Докажи дека системот на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки се нарекува определено ако. Заштита на лични информации

Содржина на лекцијата

Линеарни равенки со две променливи

Ученикот има 200 рубли за да руча на училиште. Колачот чини 25 рубли, а шолја кафе чини 10 рубли. Колку колачи и шолји кафе можете да купите за 200 рубли?

Означете го бројот на колачи преку x, и бројот на шолји кафе преку y. Тогаш цената на колачите ќе биде означена со изразот 25 x, а цената на шолјите за кафе во 10 y .

25x-цена xколачи
10y-цена yшолји кафе

Вкупниот износ треба да биде 200 рубли. Потоа добиваме равенка со две променливи xИ y

25x+ 10y= 200

Колку корени има оваа равенка?

Се зависи од апетитот на ученикот. Ако купи 6 колачи и 5 шолји кафе, тогаш корените на равенката ќе бидат броевите 6 и 5.

Парот на вредности 6 и 5 се вели дека се корените на равенката 25 x+ 10y= 200 . Напишано како (6; 5) , при што првиот број е вредноста на променливата x, а втората - вредноста на променливата y .

6 и 5 не се единствените корени што ја менуваат равенката 25 x+ 10y= 200 до идентитетот. Ако сакате, за истите 200 рубли, студентот може да купи 4 колачи и 10 шолји кафе:

Во овој случај, корените на равенката 25 x+ 10y= 200 е парот на вредности (4; 10) .

Покрај тоа, студентот може воопшто да не купува кафе, туку да купи колачи за сите 200 рубли. Потоа корените на равенката 25 x+ 10y= 200 ќе бидат вредностите 8 и 0

Или обратно, не купувајте колачи, туку купувајте кафе за сите 200 рубли. Потоа корените на равенката 25 x+ 10y= 200 ќе бидат вредностите 0 и 20

Ајде да се обидеме да ги наведеме сите можни корени на равенката 25 x+ 10y= 200 . Да се ​​согласиме дека вредностите xИ yприпаѓаат на множеството цели броеви. И нека овие вредности се поголеми или еднакви на нула:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Така ќе биде погодно за самиот ученик. Колачите се попогодни за купување цели отколку, на пример, неколку цели колачи и половина торта. Кафето е исто така попогодно да се зема во цели шолји отколку, на пример, неколку цели шолји и половина шолја.

Забележете дека за непарни xневозможно е да се постигне еднаквост под која било y. Потоа вредностите xќе ги има следните броеви 0, 2, 4, 6, 8. И знаејќи xможе лесно да се одреди y

Така, ги добивме следните парови на вредности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Овие парови се решенија или корени на равенката 25 x+ 10y= 200. Тие ја претвораат оваа равенка во идентитет.

Тип равенка секира + од = вповикани линеарна равенка со две променливи. Решението или корените на оваа равенка се пар вредности ( x; y), што го претвора во идентитет.

Забележете исто така дека ако линеарна равенка со две променливи е напишана како секира + b y = c,тогаш велат дека е напишано во канонски(нормална) форма.

Некои линеарни равенки во две променливи може да се сведат на канонска форма.

На пример, равенката 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) може да се донесе на ум секира + од = в. Ајде да ги отвориме заградите во двата дела од оваа равенка, добиваме 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Поимите што содржат непознати се групирани на левата страна на равенката, а поимите без непознати се групирани на десната страна. Потоа добиваме 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Во двата дела носиме слични поими, ја добиваме равенката 16 x+ 8y= 32. Оваа равенка се сведува на формата секира + од = ви е канонски.

Равенката 25 разгледана претходно x+ 10y= 200 е исто така двопроменлива линеарна равенка во канонска форма. Во оваа равенка, параметрите а , бИ все еднакви на вредностите 25, 10 и 200, соодветно.

Всушност равенката секира + од = вима бесконечен број решенија. Решавање на равенката 25x+ 10y= 200, ги баравме неговите корени само на множеството цели броеви. Како резултат на тоа, добивме неколку пара вредности кои ја претворија оваа равенка во идентитет. Но, на множеството рационални броеви равенката 25 x+ 10y= 200 ќе има бесконечен број решенија.

За да добиете нови парови на вредности, треба да земете произволна вредност за x, потоа изрази y. На пример, да земеме променлива xвредност 7. Тогаш добиваме равенка со една променлива 25×7 + 10y= 200 во која да се изразат y

Нека x= 15 . Потоа равенката 25x+ 10y= 200 станува 25 × 15 + 10y= 200. Од тука го откриваме тоа y = −17,5

Нека x= −3. Потоа равенката 25x+ 10y= 200 станува 25 × (−3) + 10y= 200. Од тука го откриваме тоа y = −27,5

Систем од две линеарни равенки со две променливи

За равенката секира + од = вможе да земете произволни вредности за кој било број пати xи најдете вредности за y. Земено посебно, таквата равенка ќе има бесконечен број решенија.

Но, се случува и променливите xИ yповрзани не со една, туку со две равенки. Во овој случај, тие формираат т.н систем на линеарни равенки со две променливи. Таквиот систем на равенки може да има еден пар вредности (или со други зборови: „едно решение“).

Може да се случи и системот да нема никакви решенија. Систем од линеарни равенки може да има бесконечен број решенија во ретки и исклучителни случаи.

Две линеарни равенки формираат систем кога вредностите xИ yсе вклучени во секоја од овие равенки.

Да се ​​вратиме на првата равенка 25 x+ 10y= 200 . Еден од паровите вредности за оваа равенка беше парот (6; 5). Ова е случај кога со 200 рубли може да се купат 6 колачи и 5 шолји кафе.

Го составуваме проблемот така што парот (6; 5) станува единствено решение за равенката 25 x+ 10y= 200 . За да го направите ова, составуваме друга равенка што би го поврзала истото xколачи и yшолји кафе.

Да го ставиме текстот на задачата на следниов начин:

„Еден ученик купи неколку колачи и неколку шолји кафе за 200 рубли. Колачот чини 25 рубли, а шолја кафе чини 10 рубли. Колку колачи и шолји кафе купил ученикот ако се знае дека бројот на колачи е еден повеќе од бројот на шолји кафе?

Веќе ја имаме првата равенка. Ова е равенката 25 x+ 10y= 200 . Сега да напишеме равенка за условот „Бројот на колачи е една единица повеќе од бројот на шолји кафе“ .

