Права линија. Паралелни линии. Основни концепти. Знаци на паралелизам на две прави. Својства на паралелни прави Првиот знак за паралелизам на две прави

Паралелизмот на две прави може да се докаже врз основа на теоремата, според која, две нормални нацртани во однос на една права ќе бидат паралелни. Постојат одредени знаци на паралелни линии - има три од нив, и сите ќе ги разгледаме поконкретно.

Првиот знак на паралелизам

Правилата се паралелни ако, на пресекот на нивната трета линија, формираните внатрешни агли што лежат преку се еднакви.

Да претпоставиме дека на пресекот на линиите AB и CD со права линија EF, се формирале агли /1 и /2. Тие се еднакви, бидејќи правата линија EF се протега на иста падина во однос на другите две прави линии. На пресекот на линиите ги ставаме точките Ki L - имаме отсечка од секантата EF. Ја наоѓаме неговата средина и ставаме точка О (сл. 189).

На правата AB ја испуштаме нормалната од точката O. Да ја наречеме ОМ. Ја продолжуваме нормалната додека не се пресече со правата ЦД. Како резултат на тоа, оригиналната линија AB е строго нормална на MN, што значи дека CD _ | _ MN, но оваа изјава бара доказ. Како резултат на исцртување на нормалната и линијата на пресек, формиравме два триаголници. Едниот од нив е МОЈ, вториот е НОК. Ајде да ги разгледаме подетално. знаци на паралелни линии степен 7

Овие триаголници се еднакви, бидејќи, во согласност со условите на теоремата, /1 = /2, а во согласност со конструкцијата на триаголниците, страната ОК = страната OL. Агол MOL =/NOK бидејќи ова се вертикални агли. Од ова произлегува дека страната и двата агли кои се блиску до него на еден од триаголниците се соодветно еднакви на страната и два агли соседни до него на другиот од триаголниците. Така, триаголникот MOL \u003d триаголник NOK, а оттука и аголот LMO \u003d аголот KNO, но знаеме дека / LMO е правилен, што значи дека соодветниот агол KNO е исто така прав. Односно, успеавме да докажеме дека и правата AB и правата CD се нормални на правата MN. Тоа е, AB и CD се паралелни едни на други. Ова требаше да го докажеме. Да ги разгледаме преостанатите знаци на паралелни прави (класа 7), кои се разликуваат од првиот знак во начинот на докажување.

Вториот знак на паралелизам

Според вториот знак за паралелизам на правите, треба да докажеме дека аглите добиени во процесот на пресек на паралелните прави AB и CD по права EF ќе бидат еднакви. Така, знаците на паралелизам на две прави, и првата и втората, се засноваат на еднаквоста на аглите добиени кога се прекрстени со третата линија. Претпоставуваме дека /3 = /2, а аголот 1 = /3, бидејќи е вертикален на него. Така, и /2 ќе биде еднаква на аголот 1, сепак, треба да се земе предвид дека и аголот 1 и аголот 2 се внатрешни, вкрстени агли. Затоа, ни останува да го примениме нашето знаење, имено, дека две отсечки ќе бидат паралелни ако, на нивното пресекување со трета линија, формираните, вкрстени агли ќе бидат еднакви. Така, дознавме дека АБ || ЦД.

Успеавме да докажеме дека под услов две нормални да се паралелни на една права, според соодветната теорема, знакот на паралелни прави е очигледен.

Третиот знак на паралелизам

Постои и трет критериум за паралелизам, кој се докажува со помош на збирот на едностраните внатрешни агли. Ваквиот доказ за знакот на паралелизам на правите ни овозможува да заклучиме дека две прави ќе бидат паралелни ако, кога се сечат со трета права, збирот на добиените еднострани внатрешни агли ќе биде еднаков на 2d. Видете слика 192.

Оваа статија е за паралелни линии и за паралелни линии. Најпрвин е дадена дефиниција на паралелни прави во рамнината и во просторот, се воведува нотација, се даваат примери и графички илустрации на паралелни прави. Понатаму се анализираат знаците и условите на паралелизам на прави. Како заклучок, се прикажани решенија за типични проблеми за докажување на паралелизам на прави, кои се дадени со некои равенки на права линија во правоаголен координатен систем на рамнина и во тродимензионален простор.

