Линеарни неравенки. Решавање на линеарни неравенки. Видео час „Решавање линеарни неравенки Решавање на линеарни неравенки со детално решение

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Доколку учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Во оваа лекција ќе започнеме да ги проучуваме нееднаквостите и нивните својства. Ќе ги разгледаме наједноставните неравенки - линеарни и методи за решавање системи и множества на неравенки.

Често споредуваме одредени предмети според нивните нумерички карактеристики: стоки според нивните цени, луѓе според нивната висина или возраст, паметни телефони според нивната дијагонала или резултатите на тимовите според бројот на постигнати голови на натпревар.

Односите на формата или се нарекуваат нееднаквости. Впрочем, во нив пишува дека бројките не се еднакви, туку поголеми или помали еден од друг.

За да ги споредиме природните броеви во децимална нотација, ги редиме цифрите: , а потоа најчесто ги користеле предностите на децималната нотација: почнале да ги споредуваат цифрите на броевите од најлевите цифри до првото несовпаѓање.

Но, овој метод не е секогаш удобен.

Најлесен начин е да се споредат позитивните бројки, бидејќи тие означуваат количини. Навистина, ако еден број може еквивалентно да се претстави како збир на број со некој друг број, тогаш поголем од: .

Еквивалентен запис: .

Оваа дефиниција може да се прошири не само на позитивни броеви, туку и на кои било два броја: .

Бројповеќе број (се пишува како или ) ако бројот е позитивен . Според тоа, ако бројот е негативен, тогаш .

На пример, да споредиме две дропки: и . Не можете веднаш да кажете кој е поголем. Затоа, да се свртиме кон дефиницијата и да ја разгледаме разликата:

Добивме негативен број, што значи .

На бројната оска, поголемиот број секогаш ќе се наоѓа десно, помалиот број лево (сл. 1).

Ориз. 1. На бројната оска, поголемиот број се наоѓа десно, помалиот број е лево

Зошто се потребни такви формални дефиниции? Нашето разбирање е едно, а технологијата е друго. Ако формулирате строг алгоритам за споредување на броеви, тогаш можете да го доверите на компјутер. Има плус во ова - овој пристап не спасува од извршување на рутински операции. Но, има и минус - компјутерот точно го следи дадениот алгоритам. Ако на компјутерот му е дадена задача: возот мора да ја напушти станицата на, тогаш дури и ако се најдете на платформата на, нема да бидете на време за овој воз. Затоа, алгоритмите што му ги доделуваме на компјутерот за извршување на различни пресметки или решавање проблеми мора да бидат многу точни и колку што е можно формализирани.

Како и во случајот со еднаквостите, можете да извршите одредени операции на неравенки и да добиете еквивалентни неравенки.

Ајде да погледнеме некои од нив.

1. Ако, Тоаза кој било број. Оние. можете да додадете или одземете ист број на двете страни на неравенката.

Веќе имаме добар имиџ - вага. Ако едната вага имала прекумерна тежина, тогаш колку и да сме додале (или одзеле) на двете ваги, оваа ситуација нема да се промени (сл. 2).

Ориз. 2. Ако вагата не е избалансирана, тогаш откако ќе им се додаде (одземе) ист број тежини ќе останат во истата неурамнотежена положба.

Ова дејство може да се формулира поинаку: можете да префрлите термини од еден дел на неравенството во друг, менувајќи го нивниот знак во спротивен: .

2. Ако, ТоаИза секое позитивно. Оние. Двете страни на неравенката може да се помножат или поделат со позитивен број и неговиот знак нема да се промени.

За да го разбереме ова својство, повторно можеме да ја користиме аналогијата со вагата: ако, на пример, левиот сад беше надминат, тогаш ако земеме два леви и два десни, предноста дефинитивно ќе остане. Истата ситуација за , чинии итн. Дури и да земеме половина од секој од чиниите, ситуацијата нема да се промени (сл. 3).

Ориз. 3. Ако вагата не е избалансирана, тогаш откако ќе се одземе по половина од секоја од нив, тие ќе останат во истата неурамнотежена положба

Ако ги помножите или поделите двете страни на неравенката со негативен број, тогаш знакот на неравенството ќе се промени во спротивното. Аналогијата за оваа операција е малку посложена - нема негативни количини. Фактот дека за негативните броеви е точно спротивното ќе помогне овде (колку е поголема апсолутната вредност на бројот, толку е помал самиот број): .

За бројни различни знаци е уште полесно: . Односно, кога се множиме со , мора да го смениме знакот на нееднаквост во спротивното.

