Формула за инверзна матрица од втор ред. Инверзна матрица и нејзините својства. Избор на првично приближување

Слично на инверзните во многу својства.

Енциклопедиски YouTube

1 / 5

✪ Инверзна матрица (2 начини да се најде)

✪ Како да пронајдете инверзна матрица - bezbotvy

✪ Инверзна матрица #1

✪ Решавање на системот равенки со методот инверзна матрица- безботви

✪ Обратна матрица

Преводи

Својства на инверзна матрица

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), каде det (\displaystyle \\det)означува детерминанта.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни инвертибилни матрици A (\displaystyle A)и B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), каде (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))ја означува транспонираната матрица.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\стил на приказ \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за кој било коефициент k ≠ 0 (\стил на приказ k\не =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Ако е потребно да се реши систем од линеарни равенки , (b е ненула вектор) каде x (\displaystyle x)е саканиот вектор, и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))постои, тогаш x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Во спротивно, или димензијата на просторот за решение е поголема од нула, или воопшто ги нема.

Начини да се најде инверзна матрица

Ако матрицата е инвертибилна, тогаш за да ја пронајдете инверзната матрица, можете да користите еден од следниве методи:

Точни (директни) методи

Гаус-Јордан метод

Да земеме две матрици: самата себе Аи сингл Е. Ајде да ја донесеме матрицата Ана идентитетската матрица со методот Гаус-Јордан со примена на трансформации во редови (може да примените трансформации и во колони, но не и во мешавина). Откако ќе ја примените секоја операција на првата матрица, применете ја истата операција на втората. Кога ќе се заврши редукцијата на првата матрица до формата за идентитет, втората матрица ќе биде еднаква на А -1.

Кога се користи методот Гаус, првата матрица ќе се помножи од лево со една од елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекција или дијагонала-матрица со оние на главната дијагонала, освен за една позиција):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Десна стрелка \Ламбда =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\точки &&&\\0&\точки &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&1/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\точки &0\\&&&\точки &&&\\0&\точки &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\точки &1\крај (bматрица))).

Втората матрица по примената на сите операции ќе биде еднаква на Λ (\displaystyle \Lambda), односно ќе биде посакуваниот. Комплексноста на алгоритмот - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Користење на матрицата на алгебарски собирања

Матрица инверзна матрица A (\displaystyle A), претставуваат во форма

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

каде adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- приложена матрица ;

Комплексноста на алгоритмот зависи од сложеноста на алгоритмот за пресметување на детерминантата O det и е еднаква на O(n²) O det .

Користење на LU/LUP распаѓање

Матрична равенка A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за инверзна матрица X (\displaystyle X)може да се гледа како колекција n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Означи i (\displaystyle i)-та колона од матрицата X (\displaystyle X)преку X i (\displaystyle X_(i)); тогаш A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),затоа што i (\displaystyle i)-та колона од матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичен вектор e i (\displaystyle e_(i)). со други зборови, наоѓањето на инверзната матрица се сведува на решавање на n равенки со иста матрица и различни десни страни. По извршувањето на проширувањето на LUP (време O(n³)) на секоја од n равенките и е потребно O(n²) време за решавање, така што овој дел од работата исто така бара O(n³) време.

Ако матрицата А е несингуларна, тогаш можеме да го пресметаме распаѓањето на LUP за неа P A = L U (\displaystyle PA=LU). Нека P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Потоа, од својствата на инверзната матрица, можеме да напишеме: D = U − 1 L − 1 (\приказ D=U^(-1)L^(-1)). Ако ја помножиме оваа еднаквост со U и L, тогаш можеме да добиеме две еднаквости на формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))и D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Првата од овие еднаквости е систем од n² линеарни равенкиза n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))од кои се познати десните страни (по својствата на триаголните матрици). Вториот е исто така систем од n² линеарни равенки за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))од кои се познати десните страни (исто така од својствата на триаголните матрици). Заедно тие формираат систем од n² еднаквости. Користејќи ги овие еднаквости, можеме рекурзивно да ги одредиме сите n² елементи на матрицата D. Потоа од еднаквоста (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. ја добиваме еднаквоста A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Во случај на користење на распаѓање LU, не е потребна пермутација на колоните од матрицата D, но решението може да се разминува дури и ако матрицата А е несингуларна.

