Тестови за деливост за броеви- ова се правила што ви овозможуваат релативно брзо, без поделба, да откриете дали овој број е делив со даден без остаток.
Некои од критериуми за поделба прилично едноставна, некои потешка. На оваа страница ќе ги најдете и критериумите за поделба на простите броеви, како што се, на пример, 2, 3, 5, 7, 11 и критериумите за поделба на композитните броеви, како што се 6 или 12.
Се надевам дека оваа информација ќе ви биде корисна.
Среќно учење!

Поделба на 2

Ова е еден од наједноставните критериуми за поделба. Звучи вака: ако снимањето на природен број завршува со парна цифра, тогаш тоа е парно (се дели со 2 без остаток), и ако снимањето на број завршува со непарна цифра, тогаш овој број е непарен.
Со други зборови, ако е последната цифра на бројот 2 , 4 , 6 , 8 или 0 - бројот е делив со 2, ако не, тогаш не е делив
На пример, броеви: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 се делат со 2 затоа што се парни.
И броеви: 23 5 , 137 , 2303
не се делат со 2 затоа што се непарни.

Поделба на 3

Овој критериум за деливост има сосема различни правила: ако збирот на цифрите на бројот е делив со 3, тогаш бројот е исто така делив со 3; ако збирот на цифрите на бројот не се дели со 3, тогаш ниту бројот не се дели со 3.
Значи, за да разберете дали бројот е делив со 3, треба само да ги соберете броевите од кои се состои.
Изгледа вака: 3987 и 141 се делат со 3, бидејќи во првиот случај 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - се дели со 3 без остак), а во втората 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - исто така, се дели со 3 без остак).
Но, броевите: 235 и 566 не се делат со 3, бидејќи 2 + 3 + 5 \u003d 10 и 5 + 6 + 6 \u003d 17 (и знаеме дека ниту 10 ниту 17 не се делат со 3 без остаток).

Поделба на 4

Овој критериум за поделба ќе биде посложен. Ако последните 2 цифри од бројот формираат број што може да се подели со 4 или е 00, тогаш бројот е делив со 4, во спротивно овој број не се дели со 4 без остаток.
На пример: 1 00 и 3 64 се делат со 4, бидејќи во првиот случај, бројот завршува на 00 , а во втората натаму 64 , што пак е деливо со 4 без остаток (64: 4 \u003d 16)
Броеви 3 57 и 8 86 не се делат со 4, бидејќи ниту едното ниту другото 57 ниту 86 не се делат со 4, што значи дека не одговараат на дадениот критериум за деливост.

Поделба на 5

И повторно, имаме прилично едноставен знак на деливост: ако записот на природен број завршува со цифра 0 или 5, тогаш овој број е делив без остаток со 5. Ако записот на број завршува со друга цифра, тогаш бројот не се дели со 5 без остаток.
Ова значи дека сите броеви завршуваат со цифри 0 и 5 на пример, 1235 година 5 и 43 0 , потпаѓаат под правилото и се делат со 5.
И, на пример, 1549 година 3 и 56 4 не завршуваат на 5 или 0, што значи дека не можат да се делат со 5 без остаток.

Поделба на 6

Пред нас е композитен број 6, што е производ на броевите 2 и 3. Според тоа, делењето со 6 е исто така сложено: за да може бројот да се дели со 6, тој мора да одговара на две одлики на поделба истовремено: одлика на делење со 2 и одлика на делење со 3. Во исто време, забележете дека таков композитен број како 4 има индивидуален знак на деливост, бидејќи тој е производ на бројот 2 сам по себе. Но, да се вратиме на поделбата по 6 критериум.
Броевите 138 и 474 се парни и одговараат на критериумите на поделба со 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 и 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), што значи дека се делат со 6. Но, 123 и 447, иако се делат со 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 и 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), но тие се непарни, што значи дека не одговараат на критериумот за поделба со 2, и затоа не одговараат на критериумот за поделба на 6.

Поделба на 7

Овој знак на деливост е посложен: бројот се дели со 7 ако резултатот од одземањето на последната двојно цифрена од десетките на овој број е делив со 7 или еднаков на 0.
Звучи прилично збунувачки, но едноставно во пракса. Погледнете сами: бројот 95 9 се дели со 7 затоа што 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 се дели со 7 без остаток). Покрај тоа, ако се појавија потешкотии со бројот добиен за време на трансформациите (поради неговата големина, тешко е да се разбере дали е делив со 7 или не, тогаш оваа постапка може да се продолжи онолку пати колку што сметате дека е потребно).
На пример, 45 5 и 4580 1 имаат знаци на деливост со 7. Во првиот случај, сè е прилично едноставно: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Во вториот случај, ќе го сториме ова: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Тешко е да разбереме дали 457 8 на 7, па да го повториме процесот: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. И повторно ќе го користиме критериумот за поделба, бидејќи сè уште имаме трицифрен број 44 1. Значи, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, т.е. 42 се дели на 7 без остаток, што значи дека 45801 се дели на 7.
Но, бројките 11 1 и 34 5 не се дели со 7 затоа што 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 не се дели рамномерно со 7) и 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 не се дели рамномерно со 7).

