Равенки според теоремата на Питагора. Методи за докажување на Питагоровата теорема. Слични геометриски форми на три страни

Бидете сигурни дека триаголникот што ви е даден е прав агол, бидејќи теоремата на Питагора се однесува само на триаголниците под прав агол. Во триаголниците под прав агол, еден од трите агли е секогаш 90 степени.

• Правиот агол во правоаголен триаголник е означен со икона на квадрат, а не со крива, што е коси агол.

Додадете упатства за страните на триаголникот. Нозете означете ги како „а“ и „б“ (нозе - страни што се пресекуваат под прав агол), а хипотенузата како „в“ (хипотенуза - најголема страна правоаголен триаголниклежи спроти прав агол).

Одреди која страна од триаголникот сакате да ја пронајдете. Питагоровата теорема ви овозможува да пронајдете која било страна од правоаголен триаголник (ако се познати другите две страни). Определете која страна (a, b, c) треба да ја пронајдете.

• На пример, дадена е хипотенуза еднаква на 5 и дадена е нога еднаква на 3. Во овој случај, пронајдете ја втората нога. Thisе се вратиме на овој пример подоцна.
• Ако другите две страни се непознати, потребно е да се најде должината на една од непознатите страни за да може да се примени Питагоровата теорема. За да го направите ова, користете го основното тригонометриски функции (ако ви е дадена вредност на еден од коси агли).

Заменете ги во формулата a 2 + b 2 \u003d c 2 вредностите што ги давате (или вредностите што ги најдовте). Запомнете дека a и b се нозе и c е хипотенуза.

• Во нашиот пример, напишете: 3² + b² \u003d 5².

Плоштад на секоја страна што ја знаете. Или оставете ги степени - подоцна можете да ги квадрирате броевите.

• Во нашиот пример, напишете: 9 + b² \u003d 25.

Изолирајте ја непознатата страна од едната страна на равенката. За да го направите ова, пренесете ги познатите вредности на другата страна на равенката. Ако ја пронајдете хипотенузата, тогаш во Питагоровата теорема таа е веќе изолирана од едната страна на равенката (така што ништо не треба да се прави).

• Во нашиот пример, поместете 9 на десната страна од равенката за да го изолирате непознатото b². Getе добиете b² \u003d 16.

Екстракт квадратен корен од двете страни на равенката. Во оваа фаза, од едната страна на равенката има непозната (на квадрат), а од другата страна има слободен термин (број).

• Во нашиот пример, b² \u003d 16. Земете го квадратниот корен од обете страни на равенката и добијте b \u003d 4. Значи, втората нога е 4 .

Користете ја Питагоровата теорема во вашиот секојдневен живот, бидејќи може да се примени во широк спектар на практични ситуации. За да го направите ова, научете да препознавате правоаголни триаголници во секојдневниот живот - во секоја ситуација во која два предмети (или линии) се сечат под прав агол, а третиот објект (или линијата) ги поврзува (дијагонално) врвовите на првите два предмети (или линии), можете користете ја Питагоровата теорема за да ја пронајдете непознатата страна (ако се познати другите две страни).

• Пример: дадено е скалило потпрено на зграда. Дното на скалите е на 5 метри од основата на идот. Врвот на скалите е на 20 метри од земјата (горе до wallидот). Колку се скалите?
  • „5 метри од основата на theидот“ значи дека a \u003d 5; „Дали е 20 метри од земјата“ значи дека b \u003d 20 (т.е. ви се дадени две нозе од правоаголен триаголник, бидејќи wallидот на зградата и површината на Земјата се сечат под прав агол). Должината на скалата е должината на хипотенузата, која е непозната.
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) ² + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c²
    • 425 \u003d c²
    • c \u003d √425
    • c \u003d 20,6. Значи, приближната должина на скалилата е 20,6 метри.

Во Питагоровата теорема се вели:

Во правоаголен триаголник, збирот на квадратите на нозете е еднаков на квадратот на хипотенузата:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

• а и б - нозете формираат прав агол.
• од - хипотенузата на триаголникот.

