Visos Rusijos matematikos moksleivių olimpiados mokyklinio etapo užduotys. Matematinės olimpiados ir olimpiados uždaviniai Nikolajus nusipirko bendrą sąsiuvinį, kurio tūris buvo 96 lapai

16 užduotis:

Ar galima 25 rublius pakeisti dešimčia 1, 3 ir 5 rublių nominalo banknotų? Sprendimas:

Atsakymas: Ne

Petja nusipirko bendrą 96 lapų tūrio sąsiuvinį ir visus jo puslapius sunumeravo eilės tvarka nuo 1 iki 192. Vasja iš šio sąsiuvinio išplėšė 25 lapus ir sudėjo visus 50 ant jų užrašytų skaičių. Ar jis galėjo padaryti 1990 m.? Sprendimas:

Kiekviename lape puslapių numerių suma yra nelyginė, o 25 nelyginių skaičių suma yra nelyginė.

22 sveikųjų skaičių sandauga lygi 1. Įrodykite, kad jų suma nėra lygi nuliui. Sprendimas:

Tarp šių skaičių yra lyginis skaičius „minus vienetų“, o kad suma būtų lygi nuliui, jų turi būti lygiai 11.

Ar įmanoma iš pirmųjų 36 pirminių skaičių padaryti stebuklingą kvadratą? Sprendimas:

Tarp šių skaičių vienas (2) yra lyginis, o kiti yra nelyginiai. Todėl eilutėje, kurioje yra dviskaita, skaičių suma yra nelyginė, o kitose - lyginė.

Iš eilės rašomi skaičiai nuo 1 iki 10. Ar galima tarp jų dėti ženklus „+“ ir „-“, kad gautos išraiškos reikšmė būtų lygi nuliui?

Pastaba: atminkite, kad neigiami skaičiai taip pat gali būti lyginiai ir nelyginiai. Sprendimas:

Išties skaičių suma nuo 1 iki 10 yra 55, o pakeitę joje esančius ženklus visą išraišką pakeičiame į lyginį skaičių.

Žiogas šokinėja tiesia linija, o pirmą kartą nušoko 1 cm į kurią nors pusę, antrą kartą – 2 cm ir t.t. Įrodykite, kad po 1985 m. šuolių jis negali būti ten, kur pradėjo. Sprendimas:

Pastaba: suma 1 + 2 + … + 1985 yra nelyginė.

Lentoje užrašyti skaičiai 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Iš lentos galima ištrinti bet kuriuos du skaičius ir vietoj jų užrašyti jų skirtumo modulį. Galų gale lentoje liks tik vienas numeris. Ar gali būti nulis? Sprendimas:

Patikrinkite, ar nurodytos operacijos nepakeičia visų lentoje užrašytų skaičių sumos pariteto.

Ar galima šachmatų lentą uždengti 1 × 2 domino kauliukais taip, kad laisvi liktų tik a1 ir h8 langeliai? Sprendimas:

Kiekvienas domino kauliukas dengia vieną juodą ir vieną baltą kvadratą, o išmetus a1 ir h8 langelius, juodų kvadratų lieka 2 mažiau nei baltų.

Prie 17 skaitmenų skaičiaus buvo pridėtas skaičius, parašytas tais pačiais skaitmenimis, bet atvirkštine tvarka. Įrodykite, kad bent vienas gautos sumos skaitmuo yra lyginis. Sprendimas:

Išanalizuokite du atvejus: skaičiaus pirmojo ir paskutinio skaitmenų suma yra mažesnė už 10, o pirmojo ir paskutinio skaičiaus skaitmenų suma yra ne mažesnė kaip 10. Jei manysime, kad visi sumos skaitmenys yra nelyginiai , tada pirmuoju atveju skaitmenyse neturėtų būti nė vieno pernešimo (o tai, be abejo, sukelia prieštaravimą), o antruoju atveju pakeičiamas nešiojimo buvimas judant iš dešinės į kairę arba iš kairės į dešinę kai nėra pernešimo, ir dėl to gauname, kad devintojo skaitmens sumos skaitmuo būtinai yra lyginis.

Liaudies būryje yra 100 žmonių, kiekvieną vakarą budi trys iš jų. Ar po kurio laiko gali pasirodyti, kad visi su visais budėjo lygiai vieną kartą? Sprendimas:

Kadangi kiekviename laikrodyje, kuriame dalyvauja šis asmuo, jis budi su kitais dviem, tada visus likusius galima suskirstyti į poras. Tačiau 99 yra nelyginis skaičius.