Поделба на 8

Делењето со 8 е како што следува: ако последните 3 цифри формираат број што може да се дели со 8, или 000, тогаш дадениот број е делив со 8.
Броеви 1 000 или 1 088 деливо со 8: првиот завршува со 000 , вториот 88 : 8 \u003d 11 (деливо со 8 без остаток).
Но, броевите 1 100 или 4 757 не се делат со 8, бидејќи броевите 100 и 757 не се подеднакво поделени со 8.

Поделба на 9

Овој знак на деливост е сличен на знакот на деливост со 3: ако збирот на цифрите на бројот е делив со 9, тогаш бројот е исто така делив со 9; ако збирот на цифрите на бројот не се дели со 9, тогаш ниту бројот не се дели со 9.
На пример: 3987 и 144 се делат со 9, бидејќи во првиот случај 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - се дели со 9 без остак), а во втората 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - исто така се дели со 9 без остак).
Но, броевите: 235 и 141 не се делат со 9, бидејќи 2 + 3 + 5 \u003d 10 и 1 + 4 + 1 \u003d 6 (и знаеме дека ниту 10 ниту 6 не се делат со 9 без остаток).

Поделба на 10, 100, 1000 и други битни единици

Ги комбинирав овие знаци на деливост затоа што можат да се опишат на ист начин: бројот се дели со битната единица ако бројот на нули на крајот од бројот е поголем или еднаков на бројот на нули во дадена бит-единица.
Со други зборови, на пример, имаме вакви броеви: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... од кои сите се делат со 1 0 ; 46400 и 867 година 000 исто така се поделени со 1 00 ; и само еден од нив - 867 година 000 делив со 1 000 .
Кои било броеви што имаат помалку нули на крајот од битната единица не се делат со таа битна единица, на пример 600 30 и 7 93 не се дели 1 00 .

Поделба на 11

За да откриете дали бројот е делив со 11, треба да ја добиете разликата помеѓу збировите на парите и непарните цифри на овој број. Ако оваа разлика е еднаква на 0 или е делива со 11 без остаток, тогаш самиот број е делив со 11 без остаток.
За да биде појасно, предлагам да разгледам примери: 2 35 4 се дели со 11 затоа што ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 исто така се дели со 11, бидејќи ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Но, 1 1 1 или 4 35 4 не се дели со 11, бидејќи во првиот случај добиваме (1 + 1) - 1 \u003d 1, а во втората ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Поделба на 12

Бројот 12 е сложен. Негов критериум за поделба е кореспонденцијата на критериумите за поделба истовремено со 3 и 4.
На пример, 300 и 636 одговараат и на знаците на деливост со 4 (последните 2 цифри се нули или се делат со 4) и на знаците на деливост со 3 (збирот на цифрите и првиот и тројниот број се дели со 3) и znit, тие се делат со 12 без остаток.
Но, 200 или 630 не се делат со 12, бидејќи во првиот случај бројот одговара само на знакот на деливост со 4, а во вториот - само на знакот на деливост со 3. но не и на двата знака истовремено.

Поделба на 13

Знакот на деливост со 13 е дека ако бројот на десетици од еден број, додаден со помножено со 4 единици од овој број, е множител од 13 или еднаков на 0, тогаш самиот број е делив со 13.
Земете на пример 70 2. Значи, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 се дели со 13 без остаток), што значи 70 2 се дели со 13 без остаток. Друг пример е бројот 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Бројот 130 се дели со 13 без остаток, што значи дека дадениот број одговара на критериумот за деливост со 13.
Ако ги земеме броевите 12 5 или 21 2, тогаш добиваме 12 + 4 * 5 \u003d 32 и 21 + 4 * 2 \u003d 29, соодветно, и ниту 32 ниту 29 не се делат со 13 без остаток, што значи дека дадените броеви не се подеднакво поделени со 13.

Поделба на броевите

Како што може да се види од горенаведеното, може да се претпостави дека на кој било од природни броеви можете да изберете своја индивидуална карактеристика на деливост или "композитна" одлика ако бројот е повеќекратно од повеќе различни броеви. Но, како што покажува практиката, генерално, колку е поголем бројот, толку е посложен неговиот знак. Можно е времето поминато на проверка на критериумот за поделба да биде еднакво или повеќе од самата поделба. Затоа, ние обично ги користиме наједноставните критериуми за поделба.

Написот дискутира за концептот на поделба на цели броеви со остатокот. Дозволете ни да ја докажеме теоремата за поделбата на цели броеви со остаток и да ги испитаме врските помеѓу дивиденди и делители, нецелосни количници и остатоци. Да ги разгледаме правилата кога се врши поделба на цели броеви со остатоци, детално разгледувајќи ги примерите. На крајот од решението, да провериме.

Разбирање на преостанатата дивизија на цели броеви

Поделбата на цели броеви со остаток се смета за генерализирана поделба со остаток од природни броеви. Ова е направено затоа што природните броеви се составен дел на цели броеви.

