis (C1, C2, C3).

Todėl šio pamokos etapo tikslas yra priminti anksčiau ištirtą medžiagą, pasirengti C1 problemos sprendimui iš USE 2011.

Yra trigonometrinės lygtys, kuriose rašant atsakymą reikia pasirinkti šaknis. Taip yra dėl kai kurių apribojimų, pavyzdžiui: trupmenos vardiklis nėra lygus nuliui, išraiška po lyginiu šakniu nėra neigiama, išraiška po logaritmo ženklu yra teigiama ir kt.

Tokios lygtys laikomos padidinto sudėtingumo lygtimis, o USE versijoje yra antroje dalyje, būtent C1.

Išspręskite lygtį:

Trupmena lygi nuliui, jei tada naudojant vieneto apskritimą, mes pasirenkame šaknis (žr. 1 pav.)

1 paveikslas.

gauname x \u003d π + 2πn, n Z

Atsakymas: π + 2πn, n Z

Ekrane šaknų pasirinkimas rodomas apskritime spalvotu vaizdu.

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o lankas nepraranda prasmės. Tada

Pasirinkite šaknis naudodami vieneto apskritimą (žr. 2 pav.)

Vaizdo pamoka „Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas“ skirta lavinti mokinių įgūdžius spręsti trigonometrines problemas, naudojant pagrindines trigonometrines tapatybes. Vaizdo pamokos metu nagrinėjami trigonometrinių tapatybių tipai, problemų sprendimo pavyzdžiai naudojant juos. Naudojant vaizdinę priemonę, mokytojui lengviau pasiekti pamokos tikslus. Ryškus medžiagos pristatymas padeda prisiminti svarbius dalykus. Animacijos efektų naudojimas ir dubliavimas leidžia visiškai pakeisti mokytoją medžiagos paaiškinimo etape. Taigi, naudodamas šią vaizdinę pagalbą matematikos pamokose, mokytojas gali padidinti mokymo efektyvumą.

Vaizdo pamokos pradžioje skelbiama jos tema. Tada primenamos anksčiau ištirtos trigonometrinės tapatybės. Ekrane rodomos lygybės sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, kur t ≠ π / 2 + πk kϵZ, ctg t \u003d cos t / sin t, galiojančios t ≠ πk, kur kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, kai t ≠ πk / 2, kur kϵZ, vadinamas pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis. Pažymima, kad šios tapatybės dažnai naudojamos sprendžiant problemas, kai būtina įrodyti lygybę arba supaprastinti išraišką.

Toliau svarstomi šių tapatumų taikymo sprendžiant problemas pavyzdžiai. Pirmiausia siūloma apsvarstyti problemų sprendimą, norint supaprastinti išraiškas. 1 pavyzdyje būtina supaprastinti išraišką cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. Norėdami išspręsti pavyzdį, pirmiausia skliausteliuose padėkite bendrą koeficientą cos 2 t. Dėl tokios transformacijos skliaustuose gaunama išraiška 1- cos 2 t, kurios vertė iš pagrindinės trigonometrijos tapatybės yra lygi sin 2 t. Transformavus išraišką, akivaizdu, kad skliaustuose gali būti dar vienas dažnas veiksnys sin 2 t, po kurio išraiška įgauna sin 2 t formą (sin 2 t + cos 2 t). Iš tos pačios pagrindinės tapatybės gauname skliaustuose esančios išraiškos vertę, lygią 1. Supaprastinimo rezultatu gauname cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

2 pavyzdyje taip pat reikėtų supaprastinti išraišką cost / (1- sint) + cost / (1+ sint). Kadangi išraiškos kaina yra abiejų trupmenų skaitikliuose, tai galima nurodyti skliausteliuose kaip bendrą veiksnį. Tada skliaustuose esančios trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, padauginus (1-sint) (1+ sint). Atnešus tokius terminus skaitiklyje lieka 2, o vardiklyje 1 - nuodėmė 2 t. Dešinėje ekrano pusėje primenama pagrindinė trigonometrinė tapatybė sin 2 t + cos 2 t \u003d 1. Jį naudojant randame trupmenos cos 2 t vardiklį. Sumažinus trupmeną, gauname supaprastintą išraiškos kaina / (1- sint) + kaina / (1+ sint) \u003d 2 / kaina formą.

Toliau svarstomi tapatybės įrodymų pavyzdžiai, kuriuose taikomos įgytos žinios apie pagrindines trigonometrijos tapatybes. 3 pavyzdyje būtina įrodyti tapatybę (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. Dešinėje ekrano pusėje rodomos trys tapatybės, kurių reikės įrodymui - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t ir tg t \u003d sin t / cos t su apribojimais. Norėdami įrodyti tapatybę, pirmiausia išskleidžiami skliaustai, po to susidaro produktas, atspindintis pagrindinio išraišką trigonometrinė tapatybė tg t ctg t \u003d 1. Tada, pagal tapatumą iš kotangento apibrėžimo, ctg 2 t yra transformuojamas. Dėl transformacijų gaunama 1-cos 2 t išraiška. Naudodamiesi pagrindine tapatybe, randame išraiškos prasmę. Taigi įrodyta, kad (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t.

4 pavyzdyje reikia rasti išraiškos tg 2 t + ctg 2 t vertę, jei tg t + ctg t \u003d 6. Norėdami apskaičiuoti išraišką, pirmiausia lygybės dešinė ir kairė (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2 yra kvadratu. Sutrumpinta daugybos formulė panaši į dešinę ekrano pusę. Atidarius skliaustus kairėje išraiškos pusėje, susidaro suma tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, kuriai transformuoti galima pritaikyti vieną iš trigonometrinių tapatybių tg t · ctg t \u003d 1, kurios forma primenama dešinėje ekrano pusėje. Po transformacijos gausime lygybę tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. Kairioji lygybės pusė sutampa su problemos sąlyga, todėl atsakymas yra 34. Problema išspręsta.