Бројот на колачи е x, а бројот на шолји кафе е y. Можете да ја напишете оваа фраза користејќи ја равенката x − y= 1. Оваа равенка би значела дека разликата помеѓу колачите и кафето е 1.

x=y+ 1 . Оваа равенка значи дека бројот на колачи е еден повеќе од бројот на шолји кафе. Затоа, за да се добие еднаквост, една се додава на бројот на шолји кафе. Ова може лесно да се разбере ако го користиме моделот на тежина што го разгледавме кога ги проучувавме наједноставните проблеми:

Добивме две равенки: 25 x+ 10y= 200 и x=y+ 1. Бидејќи вредностите xИ y, имено 6 и 5 се вклучени во секоја од овие равенки, а потоа заедно формираат систем. Ајде да го запишеме овој систем. Ако равенките формираат систем, тогаш тие се врамени со знакот на системот. Знакот на системот е кадрава заграда:

Ајде да го решиме овој систем. Ова ќе ни овозможи да видиме како доаѓаме до вредностите 6 и 5. Постојат многу методи за решавање на такви системи. Размислете за најпопуларните од нив.

Метод на замена

Името на овој метод зборува сам за себе. Нејзината суштина е да се замени една равенка во друга, откако претходно изрази една од променливите.

Во нашиот систем ништо не треба да се изразува. Во втората равенка x = y+ 1 променлива xвеќе изразена. Оваа променлива е еднаква на изразот y+ 1 . Потоа можете да го замените овој израз во првата равенка наместо променливата x

По замена на изразот yНаместо тоа, + 1 во првата равенка x, ја добиваме равенката 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ова е линеарна равенка со една променлива. Оваа равенка е прилично лесно да се реши:

Ја најдовме вредноста на променливата y. Сега ја заменуваме оваа вредност во една од равенките и ја наоѓаме вредноста x. За ова, погодно е да се користи втората равенка x = y+ 1 . Ајде да ја ставиме вредноста во неа y

Значи, парот (6; 5) е решение на системот на равенки, како што сакавме. Проверуваме и се уверуваме дека парот (6; 5) го задоволува системот:

Пример 2

Заменете ја првата равенка x= 2 + yво втората равенка 3 x - 2y= 9. Во првата равенка, променливата xе еднаков на изразот 2 + y. Го заменуваме овој израз во втората равенка наместо x

Сега да ја најдеме вредноста x. За да го направите ова, заменете ја вредноста yво првата равенка x= 2 + y

Значи решението на системот е вредноста на парот (5; 3)

Пример 3. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:

Овде, за разлика од претходните примери, една од променливите не е експлицитно изразена.

За да замените една равенка со друга, прво ви треба.

Пожелно е да се изрази променливата која има коефициент еден. Единицата за коефициент има променлива x, која е содржана во првата равенка x+ 2y= 11 . Да ја изразиме оваа променлива.

По израз на променлива x, нашиот систем ќе изгледа вака:

Сега ја заменуваме првата равенка во втората и ја наоѓаме вредноста y

Замена y x

Значи, решението на системот е пар вредности (3; 4)

Се разбира, можете да изразите и променлива y. Корените нема да се променат. Но, ако изразите y,резултатот не е многу едноставна равенка, чие решавање ќе потрае повеќе време. Ќе изгледа вака:

Гледаме дека во овој пример да се изрази xмногу поудобно отколку да се изразува y .

Пример 4. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:

Изрази во првата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:

y

Замена yво првата равенка и пронајдете x. Можете да ја користите оригиналната равенка 7 x+ 9y= 8 , или користете ја равенката во која е изразена променливата x. Ќе ја користиме оваа равенка, бидејќи е погодно:

Значи решението на системот е парот вредности (5; −3)

Метод на додавање

Методот на собирање е да се додадат член по член равенките вклучени во системот. Ова собирање резултира со нова равенка со една променлива. И прилично е лесно да се реши оваа равенка.

Да го решиме следниов систем на равенки:

Додадете ја левата страна од првата равенка на левата страна од втората равенка. И десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка. Ја добиваме следната еднаквост:

Еве слични термини:

Како резултат на тоа, ја добивме наједноставната равенка 3 x= 27 чиј корен е 9. Знаејќи ја вредноста xможете да ја најдете вредноста y. Заменете ја вредноста xво втората равенка x − y= 3. Добиваме 9 − y= 3. Од тука y= 6 .

Значи, решението на системот е пар вредности (9; 6)

Пример 2

Додадете ја левата страна од првата равенка на левата страна од втората равенка. И десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка. Во добиената еднаквост, ги прикажуваме сличните термини:

Како резултат на тоа, ја добивме наједноставната равенка 5 x= 20, чиј корен е 4. Знаејќи ја вредноста xможете да ја најдете вредноста y. Заменете ја вредноста xво првата равенка 2 x+y= 11 . Ајде да добиеме 8 + y= 11 . Од тука y= 3 .

Значи решението на системот е парот вредности (4;3)

Процесот на додавање не е детално опишан. Тоа треба да се направи во умот. Кога се собираат, двете равенки мора да се сведат на канонска форма. Тоа е да се каже ac+by=c .

Од разгледаните примери може да се види дека главната цел на собирање равенки е да се ослободиме од една од променливите. Но, не е секогаш можно веднаш да се реши системот на равенки со методот на собирање. Најчесто, системот прелиминарно се доведува до форма во која е можно да се додадат равенките вклучени во овој систем.

На пример, системот може директно да се реши со методот на собирање. При собирање на двете равенки, поимите yИ −yисчезнуваат бидејќи нивниот збир е нула. Како резултат на тоа, наједноставната равенка се формира 11 x= 22 , чиј корен е 2. Тогаш ќе може да се одреди yеднакво на 5.

И системот на равенки методот на собирање не може да се реши веднаш, бидејќи тоа нема да доведе до исчезнување на една од променливите. Собирањето ќе резултира во равенката 8 x+ y= 28 , кој има бесконечен број решенија.

Ако двата дела од равенката се помножат или поделат со ист број кој не е еднаков на нула, тогаш ќе се добие равенка еквивалентна на дадениот. Ова правило важи и за систем на линеарни равенки со две променливи. Една од равенките (или двете равенки) може да се помножи со некој број. Резултатот е еквивалентен систем, чии корени ќе се совпаднат со претходниот.

Да се ​​вратиме на првиот систем, кој опиша колку колачи и шолји кафе купил студентот. Решението на овој систем беше пар вредности (6; 5).

Ние ги множиме двете равенки вклучени во овој систем со некои броеви. Да речеме дека ја помножиме првата равенка со 2, а втората со 3

Резултатот е систем
Решението за овој систем сè уште е парот на вредности (6; 5)

Ова значи дека равенките вклучени во системот може да се сведат на форма погодна за примена на методот на собирање.

Назад кон системот , што не можевме да го решиме со методот на собирање.

Помножете ја првата равенка со 6, а втората со −2

Потоа го добиваме следниот систем:

Ги додаваме равенките вклучени во овој систем. Додавање на компоненти 12 xи -12 xќе резултира со 0, додавање 18 yи 4 yќе даде 22 y, и со собирање 108 и −20 се добива 88. Тогаш се добива равенката 22 y= 88, оттука y = 4 .

