Аритметичката операција што се изведува последна при пресметување на вредноста на изразот е „главна“.

Односно, ако замените некои (било кои) броеви наместо букви и се обидете да ја пресметате вредноста на изразот, тогаш ако последното дејство е множење, тогаш имаме производ (изразот се разложува на фактори).

Ако последното дејство е собирање или одземање, тоа значи дека изразот не е факторизиран (и затоа не може да се намали).

За да го поправите сами, неколку примери:

Примери:

Решенија:

1. Се надевам дека не брзавте веднаш да пресечете и? Сè уште не беше доволно да се „намалат“ единиците како ова:

Првиот чекор треба да биде да се факторингира:

4. Собирање и одземање на дропки. Доведување на дропки до заеднички именител.

Додавањето и одземањето на обичните дропки е добро позната операција: бараме заеднички именител, ја множиме секоја дропка со факторот што недостасува и ги собираме/одземаме броителите.

Да се ​​потсетиме:

Одговори:

1. Именителот и се копрости, односно немаат заеднички фактори. Според тоа, LCM на овие броеви е еднаков на нивниот производ. Ова ќе биде заедничкиот именител:

2. Тука заедничкиот именител е:

3. Овде, пред сè, ги претвораме мешаните фракции во неправилни, а потоа - според вообичаената шема:

Сосема друго прашање е ако дропките содржат букви, на пример:

Да почнеме едноставно:

а) Именителот не содржи букви

Овде сè е исто како и кај обичните нумерички дропки: наоѓаме заеднички именител, ја множиме секоја дропка со факторот што недостасува и ги собираме/одземаме броителите:

сега во броителот можеш да донесеш слични, доколку ги има, и да ги факторираш:

Пробајте го сами:

Одговори:

б) Именителот содржи букви

Да се ​​потсетиме на принципот на наоѓање заеднички именител без букви:

Пред сè, ги одредуваме заедничките фактори;

Потоа еднаш ги запишуваме сите заеднички фактори;

и множете ги со сите други фактори, а не со заедничките.

За да ги одредиме заедничките фактори на именители, прво ги разложуваме на едноставни фактори:

Ги нагласуваме заедничките фактори:

Сега еднаш ги запишуваме заедничките фактори и на нив ги додаваме сите невообичаени (не подвлечени) фактори:

Ова е заедничкиот именител.

Да се ​​вратиме на буквите. Именители се дадени на ист начин:

Именителот ги разложуваме на фактори;

одредување на заеднички (идентични) множители;

еднаш запишете ги сите заеднички фактори;

Ги множиме со сите други фактори, а не со вообичаените.

Значи, со цел:

1) разградете ги именителите на фактори:

2) утврдете ги заедничките (идентични) фактори:

3) еднаш запишете ги сите заеднички фактори и помножете ги со сите други (не подвлечени) фактори:

Значи заедничкиот именител е тука. Првата дропка мора да се помножи со, втората - со:

Патем, постои еден трик:

На пример: .

Во именителот гледаме исти фактори, само сите со различни показатели. Заеднички именител ќе биде:

до степен

до степен

до степен

во степен.

Ајде да ја комплицираме задачата:

Како да направите дропките да имаат ист именител?

Да се ​​потсетиме на основното својство на дропка:

Никаде не се вели дека истиот број може да се одземе (или додаде) од броителот и именителот на дропка. Затоа што не е вистина!

Видете сами: земете која било дропка, на пример, и додајте некој број на броителот и именителот, на пример, . Што е научено?

Значи, уште едно непоколебливо правило:

Кога носите дропки до заеднички именител, користете само операција за множење!

Но, што треба да се множи за да се добие?

Еве и множете се. И множете се со:

Изразите што не можат да се факторизираат ќе се нарекуваат „елементарни фактори“.

На пример, е елементарен фактор. - Исто. Но - не: се распаѓа на фактори.

Што е со изразувањето? Дали е елементарно?

Не, затоа што може да се факторизира:

(веќе прочитавте за факторизација во темата "").

Значи, елементарните фактори во кои разложувате израз со букви се аналог на едноставните фактори во кои ги разложувате броевите. И ние ќе го направиме истото со нив.

Гледаме дека и двата именители имаат фактор. Ќе оди на заеднички именител во моќта (се сеќавате зошто?).

Умножувачот е елементарен и немаат заедничко, што значи дека првата дропка едноставно ќе треба да се помножи со неа:

Друг пример:

Решение:

Пред да ги множите овие именители во паника, треба да размислите како да ги факторирате? И двајцата претставуваат:

Одлично! Потоа:

Друг пример:

Решение:

Како и обично, ги факторизираме именителите. Во првиот именител, едноставно го ставаме надвор од загради; во втората - разликата на квадратите:

Се чини дека нема заеднички фактори. Но, ако погледнете внимателно, тие се веќе толку слични... А вистината е:

Па ајде да напишеме:

Односно, испадна вака: внатре во заградата, ги заменивме термините, а во исто време, знакот пред дропот се смени во спротивното. Имајте предвид, ќе морате да го правите ова често.