Што се однесува до множењето со негативен број, можете да извршите еквивалентна дводелна операција: прво помножете се со спротивниот позитивен број - како што веќе знаеме, знакот за нееднаквост нема да се промени: .

Дознајте повеќе за собирање и множење

Во првото својство напишавме: , но во исто време рековме дека не само што можете да собирате, туку и одземате. Зошто? Бидејќи одземањето на број е исто како и собирањето на неговиот спротивен број: . Затоа не зборуваме само за собирање, туку и за одземање.

Слично со второто својство: делењето е множење со реципрочниот број: . Затоа, во второто својство не зборуваме само за множење со број, туку и за делење.

3. За позитивни броевиИ, Ако, Тоа.

Добро го знаеме овој имот: ако ја поделиме тортата меѓу луѓето, тогаш колку повеќе, толку помалку секој добива. На пример: , значи (навистина, четвртиот дел од колачот е јасно помал од третиот дел од истата торта) (сл. 4).

Ориз. 4. Четвртина торта е помала од една третина од истата торта.

4. АкоИ, Тоа.

Продолжувајќи ја аналогијата со вагата: ако на некои ваги левата тава е поголема од десната, а на други ситуацијата е иста, тогаш со истурање на содржината од левите чинии одделно и одделно содржината на десните чинии, повторно добиваме дека левиот сад е поголем (сл. 5).

Ориз. 5. Ако левите тави од две ваги ги надминуваат десните, тогаш со истурање одделно содржината на левата и одделно содржината на десните чинии, излегува дека левата тава е поголема.

5. За позитивното, АкоИ, Тоа.

Овде аналогијата е малку посложена, но и јасна: ако левиот сад е потежок од десниот и земеме повеќе леви чинии од десните, тогаш дефинитивно ќе добиеме помасивен сад (сл. 6).

Ориз. 6. Ако левиот сад е потежок од десниот, тогаш ако земете повеќе леви чинии од десните чинии, ќе добиете помасивен сад

Последните две својства се интуитивни: кога собираме или множиме поголеми броеви, завршуваме со поголем број.

Повеќето од овие својства може ригорозно да се докажат со користење на различни алгебарски аксиоми и дефиниции, но ние нема да го направиме тоа. За нас процесот на докажување не е толку интересен како директно добиениот резултат, кој ќе го користиме во пракса.

Досега зборувавме за неравенки како начин на запишување на резултатот од споредување на два броја: или. Но, нееднаквостите може да се користат и за снимање на различни информации за ограничувањата за одреден објект. Во животот, ние често користиме такви ограничувања за да опишеме, на пример: Русија е милиони луѓе од Калининград до Владивосток; Не можете да носите повеќе од кг во лифт, а не повеќе од кг во торба. Ограничувањата може да се користат и за класифицирање на објекти. На пример, во зависност од возраста, се разликуваат различни категории на население - деца, адолесценти, млади итн.

Во сите разгледани примери, може да се идентификува заедничка идеја: одредена количина е ограничена одозгора или долу (или од двете страни одеднаш). Ако е капацитетот за подигнување на лифтот и дали е дозволената маса на стока што може да се стави во пакетот, тогаш информациите опишани погоре може да се напишат на следниов начин: , итн.

Во примерите што ги погледнавме бевме малку неточни. Формулацијата „не повеќе“ имплицира дека точно кг може да се транспортира во лифт, а точно кг може да се стави во торба. Затоа, би било поправилно да се напише вака: или . Секако, незгодно е да се пишува на овој начин, па затоа дошле до посебен знак: , кој гласи „помалку или еднаков на“. Таков нееднаквостисе нарекуваат не строг(соодветно, нееднаквости со знаци - строг). Тие се користат кога променливата не само што може да биде строго поголема или помала, туку може да биде и еднаква на граничната вредност.

Решавање на нееднаквостаСе повикуваат сите такви вредности на променливата, по чија замена ќе биде вистинита добиената нумеричка неравенка. Да ја разгледаме, на пример, неравенката: . Броевите се решенија за оваа неравенка, бидејќи нееднаквостите се вистинити. Но, бројките не се решенија, бидејќи нумеричките неравенки не се вистинити. Решете ја нееднаквоста, што значи наоѓање на сите вредности на променливите за кои е вистина нееднаквоста.

Да се ​​вратиме на нееднаквоста. Неговите решенија може еквивалентно да се опишат како: сите реални броеви кои се поголеми од . Јасно е дека има бесконечен број такви броеви, па како да го запишеме одговорот во овој случај? Да се ​​свртиме кон бројната оска: сите броеви поголеми од , се наоѓаат десно од . Да ја засенчиме оваа област, покажувајќи дека тоа ќе биде одговорот на нашата нееднаквост. За да се покаже дека некој број не е решение, тој е затворен во празен круг, или, со други зборови, се извлекува точка (сл. 7).