Ако на почетокот ви е тешко да додадете равенки во вашиот ум, тогаш можете да запишете како левата страна од првата равенка се додава на левата страна на втората равенка, а десната страна од првата равенка на десната страна на втора равенка:

Знаејќи дека вредноста на променливата yе 4, можете да ја најдете вредноста x. Замена yво една од равенките, на пример во првата равенка 2 x+ 3y= 18 . Потоа добиваме равенка со една променлива 2 x+ 12 = 18 . Префрламе 12 на десната страна, менувајќи го знакот, добиваме 2 x= 6, оттука x = 3 .

Пример 4. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:

Помножете ја втората равенка со −1. Тогаш системот ќе ја има следната форма:

Да ги додадеме двете равенки. Додавање на компоненти xИ −xќе резултира со 0, додавање 5 yи 3 yќе даде 8 y, и со собирање на 7 и 1 се добива 8. Резултатот е равенката 8 y= 8 , чиј корен е 1. Знаејќи дека вредноста yе 1, можете да ја најдете вредноста x .

Замена yво првата равенка, добиваме x+ 5 = 7, оттука x= 2

Пример 5. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:

Пожелно е термините што ги содржат истите променливи да се наоѓаат еден под друг. Затоа, во втората равенка, термините 5 yи −2 xсмени места. Како резултат на тоа, системот ќе ја добие формата:

Помножете ја втората равенка со 3. Тогаш системот ќе ја добие формата:

Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање, ја добиваме равенката 8 y= 16, чиј корен е 2.

Замена yво првата равенка, добиваме 6 x− 14 = 40 . Го пренесуваме терминот −14 на десната страна, менувајќи го знакот, добиваме 6 x= 54 . Од тука x= 9.

Пример 6. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:

Ајде да се ослободиме од дропките. Помножете ја првата равенка со 36, а втората со 12

Во добиениот систем првата равенка може да се помножи со −5, а втората со 8

Да ги додадеме равенките во добиениот систем. Тогаш ја добиваме наједноставната равенка −13 y= −156 . Од тука y= 12 . Замена yво првата равенка и пронајдете x

Пример 7. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:

Ги доведуваме двете равенки во нормална форма. Тука е погодно да се примени правилото за пропорција во двете равенки. Ако во првата равенка десната страна е претставена како , а десната страна на втората равенка како , тогаш системот ќе ја добие формата:

Имаме пропорција. Ги умножуваме неговите екстремни и средни термини. Тогаш системот ќе ја добие формата:

Првата равенка ја помножуваме со −3, а во втората ги отвораме заградите:

Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање на овие равенки, добиваме еднаквост, во двата дела од кои ќе има нула:

Излегува дека системот има бесконечен број решенија.

Но, не можеме едноставно да земеме произволни вредности од небото xИ y. Можеме да наведеме една од вредностите, а другата ќе се определи во зависност од вредноста што ја одредуваме. На пример, нека x= 2. Заменете ја оваа вредност во системот:

Како резултат на решавање на една од равенките, вредноста за y, што ќе ги задоволи двете равенки:

Добиениот пар на вредности (2; −2) ќе го задоволи системот:

Ајде да најдеме уште еден пар вредности. Нека x= 4. Заменете ја оваа вредност во системот:

Со око може да се утврди дека yе еднакво на нула. Потоа добиваме пар вредности (4; 0), што го задоволува нашиот систем:

Пример 8. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:

Помножете ја првата равенка со 6, а втората со 12

Ајде да го преработиме она што остана:

Помножете ја првата равенка со −1. Тогаш системот ќе ја добие формата:

Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање, се формира равенката 6 б= 48 , чиј корен е 8. Замена бво првата равенка и пронајдете а

Систем од линеарни равенки со три променливи

Линеарната равенка со три променливи вклучува три променливи со коефициенти, како и пресек. Во канонска форма, може да се напише на следниов начин:

секира + од + cz = г

Оваа равенка има бесконечен број решенија. Со давање различни вредности на две променливи, може да се најде трета вредност. Решението во овој случај е тројката на вредности ( x; y; z) што ја претвора равенката во идентитет.

Ако променливите x, y, zмеѓусебно се поврзани со три равенки, тогаш се формира систем од три линеарни равенки со три променливи. За да решите таков систем, можете да ги примените истите методи што се применуваат на линеарни равенки со две променливи: методот на замена и методот на собирање.

Пример 1. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:

Изразуваме во третата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:

Сега да ја направиме замената. Променлива xе еднаков на изразот 3 − 2y − 2z . Заменете го овој израз во првата и втората равенка:

Ајде да ги отвориме заградите во двете равенки и да дадеме слични термини:

Дојдовме до систем на линеарни равенки со две променливи. Во овој случај, погодно е да се примени методот на додавање. Како резултат на тоа, променливата yќе исчезне и можеме да ја најдеме вредноста на променливата z

Сега да ја најдеме вредноста y. За ова, погодно е да се користи равенката − y+ z= 4. Заменете ја вредноста z

Сега да ја најдеме вредноста x. За ова, погодно е да се користи равенката x= 3 − 2y − 2z . Заменете ги вредностите во него yИ z

Така, тројката на вредности (3; −2; 2) е решението за нашиот систем. Со проверка, се уверуваме дека овие вредности го задоволуваат системот:

Пример 2. Решете го системот со метод на собирање

Да ја додадеме првата равенка со втората помножена со −2.

Ако втората равенка се помножи со −2, тогаш таа ќе добие форма −6x+ 6y- 4z = −4 . Сега додадете го на првата равенка:

Гледаме дека како резултат на елементарни трансформации, вредноста на променливата е одредена x. Тоа е еднакво на еден.

Да се ​​вратиме на главниот систем. Да ја додадеме втората равенка со третата помножена со −1. Ако третата равенка се помножи со -1, тогаш таа ќе добие форма −4x + 5y − 2z = −1 . Сега додадете го во втората равенка:

Ја добив равенката x - 2y= −1. Заменете ја вредноста во неа xшто го најдовме претходно. Потоа можеме да ја одредиме вредноста y

Сега ги знаеме вредностите xИ y. Ова ви овозможува да ја одредите вредноста z. Ние користиме една од равенките вклучени во системот:

Така, тројката на вредности (1; 1; 1) е решение за нашиот систем. Со проверка, се уверуваме дека овие вредности го задоволуваат системот:

Задачи за составување системи на линеарни равенки

Задачата за составување системи на равенки се решава со воведување на неколку променливи. Следно, равенките се составуваат врз основа на условите на проблемот. Од составените равенки формираат систем и го решаваат. Откако ќе го решите системот, неопходно е да се провери дали неговото решение ги задоволува условите на проблемот.

