Што се случува со експонентите при множење на броеви. Својства на степените: формулации, докази, примери. Степен со негативна основа
Концептот за диплома по математика е воведен уште во 7-мо одделение на лекција за алгебра. И во иднина, во текот на студирањето математика, овој концепт активно се користи во неговите различни форми. Степените се прилично тешка тема, која бара меморирање на вредностите и способност за правилно и брзо броење. За побрза и подобра работа со степените по математика дошле до својствата на диплома. Тие помагаат да се намалат големите пресметки, да се претвори огромен пример во еден број до одреден степен. Нема толку многу својства, и сите од нив лесно се паметат и се применуваат во пракса. Затоа, написот ги разгледува главните својства на степенот, како и каде се применуваат.
степен својства
Ќе разгледаме 12 својства на степен, вклучително и својства на моќи со исти основи, и ќе дадеме пример за секое својство. Секое од овие својства ќе ви помогне побрзо да ги решите проблемите со степени, како и да ве спаси од бројни грешки во пресметката.
1. сопственост.
Многу луѓе често забораваат на овој имот, прават грешки, претставувајќи број до нулта степен како нула.
2. сопственост.
3. сопственост.
Мора да се запомни дека ова својство може да се користи само при множење броеви, не работи со збирот! И не смееме да заборавиме дека ова и следните својства се однесуваат само на моќи со иста основа.
4-ти имот.
Ако бројот во именителот се зголеми на негативна моќност, тогаш кога се одзема, степенот на именителот се зема во загради за правилно да се замени знакот во понатамошните пресметки.
Имотот работи само при делење, не и при одземање!
5-ти имот.
6-ти имот.
Ова својство може да се примени и обратно. Единица поделена со број до одреден степен е тој број до негативна моќност.
7-ми имот.
Ова својство не може да се примени на збир и разлика! Кога се подига збир или разлика на моќ, се користат скратени формули за множење, а не својствата на моќта.
8-ми имот.
9-ти имот.
Ова својство работи за кој било дробен степен со броител еднаков на еден, формулата ќе биде иста, само степенот на коренот ќе се менува во зависност од именителот на степенот.
Исто така, овој имот често се користи во обратен редослед. Коренот на која било сила на број може да се претстави како тој број до моќта на еден поделен со моќта на коренот. Ова својство е многу корисно во случаи кога коренот на бројот не е извлечен.
10-ти имот.
Овој имот работи не само со квадратниот корен и вториот степен. Ако степенот на коренот и степенот до кој е подигнат овој корен се исти, тогаш одговорот ќе биде радикален израз.
11-ти имот.
Треба да можете навреме да го видите ова својство кога го решавате за да се спасите од огромните пресметки.
12-ти имот.
Секое од овие својства ќе ве сретне повеќе од еднаш во задачи, може да се даде во чиста форма или може да бара некои трансформации и употреба на други формули. Затоа, за правилно решение не е доволно да се знаат само својствата, треба да се вежба и да се поврзе остатокот од математичкото знаење.
Примена на степени и нивните својства
Тие активно се користат во алгебрата и геометријата. Степените по математика имаат посебно, важно место. Со нивна помош се решаваат експоненцијални равенки и неравенки, а моќите често ги комплицираат равенките и примерите поврзани со други делови од математиката. Експонентите помагаат да се избегнат големи и долги пресметки, полесно е да се намалат и пресметаат експонентите. Но, за да работите со големи сили или со моќи од голем број, треба да ги знаете не само својствата на степенот, туку и компетентно да работите со основите, да можете да ги разложите за да си ја олесните задачата. За погодност, треба да го знаете и значењето на броевите подигнати на моќност. Ова ќе ви го намали времето во решавањето со елиминирање на потребата од долги пресметки.
Концептот на степен игра посебна улога во логаритмите. Бидејќи логаритмот, во суштина, е моќ на број.
Скратените формули за множење се уште еден пример за употреба на моќи. Тие не можат да ги користат својствата на степените, тие се разложуваат според посебни правила, но во секоја скратена формула за множење има непроменливо степени.
Степените исто така активно се користат во физиката и компјутерските науки. Сите преводи во системот SI се прават со помош на степени, а во иднина при решавање на проблеми се применуваат својствата на степенот. Во компјутерската наука активно се користат моќите на два, за погодност за броење и поедноставување на перцепцијата на броевите. Понатамошни пресметки за конверзии на мерни единици или пресметки на проблеми, исто како и во физиката, се случуваат со користење на својствата на степенот.
