Пар имагинарни линии што се пресекуваат. Која е канонската форма на равенката? Елипса и нејзината канонска равенка

8.3.15. Точката А лежи на линија. Растојание од точката А до рамнината

8.3.16. Напишете равенка за права симетрична на права линија

во однос на авионот .

8.3.17. Составете ги равенките на проекции на рамнина следните линии:

а) ;

б)

во) .

8.3.18. Најдете го аголот помеѓу рамнината и правата:

а) ;

б) .

8.3.19. Најдете точка симетрична точка во однос на рамнината што минува низ линиите:

и

8.3.20. Точката А лежи на линија

Растојание од точка А до права линија еднакви . Најдете ги координатите на точката А.

§ 8.4. КРИВИ ОД ВТОР РЕД

Дозволете ни да воспоставиме правоаголен координатен систем на рамнината и да ја разгледаме општата равенка од вториот степен

при што .

Се нарекува множеството од сите точки во рамнината чии координати ја задоволуваат равенката (8.4.1). криво (линија) втор ред.

За која било крива од втор ред, постои правоаголен координатен систем, наречен канонски, во кој равенката на оваа крива има една од следниве форми:

1) (елипса);

2) (имагинарна елипса);

3) (пар имагинарни линии кои се вкрстуваат);

4) (хипербола);

5) (пар линии што се пресекуваат);

6) (парабола);

7) (пар паралелни прави);

8) (пар имагинарни паралелни линии);

9) (пар линии кои се совпаѓаат).

Се викаат равенките 1) - 9). канонски равенки на криви од втор ред.

Решавање на проблемот за намалување на равенката на крива од втор ред на канонска формавклучува наоѓање канонска равенкакрива и канонски координатен систем. Намалувањето на канонската форма ви овозможува да ги пресметате параметрите на кривата и да ја одредите нејзината локација во однос на оригиналниот координатен систем. Премин од оригиналот правоаголен системкоординати до канонски се врши со ротирање на оските на првобитниот координатен систем околу точката O за некој агол j и последователно паралелно пренесување на координатниот систем.

Инваријанти на кривата од втор ред(8.4.1) се нарекуваат такви функции на коефициентите на неговата равенка, чии вредности не се менуваат кога се движат од еден правоаголен координатен систем во друг од истиот систем.

За крива од втор ред (8.4.1), збирот на коефициентите на квадрат координати

,

детерминанта составена од коефициентите на водечките членови

и одредница од трет ред

се непроменливи.

Вредноста на непроменливите s, d, D може да се користи за одредување на типот и составување на канонската равенка на кривата од втор ред.

Табела 8.1.

Класификација на криви од втор ред врз основа на непроменливи

Елиптична крива		SD<0. Эллипс
		SD>0. имагинарна елипса
		Пар имагинарни линии што се сечат во вистинска точка
Крива од хиперболичен тип		Хипербола
		Пар вкрстувачки линии
Параболична крива		Парабола
		Пар паралелни прави (различни, имагинарни или коинцидираат)

Да ги погледнеме подетално елипсата, хиперболата и параболата.

Елипса(сл. 8.1) е локус на точки во рамнината за која збирот на растојанија до две фиксни точки овој авион, наречен трикови со елипса, е константна вредност (поголема од растојанието помеѓу фокусите). Ова не ја исклучува совпаѓањето на фокусите на елипсата. Ако фокусите се исти, тогаш елипсата е круг.

Полу-збирот на растојанијата од точката на елипсата до нејзините фокуси се означува со a, половина од растојанијата помеѓу фокусите - c. Ако правоаголен координатен систем на рамнината е избран така што фокусите на елипсата се наоѓаат на оската Ox симетрично во однос на потеклото, тогаш во овој координатен систем елипсата е дадена со равенката

, (8.4.2)

повикани канонската равенка на елипсата, каде .