Поделбата со остатокот од произволен број значи дека цел број a е делив со ненултен број b. Ако b \u003d 0, тогаш не се врши поделба на остатоци.

Како и поделбата на природните броеви со остаток, поделбата на цели броеви a и b, ако b е различна од нула, ја вршат c и d. Во овој случај, a и b се нарекуваат дивиденда и делител, а d е остатокот од поделбата, c е цел број или нецелосен количник.

Ако претпоставиме дека остатокот е не-негативен цел број, тогаш неговата вредност не е поголема од модулот на бројот b. Ајде да напишеме на овој начин: 0 ≤ d ≤ b. Овој синџир на нееднаквости се користи при споредување на 3 или повеќе броеви.

Ако c е некомплетен количник, тогаш d е остаток од делење на цел број a со b, можете накратко да поправите: a: b \u003d c (остаток d).

Остатокот при делење на броевите a со b е можно нула, тогаш тие велат дека a се дели со b целосно, односно без остаток. Поделбата без остаток се смета за посебен случај на поделба.

Ако ја поделиме нулата со некој број, како резултат добиваме нула. Остатокот од поделбата исто така ќе биде нула. Ова може да се пронајде во теоријата за делење на нула со цел број.

Сега да го разгледаме значењето на поделба на цели броеви со остаток.

Познато е дека позитивните цели броеви се природни, тогаш кога се делите со остаток, го добивате истото значење како и кога ги делите природните броеви со остаток.

Има смисла кога се дели негативен цел број a со позитивен цел б. Да погледнеме еден пример. Замислувајќи ситуација кога имаме долг на артикли во износ а, што мора да го вратат б луѓе. Ова бара секој да даде ист придонес. За да го одредите износот на долг за секој, треба да обрнете внимание на износот на приватни и. Остатокот г вели дека бројот на артикли е познат по отплата на долговите.

Да земеме пример со јаболка. Ако на 2 лица им требаат 7 јаболка. Ако сметате дека секој мора да врати 4 јаболка, по целосната пресметка ќе има 1 јаболко. Дозволете ни да го напишеме во форма на еднаквост: (- 7): 2 \u003d - 4 (о со точка 1).

Поделбата на кој било број a со цел број нема смисла, но тоа е можно како опција.

Теорема на деливост за цели броеви со остаток

Откривме дека a е дивиденда, тогаш b е делител, c е нецелосен количник, а d е остаток. Тие се поврзани едни со други. Connectionе ја покажеме оваа врска користејќи ја еднаквоста a \u003d b c + d. Врската меѓу нив се карактеризира со теоремата за остатокот на деливост.

Теорема

Секој интеграл може да се претстави само преку цел број и не нула број b на овој начин: a \u003d b q + r, каде q и r се некои цели броеви. Тука имаме 0 ≤ r ≤ b.

Дозволете ни да ја докажеме можноста за постоење на a \u003d b q + r.

Доказ

Ако има два броја a и b, а a се дели со b без остаток, тогаш дефиницијата подразбира дека има број q, што ќе биде точно еднаквоста a \u003d b q. Тогаш еднаквоста може да се смета за вистинска: a \u003d b q + r за r \u003d 0.

Тогаш е потребно да се земе q такво што е дадено од нееднаквоста b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Имаме дека вредноста на изразот a - b q е поголема од нула и не е поголема од вредноста на бројот b, следува дека r \u003d a - b q. Добиваме дека бројот a може да се претстави како a \u003d b q + r.

Сега е потребно да се разгледа можноста за претставување a \u003d b q + r за негативните вредности на b.

Апсолутната вредност на бројот е позитивна, тогаш добиваме a \u003d b q 1 + r, каде што вредноста q 1 е цел број, r е цел број што одговара на условот 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Доказ за уникатност

Да претпоставиме дека a \u003d bq + r, q и r се цели броеви со вистинска состојба 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 и r 1 има некои броеви, каде q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Кога нееднаквоста ќе се одземе од левата и десната страна, тогаш добиваме 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, што е еквивалентно на r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Бидејќи се користи модулот, ја добиваме еднаквоста r - r 1 \u003d b q 1 - q.

Дадениот услов вели дека 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qи q 1- цели броеви, и q ≠ q 1, потоа q 1 - q ≥ 1. Оттука имаме дека b q 1 - q ≥ b. Резултирачките нееднаквости r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Оттука произлегува дека бројот a не може да се претстави на кој било друг начин, освен со таква нотација a \u003d b q + r.

Однос помеѓу дивиденда, делител, нецелосен количник и остаток

Користејќи ја еднаквоста a \u003d b c + d, можете да ја пронајдете непозната дивиденда a кога ќе го знаете делителот b со нецелосен количник c и остаток d.

Пример 1

Одреди ја дивидендата ако во поделба добиеме - 21, нецелосен количник 5 и остаток 12.

