Задачи за училишната фаза на Серуската олимпијада за ученици по математика. Математички олимпијади и проблеми на олимпијадата Николај купил заедничка тетратка со волумен од 96 листови

Задача 16:

Дали е можно да се замени 25 рубли со десет банкноти во апоени од 1, 3 и 5 рубли? Решение:

Одговор: Не

Петја купи заедничка тетратка со волумен од 96 листови и ги нумерираше сите нејзини страници со броеви од 1 до 192. Васија искина 25 листови од оваа тетратка и ги собра сите 50 броеви што се напишани на нив. Дали можеше да направи 1990 година? Решение:

На секој лист, збирот на броевите на страниците е непарен, а збирот на 25-те непарни броеви е непарен.

Производот од 22 цели броеви е еднаков на 1. Докажете дека нивниот збир не е еднаков на нула. Решение:

Меѓу овие бројки - парен број„минус единици“, а за збирот да биде еднаков на нула, мора да има точно 11 од нив.

Дали е можно да се направи магичен квадрат од првите 36 прости броеви? Решение:

Меѓу овие броеви, еден (2) е парен, а останатите се непарни. Според тоа, во линијата каде што има двојка, збирот на броевите е непарен, а во другите парен.

Броевите од 1 до 10 се пишуваат по ред. Дали е можно да се постават знаците „+“ и „-“ меѓу нив така што вредноста на добиениот израз да биде еднаква на нула?

Забелешка: имајте на ум дека негативните броеви можат да бидат и парни и непарни. Решение:

Навистина, збирот на броевите од 1 до 10 е 55, а со менување на знаците во него, го менуваме целиот израз во парен број.

Скакулецот скока праволиниски, а првиот пат скокнал 1 см во некоја насока, вториот пат скокнал 2 см итн. Докажете дека по скоковите во 1985 година тој не може да биде таму каде што започна. Решение:

Забелешка: Збирот 1 + 2 + … + 1985 е непарен.

На таблата се напишани броевите 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволено е да се избришат кои било два броја од таблата и наместо тоа да се запише модулот на нивната разлика. На крајот на таблата ќе остане само еден број. Дали може да биде нула? Решение:

Проверете дали посочените операции не ја менуваат парноста на збирот на сите броеви напишани на таблата.

Дали е можно да се покрие шаховска табла со 1 × 2 домино на таков начин што само ќелиите a1 и h8 остануваат слободни? Решение:

Секое домино покрива еден црн и еден бел квадрат, а кога ќе се исфрлат квадратите a1 и h8, има 2 црни квадрати помалку од белите.

На 17-цифрениот број е додаден бројот напишан со истите цифри, но во обратен редослед. Докажете дека барем една цифра од добиениот збир е парна. Решение:

Анализирај два случаи: збирот на првата и последната цифра од бројот е помал од 10, а збирот на првата и последната цифра од бројот не е помал од 10. Ако земеме дека сите цифри од збирот се непарни , тогаш во првиот случај не треба да има ниту едно носење на цифрите (што, очигледно, доведува до контрадикција), а во вториот случај, присуството на носење при движење од десно кон лево или од лево кон десно се наизменично со отсуство на носење, и како резултат добиваме дека цифрата од збирот во деветтата цифра е нужно парна.

Во народниот одред има 100 луѓе, а секоја вечер по тројца одат на смена. Може ли после некое време да испадне дека сите биле дежурни со секого точно еднаш? Решение:

Бидејќи на секоја должност во која учествува оваа личност, тој е на должност со уште двајца, потоа сите останати можат да се поделат во парови. Сепак, 99 е непарен број.

На правата линија се означени 45 точки кои лежат надвор од отсечката AB. Докажете дека збирот на растојанијата од овие точки до точката А не е еднаков на збирот на растојанијата од овие точки до точката Б. Решение:

За која било точка X што лежи надвор од AB, имаме AX - BX = ± AB. Ако претпоставиме дека збировите на растојанија се еднакви, тогаш добиваме дека изразот ± AB ± AB ± … ± AB, во кој се вклучени 45 членови, е еднаков на нула. Но, ова е невозможно.

Има 9 броеви подредени во круг - 4 единици и 5 нули. Секоја секунда на броевите се врши следнава операција: меѓу соседните броеви се става нула ако се различни, а една ако се еднакви; после тоа се бришат старите бројки. Може ли сите броеви да станат исти по некое време? Решение:

Јасно е дека комбинација од девет пред девет нули не може да се добие. Ако имало девет нули, тогаш на претходниот потег нулите и единиците требало да се менуваат наизменично, што е невозможно, бидејќи има само непарен број од нив.