Vaizdo pamoką „Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas“ rekomenduojama naudoti tradicinėje mokyklų matematikos pamokoje. Ši medžiaga taip pat bus naudinga mokytojui, besimokančiam nuotoliniu būdu. Norint išsiugdyti trigonometrinių problemų sprendimo įgūdžius.

TEKSTO KODAS:

"Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas".

Lygybė

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sinusinis kvadratas te plius kosinuso kvadratas te lygus vienam)

2) tgt \u003d, kai t ≠ + πk, kϵZ (liestinė te lygi sinuso te ir kosinuso te santykiui, kai te nėra lygi pi dviem plius pi ka, ka priklauso zet)

3) ctgt \u003d, kai t ≠ πk, kϵZ (kotangentas te yra lygus kosinuso te ir sinuso te santykiui, kai te nėra lygus smailei, ka priklauso z).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 t ≠, kϵZ (liestinės te ir kotangento te sandauga lygi vienai, jei te nėra lygi smailei, padalyta iš dviejų, ka priklauso z)

vadinamos pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis.

Jie dažnai naudojami trigonometrinėms išraiškoms supaprastinti ir įrodyti.

Pažvelkime į šių formulių naudojimo trigonometrinėms išraiškoms supaprastinti pavyzdžius.

1 PAVYZDYS: Supaprastinkite išraišką: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (išraiška yra kosinuso kvadratas te atėmus ketvirtojo laipsnio kosinusą te ir ketvirtojo laipsnio sinusą te).

Sprendimas. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) \u003d nuodėmė 2 t 1 \u003d nuodėmė 2 t

(paimame bendrą faktorių kosinuso kvadratą te, skliaustuose gauname skirtumą tarp vienybės ir kosinuso te kvadrato, kuris pagal pirmąją tapatybę yra lygus sinuso te kvadratui. Gauname produkto kosinuso kvadrato te ir sinuso kvadrato te ketvirtojo laipsnio te sinuso sumą. skliausteliuose, skliaustuose, gauname kosinuso ir sinuso kvadratų sumą, kuri pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę yra lygi 1. Dėl to gauname sinuso te kvadratą).

2 PAVYZDYS: Supaprastinkite išraišką: +.

(išraiška ba yra dviejų trupmenų suma vardiklio pirmojo kosinuso te skaitiklyje vienas atėmus sinusą te, antrojo kosinuso te vardiklyje - antrasis vienetas plius sinusas te).

(Paimkime iš skliaustų bendrą faktorių kosinusą, o skliausteliuose atvesime jį į bendrą vardiklį, kuris yra vieno minuso sinuso ir pliuso sinuso te sandauga.

Skaitiklyje gauname: vienas plius sine te plius vienas minus sine te, mes pateikiame panašius, skaitiklis yra lygus dviem po panašių.

Vardiklyje galite pritaikyti sutrumpinto dauginimo (kvadratų skirtumas) formulę ir gauti skirtumą tarp sinuso te vieneto ir kvadrato, kuris pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę

yra lygus kosinuso te kvadratui. Atšaukę kosinusą, gausime galutinį atsakymą: du padalysime iš kosinuso te).

Apsvarstykime šių formulių naudojimo pavyzdžius įrodant trigonometrines išraiškas.

3 PAVYZDYS Įrodykite tapatumą (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (tangento te ir sinuso te kvadratų ir kotangento te kvadrato skirtumo sandauga lygi sinusinio te kvadratui).

Įrodymai.

Transformuokime kairę lygybės pusę:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d nuodėmė 2 t

(Atidarykime skliaustus, iš anksčiau gauto ryšio žinoma, kad liestinės te ir kotangento te kvadratų sandauga lygi 1. Prisiminkime, kad kotangentas te yra lygus kosinuso te ir sinuso te santykiui, o tai reiškia, kad kotangento kvadratas yra kosinuso te kvadrato ir sinuso te kvadrato santykis.

Atšaukę kvadratinį te sinusine, gauname kvadrato te vieneto ir kosinumo skirtumą, kuris yra lygus kvadratinio te sinusui. Q.E.D.

4 PAVYZDYS Raskite išraiškos tg 2 t + ctg 2 t vertę, jei tgt + ctgt \u003d 6.

(liestinės te ir kotangento te kvadratų suma, jei liestinės ir kotangento suma yra šeši).

Sprendimas. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Aikštinkime abi pirminės lygybės puses:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (liestinės te ir kotangento te sumos kvadratas yra lygus šešiems kvadratams). Prisiminkime sutrumpinto dauginimo formulę: Dviejų dydžių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadrate, plius du kartus pirmojo sandauga antruoju plius antrojo kvadratu. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 Gauname tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (liestinės kvadratas te plius dvigubas liestinės te ir kotangento te plius kotangento kvadratas te yra trisdešimt šeši) ...

Kadangi liestinės te ir kotangento te sandauga lygi vienai, tada tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (liestinės te ir kotangento te bei dviejų kvadratų suma yra trisdešimt šeši),

IN identiškos transformacijos trigonometrinės išraiškos gali būti naudojamos šios algebrinės technikos: tų pačių terminų pridėjimas ir atimimas; bendro faktoriaus išėmimas iš skliaustų; dauginimas ir dalijimas iš tos pačios sumos; sutrumpintų daugybos formulių taikymas; viso kvadrato pasirinkimas; kvadratinio trinomo dalijimas; naujų kintamųjų įvedimas siekiant supaprastinti transformacijas.

Konvertuodami trigonometrines išraiškas, kuriose yra trupmenos, galite naudoti proporcijų savybes, trupmenų mažinimą arba frakcijų konvertavimą į bendrą vardiklį. Be to, galite pasirinkti trupmenos sveikosios dalies pasirinkimą, padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš tos pačios sumos ir, jei įmanoma, atsižvelgti į skaitiklio ar vardiklio homogeniškumą. Jei reikia, trupmeną galite pateikti kaip kelių paprastesnių trupmenų sumą arba skirtumą.