Навигација на страницата.

Паралелни линии - основни информации.

Дефиниција.

Две линии во рамнината се нарекуваат паралелнодоколку немаат заеднички точки.

Дефиниција.

Се нарекуваат две линии во три димензии паралелноако лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Забележете дека клаузулата „ако лежат во иста рамнина“ во дефиницијата за паралелни прави во просторот е многу важна. Да ја разјасниме оваа точка: две прави во тродимензионален простор кои немаат заеднички точки и не лежат во иста рамнина не се паралелни, туку се искривени.

Еве неколку примери на паралелни прави. Спротивните рабови на листот на тетратката лежат на паралелни линии. Правите линии по кои рамнината на ѕидот на куќата ги пресекува рамнините на таванот и подот се паралелни. Железничката пруга на рамен терен може да се смета и како паралелни линии.

Симболот „“ се користи за означување на паралелни линии. Односно, ако правите a и b се паралелни, тогаш можете накратко да напишете a b.

Забележете дека ако правата a и b се паралелни, тогаш можеме да кажеме дека правата a е паралелна на правата b, а исто така и дека правата b е паралелна на правата a.

Да искажеме изјава која игра важна улога во проучувањето на паралелните прави во рамнината: низ точка што не лежи на дадена права, поминува единствената права паралелна на дадената. Овој исказ е прифатен како факт (не може да се докаже врз основа на познатите аксиоми на планиметријата), а се нарекува аксиома на паралелни прави.

За случајот во просторот, теоремата е вистинита: низ која било точка во просторот што не лежи на дадена права, поминува една права паралелна на дадената. Оваа теорема лесно може да се докаже со помош на аксиомата на паралелни прави дадена погоре (нејзиниот доказ можете да го најдете во учебникот по геометрија за 10-11 одделение, кој е наведен на крајот од статијата во библиографијата).

За случајот во просторот, теоремата е вистинита: низ која било точка во просторот што не лежи на дадена права, поминува една права паралелна на дадената. Оваа теорема лесно се докажува користејќи ја аксиомата на паралелни прави дадена погоре.

Паралелизам на прави - знаци и услови на паралелизам.

Знак на паралелни линиие доволен услов за паралелни линии, односно таков услов, чие исполнување гарантира паралелни линии. Со други зборови, исполнувањето на овој услов е доволно за да се констатира фактот дека линиите се паралелни.

Исто така, постојат неопходни и доволни услови за паралелни линии во рамнината и во тродимензионалниот простор.

Да го објасниме значењето на фразата „неопходен и доволен услов за паралелни линии“.

Веќе се занимававме со доволниот услов за паралелни линии. А кој е „неопходниот услов за паралелни линии“? Под името „неопходно“ е јасно дека исполнувањето на овој услов е неопходно за линиите да бидат паралелни. Со други зборови, ако не е задоволен потребниот услов за паралелни прави, тогаш линиите не се паралелни. Така, неопходен и доволен услов линиите да бидат паралелние услов, чие исполнување е и неопходно и доволно за паралелни линии. Тоа е, од една страна, ова е знак на паралелни прави, а од друга страна, ова е својство што го имаат паралелните прави.

Пред да се наведат потребните и доволни услови за линиите да бидат паралелни, корисно е да се потсетиме на неколку помошни дефиниции.

пресечна линијае права која ја пресекува секоја од двете дадени прави кои не се совпаѓаат.

На пресекот на две линии на секант, се формираат осум нераспоредени. Т.н лежи вкрстено, соодветноИ еднострани агли. Ајде да ги покажеме на цртежот.

Теорема.

Ако две прави линии на рамнината се вкрстени со секант, тогаш за нивна паралелност потребно е и доволно попречно лежечките агли да се еднакви, или соодветните агли да се еднакви или збирот на едностраните агли да биде еднаков на 180 степени. .