Задача 1. Автомобил Волга го напушти градот кон колективната фарма. Таа се вратила по друг пат, кој бил 5 километри пократок од првиот. Севкупно, автомобилот извозе 35 километри во двата правци. Колку километри е долг секој пат?

Решение

Нека x-должина на првиот пат, y- должината на вториот. Ако автомобилот возел 35 km во двата правци, тогаш првата равенка може да се запише како x+ y= 35. Оваа равенка го опишува збирот на должините на двата патишта.

Се зборува дека автомобилот се враќал по патот кој бил пократок од првиот за 5 километри. Тогаш втората равенка може да се запише како x− y= 5. Оваа равенка покажува дека разликата помеѓу должините на патиштата е 5 km.

Или втората равенка може да се запише како x= y+ 5 . Ќе ја користиме оваа равенка.

Бидејќи променливите xИ yво двете равенки означуваат ист број, тогаш можеме да формираме систем од нив:

Ајде да го решиме овој систем користејќи еден од претходно проучуваните методи. Во овој случај, погодно е да се користи методот на замена, бидејќи во втората равенка променливата xвеќе изразена.

Заменете ја втората равенка со првата и пронајдете y

Заменете ја пронајдената вредност yво втората равенка x= y+ 5 и најдете x

Должината на првиот пат беше означена со променливата x. Сега го најдовме неговото значење. Променлива xе 20. Значи должината на првиот пат е 20 км.

И должината на вториот пат беше означена со y. Вредноста на оваа променлива е 15. Значи должината на вториот пат е 15 km.

Ајде да направиме проверка. Прво, да се увериме дека системот е решен правилно:

Сега да провериме дали решението (20; 15) ги задоволува условите на проблемот.

Беше кажано дека вкупно автомобилот возел 35 км во двата правци. Ги собираме должините на двата патишта и се уверуваме дека решението (20; 15) го задоволува овој услов: 20 km + 15 km = 35 km

Следен услов: автомобилот се вратил по друг пат, кој бил 5 километри пократок од првиот . Гледаме дека решението (20; 15) исто така го задоволува овој услов, бидејќи 15 km е пократко од 20 km на 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Кога се составува систем, важно е променливите да означуваат исти броеви во сите равенки вклучени во овој систем.

Значи нашиот систем содржи две равенки. Овие равенки за возврат ги содржат променливите xИ y, кои означуваат исти броеви во двете равенки, имено должините на патиштата еднакви на 20 km и 15 km.

Задача 2. На платформата беа натоварени прагови од даб и бор, вкупно 300 прагови. Познато е дека сите дабови прагови тежеле 1 тон помалку од сите борови прагови. Определете колку дабови и борови прагови имало одделно, ако секој даб праг тежел 46 кг, а секоја борова прагови 28 кг.

Решение

Нека xдаб и yборови прагови беа натоварени на платформата. Ако имало вкупно 300 прагови, тогаш првата равенка може да се запише како x+y = 300 .

Сите дабови прагови тежеа 46 xкг, а борот тежел 28 yкилограм. Бидејќи дабовите прагови тежеле 1 тон помалку од боровите прагови, втората равенка може да се запише како 28y- 46x= 1000 . Оваа равенка покажува дека разликата во масата помеѓу дабови и борови прагови е 1000 kg.

Тоните се претворени во килограми бидејќи масата на дабови и борови прагови се мери во килограми.

Како резултат на тоа, добиваме две равенки кои го формираат системот

Ајде да го решиме овој систем. Изрази во првата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:

Заменете ја првата равенка со втората и пронајдете y

Замена yво равенката x= 300 − yи дознајте што x

Тоа значи дека на платформата биле натоварени 100 дабови и 200 борови прагови.

Да провериме дали решението (100; 200) ги задоволува условите на проблемот. Прво, да се увериме дека системот е решен правилно:

Се зборуваше дека имало вкупно 300 спијачи. Го собираме бројот на прагови од даб и бор и се уверуваме дека решението (100; 200) го задоволува овој услов: 100 + 200 = 300.

Следен услов: сите дабови прагови тежеа 1 тон помалку од сите борови . Гледаме дека решението (100; 200) исто така ја задоволува оваа состојба, бидејќи 46 × 100 kg дабови прагови се полесни од 28 × 200 kg борови прагови: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Задача 3. Зедовме три парчиња легура на бакар и никел во сооднос 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тежина. Од нив, парче со тежина од 12 кг беше споено со сооднос на содржина на бакар и никел од 4: 1. Најдете ја масата на секое оригинално парче ако масата на првото од нив е двојно поголема од масата на второто.

СО nнепознат е систем на форма:

Каде aijИ b i (i=1,…,m; b=1,…,n)се некои познати бројки, и x 1,…,x n- непознати броеви. Во означувањето на коефициентите aijиндекс јасго одредува бројот на равенката, а вториот је бројот на непознатата на која се наоѓа овој коефициент.

Хомоген систем -кога сите слободни членови на системот се еднакви на нула ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), спротивна е ситуацијата хетероген систем.

Квадратен систем -кога бројот мравенките е еднаков на бројот nнепознат.

Системско решение- сет nброеви c 1 , c 2 , ..., c n ,така што замената на сите c iнаместо x iво систем ги претвора сите свои равенки во идентитети.

Заеднички систем -кога системот има барем едно решение, и некомпатибилен системкога системот нема решенија.

Заеднички систем од овој вид (како што е дадено погоре, нека биде (1)) може да има едно или повеќе решенија.

Решенија c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)И c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)заеднички систем од типот (1) ќе различни, кога дури 1 од еднаквостите не е исполнето:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Заеднички систем од типот (1) ќе одреденикога има само едно решение; кога системот има најмалку 2 различни решенија, тој станува неопределен. Кога има повеќе равенки отколку непознати, системот е редефиниран.

Коефициентите за непознатите се напишани како матрица:

Тоа се нарекува системска матрица.

Броевите што се наоѓаат на десната страна на равенките, b 1,…,b mсе слободни членови.

Агрегат nброеви c 1,…,c nе решение за овој систем кога сите равенки на системот се претвораат во еднаквост откако ќе се заменат броевите во нив c 1,…,c nнаместо соодветните непознати x 1,…,x n.

При решавање на систем на линеарни равенки, може да се појават 3 опции:

1. Системот има само едно решение.

2. Системот има бесконечен број решенија. На пример, . Решението на овој систем ќе бидат сите парови на броеви кои се разликуваат по знак.

3. Системот нема решенија. На пример, , ако постои решение, тогаш x 1 + x 2е еднакво на 0 и 1 во исто време.

Методи за решавање системи на линеарни равенки.