Be to, taikant visus būtinus trigonometrinių išraiškų konversijos metodus, būtina nuolat atsižvelgti į konvertuojamų išraiškų leistinų verčių diapazoną.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys.

Apskaičiuokite А \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ nuodėmė (3π / 2 - x) nuodėmė (2x -5π / 2)) 2

Sprendimas.

Iš redukcijos formulių išplaukia:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

nuodėmė (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; nuodėmė (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Taigi, naudodami argumentų pridėjimo formules ir pagrindinę trigonometrinę tapatybę, gauname

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d nuodėmė 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Atsakymas: 1.

2 pavyzdys.

Konvertuokite išraišką М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ į sandaugą.

Sprendimas.

Iš argumentų pridėjimo formulių ir formulių, skirtų trigonometrinių funkcijų sumai transformuoti į produktą po atitinkamos grupavimo, turime

М \u003d (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Atsakymas: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

3 pavyzdys.

Parodykite, kad išraiška A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ima visus x iš R ir ta pati prasmė. Raskite šią vertę.

Sprendimas.

Štai du šios problemos sprendimo būdai. Taikydami pirmąjį metodą, pasirinkdami visą kvadratą ir naudodami atitinkamas pagrindines trigonometrines formules, gauname

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Spręsdami problemą antruoju būdu, apsvarstykite A kaip x funkciją iš R ir apskaičiuokite jo išvestinę. Po virsmų gauname

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2 cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) \u003d

Nuodėmė 2 (x + π / 6) + nuodėmė ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - nuodėmė 2 (x - π / 6) \u003d

Nuodėmė 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x sin 0.

Vadinasi, remdamiesi intervale diferencijuojamos funkcijos pastovumo kriterijumi, darome išvadą

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Atsakymas: A \u003d 3/4 už R €.

Pagrindiniai trigonometrinių tapatybių įrodymo metodai yra šie:

ir) atitinkamos transformacijos būdu sumažinant kairę tapatybės pusę į dešinę;
b) dešinės tapatybės pusės sumažinimas į kairę;
in) dešiniosios ir kairiosios tapatybės pusių sumažinimas iki tos pačios rūšies;
d) iki nulio sumažinant skirtumą tarp įrodomos tapatybės kairės ir dešinės pusės.

4 pavyzdys.

Patikrinkite, ar cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Sprendimas.

Dešiniąją šios tapatybės pusę transformuodami pagal atitinkamas trigonometrines formules turime

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Dešinioji tapatybės pusė buvo sumažinta kairėje.

5 pavyzdys.

Įrodykite, kad sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2, jei α, β, γ yra kokio nors trikampio vidiniai kampai.

Sprendimas.

Atsižvelgdami į tai, kad α, β, γ yra kokio nors trikampio vidiniai kampai, mes tai gauname

α + β + γ \u003d π, taigi ir γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Originali lygybė yra įrodyta.

6 pavyzdys.

Norint įrodyti, kad norint, kad vienas iš trikampio kampų α, β, γ būtų 60 °, būtina ir pakanka, kad sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Sprendimas.

Šios problemos būklė suponuoja būtinybės ir pakankamumo įrodymą.

Pirma, mes įrodome būtinybė.

Tai galima parodyti

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Taigi, atsižvelgiant į tai, kad cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, gauname, kad jei vienas iš α, β arba γ kampų yra 60 °, tada

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0 ir todėl sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Dabar įrodykime adekvatumas nurodyta sąlyga.

Jei sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0, tada cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, taigi

arba cos (3α / 2) \u003d 0, arba cos (3β / 2) \u003d 0, arba cos (3γ / 2) \u003d 0.

Taigi,

arba 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, t.y. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

arba 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, t.y. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

arba 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

tie. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, kur k ϵ Z.

Kadangi α, β, γ yra trikampio kampai, mes turime

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Todėl, jei α \u003d π / 3 + 2πk / 3 arba β \u003d π / 3 + 2πk / 3 arba

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 iš visų kϵZ tinka tik k \u003d 0.

Iš to išplaukia, kad arba α \u003d π / 3 \u003d 60 °, arba β \u003d π / 3 \u003d 60 °, arba γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Teiginys yra įrodytas.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip supaprastinti trigonometrines išraiškas?
Norėdami gauti pagalbos iš korepetitoriaus - užsiregistruokite.
Pirmoji pamoka nemokama!

svetainėje, visiškai ar iš dalies kopijuojant medžiagą, būtina pateikti nuorodą į šaltinį.

Skyriai: Matematika

Klasė: 11

1-oji pamoka

Tema: 11 klasė (pasirengimas egzaminui)

Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas.

Sprendžiant paprasčiausias trigonometrines lygtis. (2 valandos)

Tikslai:

• Sisteminti, apibendrinti, išplėsti studentų žinias ir įgūdžius, susijusius su trigonometrijos formulių taikymu ir paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimu.

Pamokos įranga:

Pamokos struktūra:

1. Organizacinis momentas
2. Testavimas nešiojamuose kompiuteriuose. Rezultatų aptarimas.
3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas
4. Sprendžiant paprasčiausias trigonometrines lygtis
5. Savarankiškas darbas.
6. Pamokos santrauka. Namų užduoties paaiškinimas.

1. Organizacinis momentas. (2 minutės.)

Mokytojas pasveikina auditoriją, paskelbia pamokos temą, primena ankstesnę užduotį pakartoti trigonometrijos formules ir paskiria mokinius testavimui.

2. Testavimas. (15min + 3min diskusija)

Tikslas yra patikrinti trigonometrinių formulių žinias ir gebėjimą jas pritaikyti. Kiekvienas studentas ant savo stalo turi nešiojamą kompiuterį su bandomąja versija.