Формули на Питагоровата теорема

• a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Доказ за Питагоровата теорема

Областа на правоаголен триаголник се пресметува со формулата:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

За да се пресмета плоштината на произволен триаголник, формулата за површина е:

• стр - полу-периметар. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
• р Дали е радиус на впишаниот круг. За правоаголник r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Потоа ги изедначуваме десните страни на двете формули за плоштина на триаголник:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ лево ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ десно)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Обратна теорема на Питагора:

Ако квадратот од едната страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни, тогаш триаголникот е правоаголен. Тоа е, за секоја тројка на позитивни броеви а, б и втакви што

a 2 + b 2 \u003d c 2,

има правоаголен триаголник со нозе а и б и хипотенуза в.

Питагорова теорема - една од основните теореми на евклидовата геометрија, воспоставувајќи ја врската помеѓу страните на правоаголниот триаголник. Тоа го докажа научникот математичар и филозоф Питагора.

Значењето на теоремата со тоа што може да се искористи за докажување други теореми и решавање на проблеми.

Дополнителен материјал:

Питагорова теорема: Збирот на површините на плоштадите потпрени на нозете ( а и б), е еднаква на површината на плоштадот изграден на хипотенузата ( в).

Геометриска формулација:

Првично, теоремата беше формулирана како што следува:

Алгебарска формулација:

Тоа е, означување на должината на хипотенузата на триаголник со в , и должините на нозете низ а и б :

а 2 + б 2 = в 2

Двете искази на теоремата се еквивалентни, но втората изјава е повеќе елементарна, не бара концепт на површина. Тоа е, втората изјава може да се провери без да се знае ништо за областа и да се измерат само должините на страните на правоаголниот триаголник.

Обратна теорема на Питагора:

Доказ

Во моментот, 367 докази за оваа теорема се запишани во научната литература. Питагоровата теорема е веројатно единствената теорема со толку импресивен број докази. Оваа сорта може да се објасни само со основното значење на теоремата за геометријата.

Се разбира, концептуално сите можат да се поделат на мал број класи. Најпознати од нив: докази според областа на методот, аксиоматски и егзотични докази (на пример, со употреба на диференцијални равенки).

Преку слични триаголници

Следниот доказ за алгебарската формулација е наједноставен од доказите изградени директно од аксиомите. Особено, тој не го користи концептот на областа на фигурата.

Нека биде ABC има правоаголен триаголник В.... Ајде да ја извлечеме висината од В. и ја означува својата основа со Х.... Тријаголник ACH како триаголник ABC во два агли. Слично на тоа, триаголник CBH е сличен ABC... Воведување на нотацијата

добиваме

Што е еквивалентно

Додавање, добиваме

Доказ за области

Доказите дадени подолу, и покрај нивната очигледна едноставност, не се воопшто толку едноставни. Сите ги користат својствата на областа, чиј доказ е потежок отколку доказот за самата Питагорова теорема.

Еднаков доказ за комплементарност

1. Наредете четири еднакви правоаголни триаголници како што е прикажано на слика 1.
2. Четириаголник со страни в е квадрат, бидејќи збирот на два акутни агли е 90 °, а расклопениот агол е 180 °.
3. Областа на целата фигура е, од една страна, површина на квадрат со страни (a + b), а од друга страна, збир на површините на четири триаголници и два внатрешни квадрати.

П.Е.Д.

Докази преку скалирање

Елегантен доказ со пермутација

Пример за еден од таквите докази е прикажан на цртежот десно, каде што плоштадот изграден на хипотенузата се трансформира со пермутација во два квадрати изградени на нозете.

Доказ на Евклид

Цртеж за доказ на Евклид

Илустрација за доказ на Евклид

Идејата зад доказот на Евклид е следна: ајде да се обидеме да докажеме дека половина од површината на плоштадот изграден на хипотенузата е еднаква на збирот на половините на површините на плоштадите изградени на нозете, а потоа областите на големите и на двата мали квадрати се еднакви.