Ориз. 8.1

Со наведениот избор на правоаголен координатен систем, елипсата е симетрична во однос на координатните оски и потеклото. Тоа го нарекуваат оските на симетрија на елипсата секири, а центарот на симетријата е центарот на елипсата. Во исто време, броевите 2а и 2б често се нарекуваат оски на елипсата, а броевите a и b се нарекуваат големои полу-мала оскасоодветно.

Точките на пресек на елипсата со нејзините оски се нарекуваат темињата на елипсата. Темињата на елипсата имаат координати (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Елипса ексцентричностповикан број

Од 0£ c

.

Ова покажува дека ексцентричноста го карактеризира обликот на елипсата: колку е поблиску e до нула, толку повеќе елипсата изгледа како круг; како што e се зголемува, елипсата станува поиздолжена.

Сега ќе покажеме дека афинската класификација на кривите од втор ред е дадена со имињата на самите криви, т.е. дека афините класи на кривите од втор ред се класите:

вистински елипси;

имагинарни елипси;

хипербола;

парови на реални линии што се пресекуваат;

парови на имагинарни (коњугирани) се вкрстуваат;

парови паралелни реални линии;

парови на паралелни имагинарни конјугирани линии;

парови на реални линии кои се совпаѓаат.

Треба да докажеме две изјави:

A. Сите криви со исто име (односно, сите елипси, сите хиперболи итн.) се афино еквивалентни една на друга.

Б. Две криви со различни имиња никогаш не се афини еквивалентни.

Ние го докажуваме тврдењето А. Во Поглавје XV, § 3, веќе беше докажано дека сите елипси се афино еквивалентни на една од нив, имено, круговите и сите хиперболи се хиперболи. Оттука, сите елипси, соодветно, сите хиперболи, се афинилно еквивалентни на едни со други. Сите имагинарни елипси, кои се афино еквивалентни на круг - - 1 со радиус, исто така се афино еквивалентни една на друга.

Да ја докажеме афината еквивалентност на сите параболи. Ќе докажеме уште повеќе, имено дека сите параболи се слични една на друга. Доволно е да се докаже дека параболата дадена во некој координатен систем со нејзината канонска равенка

како парабола

За да го направите ова, ја подложуваме рамнината на трансформација на сличност со коефициент - :

Потоа така што под нашата трансформација кривата

оди во кривина

т.е. во парабола

Q.E.D.

Ајде да продолжиме кон распаѓање на кривините. Во § формулите (9) и (11), стр. 401 и 402) беше докажано дека кривата што се распаѓа на пар линии што се пресекуваат во некој (дури и правоаголен) координатен систем ја има равенката

Вршење дополнителна трансформација на координати

гледаме дека секоја крива што се распаѓа на пар пресечни реални, соодветно, имагинарни конјугирани прави линии, во некој афин координатен систем ја има равенката

Што се однесува до кривите кои се делат на пар паралелни прави, секоја од нив може да биде (дури и во некој правоаголен координатен систем) дадена со равенката

реално, соодветно

за имагинарен, директен. Трансформацијата на координатите ни овозможува да ги ставиме овие равенки (или за линии кои се совпаѓаат).

Се осврнуваме на доказот на тврдењето Б.

Пред сè, забележуваме дека при афина трансформација на рамнина, редоследот на алгебарската крива останува непроменет. Понатаму: секоја распаѓачка крива од втор ред е пар прави, а при афина трансформација, правата преминува во права, пар права што се вкрстуваат преминуваат во пар што се вкрстуваат и пар паралелни во пар на паралелни; покрај тоа, вистинските линии стануваат реални, а имагинарните линии стануваат имагинарни. Ова произлегува од фактот дека сите коефициенти во формулите (3) (Поглавје XI, § 3) кои дефинираат афина трансформација се реални броеви.

Од кажаното произлегува дека правата што е афино еквивалентна на дадена крива од втор ред во распаѓање е истоимената крива на распаѓање.