Комплексноста на алгоритмот е O(n³).

Итеративни методи

Шулцови методи

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\приказ (\почеток(случаи)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\збир _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\крај (случаи)))

Проценка на грешка

Избор на првично приближување

Проблемот со изборот на почетната апроксимација во процесите на итеративна инверзија на матрицата што се разгледуваат овде не ни дозволува да ги третираме како независни универзални методи кои се натпреваруваат со методите на директна инверзија засновани, на пример, на распаѓањето на LU на матриците. Постојат неколку препораки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), обезбедување на исполнување на условот ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралниот радиус на матрицата е помал од единството), што е неопходно и доволно за конвергенција на процесот. Меѓутоа, во овој случај, прво, потребно е да се знае одозгора проценката за спектарот на инвертибилната матрица А или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(имено, ако A е симетрична позитивна дефинитивна матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогаш можете да земете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), каде ; ако A е произволна несингуларна матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогаш да претпоставиме U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T)), каде исто така α ∈ (0 , 2 β) (\стил на прикажување \алфа \во \лево(0,(\frac (2)(\beta ))\десно)); Се разбира, ситуацијата може да се поедностави и, користејќи го фактот дека ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), стави U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, со таква спецификација на почетната матрица, нема гаранција за тоа ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ќе биде мал (можеби дури ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), а високиот редослед на стапка на конвергенција нема да биде веднаш очигледен.

Примери

Матрица 2x2

Не може да се анализира изразот (грешка во синтаксата): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \почеток& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ почеток (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end (bmatrix).)

Инверзијата на матрицата 2x2 е можна само под услов a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Нека има квадратна матрица од n-ти ред

Се нарекува матрицата А -1 инверзна матрицаво однос на матрицата A, ако A * A -1 = E, каде што E е идентитетска матрица од n-ти ред.

Матрица на идентитет- таква квадратна матрица, во која сите елементи долж главната дијагонала, поминувајќи од горниот лев агол до долниот десен агол, се едно, а останатите се нули, на пример:

инверзна матрицаможе да постои само за квадратни матрицитие. за оние матрици кои имаат ист број на редови и колони.

Теорема на состојба за постоење на инверзна матрица

За матрицата да има инверзна матрица, потребно е и доволно таа да биде недегенерирана.

Се повикува матрицата A = (A1, A2,...A n). недегенериранако векторите на колоните се линеарно независни. Бројот на линеарно независни колони вектори на матрицата се нарекува ранг на матрицата. Според тоа, можеме да кажеме дека за да постои инверзна матрица, потребно е и доволно рангот на матрицата да биде еднаков на нејзината димензија, т.е. r = n.

Алгоритам за пронаоѓање на инверзна матрица

1. Запишете ја матрицата А во табелата за решавање системи на равенки со методот на Гаус и оддесно (на местото на десните делови од равенките) назначете и ја матрицата Е.
2. Користејќи ги трансформациите на Џордан, доведете ја матрицата А во матрица која се состои од единечни колони; во овој случај, потребно е истовремено да се трансформира матрицата Е.
3. Доколку е потребно, преуредете ги редовите (равенките) од последната табела така што матрицата на идентитетот Е ќе се добие под матрицата А на оригиналната табела.
4. Напишете ја инверзната матрица А -1, која се наоѓа во последната табела под матрицата Е од оригиналната табела.

Пример 1

За матрицата А, најдете ја инверзната матрица А -1

Решение: Ја запишуваме матрицата А и десно ја доделуваме матрицата на идентитетот E. Користејќи ги трансформациите на Џордан, ја намалуваме матрицата А на матрицата на идентитетот E. Пресметките се прикажани во Табела 31.1.

Да ја провериме исправноста на пресметките со множење на првобитната матрица А и инверзната матрица А -1.

Како резултат на множење на матрицата, се добива матрицата на идентитетот. Затоа, пресметките се точни.

