На сликата е прикажан антидериватот на функцијата

Здраво пријатели! Во оваа статија ќе ги разгледаме задачите за антидеривати. Овие задачи се вклучени во Единствениот државен испит по математика. И покрај фактот што самите делови - диференцијација и интеграција - се прилично обемни во курсот за алгебра и бараат одговорен пристап кон разбирање, самите задачи, кои се вклучени во отворената банка на задачи во математиката и ќе бидат исклучително едноставни на унифицираниот Државен испит и може да се реши во еден или два чекори.

Важно е точно да се разбере суштината на антидеривативот и, особено, геометриското значење на интегралот. Да ги разгледаме накратко теоретските основи.

Геометриско значење на интегралот

Накратко за интегралот можеме да го кажеме ова: интегралот е плоштината.

Дефиниција: Нека на координатната рамнина е даден график на позитивна функција f дефинирана на отсечката. Подграф (или криволинеарен трапез) е фигура ограничена со графикот на функцијата f, правите x = a и x = b и x-оската.

Дефиниција: Нека е дадена позитивна функција f, дефинирана на конечна отсечка. Интегралот на функцијата f на отсечка е плоштината на нејзиниот потграф.

Како што веќе рековме F′(x) = f (x).Што можеме да заклучиме?

Едноставно е. Треба да одредиме колку точки има на овој график во кои F′(x) = 0. Знаеме дека во оние точки каде тангентата на графикот на функцијата е паралелна со оската x. Да ги прикажеме овие точки на интервалот [–2;4]:

Ова се екстремните точки на дадена функција F (x). Ги има десет.

Одговор: 10

323078. На сликата е прикажан график на одредена функција y = f (x) (два зраци со заедничка почетна точка). Користејќи ја сликата, пресметајте F (8) – F (2), каде што F (x) е еден од антидериватите на функцијата f (x).

Ајде повторно да ја запишеме теоремата на Њутн-Лајбниц:Нека f е дадена функција, F негов произволен антидериват. Потоа

И ова, како што веќе рековме, е областа на потграфот на функцијата.

Така, проблемот се сведува на наоѓање на областа на трапезоидот (интервал од 2 до 8):

Не е тешко да се пресмета по клетки. Добиваме 7. Знакот е позитивен, бидејќи фигурата се наоѓа над оската x (или во позитивната полурамнина на y-оската).

Дури и во овој случај, може да се каже ова: разликата во вредностите на антидериватите во точките е областа на фигурата.

Одговор: 7

323079. На сликата е прикажан график на одредена функција y = f (x). Функцијата F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 е еден од антидериватите на функцијата y= f (x). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Како што веќе беше кажано за геометриското значење на интегралот, ова е областа на фигурата ограничена со графикот на функцијата f (x), правите линии x = a и x = b и оската ox.

Теорема (Њутн-Лајбниц):

Така, задачата се сведува на пресметување на дефинитивниот интеграл на дадена функција на интервалот од -11 до -9, или со други зборови, треба да ја најдеме разликата во вредностите на антидериватите пресметани во наведените точки:

Одговор: 6

323080. На сликата е прикажан график на некоја функција y = f (x).

Функцијата F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 е еден од антидериватите на функцијата f (x). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Теорема (Њутн-Лајбниц):

Проблемот се сведува на пресметување на дефинитивниот интеграл на дадена функција во интервалот од –10 до –8:

Одговор: 4

Друго решение за овој проблем, од страницата.

Дериватите и правилата за диференцијација се исто така во. Неопходно е да ги знаете, а не само да решавате такви задачи.

Можете исто така да ги погледнете информациите за помош на веб-страницата и.

Погледнете кратко видео, ова е извадок од филмот „Слепата страна“. Можеме да кажеме дека ова е филм за образованието, за милоста, за важноста на наводните „случајни“ состаноци во нашите животи... Но овие зборови нема да бидат доволни, препорачувам да го погледнете самиот филм, топло го препорачувам.

Ти посакувам успех!