Преминуваме на кривини кои не се распаѓаат. Повторно, со афина трансформација, вистинската крива не може да оди во имагинарна, и обратно. Затоа, класата на имагинарни елипси е афина непроменлива.

Размислете за класи на реални криви кои не се распаѓаат: елипси, хиперболи, параболи.

Меѓу сите кривини од втор ред, секоја елипса, и само елипса, лежи во некој правоаголник, додека параболите и хиперболите (како и сите криви во распаѓање) се протегаат до бесконечност.

При афина трансформација, правоаголникот ABCD што ја содржи дадената елипса ќе оди во паралелограм што ја содржи трансформираната крива, која, според тоа, не може да оди до бесконечност и, според тоа, е елипса.

Така, кривата афино еквивалентна на елипса е нужно елипса. Од она што е докажано произлегува дека кривата што е афино еквивалентна на хипербола или парабола не може да биде елипса (а, како што знаеме, не може да биде ниту крива во распаѓање. Затоа, останува само да се докаже дека под афина трансформација на рамнината, хиперболата не може да премине во парабола, а напротив, ова веројатно наједноставно произлегува од фактот дека параболата нема центар на симетрија, додека хиперболата има. Но бидејќи отсуството на центар на симетрија за параболата ќе се докаже дури во следното поглавје, сега ќе дадеме втор, исто така многу едноставен доказ афина нееквивалентност на хиперболата и параболата.

Лема. Ако параболата има заеднички точки со секоја од двете полурамнини дефинирани во рамнината на дадена права d, тогаш таа има барем една заедничка точка со правата.

Навистина, видовме дека постои координатен систем во кој дадената парабола ја има равенката

Нека, во однос на овој координатен систем, правата линија d ја има равенката

По претпоставка, има две точки на параболата, од кои едната, претпоставуваме, лежи во позитивната, а другата во негативната полурамнина во однос на равенката (1). Затоа, запомнувајќи дека можеме да пишуваме

За да го илустрирам ова со конкретен пример, ќе ви покажам што одговара во оваа интерпретација со следната изјава: (вистинската или имагинарната) точка P лежи на правата (реална или имагинарна) g. Во овој случај, се разбира, неопходно е да се направи разлика помеѓу следниве случаи:

1) реална точка и реална линија,

2) реална точка и имагинарна линија,

Случај 1) не бара посебно објаснување од нас; овде имаме една од основните релации на обичната геометрија.

Во случајот 2), заедно со дадената имагинарна права, нужно мора да помине низ дадената реална точка, конјугираниот комплекс на линии; следствено, оваа точка мора да се совпадне со темето на снопот зраци што го користиме за да ја претставиме имагинарната линија.

Слично, во случајот 3) вистинската линија мора да биде идентична со поддршката на таа праволиниска инволуција на точките што служи како претставник на дадената имагинарна точка.

Најинтересен случај е 4) (сл. 96): овде, очигледно, сложената конјугирана точка мора да лежи и на сложената конјугирана линија, и оттука произлегува дека секој пар точки од инволуцијата на точките што ја претставуваат точката P мора да лежи на некој пар линии од инволуцијата на правите што ја претставуваат правата линија g, т.е. и двете од овие инволуции мора да бидат лоцирани перспективно една во однос на друга; згора на тоа, излегува дека и стрелките на двете инволуции се ставени во перспектива.

Општо земено, во аналитичката геометрија на рамнината, која обрнува внимание и на сложениот домен, добиваме целосна реална слика за оваа рамнина ако додадеме како нови елементи на множеството од сите негови реални точки и го линиираме множеството на инволутивното. фигури разгледани погоре, заедно со стрелките на нивните насоки. Овде ќе биде доволно ако наведам генерално каков облик би имала изградбата на таква реална слика на сложената геометрија. Притоа, ќе го следам редоследот по кој сега обично се прикажуваат првите предлози за елементарната геометрија.