Сега доведуваме до заеднички именител:

Разбрав? Сега да провериме.

Задачи за независно решение:

Одговори:

Овде мора да запомниме уште една работа - разликата на коцките:

Ве молиме имајте предвид дека именителот на втората дропка не ја содржи формулата „квадрат на збирот“! Квадратот на збирот би изгледал вака:

А е таканаречениот нецелосен квадрат на збирот: вториот член во него е производ на првиот и последниот, а не нивниот удвоен производ. Нецелосниот квадрат на збирот е еден од факторите за проширување на разликата на коцките:

Што ако веќе има три дропки?

Да, истото! Пред сè, ќе се погрижиме максималниот број на фактори во именителот да биде ист:

Обрнете внимание: ако ги промените знаците во една заграда, знакот пред дропот се менува во спротивното. Кога ги менуваме знаците во втората заграда, знакот пред дропката повторно е обратен. Како резултат на тоа, тој (знакот пред дропка) не е променет.

Првиот именител го запишуваме во целост во заедничкиот именител, а потоа на него ги додаваме сите фактори кои се уште не се напишани, од вториот, а потоа од третиот (и така натаму, ако има повеќе дропки). Тоа е, тоа оди вака:

Хмм ... Со дропки, јасно е што да се прави. Но, што е со двете?

Едноставно е: знаете како да собирате дропки, нели? Значи, треба да се погрижите дусот да стане дропка! Запомнете: дропка е операција за делење (броителот се дели со именителот, ако одеднаш сте заборавиле). И нема ништо полесно од делење број со. Во овој случај, самиот број нема да се промени, туку ќе се претвори во дропка:

Токму она што е потребно!

5. Множење и делење на дропки.

Па, најтешкиот дел сега заврши. А пред нас е наједноставното, но во исто време и најважното:

Постапка

Која е постапката за пресметување на нумерички израз? Запомнете, земајќи ја предвид вредноста на таков израз:

Дали броевте?

Треба да работи.

Значи, ве потсетувам.

Првиот чекор е да се пресмета степенот.

Вториот е множење и делење. Ако има неколку множење и делење во исто време, можете да ги направите по кој било редослед.

И, конечно, вршиме собирање и одземање. Повторно, по кој било редослед.

Но: изразот во заграда се оценува неправилно!

Ако неколку загради се множат или поделат една со друга, прво го оценуваме изразот во секоја од заградите, а потоа ги множиме или делиме.

Што ако има други загради во заградите? Па, ајде да размислиме: некој израз е напишан во заградите. Што е првото нешто што треба да се направи кога се оценува изразот? Така е, пресметај загради. Па, сфативме: прво ги пресметуваме внатрешните загради, а потоа сè друго.

Значи, редоследот на дејствата за изразот погоре е како што следува (тековното дејство е означено со црвено, односно дејството што го извршувам во моментов):

Во ред, се е едноставно.

Но, тоа не е исто како израз со букви, нели?

Не, исто е! Само наместо аритметички операции потребно е да се прават алгебарски операции, односно операции опишани во претходниот дел: носејќи слични, собирање дропки, намалување на дропки итн. Единствената разлика ќе биде дејството на факторинг полиноми (често го користиме кога работиме со дропки). Најчесто, за факторизација, треба да користите i или едноставно да го извадите заедничкиот фактор од загради.

Обично нашата цел е да претставиме израз како производ или количник.

На пример:

Ајде да го поедноставиме изразот.

1) Прво го поедноставуваме изразот во загради. Таму ја имаме разликата на дропките, а целта ни е да ја претставиме како производ или количник. Значи, ги доведуваме дропките до заеднички именител и додаваме:

Невозможно е дополнително да се поедностави овој израз, сите фактори овде се елементарни (сè уште се сеќавате што значи ова?).

2) Добиваме:

Множење на дропки: што би можело да биде полесно.

3) Сега можете да скратите:

ОК сега е готово. Ништо комплицирано, нели?

Друг пример:

Поедноставете го изразот.

Прво, обидете се сами да го решите, па дури потоа погледнете го решението.

Решение:

Пред сè, да ја дефинираме постапката.

Прво, да ги додадеме дропките во загради, наместо две дропки, ќе испадне една.

Потоа ќе направиме делење на дропки. Па, го додаваме резултатот со последната дропка.

Шематски ќе ги нумерирам чекорите:

Сега ќе го прикажам целиот процес, обојувајќи го тековното дејство со црвено:

1. Доколку има слични, мора веднаш да се донесат. Во кој момент и да имаме слични, пожелно е веднаш да ги донесеме.