Размислете за цртежот лево. На него, изградивме квадрати на страните на правоаголниот триаголник и извлечени од темето на десниот агол Ц зрак нормално на хипотенузата АБ, го сече квадратот АБИК, изграден на хипотенузата, во два правоаголници - BHJI и HAKJ, соодветно. Излегува дека областите на овие правоаголници се точно еднакви на површините на квадратите изградени на соодветните нозе.

Да се \u200b\u200bобидеме да докажеме дека плоштината на плоштадот DECA е еднаква на површината на правоаголникот AHJK За да го направите ова, ајде да користиме помошно набудување: Областа на триаголник со иста висина и основа како и овој правоаголник е еднаква на половина од површината на дадениот правоаголник. Ова е последица на дефинирање на плоштината на триаголник како половина од производот на основата и висината. Од ова набудување произлегува дека површината на триаголникот ACK е еднаква на површината на триаголникот AHK (не е прикажано на сликата), што, пак, е еднакво на половина од површината на правоаголникот AHJK.

Дозволете ни сега да докажеме дека површината на триаголникот ACK е исто така еднаква на половина од површината на плоштадот DECA. Единственото нешто што треба да се направи за ова е да се докаже дека триаголниците ACK и BDA се еднакви (бидејќи површината на триаголникот BDA е еднаква на половина од површината на плоштадот според горенаведениот имот) Еднаквоста е очигледна, триаголниците се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив. Имено - AB \u003d AK, AD \u003d AC - лесно е да се докаже еднаквоста на аглите CAK и BAD со методот на движење: ние го ротираме триаголникот CAK 90 ° спротивно од стрелките на часовникот, тогаш е очигледно дека соодветните страни на двата разгледувани триаголници ќе се совпаднат (бидејќи аголот на темето на 90 °)

Образложението за еднаквоста на површините на плоштадот BCFG и правоаголникот BHJI е целосно аналогно.

Така, докажавме дека површината на плоштадот изградена на хипотенузата е збир на површините на плоштадите изградени на нозете. Идејата зад овој доказ е дополнително илустрирана со анимацијата погоре.

Доказ за Леонардо да Винчи

Доказ за Леонардо да Винчи

Главните елементи на доказот се симетријата и движењето.

Размислете за цртежот, како што се гледа од симетријата, сегментот В.Јас го сече плоштадот А.Б.Х.Ј на два идентични делови (од триаголниците А.Б.В. и ЈХ.Јас се еднакви по конструкција). Со вртење 90 степени спротивно од стрелките на часовникот, гледаме дека засенчените форми се еднакви В.А.ЈЈас и Г.Д.А.Б. ... Сега е јасно дека површината на засенчената фигура е еднаква на збирот на половините на областите на квадратите изградени на нозете и површината на оригиналниот триаголник. Од друга страна, тоа е еднакво на половина од површината на плоштадот изграден на хипотенузата, плус површината на оригиналниот триаголник. Последниот чекор во докажувањето е оставен на читателот.

Доказ со методот на бесконечно минимално

Следниот доказ со користење на диференцијални равенки често му се припишува на славниот англиски математичар Харди, кој живеел во првата половина на 20 век.

Гледајќи го цртежот прикажан на сликата и набудувајќи ја промената на страната а, можеме да го напишеме следниот сооднос за бесконечно мали чекори на страните од и а (користејќи сличност со триаголници):

Доказ со методот на бесконечно минимално

Користејќи го методот за одделување на променливите, наоѓаме

Поопшт израз за промена на хипотенузата во случај на зголемување на обете нозе

Со интегрирање на оваа равенка и користење почетни услови, добиваме

в 2 = а 2 + б 2 + постојана.

Така, стигнуваме до посакуваниот одговор

в 2 = а 2 + б 2 .

Како што е лесно да се види, квадратната зависност во крајната формула се појавува поради линеарната пропорционалност помеѓу страните на триаголникот и чекорите, додека збирот е поврзан со независни придонеси од зголемувањето на различните нозе.