Степените се многу корисни и во астрономијата, каде што ретко може да се најде употреба на својствата на степенот, но самите степени активно се користат за скратување на снимањето на различни количини и растојанија.
Степените се користат и во секојдневниот живот, при пресметување области, волумени, растојанија.
Со помош на степени, се пишуваат многу големи и многу мали вредности во кое било поле на науката.
експоненцијални равенки и неравенки
Својствата на степени заземаат посебно место токму во експоненцијалните равенки и неравенки. Овие задачи се многу чести, и на училишниот курс и на испитите. Сите тие се решаваат со примена на својствата на степенот. Непознатата е секогаш во самиот степен, затоа, знаејќи ги сите својства, нема да биде тешко да се реши таква равенка или неравенка.
Собирање и одземање на силите
Очигледно, броевите со моќи може да се додаваат како и другите количини , со додавање на нив еден по еден со нивните знаци.
Значи, збирот на a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Збирот на 3 - b n и h 5 -d 4 е 3 - b n + h 5 - d 4.
Шансите истите моќи на истите променливиможе да се додаде или одземе.
Значи, збирот на 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .
Исто така, очигледно е дека ако земеме два квадрати a, или три квадрати a, или пет квадрати a.
Но, степени различни променливии различни степени идентични променливи, мора да се додаде со нивно додавање на нивните знаци.
Значи, збирот на 2 и 3 е збир на 2 + a 3.
Очигледно е дека квадратот на a, и коцката на a, не е ниту два пати поголем од квадратот на a, туку двојно повеќе од коцката од a.
Збирот на a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Одземањеовластувањата се изведуваат на ист начин како и собирањето, со исклучок на тоа што знаците на субтрахенд мора соодветно да се променат.
Или:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (а - ч) 6 - 2 (а - ч) 6 = 3 (а - ч) 6
Множење на моќноста
Броевите со сили може да се множат како и другите величини со запишување еден по друг, со или без знакот за множење меѓу нив.
Значи, резултатот од множење на a 3 со b 2 е a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Резултатот во последниот пример може да се подреди со додавање на истите променливи.
Изразот ќе има форма: a 5 b 5 y 3 .
Со споредување на неколку броеви (променливи) со моќности, можеме да видиме дека ако било кои два од нив се помножат, тогаш резултатот е број (променлива) со моќност еднаква на сумастепени на поими.
Значи, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Овде 5 е моќта на резултатот од множењето, еднаков на 2 + 3, збирот на силите на членовите.
Значи, a n .a m = a m+n .
За a n, a се зема како фактор онолку пати колку што е моќта на n;
И a m , се зема како фактор онолку пати колку што степенот m е еднаков на;
Значи, моќи со исти основи може да се множат со собирање на експонентите.
Значи, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Множете се (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Одговор: x 4 - y 4.
Множете се (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ова правило важи и за броеви чии експоненти се − негативен.
1. Значи, a -2 .a -3 = a -5 . Ова може да се напише како (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ако a + b се помножат со a - b, резултатот ќе биде a 2 - b 2: т.е
Резултатот од множење на збирот или разликата на два броја е еднаков на збирот или разликата на нивните квадрати.
Ако збирот и разликата на два броја се подигнат на квадрат, резултатот ќе биде еднаков на збирот или разликата на овие броеви во четвртистепен.
Значи, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Поделба на степени
Броевите со моќност може да се поделат како и другите броеви со одземање од делителот или со ставање во форма на дропка.
Значи a 3 b 2 поделено со b 2 е a 3 .
Пишувањето 5 поделено со 3 изгледа како $\frac $. Но, ова е еднакво на 2. Во низа бројки
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
кој било број може да се подели со друг, а експонентот ќе биде еднаков на разликаиндикатори за деливи броеви.
Кога се делат моќи со иста основа, нивните експоненти се одземаат..
Значи, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоа е, $\frac = y$.
И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоа е, $\frac = a^n$.
Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Правилото важи и за броеви со негативенстепени вредности.
Резултатот од делењето на -5 со -3 е -2.
Исто така, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Неопходно е многу добро да се совлада множењето и делењето на силите, бидејќи таквите операции се многу широко користени во алгебрата.
Примери за решавање на примери со дропки кои содржат броеви со моќи
1. Намалете ги експонентите во $\frac $ Одговор: $\frac $.
2. Намалете ги експонентите во $\frac$. Одговор: $\frac $ или 2x.