2. Истото важи и за редуцирачките дропки: штом се појави можност за намалување, мора да се искористи. Исклучок се дропките што ги собирате или одземате: ако сега ги имаат истите именители, тогаш намалувањето треба да се остави за подоцна.

Еве неколку задачи што треба да ги решите сами:

И вети на самиот почеток:

Одговори:

Решенија (кратко):

Ако се справивте со барем првите три примери, тогаш сметајте дека сте ја совладале темата.

Сега на учење!

КОНВЕРЗИЈА НА ИЗРАЗ. РЕЗИМЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Основни операции за поедноставување:

• Донесување слично: за додавање (намалување) на термини како, треба да ги додадете нивните коефициенти и да го доделите делот со букви.
• Факторизација:вадење на заедничкиот фактор од загради, примена и сл.
• Редукција на фракции: броителот и именителот на дропка може да се помножат или поделат со ист број што не е нула, од кој вредноста на дропката не се менува.
  1) броител и именител факторизираат
  2) ако има заеднички фактори во броителот и именителот, тие може да се пречкртаат.

  ВАЖНО: само множители може да се намалат!

• Собирање и одземање на дропки:
  ;
• Множење и делење на дропки:
  ;

Израз на формата a (m/n), каде што n е некој природен број, m е некој цел број и основата на степенот a е поголема од нула, се нарекува степен со дробен експонент.Покрај тоа, следнава еднаквост е точно. n√(a m) = a (m/n) .

Како што веќе знаеме, броевите од формата m/n, каде што n е некој природен број, а m е некој цел број, се нарекуваат дробни или рационални броеви. Од горенаведеното, добиваме дека степенот е дефиниран, за кој било рационален експонент и секоја позитивна основа на степенот.

За кои било рационални броеви p,q и кои било a>0 и b>0, следните еднаквости се вистинити:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p): (b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Овие својства се широко користени при конвертирање на различни изрази кои содржат степени со фракциони експоненти.

Примери на трансформации на изрази кои содржат степен со фракционен експонент

Ајде да погледнеме неколку примери кои покажуваат како овие својства може да се користат за трансформирање на изрази.

1. Пресметај 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Пресметај 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Пресметај (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Пресметај 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Пресметај (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Поедноставете го изразот ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Пресметај (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Поедностави го изразот

• (а (1/3) - а (7/3))/(а (1/3) - а (4/3)) - (а (-1/3) - а (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (а (1/3) - а (7/3))/(а (1/3) - а (4/3)) - (а (-1/3) - а (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((а (1/3))*(1-а 2))/((а (1/3))*(1-а)) - ((а (-1/3))*(1- а 2))/ ((а (-1/3))*(1+а)) =
• = 1 + а - (1-а) = 2*а.

Како што можете да видите, користејќи ги овие својства, можете многу да поедноставите некои изрази што содржат степени со фракциони експоненти.

Ајде да ја разгледаме темата за трансформирање на изразите со моќи, но прво ќе се задржиме на голем број трансформации што можат да се извршат со какви било изрази, вклучително и со моќни. Ќе научиме како да отвораме загради, да даваме слични термини, да работиме со основата и експонентот, да ги користиме својствата на степените.

Што се изрази на моќ?

Во училишниот курс, малку луѓе ја користат фразата „изрази на моќ“, но овој термин постојано се наоѓа во збирките за подготовка за испит. Во повеќето случаи, фразата означува изрази кои содржат степени во нивните записи. Ова е она што ќе го одразиме во нашата дефиниција.

Дефиниција 1

Израз на моќе израз кој содржи степени.

Даваме неколку примери на изрази на моќ, почнувајќи од степен со природен експонент и завршувајќи со степен со реален експонент.

Наједноставните изрази на моќ може да се сметаат за моќи на број со природен експонент: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Како и моќи со нулта експонент: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И моќи со негативни цели броеви: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Малку е потешко да се работи со степен кој има рационални и ирационални експоненти: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Индикаторот може да биде променлива 3 x - 54 - 7 3 x - 58 или логаритам x 2 l g x − 5 x l g x.

Се занимававме со прашањето што се изразите на моќ. Сега да ги трансформираме.

Главните видови трансформации на изрази на моќ

Пред сè, ќе ги разгледаме основните идентитетски трансформации на изразите што можат да се изведат со изрази на моќ.

Пример 1

Пресметајте ја вредноста на изразот на моќноста 2 3 (4 2 − 12).

Решение

Сите трансформации ќе ги извршиме во согласност со редоследот на дејствијата. Во овој случај, ќе започнеме со извршување на дејствата во загради: ќе го замениме степенот со дигитална вредност и ќе ја пресметаме разликата помеѓу двата броја. Ние имаме 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Останува да го замениме степенот 2 3 неговото значење 8 и пресметајте го производот 8 4 = 32. Еве го нашиот одговор.