Директни методидајте алгоритам со кој се наоѓа точното решение SLAU(системи на линеарни алгебарски равенки). И ако точноста беше апсолутна, тие ќе ја најдеа. Вистински електричен компјутер, се разбира, работи со грешка, така што решението ќе биде приближно.

§1. Системи на линеарни равенки.

систем за гледање

наречен систем млинеарни равенки со nнепознат.

Еве
- непознато, - коефициенти за непознати,
- слободни членови на равенките.

Ако сите слободни членови од равенките се еднакви на нула, системот се повикува хомогена. Одлукасистемот се нарекува збир од броеви
, кога ги заменуваме во системот наместо непознати, сите равенки се претвораат во идентитети. Системот се нарекува зглобако има барем едно решение. Заеднички систем со единствено решение се нарекува одредени. Двата системи се нарекуваат еквивалентако множествата на нивните решенија се исти.

Системот (1) може да се претстави во форма на матрица користејќи ја равенката

(2)

.

§2. Компатибилност на системи на линеарни равенки.

Проширената матрица на системот (1) ја нарекуваме матрица

Теорема Кронекер - Капели. Системот (1) е конзистентен ако и само ако рангот на системската матрица е еднаков на рангот на проширената матрица:

.

§3. Системско решениеn линеарни равенки соn непознат.

Размислете за нехомоген систем nлинеарни равенки со nнепознато:

(3)

Крамерова теорема.Ако главната детерминанта на системот (3)
, тогаш системот има единствено решение определено со формулите:

тие.
,

Каде - детерминантата добиена од детерминантата замена колона до колоната слободни членови.

Ако
, и барем еден од ≠0, тогаш системот нема решенија.

Ако
, тогаш системот има бесконечно многу решенија.

Системот (3) може да се реши со помош на неговата матрична нотација (2). Ако рангот на матрицата Аеднакви n, т.е.
, потоа матрицата Аима инверзна
. Множење на матричната равенка
до матрица
лево, добиваме:

.

Последната еднаквост изразува начин за решавање на системи на линеарни равенки со помош на инверзна матрица.

Пример.Решете го системот на равенки со помош на инверзна матрица.

Решение. Матрица
недегенериран, бидејќи
, така што постои инверзна матрица. Да ја пресметаме инверзната матрица:
.

,

Вежбајте. Решете го системот по методот на Крамер.

§4. Решение на произволни системи на линеарни равенки.

Нека е даден нехомоген систем на линеарни равенки од формата (1).

Да претпоставиме дека системот е конзистентен, т.е. условот на теоремата Кронекер-Капели е исполнет:
. Ако рангот на матрицата
(на бројот на непознати), тогаш системот има единствено решение. Ако
, тогаш системот има бесконечно многу решенија. Ајде да објасниме.

Нека рангот на матрицата р(А)= р< n. Затоа што
, тогаш постои ненула минор од редослед р. Да го наречеме основно малолетно. Непознатите чии коефициенти го формираат основниот минор се нарекуваат основни променливи. Останатите непознати се нарекуваат слободни променливи. Ги преуредуваме равенките и ги пренумеруваме променливите така што овој минор се наоѓа во горниот лев агол на системската матрица:

.

Прво рредовите се линеарно независни, останатите се изразени преку нив. Затоа, овие линии (равенки) може да се отфрлат. Добиваме:

Да им дадеме на слободните променливи произволни нумерички вредности: . Ги оставаме само основните променливи на левата страна, а слободните променливи ги преместуваме на десната страна.

Доби систем рлинеарни равенки со рнепознат, чија детерминанта е различна од 0. Има единствено решение.

Овој систем се нарекува општо решение на системот на линеарни равенки (1). Во спротивно: се нарекува изразување на основните променливи во однос на слободните заедничко решениесистеми. Од него можете да добиете бесконечен број приватни одлуки, давајќи им на слободните променливи произволни вредности. Се нарекува одредено решение добиено од општо со нула вредности на слободните променливи основно решение. Бројот на различни основни решенија не надминува
. Се нарекува основно решение со ненегативни компоненти клучнасистемско решение.

Пример.

, р=2.

Променливи
- основно,
- бесплатно.

Да ги додадеме равенките; изразуваат
преку
:

- заедничка одлука.

- приватно решение
.

- основно решение, основно.

§5. Гаусовиот метод.

Гаусовиот метод е универзален метод за проучување и решавање на произволни системи на линеарни равенки. Се состои во доведување на системот во дијагонална (или триаголна) форма со секвенцијална елиминација на непознатите со помош на елементарни трансформации кои не ја нарушуваат еквивалентноста на системите. Променливата се смета за исклучена ако е содржана само во една равенка на системот со коефициент 1.

Елементарни трансформациисистеми се:

Множење равенка со ненула број;

Додавање равенка помножена со кој било број со друга равенка;

Преуредување на равенките;

Отфрлање на равенката 0 = 0.

Елементарните трансформации може да се вршат не на равенки, туку на проширени матрици на добиените еквивалентни системи.

Пример.

Решение.Ја пишуваме проширената матрица на системот:

.

Вршејќи елементарни трансформации, ја доведуваме левата страна на матрицата во единична форма: ќе создадеме единици на главната дијагонала, а нули надвор од неа.

Коментар. Ако при вршење на елементарни трансформации, равенка од формата 0 = k(Каде До0), тогаш системот е неконзистентен.

Решението на системи на линеарни равенки со методот на последователно отстранување на непознати може да се формализира во форма табели.

Левата колона од табелата содржи информации за исклучените (основни) променливи. Останатите колони ги содржат коефициентите на непознатите и слободните членови на равенките.

Проширената матрица на системот е запишана во изворната табела. Следно, продолжете со спроведувањето на трансформациите на Јордан:

1. Изберете променлива , што ќе стане основа. Соодветната колона се нарекува клучна колона. Изберете равенка во која оваа променлива ќе остане, исклучувајќи ја од другите равенки. Соодветниот ред на табелата се нарекува клучен ред. Коефициент , што стои на пресекот на клучниот ред и колоната со клучеви, се нарекува клуч.

2. Елементите на низата за клучеви се делат со клучниот елемент.

3. Колоната за клучеви е исполнета со нули.

4. Останатите елементи се пресметуваат според правилото правоаголник. Тие сочинуваат правоаголник, на спротивните темиња од кои има клучен елемент и повторно пресметан елемент; од производот на елементите на дијагоналата на правоаголникот со клучниот елемент, се одзема производот на елементите на друга дијагонала, добиената разлика се дели со клучниот елемент.

Пример. Најдете го општото решение и основното решение на системот равенки:

Решение.

Општо решение на системот:

Основно решение:
.