Со почит, Александар Крутицких

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Тип на работа: 7
Тема: Антидериват на функцијата

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) (која е прекината линија составена од три прави отсечки). Користејќи ја сликата, пресметајте F(9)-F(5), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x).

Прикажи решение

Решение

Според формулата Њутн-Лајбниц, разликата F(9)-F(5), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x), е еднаква на областа на ограничениот криволиниски трапез по графикот на функцијата y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. Од графиконот утврдуваме дека посочениот закривен трапез е трапез со основи еднакви на 4 и 3 и висина 3.

Неговата површина е еднаква \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Одговори

Тип на работа: 7
Тема: Антидериват на функцијата

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=F(x) - еден од антидериватите на некоја функција f(x) дефинирана на интервалот (-5; 5). Со помош на сликата определи го бројот на решенија на равенката f(x)=0 на отсечката [-3; 4].

Прикажи решение

Решение

Според дефиницијата за антидериват важи еднаквоста: F"(x)=f(x). Затоа, равенката f(x)=0 може да се запише како F"(x)=0. Бидејќи на сликата е прикажан графикот на функцијата y=F(x), тие точки треба да ги најдеме во интервалот [-3; 4], во кој изводот на функцијата F(x) е еднаков на нула. Од сликата е јасно дека тоа ќе бидат апсциси на екстремните точки (максимум или минимум) на графикот F(x). Ги има точно 7 во посочениот интервал (четири минимални поени и три максимални поени).

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 7
Тема: Антидериват на функцијата

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) (која е прекината линија составена од три прави отсечки). Користејќи ја сликата, пресметајте F(5)-F(0), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x).

Прикажи решение

Решение

Според формулата Њутн-Лајбниц, разликата F(5)-F(0), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x), е еднаква на областа на ограничениот криволиниски трапез по графикот на функцијата y=f(x), прави y=0 , x=5 и x=0. Од графиконот утврдуваме дека посочениот закривен трапез е трапез со основи еднакви на 5 и 3 и висина 3.

Неговата површина е еднаква \frac(5+3)(2)\cточка 3=12.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 7
Тема: Антидериват на функцијата

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=F(x) - еден од антидериватите на некоја функција f(x), дефинирана на интервалот (-5; 4). Со помош на сликата, определи го бројот на решенија на равенката f (x) = 0 на отсечката (-3; 3].

Прикажи решение

Решение

Според дефиницијата за антидериват важи еднаквоста: F"(x)=f(x). Затоа, равенката f(x)=0 може да се запише како F"(x)=0. Бидејќи на сликата е прикажан графикот на функцијата y=F(x), тие точки треба да ги најдеме во интервалот [-3; 3], во кој изводот на функцијата F(x) е еднаков на нула.

Од сликата е јасно дека тоа ќе бидат апсциси на екстремните точки (максимум или минимум) на графикот F(x). Ги има точно 5 во посочениот интервал (два минимум поени и три максимални поени).

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 7
Тема: Антидериват на функцијата

Состојба

На сликата е прикажан график на некоја функција y=f(x). Функцијата F(x)=-x^3+4,5x^2-7 е еден од антидериватите на функцијата f(x).

Најдете ја областа на засенчената фигура.

Прикажи решение

Решение

Засенчената фигура е криволинеарен трапез ограничен од горе со графикот на функцијата y=f(x), правите y=0, x=1 и x=3. Според формулата Њутн-Лајбниц, неговата површина S е еднаква на разликата F(3)-F(1), каде што F(x) е антидериват на функцијата f(x) наведена во условот. Затоа S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cточка 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cточка 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 7
Тема: Антидериват на функцијата

Состојба

На сликата е прикажан график на некоја функција y=f(x). Функцијата F(x)=x^3+6x^2+13x-5 е еден од антидериватите на функцијата f(x). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Прикажување на врската помеѓу знакот на дериватот и природата на монотоноста на функцијата.

Ве молиме бидете исклучително внимателни за следново. Види, распоредот на ШТО ти е даден! Функција или нејзин дериват

Ако е даден график на изводот, тогаш ќе не интересираат само функциските знаци и нули. Нас во принцип не не интересираат никакви „ридови“ или „шупливи“!