Одговор: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Поедноставете го изразувањето со моќи 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Решение

Изразот што ни е даден во состојбата на проблемот содржи слични термини, кои можеме да ги донесеме: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Одговор: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Пример 3

Изрази израз со сили 9 - b 3 · π - 1 2 како производ.

Решение

Да го претставиме бројот 9 како моќ 3 2 и примени ја скратената формула за множење:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Одговор: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

И сега да преминеме на анализа на идентични трансформации кои можат да се применат конкретно на изразите на моќ.

Работа со база и експонент

Степенот во основата или експонентот може да има броеви, променливи и некои изрази. На пример, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7И . Тешко е да се работи со такви записи. Многу е полесно да се замени изразот во основата на степенот или изразот во експонентот со идентично еднаков израз.

Трансформациите на степенот и индикаторот се вршат според правилата што ни се познати одделно едни од други. Најважно е што како резултат на трансформациите се добива израз кој е идентичен со оригиналниот.

Целта на трансформациите е да се поедностави оригиналниот израз или да се добие решение за проблемот. На пример, во примерот што го дадовме погоре, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 можете да извршите операции за да отидете до степен 4 , 1 1 , 3 . Отворајќи ги заградите, можеме да донесеме слични термини во основата на степенот (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)и добијте израз на моќ од поедноставен облик a 2 (x + 1).

Користење на својствата на моќност

Својствата на степените, напишани како еднаквости, се една од главните алатки за трансформирање на изразите со степени. Овде ги презентираме главните, со оглед на тоа аИ бсе некои позитивни бројки, и рИ с- произволни реални броеви:

Дефиниција 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (а б) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Во случаи кога се работи за природни, целобројни, позитивни експоненти, ограничувањата на броевите a и b може да бидат многу помалку строги. Така, на пример, ако ја земеме предвид еднаквоста a m a n = a m + n, Каде мИ nсе природни броеви, тогаш тоа ќе биде точно за сите вредности на a, и позитивни и негативни, како и за a = 0.

Можете да ги примените својствата на степените без ограничувања во случаи кога основите на степените се позитивни или содржат променливи чиј опсег на прифатливи вредности е таков што основите земаат само позитивни вредности на него. Всушност, во рамките на училишната програма по математика, задачата на ученикот е да го избере соодветното својство и правилно да го примени.

Кога се подготвувате за прием на универзитети, може да има задачи во кои неточната примена на својствата ќе доведе до стеснување на ОДЗ и други тешкотии со решението. Во овој дел, ќе разгледаме само два такви случаи. Повеќе информации за темата може да најдете во темата „Трансформирање на изрази со помош на својства на експонент“.

Пример 4

Претстави го изразот а 2, 5 (а 2) - 3: а - 5, 5како диплома со основа а.

Решение

За почеток, го користиме својството за степенување и го трансформираме вториот фактор користејќи го (а 2) - 3. Потоа ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Одговор: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Трансформацијата на изразите на моќта според својството на степени може да се изврши и од лево кон десно и во спротивна насока.

Пример 5

Најдете ја вредноста на изразот за моќност 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Ако ја примениме еднаквоста (а б) r = a r b r, од десно кон лево, потоа добиваме производ од формата 3 7 1 3 21 2 3 и потоа 21 1 3 21 2 3 . Ајде да ги собереме експонентите кога множиме моќи со исти основи: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Постои уште еден начин да се направат трансформации:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Одговор: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Пример 6

Даден израз на моќ a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, внесете нова променлива t = a 0, 5.

Решение

Замислете го степенот а 1, 5Како а 0, 5 3. Користење на својството степен во степен (a r) s = a r sод десно кон лево и добијте (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Во добиениот израз, можете лесно да внесете нова променлива t = a 0, 5: добие t 3 − t − 6.

Одговор: t 3 − t − 6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Обично се занимаваме со две варијанти на изрази на моќ со дропки: изразот е дропка со степен или содржи таква дропка. Сите основни трансформации на дропки се применливи за такви изрази без ограничувања. Тие можат да се намалат, да се доведат до нов именител, да работат одделно со броителот и именителот. Ајде да го илустрираме ова со примери.

Пример 7

Поедноставете го изразот за моќност 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Решение

Имаме работа со дропка, па ќе извршиме трансформации и во броителот и во именителот:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ставете минус пред дропката за да го промените знакот на именителот: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Одговор: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Дропките што содржат сили се сведуваат на нов именител на ист начин како рационалните дропки. За да го направите ова, треба да пронајдете дополнителен фактор и да ги помножите броителот и именителот на дропката со него. Неопходно е да се избере дополнителен фактор на таков начин што тој да не исчезне за никакви вредности на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример 8

Доведете ги дропките до нов именител: а) a + 1 a 0, 7 до именителот а, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 до именителот x + 8 y 1 2 .