Дозволете ни да прикажеме графичка илустрација на овој неопходен и доволен услов за паралелни линии во рамнината.

Доказите за овие услови за паралелни линии можете да ги најдете во учебниците по геометрија за 7-9 одделение.

Забележете дека овие услови може да се користат и во тродимензионален простор - главната работа е што двете линии и секантата лежат во иста рамнина.

Еве уште неколку теореми кои често се користат за докажување на паралелизам на правите.

Теорема.

Ако две прави во рамнината се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни. Доказот за оваа карактеристика произлегува од аксиомата на паралелни прави.

Сличен услов има и за паралелни линии во тродимензионален простор.

Теорема.

Ако две прави во просторот се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни. Доказот за оваа карактеристика се разгледува во лекциите по геометрија во 10 одделение.

Да ги илустрираме искажаните теореми.

Да дадеме уште една теорема која ни овозможува да ја докажеме паралелизмот на правите во рамнината.

Теорема.

Ако две прави во рамнината се нормални на трета права, тогаш тие се паралелни.

Постои слична теорема за правите во просторот.

Теорема.

Ако две прави во тродимензионалниот простор се нормални на иста рамнина, тогаш тие се паралелни.

Дозволете ни да нацртаме слики што одговараат на овие теореми.

Сите теореми формулирани погоре, знаци и неопходни и доволни услови се совршено погодни за докажување на паралелизам на прави со методи на геометрија. Односно, за да се докаже паралелизмот на две дадени прави, потребно е да се покаже дека се паралелни со третата права, или да се прикаже еднаквоста на вкрстените агли итн. Многу од овие проблеми се решаваат на часовите по геометрија во средно училиште. Сепак, треба да се забележи дека во многу случаи е погодно да се користи методот на координати за да се докаже паралелизмот на правите во рамнина или во тродимензионален простор. Да ги формулираме неопходните и доволни услови за паралелизам на правите кои се дадени во правоаголен координатен систем.

Паралелизам на правите во правоаголен координатен систем.

Во овој дел од статијата ќе формулираме неопходни и доволни услови за паралелни линииво правоаголен координатен систем, во зависност од видот на равенките кои ги одредуваат овие прави, а ќе дадеме и детални решенија за типични проблеми.

Да почнеме со условот за паралелизам на две прави на рамнината во правоаголниот координатен систем Oxy . Неговиот доказ се заснова на дефиницијата за насочувачкиот вектор на правата и дефиницијата на нормалниот вектор на правата на рамнината.

Теорема.

За две прави кои не се совпаѓаат да бидат паралелни во една рамнина, потребно е и доволно векторите на насоката на овие прави да бидат колинеарни, или нормалните вектори на овие прави се колинеарни или векторот на насоката на една права е нормален на нормалата. вектор на втората линија.

Очигледно, состојбата на паралелизам на две прави во рамнината се сведува на (вектори на насока на прави или нормални вектори на прави) или на (вектор на насока на една права и нормален вектор на втората линија). Така, ако и се векторите на насоката на правите a и b, и И се нормалните вектори на правите a и b, соодветно, тогаш потребниот и доволен услов за паралелни прави a и b може да се запише како , или , или , каде што t е некој реален број. За возврат, координатите на насочните и (или) нормалните вектори на правите a и b се наоѓаат од познатите равенки на правите линии.

Конкретно, ако правата a во правоаголниот координатен систем Oxy на рамнината ја дефинира општата равенка на правата на формата , и права линија b - , тогаш нормалните вектори на овие прави имаат координати и соодветно, а условот за паралелизам на правите a и b ќе се запише како .

Ако правата а одговара на равенката на правата линија со коефициентот на наклон на формата . Според тоа, ако правите на рамнина во правоаголен координатен систем се паралелни и можат да се дадат со равенки на прави со коефициенти на наклон, тогаш коефициентите на наклонот на правите ќе бидат еднакви. И обратно: ако несовпаѓачките прави линии на рамнина во правоаголен координатен систем може да се дадат со равенките на права линија со еднакви коефициенти на наклон, тогаш таквите прави се паралелни.