Задача 1.

Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Определи го бројот на цели точки во кои изводот на функцијата е негативен.

Решение:

На сликата, областите на функцијата за намалување се означени во боја:

Овие опаѓачки региони на функцијата содржат 4 цели броеви.

Задача 2.

Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Најдете го бројот на точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна или се совпаѓа со правата.

Решение:

Откако тангентата на графикот на функцијата е паралелна (или се совпаѓа) со права линија (или, што е иста работа), имајќи наклон, еднаква на нула, тогаш тангентата има аголен коефициент .

Ова пак значи дека тангентата е паралелна со оската, бидејќи наклонот е тангента на аголот на наклон на тангентата на оската.

Затоа, наоѓаме екстремни точки (максимални и минимални точки) на графикот - токму во овие точки функциите тангентни на графикот ќе бидат паралелни со оската.

Има 4 такви точки.

Задача 3.

Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Најдете го бројот на точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна или се совпаѓа со правата.

Решение:

Бидејќи тангентата на графикот на функцијата е паралелна (или се совпаѓа) со права која има наклон, тогаш и тангентата има наклон.

Тоа пак значи дека на допирните точки.

Затоа, гледаме колку точки на графикот имаат ординати еднаква на .

Како што можете да видите, има четири такви точки.

Задача 4.

Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Најдете го бројот на точки во кои изводот на функцијата е 0.

Решение:

Изводот е еднаков на нула во екстремните точки. Имаме 4 од нив:

Задача 5.

На сликата е прикажан график на функција и единаесет точки на оската x:. Во колку од овие точки изводот на функцијата е негативен?

Решение:

Во интервали на опаѓачка функција, неговиот дериват зема негативни вредности. И функцијата се намалува на точки. Има 4 такви точки.

Задача 6.

Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Најдете го збирот на крајните точки на функцијата.

Решение:

Екстремни точки– тоа се максималните поени (-3, -1, 1) и минималните поени (-2, 0, 3).

Збир на екстремни точки: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Најдете ги интервалите на зголемување на функцијата. Во вашиот одговор, наведете го збирот на цели броеви вклучени во овие интервали.

Решение:

Сликата ги истакнува интервалите каде што изводот на функцијата е ненегативен.

Нема цели точки на малиот растечки интервал на растечкиот интервал има четири цели броеви: , и .

Нивната сума:

Задача 8.

Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Најдете ги интервалите на зголемување на функцијата. Во вашиот одговор наведете ја должината на најголемиот од нив.

Решение:

На сликата, сите интервали на кои дериватот е позитивен се означени со боја, што значи дека самата функција се зголемува на овие интервали.

Должината на најголемиот од нив е 6.

Задача 9.

Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Во која точка на сегментот добива најголема вредност?

Решение:

Ајде да видиме како графикот се однесува на сегментот, што нè интересира само знакот на дериватот .

Знакот на изводот на е минус, бидејќи графикот на овој сегмент е под оската.

Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функцијата \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) е еден од антидериватите на функцијата \(f(x )\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323383. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функција \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\) е еден од антидериватите на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323385. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функцијата \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) е една од антидеривати на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323387. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функцијата \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) е една од антидеривати на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323389. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функција \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2 )\) е еден од антидериватите на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323391. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функцијата \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) е една од антидеривати на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323393. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функција \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) е еден од антидериватите на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323395. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функцијата \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) е еден од антидериватите на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323397. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функцијата \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) е една од антидеривати на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Задача бр.: 323399. Прототип бр:
Сликата покажува график на некоја функција \(y=f(x)\). Функција \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) е еден од антидериватите на функцијата \(f(x)\). Најдете ја областа на засенчената фигура.

Одговор:

Оди на страница: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3534 3 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 88 78 78 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 12121 28 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 1771 161 6 17 7 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 22222222 5 226 22 7 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 2727 2726 4 275 276 27 7 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 323 231 3 324 325 326 32 7 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 363 637 363 2 373 374 375 376 37 7 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412