Поедноставен доказ може да се добие ако претпоставиме дека едната нога не доживува зголемување (во овој случај, ногата б ) Потоа, за постојаната интеграција што ја добиваме

Варијации и генерализации

• Ако наместо квадрати конструираме други слични фигури на нозете, тогаш е точно следново генерализирање на Питагоровата теорема: Во правоаголен триаголник, збирот на областите на слични фигури изградени на нозете е еднаков на површината на фигурата изградена на хипотенузата. Особено:
  • Збирот на областите на правилни триаголници изградени на нозете е еднаков на површината на правилен триаголник изграден на хипотенузата.
  • Збирот на областите на полукруговите изградени на нозете (како во дијаметарот) е еднаков на површината на полукругот изграден на хипотенузата. Овој пример се користи за докажување на својствата на фигурите ограничени со лакови од два круга и носат име на хипократски луни.

Историја

Чу-пеи 500-200 п.н.е. Лев натпис: збирот на квадратите со должини на висината и основата е квадрат со должина на хипотенузата.

Античката кинеска книга Чу-Пеи зборува за питагоров триаголник со страни 3, 4 и 5: Во истата книга е предложен цртеж што се совпаѓа со еден од цртежите на хиндуистичката геометрија на Башара.

Кантор (најголемиот германски историчар на математика) верува дека еднаквоста 3 ² + 4 ² \u003d 5 already им била позната на Египќаните околу 2300 година п.н.е. д., за време на кралот Аменемхат I (според папирусот 6619 од Берлинскиот музеј). Според Кантор, харпедонаптите или „влечењата на јажето“, граделе прави агли користејќи правоаголни триаголници со страни 3, 4 и 5.

Многу е лесно да се репродуцира нивниот начин на градење. Земете јаже долг 12 m и врзете го на него по обоена лента на растојание од 3 m. од едниот крај и 4 метри од другиот. Правиот агол ќе биде затворен помеѓу страните долги 3 и 4 метри. Харпедонаптите може да тврдат дека нивниот начин на градење ќе стане излишен, ако го користите, на пример, дрвениот плоштад што го користат сите столари. Навистина, познати се египетските цртежи во кои се наоѓа таква алатка, на пример, цртежи што прикажуваат работилница за столарија.

Нешто повеќе е познато за вавилонската Питагорова теорема. Во еден текст датира од времето на Хамураби, односно од 2000 година п.н.е. П.н.е., дадена е приближна пресметка на хипотенузата на правоаголен триаголник. Од ова можеме да заклучиме дека во Месопотамија тие знаеле како да извршат пресметки со правоаголни триаголници, барем во некои случаи. Врз основа, од една страна, на сегашното ниво на знаење за египетската и вавилонската математика, а од друга, врз критичката студија на грчки извори, Ван дер Ваерден (холандски математичар) го донесе следниов заклучок:

Литература

На руски јазик

• Skopets З.А. Геометриски минијатури. М., 1990 година
• Yelensky Sch. По стапките на Питагора. М., 1961 година
• Ван дер Ваерден Б.Л. Будење на науката. Математика на Антички Египет, Вавилон и Грција. М., 1959 година
• Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. М., 1982 година
• В. Лицман, „Питагоровата теорема“ М., 1960 година.
  • Веб-страница за Питагоровата теорема со голем број докази, материјалот е преземен од книгата В. Лицман, голем број цртежи се претставени во форма на посебни графички датотеки.
• Питагоровата теорема и Питагоровата тројка поглавје од книгата на ДВ Аносов „Поглед кон математиката и нешто од тоа“
• За питагоровата теорема и методите на нејзино докажување Г. Глејзер, академик на Руската академија за образование, Москва

На англиски

• Питагоровата теорема на WolframMathWorld (инж.)
• Cut-The-Knot, дел за Питагоровата теорема, околу 70 докази и многу други дополнителни информации

Фондација Викимедија. 2010 г.

Питагорова теорема Една од основните теореми на евклидовата геометрија, воспоставување на врската

меѓу страните на правоаголен триаголник.