Решение

а) Избираме фактор што ќе ни овозможи да се сведеме на нов именител. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,затоа како дополнителен фактор земаме а 0, 3. Опсегот на дозволени вредности на променливата a го вклучува множеството на сите позитивни реални броеви. Во оваа област, степенот а 0, 3не оди на нула.

Ајде да ги помножиме броителот и именителот на дропка со а 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Обрнете внимание на именителот:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Помножете го овој израз со x 1 3 + 2 · y 1 6 , добиваме збир на коцки x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Ова е нашиот нов именител, на кој треба да ја доведеме оригиналната дропка.

Така најдовме дополнителен фактор x 1 3 + 2 · y 1 6 . На опсегот на прифатливи вредности на променливи xИ yизразот x 1 3 + 2 y 1 6 не исчезнува, така што можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Одговор:а) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Пример 9

Намали ја дропот: а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Решение

а) Користете го најголемиот заеднички именител (GCD) со кој броителот и именителот може да се намалат. За броевите 30 и 45, ова е 15. Можеме и да намалиме x 0, 5 + 1и на x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Добиваме:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

б) Овде присуството на идентични фактори не е очигледно. Ќе треба да извршите некои трансформации за да ги добиете истите фактори во броителот и именителот. За да го направите ова, го прошируваме именителот користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Одговор:а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Основните операции со дропки вклучуваат намалување на нов именител и намалување на дропки. Двете дејства се вршат во согласност со голем број правила. При собирање и одземање дропки, дропките прво се сведуваат на заеднички именител, по што се вршат дејства (собирање или одземање) со броители. Именителот останува ист. Резултатот од нашите дејства е нова дропка, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот.

Пример 10

Направете ги чекорите x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Да почнеме со одземање на дропките што се во загради. Да ги доведеме до заеднички именител:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Да ги одземеме броителите:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Сега множиме дропки:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Да намалиме за некој степен x 1 2, добиваме 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Дополнително, можете да го поедноставите изразот на моќност во именителот користејќи ја формулата за разликата на квадратите: квадрати: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Одговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Поедноставете го изразот на моќност x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Можеме да ја намалиме дропот за (x 2 , 7 + 1) 2. Добиваме дропка x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Да продолжиме со трансформациите на x моќи x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Сега можете да го користите својството поделба на моќноста со истите основи: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Поминуваме од последниот производ до дропот x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Одговор: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Во повеќето случаи, попогодно е да се префрлат множители со негативни показатели од броителот на именителот и обратно со менување на знакот на експонентот. Оваа акција ја поедноставува понатамошната одлука. Да дадеме пример: изразот за моќност (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 може да се замени со x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Во задачите, постојат изрази на моќ кои содржат не само степени со фракциони експоненти, туку и корени. Пожелно е таквите изрази да се сведат само на корени или само на моќи. Преминот кон степени се претпочита, бидејќи е полесна за работа. Таквата транзиција е особено поволна кога DPV на променливите за оригиналниот израз ви овозможува да ги замените корените со моќи без да мора да пристапите до модулот или да го поделите DPV на неколку интервали.

Пример 12

Изрази го изразот x 1 9 x x 3 6 како моќност.

Решение

Валиден опсег на променлива xсе определува со две неравенки x ≥ 0и x · x 3 ≥ 0 , кои го дефинираат множеството [ 0 , + ∞) .

На овој сет, имаме право да се движиме од корени кон моќи:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Користејќи ги својствата на степените, го поедноставуваме добиениот израз на моќност.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Одговор: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Конвертирање моќи со променливи во експонентот

Овие трансформации се прилично едноставни за правење ако правилно ги користите својствата на степенот. На пример, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Можеме да го замениме производот на степенот, во однос на кој се наоѓа збирот на некоја променлива и број. На левата страна, ова може да се направи со првиот и последниот термин од левата страна на изразот:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Сега да ги поделиме двете страни на равенката со 7 2 x. Овој израз на ODZ на променливата x зема само позитивни вредности:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Да ги намалиме дропките со моќи, добиваме: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Конечно, односот на моќи со исти експоненти се заменува со моќи на соодноси, што доведува до равенката 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , што е еквивалентно на 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Да воведеме нова променлива t = 5 7 x , која го намалува решението на првобитната експоненцијална равенка на решението на квадратната равенка 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Конвертирање на изрази со моќи и логаритми

Во проблемите се среќаваат и изрази кои содржат моќи и логаритми. Примери за такви изрази се: 1 4 1 - 5 log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Трансформацијата на таквите изрази се врши со користење на пристапите дискутирани погоре и својствата на логаритмите, кои детално ги анализиравме во темата „Трансформација на логаритамски изрази“.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Изрази, конверзија на изрази

Моќни изрази (изрази со моќи) и нивна трансформација

Во оваа статија ќе зборуваме за трансформирање на изразите со моќи. Прво, ќе се фокусираме на трансформациите што се изведуваат со изрази од секаков вид, вклучувајќи изрази на моќ, како што се отворање загради, намалување на слични термини. И тогаш ќе ги анализираме трансформациите својствени конкретно во изразите со степени: работа со основата и експонентот, користејќи ги својствата на степени итн.