Variantų gali būti bet koks skaičius, pateiksiu vieno iš jų pavyzdį:

I variantas.

Supaprastinkite išraiškas:

a) pagrindiniai trigonometriniai tapatumai

1.sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) papildymo formulės

3. sin5x - sin3x;

c) konvertuoti produktą į sumą

6.2sin8y jaukus;

d) dvigubo kampo formulės

7,2sin5x cos5x;

e) pusės kampo formulės

f) trigubo kampo formulės

g) universalus pakeitimas

h) laipsnio mažinimas

16. cos 2 (3x / 7);

Nešiojamojo kompiuterio studentai mato savo atsakymus prieš kiekvieną formulę.

Darbą akimirksniu patikrina kompiuteris. Rezultatai rodomi dideliame ekrane, kad visi galėtų juos pamatyti.

Taip pat, pasibaigus darbui, teisingi atsakymai rodomi ant mokinių nešiojamųjų kompiuterių. Kiekvienas mokinys mato, kur buvo padaryta klaida ir kokias formules reikia pakartoti.

3. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas. (25 min.)

Tikslas yra peržiūrėti, praktikuoti ir įtvirtinti pagrindinių trigonometrijos formulių taikymą. Egzamino B7 uždavinių sprendimas.

Šiame etape patartina klasę suskirstyti į stiprių (dirbti savarankiškai su vėlesniu patikrinimu) ir silpnų mokinių, dirbančių su mokytoju, grupes.

Užduotis stipriai besimokantiems (parengta iš anksto spausdintine forma). Pagal 2011 m. Egzaminą pagrindinis akcentas yra redukcijos ir dvigubo kampo formulės.

Supaprastinkite išraiškas (stipriems besimokantiems):

Tuo pačiu metu mokytojas dirba su silpnais studentais, aptarinėdamas ir spręsdamas užduotis ekrane pagal mokinių nurodymą.

Apskaičiuoti:

5) nuodėmė (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Supaprastinkite:

Atėjo eilė stipriosios grupės darbo rezultatų aptarimui.

Ekrane pasirodo atsakymai, taip pat vaizdo kameros pagalba rodomi 5 skirtingų mokinių darbai (po vieną užduotį kiekvienam).

Silpna grupė mato sprendimo sąlygą ir būdą. Vyksta diskusijos ir analizė. Tai greitai įvyksta naudojant technines priemones.

4. Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas. (30 min.)

Tikslas yra pakartoti, sisteminti ir apibendrinti paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, užrašant jų šaknis. B3 problemos sprendimas.

Bet kuri trigonometrinė lygtis, kad ir kaip ją išspręstume, veda prie paprasčiausios.

Atlikdami užduotį, studentai turėtų būti atkreipti dėmesį į ypatingų atvejų lygčių šaknų ir bendros formos įrašymą bei šaknų pasirinkimą paskutinėje lygtyje.

Išspręskite lygtis:

Atsakydami užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

5. Savarankiškas darbas (10 min.)

Tikslas yra išbandyti įgytus įgūdžius, nustatyti problemas, klaidas ir jų pašalinimo būdus.

Studentui pasirenkant siūlomas skirtingo lygio darbas.

„3“ variantas

1) Raskite išraiškos vertę

2) Supaprastinkite išraišką 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Išspręskite lygtį

„4“ variantas

1) Raskite išraiškos vertę

2) Išspręskite lygtį Atsakyme užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

„5“ variantas

1) Raskite tgα, jei

2) Raskite lygties šaknį Atsakyme užrašykite mažiausią teigiamą šaknį.

6. Pamokos santrauka (5 min.)

Mokytojas apibendrina tai, kad pamokoje jie pakartojo ir įtvirtino trigonometrines formules, paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą.

Namų užduotis (parengta iš anksto atspausdintai) su patikrinimais vietoje kitoje pamokoje.

Išspręskite lygtis:

9)

10) Atsakyme nurodykite mažiausią teigiamą šaknį.

2 sesija

Tema: 11 klasė (pasirengimas egzaminui)

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai. Šaknų pasirinkimas. (2 valandos)

Tikslai:

• Apibendrinti ir susisteminti žinias apie įvairių tipų trigonometrinių lygčių sprendimą.
• Skatinti mokinių matematinio mąstymo plėtrą, gebėjimą stebėti, palyginti, apibendrinti, klasifikuoti.
• Paraginkite mokinius įveikti protinės veiklos sunkumus, susivaldyti, apžiūrėti savo veiklą.

Pamokos įranga: KRMu, nešiojamieji kompiuteriai kiekvienam studentui.

Pamokos struktūra:

1. Organizacinis momentas
2. Diskusija d / h ir samot. paskutinės pamokos darbai
3. Trigonometrinių lygčių sprendimo būdų kartojimas.
4. Trigonometrinių lygčių sprendimas
5. Šaknų pasirinkimas trigonometrinėse lygtyse.
6. Savarankiškas darbas.
7. Pamokos santrauka. Namų darbai.

1. Organizacinis momentas (2 min.)

Mokytojas sveikina susirinkusius, paskelbia pamokos temą ir darbo planą.

2. a) Namų darbų peržiūra (5 min.)

Tikslas yra patikrinti vykdymą. Vienas darbas vaizdo kameros pagalba rodomas ekrane, likusi dalis yra renkama pasirinktinai mokytojo patikrai.

b) Savarankiško darbo analizė (3 min.)

Tikslas - išanalizuoti klaidas, nurodyti būdus, kaip jas įveikti.

Ekrane, atsakymai ir sprendimai, studentai turi iš anksto paskirti savo darbus. Analizė vyksta greitai.

3. Trigonometrinių lygčių sprendimo būdų kartojimas (5 min.)

Tikslas yra priminti trigonometrinių lygčių sprendimo metodus.