Одлука

Неопходно е да се пресмета дивидендата a со познатиот делител b \u003d - 21, нецелосен количник c \u003d 5 и остаток d \u003d 12. Потребно е да се свртиме кон еднаквоста a \u003d b c + d, од која добиваме a \u003d (- 21) 5 + 12. Предмет на редоследот на извршување на дејствата, ние множиме - 21 со 5, по што ќе добиеме (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Одговор: - 93 .

Врската помеѓу делителот и нецелосниот количник и остатокот може да се изрази со употреба на еднаквостите: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b и d \u003d a - b c. Со нивна помош, можеме да го пресметаме делителот, делумниот количник и остатокот. Ова се сведува на постојано наоѓање на остатокот откако ќе се подели цел број a со b со позната дивиденда, делител и нецелосен количник. Формулата се применува d \u003d a - b c. Ајде детално да го разгледаме решението.

Пример 2

Пронајдете го остатокот од делење на цел број - 19 со цел број 3 со познат нецелосен количник еднаков на - 7.

Одлука

За да го пресметате остатокот од поделбата, применете формула како d \u003d a - b · c. По услов, сите податоци се достапни a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. Од ова добиваме d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (разликата е 19 - (- 21). Овој пример се пресметува со правилото на одземање цел број негативен број.

Одговор: 2 .

Сите позитивни цели броеви се природни. Следува дека поделбата се изведува според сите правила на поделба со остатокот од природните броеви. Брзината на поделба со остатокот од природните броеви е важна, бидејќи не само поделбата на позитивните, туку и правилата за поделба на произволни цели броеви се засноваат на тоа.

Најпогоден метод за поделба е колоната, бидејќи е полесно и побрзо да се добие нецелосен или само количник со остаток. Ајде да го разгледаме решението подетално.

Пример 3

Поделете 14671 на 54.

Одлука

Оваа поделба мора да се изврши во колона:

Тоа е, нецелосниот количник се покажува 271, а остатокот е 37.

Одговор: 14 671: 54 \u003d 271. (стоп 37)

Правило на поделба со остаток од позитивен цел број со негативен цел број, примери

За да поделите со позитивен остаток со негативен цел број, треба да формулирате правило.

Дефиниција 1

Нецелосен количник од делење на позитивен цел број a со негативен цел број b добиваме број што е спротивен на нецелосниот количник од поделба на апсолутните вредности на броевите a со b. Тогаш остатокот е еднаков на остатокот кога a се дели со b.

Оттука, имаме дека нецелосниот количник на поделба на цел позитивен број со негативен цел број се смета за не-позитивен цел број.

Го добиваме алгоритмот:

• подели го модулот на делениот со модулот на делителот, тогаш добиваме нецелосен количник и
• остатокот;
• го запишуваме бројот спротивен на примениот.

Да разгледаме пример за алгоритам за поделба на позитивен цел број на негативен цел број.

Пример 4

Поделете со остаток од 17 со - 5.

Одлука

Да го примениме алгоритмот на поделба со остатокот од позитивниот цел број со негативниот цел број. Модулот мора да го поделите 17 со - 5. Од ова добиваме дека нецелосниот количник е 3, а остатокот е 2.

Добиваме дека потребниот број се дели со делење 17 со - 5 \u003d - 3 со остаток од 2.

Одговор: 17: (- 5) \u003d - 3 (одмор 2).

Пример 5

Поделете 45 со - 15.

Одлука

Треба да ги поделите броевите по нивната апсолутна вредност Поделете го бројот 45 со 15, добиваме количник 3 без остаток. Ова значи дека бројот 45 е делив со 15 без остаток. Во одговорот што го добиваме - 3, бидејќи поделбата е извршена модуло.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Одговор: 45: (− 15) = − 3 .

Формулацијата на правилото за поделба со остаток е како што следува.

Дефиниција 2

За да добиете нецелосен количник c при делење на негативен цел број a со позитивен b, треба да го примените спротивното од овој број и да одземете 1 од него, тогаш остатокот d ќе се пресмета со формулата: d \u003d a - b · c.

Врз основа на правилото, можеме да заклучиме дека при делење добиваме негативен цел број. За точноста на решението, се користи алгоритам за делење на a со b со остаток:

• најдете ги модулите на дивидендата и делителот;
• подели по модул;
• запиши го спротивниот број и одземи 1;
• користете ја формулата за остатокот d \u003d a - b c.

Да разгледаме пример за решение каде се применува овој алгоритам.

Пример 6

Пронајдете го нецелосниот количник и остатокот од поделбата - 17 со 5.

Одлука

Поделете го дадениот број на модулот. Добиваме дека при делење на количникот е 3, а остатокот е 2. Бидејќи добивме 3, спротивното е 3. Вие мора да одземете 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Ја добиваме посакуваната вредност еднаква на - 4.

За да го пресметате остатокот, ви требаат \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, потоа d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3

Ова значи дека нецелосен количник на поделба е бројот - 4 со остаток еднаков на 3.

Одговор: (- 17): 5 \u003d - 4 (одмор. 3).

Пример 7

Поделете го негативниот цел број 1404 со позитивниот 26.

Одлука

Неопходно е да се подели со колона и со мазга.