Tiesioje linijoje pažymėti 45 taškai, esantys už atkarpos AB ribų. Įrodykite, kad atstumų nuo šių taškų iki taško A suma nėra lygi atstumų nuo šių taškų iki taško B sumai. Sprendimas:

Bet kuriam taškui X, esančiam už AB ribų, turime AX - BX = ± AB. Jei darysime prielaidą, kad atstumų sumos yra lygios, tai gausime, kad išraiška ± AB ± AB ± … ± AB, kurioje dalyvauja 45 nariai, yra lygi nuliui. Bet tai neįmanoma.

Yra 9 skaičiai, išdėstyti apskritime – 4 vienetai ir 5 nuliai. Kas sekundę su skaičiais atliekama tokia operacija: tarp gretimų skaičių dedamas nulis, jei jie skiriasi, ir vienas, jei jie lygūs; po to seni numeriai ištrinami. Ar po kurio laiko visi skaičiai gali tapti vienodi? Sprendimas:

Akivaizdu, kad kombinacijos iš devynių vienetų prieš devynis nulius negalima gauti. Jei buvo devyni nuliai, tada ankstesniame žingsnyje nuliai ir vienetai turėjo keistis, o tai neįmanoma, nes jų yra tik nelyginis skaičius.

Prie apskrito stalo sėdi 25 berniukai ir 25 merginos. Įrodykite, kad vienas iš žmonių, sėdinčių prie stalo, turi abu kaimynus berniukus. Sprendimas:

Įrodinėjimą atlikime prieštaringai. Visus sėdinčius prie stalo sunumeruojame eilės tvarka, pradedant nuo kažkurios vietos. Jei k-oje vietoje yra vaikinas, tai aišku, kad (k - 2) ir (k + 2) vietas užima merginos. Bet kadangi vaikinų ir mergaičių yra vienodai, tai bet kuriai n-oje vietoje sėdinčiai mergaitei, tiesa, (n - 2) ir (n + 2) vietas užima vaikinai. Jei dabar vertintume tik tuos 25 žmones, kurie sėdi „lygiose“ vietose, tai gautume, kad tarp jų vaikinai ir merginos pakaitomis apeina stalą kokia nors kryptimi. Bet 25 yra nelyginis skaičius.

Sraigė šliaužioja išilgai plokštumos pastoviu greičiu, kas 15 minučių pasisukdama stačiu kampu. Įrodykite, kad jis gali grįžti į pradinį tašką tik po sveikojo skaičiaus valandų. Sprendimas:

Akivaizdu, kad atkarpų, kuriose sraigė ropojo aukštyn arba žemyn, skaičius yra lygus sekcijų, kuriose ji ropojo į dešinę arba į kairę, skaičiui. Belieka tik pastebėti, kad a yra lyginis.

Trys žiogai žaidžia šuolį tiesia linija. Kiekvieną kartą vienas iš jų peršoka per kitą (bet ne per du iš karto!). Ar jie gali grįžti į savo pradines pozicijas po 1991 m. šuolio? Sprendimas:

Pažymėkite amūras A, B ir C. Pavadinkime amūrų išdėstymus ABC, BCA ir CAB (iš kairės į dešinę), o ACB, BAC ir CBA neteisingais. Nesunku pastebėti, kad su bet kokiu šuoliu išdėstymo tipas pasikeičia.

Yra 101 moneta, iš kurių 50 padirbtų, svoriu 1 gramu skiriasi nuo tikrosios. Petya paėmė vieną monetą, o vieną sveriantį ant svarstyklių su rodykle, rodančia taurių svorių skirtumą, jis nori nustatyti, ar ji netikra. Ar jis gali tai padaryti? Sprendimas:

Šią monetą reikia padėti į šalį, o likusias 100 monetų padalinti į dvi krūvas po 50 monetų ir palyginti šių krūvelių svorius. Jeigu jie skiriasi lyginiu gramų skaičiumi, vadinasi, mus dominanti moneta yra tikra. Jei skirtumas tarp svorių yra nelyginis, vadinasi, moneta yra padirbta.

Ar galima vieną kartą iš eilės išrašyti skaičius nuo 1 iki 9, kad būtų nelyginis skaitmenų skaičius tarp vieno ir dviejų, dviejų ir trijų, ..., aštuonių ir devynių? Sprendimas:

Priešingu atveju visi skaičiai eilutėje būtų tose pačiose lygybės vietose.