25 момчиња и 25 девојчиња седат на тркалезна маса. Докажете дека еден од луѓето што седат на маса ги има и двата соседи момчиња. Решение:

Дозволете ни да го спроведеме нашиот доказ со контрадикторност. Сите што седат на масата ги броиме по редослед, почнувајќи од некое место. Доколку е вклучено к-то местоседи момче, јасно е дека местата (k - 2)-то и (k + 2)-то се заземени од девојчиња. Но, бидејќи има еднаков број на момчиња и девојчиња, тогаш за секоја девојка што седи на n-тото место, точно е дека (n - 2) и (n + 2) места се момчињата. Ако сега ги земеме предвид само оние 25 луѓе кои седат на „рамномерни“ места, тогаш ќе добиеме дека меѓу нив момчињата и девојчињата се наизменично ако одат околу масата во некоја насока. Но, 25 е непарен број.

Полжавот ползи по авионот со постојана брзина, вртејќи се под прав агол на секои 15 минути. Докажете дека може да се врати на почетната точка само по цел број часови. Решение:

Јасно е дека бројот а на деловите во кои полжавот ползел нагоре или надолу е еднаков на бројот на делови во кои ползел десно или лево. Останува само да се забележи дека a е рамномерно.

Три скакулци играат прескокнување на права линија. Секој пат кога еден од нив прескокнува над другиот (но не преку два одеднаш!). Дали можат да се вратат на првобитните позиции по скокот во 1991 година? Решение:

Означете ги скакулците A, B и C. Да ги наречеме распоредите на скакулците ABC, BCA и CAB (од лево кон десно) точни, а ACB, BAC и CBA неточни. Лесно е да се види дека со секој скок се менува типот на уредување.

Има 101 монета, од кои 50 се фалсификувани, а по тежина се разликуваат за 1 грам од вистинските. Петја зеде една паричка и за онаа што тежи на вагата со стрелка што ја покажува разликата во тежините на чашите, сака да утврди дали е лажна. Дали може да го направи тоа? Решение:

Треба да ја оставите оваа паричка настрана, а потоа да ги поделите преостанатите 100 монети на два купа од по 50 монети и да ги споредите тежините на овие купови. Ако се разликуваат за парен број грами, тогаш паричката што нè интересира е реална. Ако разликата меѓу тежините е непарна, тогаш монетата е фалсификувана.

Дали е можно еднаш по ред да се запишат броевите од 1 до 9, така што помеѓу еден и два, два и три, ..., осум и девет да има непарен број цифри? Решение:

Во спротивно, сите броеви во редот би биле на места со ист паритет.

Ова дело Петја купи заедничка тетратка со волумен од 96 листови и ги нумерираше сите нејзини страници по редослед со броеви од 1 до 192. Васија ја извади (Контрола) на темата (АХД и финансиска анализа), беше направена по нарачка од страна на нашата компанија специјалисти и ја помина својата успешна одбрана. Работа - Петја купи заедничка тетратка со волумен од 96 листови и ги нумерираше сите нејзини страници по редослед со броеви од 1 до 192. Васија се повлече на темата АХД и финансиската анализа ја одразува нејзината тема и логичната компонента на нејзиното откривање, се открива суштината на прашањето што се проучува, на оваа тема се истакнуваат главните одредби и водечките идеи.
Работа - Петја купи заедничка тетратка со волумен од 96 листови и ги нумерираше сите нејзини страници по ред со броеви од 1 до 192. Васија ја искина, содржи: табели, цртежи, најнови литературни извори, година на поднесување и одбрана на делото - 2017 година. Во делото, Петја купи заеднички волумен на тетратка од 96 листови и ги нумерираше сите негови страници по броеви од 1 до 192. Васија извлече (АХД и финансиска анализа) се открива релевантноста на темата за истражување, се одразува степенот на развиеност на проблемот, врз основа на длабока проценка и анализа на научните и методолошка литература, во работата на тема АХД и финансиска анализа сеопфатно се разгледуваат предметот на анализа и неговите прашања, како од теоретски така и од практична страна, се формулираат целта и конкретните задачи на темата што се разгледува, постои логика на презентација на материјалот и неговата низа.

Секции: Математика

Почитуван учесник на Олимпијадата!

Училишната олимпијада по математика се одржува во еден круг.
Има 5 задачи со различни нивоа на тежина.
Нема посебни барања за дизајнот на делото. Формата на презентација на решението на проблемите, како и методите на решавање, може да биде која било. Ако имате индивидуални размислувања за одредена задача, но не можете да го доведете решението до крај, не двоумете се да ги изнесете сите ваши размислувања. Дури и делумно решените проблеми ќе бидат оценети со соодветниот број поени.
Почнете да ги решавате задачите кои ви изгледаат полесни, а потоа преминете на останатите. На овој начин заштедувате време.

Ви посакуваме успех!

Училишна фаза на Серуската олимпијада за ученици по математика

Одделение 5

Вежба 1. Во изразот 1*2*3*4*5, заменете го „*“ со знаци за акција и поставете ги заградите вака. Да се ​​добие израз чија вредност е 100.

Задача 2. Потребно е да се дешифрира записот за аритметичка еднаквост, во кој броевите се заменуваат со букви, а се заменуваат различни броеви различни букви, исто - исто.

ПЕТ - ТРИ \u003d ДВАСе знае дека наместо писмото НОтреба да го ставите бројот 2.