Одговор:

Решение на матрични равенки

Матричните равенки може да изгледаат вака:

AX = B, XA = B, AXB = C,

каде A, B, C се дадени матрици, X е саканата матрица.

Матричните равенки се решаваат со множење на равенката со инверзни матрици.

На пример, за да ја пронајдете матрицата од равенката, треба да ја помножите оваа равенка со лево.

Затоа, за да најдете решение за равенката, треба да ја пронајдете инверзната матрица и да ја помножите со матрицата од десната страна на равенката.

Слично се решаваат и другите равенки.

Пример 2

Решете ја равенката AX = B ако

Решение: Бидејќи инверзната на матрицата е еднаква (види пример 1)

Матричен метод во економската анализа

Заедно со другите, тие исто така наоѓаат примена матрични методи. Овие методи се засноваат на линеарна и векторско-матрична алгебра. Ваквите методи се користат за анализа на сложени и повеќедимензионални економски појави. Најчесто овие методи се користат кога е потребно да се спореди функционирањето на организациите и нивните структурни поделби.

Во процесот на примена на матрични методи на анализа, може да се разликуваат неколку фази.

Во првата фазасе врши формирање на систем на економски показатели и врз основа на тоа се составува матрица на почетни податоци, што е табела во која се прикажани броевите на системот во неговите поединечни линии. (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графикони - броеви на индикатори (j = 1,2,....,m).

Во втората фазаза секоја вертикална колона се открива најголемата од достапните вредности на индикаторите, која се зема како единица.

После тоа, сите износи рефлектирани во оваа колона се поделени со највисока вредности се формира матрица од стандардизирани коефициенти.

Во третата фазасите компоненти на матрицата се на квадрат. Ако тие имаат различно значење, тогаш на секој индикатор на матрицата му се доделува одреден коефициент на тежина к. Вредноста на второто ја одредува стручно лице.

На последниот четврта фазапронајдени вредности на оценки Рјгрупирани по редослед на зголемување или намалување.

Горенаведените матрични методи треба да се користат, на пример, кога компаративна анализаразлични инвестициски проекти, како и при евалуација на други показатели за економските перформанси на организациите.

Во оваа статија ќе зборуваме за методот на матрица за решавање на систем на линеарни алгебарски равенки, ќе ја најдеме неговата дефиниција и ќе дадеме примери за решението.

Дефиниција 1

Метод на инверзна матрица е методот што се користи за решавање на SLAE кога бројот на непознати е еднаков на бројот на равенки.

Пример 1

Најдете решение за систем од n линеарни равенки со n непознати:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Приказ на матричен рекорд : A × X = B

каде што A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n е матрицата на системот.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - колона од непознати,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - колона од слободни коефициенти.

Од равенката што ја добивме, треба да изразиме X. За да го направите ова, помножете ги двете страни на матричната равенка лево со A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Бидејќи A - 1 × A = E, тогаш E × X = A - 1 × B или X = A - 1 × B.

Коментар

Инверзната матрица на матрицата А има право да постои само ако условот d e t A не е еднаков на нула. Затоа, при решавање на SLAE со методот на инверзна матрица, најпрво се наоѓа d e t A.

Во случај d e t A да не е еднаков на нула, системот има само едно решение: користење на методот на инверзна матрица. Ако d e t A = 0, тогаш системот не може да се реши со овој метод.

Пример за решавање на систем на линеарни равенки со помош на методот на инверзна матрица

Пример 2

Ние го решаваме SLAE со методот на инверзна матрица:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Како да се одлучи?

• Системот го запишуваме во форма на матрична равенка А X = B , каде

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Изразуваме од оваа равенка X:

• Ја наоѓаме детерминантата на матрицата А:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не е еднаков на 0, затоа, методот на решение со инверзна матрица е погоден за овој систем.