1) Тие започнуваат со аксиомите на постоењето, чија цел е да дадат точна формулација за присуството на елементите штотуку споменатите во област проширена во споредба со обичната геометрија.

2) Потоа аксиомите за поврзување, кои наведуваат дека и во проширената област дефинирана во точка 1)! една и само една права минува низ (секои) две точки, и таа (било која) две прави имаат една и само една заедничка точка.

Во исто време, исто како што имавме погоре, секој пат треба да разликуваме четири случаи во зависност од тоа дали дадените елементи се реални, и изгледа многу интересно да се размисли кои точно реални конструкции со инволуции на точки и линии служат како слика. на овие сложени односи.

3) Што се однесува до аксиомите на распоредот (редот), овде, во споредба со актуелните односи, на сцена стапуваат сосема нови околности; особено, сите реални и сложени точки што лежат на една фиксна линија, како и сите зраци што минуваат низ една фиксна точка, формираат дводимензионален континуум. На крајот на краиштата, секој од нас научи од проучувањето на теоријата на функции навиката да ја претставува севкупноста на вредностите на сложената променлива по сите точки на рамнината.

4) Конечно, во однос на аксиомите на континуитет, овде само ќе наведам како да се претстават сложените точки што лежат колку што сакате блиску до некоја вистинска точка. За да го направите ова, преку преземената реална точка P (или преку некоја друга реална точка блиску до неа), треба да нацртате права линија и да земете на неа такви два пара точки што се делат една со друга (т.е. лежат на „вкрстен начин „) парови точки (сл. . 97) така што две точки земени од различни парови лежат блиску една до друга и до точката P; ако сега ги споиме точките на неодредено време, тогаш инволуцијата дефинирана со именуваните парови точки дегенерира, т.е. двете нејзини досега сложени двојни точки се совпаѓаат со точката. Секоја од двете имагинарни точки претставени со оваа инволуција (заедно со една или другата стрелка) поминува, па оттука континуирано до некоја точка блиску до P, па дури и директно до P. Се разбира, за да може да се користат овие поими за континуитет за добра употреба, мора да се работи детално со нив.

Иако целата оваа конструкција е прилично гломазна и мачна во споредба со обичната реална геометрија, може да даде неспоредливо повеќе. Особено, тој е способен да подигне на ниво на целосна геометриска јасност алгебарски слики, сфатени како множества од нивните реални и сложени елементи, а со негова помош може јасно да се разберат самите на самите фигури такви теореми како основната теорема на алгебрата. или Безутовата теорема дека два реда на криви имаат, општо земено, точно заеднички точки. За таа цел, би било неопходно, се разбира, да се сфатат основните одредби во многу попрецизна и поилустративна форма отколку што беше направено досега; сепак, литературата веќе го содржи целиот материјал суштински за таквите истражувања.

Но, во повеќето случаи, примената на оваа геометриска интерпретација, со сите нејзини теоретски предности, сепак би довела до такви компликации што треба да се задоволи со нејзината фундаментална можност и всушност да се врати на понаивна гледна точка, која е како што следува: комплексна точка е збир од три сложени координати и со неа може да се оперира на ист начин како и со реалните точки. Навистина, ваквото воведување на имагинарни елементи, воздржувајќи се од какво било фундаментално расудување, отсекогаш се покажало плодно во случаите кога треба да се занимаваме со имагинарни циклични точки или со кругот на сфери. Како што веќе беше споменато, Понселет за прв пат почна да користи имагинарни елементи во оваа смисла; неговите следбеници во овој поглед беа други француски геометри, главно Шал и Дарбу; во Германија, голем број геометри, особено Ли, исто така го примениле ова разбирање на имагинарните елементи со голем успех.