Еднократната трансформација на замена овозможува човек да оди од една основа на системот во друга: наместо една од главните променливи, една од слободните променливи се воведува во основата. За да го направите ова, се избира клучен елемент во колоната со слободната променлива и трансформациите се вршат според горенаведениот алгоритам.

§6. Наоѓање решенија за поддршка

Референтното решение на систем од линеарни равенки е основно решение кое не содржи негативни компоненти.

Решенијата за поддршка на системот се наоѓаат со Гаусовиот метод под следните услови.

1. Во оригиналниот систем, сите слободни термини мора да бидат ненегативни:
.

2. Клучниот елемент се избира меѓу позитивните коефициенти.

3. Ако променливата внесена во основата има неколку позитивни коефициенти, тогаш клучната низа е онаа во која односот на слободниот член со позитивниот коефициент е најмал.

Забелешка 1. Ако во процесот на елиминирање на непознатите се појави равенка во која сите коефициенти се непозитивни, а слободниот член
, тогаш системот нема ненегативни решенија.

Забелешка 2. Ако нема ниту еден позитивен елемент во колоните со коефициенти за слободните променливи, тогаш преминот кон друго референтно решение е невозможно.

Пример.

Генерално, линеарната равенка има форма:

Равенката има решение: ако барем еден од коефициентите во непознатите е различен од нула. Во овој случај, секој -димензионален вектор се нарекува решение на равенката ако, кога неговите координати се заменети, равенката станува идентитет.

Општи карактеристики на дозволениот систем на равенки

Пример 20.1

Опишете го системот на равенки.

Решение:

1. Дали има неконзистентна равенка?(Ако коефициентите, во овој случај равенката има форма: и се нарекува контроверзен.)

• Ако системот содржи неконзистентен, тогаш таков систем е неконзистентен и нема решение.

2. Најдете ги сите дозволени променливи. (Непознатото се нарекувадозволеноза систем од равенки, ако внесе една од равенките на системот со коефициент +1, а не ги внесе останатите равенки (т.е. влегува со коефициент еднаков на нула).

3. Дали системот на равенки е дозволен? (Системот на равенки се нарекува решен, ако секоја равенка на системот содржи решена непозната, меѓу која нема совпаѓачки)

Се формираат дозволените непознати, земени една по една од секоја равенка на системот целосен сет на дозволени непознатисистеми. (во нашиот пример тоа е)

Се нарекуваат и дозволените непознати вклучени во комплетниот сет основни(), а не е вклучено во комплетот - бесплатно ().

Во општ случај, решениот систем на равенки има форма:

Во оваа фаза, важно е да се разбере што е решен непознат(вклучено во основата и бесплатно).

Општо делумно основно решение

Општо решениеод дозволениот систем на равенки е збир на изрази на дозволените непознати во однос на слободни членови и слободни непознати:

Приватна одлукасе нарекува решение добиено од општото за специфични вредности на слободните променливи и непознати.

Основно решениее одредено решение добиено од општото при нула вредности на слободните променливи.

• Основното решение (вектор) се нарекува дегенерира, ако бројот на неговите ненулти координати е помал од бројот на дозволени непознати.
• Основното решение се нарекува недегенериран, ако бројот на неговите ненулти координати е еднаков на бројот на дозволени непознати на системот вклучени во комплетното множество.

Теорема (1)

Дозволениот систем на равенки е секогаш компатибилен(бидејќи има барем едно решение); Покрај тоа, ако системот нема слободни непознати,(односно, во системот на равенки, сите дозволени се вклучени во основата) тогаш се дефинира(има уникатно решение); ако има барем една слободна променлива, тогаш системот не е дефиниран(има бесконечен број решенија).

Пример 1. Најдете општо, основно и кое било посебно решение за системот равенки:

Решение:

1. Проверете дали системот е дозволен?

• Системот е дозволен (бидејќи секоја од равенките содржи дозволена непозната)

2. Дозволените непознати ги вклучуваме во множеството - по една од секоја равенка.

3. Го запишуваме општото решение, во зависност од тоа кои дозволени непознати сме ги вклучиле во множеството.

4. Наоѓање приватно решение. За да го направите ова, ние ги изедначуваме слободните променливи што не ги вклучивме во множеството да се изедначат со произволни броеви.

Одговор: приватна одлука(една од опциите)

5. Наоѓање на основното решение. За да го направите ова, ги изедначуваме слободните променливи што не ги вклучивме во множеството на нула.

Елементарни трансформации на линеарни равенки

Системите на линеарни равенки се сведуваат на еквивалентни дозволени системи со помош на елементарни трансформации.

Теорема (2)

Доколку ги има помножете ја равенката на системот со некој ненула број, и оставете ги останатите равенки непроменети, а потоа . (односно, ако ги помножите левата и десната страна на равенката со ист број, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената)

Теорема (3)

Ако додадете уште една на која било равенка на системот, и тогаш оставете ги сите други равенки непроменети добие систем еквивалент на дадениот. (односно, ако додадете две равенки (додавајќи ги нивните леви и десни делови), ќе добиете равенка еквивалентна на податоците)

Заклучок од теоремите (2 и 3)

Ако додадете на која било равенка друга, помножена со одреден броји оставете ги сите други равенки непроменети, тогаш добиваме систем еквивалент на дадениот.

Формули за повторно пресметување на коефициентите на системот

Ако имаме систем на равенки и сакаме да го претвориме во дозволен систем на равенки, во ова ќе ни помогне методот Џордан-Гаус.

Џордан трансформацијасо разрешувачки елемент ви овозможува да ја добиете решената непозната за системот на равенки во равенката со бројот . (пример 2).

Трансформацијата на Јордан се состои од елементарни трансформации од два вида:

Да речеме дека сакаме непознатата во долната равенка да ја направиме решена непозната. За да го направите ова, мора да се поделиме со така што збирот е .

Пример 2 Повторно пресметајте ги коефициентите на системот

Кога се дели равенка со број со , неговите коефициенти повторно се пресметуваат според формулите:

За да се исклучи од равенката со бројот , треба да ја помножите равенката со бројот и да ја додадете на оваа равенка.

Теорема (4) За намалувањето на бројот на системски равенки.

Ако системот на равенки содржи тривијална равенка, тогаш таа може да се исклучи од системот и ќе се добие систем еквивалентен на оригиналниот.

Теорема (5) За некомпатибилноста на системот на равенки.

Ако системот на равенки содржи неконзистентна равенка, тогаш таа е неконзистентна.