Ориз. 7. Бројната линија покажува дека бројот не е решение (дупната точка)

Ако нееднаквоста не е строга и избраната точка е решение, тогаш таа е затворена во пополнет круг.

Ориз. 8. Бројната линија покажува дека бројот е решение (засенчена точка)

Удобно е да се напише конечниот одговор користејќи празнини. Интервалот е напишан според следниве правила:

Знакот означува бесконечност, т.е. покажува дека бројот може да добие произволно голема () или произволно мала вредност ().

Одговорот на неравенството можеме да го напишеме на следниов начин: или едноставно: . Тоа значи дека непознатата припаѓа на наведениот интервал, т.е. може да земе која било вредност од овој опсег.

Ако двете загради на јазот се тркалезни, како во нашиот пример, тогаш се нарекува и таков јаз интервал.

Обично решението на неравенката е интервал, но можни се и други опции, на пример, решението може да биде множество кое се состои од еден или повеќе броеви. На пример, неравенството има само едно решение. Навистина, за сите други вредности, изразот ќе биде позитивен, што значи дека соодветната нумеричка неравенка нема да биде задоволена.

Нееднаквостите можеби немаат решенија. Во овој случај, одговорот е напишан како („Променливата припаѓа на празното множество“). Нема ништо необично во тоа што решението на неравенството може да биде празното множество. Навистина, во реалниот живот, ограничувањата може да доведат и до фактот дека нема ниту еден елемент што ги задоволува барањата. На пример, дефинитивно нема луѓе повисоки од метри и со тежина до кг. Множеството на такви луѓе не содржи ниту еден елемент или, како што велат, тоа е празен сет.

Неравенките може да се користат не само за снимање на познати информации, туку и како математички модели за решавање на различни проблеми. Нека имате рубли. Колку сладолед во рубља може да се купи со овие пари?

Друг пример. Имаме рубли и треба да купиме сладолед за нашите пријатели. По која цена можеме да избереме сладолед за купување?

Во животот, секој од нас знае како да реши толку едноставни проблеми во нашите глави, но задачата на математиката е да развие погодна алатка со која можете да решите не еден специфичен проблем, туку цела класа различни проблеми, без оглед на тоа што ние се зборува за - бројот на порции сладолед, автомобили за транспорт на стоки или ролни тапети за соба.

Ајде да ја преработиме состојбата на првиот проблем за сладолед на математички јазик: една порција чини рубли, бројот на порции што можеме да ги купиме ни е непознат, ајде да го означиме како . Тогаш вкупните трошоци за нашето купување: рубли. И, според условот, оваа сума не треба да надминува рубли. Ослободувајќи се од имињата, добиваме математички модел: .

Слично за вториот проблем (каде е цената на една порција сладолед): . Конструкциите се наједноставните примери на неравенки со променлива или линеарни неравенки.

Неравенките се нарекуваат линеарниљубезен , како и оние кои можат да се доведат до оваа форма со еквивалентни трансформации. На пример: ; ; .

За нас нема ништо ново во оваа дефиниција: разликата помеѓу линеарните неравенки и линеарните равенки е само во замена на знакот за еднаквост со знак за неравенство. Името се поврзува и со линеарната функција, која се појавува на левата страна на неравенката (сл. 9).

Ориз. 9. График на линеарна функција

Според тоа, алгоритмот за решавање на линеарни неравенки е речиси ист како алгоритмот за решавање на линеарни равенки:

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 1.Решавање на линеарна неравенка: .

Решение

Да го поместиме членот со непознатата од десната страна на неравенката налево: .

Двете страни ги делиме со негативен број, знакот за неравенство се менува на спротивен: . Ајде да направиме цртеж на оската (слика 10).

Ориз. 10. Илустрација на пример 1

Нема лев раб на јазот, затоа пишуваме . Левиот раб на интервалот е строга неравенка, па го пишуваме со заграда. Го добиваме интервалот: .

Пример 2.Решавање на линеарна неравенка:

Решение

Да ги отвориме заградите од левата и десната страна на неравенката: .

Да претставиме слични поими: .

Ајде да направиме цртеж на оската (слика 11).

Ориз. 11. Илустрација на пример 2

Го добиваме интервалот: .

Што да направите ако, по намалувањето на слични термини, непознатото

Пример 1.Решавање на линеарна неравенка: .

Решение

Ајде да ги прошириме заградите: .