Се верува дека е докажано од грчкиот математичар Питагора, по кого е именувано.

Геометриска формулација на Питагоровата теорема.

Првично, теоремата беше формулирана како што следува:

Во правоаголен триаголник, површината на плоштадот изградена на хипотенузата е еднаква на збирот на површините на плоштадите,

изграден на нозе.

Алгебарска формулација на Питагоровата теорема.

Во правоаголен триаголник, квадратот со должина на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на должината на нозете.

Тоа е, означување на должината на хипотенузата на триаголник со в, и должините на нозете низ а и б:

Двете формулации питагоровски теоремисе еквивалентни, но втората формулација е почетна, не е

бара концепт на површина. Тоа е, втората изјава може да се провери без да се знае ништо за областа и

со мерење само на должините на страните на правоаголниот триаголник.

Теоремата за разговор на Питагора.

Ако квадратот од едната страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни, тогаш

правоаголен триаголник.

Или, со други зборови:

За секоја тројка на позитивни броеви а, б и втакви што

има правоаголен триаголник со нозе а и би хипотенуза в.

Теорема на Питагора за рамноаголен триаголник.

Теорема на Питагора за рамностран триаголник.

Докази за Питагоровата теорема.

Во моментот, 367 докази за оваа теорема се запишани во научната литература. Веројатно теоремата

Питагора е единствената теорема со толку импресивен број докази. Таква разновидност

може да се објасни само со основното значење на теоремата за геометријата.

Се разбира, концептуално сите можат да се поделат на мал број класи. Најпознати од нив:

доказ метод на област, аксиоматски и егзотични докази (на пример,

преку диференцијални равенки).

1. Доказ за Питагоровата теорема преку слични триаголници.

Следниот доказ за алгебарската формулација е наједноставен од доказите во фаза на изработка

директно од аксиомите. Особено, тој не го користи концептот на областа на фигурата.

Нека биде ABC има правоаголен триаголник В.... Ајде да ја извлечеме висината од В. и означи

неговото основање преку Х..

Тријаголник ACH како триаголник АБЦ во два агли. Слично на тоа, триаголник CBH е сличен ABC.

Воведување на нотацијата:

добиваме:

,

што одговара на -

Со додавање а 2 и б 2, добиваме:

или, како што се бара да се докаже.

2. Доказ за Питагоровата теорема по метод на област.

Доказите дадени подолу, и покрај нивната очигледна едноставност, не се воопшто толку едноставни. Сите тие

користете ги својствата на областа, чие докажување е потешко отколку доказот за самата теорема на Питагора.

• Доказ преку еднаква комплементарност.

Наредете четири еднакви правоаголни

триаголник како што е прикажано на сликата

десно.

Четириаголник со страни в - плоштад,

бидејќи збирот на два акутни агли е 90 °, и

проширен агол - 180 °.

Областа на целата фигура е, од една страна,

површина на квадрат со страна ( a + b), а од друга страна, збирот на плоштините на четирите триаголници и

П.Е.Д.

3. Доказ за Питагоровата теорема со методот на бесконечно мал.

​

Со оглед на цртежот прикажан на сликата, и

гледајќи како страната се менуваа, ние можеме

напиши ја следната релација за бесконечно

мали странични чекориод и а (користејќи ја сличноста

триаголници):

Користејќи го методот на променливо одвојување, наоѓаме:

Поопшт израз за промена на хипотенузата во случај на зголемување на обете нозе:

Интегрирајќи ја оваа равенка и користејќи ги првичните услови, добиваме:

Така, стигнавме до посакуваниот одговор:

Како што е лесно да се согледа, квадратната зависност во крајната формула се појавува поради линеарната

пропорционалност помеѓу страните на триаголникот и чекорите, додека збирот е поврзан со независно

придонеси од зголемувањето на различните нозе.