3. Намалете ги експонентите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и доведете ги до заеднички именител.
a 2 .a -4 е -2 прв броител.
a 3 .a -3 е 0 = 1, вториот броител.
a 3 .a -4 е -1, заеднички броител.
По поедноставувањето: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Намалете ги показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и доведете ги до заеднички именител.
Одговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.
5. Помножете (a 3 + b)/b 4 со (a - b)/3.
6. Помножете (a 5 + 1)/x 2 со (b 2 - 1)/(x + a).
7. Помножете b 4 /a -2 со h -3 /x и a n /y -3.
8. Поделете 4 /y 3 со 3 /y 2 . Одговор: а/г.
степен својства
Ве потсетуваме дека во оваа лекција разбираме степен својствасо природни показатели и нула. Степените со рационални показатели и нивните својства ќе се дискутираат на лекциите за 8 одделение.
Експонент со природен експонент има неколку важни својства што ви овозможуваат да ги поедноставите пресметките во примерите на експонент.
Имотот број 1
Производ на моќи
Кога се множат силите со иста основа, основата останува непроменета, а експонентите се додаваат.
a m a n \u003d a m + n, каде што "a" е кој било број, а "m", "n" се сите природни броеви.
Ова својство на моќи влијае и на производот од три или повеќе сили.
- Поедноставете го изразот.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Презентирајте како диплома.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Презентирајте како диплома.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Запишете го количникот како моќност
(2б) 5: (2б) 3 = (2б) 5 − 3 = (2б) 2 - Пресметај.
Забележете дека во посоченото својство станувало збор само за множење моќи со исти основи.. Тоа не се однесува на нивното додавање.
Не можете да го замените збирот (3 3 + 3 2) со 3 5 . Ова е разбирливо ако
пресметај (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243
Имотот #2
Приватни дипломи
Кога се делат моќи со иста основа, основата останува непроменета, а експонентот на делителот се одзема од експонентот на дивидендата.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете ја равенката. Ние користиме својство на делумни степени.
3 8: t = 3 4
Одговор: t = 3 4 = 81
Користејќи ги својствата бр. 1 и бр. 2, можете лесно да ги поедноставите изразите и да вршите пресметки.
Пример. Поедноставете го изразот.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Најдете ја вредноста на изразот користејќи својства на степен.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Ве молиме имајте предвид дека имотот 2 се занимаваше само со поделбата на овластувањата со исти основи.
Не можете да ја замените разликата (4 3 −4 2) со 4 1 . Ова е разбирливо ако пресметате (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4
Имотот #3
Експоненцијација
При подигање на моќност на моќност, основата на моќноста останува непроменета, а експонентите се множат.
(a n) m \u003d a n m, каде што "a" е кој било број, а "m", "n" се сите природни броеви.
Ве потсетуваме дека количникот може да се претстави како дропка. Затоа, на следната страница подетално ќе се задржиме на темата за подигање на дропка на јачина.
Како да се умножат силите
Како да се умножат силите? Кои сили може да се множат, а кои не? Како се множи број со моќ?
Во алгебра, можете да го најдете производот на силите во два случаи:
1) ако дипломите имаат иста основа;
2) ако степените имаат исти показатели.
Кога се множат силите со иста основа, основата мора да остане иста, а експонентите мора да се додадат:
Кога се множат степени со исти индикатори, вкупниот индикатор може да се извади од загради:
Размислете како да ги умножите силите, со конкретни примери.
Единицата во експонентот не е напишана, но при множење на степените, тие земаат предвид:
При множење, бројот на степени може да биде кој било. Треба да се запомни дека не можете да го напишете знакот за множење пред буквата:
Во изразите, прво се врши степенување.
Ако треба да помножите број со моќ, прво мора да извршите степенување, а дури потоа - множење:
Множење на моќи со иста основа
Овој видео туторијал е достапен со претплата
Дали веќе имате претплата? Да влезам
Во оваа лекција, ќе научиме како да ги множиме силите со иста основа. Прво, се потсетуваме на дефиницијата за степенот и формулираме теорема за валидноста на еднаквоста . Потоа даваме примери за неговата примена на одредени броеви и го докажуваме. Теоремата ќе ја примениме и за решавање на различни проблеми.
Тема: Степен со природен индикатор и неговите својства
Лекција: Множење на сили со исти основи (формула)
1. Основни дефиниции
Основни дефиниции:
n- експонент,
— n-та моќ на број.