Ајде да ги преместиме сите поими со променлива на левата страна и без променлива на десната страна:

Ајде да погледнеме слични термини: .

Добиваме:.

Нема непознато, што да правам? Всушност, повторно ништо ново. Запомнете што направивме во такви случаи за линеарни равенки: ако еднаквоста е точно, тогаш решението е кој било реален број ако еднаквоста е неточна, тогаш равенката нема решенија.

Истото го правиме и овде. Ако добиената нумеричка неравенка е вистинита, тогаш непознатата може да земе која било вредност: ( - множеството од сите реални броеви). Но, ова може да се прикаже на нумеричката оска на следниов начин (сл. 1):

Ориз. 1. Непознатото може да земе каква било вредност

И користејќи го интервалот напишете го вака: .

Ако се покаже дека бројната неравенка е неточна, тогаш првобитната неравенка нема решенија: .

Во нашиот случај, неравенството не е точно, па одговорот е: .

Во различни задачи може да наидеме не на еден, туку на неколку услови или ограничувања одеднаш. На пример, за да решите проблем со транспортот, треба да го земете предвид бројот на автомобили, времето на патување, носивоста итн. Секој од условите ќе биде опишан на математички јазик со сопствената нееднаквост. Во овој случај, можни се две опции:

1. Сите услови се исполнети истовремено. Таков случај е опишан систем на нееднаквости. При пишување се комбинираат со кадрава заграда (можете да ја прочитате како сврзник И): .

2. Мора да се исполни барем еден од условите. Ова е опишано збир на нееднаквости(можете да го прочитате како сврзник ИЛИ): .

Системите и множествата на неравенки можат да содржат неколку променливи, а нивниот број и сложеност може да биде која било. Но, ние детално ќе го проучуваме наједноставниот случај: системи и множества на неравенки со една променлива.

Како да ги решите? Потребно е да се реши секоја од нееднаквостите посебно, а потоа се зависи од тоа дали имаме систем пред нас или множество. Ако е систем, мора да се исполнат сите услови. Доколку Шерлок Холмс утврдил дека криминалецот е русокос и има големина на стапалата, тогаш меѓу осомничените би требало да останат само русокоси со големина на неговите стапала. Оние. Ќе ги користиме само оние вредности што одговараат на еден, вториот и, доколку ги има, третиот и други услови. Тие се на пресекот на сите добиени множества. Ако користите бројна оска, тогаш - на пресекот на сите засенчени делови од оската (слика 12).

Ориз. 12. Решение на системот - пресекот на сите засенчени делови на оската

Ако е колекција, тогаш сите вредности кои се решенија за барем една нееднаквост ни се погодни. Ако Шерлок Холмс утврди дека криминалецот може да биде или русокос или личност со големина на стапалото, тогаш меѓу осомничените треба да бидат и сите русокоси (без разлика на големината на чевлите) и сите луѓе со големина на стапалото (без разлика на бојата на косата) . Оние. решението за множество неравенки ќе биде соединување на множествата на нивните решенија. Ако користите бројна оска, тогаш тоа е спој на сите засенчени делови на оската (сл. 13).

Ориз. 13. Решение на ансамблот - спој на сите засенчени делови од оската

Можете да дознаете повеќе за пресекот и соединувањето подолу.

Пресек и спој на множества

Термините „пресек“ и „соединување“ се однесуваат на концептот на множество. Еден куп- збир на елементи кои исполнуваат одредени критериуми. Можете да смислите онолку примери на комплети колку што сакате: многу соученици, многу фудбалери на руската репрезентација, многу автомобили во соседниот двор итн.

Веќе сте запознаени со нумеричките множества: множеството природни броеви, цели броеви, рационални броеви, реални броеви. Има и празни комплети, не содржат елементи. Решенијата на неравенките се исто така множества од броеви.

Пресекот на две множестваИсе нарекува множество кое ги содржи сите елементи кои припаѓаат истовремено и на множеството и на множеството (сл. 1).

Ориз. 1. Пресек на множества и

На пример, пресекот на множеството на сите жени и множеството претседатели на сите земји ќе бидат сите претседателки.

Сојуз од два сетаИсе нарекува множество кое ги содржи сите елементи кои припаѓаат на барем едно од множествата или (сл. 2).

Ориз. 2. Сојуз на гарнитури и

На пример, сојузот на многу фудбалери на Зенит во руската репрезентација и фудбалери на Спартак во руската репрезентација ќе бидат сите фудбалери на Зенит и Спартак кои играат за националниот тим. Патем, пресекот на овие сетови ќе биде празниот сет (играчот не може да игра за два клуба истовремено).