Поедноставен доказ може да се добие ако претпоставиме дека едната нога не доживува прираст

(во овој случај, ногата б) Потоа, за постојаната интеграција добиваме:

Чудна е судбината на другите теореми и проблеми ... Како може да се објасни, на пример, ваквото исклучително внимание од математичарите и аматерите на математиката кон Питагоровата теорема? Зошто многумина од нив не беа задоволни со веќе познатите докази, но најдоа свои, со што бројот на докази се зголеми на неколку стотици во дваесет и пет компаративно предвидливи векови?
Кога станува збор за теоремата на Питагора, необичното започнува со неговото име. Се верува дека Питагора не бил првиот што го формулирал. Исто така се смета за сомнително дека тој и дал доказ. Ако Питагора е вистинска личност (некои дури се сомневаат во ова!), Тогаш тој живеел, најверојатно, во VI-V век. П.н.е. д. Тој самиот не напиша ништо, се нарече себеси филозоф, што значеше, според неговото разбирање, "стремеж кон мудрост", ја основа Питагоровата унија, чии членови се занимаваа со музика, гимнастика, математика, физика и астрономија. Очигледно, тој исто така бил одличен оратор, за што сведочи и следната легенда поврзана со неговиот престој во градот Кротоне: „Првиот настап на Питагора пред луѓето во Кротоне започна со говор пред младите, во кој тој беше толку строг, но истовремено и толку фасцинантен ги опиша одговорностите на младите, дека старешините во градот бараа да не ги оставаат без поуки. Во овој втор говор, тој посочи на законитоста и чистотата на моралот како темели на семејството; во следните две се сврте кон деца и жени. Последицата последен говор, во кое тој особено го осудуваше луксузот, беше тоа што илјадници скапоцени фустани беа доставени до храмот на Хера, зашто веќе ниту една жена не се осмелуваше да се покажува на нив на улица ... “Сепак, дури и во вториот век од нашата ера, т.е. По 700 години, живееле и работеле прилично вистински луѓе, извонредни научници кои биле јасно под влијание на Питагоровиот сојуз и кои имале голема почит кон она што, според легендата, го создал Питагора.
Несомнено, интересот за теоремата е предизвикан и од фактот дека таа зазема едно од централните места во математиката и задоволството на авторите на доказите кои ги надминале тешкотиите, за кои добро зборуваше римскиот поет Квинтус Хорас Флакус, кој живеел пред нашата ера: „Тешко е да се изразат добро познати факти“. ...
Првично, теоремата ја воспостави врската помеѓу областите на квадрати изградени на хипотенузата и нозете на правоаголниот триаголник:
.
Алгебарска формулација:
Во правоаголен триаголник, квадратот со должина на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на должината на нозете.
Тоа е, означување на должината на хипотенузата на триаголникот преку c, и должините на нозете преку a и b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Двете искази на теоремата се еквивалентни, но втората изјава е повеќе елементарна, не бара концепт на површина. Тоа е, втората изјава може да се провери без да се знае ништо за областа и да се измерат само должините на страните на правоаголниот триаголник.
Теоремата за разговор на Питагора. За секоја тројка на позитивни броеви a, b и c такви што
a 2 + b 2 \u003d c 2, има правоаголен триаголник со нозете a и b и хипотенузата c.

Доказ

Во моментот, 367 докази за оваа теорема се запишани во научната литература. Питагоровата теорема е веројатно единствената теорема со толку импресивен број докази. Оваа сорта може да се објасни само со основното значење на теоремата за геометријата.
Се разбира, концептуално сите можат да се поделат на мал број класи. Најпознати од нив: докази според областа на методот, аксиоматски и егзотични докази (на пример, со употреба на диференцијални равенки).

Преку слични триаголници

Следниот доказ за алгебарската формулација е наједноставен од доказите изградени директно од аксиомите. Особено, тој не го користи концептот на површина на фигура.
Нека ABC биде правоаголен триаголник со прав агол C. Нацртај ја висината од C и означи ја неговата основа со H. Триаголник ACH е сличен на триаголникот ABC во два агли.
Исто така, триаголникот CBH е сличен на ABC. Воведување на нотацијата

добиваме

Што е еквивалентно

Додавање, добиваме

или

Доказ за области

Доказите дадени подолу, и покрај нивната очигледна едноставност, не се воопшто толку едноставни. Сите ги користат својствата на областа, чие докажување е потешко отколку доказот за самата Питагорова теорема.