Ако правата a и правата b во правоаголен координатен систем ги дефинираат канонските равенки на правата на рамнината на формата И , или параметарски равенки на права линија на рамнина на формата И соодветно, тогаш векторите на насоката на овие прави имаат координати и , а условот за паралелизам за правите a и b се запишува како .

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример.

Дали линиите се паралелни? И ?

Решение.

Равенката на права линија ја препишуваме во отсечки во форма на општа равенка на права линија: . Сега можеме да видиме дека е нормалниот вектор на правата линија , и е нормален вектор на правата линија. Овие вектори не се колинеарни, бидејќи не постои реален број t за кој еднаквоста ( ). Следствено, не е задоволен нужниот и доволен услов за паралелизам на правите на рамнината, па затоа дадените прави не се паралелни.

Одговор:

Не, линиите не се паралелни.

Пример.

Дали линиите и паралелите се?

Решение.

Канонската равенка на права линија ја доведуваме до равенката на права линија со наклон: . Очигледно, равенките на линиите не се исти (во овој случај, дадените линии би биле исти) и наклоните на линиите се еднакви, затоа, оригиналните линии се паралелни.

Второто решение.

Прво, да покажеме дека оригиналните линии не се совпаѓаат: земете која било точка од правата, на пример, (0, 1) , координатите на оваа точка не ја задоволуваат равенката на правата, затоа, линиите не се совпаѓаат. Сега да го провериме исполнувањето на условот за паралелизам на овие прави. Нормалниот вектор на правата е векторот , а векторот на насоката на правата е векторот . Ајде да пресметаме и: . Следствено, векторите и се нормални, што значи дека е исполнет нужниот и доволен услов за паралелизам на дадените прави. Значи линиите се паралелни.

Одговор:

Дадените линии се паралелни.

За да се докаже паралелизмот на правите во правоаголен координатен систем во тродимензионален простор, се користи следниот неопходен и доволен услов.

Теорема.

За линиите кои не се совпаѓаат да бидат паралелни во тродимензионалниот простор, потребно е и доволно нивните вектори на насоката да бидат колинеарни.

Така, ако се познати равенките на правите во правоаголен координатен систем во тродимензионален простор и треба да одговорите на прашањето дали овие прави се паралелни или не, тогаш треба да ги пронајдете координатите на векторите на насоката на овие прави и да проверите исполнувањето на условот за колинеарност на векторите на правецот. Со други зборови, ако И - насока вектори на прави дадените прави имаат координати и . Бидејќи , Тоа . Така, се исполнува потребниот и доволен услов две прави да бидат паралелни во просторот. Ова ја докажува паралелноста на линиите И .

Библиографија.

• Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позњак Е.Г., Јудина И.И. Геометрија. Одделение 7 - 9: учебник за образовни институции.
• Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г. Геометрија. Учебник за 10-11 одд од гимназијата.
• Погорелов А.В., Геометрија. Учебник за 7-11 одделение на образовните институции.
• Бугров Ја.С., Николски С.М. Виша математика. Том прв: Елементи на линеарна алгебра и аналитичка геометрија.
• Илин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија.

Класа: 2

Целта на лекцијата:

• формирајте го концептот на паралелизам на 2 прави, разгледајте го првиот знак на паралелни линии;
• развиваат способност за примена на знакот при решавање проблеми.

Задачи:

1. Образовни: повторување и консолидација на изучениот материјал, формирање на концептот на паралелизам на 2 прави, доказ за првиот знак на паралелизам од 2 линии.
2. Образовни: да се негува способност за прецизно чување белешки во тетратка и следење на правилата за изработка на цртежи.
3. Развојни задачи: развој на логично размислување, меморија, внимание.

Опрема за лекција:

• мултимедијален проектор;
• екран, презентации;
• алатки за цртање.

За време на часовите

I. Организациски момент.

Поздрав, проверка на подготвеноста за лекцијата.

II. Подготовка за активен UPD.

Фаза 1.

Во првата лекција по геометрија, ја разгледавме релативната положба на 2 линии на рамнината.