Веќе сте наишле на унија и пресек на нумерички множества кога баравте LCM и GCD на два броја. Ако и се множества составени од прости множители добиени со разложување на броеви, тогаш gcd се добива од пресекот на овие множества, а gcd се добива од унијата. Пример:

Пример 3.Решете го системот на неравенки: .

Решение

Ајде да ги решиме неравенките одделно. Во првата неравенка, членот без променлива го поместуваме на десната страна со спротивен знак: .

Да претставиме слични поими: .

Да ги поделиме двете страни на неравенството со позитивен број, знакот на неравенството не се менува:

Во втората неравенка го поместуваме поимот со променливата на левата страна, а без променливата на десната страна: . Да претставиме слични поими: .

Да ги поделиме двете страни на неравенството со позитивен број, знакот на неравенството не се менува:

Дозволете ни да ги прикажеме решенијата на поединечни неравенки на бројната оска. По услов, имаме систем на неравенки, па го бараме пресекот на решенијата (сл. 14).

Ориз. 14. Илустрација на пример 3

Во суштина, првиот дел од решавањето на системи и множества неравенки со една променлива се сведува на решавање на поединечни линеарни неравенки. Можете да го практикувате ова сами (на пример, користејќи ги нашите тестови и симулатори), а ние ќе се задржиме подетално на наоѓање синдикати и пресеци на множества решенија.

Пример 4.Нека се добие следново решение на поединечни равенки на системот:

Решение

Да ја засенчиме областа на оската што одговара на решението на првата равенка (сл. 15); решението на втората равенка е празно множество, на оската нема ништо соодветно.

Ориз. 15. Илустрација на пример 4

Ова е систем, така што треба да го барате пресекот на решенијата. Но, ги нема. Ова значи дека одговорот на системот исто така ќе биде празен сет: .

Пример 5.Друг пример:.

Решение

Разликата е во тоа што ова е веќе збир на нееднаквости. Затоа, треба да изберете регион на оската што одговара на решението на барем една од равенките. Го добиваме одговорот:.

Поедноставно, можеме да кажеме дека се работи за неравенки во кои има променлива само до прв степен, а не е во именителот на дропката.

Примери:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Примери на нелинеарни неравенки:

\(3>-2\) - тука нема променливи, само бројки, што значи дека ова е нумеричка неравенка
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – има променлива во именителот, ова
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - постои променлива на втората моќност, ова е

Решавање на линеарни неравенки

Решавање на нееднаквостаќе има кој било број чија замена на местото на променливата ќе ја направи неравенката вистинита. Решете ја нееднаквоста- значи наоѓање на сите такви броеви.

На пример, за неравенката \(x-2>0\) бројот \(5\) ќе биде решение, бидејќи кога заменуваме пет наместо x, го добиваме точниот број: \(3>0\). Но, бројот \(1\) нема да биде решение, бидејќи замената ќе резултира со неточна нумеричка неравенка: \(-1>0\) . Но, решението за неравенството ќе биде не само пет, туку и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и бесконечен број броеви: кој било број поголем од два .

Затоа, линеарните неравенки не можат да се решат со пребарување и замена на вредности. Наместо тоа, користејќи ги доведе до едно од следниве:

\(х c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), каде \(с\) е кој било број

Одговорот потоа се означува на бројната линија и се запишува како (исто така наречен интервал).

Во принцип, ако знаете како да решавате, тогаш можете да правите линеарни неравенки, бидејќи процесот на решавање е многу сличен. Има само еден важен додаток:

Пример. Решете ја неравенката \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

Одговор: \(x\in(-1;\infty)\)

Посебен случај бр. 1: решение за неравенка - кој било број

Кај линеарните неравенки можна е ситуација кога како решение може да се користи апсолутно кој било број - цел број, фракционо, негативно, позитивно, нула... На пример, оваа неравенка \(x+2>x\) ќе биде точно за кој било вредност на x. Па, како би можело да биде поинаку, бидејќи на X од левата страна, но не и од десната, беше додаден два. Нормално, бројот на левата страна ќе биде поголем, без разлика што икс ќе земеме.

Пример. Решете ја неравенката \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:

Одговор: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Посебен случај бр. 2: нееднаквоста нема решенија

Можна е и спротивна ситуација, кога линеарната неравенка воопшто нема решенија, односно ниту еден x нема да ја направи вистина. На пример, \(x-2>x\) никогаш нема да биде точно, бидејќи два се одзема од x лево, но не и десно. Ова значи дека лево секогаш ќе има помалку, а не повеќе.