Šis darbas Petya nusipirko bendrą 96 lapų tūrio sąsiuvinį ir visus jo puslapius sunumeravo eilės tvarka skaičiais nuo 1 iki 192. Vasya ištraukė (Kontrolė) tema (AHD ir finansinė analizė), buvo pagaminta pagal užsakymą mūsų įmonės specialistų ir sėkmingai išlaikė gynybą. Darbas – Petya nusipirko bendrą sąsiuvinį, kurio tūris yra 96 ​​lapai, ir sunumeravo visus jo puslapius eilės tvarka nuo 1 iki 192. Vasya atsižvelgė į AHD temą, o finansinė analizė atspindi jos temą ir loginį jos atskleidimo komponentą. atskleidžiama nagrinėjamo klausimo esmė, išryškinamos pagrindinės nuostatos ir pagrindinės mintys šia tema.
Darbas - Petja nusipirko bendrą 96 lapų tūrio sąsiuvinį ir sunumeravo visus jo puslapius skaičiais nuo 1 iki 192. Vasja išplėšė, yra: lentelės, piešiniai, naujausi literatūros šaltiniai, pateikimo ir gynimo metai. darbas - 2017. Darbe Petya nusipirko bendrą 96 lapų sąsiuvinio tūrį ir visus jo puslapius sunumeravo skaičiais nuo 1 iki 192. Vasja ištraukė (AHD ir finansinė analizė) atskleidžiamas tyrimo temos aktualumas, problemos išsivystymo laipsnis, remiantis giliu mokslinės ir metodinės literatūros vertinimu ir analize, atsispindi darbe AHD ir finansinės analizės tema, analizės objektas ir jo klausimai nagrinėjami visapusiškai, tiek iš teorinės ir praktinės pusės, suformuluotas nagrinėjamos temos tikslas ir konkretūs uždaviniai, yra medžiagos pateikimo logika ir jos seka.

Skyriai: Matematika

Mielas olimpiados dalyviu!

Moksleivių matematikos olimpiada vyksta vienu turu.
Yra 5 skirtingo sudėtingumo užduotys.
Specialių reikalavimų kūrinio dizainui nėra. Užduočių sprendimo pateikimo forma, kaip ir sprendimo būdai, gali būti bet kokia. Jei turite kokių nors individualių minčių apie konkrečią užduotį, bet negalite atvesti sprendimo iki galo, nedvejodami išsakykite visas savo mintis. Net ir iš dalies išspręstos problemos bus įvertintos atitinkamu balų skaičiumi.
Pradėkite spręsti užduotis, kurios jums atrodo lengvesnės, o tada pereikite prie kitų. Taip sutaupysite laiko.

Linkime sėkmės!

Visos Rusijos moksleivių matematikos olimpiados mokyklos etapas

5 klasė

1 pratimas. Išraiškoje 1*2*3*4*5 pakeiskite „*“ veiksmo ženklais ir įdėkite skliaustus taip. Norėdami gauti išraišką, kurios reikšmė yra 100.

2 užduotis. Reikalaujama iššifruoti aritmetinės lygybės įrašą, kuriame skaičiai pakeičiami raidėmis, o skirtingi skaičiai – skirtingomis raidėmis, tie patys yra vienodi.

PENKI – TRYS \u003d DU Yra žinoma, kad vietoj laiško BET reikia įvesti skaičių 2.

3 užduotis. Kaip padalyti 80 kg vinių į dvi dalis – 15 kg ir 65 kg naudojant keptuvės svarstykles be svarmenų?

4 užduotis. Paveiksle pavaizduotą figūrą supjaustykite į dvi lygias dalis, kad kiekviena dalis turėtų po vieną žvaigždę. Galite pjauti tik išilgai tinklelio linijų.

5 užduotis. Puodelis ir lėkštė kartu kainuoja 25 rublius, o 4 puodeliai ir 3 lėkštės – 88 rublius. Raskite puodelio ir lėkštutės kainą.

6 klasė.

1 pratimas. Palyginkite trupmenas nesukeldami jų į bendrą vardiklį.

2 užduotis. Reikalaujama iššifruoti aritmetinės lygybės įrašą, kuriame skaičiai pakeičiami raidėmis, o skirtingi skaičiai – skirtingomis raidėmis, tie patys yra vienodi. Daroma prielaida, kad pradinė lygybė yra teisinga ir parašyta pagal įprastas aritmetikos taisykles.

DARBAS
+ VALIA
SĖKMĖ

3 užduotis. Į vasaros stovyklą pailsėti atvyko trys draugai: Miša, Volodia ir Petja. Yra žinoma, kad kiekvienas iš jų turi vieną iš šių pavardžių: Ivanovas, Semenovas, Gerasimovas. Miša nėra Gerasimovas. Volodijos tėvas yra inžinierius. Volodia mokosi 6 klasėje. Gerasimovas mokosi 5 klasėje. Ivanovo tėvas yra mokytojas. Kokia kiekvieno iš trijų draugų pavardė?