Paklauskite mokinių, kokius metodus jie žino spręsdami trigonometrines lygtis. Pabrėžkite, kad yra vadinamųjų pagrindinių (dažnai naudojamų) metodų:

• kintamasis pakeitimas,
• faktorizavimas,
• vienalytės lygtys,

ir yra taikomi metodai:

• pagal formules, kaip konvertuoti sumą į produktą, o produktą į sumą,
• pagal laipsnio mažinimo formules,
• universalus trigonometrinis pakeitimas
• pagalbinio kampo įvedimas,
• padauginus iš kokios nors trigonometrinės funkcijos.

Taip pat reikėtų atsiminti, kad vieną lygtį galima išspręsti skirtingais būdais.

4. Trigonometrinių lygčių sprendimas (30 min.)

Tikslas yra apibendrinti ir įtvirtinti žinias ir įgūdžius šia tema, pasirengti C1 sprendimui iš egzamino.

Manau, kad tikslinga kiekvieno metodo lygtis išspręsti kartu su studentais.

Studentas diktuoja sprendimą, mokytojas užrašo ant planšetinio kompiuterio, visas procesas rodomas ekrane. Tai leis greitai ir efektyviai prisiminti anksčiau padengtą medžiagą.

Išspręskite lygtis:

1) kintamojo 6cos 2 x + 5sinx pokytis - 7 \u003d 0

2) faktoringas 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) vienalytės lygtys sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) konvertuojant sumą į sandaugą cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) konvertuojant sandaugą į sumą 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) galios sin2x sumažinimas - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) universalus trigonometrinis pakaitalas sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Sprendžiant šią lygtį, reikia pažymėti, kad naudojant šį metodą susiaurėja apibrėžimo sritis, nes sinusas ir kosinusas pakeičiami tg (x / 2). Todėl prieš išrašydami atsakymą turite patikrinti, ar skaičiai iš aibės π + 2πn, n Z yra šios lygties arkliai.

8) pagalbinio kampo √3sinx + cosx - √2 \u003d 0 įvedimas

9) padauginimas iš kai kurios trigonometrinės funkcijos cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Trigonometrinių lygčių šaknų pasirinkimas (20 min.)

Kadangi įnirtingos konkurencijos sąlygomis stojant į universitetus neužtenka išspręsti vienos pirmosios egzamino dalies, tuomet dauguma studentų turėtų atkreipti dėmesį į antrosios dalies užduotis (C1, C2, C3).

Todėl šio pamokos etapo tikslas yra priminti anksčiau ištirtą medžiagą, pasirengti C1 problemos sprendimui iš USE 2011.

Yra trigonometrinės lygtys, kuriose rašant atsakymą reikia pasirinkti šaknis. Taip yra dėl kai kurių apribojimų, pavyzdžiui: trupmenos vardiklis nėra lygus nuliui, išraiška po lyginiu šakniu nėra neigiama, išraiška po logaritmo ženklu yra teigiama ir kt.

Tokios lygtys laikomos padidinto sudėtingumo lygtimis, o USE versijoje yra antroje dalyje, būtent C1.

Išspręskite lygtį:

Trupmena lygi nuliui, jei tada naudojant vieneto apskritimą, mes pasirenkame šaknis (žr. 1 pav.)

1 paveikslas.

gauname x \u003d π + 2πn, n Z

Atsakymas: π + 2πn, n Z

Ekrane šaknų pasirinkimas rodomas apskritime spalvotu vaizdu.

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o lankas nepraranda prasmės. Tada

Pasirinkite šaknis naudodami vieneto apskritimą (žr. 2 pav.)

2 paveikslas.

5)

Eikime į sistemą:

Pirmojoje sistemos lygtyje padarome pokyčių log 2 (sinx) \u003d y, tada gauname lygtį , grįžkite į sistemą

pasirinkite šaknis naudodami apskritimo vienetą (žr. 5 pav.),

5 paveikslas.

6. Savarankiškas darbas (15 min.)

Tikslas yra įtvirtinti ir patikrinti medžiagos įsisavinimą, nustatyti klaidas, apibūdinti būdus, kaip jas ištaisyti.

Kūrinys siūlomas trimis variantais, paruoštais iš anksto spausdintine forma, studentų pasirinkimui.

Lygtis galite išspręsti bet kokiu būdu.

„3“ variantas

Išspręskite lygtis:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

„4“ variantas

Išspręskite lygtis:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

„5“ variantas

Išspręskite lygtis:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

2)

7. Pamokos santrauka, namų darbai (5 min.)

Mokytojas apibendrina pamoką, dar kartą atkreipia dėmesį į tai, kad trigonometrinę lygtį galima išspręsti keliais būdais. Geriausias būdas pasiekti greitų rezultatų yra tas, kurį geriausiai išmoksta kiekvienas studentas.

Ruošiantis egzaminui, turite sistemingai pakartoti formules ir metodus, kaip spręsti lygtis.

Išdalijami namų darbai (paruošti iš anksto spausdintine forma) ir komentuojami, kaip išspręsti kai kurias lygtis.

Išspręskite lygtis:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) nuodėmė 2 x + nuodėmė 2 2x - nuodėmė 2 3x - nuodėmė 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "vidurinė mokykla

Nr. 18 "

engelsas, Saratovo sritis.

Matematikos mokytojas.

"Trigonometrinės išraiškos ir jų transformacijos"

Įvadas ……………………………………………………………………… .... 3

1 skyrius Užduočių klasifikavimas naudojant trigonometrinių išraiškų transformacijas …………………………. …………………… ... 5

1.1. Skaičiavimo užduotys trigonometrinių išraiškų vertės ……… .5

1.2. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimo užduotys ... 7

1.3. Skaitmeninių trigonometrinių išraiškų konvertavimo užduotys ... ..7

1.4 Mišrios užduotys ………………………………………………… ..... 9

2 skyrius. Temos „Trigonometrinių išraiškų transformacija“ galutinio pakartojimo organizavimo metodiniai aspektai …………………………… 11

2.1 Teminis kartojimas 10 klasėje ……………………………………… ... 11

1 bandymas …………………………………………………………………………… ..12

2 bandymas …………………………………………………………………………… .13

3 bandymas …………………………………………………………………………… .14

2.2 Galutinis kartojimas 11 klasėje ………………………………………… ... 15

1 bandymas …………………………………………………………………………… .17

2 bandymas …………………………………………………………………………… .17

3 bandymas …………………………………………………………………………… .18

Išvada. …………………………………………………………………… ....... 19

Naudotos literatūros sąrašas ……………………………………… .. …… .20

Įvadas.