Пример. Решете ја неравенката \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Решение:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Именителот ни се испречува на патот. Веднаш се ослободуваме од нив со множење на целата нееднаквост со заедничкиот именител на сите, односно со 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Ајде да ги отвориме заградите
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Ајде да го пресечеме она што може да се исече
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		Лево ќе ја отвориме заградата, а десно ќе претставиме слични термини
\(3x-15>3x-4\)		Поместете го \(3x\) налево и \(-15\) надесно, менувајќи ги знаците
\(3x-3x>-4+15\)		Повторно презентираме слични термини
		Добивте неточна бројна неравенка. И тоа ќе биде неточно за било кој x, бидејќи тоа не влијае на добиената неравенка на кој било начин. Ова значи дека секоја вредност на X нема да биде решение.

Одговор: \(x\in\varnothing\)

• Имотот 1. Ако a > b и b > c, тогаш a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
• Имотот 2. Ако a > b, тогаш a + const > b + const. Конст-произволен број (Пример: x - 3 > 0<=>x - 3 + 8 > 0 + 8)
• Имотот 3. Ако a > b и m > 0, тогаш am > bm;

Ако a > b и m< 0, то am < bm. m-произвольное число.

Значењето на имотот 3 е како што следува:

• ако двете страни на една неравенка се помножат со ист позитивен број, тогаш знакот за неравенство треба да се зачува;
• ако двете страни на неравенката се помножат со ист негативен број, тогаш знакот на неравенството треба да се смени (знакот „<” на “>", знакот ">" на "<”);(для нестрогих неравенств)

Од својството 3, особено, следува дека со множење на двете страни на неравенката a > b со -1, се добива: -а< -b.

• Имотот 4. Ако a > b и c > d, тогаш a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
• Имотот 5. Ако a,b,c,d се позитивни броеви и a > b, c > d тогаш ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)

Линеарни неравенки

Дефиниција. Решението на неравенка во една променлива е вредноста на променливата што ја претвора во вистинска нумеричка неравенка.

Размислете, на пример, неравенката 2x + 5< 7.

Ние сме заинтересирани за броеви x за кои 2x + 5< 7— верное числовое неравенство.

Да ја поедноставиме нашата нееднаквост.

1) Според имот 2 Го додадовме истиот број „-5“ на двете страни на неравенката и добивме:

2x + 5 - 5< 7 - 5.

Добивме поедноставна нееднаквост.

2) Врз основа на својства 3 можете да ги поделите двете страни со позитивниот број 2, добиената нееднаквост е:

Што значи тоа? Ова значи дека решението на неравенката е кој било број x кој е помал од 1. Така, множеството решенија за оваа неравенка е множество од броеви x< 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])

Својствата ви дозволуваат да се водите при решавање на нееднаквости според следниве правила:

• Правило 1. Секој член на неравенката може да се префрли од еден дел од неравенката во друг со спротивен знак, без да се менува знакот на неравенката.
• Правило 2. Двете страни на неравенката може да се помножат или поделат со ист позитивен број без да се менува знакот на неравенството.
• Правило 3. Двете страни на неравенката може да се помножат или поделат со ист негативен број, со што ќе се смени знакот на неравенката.

Да ги примениме овие правила за решавање на линеарни неравенки, т.е. нееднаквости кои се сведуваат на формата

каде што a и b се кои било броеви, со еден исклучок: a ≠ 0.

Ако a = 0, тогаш разгледуваме 2 случаи:

1) Ако b > 0, тогаш x може да биде кој било број

2) Ако б< 0, то решения нет

Пример 1:

Решете ја нееднаквоста

3x - 5 ≥ 7x - 15.

Решение.

Ние сме водени од правило 1 Да го преместиме членот 7x на левата страна на неравенството, а членот -5 на десната страна на неравенката, не заборавајќи да ги смениме знаците и на членот 7x и на членот -5. Тогаш добиваме:

Zx - 7x ≥ -15 + 5

Според правило 3 Да ги поделиме двете страни на последната неравенка со истиот негативен број -4, не заборавајќи да го смениме знакот на неравенството. Добиваме:

Ова е решение за дадената неравенка.

Како што се договоривме, за да го напишете решението, можете да ја користите ознаката за соодветниот интервал на бројната линија: (-∞; 2.5].

Одговор: (- ∞; 2,5].

Пример 2:

Решете ја нееднаквоста

3x + 2 > 2(x + 3) + x

Решение.

3x + 2 > 2x + 6 + x

Водени од правило 1

3x - 2x - x > 6 - 2

Добиваме контрадикторност.

Нема решение.

Пример 4:

Решете ја нееднаквоста

2(x - 1) + 3 > 2x - 5

Решение.