2. Изјава за теорема 1
Теорема 1.За кој било број аи секое природно nи кеднаквоста е вистина:
Со други зборови: ако а- кој било број; nи кприродни броеви, тогаш:
Оттука правило 1:
3. Објаснување задачи
Заклучок:посебни случаи ја потврдија исправноста на теоремата бр.1. Да го докажеме тоа во општиот случај, односно за било кој аи секое природно nи к.
4. Доказ за теорема 1
Даден број а- било кој; броеви nи k-природно. Доказ:
Доказот се заснова на дефиницијата за степенот.
5. Решение на примери со помош на теорема 1
Пример 1:Презентирајте како диплома.
За да ги решиме следните примери, ја користиме теорема 1.
е) 
6. Генерализација на теорема 1
Еве една генерализација:
7. Решение на примери со употреба на генерализација на теорема 1
8. Решавање на различни проблеми со помош на теорема 1
Пример 2:Пресметајте (можете да ја користите табелата со основни степени).
а) 
(според табелата)
б) 
Пример 3:Запишете како моќност со основата 2.
а) 
Пример 4:Одреди го знакот на бројот:
, а -негативен бидејќи експонентот на -13 е непарен.
Пример 5:Заменете го ( ) со напојување со основа r:
Имаме т.е.
9. Сумирајќи
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и други Алгебра 7. 6-то издание. М.: Просветителство. 2010 година
1. Училишен асистент (Извор).
1. Изразете како диплома:
a B C D E) 
3. Запишете како моќност со основата 2:
4. Определи го знакот на бројот:
а) 
5. Заменете го ( ) со моќ на број со основа r:
а) r4 () = r15; б) ( ) r 5 = r 6
Множење и делење на силите со исти експоненти
Во оваа лекција, ќе го проучуваме множењето на силите со исти експоненти. Прво, да се потсетиме на основните дефиниции и теореми за множење и делење на силите со исти основи и подигање на моќност на моќност. Потоа формулираме и докажуваме теореми за множење и делење на силите со исти експоненти. И тогаш со нивна помош ќе решиме голем број типични проблеми.
Потсетување на основните дефиниции и теореми
Еве а- основа на степен
— n-та моќ на број.
Теорема 1.За кој било број аи секое природно nи кеднаквоста е вистина:
Кога се множат силите со иста основа, експонентите се собираат, основата останува непроменета.
Теорема 2.За кој било број аи секое природно nи к,такви што n > кеднаквоста е вистина:
Кога се делат моќи со иста основа, експонентите се одземаат, а основата останува непроменета.
Теорема 3.За кој било број аи секое природно nи кеднаквоста е вистина:
Сите горенаведени теореми беа за моќи со истите основи, оваа лекција ќе ги разгледа степените со истите индикатори.
Примери за множење моќи со исти експоненти
Размислете за следните примери:
Да ги напишеме изразите за одредување на степенот.
Заклучок:Од примерите можете да го видите тоа 
, но тоа сепак треба да се докаже. Ја формулираме теоремата и ја докажуваме во општ случај, односно за кој било аи би секое природно n.
Изјава и доказ за теорема 4
За какви било бројки аи би секое природно nеднаквоста е вистина:
ДоказТеорема 4 .
По дефиниција за степен:
Значи ние го докажавме тоа .
За да се помножат силите со истиот експонент, доволно е да се помножат основите, а експонентот да се остави непроменет.
Изјава и доказ за теорема 5
Формулираме теорема за делење моќи со исти експоненти.
За кој било број аи б() и секое природно nеднаквоста е вистина:
ДоказТеорема 5 .
Ајде да запишеме и по дефиниција за степен:
Изјавување на теоремите со зборови
Значи ние го докажавме тоа.
За да се поделат степените со исти експоненти еден во друг, доволно е да се подели една основа со друга, а експонентот да се остави непроменет.
Решавање на типични проблеми со помош на теорема 4
Пример 1:Изрази како производ на моќи.
За да ги решиме следните примери, ја користиме теорема 4.
За да го решите следниов пример, потсетете се на формулите:
Генерализација на теорема 4
Генерализација на теорема 4:
Решавање на примери со помош на генерализирана теорема 4
Продолжи со решавање на типични проблеми
Пример 2:Напишете како степен на производ.
Пример 3:Запишете како моќност со експонент 2.
Примери за пресметка
Пример 4:Пресметајте на најрационален начин.
2. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Кољагин Ју.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и други.Алгебра 7 .М .: Образование. 2006 година
2. Училишен асистент (Извор).
1. Претставете како производ на моќи:
а) ; б) ; во) ; G) ;
2. Запишете како степен на производот:
3. Напиши во форма на степен со показател 2:
4. Пресметај на најрационален начин.