Навигација на страницата.

Што се изрази на моќ?

Терминот „изрази на моќ“ практично не се наоѓа во училишните учебници по математика, но често се појавува во збирки проблеми, особено дизајнирани да се подготват за обединет државен испит и OGE, на пример,. По анализата на задачите во кои се бара да се извршат какви било дејства со изрази на моќ, станува јасно дека изразите за моќ се сфаќаат како изрази што содржат степени во нивните записи. Затоа, за себе, можете да ја земете следната дефиниција:

Дефиниција.

Моќни изразисе изрази кои содржат моќи.

Ајде да донесеме примери на изрази на моќ. Притоа, ќе ги претставиме според тоа како се одвива развојот на ставовите за од степен со природен индикатор до степен со реален индикатор.

Како што знаете, прво се запознавате со степенот на број со природен експонент, во оваа фаза првите наједноставни изрази на моќност од типот 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 итн.

Малку подоцна се проучува моќта на број со цел број експонент, што доведува до појава на изрази на моќ со негативни цели броеви, како што е следново: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Во постарите паралелки повторно се враќаат на дипломите. Таму се воведува степен со рационален експонент, што доведува до појава на соодветните изрази на моќ: , , и така натаму. Конечно, се разгледуваат степени со ирационални експоненти и изрази што ги содржат: , .

Материјата не е ограничена на наведените изрази за моќност: понатаму променливата продира во експонентот, а има, на пример, такви изрази 2 x 2 +1 или . И по запознавањето почнуваат да се појавуваат изрази со моќи и логаритми, на пример, x 2 lgx −5 x lgx.

Значи, го сфативме прашањето што се изразите на моќ. Следно, ќе научиме како да ги трансформираме.

Главните видови трансформации на изрази на моќ

Со изрази за моќ, можете да извршите било кое од основните идентични трансформации на изразите. На пример, можете да отворите загради, да ги замените нумеричките изрази со нивните вредности, да додавате слични термини итн. Секако, во овој случај потребно е да се усогласат со прифатените редослед на дејствија. Да дадеме примери.

Пример.

Пресметај ја вредноста на изразот за моќност 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според редоследот на дејствата, прво ги извршуваме дејствата во загради. Таму, прво, ја заменуваме моќноста на 4 2 со нејзината вредност 16 (види ако е потребно), и второ, ја пресметуваме разликата 16−12=4 . Ние имаме 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Во добиениот израз ја заменуваме моќноста на 2 3 со неговата вредност 8, по што го пресметуваме производот 8·4=32. Ова е саканата вредност.

Значи, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Одговор:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Пример.

Поедноставување на моќните изрази 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очигледно, овој израз содржи како термини 3 a 4 b −7 и 2 a 4 b −7 , и можеме да ги намалиме: .

Одговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз со моќи како производ.

Решение.

За да се справат со задачата овозможуваат претставување на бројот 9 како моќност од 3 2 и последователна употреба скратени формули за множењеразлика на квадрати:

Одговор:

Исто така, постојат голем број на идентични трансформации својствени за изразите на моќ. Следно, ќе ги анализираме.

Работа со база и експонент

Постојат степени, чиишто основа и/или индикатор не се само бројки или променливи, туку некои изрази. Како пример, да напишеме (2+0,3 7) 5−3,7 и (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Кога се работи со слични изрази, и изразот во основата на степенот и изразот во експонентот може да се заменат со идентично еднаков израз на ОДЗнеговите променливи. Со други зборови, според правилата што ни се познати, можеме одделно да ја конвертираме основата на степенот, а одделно - индикаторот. Јасно е дека како резултат на оваа трансформација се добива израз кој е идентично еднаков на оригиналниот.

Ваквите трансформации ни овозможуваат да ги поедноставиме изразите со моќ или да постигнеме други цели што ни се потребни. На пример, во изразот за моќност (2+0,3 7) 5−3,7 споменат погоре, можете да извршите операции со броеви во основата и експонентот, што ќе ви овозможи да отидете на моќноста од 4,1 1,3. И откако ќе ги отвориме заградите и ќе донесеме слични термини во основата на степенот (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) добиваме израз на моќност од поедноставен од 2·(x+1) ) .