Да ги отвориме заградите во вториот дел од неравенката:

2x - 2 + 3 > 2x - 5

Водени од правило 1 , да ги преместиме поимите „со X“ на левата страна на неравенката и „без X“ надесно:

2x - 2x > 2 - 5 - 3

Ја добиваме точната нееднаквост.

Во овој случај, можете да земете кој било број x, бидејќи решението не зависи од него.

Одговорот е целата нумеричка линија.

Како заклучок, забележуваме дека, користејќи ги својствата на нумеричките неравенки и правила, во овој дел научивме да решаваме не која било неравенка со променлива, туку само онаа која, по низа едноставни трансформации (како оние извршени во примерите од овој дел) има форма ax > b, таквите неравенки се нарекуваат линеарна . Следно ќе ги истражиме методите за решавање на посложени неравенки.

Романишина Дина Соломоновна, професорка по математика во гимназијата бр. 2 во Хабаровск

1. Равенки со една променлива.

Равенката што содржи променлива се нарекува равенка со една променлива или равенка со една непозната. На пример, равенката со една променлива е 3(2x+7)=4x-1.

Коренот или решението на равенката е вредноста на променливата при која равенката станува вистинска нумеричка еднаквост. На пример, бројот 1 е решение на равенката 2x+5=8x-1. Равенката x2+1=0 нема решение, бидејќи левата страна на равенката е секогаш поголема од нула. Равенката (x+3)(x-4) =0 има два корени: x1= -3, x2=4.

Решавањето на равенката значи да се најдат сите нејзини корени или да се докаже дека нема корени.

Равенките се нарекуваат еквивалентни ако сите корени на првата равенка се корени на втората равенка и обратно, сите корени на втората равенка се корени на првата равенка или ако двете равенки немаат корени. На пример, равенките x-8=2 и x+10=20 се еквивалентни, бидејќи коренот на првата равенка x=10 е и коренот на втората равенка, и двете равенки имаат ист корен.

Кога се решаваат равенки, се користат следниве својства:

Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената.

Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.

Равенката ax=b, каде што x е променлива, а a и b се некои броеви, се нарекува линеарна равенка со една променлива.

Ако a¹0, тогаш равенката има единствено решение

.

Ако a=0, b=0, тогаш равенката се задоволува со која било вредност на x.

Ако a=0, b¹0, тогаш равенката нема решенија, бидејќи 0x=b не се извршува за ниту една вредност на променливата.

Пример 1. Решете ја равенката: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Да ги отвориме заградите од двете страни на равенката, да ги преместиме сите членови со x на левата страна од равенката, а членовите што не содржат x на десната страна, добиваме:

16x-15x=88-40-12

Пример 2. Решете ги равенките:

x3-2x2-98x+18=0;

Овие равенки не се линеарни, но ќе покажеме како таквите равенки може да се решат.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Производот е еднаков на нула, ако еден од факторите е еднаков на нула, добиваме x1=0; x2=

. .

Факторирајте ја левата страна на равенката:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), т.е. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Ова покажува дека решенијата на оваа равенка се броевите x1=2, x2=3, x3=-3.

в) Замислете 7x како 3x+4x, тогаш имаме: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, па оттука x1=-3, x2=-4.

Одговор: -3; - 4.

Пример 3. Решете ја равенката: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Да се ​​потсетиме на дефиницијата за модул на број:

На пример: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Во оваа равенка, под знакот на модул се броевите x-1 и x+1. Ако x е помал од –1, тогаш бројот x+1 е негативен, тогаш ½x+1½=-x-1. И ако x>-1, тогаш ½x+1½=x+1. На x=-1 ½x+1½=0.

Така,

Исто така

а) Размислете за оваа равенка½x+1½+½x-1½=3 за x £-1, таа е еквивалентна на равенката -x-1-x+1=3, -2x=3, x=

, овој број припаѓа на множеството x £ -1.

б) Нека -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

в) Размислете за случајот x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x=

. Овој број припаѓа на множеството x>1.

Одговор: x1=-1,5; x2=1,5.

Пример 4. Решете ја равенката:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Дозволете ни да прикажеме краток запис за решението на равенката, откривајќи го знакот на модулот „над интервали“.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Одговор: [-2; 0]

Пример 5. Решете ја равенката: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), за сите вредности на параметарот a.

Всушност, постојат две променливи во оваа равенка, но сметајте дека x е непозната, а a е параметар. Потребно е да се реши равенката за променливата x за која било вредност на параметарот a.

Ако a=1, тогаш равенката има форма 0×x=0 која било бројка ја задоволува оваа равенка.