Šiandienos sąlygomis svarbiausias klausimas yra toks: "Kaip mes galime padėti pašalinti kai kurias studentų žinių spragas ir įspėti juos apie galimas egzamino klaidas?" Norint išspręsti šį klausimą, reikia iš studentų siekti ne formalaus programos medžiagos įsisavinimo, o gilaus ir sąmoningo jos supratimo, žodinio skaičiavimo ir pertvarkymo greičio vystymosi, taip pat įgūdžių ugdymo paprastoms problemoms spręsti „galvoje“. Būtina įtikinti studentus, kad tik turėdami aktyvią poziciją, matematikos studijose, atsižvelgiant į praktinių įgūdžių, įgūdžių įgijimą ir jų panaudojimą, galite tikėtis tikros sėkmės. Būtina išnaudoti visas galimybes pasiruošti egzaminui, įskaitant pasirenkamuosius 10–11 klasių dalykus, reguliariai analizuoti sudėtingas užduotis su mokiniais, pasirenkant racionaliausią sprendimo būdą pamokose ir papildomose klasėse.Teigiamas rezultatassritis tipinėms problemoms spręsti galima pasiekti, jei matematikos mokytojai, kurdami geras pagrindinis mokinių mokymas, ieškokite naujų būdų, kaip išspręsti prieš mus atsivėrusias problemas, aktyviai eksperimentuokite, taikykite šiuolaikiškai pedagoginės technologijos, metodai, metodai, kurie sukuria palankias sąlygas efektyviai mokiniams save realizuoti ir apsispręsti naujomis socialinėmis sąlygomis.

Trigonometrija yra neatsiejama mokyklos matematikos kurso dalis. Geros žinios ir patikimi trigonometrijos įgūdžiai yra pakankamo matematinės kultūros lygio įrodymas, būtina sąlyga norint sėkmingai mokytis matematikos, fizikos, daugybės techniniųdisciplinos.

Darbo aktualumas. Nemaža dalis mokyklų absolventų metai iš metų rodo labai prastą pasirengimą šiam svarbiam matematikos skyriui, ką įrodo praėjusių metų rezultatai (baigimo procentas 2011 m. - 48,41 proc., 2012 m. - 51,05 proc.), Nes vieningo valstybinio egzamino išlaikymo analizė parodė kad studentai, atlikdami šio konkretaus skyriaus užduotis, padaro daug klaidų arba jų visiškai nepriima. Viename Valstybiniame egzamine trigonometrijos klausimai randami beveik trijų rūšių užduotyse. Tai paprasčiausių trigonometrinių lygčių B5 užduotyje sprendimas ir darbas su trigonometrinėmis išraiškomis užduotyje B7, taip pat trigonometrinių funkcijų tyrimas užduotyje B14, taip pat užduotyje B12, kurių formulės apibūdina fizinius reiškinius ir kuriose yra trigonometrinės funkcijos. Ir tai tik dalis B užduočių! Tačiau yra ir mėgstamos trigonometrinės lygtys su C1 šaknų pasirinkimu, ir „nelabai mėgstamos“ geometrinės užduotys C2 ir C4.

Tikslas. Analizuokite egzamino medžiaga užduotis B7, skirtas trigonometrinių išraiškų transformacijoms, ir klasifikuokite užduotis pagal jų pateikimo testuose formą.

Darbą sudaro du skyriai, įvadas ir pabaiga. Įžangoje pabrėžiamas darbo aktualumas. Pirmajame skyriuje pateikiama užduočių klasifikacija naudojant trigonometrinių išraiškų transformacijas bandyme egzamino užduotys (2012).

Antrajame skyriuje svarstoma temos „Trigonometrinių išraiškų transformacija“ kartojimo organizavimas 10, 11 klasių ir kuriami šios temos testai.

Literatūros sąraše yra 17 šaltinių.

1 skyrius. Užduočių klasifikavimas naudojant trigonometrinių išraiškų transformacijas.

Vadovaujantis vidurinio (visiško) išsilavinimo standartu ir mokinių rengimo lygio reikalavimais, užduotys, susijusios su trigonometrijos pagrindų išmanymu, yra įtrauktos į reikalavimų kodifikatorių.

Trigonometrijos pagrindų išmokimas bus efektyviausias, kai:

bus suteikta teigiama studentų motyvacija pakartoti anksčiau ištirtą medžiagą;

ugdymo procese bus įgyvendinamas į asmenybę orientuotas požiūris;

bus taikoma užduočių sistema, kuri prisideda prie studentų žinių išplėtimo, gilinimo, sisteminimo;

bus naudojamos pažangios mokymo technologijos.

Išanalizavę literatūrą ir interneto išteklius apie pasirengimą egzaminui, pasiūlėme vieną iš galimų užduočių B7 klasifikatorių (KIM USE 2012-trigonometrija): užduotis skaičiuojant trigonometrinių išraiškų reikšmės; užduotyskonvertuoti skaitines trigonometrines išraiškas; abėcėlės trigonometrinių išraiškų konvertavimo užduotys; mišrios užduotys.

1.1. Skaičiavimo užduotys trigonometrinių išraiškų reikšmės.

Vienas iš labiausiai paplitusių paprastų trigonometrijos problemų tipų yra trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagal vienos iš jų vertę:

a) Pagrindinės trigonometrinės tapatybės ir jos pasekmių naudojimas.