• Ја наоѓаме инверзната матрица А - 1 користејќи ја матрицата на унијата. Ги пресметуваме алгебарските собирања A i j на соодветните елементи на матрицата А:

А 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

А 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

А 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Ја запишуваме синдикалната матрица A * , која е составена од алгебарски комплементи на матрицата А:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Инверзната матрица ја пишуваме според формулата:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Ја множиме инверзната матрица А - 1 со колоната од слободни членови Б и го добиваме решението на системот:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Одговори : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Почетна според формулата: A^-1 = A*/detA, каде што A* е поврзаната матрица, detA е оригиналната матрица. Приложената матрица е транспонирана матрица на дополнувања на елементите на оригиналната матрица.

Прво, пронајдете ја детерминантата на матрицата, таа мора да биде различна од нула, бидејќи тогаш детерминантата ќе се користи како делител. Нека, на пример, ѝ е дадена матрица на третата (се состои од три реда и три колони). Како што можете да видите, детерминантата на матрицата не е еднаква на нула, така што постои инверзна матрица.

Најдете го комплементот на секој елемент од матрицата A. Дополнувањето на A е детерминанта на подматрицата добиена од првобитната со бришење на i-тата редица и на j-тата колона, а оваа детерминанта се зема со знак. Знакот се определува со множење на детерминантата со (-1) со јачина на i+j. Така, на пример, комплементот на А ќе биде детерминантата разгледана на сликата. Знакот испадна вака: (-1)^(2+1) = -1.

Како резултат ќе добиете матрицадодатоци, сега транспонирајте го. Транспозиција е операција која е симетрична во однос на главната дијагонала на матрицата, колоните и редовите се заменети. Така, ја најдовте поврзаната матрица A*.

Инверзна матрица за дадена е таква матрица, множење на првобитната со која се добива идентитетска матрица: Задолжителен и доволен услов за присуство на инверзна матрица е нееднаквоста на детерминантата на оригиналната (која за возврат имплицира дека матрицата мора да биде квадратна). Ако детерминантата на матрицата е еднаква на нула, тогаш таа се нарекува дегенерирана и таквата матрица нема инверзна. Во вишата математика, инверзните матрици се важни и се користат за решавање на голем број проблеми. На пример, на наоѓање на инверзна матрицасе конструира матрица метода за решавање системи на равенки. Нашиот сервисен сајт дозволува пресметајте инверзна матрица онлајндва методи: методот Гаус-Јордан и користење на матрицата на алгебарски собирања. Првиот подразбира голем број елементарни трансформации во рамките на матрицата, вториот - пресметување на детерминантата и алгебарските собирања на сите елементи. За да ја пресметате детерминантата на матрицата онлајн, можете да ја користите нашата друга услуга - Пресметување на детерминантата на матрица онлајн

.

Најдете ја инверзната матрица на локацијата

веб-страницави овозможува да најдете инверзна матрица онлајнбрзо и бесплатно. На сајтот се прават пресметки од нашата служба и се прикажува резултат со детално решение за наоѓање инверзна матрица. Серверот секогаш дава само точен и точен одговор. Во задачите по дефиниција инверзна матрица онлајн, потребно е детерминантата матрицисе разликуваше од нула, инаку веб-страницаќе ја пријави неможноста да се најде инверзна матрица поради фактот што детерминантата на оригиналната матрица е еднаква на нула. Наоѓање задача инверзна матрицасе наоѓа во многу математички гранки, како еден од најосновните поими на алгебрата и математичка алатка во применетите задачи. Независен дефиниција на инверзна матрицабара значителен труд, многу време, пресметки и голема грижа за да не се направи лапсус или мала грешка во пресметките. Затоа, нашата услуга наоѓање на инверзна матрица онлајнво голема мера ќе ви ја олесни задачата и ќе стане неопходна алатка за решавање математички проблеми. Дури и ако вие најдете инверзна матрицасами, препорачуваме да го проверите вашето решение на нашиот сервер. Внесете ја вашата оригинална матрица на нашата Пресметајте инверзна матрица онлајн и проверете го вашиот одговор. Нашиот систем никогаш не греши и наоѓа инверзна матрицададена димензија во режимот онлајнведнаш! На страницата веб-страницазаписите на знаци се дозволени во елементи матрици, во овој случај инверзна матрица онлајнќе бидат претставени во општа симболична форма.