Со оваа дигресија во областа на имагинарното, го завршувам целиот втор дел од мојот курс и се свртувам кон ново поглавје,

Линии од втор ред

рамни линии чии Декартови правоаголни координати задоволуваат алгебарска равенка од 2 степен

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Равенката (*) можеби нема да ја одреди вистинската геометриска слика, но заради општост во такви случаи се вели дека ја одредува имагинарната линеарна претстава. n. Во зависност од вредностите на коефициентите на општата равенка (*), може да се трансформира со паралелно преведување на потеклото и ротација на координатниот систем за одреден агол до една од 9-те канонски форми подолу, од кои секоја одговара на одредена класа на линии. Точно,

нераскинливи линии:

y 2 = 2 px - параболи,

кршење линии:

x 2 - a 2 \u003d 0 - парови паралелни линии,

x 2 + a 2 \u003d 0 - парови имагинарни паралелни линии,

x 2 = 0 - парови на паралелни прави кои се совпаѓаат.

Истражување на поглед Л. во. може да се изврши без да се намали општата равенка на канонска форма. Ова се постигнува со заедничко разгледување на вредностите на т.н. основни инваријанти на Л.в. n. - изрази составени од коефициентите на равенката (*), чии вредности не се менуваат со паралелно преведување и ротирање на координатниот систем:

S \u003d a 11 + a 22,(а иј = а џи).

Така, на пример, елипсите, како линии што не се распаѓаат, се карактеризираат со тоа што за нив Δ ≠ 0; позитивната вредност на непроменливата δ ги разликува елипсите од другите типови линии што не се распаѓаат (за хиперболи δ

Трите главни непроменливи Δ, δ и S го одредуваат LV. (освен случајот на паралелни прави) до движење (види Движење) на Евклидовата рамнина: ако соодветните непроменливи Δ, δ и S на две прави се еднакви, тогаш таквите прави може да се надредени со движење. Со други зборови, овие прави се еквивалентни во однос на групата движења на рамнината (метрички еквивалентни).

Постојат класификации на Л. од гледна точка на други групи на трансформации. Така, релативно поопшто од групата движења - групата афини трансформации (Види Афини трансформации) - кои било две линии дефинирани со равенки од иста канонска форма се еквивалентни. На пример, две слични Л. во. n. (види сличност) се сметаат за еквивалентни. Врски помеѓу различни афини класи на линеарни c.v. ни овозможува да воспоставиме класификација од гледна точка на проективна геометрија (види проективна геометрија), во која елементите во бесконечност не играат посебна улога. Вистински нераспаѓачки Л. во. итн.: елипсите, хиперболите и параболите формираат една проективна класа - класата на реални овални линии (овали). Вистинската овална линија е елипса, хипербола или парабола, во зависност од тоа како се наоѓа во однос на линијата во бесконечност: елипсата ја пресекува неправилната линија на две имагинарни точки, хиперболата на две различни реални точки, параболата ја допира неправилната линија ; има проективни трансформации кои ги преземаат овие линии една во друга. Има само 5 проективна еквивалентни класи на L.v. n. Точно,

недегенерирани линии

(x 1, x 2, x 3- хомогени координати):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - вистински овален,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - имагинарен овален,

дегенерирани линии:

x 1 2 - x 2 2= 0 - пар реални линии,

x 1 2 + x 2 2= 0 - пар имагинарни линии,

x 1 2= 0 - пар реални линии кои се совпаѓаат.

А.Б.Иванов.

Голема советска енциклопедија. - М.: Советска енциклопедија. 1969-1978 .