Еднаков доказ за комплементарност

1. Поставете четири еднакви правоаголни триаголници како што е прикажано на сликата.
2. Четириаголник со страни c е квадрат, бидејќи збирот на два акутни агли е 90 °, а проширениот агол е 180 °.
3. Површината на целата фигура е, од една страна, површина на квадрат со страни (a + b), а од друга страна, збир на површините на четири триаголници и внатрешен квадрат.



П.Е.Д.

Докази преку скалирање

Пример за еден од таквите докази е прикажан на цртежот десно, каде што плоштадот изграден на хипотенузата се трансформира со пермутација во два квадрати изградени на нозете.

Доказ на Евклид

Идејата зад доказот на Евклид е следнава: ајде да се обидеме да докажеме дека половина од површината на плоштадот изградена на хипотенузата е еднаква на збирот на половина од површините на плоштадите изградени на нозете, а потоа и површините на големите и на двата мали квадрати се еднакви. Размислете за цртежот лево. На него, изградивме квадрати на страните на правоаголниот триаголник и извлечени од темето на десниот агол Ц зрак нормално на хипотенузата АБ, го сече квадратот АБИК, изграден на хипотенузата, во два правоаголници - BHJI и HAKJ, соодветно. Излегува дека областите на овие правоаголници се точно еднакви на површините на квадратите изградени на соодветните нозе. Да се \u200b\u200bобидеме да докажеме дека плоштината на плоштадот DECA е еднаква на површината на правоаголникот AHJK За ова користиме помошно набудување: Областа на триаголник со иста висина и основа како и овој правоаголник е еднаква на половина од површината на дадениот правоаголник. Ова е последица на дефинирање на плоштината на триаголник како половина од производот на основата и висината. Од ова набудување произлегува дека површината на триаголникот ACK е еднаква на површината на триаголникот AHK (не е прикажано на сликата), што, пак, е еднакво на половина од површината на правоаголникот AHJK. Дозволете ни сега да докажеме дека површината на триаголникот ACK е исто така еднаква на половина од површината на плоштадот DECA. Единственото нешто што треба да се направи за ова е да се докаже дека триаголниците ACK и BDA се еднакви (бидејќи површината на триаголникот BDA е еднаква на половина од површината на плоштадот според горенаведената особина). Еднаквоста е очигледна, триаголниците се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив. Имено - AB \u003d AK, AD \u003d AC - лесно е да се докаже еднаквоста на аглите CAK и BAD со методот на движење: ние го ротираме триаголникот CAK за 90 ° спротивно од стрелките на часовникот, тогаш е очигледно дека соодветните страни на двата разгледувани триаголници ќе се совпаднат (бидејќи аголот на темето на квадрат е 90 °) Образложението за еднаквоста на површините на плоштадот BCFG и правоаголникот BHJI е целосно аналогно. Така, докажавме дека површината на плоштадот изградена на хипотенузата е збир на површините на плоштадите изградени на нозете.

Доказ за Леонардо да Винчи

Главните елементи на доказот се симетријата и движењето.

Размислете за цртежот, како што можете да видите од симетријата, сегментот CI го сече квадратот ABHJ на два идентични делови (бидејќи триаголниците ABC и JHI се еднакви во конструкцијата). Користејќи вртење спротивно од стрелките на часовникот за 90 степени, гледаме дека засенчените фигури CAJI и GDAB се еднакви. Сега е јасно дека површината на засенчената фигура е еднаква на збирот на половините на областите на квадратите изградени на нозете и површината на оригиналниот триаголник. Од друга страна, тоа е еднакво на половина од површината на плоштадот изграден на хипотенузата, плус површината на оригиналниот триаголник. Последниот чекор во докажувањето е оставен на читателот.