1 pavyzdys ... Raskite, jei
ir
.

Sprendimas.
,
,

Nes tada
.

Atsakymas.

2 pavyzdys ... Rasti
, jeigu
ir.

Sprendimas.
,
,
.

Nes tada
.

Atsakymas. ...

b) Dvigubo kampo formulių naudojimas.

3 pavyzdys ... Rasti
, jeigu
.

Sprendimas. , .

Atsakymas.
.

4 pavyzdys ... Raskite išraiškos prasmę
.

Sprendimas. ...

Atsakymas.
.

1. Rasti , jeigu
ir
... Atsakymas. -0,2

2. Rasti , jeigu
ir
... Atsakymas. 0,4

3. Rasti
, jeigu . Atsakymas. -12,884. Rasti
, jeigu
... Atsakymas. -0,845. Raskite išraiškos reikšmę:
... Atsakymas. 66. Raskite išraiškos prasmę
. Atsakymas. -devyniolika

1.2. Užduotys supaprastinti trigonometrines išraiškas. Liejimo formules studentai turėtų gerai įvaldyti, nes jie bus toliau pritaikomi geometrijos, fizikos ir kitų susijusių disciplinų pamokose.

5 pavyzdys . Supaprastinkite išraiškas
.

Sprendimas. ...

Atsakymas.
.

Savipagalbos užduotys:

1. Supaprastinkite išraišką
. Atsakymas. 0.62. Rasti
, jeigu
ir ... Atsakymas. 10.563. Raskite išraiškos prasmę
, jeigu
. Atsakymas. 2

1.3. Skaitinių trigonometrinių išraiškų konvertavimo užduotys.

Praktikuodami skaitmeninių trigonometrinių išraiškų transformavimo užduočių įgūdžius ir gebėjimus, turėtumėte atkreipti dėmesį į trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės, pariteto savybių ir trigonometrinių funkcijų periodiškumo žinias.

a) Tikslių trigonometrinių funkcijų verčių naudojimas kai kuriems kampams.

6 pavyzdys ... Apskaičiuoti
.

Sprendimas.
.

Atsakymas.
.

b) Pariteto savybių naudojimas trigonometrinės funkcijos.

7 pavyzdys ... Apskaičiuoti
.

Sprendimas. .

Atsakymas.

in) Naudojant periodiškumo savybestrigonometrinės funkcijos.

8 pavyzdys . Raskite išraiškos prasmę
.

Sprendimas. ...

Atsakymas.
.

Savipagalbos užduotys:

1. Raskite išraiškos prasmę
. Atsakymas. -40,52. Raskite išraiškos prasmę
. Atsakymas. 17

3. Raskite išraiškos prasmę
. Atsakymas. 6

. Atsakymas. -24
Atsakymas. -64

1.4 Mišrios užduotys.

Testavimo sertifikavimo forma turi labai reikšmingų bruožų, todėl svarbu atkreipti dėmesį į užduotis, susijusias su kelių trigonometrinių formulių naudojimu vienu metu.

9 pavyzdys. Rasti
, jeigu
.

Sprendimas.
.

Atsakymas.
.

10 pavyzdys ... Rasti
, jeigu
ir
.

Sprendimas. .

Nes tada
.

Atsakymas.
.

11 pavyzdys. Rasti
, jeigu .

Sprendimas. , ,
,
,
,
,
.

Atsakymas.

12 pavyzdys. Apskaičiuoti
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

13 pavyzdys. Raskite išraiškos prasmę
, jeigu
.

Sprendimas. .

Atsakymas.
.

Savipagalbos užduotys:

1. Rasti
, jeigu
. Atsakymas. -1,75
2. Rasti
, jeigu
. Atsakymas. 33. Raskite
, jeigu . Atsakymas. 0,254. Raskite išraiškos prasmę
, jeigu
. Atsakymas. 0.35. Raskite išraiškos prasmę
, jeigu
. Atsakymas. penki

2 skyrius. Temos „Trigonometrinių išraiškų transformacija“ galutinio pakartojimo organizavimo metodiniai aspektai.

Vienas iš svarbiausių klausimų, prisidedančių prie tolesnio akademinių rezultatų gerinimo, gilių ir ilgalaikių žinių tarp studentų pasiekimo, yra anksčiau perduotos medžiagos pakartojimo klausimas. Praktika rodo, kad tikslingiau organizuoti teminį kartojimą 10 klasėje; 11 klasėje - galutinis pakartojimas.

2.1. Teminis kartojimas 10 klasėje.

Dirbant su matematine medžiaga, ypač svarbus yra kiekvienos baigtos temos ar viso kurso skyriaus kartojimas.

Teminiu kartojimu studentų žinios šia tema susisteminamos paskutiniame jos perėjimo etape arba po pertraukos.

Teminiam kartojimui skiriamos specialios pamokos, kuriose sukoncentruota ir apibendrinta vienos temos medžiaga.

Kartojimas pamokoje vyksta pokalbio metu, į šį pokalbį įtraukiant studentus. Po to studentų prašoma pakartoti konkrečią temą ir įspėti, kad bus atliekamas bandomasis darbas.

Testas į temą turėtų apimti visus pagrindinius klausimus. Baigus darbą, analizuojamos būdingos klaidos ir organizuojamas pakartojimas joms pašalinti.

Teminių pasikartojimų pamokoms siūlome išvystytas testo darbaitema „Trigonometrinių išraiškų konvertavimas“.

1 testas

2 bandymo numeris

3 bandymo numeris

Atsakymų lentelė

Testas

2.2. Galutinis pakartojimas 11 klasėje.

Galutinis kartojimas atliekamas paskutiniame pagrindinių matematikos kurso klausimų tyrimo etape ir atliekamas logiškai susijęs su šio skyriaus ar viso kurso mokomosios medžiagos tyrimu.