Погледнете што е „Линии од втор ред“ во другите речници:

Рамнините чии координати на правоаголни точки задоволуваат алгебарска равенка од 2 степен. Меѓу линиите од втор ред се елипси (особено кругови), хиперболи, параболи ... Голем енциклопедиски речник

Рамнините чии координати на правоаголни точки задоволуваат алгебарска равенка од 2 степен. Меѓу линиите од втор ред се елипси (особено кругови), хиперболи, параболи. * * * ЛИНИИ ОД ВТОР ПОРЕД ЛИНИИ ПО ВТОР РЕД,… … енциклопедиски речник

Рамни линии, правоаголни координатите на точките k px ги задоволуваат алгебрите. уринум од 2 степен. Меѓу Л. во. н. елипси (особено кругови), хиперболи, параболи… Природна наука. енциклопедиски речник

Рамна линија, Декартови правоаголни координати за рој задоволуваат алгебарски. равенка од 2 степен Равенката (*) може да не ја одреди вистинската геометриска. слика, но за да се зачува општоста во вакви случаи, велат дека ја одредува ... ... Математичка енциклопедија

Множеството точки на 3-димензионален реален (или сложен) простор, чии координати во Декартовиот систем го задоволуваат алгебарскиот. равенка од 2 степен (*) Равенката (*) може да не ја одреди вистинската геометриска. слики, во такви ... ... Математичка енциклопедија

Овој збор, многу често користен во геометријата на криви линии, има не сосема дефинитивно значење. Кога овој збор се применува на незатворени и неразгранети криви линии, тогаш гранката на кривата значи секоја континуирана индивидуална ... ... Енциклопедиски речник Ф.А. Брокхаус и И.А. Ефрон

Линии од втор ред, два дијаметри, од кои секоја ги преполовува акордите на оваа крива, паралелно со другата. SDs играат важна улога во општата теорија на линии од втор ред. Со паралелна проекција на елипса во кругот на нејзината S. d. ... ...

Прави кои се добиваат со пресекување на десниот кружен конус со рамнини кои не минуваат низ неговото теме. К.с. може да биде од три вида: 1) рамнината за сечење ги пресекува сите генератори на конусот во точките на една од неговата празнина; линија…… Голема советска енциклопедија

Прави кои се добиваат со пресекување на десниот кружен конус со рамнини кои не минуваат низ неговото теме. К.с. може да биде од три вида: 1) рамнината за сечење ги пресекува сите генератори на конусот во точките на една од неговата празнина (сл., а): линија на пресек ... ... Математичка енциклопедија

Дел за геометрија. Основните концепти на алгебарската геометрија се наједноставните геометриски слики (точки, линии, рамнини, кривини и површини од втор ред). Главните средства за истражување во А.г се методот на координати (види подолу) и методите ... ... Голема советска енциклопедија

Книги

• Краток курс по аналитичка геометрија, Ефимов Николај Владимирович. Предмет на изучување на аналитичката геометрија се фигурите, кои во Декартов координати се дадени со равенки од прв или втор степен. На авион, тоа се прави линии и линии од втор ред. ...

Ова е општо прифатената стандардна форма на равенката, кога за неколку секунди станува јасно каков геометриски објект дефинира. Покрај тоа, канонската форма е многу погодна за решавање на многу практични проблеми. Така, на пример, според канонската равенка „рамно“ директно, прво, веднаш е јасно дека ова е права линија, и второ, точката што и припаѓа и векторот на насока се едноставно видливи.

Очигледно, било кој Линија од 1 редпретставува права линија. На вториот кат веќе не чека чувар, туку многу поразновидна дружина од девет статуи:

Класификација на линии од втор ред

Со помош на посебен сет на дејства, секоја равенка на линијата од втор ред се сведува на еден од следниве типови:

(и се позитивни реални броеви)

1) е канонската равенка на елипсата;

2) е канонската равенка на хиперболата;

3) е канонската равенка на параболата;

4) – имагинаренелипса;

5) - пар линии што се пресекуваат;

6) - двојка имагинаренлинии кои се пресекуваат (со единствената реална точка на вкрстување на почетокот);

7) - пар паралелни линии;

8) - двојка имагинаренпаралелни линии;

9) е пар линии што се совпаѓаат.

Некои читатели може да добијат впечаток дека списокот е нецелосен. На пример, во став број 7, равенката го поставува парот директно, паралелно со оската и се поставува прашањето: каде е равенката што ги одредува правите паралелни на y-оската? Одговори не се смета за канон. Правите линии го претставуваат истиот стандарден случај ротиран за 90 степени, а дополнителниот внес во класификацијата е излишен, бидејќи не носи ништо суштински ново.