Прашање.Колку заеднички точки може да имаат две прави?
Одговори.Две прави може да имаат или една заедничка точка или да немаат повеќе од една заедничка точка.

Прашање.Како ќе се лоцираат 2-те линии една на друга ако имаат една заедничка точка?
Одговори.Ако линиите имаат една заедничка точка, тогаш тие се сечат

Прашање.Како се лоцирани 2-те линии една на друга ако немаат заеднички точки?
Одговори.Во овој случај, линиите не се сечат.

Фаза 2.

Во последната лекција, добивте задача да направите презентација каде што се среќаваме со линии кои не се вкрстуваат во нашиот живот и во природата. Сега ќе ги погледнеме овие презентации и ќе го избереме најдоброто од нив. (Во жирито беа вклучени студенти на кои, поради ниската интелигенција, им е тешко да креираат свои презентации.)

Гледање на презентации изработени од учениците: „Паралелизам на линии во природата и животот“ и избор на најдоброто од нив.

III. Активен UPD (објаснување на нов материјал).

Фаза 1.

Слика 1

Дефиниција.Две прави во рамнината кои не се сечат се нарекуваат паралелни.

Оваа табела прикажува различни случаи на распоредување на 2 паралелни прави на рамнина.

Размислете кои сегменти ќе бидат паралелни.

Слика 2

1) Ако правата a е паралелна со b, тогаш отсечките AB и CD се исто така паралелни.

2) Отсечка може да биде паралелна на права линија. Значи отсечката MN е паралелна со правата a.

Слика 3

3) Сегментот AB е паралелен со зракот h. Зракот h е паралелен со зракот k.

4) Ако правата a е нормална на правата c, а правата b е нормална на правата c, тогаш правите a и b се паралелни.

Фаза 2.

Агли формирани од две паралелни линии и трансверзала.

Слика 4

Две паралелни прави сечат трета права во две точки. Во овој случај, се формираат осум агли, означени на сликата со бројки.

Некои парови од овие агли имаат посебни имиња (види слика 4).

Постои три знаци, паралелизам на две правиповрзани со овие агли. Во оваа лекција, ќе разгледаме првиот знак.

Фаза 3.

Да го повториме материјалот потребен за докажување на оваа карактеристика.

Слика 5

Прашање.Кои се имињата на аглите прикажани на слика 5?
Одговори.Аглите AOC и COB се нарекуваат соседни.

Прашање.Кои агли се нарекуваат соседни? Дајте дефиниција.
Одговори.Два агли се нарекуваат соседни ако имаат една заедничка страна, а другите два се продолжетоци еден на друг.

Прашање.Кои се својствата на соседните агли?
Одговори.Соседните агли се собираат до 180 степени.
AOC + COB = 180°

Прашање.Како се нарекуваат аглите 1 и 2?
Одговори.Аглите 1 и 2 се нарекуваат вертикални.

Прашање.Кои се својствата на вертикалните агли?
Одговори.Вертикалните агли се еднакви еден на друг.

Фаза 4.

Доказ за првиот знак на паралелизам.

Теорема.Ако на пресекот на две прави со трансверзала, лежечките агли се еднакви, тогаш линиите се паралелни.

Слика 6

Со оглед на: a и b се прави
АБ - секант
1 = 2
Доказ:а//б.

1-ви случај.

Слика 7

Ако 1 и 2 се прави, тогаш a е нормално на AB, а b е нормално на AB, тогаш a//b.

2-ри случај.

Слика 8

Да го разгледаме случајот кога 1 и 2 не се прави, отсечката AB ја делиме на половина со точката О.

Прашање.Колкава ќе биде должината на отсечките AO и OB?
Одговори.Сегментите AO и OB се еднакви по должина.

1) Од точката O цртаме нормална на правата a, OH е нормална на a.

Прашање.Каков ќе биде аголот 3?
Одговори.Аголот 3 ќе биде во право.

2) Од точката А на правата линија b, со компас ја издвојуваме отсечката AH 1 = BH.

3) Да нацртаме отсечка OH 1.

Прашање.Кои триаголници се формирани како резултат на докажувањето?
Одговори.Триаголник ONV и триаголник OH 1 А.