Добивме поделба на апсолутните вредности на броевите без остаток. Ова значи дека поделбата се изведува без остаток, а посакуваниот количник \u003d - 54.

Одговор: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Правило на поделба со остаток на негативни цели броеви, примери

Неопходно е да се формулира правило за поделба со остаток од негативни цели броеви.

Дефиниција 3

За да се добие нецелосен количник c од делење на негативен цел број a со негативен цел број b, потребно е да се изврши модул за пресметки, потоа да се додаде 1, а потоа да можеме да извршиме пресметки користејќи ја формулата d \u003d a - b · c.

Следува дека нецелосниот количник на поделба на негативните цели броеви ќе биде позитивен број.

Да го формулираме ова правило во форма на алгоритам:

• најдете ги модулите на дивидендата и делителот;
• подели го модулот на делениот со модулот на делителот за да се добие нецелосен количник со
• остатокот;
• додавање 1 на нецелосниот количник;
• пресметување на остатокот, врз основа на формулата d \u003d a - b · c.

Дозволете ни да го разгледаме овој алгоритам користејќи пример.

Пример 8

Пронајдете го нецелосниот количник и остаток при делење - 17 со - 5.

Одлука

За точноста на решението, ќе го примениме алгоритмот за поделба со остаток. Прво, подели го модулот за броеви. Од тука добиваме дека нецелосниот количник \u003d 3, а остатокот е 2. Според правилото, потребно е да се додаде нецелосниот количник и 1. Добиваме дека 3 + 1 \u003d 4. Од ова добиваме дека нецелосниот количник на поделба на дадените броеви е 4.

За да го пресметаме остатокот, ќе ја користиме формулата. Според хипотезата, имаме дека a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, тогаш, користејќи ја формулата, добиваме d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Посакуваниот одговор, односно остатокот, е 3, а нецелосниот количник е 4.

Одговор: (- 17): (- 5) \u003d 4 (одмор 3).

Проверка на резултатот од делење на цели броеви со остаток

Откако ќе извршите поделба на броеви со остаток, треба да проверите. Оваа проверка вклучува 2 фази. Прво, остатокот d се проверува за негативноста, состојбата 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 9

Поделбата е направена - 521 од - 12. Количникот е 44, а остатокот е 7. Проверете.

Одлука

Бидејќи остатокот е позитивен број, неговата вредност е помала од модулот на делителот. Делителот е - 12, што значи дека неговиот модул е \u200b\u200b12. Може да продолжите на следната контролна точка.

Според хипотезата, имаме дека a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Оттука пресметуваме b c + d, каде b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Оттука произлегува дека еднаквоста е вистинита. Потврдата помина.

Пример 10

Изведете проверка на поделба (- 17): 5 \u003d - 3 (одмор - 2). Дали е еднаква рамноправноста?

Одлука

Поентата на првата фаза е дека е потребно да се провери поделбата на цели броеви со остаток. Оттука е јасно дека дејството е извршено неправилно, бидејќи остатокот е даден, еднаков на - 2. Остатокот не е негативен.

Имаме дека вториот услов е задоволен, но недоволен за овој случај.

Одговор: не.

Пример 11

Број - 19 поделено со - 3. Нецелосниот количник е 7, а остатокот е 1. Проверете дали пресметката е точна.

Одлука

Даден е остаток од 1. Тој е позитивен. Тој е помал од модулот за разделување, што значи дека се изведува првата фаза. Да преминеме во втората фаза.

Да ја пресметаме вредноста на изразот b c + d. Според хипотезата, имаме дека b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, па оттука, заменувајќи ги бројните вредности, добиваме b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Следува дека a \u003d b c + d еднаквоста не важи, бидејќи a \u003d - 19 е дадена во условот.

Од ова произлегува дека поделбата е направена со грешка.

Одговор: не.

Ако забележите грешка во текстот, изберете ја и притиснете Ctrl + Enter

Во оваа статија ќе анализираме поделба на цели броеви со остаток... Да почнеме со општиот принцип на поделба на цели броеви со остаток, да формулираме и докажеме теорема за поделбата на цели броеви со остаток, да ги трасираме врските помеѓу дивидендата, делителот, нецелосниот количник и остатокот. Следно, ќе ги искажеме правилата со кои се врши поделба на цели броеви со остаток и ќе ја разгледаме примената на овие правила при решавање примери. После тоа, ќе научиме како да го провериме резултатот од поделбата на цели броеви со остатокот.

Навигација на страницата.

Разбирање на поделбата на цели броеви со остаток

Поделбата на цели броеви со остаток ќе ја разгледаме како генерализација на поделба со остаток од природни броеви. Ова се должи на фактот дека природните броеви се составен дел од цели броеви.

Да започнеме со поимите и ознаките што се користат во описот.

По аналогија со поделба на природните броеви со остаток, ќе претпоставиме дека резултатот од поделбата со остаток од два интеграла a и b (b не е еднаков на нула) се два интеграла c и d. Се повикуваат броевите a и b делив и делител соодветно, бројот d - остатокот од делење на a со b, и цел број c се нарекува нецелосни приватни (или едноставно приватнаако остатокот е нула).