Користење на својствата на моќност

Една од главните алатки за трансформација на изразите со моќи се еднаквостите кои се одразуваат. Да се ​​потсетиме на главните. За сите позитивни броеви a и b и произволни реални броеви r и s, важат следните својства на моќност:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (а б) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Забележете дека за природни, целобројни и позитивни експоненти, ограничувањата на броевите a и b можеби не се толку строги. На пример, за природните броеви m и n, еднаквоста a m ·a n =a m+n е точно не само за позитивните a , туку и за негативните и за a=0 .

На училиште, главното внимание во трансформацијата на изразите на моќта е насочено токму на способноста да се избере соодветното својство и правилно да се примени. Во овој случај, основите на степените се обично позитивни, што ви овозможува да ги користите својствата на степените без ограничувања. Истото важи и за трансформацијата на изразите што содржат променливи во основите на степени - опсегот на прифатливи вредности на променливите обично е таков што базите земаат само позитивни вредности на него, што ви овозможува слободно да ги користите својствата на степени. Во принцип, треба постојано да се прашувате дали е можно да се примени било кое својство на степени во овој случај, бидејќи неточната употреба на својствата може да доведе до стеснување на DPV и други проблеми. Овие точки се дискутирани во детали и со примери во статијата. трансформација на изрази со користење на својствата на степени. Овде ќе се ограничиме на неколку едноставни примери.

Пример.

Изразете го изразот a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 како моќност со основа a .

Решение.

Прво, го трансформираме вториот фактор (a 2) −3 со својството на подигање на моќност до моќност: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Во овој случај, изразот за почетна моќност ќе има форма a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очигледно, останува да ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа, имаме
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Одговор:

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Својствата на моќ се користат при трансформација на изрази на моќ и од лево кон десно и од десно кон лево.

Пример.

Најдете ја вредноста на изразот за моќност.

Решение.

Еднаквоста (a·b) r =a r ·b r, применета од десно кон лево, ви овозможува да преминете од оригиналниот израз до производот на формата и понатаму. И кога се множат силите со иста основа, индикаторите се собираат: .

Беше можно да се изврши трансформацијата на оригиналниот израз на друг начин:

Одговор:

.

Пример.

Со израз на моќност a 1,5 −a 0,5 −6, внесете нова променлива t=a 0,5 .

Решение.

Степенот a 1,5 може да се претстави како 0,5 3 и понатаму врз основа на својството на степенот во степенот (a r) s =a r s применет од десно кон лево, да се претвори во форма (a 0,5) 3 . Така, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Сега е лесно да се воведе нова променлива t=a 0,5 , добиваме t 3 −t−6 .

Одговор:

t 3 −t−6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Моќните изрази може да содржат дропки со моќи или да претставуваат такви дропки. На таквите фракции, која било од главните конверзии на фракции, кои се својствени за дропки од секаков вид. Односно, дропките што содржат степени можат да се редуцираат, да се сведат на нов именител, да работат одделно со нивниот броител и одделно со именителот итн. За да ги илустрирате горенаведените зборови, разгледајте ги решенијата на неколку примери.

Пример.

Поедноставување на изразување моќ .

Решение.

Овој израз на моќ е дропка. Ајде да работиме со неговиот броител и именител. Во броителот ги отвораме заградите и го поедноставуваме изразот добиен после тоа користејќи ги својствата на моќите, а во именителот прикажуваме слични термини:

И, исто така, го менуваме знакот на именителот со ставање минус пред дропката: .

Одговор:

.

Намалувањето на дропките што содржат моќи на нов именител се врши слично како и намалувањето на рационалните дропки на нов именител. Во исто време, се наоѓа и дополнителен фактор и со него се множат броителот и именителот на дропката. При извршување на оваа акција, вреди да се запамети дека намалувањето на нов именител може да доведе до стеснување на DPV. За да се спречи тоа да се случи, неопходно е дополнителниот фактор да не исчезне за ниту една вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример.

Доведете ги дропките до нов именител: а) до именителот a, b) до именителот.

Решение.

а) Во овој случај, сосема е лесно да се открие кој дополнителен фактор помага да се постигне посакуваниот резултат. Ова е фактор 0,3 бидејќи 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Забележете дека во опсегот на прифатливи вредности на променливата a (ова е множество од сите позитивни реални броеви), степенот a 0,3 не исчезнува, затоа, имаме право да ги помножиме броителот и именителот на дадената дропка од овој дополнителен фактор:

б) Гледајќи повнимателно на именителот, го откриваме тоа

и множејќи го овој израз со ќе се добие збир на коцки и , односно . И ова е новиот именител на кој треба да ја доведеме оригиналната дропка.