Ако a=-1, тогаш равенката изгледа како 0×x=-2, ниту еден број не ја задоволува оваа равенка.

Ако a¹1, a¹-1, тогаш равенката има единствено решение

.

Одговор: ако a=1, тогаш x е кој било број;

ако a=-1, тогаш нема решенија;

ако a¹±1, тогаш

.

2. Системи на равенки со две променливи.

Решението за систем на равенки со две променливи е пар вредности на променливи што ја претвораат секоја равенка на системот во вистинска еднаквост. Да се ​​реши систем значи да се најдат сите негови решенија или да се докаже дека нема. За два системи на равенки се вели дека се еквивалентни ако секое решение од првиот систем е решение на вториот систем, а секое решение на вториот систем е решение на првиот систем, или и двата немаат решенија.

При решавање на линеарни системи се користат методот на замена и методот на собирање.

Пример 1. Решете го системот равенки:

За да го решиме овој систем, го применуваме методот на замена. Да го изразиме x од првата равенка и да ја замениме оваа вредност

во втората равенка на системот, добиваме,

Одговор: (2; 3).

Пример 2. Решете го системот равенки:

За да го решиме овој систем, го применуваме методот на собирање равенки. 8x=16, x=2. Заменете ја вредноста x=2 во првата равенка, добиваме 10-y=9, y=1.

Одговор: (2; 1).

Пример 3. Решете го системот равенки:

Овој систем е еквивалентен на една равенка 2x+y=5, бидејќи втората равенка се добива од првата со множење со 3. Следствено, секој пар на броеви (x; 5-2x) ја задоволува. Системот има бесконечен број решенија.

Одговор: (x; 5-2x), x – било кој.

Пример 4. Решете го системот равенки:

Да ја помножиме првата равенка со –2 и да ја собереме со втората равенка, добиваме 0×x+0×y=-6. Оваа равенка не е задоволена со ниту еден пар броеви. Затоа, овој систем нема решенија.

Одговор: системот нема решенија.

Пример 5. Решете го системот:

Од втората равенка изразуваме x = y + 2a + 1 и ја заменуваме оваа вредност на x во првата равенка на системот, добиваме

. Кога a=-2, равенката нема решенија, но ако a¹-2, тогаш .

Одговор: кога a=-2 системот нема решение Пример 6. Решете го системот равенки:

Даден ни е систем од три равенки со три непознати. Да го примениме Гаусовиот метод, кој се состои од еквивалентни трансформации што го доведуваат дадениот систем до триаголен облик. Да ја додадеме втората равенка на првата, помножена со –2.

2х-2у-2z=-12

3х-3у-3z=-18

На крајот, на оваа равенка ја додаваме равенката y-z=-1, помножена со 2, добиваме - 4z=-12, z=3. Значи, добиваме систем од равенки:

x+y+z=6

z=3, што е еквивалентно на оваа.

Систем од овој тип се нарекува триаголен.

Одговор: (1; 2; 3).

3. Решавање задачи со помош на равенки и системи на равенки.

Ќе покажеме со примери како можете да решавате проблеми користејќи равенки и системи на равенки.

Пример 1. Легура на калај и бакар со тежина од 32 kg содржи 55% калај. Колку чист калај мора да се додаде во легурата за новата легура да содржи 60% калај?

Решение. Нека масата на калај додадена на оригиналната легура е x kg. Тогаш легура со тежина (32+x) kg ќе содржи 60% калај и 40% бакар. Оригиналната легура содржела 55% калај и 45% бакар, т.е. во него имало 32·0,45 kg бакар. Бидејќи масата на бакарот во првобитните и новите легури е иста, ја добиваме равенката 0,45·32=0,4(32+x).

Откако го решивме, наоѓаме x=4, т.е. Во легурата мора да се додадат 4 кг калај.

Пример 2. Замислен е двоцифрен број чија цифра од десетки е за 2 помала од цифрата на единиците. Ако овој број се подели со збирот на неговите цифри, тогаш количникот ќе биде 4, а остатокот 6. Кој број е наменет?

Решение. Нека цифрата на единиците е x, тогаш цифрата на десетките е x-2 (x>2), предвидениот број е 10(x-2)+x=11x-20. Збирот на цифрите на бројот x-2+x=2x-2. Според тоа, делејќи го 11x-20 со 2x-2, добиваме 4 како количник и 6 како остаток Ја создаваме равенката: 11x-20=4(2x-2)+6 Дивидендата е еднаква на делителот множи со количникот плус остатокот. Решавајќи ја оваа равенка, добиваме x=6. Значи, бројот 46 е зачнат.