Ајде да се согласиме да претпоставиме дека остатокот е ненегативен цел број и неговата вредност не надминува b, односно (сретнавме такви ланци на нееднаквости кога зборувавме за споредување на три или повеќе цели броја).

Ако бројот c е нецелосен количник, а бројот d е остаток од поделба на цел број a со цел број b, тогаш овој факт накратко ќе го напишеме како еднаквост на формата a: b \u003d c (остаток d).

Забележете дека кога делите цел број a со цел број b, остатокот може да биде нула. Во овој случај се вели дека a може да се дели со b без остаток (или целосно) Така, поделбата на цели броеви без остаток е посебен случај на поделба на цели броеви со остаток.

Исто така, вреди да се каже дека кога се дели нула со одреден цел број, ние секогаш се занимаваме со поделба без остаток, бидејќи во овој случај количникот ќе биде нула (видете го делот за теоријата за поделба на нулата со цел број), а остатокот исто така ќе биде нула.

Одлучивме за терминологијата и ознаките, сега да го дознаеме значењето на поделба на цели броеви со остаток.

Поделбата на негативен цел број a со позитивен цел број b може исто така да има смисла. За да го направите ова, разгледајте го негативниот цел број како долг. Да ја замислиме следнава ситуација. Долгот, кој ги сочинува артиклите, мора да го платат две лица, давајќи го истиот придонес. Абсолутна вредност нецелосно приватно в во овој случај ќе го одреди износот на долгот на секое од овие лица, а остатокот г ќе покаже колку предмети ќе останат по плаќањето на долгот. Да дадеме пример. Да речеме, на 2 лица им требаат 7 јаболка. Ако претпоставиме дека секоја од нив должи 4 јаболка, тогаш по плаќањето на долгот ќе имаат 1 јаболко. Оваа ситуација одговара на еднаквоста (−7): 2 \u003d −4 (одмор 1).

Ние нема да дадеме никакво значење на поделбата со остатокот од произволен цел број a со негативен цел број, но ќе го оставиме со право да постои.

Теорема на деливост за цели броеви со остаток

Кога зборувавме за поделба на природните броеви со остаток, откривме дека дивидендата a, делител b, нецелосен количник c и остаток d се поврзани со еднаквоста a \u003d b c + d. Цели броеви a, b, c и d ја делат истата врска. Оваа врска е одобрена од следново теорема за делење на остатокот.

Теорема.

Секој интеграл a може да се претстави единствено преку цел број и ненултен број b во форма a \u003d b q + r, каде q и r се некои цели броеви и.

Доказ.

Прво, ја докажуваме можноста да претставуваме a \u003d b q + r.

Ако цели броеви a и b се такви што a е рамномерно деливо со b, тогаш по дефиниција постои цел број q таков што a \u003d b q. Во овој случај, еднаквоста a \u003d bq + r важи за r \u003d 0.

Сега ќе претпоставиме дека b е позитивен цел број. Изберете цел број q така што производот b q не надминува a, а производот b (q + 1) е веќе поголем од a. Тоа е, ние земаме q такво што нееднаквостите b q

Останува да се докаже можноста за претставување на a \u003d b q + r за негативно b.

Бидејќи модулот на бројот b во овој случај е позитивен број, тогаш постои репрезентација, каде q 1 е цел број, а r е цел број што ги задоволува условите. Потоа, земајќи q \u003d −q 1, ја добиваме потребната репрезентација a \u003d b q + r за негативна b.

Преминуваме на доказот за уникатност.

Да претпоставиме дека покрај претставата a \u003d bq + r, q и r се цели броеви и, постои друга претстава a \u003d bq 1 + r 1, каде q 1 и r 1 се некои цели броеви и q 1 q и.

По одземањето од левата и десната страна на првата еднаквост, соодветно, левата и десната страна на втората еднаквост, добиваме 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, што е еквивалентно на еднаквоста r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... Потоа еднаквост на формата , и врз основа на својствата на модулот на број, еднаквоста .

Од условите и можеме да заклучиме дека. Бидејќи q и q 1 се цели броеви и q ≠ q 1, од каде заклучуваме дека ... Од добиените нееднаквости и произлегува дека еднаквоста на формата невозможно под наша претпоставка. Затоа, нема друга претстава за бројот a, освен a \u003d b q + r.

Врски помеѓу дивиденда, делител, нецелосен количник и остаток

Еднаквоста a \u003d b c + d ви овозможува да ја пронајдете непознатата дивиденда a ако го познавате делителот b, нецелосниот количник c и остатокот d. Да погледнеме еден пример.

Пример.

Која е дивидендата ако се дели со цел број −21, се добива нецелосен количник 5 и остаток од 12?

Одлука.