Задача 3. Како да поделите 80 кг клинци на два дела - 15 кг и 65 кг користејќи вага без тегови?

Задача 4. Пресечете ја фигурата прикажана на сликата на два еднакви дела, така што секој дел има по една ѕвезда. Може да сечете само по линиите на мрежата.

Задача 5. Чаша и чинија заедно чинат 25 рубли, додека 4 чаши и 3 чинии чинат 88 рубли. Најдете ја цената на чашата и цената на чинијата.

6-то одделение.

Вежба 1. Споредете ги дропките без да ги доведете до заеднички именител.

Задача 2. Потребно е да се дешифрира записот за аритметичка еднаквост, во кој броевите се заменуваат со букви, а различните броеви се заменуваат со различни букви, истите се исти. Се претпоставува дека првобитната еднаквост е вистинита и напишана според вообичаените аритметички правила.

РАБОТА
+ ВОЛЈА
СРЕЌА

Задача 3. AT летен камптројца пријатели дојдоа да се одморат: Миша, Володија и Петја. Познато е дека секој од нив има едно од следниве презимиња: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не е Герасимов. Таткото на Володија е инженер. Володија е во 6-то одделение. Герасимов е 5-то одделение. Таткото на Иванов е учител. Како се презива секој од тројцата пријатели?

Задача 4. Поделете ја фигурата по линиите на решетката на четири идентични делови, така што секој дел има една точка.

Задача 5. Вилинското коњче што скока спиеше половина од секој ден од црвеното лето, танцуваше третина од времето на секој ден и пееше во шестиот дел. Остатокот од времето реши да го посвети на подготовките за зимата. Колку часа дневно се подготвувал Вилинското коњче за зимата?

7-мо одделение.

Вежба 1. Решете го ребусот ако знаете дека најголемата цифра во бројот STRONG е 5:

ОДЛУЧИ
АКО
СИЛНИ

Задача 2. Решете ја равенката│7 - x│ = 9,3

Задача 3. По седум перења, должината, ширината и дебелината на сапунот се преполовиле. Колку од истите перења ќе издржат преостанатиот сапун?

Задача 4 . Поделете го правоаголникот од 4 × 9 ќелии по страните на ќелиите на два еднакви дела за да можете потоа да направите квадрат од нив.

Задача 5. Дрвена коцка беше обоена со бела боја од сите страни, а потоа исеана на 64 идентични коцки. Колку коцки испадна дека се обоени од три страни? Од две страни?
Една страна? Колку коцки не се обоени?

8-мо одделение.

Вежба 1. Какви две цифри завршуваат бројот 13!

Задача 2. Намали ја фракцијата:

Задача 3. Училишниот драмски круг, подготвувајќи се за изработка на извадок од бајката на А.С. Пушкин за цар Салтан, реши да ги распредели улогите меѓу учесниците.
- Ќе бидам Черномор, - рече Јура.
- Не, јас ќе бидам Черномор, - рече Коља.
- Во ред, - му призна Јура, - можам да го играм Гвидон.
- Па, можам да станам Салтан, - Коља исто така покажа усогласеност.
- Се согласувам да бидам само Гидон! - рече Миша.
Желбите на момчињата беа задоволени. Како беа распределени улогите?

Задача 4. Медијаната AD е нацртана во рамнокрак триаголник ABC со основа AB = 8m. Периметарот на триаголникот ACD е поголем од периметарот на триаголникот ABD за 2 m. Најдете AS.

Задача 5. Николај купил заедничка тетратка од 96 листови и ги нумерирал страниците од 1 до 192. Неговиот внук Артур искинал 35 листови од оваа тетратка и ги собрал сите 70 броеви што биле напишани на нив. Дали би можел да добие 2010 година.

9 одделение

Вежба 1. Најдете ја последната цифра од 1989 1989 година.

Задача 2. Збирот на корените на некои квадратна равенкае 1, а збирот на нивните квадрати е 2. Колку изнесува збирот на нивните коцки?

Задача 3. Со помош на три медијани m a , m b и m c ∆ ABC најдете ја должината на страната AC = b.

Задача 4. Намалете ја фракцијата .

Задача 5. На колку начини можете да изберете самогласка и согласка во зборот „камзол“?

Одделение 10.

Вежба 1. Во моментов има монети од 1, 2, 5, 10 рубли. Наведете ги сите суми на пари што може да се платат и со парен и со непарен број на монети.

Задача 2. Докажете дека 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 е делив со 6.

Задача 3. Во четириаголник А БЕ ЦЕ ДЕдијагоналите се сечат во точка М. Познато е дека AM = 1,
VM = 2, CM = 4. По кои вредности ДМчетириаголник А БЕ ЦЕ ДЕе трапезоид?

Задача 4. Решете систем на равенки

Задача 5. Триесетина ученици - десеттоодделенци и единаесеттоодделенци се ракуваа. Истовремено, се покажа дека секој десеттоодделенец се ракувал со осум единаесеттоодделенци, а секој единаесетти се ракувал со седум десетти. Колку десеттоодделенци, а колку единаесетти?