Алгоритам Џордан-Гаус

Алгоритмот за решавање на системи на равенки со методот Јордан-Гаус се состои од голем број чекори од ист тип, од кои секоја врши дејства по следниот редослед:

1. Проверува дали системот е неконзистентен. Ако системот содржи неконзистентна равенка, тогаш тој е неконзистентен.
2. Се проверува можноста за намалување на бројот на равенки. Ако системот содржи тривијална равенка, таа се прецртува.
3. Ако системот на равенки е дозволен, тогаш запишете го општото решение на системот и, доколку е потребно, одредени решенија.
4. Ако системот не е дозволен, тогаш во равенката која не содржи дозволена непозната, се избира елемент за разрешување и со овој елемент се врши трансформација на Јордан.
5. Потоа вратете се на точка 1.

Пример 3 Решете го системот на равенки со помош на методот Џордан-Гаус.

Најдете: две општи и две соодветни основни решенија

Решение:

Пресметките се прикажани во следната табела:

Дејствата на равенките се прикажани десно од табелата. Стрелките покажуваат на која равенка е додадена равенката со разрешувачкиот елемент помножен со соодветен фактор.

Првите три реда од табелата ги содржат коефициентите на непознатите и десните делови од оригиналниот систем. Резултатите од првата трансформација на Јордан со резолуција еднаква на една се дадени во редовите 4, 5, 6. Резултатите од втората трансформација на Јордан со резолуција еднаква на (-1) се дадени во редовите 7, 8, 9. третата равенка е тривијална, не може да се разгледа.

Да се ​​испита систем на линеарни старосни равенки (SLAE) за компатибилност значи да се открие дали овој систем има решенија или не. Па, ако има решенија, тогаш наведете колку од нив.

Ќе ни требаат информации од темата „Систем на линеарни алгебарски равенки. Основни поими. Матрична нотација“. Конкретно, потребни се концепти како матрицата на системот и проширената матрица на системот, бидејќи на нив се заснова формулирањето на теоремата Кронекер-Капели. Како и обично, матрицата на системот ќе биде означена со буквата $A$, а продолжената матрица на системот со буквата $\widetilde(A)$.

Теорема Кронекер-Капели

Систем од линеарни алгебарски равенки е конзистентен ако и само ако рангот на матрицата на системот е еднаков на рангот на проширената матрица на системот, т.е. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Да ве потсетам дека системот се нарекува спој ако има барем едно решение. Теоремата Кронекер-Капели го вели ова: ако $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогаш постои решение; ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогаш оваа SLAE нема решенија (не е конзистентна). Одговорот на прашањето за бројот на овие решенија е даден со последица на теоремата Кронекер-Капели. Изјавата на заклучокот ја користи буквата $n$, што е еднакво на бројот на променливи во дадениот SLAE.

Заклучок од теоремата Кронекер-Капели

1. Ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогаш SLAE е неконзистентен (нема решенија).
2. Ако $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ако $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, тогаш SLAE е дефинитивно (има точно едно решение).

Забележете дека формулираната теорема и нејзината последица не покажуваат како да се најде решение за SLAE. Со нивна помош можете само да дознаете дали овие решенија постојат или не, и дали постојат, тогаш колку.

Пример #1

Истражете го SLAE $ \left \(\begin(порамнет) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(порамнет )\right.$ за конзистентност Ако SLAE е конзистентна, наведете го бројот на решенија.

За да дознаеме постоење на решенија за дадена SLAE, ја користиме теоремата Кронекер-Капели. Ни требаат матрицата на системот $A$ и проширената матрица на системот $\widetilde(A)$, ги запишуваме:

$$ A=\лево(\почеток(низа) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(низа) \десно);\; \widetilde(A)=\left(\begin(низа) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end (низа)\десно). $$

Треба да ги најдеме $\rang A$ и $\rang\widetilde(A)$. Постојат многу начини да го направите ова, од кои некои се наведени во делот Matrix Rank. Вообичаено, за проучување на ваквите системи се користат два методи: „Пресметка на ранг на матрица по дефиниција“ или „Пресметка на ранг на матрица со методот на елементарни трансформации“.

Метод број 1. Пресметка на рангови по дефиниција.

Според дефиницијата, рангот е највисокиот ред на минорите од матрицата, меѓу кои има барем еден различен од нула. Обично, студијата започнува со малолетниците од прв ред, но тука е попогодно веднаш да се продолжи со пресметката на минор од трет ред на матрицата $A$. Елементите на минор од трет ред се на пресекот на три реда и три колони од матрицата што се разгледува. Бидејќи матрицата $A$ содржи само 3 редови и 3 колони, минор од трет ред на матрицата $A$ е детерминанта на матрицата $A$, т.е. $\DeltaA$. За пресметување на детерминантата ја применуваме формулата бр.2 од темата „Формули за пресметување на детерминанти од втор и трет ред“:

$$ \Делта А=\лево| \почеток(низа) (ццц) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \крај (низа) \десно|=-21. $$

Значи, постои минор од трет ред на матрицата $A$, што не е еднакво на нула. Не може да се состави малолетник од 4-ти ред, бидејќи бара 4 редови и 4 колони, а матрицата $A$ има само 3 реда и 3 колони. Значи, највисокиот ред на минори од матрицата $A$, меѓу кои има барем еден не-нула, е еднаков на 3. Според тоа, $\rang A=3$.

Треба да најдеме и $\rang\widetilde(A)$. Да ја погледнеме структурата на матрицата $\widetilde(A)$. До линијата во матрицата $\widetilde(A)$ има елементи од матрицата $A$ и дознавме дека $\Delta A\neq 0$. Според тоа, матрицата $\widetilde(A)$ има минор од трет ред кој не е еднаков на нула. Не можеме да составиме минори од четврти ред на матрицата $\widetilde(A)$, па заклучуваме: $\rang\widetilde(A)=3$.

Бидејќи $\rang A=\rang\widetilde(A)$, според теоремата Кронекер-Капели, системот е конзистентен, т.е. има решение (барем едно). За да го наведеме бројот на решенија, земаме предвид дека нашиот SLAE содржи 3 непознати: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Бидејќи бројот на непознати е $n=3$, заклучуваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, затоа, според заклучокот на теоремата Кронекер-Капели, системот е дефинитивен, т.е. има уникатно решение.

Проблемот е решен. Кои се недостатоците и предностите на овој метод? Прво, ајде да зборуваме за добрите. Прво, требаше да најдеме само една детерминанта. После тоа веднаш донесовме заклучок за бројот на решенија. Вообичаено, во стандардните типични пресметки се дадени системи на равенки кои содржат три непознати и имаат едно решение. За такви системи, овој метод е многу удобен, бидејќи однапред знаеме дека постои решение (во спротивно не би имало пример во типична пресметка). Оние. треба само на најбрз начин да го покажеме постоењето на решение. Второ, пресметаната вредност на детерминантата на системската матрица (т.е. $\Delta A$) ќе ни се најде подоцна: кога ќе почнеме да го решаваме дадениот систем користејќи го методот Крамер или користејќи ја инверзната матрица.