Така, постојат девет и само девет различни типови линии од втор ред, но во пракса најчести се елипса, хипербола и парабола.

Ајде прво да ја погледнеме елипсата. Како и обично, се фокусирам на оние точки кои се од големо значење за решавање проблеми, а ако ви треба детално изведување на формули, докази за теореми, ве молиме погледнете го, на пример, учебникот на Базилев / Атанасјан или Александров ..

Елипса и нејзината канонска равенка

Правопис.

Канонската равенка на елипса има форма , каде се позитивни реални броеви и . Подоцна ќе ја формулирам дефиницијата за елипса, но засега е време да се одмориме од разговорот и да решиме заеднички проблем:

Како да се изгради елипса?

Да, земете го и само нацртајте го. Задачата е вообичаена, а значителен дел од учениците не се справуваат баш компетентно со цртежот:

Пример 1

Конструирај елипса дадена со равенката

Решение: прво ја доведуваме равенката во канонската форма:

Зошто да се донесе? Една од предностите на канонската равенка е тоа што ви овозможува веднаш да одредите елипсови теми, кои се на точките . Лесно е да се види дека координатите на секоја од овие точки ја задоволуваат равенката.

Во овој случај :


Линиски сегментповикани главната оскаелипса;
линиски сегмент – мала оска;
број повикани полуглавна оскаелипса;
број – полу-мала оска.
во нашиот пример: .

За брзо да замислите како изгледа оваа или онаа елипса, само погледнете ги вредностите на „a“ и „be“ на нејзината канонска равенка.

Сè е во ред, уредно и убаво, но има едно предупредување: го направив цртежот користејќи ја програмата. И можете да цртате со која било апликација. Меѓутоа, во суровата реалност, карирано парче хартија лежи на масата, а глувците танцуваат околу нашите раце. Луѓето со уметнички талент, се разбира, можат да се расправаат, но имате и глувци (иако помали). Не залудно човештвото измислило владетел, компас, транспортер и други едноставни уреди за цртање.

Поради оваа причина, веројатно нема да можеме точно да нацртаме елипса, знаејќи ги само темињата. Сепак во ред, ако елипсата е мала, на пример, со полуоски. Алтернативно, можете да ја намалите скалата и, соодветно, димензиите на цртежот. Но, во општиот случај, многу е пожелно да се најдат дополнителни точки.

Постојат два пристапи за изградба на елипса - геометриски и алгебарски. Не ми се допаѓа градењето со компас и линијар поради краткиот алгоритам и значителниот неред на цртежот. Во случај на итност, ве молиме погледнете го учебникот, но во реалноста е многу порационално да се користат алатките на алгебрата. Од равенката на елипсата на нацртот, брзо изразуваме:

Равенката потоа се дели на две функции:
– го дефинира горниот лак на елипсата;
– го дефинира долниот лак на елипсата.

Секоја елипса е симетрична за координатните оски, како и за потеклото. И тоа е одлично - симетријата е скоро секогаш предвесник на бесплатен. Очигледно, доволно е да се справиме со првата координатна четвртина, па ни треба функција . Предлага да се најдат дополнителни точки со апсциси . Притиснавме три СМС на калкулаторот:

Се разбира, исто така е пријатно што ако се направи сериозна грешка во пресметките, тогаш тоа веднаш ќе стане јасно за време на изградбата.

Обележете точки на цртежот (црвена боја), симетрични точки на другите лаци (сина боја) и внимателно поврзете ја целата компанија со линија:


Подобро е тенко и тенко да се нацрта почетната скица и дури потоа да се изврши притисок врз моливот. Резултатот треба да биде прилично пристојна елипса. Патем, дали би сакале да знаете што е оваа крива?