Да докажеме дека се еднакви.

Прашање.Кои агли се еднакви според хипотезата на теоремата?
Одговори.Аголот 1 е еднаков на аголот 2.

Прашање.Кои страни се еднакви во градбата.
Одговори. AO = OB и AN 1 = VN

Прашање.На која основа триаголниците се складни?
Одговори.Триаголниците се еднакви на две страни и аголот меѓу нив (првиот знак за еднаквост на триаголниците).

Прашање.Какво својство имаат складните триаголници?
Одговори.Еднаквите триаголници имаат еднакви агли наспроти еднакви страни.

Прашање.Кои агли ќе бидат еднакви?
Одговори. 5 = 6, 3 = 4.

Прашање.Како се нарекуваат 5 и 6?
Одговори.Овие агли се нарекуваат вертикални.

Од ова произлегува дека точките: H 1 , O, H лежат на една права линија.
Бидејќи 3 е исправен, и 3 = 4, а потоа 4 е исправен.

Прашање.Како се правите a и b во однос на правата HH 1 ако аглите 3 и 4 се правилни?
Одговори.Правилата a и b се нормални на HH 1 .

Прашање.Што можеме да кажеме за две нормални на една права линија?
Одговори.Две перпендикулари од една права се паралелни.

Значи a//b. Теоремата е докажана.

Сега ќе го повторам целиот доказ од почеток, а вие внимателно ќе ме слушате и ќе се обидете да разберете сè за паметење.

IV. Консолидација на нов материјал.

Работете во групи со различни нивоа на интелигенција, по што следи проверка на екранот и на таблата. 3 ученици работат на таблата (по еден од секоја група).

№1 (за ученици со намален степен на интелектуален развој).

Со оглед на: a и b се прави
в - секант
1 = 37 °
7 = 143 °
Доказ:а//б.

Решение.

7 = 6 (вертикално) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (во непосредна близина) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 °, и тие лежат попречно a//b 5 \u003d 48 °, 3 и 5 се вкрстени агли, тие се еднакви на a//b.

Слика 11

V. Резиме на часот.

Резултатот од лекцијата се изведува со помош на сликите 1-8.

Се оценува активноста на учениците на часот (секој ученик добива соодветен емотикон).

Домашна работа:предаваат - стр.52-53; реши бр.186 (б, в).

Паралелизмот е многу корисно својство во геометријата. Во реалниот живот, паралелните страни ви дозволуваат да креирате убави, симетрични нешта кои се пријатни за секое око, така што на геометријата отсекогаш и биле потребни начини за проверка на овој паралелизам. За знаците на паралелни линии ќе зборуваме во оваа статија.

Дефиниција за паралелизам

Да ги издвоиме дефинициите што треба да ги знаете за да ги докажете знаците на паралелизам на две прави.

Правите се нарекуваат паралелни ако немаат пресечни точки. Покрај тоа, во решенијата, паралелните линии обично одат во врска со секантна линија.

Секантна права е права која ги пресекува двете паралелни прави. Во овој случај, лежечките, соодветните и едностраните агли се формираат попречно. Паровите агли 1 и 4 ќе лежат попречно; 2 и 3; 8 и 6; 7 и 5. Соодветните ќе бидат 7 и 2; 1 и 6; 8 и 4; 3 и 5.

Еднострани 1 и 2; 7 и 6; 8 и 5; 3 и 4.

Кога е правилно форматиран, пишува: „Вкрстени агли со две паралелни прави a и b и секанта c“, бидејќи за две паралелни прави може да има бесконечен број на секанти, па треба да одредите на кој секант мислите.

Исто така, за доказ ни е потребна теоремата за надворешниот агол на триаголникот, која вели дека надворешниот агол на триаголникот е еднаков на збирот на два агли на триаголник кои не се соседни со него.

знаци

Сите знаци на паралелни прави се врзани за знаењето за својствата на аглите и теоремата за надворешниот агол на триаголникот.

Карактеристика 1

Две прави се паралелни ако аглите што се пресекуваат се еднакви.