Така, најдовме дополнителен фактор. Изразот не исчезнува во опсегот на прифатливи вредности на променливите x и y, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:

Одговор:

А) , б) .

Исто така, нема ништо ново во намалувањето на дропките што содржат степени: броителот и именителот се претставени како одреден број множители, а истите множители на броителот и именителот се намалуваат.

Пример.

Намали ја дропката: а) , б).

Решение.

а) Прво, броителот и именителот може да се намалат за броевите 30 и 45, што е еднакво на 15. Исто така, очигледно, можете да намалите за x 0,5 +1 и за . Еве што имаме:

б) Во овој случај, истите фактори во броителот и именителот не се веднаш видливи. За да ги добиете, треба да извршите прелиминарни трансформации. Во овој случај, тие се состојат во разложување на именителот на фактори според формулата за разлика од квадрати:

Одговор:

А)

б) .

Намалувањето на дропките на нов именител и намалувањето на дропките главно се користи за извршување операции на дропки. Дејствата се вршат според познати правила. При собирање (одземање) дропки тие се сведуваат на заеднички именител, по што броителите се собираат (одземаат), а именителот останува ист. Резултатот е дропка чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот. Поделбата со дропка е множење со нејзината реципрочна.

Пример.

Следете ги чекорите .

Решение.

Прво, ги одземаме дропките во загради. За да го направите ова, ги доведуваме до заеднички именител, што е , потоа одземете ги броителите:

Сега множиме дропки:

Очигледно, можно е намалување за моќноста x 1/2, по што имаме .

Можете исто така да го поедноставите изразот на моќност во именителот со користење на формулата за разлика од квадрати: .

Одговор:

Пример.

Поедноставување на изразување моќ .

Решение.

Очигледно, оваа дропка може да се намали за (x 2,7 +1) 2, ова ја дава дропот . Јасно е дека нешто друго треба да се направи со моќите на x. За да го направите ова, ние ја претвораме добиената фракција во производ. Ова ни дава можност да го користиме имотот на поделба на моќите со исти основи: . И на крајот од процесот, поминуваме од последниот производ до фракцијата.

Одговор:

.

И додаваме дека е можно и во многу случаи пожелно да се префрлат факторите со негативни показатели од броителот на именителот или од именителот на броителот со промена на знакот на експонентот. Ваквите трансформации често ги поедноставуваат понатамошните активности. На пример, изразот за моќ може да се замени со .

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Често во изразите во кои се потребни некои трансформации, заедно со степени со фракциони експоненти, има и корени. За да се претвори таков израз во посакуваната форма, во повеќето случаи доволно е да се оди само на корени или само на моќи. Но, бидејќи е попогодно да се работи со степени, тие обично се движат од корени до степени. Сепак, препорачливо е да се изврши таква транзиција кога ODZ на променливите за оригиналниот израз ви дозволува да ги замените корените со степени без потреба да пристапите до модулот или да го поделите ODZ на неколку интервали (детално го дискутиравме ова во член, премин од корени кон моќи и обратно По запознавањето со степенот со рационален експонент се воведува степен со ирационален индикатор, што овозможува да се зборува за степен со произволен реален индикатор. Во оваа фаза, училиштето почнува да учи експоненцијална функција, кој е аналитички даден со степенот, во чија основа има број, а во индикаторот - променлива. Значи, се соочуваме со изрази на моќност кои содржат броеви во основата на степенот, а во експонентот - изрази со променливи, и природно се наметнува потребата да се извршат трансформации на таквите изрази.

Треба да се каже дека трансформацијата на изразите од посочениот тип обично треба да се изврши при решавање експоненцијални равенкиИ експоненцијални неравенки, и овие трансформации се прилично едноставни. Во огромното мнозинство на случаи, тие се засноваат на својствата на степенот и се насочени најмногу кон воведување нова променлива во иднина. Равенката ќе ни овозможи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Прво, експонентите, во чии експоненти се наоѓа збирот на некоја променлива (или израз со променливи) и број, се заменуваат со производи. Ова се однесува на првиот и последниот термин на изразот од левата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Следно, двете страни на еднаквоста се поделени со изразот 7 2 x, кој зема само позитивни вредности на променливата ODZ x за оригиналната равенка (ова е стандардна техника за решавање равенки од овој вид, не зборуваме за сега, затоа фокусирајте се на последователните трансформации на изразите со моќи):

Сега дропките со моќи се откажани, што дава .

Конечно, односот на моќи со исти експоненти се заменува со моќи на соодноси, што доведува до равенката , што е еквивалентно на . Направените трансформации ни овозможуваат да воведеме нова променлива, која го намалува решението на оригиналната експоненцијална равенка на решението на квадратната равенка

И. В. Бојков, Л. Д. РомановаЗбирка задачи за подготовка за испит. Дел 1. Пенза 2003 година.