Galutinis mokymo medžiagos pakartojimas turi šiuos tikslus:

1. Suaktyvinama viso mokymo kurso medžiaga, siekiant patikslinti jos loginę struktūrą ir sukurti sistemą tarp dalykų ir tarp dalykų.

2. Gilinti ir, jei įmanoma, plėsti studentų žinias pagrindiniais kurso klausimais kartojimo procese.

Atsižvelgiant į privalomą matematikos egzaminą, skirtą visiems abiturientams, laipsniškas vieningo valstybinio egzamino įvedimas verčia mokytojus laikytis naujo požiūrio rengiant ir vedant pamokas, atsižvelgiant į poreikį užtikrinti, kad visi studentai įgytų mokomąją medžiagą pagrindiniu lygiu, taip pat į galimybę motyvuotiems studentams, norintiems gauti aukštus balus stojimas į universitetą, dinamiška pažanga įsisavinant medžiagą aukštesniu ir aukštu lygiu.

Paskutinio pakartojimo pamokose galite apsvarstyti šias užduotis:

1 pavyzdys . Apskaičiuokite išraiškos vertę.Sprendimas. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Atsakymas. 0.5. 2 pavyzdys. Nurodykite didžiausią sveikojo skaičiaus vertę, kurią gali reikšti išraiška
.

Sprendimas. Kaip
gali imti bet kokią vertę, segmente [-1; 1], tada
ima bet kurią segmento vertę [–0,4; 0,4], todėl. Išraiškos sveikoji vertė yra viena - skaičius 4.

Atsakymas: 4 3 pavyzdys . Supaprastinkite išraišką
.

Sprendimas: naudokime formulę kubų sumai apskaičiuoti: Mes turime

Mes turime:
.

Atsakymas: 1

4 pavyzdys. Apskaičiuoti
.

Sprendimas. ...

Atsakymas: 0,28

Galutinio pakartojimo pamokoms siūlome sukurtus testus tema „Trigonometrinių išraiškų transformacija“.

Įveskite didžiausią sveiką skaičių, neviršijantį 1

Išvada.

Išnagrinėję atitinkamą metodinę literatūrą šia tema, galime daryti išvadą, kad gebėjimas ir įgūdžiai spręsti matematikos kurso užduotis, susijusias su trigonometrinėmis transformacijomis, yra labai svarbūs.

Atlikto darbo metu buvo atlikta užduočių klasifikacija B7. Apsvarstomos trigonometrinės formulės, dažniausiai naudojamos 2012 m. CMM. Pateikiami užduočių su sprendimais pavyzdžiai. Rengiant egzaminą buvo sukurti diferencijuojami testai, skirti organizuoti žinių kartojimą ir sisteminimą.

Pradėtus darbus patartina tęsti svarstant paprasčiausių trigonometrinių lygčių B5 užduotyje sprendimas, trigonometrinių funkcijų tyrimas užduotyje B14, užduotyje B12, kuriose yra formulės, apibūdinančios fizinius reiškinius ir turinčios trigonometrines funkcijas.

Apibendrindamas norėčiau pažymėti, kad egzamino išlaikymo efektyvumą daugiausia lemia tai, kaip efektyviai organizuojamas pasirengimo procesas visuose švietimo lygmenyse su visomis studentų kategorijomis. Ir jei mums pavyks suformuoti studentų savarankiškumą, atsakomybę ir pasirengimą toliau mokytis visą tolesnį gyvenimą, tai mes ne tik vykdysime valstybės ir visuomenės tvarką, bet ir pakelsime savo pačių savivertę.

Mokymo medžiagos kartojimas reikalauja mokytojo kūrybinis darbas... Jis turi pateikti aiškų ryšį tarp pakartojimo tipų, įgyvendinti gerai apgalvotą pakartojimų sistemą. Įvaldyti kartojimo organizavimo meną yra mokytojo užduotis. Studentų žinių stiprumas labai priklauso nuo jų sprendimo.

Literatūra.

Vygodsky Ya.Ya, pradinės matematikos vadovas. -M.: Nauka, 1970 m.

Padidėjusio algebros sunkumo problemos ir analizės principai: Vadovas 10–11 vidurinės mokyklos klasių / B.M. Ivlevas, A.M. Abramovas, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburdas. - M.: Švietimas, 1990 m.

Pagrindinių trigonometrinių formulių taikymas išraiškoms transformuoti (10 kl.) // Pedagoginių idėjų festivalis. 2012–2013 m.

A.G.Koryanovas , Prokofjevas A.A. Mes paruošiame gerus ir puikius studentus egzaminui. - M.: Pedagoginis universitetas "Rugsėjo pirmasis", 2012. - 103 p.

Kuznecova E.N. Trigonometrinių išraiškų supaprastinimas. Trigonometrinių lygčių sprendimas įvairiais metodais (pasirengimas egzaminui). 11 klasė. 2012–2013 m.

Kulanin E. D. 3000 matematikos varžybų problemos. 4-asis. ir pridėkite. - M.: Rolfas, 2000 m.

Mordkovičius A.G. Metodinės trigonometrijos studijų problemos vidurinėje mokykloje // Matematika mokykloje. 2002. Nr. 6.

Pichurin L.F. Apie trigonometriją ir ne tik apie ją: -M. Išsilavinimas, 1985 m

Reshetnikov N.N. Trigonometrija mokykloje: -M. : Pedagoginis universitetas "Rugsėjo pirmasis", 2006, p. 1.

Šabuninas M.I., Prokofjevas A.A. Matematika. Algebra. Matematinės analizės pradžia Profilio lygis: vadovėlis 10 klasei - M.: BINOM. Žinių laboratorija, 2007 m.

Švietimo portalas pasiruošimui egzaminui.

Pasirengimas vieningam matematikos valstybiniam egzaminui „O, ši trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projektas "Matematika? Lengva !!!"http://www.resolventa.ru/