Размислете за две прави a и b со секанта c. Попречно лежечките агли 1 и 4 се еднакви. Да претпоставиме дека линиите не се паралелни. Тоа значи дека линиите се сечат и треба да има пресечна точка M. Тогаш се формира триаголник AVM со надворешен агол 1. Надворешниот агол мора да биде еднаков на збирот на аглите 4 и AVM како непосредни до него според теоремата за надворешниот агол во триаголник. Но, тогаш излегува дека аголот 1 е поголем од аголот 4, а тоа е во спротивност со состојбата на проблемот, што значи дека точката М не постои, линиите не се сечат, односно се паралелни.

Ориз. 1. Цртеж за доказ.

Карактеристика 2

Две прави се паралелни ако соодветните агли на пресек се еднакви.

Размислете за две прави a и b со секанта c. Соодветните агли 7 и 2 се еднакви. Да обрнеме внимание на аголот 3. Тој е вертикален за аголот 7. Затоа, аглите 7 и 3 се еднакви. Значи, аглите 3 и 2 се исто така еднакви, бидејќи<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Ориз. 2. Цртеж за доказ.

Карактеристика 3

Две прави се паралелни ако збирот на едностраните агли е 180 степени.

Ориз. 3. Цртеж за доказ.

Размислете за две прави a и b со секанта c. Збирот на едностраните агли 1 и 2 е 180 степени. Да обрнеме внимание на аглите 1 и 7. Тие се соседни. Тоа е:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Одземете го вториот од првиот израз:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Што научивме?

Детално анализиравме какви агли се добиваат при сечење на паралелни прави со трета линија, идентификувавме и детално го опишавме доказот за три знаци на паралелизам на правите.

Тема квиз

Рејтинг на статијата

Просечна оцена: 4.1. Вкупно добиени оценки: 220.

1. Првиот знак на паралелизам.

Ако, на пресекот на две прави со трета, внатрешните агли што лежат се еднакви, тогаш овие прави се паралелни.

Нека линиите AB и CD се пресечени со правата EF и ∠1 = ∠2. Да ја земеме точката O - средината на сегментот KL на секантата EF (сл.).

Да ја спуштиме нормалната OM од точката O на правата AB и да продолжиме додека не се пресече со правата CD, AB ⊥ MN. Да го докажеме и тоа CD ⊥ MN.

За да го направите ова, разгледајте два триаголници: MOE и NOK. Овие триаголници се еднакви еден на друг. Навистина: ∠1 = ∠2 според хипотезата на теоремата; OK = OL - по конструкција;

∠MOL = ∠NOK како вертикални агли. Така, страната и двата агли соседни до него на еден триаголник се соодветно еднакви на страната и два агли соседни на него на друг триаголник; затоа, ΔMOL = ΔNOK, и оттука ∠LMO = ∠KNO,
но ∠LMO е директен, па оттука и ∠KNO е исто така директен. Така, правите AB и CD се нормални на иста права MN, затоа, тие се паралелни, што требаше да се докаже.

Забелешка. Пресекот на правата MO и CD може да се утврди со ротирање на триаголникот MOL околу точката O за 180°.

2. Вториот знак на паралелизам.

Ајде да видиме дали правите AB и CD се паралелни ако, на пресекот на нивната трета права EF, соодветните агли се еднакви.

Нека некои соодветни агли се еднакви, на пример ∠ 3 = ∠2 (сл.);

∠3 = ∠1 како вертикални агли; па ∠2 ќе биде еднакво на ∠1. Но, аглите 2 и 1 се внатрешни попречни агли, и веќе знаеме дека ако на пресекот на две прави за една третина, внатрешните вкрстени агли се еднакви, тогаш овие прави се паралелни. Затоа, AB || ЦД.

Ако на пресекот на две прави од третата соодветните агли се еднакви, тогаш овие две прави се паралелни.

Конструкцијата на паралелни линии со помош на линијар и триаголник за цртање се заснова на ова својство. Ова е направено на следниов начин.