4 užduotis. Padalinkite figūrą išilgai tinklelio linijų į keturias identiškas dalis, kad kiekviena dalis turėtų vieną tašką.

5 užduotis. Šokinėjantis laumžirgis miegojo pusę kiekvienos raudonos vasaros dienos, šoko trečdalį laiko, o šeštąją dainavo. Likusį laiką ji nusprendė skirti pasiruošimui žiemai. Kiek valandų per dieną laumžirgis ruošdavosi žiemai?

7 klasė.

1 pratimas. Išspręskite rebusą, jei žinote, kad didžiausias skaičiaus STIPRUS skaitmuo yra 5:

SPRENDIM
JEI
STIPRUS

2 užduotis. Išspręskite lygtį│7 - x│ = 9,3

3 užduotis. Po septynių plovimų muilo ilgis, plotis ir storis sumažėjo perpus. Kiek tų pačių skalbimų pakaks likusio muilo?

4 užduotis . Padalinkite 4 × 9 langelių stačiakampį išilgai langelių kraštų į dvi lygias dalis, kad galėtumėte iš jų padaryti kvadratą.

5 užduotis. Medinis kubas iš visų pusių buvo nudažytas baltais dažais, o po to perpjautas į 64 vienodus kubus. Kiek kubelių buvo spalvoti iš trijų pusių? Iš dviejų pusių?
Iš vienos pusės? Kiek kubelių nėra spalvoti?

8 klasė.

1 pratimas. Kokie du skaitmenys baigia skaičių 13!

2 užduotis. Sumažinkite trupmeną:

3 užduotis. Mokyklos dramos būrelis, besiruošiantis sukurti A.S. pasakos ištrauką. Puškinas apie carą Saltaną nusprendė paskirstyti vaidmenis tarp dalyvių.
- Aš būsiu Černomoras, - pasakė Jura.
- Ne, aš būsiu Černomoras, - pasakė Kolia.
- Gerai, - nusileido jam Jura, - galiu vaidinti Gvidoną.
- Na, aš galiu tapti Saltanu, - Kolya taip pat parodė paklusnumą.
- Sutinku būti tik Gvidonu! Misha pasakė.
Berniukų norai buvo patenkinti. Kaip pasiskirstė vaidmenys?

4 užduotis. Mediana AD nubrėžta lygiašoniu trikampiu ABC, kurio pagrindas AB = 8m. Trikampio ACD perimetras yra 2 m didesnis už trikampio ABD perimetrą. Raskite AS.

5 užduotis. Nikolajus nusipirko bendrą 96 lapų sąsiuvinį ir sunumeravo puslapius nuo 1 iki 192. Jo sūnėnas Artūras iš šio sąsiuvinio išplėšė 35 lapus ir susumavo visus 70 ant jų užrašytų skaičių. Ar jis galėtų gauti 2010 m.

9 klasė

1 pratimas. Raskite paskutinį 1989–1989 skaitmenį.

2 užduotis. Kai kurios kvadratinės lygties šaknų suma lygi 1, o jų kvadratų suma lygi 2. Kokia yra jų kubų suma?

3 užduotis. Naudodami tris medianas m a , m b ir m c ∆ ABC raskite kraštinės AC = b ilgį.

4 užduotis. Sumažinkite frakciją .

5 užduotis. Kiek būdų galite pasirinkti balsę ir priebalsį žodyje „kamzol“?

10 klasė.

1 pratimas. Šiuo metu yra 1, 2, 5, 10 rublių monetų. Nurodykite visas pinigų sumas, kurias galima sumokėti tiek lyginiu, tiek nelyginiu monetų skaičiumi.

2 užduotis. Įrodykite, kad 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 dalijasi iš 6.

3 užduotis. Keturkampyje ABCDįstrižainės susikerta taške M. Yra žinoma, kad AM = 1,
VM = 2, CM = 4. Kokiomis vertybėmis DM keturkampis ABCD yra trapecija?

4 užduotis. Išspręskite lygčių sistemą

5 užduotis. Ranką spaudė trisdešimt moksleivių – dešimtokų ir vienuoliktokų. Tuo pačiu metu paaiškėjo, kad kiekvienas dešimtokas ranką paspaudė aštuoniems vienuoliktokams, o kiekvienas vienuoliktokas – septyniems dešimtokams. Kiek dešimtokų ir kiek vienuoliktokų?