Треба да ја пресметаме дивидендата a кога ќе го знаеме делителот b \u003d −21, делумниот количник c \u003d 5 и остатокот d \u003d 12. Свртувајќи се кон еднаквоста a \u003d b c + d, добиваме a \u003d (- 21) 5 + 12. Набудувајќи, прво ги множиме целите броеви −21 и 5 според правилото за множење на цели броеви со различни знаци, по што додаваме цели броеви со различни знаци: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93.

Одговор:

−93 .

Врските помеѓу дивидендата, делителот, нецелосниот количник и остатокот се изразени и со еднаквости на формата b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b и d \u003d a - b · c. Овие еднаквости овозможуваат пресметување на делител, делумен количник и остаток, соодветно. Честопати треба да го најдеме остатокот од поделба на цел број a со цел број b кога се познати дивидендата, делителот и парцијалниот количник, користејќи ја формулата d \u003d a - b · c. За да избегнеме понатамошни прашања, ајде да погледнеме пример за пресметување на остатокот.

Пример.

Пронајдете го остатокот од делење на цел број −19 со цел број 3 ако знаете дека делумниот количник е −7.

Одлука.

За да го пресметаме остатокот од поделбата, користиме формула на формата d \u003d a - b · c. Од состојбата, ги имаме сите потребни податоци a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Добиваме d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (разликата −19 - (- 21) што ја пресметуваме според правилото на одземање на негативен цел број )

Одговор:

Поделба со остаток на позитивни цели броеви, примери

Како што забележавме повеќе од еднаш, позитивните цели броеви се природни броеви. Затоа, поделбата со остаток на позитивни цели броеви се изведува според сите правила на поделба со остаток од природни броеви. Многу е важно да можете лесно да извршите поделба со остатокот од природните броеви, бидејќи токму ова е основата не само на поделбата на позитивните цели броеви, туку и на основата на сите правила за поделба со остатокот на произволни цели броеви.

Од наша гледна точка, најпогодно е да се изврши долга поделба, овој метод ви овозможува да добиете и нецелосен количник (или само количник) и остаток. Размислете за пример на поделба со остаток на позитивни цели броеви.

Пример.

Поделете 14 671 на 54 со остатокот.

Одлука.

Да ги поделиме овие позитивни цели броеви по колона:

Делумниот количник се покажа 271, а остатокот е 37.

Одговор:

14 671: 54 \u003d 271 (одмор 37).

Правило на поделба со остаток од позитивен цел број со негативен цел број, примери

Дозволете ни да формулираме правило што овозможува извршување на поделба со остаток од позитивен цел број со негативен цел број.

Нецелосниот количник на делење на позитивен цел број a со негативен цел број b е спротивен на нецелосниот количник на делење на a со модулот на b, а остатокот од поделба на a со b е еднаков на остатокот на поделба со.

Од ова правило произлегува дека нецелосниот количник на поделба на позитивен цел број со негативен цел број е не-позитивен цел број.

Ајде да го преработиме најавеното правило во алгоритам за поделба со остатокот од позитивниот цел број со негативен цел број:

• Го делиме модулот на делив со модулот на делителот, добиваме нецелосен количник и остаток. (Ако остатокот е еднаков на нула, тогаш оригиналните броеви се делат без остаток, а според правилото за поделба на цели броеви со спротивни знаци, посакуваниот количник е еднаков на бројот спротивен на количникот на поделба на модулот.)
• Го запишуваме бројот наспроти примениот нецелосен количник, а остатокот. Овие броеви се, соодветно, посакуваниот количник и остатокот од поделбата на оригиналниот позитивен цел број со негативен цел број.

Да дадеме пример за користење на алгоритам за поделба на позитивен цел број со негативен цел број.

Пример.

Поделете го позитивниот цел број 17 со негативниот цел број −5.

Одлука.

Да го користиме алгоритмот на поделба со остатокот од позитивниот цел број со негативниот цел број.

Делење

Спротивно на 3 е −3. Така, посакуваниот парцијален количник на делење 17 со −5 е −3, а остатокот е 2.

Одговор:

17: (- 5) \u003d - 3 (одмор 2).

Пример.

Подели 45 до -15.

Одлука.

Модулите на дивидендата и делителот се 45, соодветно. Бројот 45 се дели со 15 без остаток, додека количникот е 3. Затоа, позитивниот цел број 45 е делив со негативниот цел број −15 без остаток, а количникот е еднаков на спротивниот број 3, односно −3. Навистина, според правилото за поделба на цели броеви со различни знаци, имаме.

Одговор:

45:(−15)=−3 .

Поделба со остаток од негативен цел број со позитивен цел број, примери

Дозволете ни да ја дадеме формулацијата на правилото за поделба со остатокот од негативниот цел број со позитивниот цел број.

За да добиете нецелосен количник c од делење на негативен цел број a со позитивен цел број b, треба да земете спротивност на нецелосниот количник од поделба на модулите на оригиналните броеви и да одземете еден од него, а потоа да го пресметате остатокот d со формулата d \u003d a - b c.

Од ова правило на поделба со остаток произлегува дека нецелосниот количник на поделба на негативен цел број со позитивен цел број е негативен цел број.