Дозволете ни да прикачиме триаголник на линијарот како што е прикажано на сл. Ќе го поместиме триаголникот така што едната страна ќе се лизне по линијата и ќе повлечеме неколку прави линии долж која било друга страна од триаголникот. Овие линии ќе бидат паралелни.

3. Третиот знак на паралелизам.

Дозволете ни да знаеме дека на пресекот на две прави AB и CD со третата права, збирот на сите внатрешни еднострани агли е еднаков на 2 г(или 180 °). Дали во овој случај правата AB и CD ќе бидат паралелни (сл.).

Нека ∠1 и ∠2 се еднострани внатрешни агли и соберете до 2 г.

Но, ∠3 + ∠2 = 2 гкако соседни агли. Затоа, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Оттука ∠1 = ∠3, и овие внатрешни агли се вкрстени. Затоа, AB || ЦД.

Ако на пресекот на две прави за една третина, збирот на внатрешните еднострани агли е еднаков на 2 d (или 180°), тогаш двете прави се паралелни.

Знаци на паралелни линии:

1. Ако на пресекот на две прави за една третина, внатрешните вкрстени агли на лежишта се еднакви, тогаш овие линии се паралелни.

2. Ако на пресекот на две прави од третата, соодветните агли се еднакви, тогаш овие две прави се паралелни.

3. Ако на пресекот на две прави од третата, збирот на внатрешните еднострани агли е 180 °, тогаш овие две прави се паралелни.

4. Ако две прави се паралелни со третата права, тогаш тие се паралелни една со друга.

5. Ако две прави се нормални на третата права, тогаш тие се паралелни една со друга.

Евклидова аксиома за паралелизам

Задача. Преку точка М земена надвор од правата AB, повлечете права паралелна на правата AB.

Користејќи ги докажаните теореми за знаците на паралелизам на правите, овој проблем може да се реши на различни начини,

Решение. 1. s o s o b (сл. 199).

Цртаме MN⊥AB и низ точката M цртаме CD⊥MN;

добиваме CD⊥MN и AB⊥MN.

Врз основа на теоремата („Ако две прави се нормални на иста права, тогаш тие се паралелни.“) заклучуваме дека СD || АБ.

2. s p o s o b (сл. 200).

Нацртуваме MK што се сече AB под кој било агол α, а низ точката M цртаме права линија EF, формирајќи агол EMK со права линија MK, еднаков на аголот α. Врз основа на теоремата () заклучуваме дека EF || АБ.

Откако го решивме овој проблем, можеме да сметаме дека е докажано дека низ која било точка М, земена надвор од правата AB, можно е да се повлече права паралелна со неа. Се поставува прашањето, колку прави паралелни на дадена права и минуваат низ дадена точка може да постојат?

Практикувањето на конструкции ни овозможува да претпоставиме дека постои само една таква линија, бидејќи со внимателно изведен цртеж, линиите нацртани на различни начини низ иста точка паралелна на истата права се спојуваат.

Теоретски, одговорот на ова прашање го дава таканаречената аксиома на Евклидовиот паралелизам; тој е формулиран вака:

Преку точка земена надвор од дадена права, само една права може да се повлече паралелно со оваа права.

На цртежот 201, низ точката О е повлечена права линија SK, паралелна со правата AB.

Секоја друга права што минува низ точката О повеќе нема да биде паралелна со правата AB, туку ќе ја пресекува.

Аксиомата усвоена од Евклид во неговите Елементи, која вели дека на рамнина низ точка земена надвор од дадена права, само една права може да се повлече паралелна на оваа права, се нарекува Евклидова аксиома за паралелизам.

Повеќе од две илјади години по Евклид, многу математичари се обидувале да го докажат овој математички предлог, но нивните обиди секогаш биле неуспешни. Дури во 1826 година, големиот руски научник, професор на Казанскиот универзитет Николај Иванович Лобачевски докажал дека, користејќи ги сите други Евклидови аксиоми, овој математички предлог не може да се докаже, дека навистина треба да се земе како аксиома. Н.И. Лобачевски создаде нова геометрија, која, за разлика од геометријата на Евклид, беше наречена геометрија на Лобачевски.