Час по математика на тема „Множење и делење на силите“
Секции:Математика
Педагошка цел:
Задачи:
Единици за активност на доктрината:определување на степенот со природен индикатор; степени компоненти; дефиниција на приватно; асоцијативен закон за множење.
I. Организација на демонстрација на совладување на постојните знаења од страна на учениците. (Чекор 1)
а) Ажурирање на знаењето:
2) Формулирајте дефиниција за степенот со природен индикатор.
a n \u003d a a a a ... a (n пати)
b k \u003d b b b b a ... b (k пати) Оправдајте го вашиот одговор.
II. Организација на самооценување на приправникот според степенот на поседување на релевантно искуство. (чекор 2)
Тест за самоиспитување: (индивидуална работа во две верзии.)
А1) Изрази го производот 7 7 7 7 x x x како моќност:
А2) Изрази го како производ степенот (-3) 3 x 2
А3) Пресметај: -2 3 2 + 4 5 3
Го избирам бројот на задачи во тестот во согласност со подготовката на ниво на класа.
За тестот давам клуч за самотестирање. Критериуми: поминување-неуспех.
III. Едукативна и практична задача (чекор 3) + чекор 4. (самите ученици ќе ги формулираат својствата)
Во текот на решавањето на задачите 1) и 2) учениците предлагаат решение, а јас како наставник организирам час за да најдам начин да ги поедноставам моќите при множење со исти основи.
Наставник: смислете начин да ги поедноставите моќите при множење со иста основа.
На кластерот се појавува запис:
Темата на лекцијата е формулирана. Множење на силите.
Наставник: смисли правило за делење степени со исти основи.
Расудување: кое дејство ја проверува поделбата? a 5: a 3 = ? дека a 2 a 3 = a 5
Се враќам на шемата - кластер и го дополнувам записот - ..при делење одземам и додавам тема на часот. ...и поделба на степените.
IV. Комуникација на студентите на границите на знаење (како минимум и како максимум).
Наставник: задачата на минимумот за денешниот час е да научи како да ги применува својствата на множење и делење на силите со исти основи, а максимумот: да примени множење и делење заедно.
Напиши на табла : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n
V. Организација на изучување на нов материјал. (чекор 5)
а) Според учебникот: бр.403 (а, в, д) задачи со различна формулација
Бр.404 (а, е, ѓ) самостојна работа, потоа организирам меѓусебна проверка, ги давам клучевите.
б) За која вредност на m важи еднаквоста? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Задача: смислете слични примери за делење.
в) бр. 417 (а), бр. 418 (а) Стапици за студенти: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. Сумирање на наученото, спроведување дијагностичка работа (што ги поттикнува учениците, а не наставниците, да ја проучуваат оваа тема) (чекор 6)
дијагностичка работа.
Тест(поставете ги копчињата на задниот дел од тестот).
Опции за задачи: презентирај го како степен количникот x 15: x 3; претставуваат како моќност производот (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; за кои m е еднаквоста a 16 a m = a 32 точно; најдете ја вредноста на изразот h 0: h 2 со h = 0,2; пресметај ја вредноста на изразот (5 2 5 0) : 5 2 .
Резиме на лекцијата. Рефлексија.Го делам класот во две групи.
Најдете ги аргументите од групата I: во корист на познавање на својствата на степенот, а група II - аргументи кои ќе кажат дека можете без својства. Ги слушаме сите одговори, извлекуваме заклучоци. Во следните лекции, можете да понудите статистички податоци и да ја именувате рубриката „Не ми се вклопува во главата!“
VII. Домашна работа.
Референца за историја. Кои броеви се нарекуваат ферматски броеви.
Стр.19. #403, #408, #417
Користени книги:
Својства на степени, формулации, докази, примери.
Откако ќе се утврди степенот на бројката, логично е да се зборува степен својства. Во оваа статија ќе ги дадеме основните својства на степенот на број, притоа допирајќи ги сите можни експоненти. Овде ќе дадеме докази за сите својства на степенот, а исто така ќе покажеме како овие својства се применуваат при решавање на примери.
Навигација на страница.