Од звучното правило следи алгоритмот на поделба со остатокот од негативниот цел број a со позитивен цел број b:

• Пронајдете ги модулите на дивидендата и делителот.
• Го делиме модулот на делив со модулот на делителот, добиваме нецелосен количник и остаток. (Ако остатокот е нула, тогаш оригиналните цели броеви се делат без остаток, а посакуваниот количник е еднаков на бројот спротивен на количникот на поделба на модулот.)
• Го запишуваме бројот спротивен на добиениот нецелосен количник и од него го одземаме бројот 1. Пресметаниот број е потребен нецелосен количник c од делење на оригиналниот негативен цел број со позитивен цел број.

Дозволете ни да го анализираме решението на примерот, во кој го користиме алгоритмот за напишана поделба со остаток.

Пример.

Пронајдете го нецелосниот количник и остатокот од негативниот цел број -17 поделени со позитивниот цел број 5.

Одлука.

Модулот на дивидендата −17 е 17, а модулот на делителот 5 е 5.

Делење 17 на 5, добиваме нецелосен количник 3 и остаток 2.

Спротивно на 3 е −3. Од −3 одземете: −3−1 \u003d −4. Значи, потребниот нецелосен количник е −4.

Останува да се пресмета остатокот. Во нашиот пример, a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, потоа d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Така, делумниот количник на поделба на негативниот цел -17 со позитивниот цел број 5 е -4, а остатокот е 3.

Одговор:

(−17): 5 \u003d −4 (одмор 3).

Пример.

Поделете го негативниот цел број -1404 со позитивниот цел број 26.

Одлука.

Модулот на дивидендата е 1 404, модулот на делителот е 26.

Поделете 1 404 со 26 со колона:

Бидејќи модулот на дивидендата е поделен со модулот на делителот без остаток, оригиналните цели броеви се делат без остаток, а посакуваниот количник е еднаков на спротивниот од 54, односно −54.

Одговор:

(−1 404):26=−54 .

Правило на поделба со остаток на негативни цели броеви, примери

Ајде да формулираме правило за поделба со остаток од негативни цели броеви.

За да добиете нецелосен количник c од делење на негативен цел број a со цел број негативен број b, треба да го пресметате нецелосниот количник од поделба на модулите на оригиналните броеви и да додадете еден на него, а потоа да го пресметате остатокот d со формулата d \u003d a - b c.

Од ова правило произлегува дека нецелосниот количник на поделба на негативните цели броеви е позитивен цел број.

Да го препишеме наведеното правило како алгоритам за поделба на негативните цели броеви:

• Пронајдете ги модулите на дивидендата и делителот.
• Го делиме модулот на делив со модулот на делителот, добиваме нецелосен количник и остаток. (Ако остатокот е нула, тогаш оригиналните цели броеви се делат без остаток, а посакуваниот количник е еднаков на количникот на поделба на модулот на делителот со модулот на делителот.)
• Додаваме еден на добиениот нецелосен количник, овој број е потребниот нецелосен количник од поделбата на оригиналните негативни цели броеви.
• Остатокот го пресметуваме со формулата d \u003d a - b · c.

Размислете за користење алгоритам за поделба на негативни цели броеви при решавање на пример.

Пример.

Пронајдете го парцијалниот количник и остатокот од негативниот цел број -17 поделени со негативниот цел број -5.

Одлука.

Да ја искористиме соодветната поделба со алгоритам на остатоци.

Модулот на дивидендата е 17, модулот на делителот е 5.

Поделба 17 на 5 дава нецелосен количник 3 и остаток од 2.

Додадете еден во нецелосниот количник 3: 3 + 1 \u003d 4. Затоа, посакуваниот парцијален количник на поделба на −17 со −5 е 4.

Останува да се пресмета остатокот. Во овој пример, a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, потоа d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Значи, нецелосниот количник на делење на негативниот цел -17 со негативниот цел -5 е 4, а остатокот е 3.

Одговор:

(−17): (- 5) \u003d 4 (одмор 3).

Проверка на резултатот од делење на цели броеви со остаток

Откако ќе ги поделите интегралите со остаток, корисно е да го проверите резултатот. Проверката се спроведува во две фази. Во првата фаза, се проверува дали остатокот d е негативен број, а исто така се проверува и состојбата. Ако се исполнети сите услови во првата фаза на верификација, тогаш можете да продолжите во втората фаза на верификација, во спротивно може да се тврди дека е направена грешка некаде за време на поделбата со остаток. Во втората фаза, се проверува валидноста на еднаквоста a \u003d b c + d. Ако оваа еднаквост е точна, тогаш поделбата со остатокот е извршена правилно, во спротивно, некаде е направена грешка.

Да разгледаме решенија за примери во кои се проверува резултатот од поделбата на цели броеви со остаток.

Пример.

Кога го делите бројот −521 со −12, добивте нецелосен количник 44 и остаток од 7, проверете го резултатот.

Одлука. −2 за b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Ние имаме b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Така, еднаквоста a \u003d b c + d е неточна (во нашиот пример, a \u003d −19).

Затоа, поделбата со остатокот е извршена неправилно.