Меѓутоа, по дефиниција, методот на пресметување на рангот е непожелен ако системската матрица $A$ е правоаголна. Во овој случај, подобро е да се примени вториот метод, за кој ќе се дискутира подолу. Освен тоа, ако $\Delta A=0$, тогаш нема да можеме да кажеме ништо за бројот на решенија за дадена нехомогена SLAE. Можеби SLAE има бесконечен број решенија, или можеби ниту едно. Ако $\Delta A=0$, тогаш е потребно дополнително истражување, кое често е незгодно.

Сумирајќи го она што е кажано, забележувам дека првиот метод е добар за оние SLAE чија системска матрица е квадратна. Во исто време, самиот SLAE содржи три или четири непознати и е земен од стандардни стандардни пресметки или контролни работи.

Метод број 2. Пресметка на рангот со методот на елементарни трансформации.

Овој метод е детално опишан во соодветната тема. Ќе го пресметаме рангот на матрицата $\widetilde(A)$. Зошто матрици $\widetilde(A)$ а не $A$? Поентата е дека матрицата $A$ е дел од матрицата $\widetilde(A)$, така што со пресметување на рангот на матрицата $\widetilde(A)$ истовремено ќе го најдеме рангот на матрицата $A$ .

\begin(порамнет) &\widetilde(A) =\left(\begin(низа) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end (низа) \десно) \десно стрелка \лево|\текст (заменете ја првата и втората линија)\десно| \десно стрелка \\ &\десно стрелка \лево(\почеток(низа) (кцц|в) -1 и 2 и -4 и 9 \\ -3 и 9 &-7 и 17\\ 4 и -2 и 19 & - 42 \end(низа) \десно) \почеток(низа) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end (низа) \десна стрелка \лево(\почеток(низа) (cccc| в) -1 и 2 и -4 и 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 и 6 & 3 & -6 \end(низа) \десно) \почеток(низа) (l) \фантом(0 ) \\ \фантом(0)\\ r_3-2r_2 \end (низа)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(низа) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end (низа) \десно) \крај (порамнет)

Ја намаливме матрицата $\widetilde(A)$ на скалеста форма. Добиената матрица на чекори има три редици кои не се нула, така што нејзиниот ранг е 3. Според тоа, рангот на матрицата $\widetilde(A)$ е 3, т.е. $\rank\widetilde(A)=3$. Правејќи трансформации со елементите на матрицата $\widetilde(A)$, истовремено ги трансформиравме елементите на матрицата $A$ сместени пред линијата. Матрицата $A$ е исто така чекор: $\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ десно) $. Заклучок: рангот на матрицата $A$ е исто така еднаков на 3, т.е. $\ранг A=3$.

Бидејќи $\rang A=\rang\widetilde(A)$, според теоремата Кронекер-Капели, системот е конзистентен, т.е. има решение. За да го наведеме бројот на решенија, земаме предвид дека нашиот SLAE содржи 3 непознати: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Бидејќи бројот на непознати е $n=3$, заклучуваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, затоа, според последицата на теоремата Кронекер-Капели, системот е дефиниран, т.е. има уникатно решение.

Кои се предностите на вториот метод? Главната предност е неговата разновидност. За нас не е важно дали матрицата на системот е квадрат или не. Покрај тоа, ние всушност извршивме трансформации на методот Гаус напред. Останаа само неколку чекори, а ние би можеле да го добиеме решението за овој SLAE. Да бидам искрен, вториот начин повеќе ми се допаѓа од првиот, но изборот е прашање на вкус.

Одговори: Дадениот SLAE е конзистентен и дефиниран.

Пример #2

Истражете го SLAE $ \left\( \begin(порамнет) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(порамнет) \десно.$ за компатибилност.

Ранговите на системската матрица и проширената матрица на системот ќе ги најдеме со методот на елементарни трансформации. Проширена системска матрица: $\widetilde(A)=\left(\begin(низа) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(низа) \десно)$. Ајде да ги најдеме потребните рангови со трансформирање на зголемената матрица на системот:

$$ \left(\begin(низа) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 и 5 и 1 \\ 2 & -1 и 3 и 2 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end (низа)\десна стрелка \лево(\почеток(низа) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(низа) \десно) \почеток(низа) (l) \фантом(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(низа)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(низа) (ccc|c) 1 & -1 и 2 и -1\\ 0 и 1 и -1 и 2 \\ 0 и 0 и 0 и 2 \\ 0 и 0 и 0 и 2 \\ 0 и 0 и 0 и 0 \крај (низа) \ десно) \почеток(низа) (л) \фантом(0)\\\фантом(0)\\\фантом(0)\\ r_4-r_3\\\фантом(0)\крај (низа)\десно стрелка \лево (\begin(низа) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 \крај (низа) \десно) $$

Проширената матрица на системот е сведена на скалеста форма. Рангот на матрицата со чекори е еднаков на бројот на нејзините ненула редови, така што $\rang\widetilde(A)=3$. Матрицата $A$ (до линијата) исто така се сведува на скалеста форма, а нејзиниот ранг е еднаков на 2, $\rang(A)=2$.

Бидејќи $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогаш, според теоремата Кронекер-Капели, системот е неконзистентен (т.е. нема решенија).

Одговори: Системот е неконзистентен.

Пример #3

Истражете го SLAE $ \left\( \begin(порамнет) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=- ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end (порамнет) \десно.$ за компатибилност.

Зголемената матрица на системот ја доведуваме во скалеста форма:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \крај (низа) \десно) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(низа)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 и 23 & 0 & 15 & 132 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( низа) \десно стрелка \лево(\почеток(низа)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \крај (низа) \десно) \почеток( низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end (низа) \десно стрелка $$ $$ \десно стрелка\лево(\почеток (низа)(cccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \Phantom(0 )\\ \фантом(0)\\\фантом(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end (низа) \десна стрелка \лево(\почеток(низа)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 и 0 и 2 и 17\\ 0 и 4 и 1 и -5 и 7 и 8 \\ 0 и 0 и -11 и 15 и -25 и -76\\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \крај (низа) \десно) $$

Проширената матрица на системот и матрицата на самиот систем ја намаливме на скалеста форма. Рангот на проширената матрица на системот е еднаков на три, рангот на матрицата на системот е исто така еднаков на три. Бидејќи системот содржи $n=5$ непознати, т.е. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, тогаш, според заклучокот на теоремата Кронекер-Капели, овој систем е неопределен, т.е. има бесконечен број решенија.

Одговори: системот е неопределен.

Во вториот дел, ќе анализираме примери кои често се вклучени во стандардни пресметки или тестови во вишата математика: проучување на компатибилноста и решението на SLAE во зависност од вредностите на параметрите вклучени во него.