Својства на степени со природни индикатори
Според дефиницијата за степен со природен експонент, степенот на n е производ од n фактори, од кои секој е еднаков на a. Врз основа на оваа дефиниција и користење својства за множење на реални броеви, можеме да го добиеме и оправдаме следново својства на степен со природен експонент:
- ако a>0, тогаш a n >0 за која било природна n;
- ако a=0 , тогаш a n =0 ;
- ако a 2 m >0 , ако a 2 m−1 n ;
- ако m и n се природни броеви така што m>n , тогаш за 0m n , а за a>0 неравенството a m >a n е точно.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (а б) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n;
- ако n е позитивен цел број, a и b се позитивни броеви, а a n n и a−n>b−n ;
- ако m и n се цели броеви, и m>n , тогаш за 0m n , и за a>1, неравенството a m >a n е задоволена.
Веднаш забележуваме дека сите напишани еднаквости се идентичнипод наведените услови, а нивниот десен и лев дел може да се заменат. На пример, главното својство на дропката a m a n = a m + n со поедноставување на изразитечесто се користи во форма a m+n = a m a n.
Сега да го разгледаме секој од нив во детали.
Да почнеме со својството на производот на две сили со исти основи, кое се нарекува главното својство на степенот: за кој било реален број a и сите природни броеви m и n, точно е еднаквоста a m ·a n =a m+n.
Дозволете ни да го докажеме главното својство на степенот. По дефиниција за степен со природен експонент, производот на моќи со исти основи од формата a m a n може да се запише како производ 
. Поради својствата на множење, добиениот израз може да се напише како 
, и овој производ е моќта на a со природен експонент m+n , односно a m+n . Ова го комплетира доказот.
Да дадеме пример што го потврдува главното својство на степенот. Да земеме степени со исти основи 2 и природни сили 2 и 3, според главното својство на степенот, можеме да го запишеме равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Да ја провериме неговата валидност, за која ги пресметуваме вредностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . При изведување на степенување имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 и 2 5 =2 2 2 2 2=32 , бидејќи добиваме еднакви вредности, тогаш еднаквоста 2 2 2 3 = 2 5 е точно и го потврдува главното својство на степенот.
Главното својство на степенот врз основа на својствата на множење може да се генерализира на производ од три или повеќе сили со исти основи и природни експоненти. Значи, за кој било број k природни броеви n 1 , n 2 , …, n k еднаквоста a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k е точно.
На пример, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Можете да преминете на следното својство на степени со природен индикатор - својството на парцијални овластувања со исти основи: за секој ненула реален број a и произволни природни броеви m и n кои го задоволуваат условот m>n , вистинита е еднаквоста a m:a n =a m−n.
Пред да дадеме доказ за ова својство, да разговараме за значењето на дополнителните услови во формулацијата. Условот a≠0 е неопходен за да се избегне делење со нула, бидејќи 0 n =0, а кога се запознавме со делењето, се согласивме дека е невозможно да се дели со нула. Условот m>n е воведен за да не одиме подалеку од природните експоненти. Навистина, за m>n, експонентот a m−n е природен број, инаку ќе биде или нула (што се случува кога m−n) или негативен број (што се случува кога m m−n a n =a (m−n) + n = a m Од добиеното равенство a m−n a n = a m и од односот на множење со делење произлегува дека m−n е делумна моќност на m и a n Со тоа се докажува својството на парцијалните сили со исти основи.
Да земеме пример. Да земеме два степени со исти основи π и природни експоненти 5 и 2, разгледуваното својство на степенот одговара на еднаквоста π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Сега размислете својство на степен на производ: природниот степен n на производот на кои било два реални броја a и b е еднаков на производот од степените a n и b n , односно (a b) n =a n b n .
Навистина, по дефиниција за степен со природен експонент, имаме 
. Последниот производ, врз основа на својствата на множење, може да се преработи како 
, што е еднакво на a n b n .
Еве еден пример: 
.
Ова својство се протега до степенот на производот на три или повеќе фактори. Односно, својството на природен степен n на производот на k множители се запишува како (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
За јасност, го прикажуваме ова својство со пример. За производ од три множители со моќност од 7, имаме .
Следниот имот е природна сопственост: количникот на реалните броеви a и b , b≠0 на природната моќност n е еднаков на количникот на силите a n и b n , односно (a:b) n =a n:b n .
Доказот може да се изврши со користење на претходниот имот. Значи (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , а од еднаквоста (a:b) n b n =a n следува дека (a:b) n е количник од a n до b n .
Ајде да го напишеме ова својство користејќи го примерот на одредени броеви: 
.
Сега да гласиме способност за експоненција: за кој било реален број a и сите природни броеви m и n, моќта на a m на моќта од n е еднаква на моќта на a со експонент m·n , односно (a m) n =a m·n .
На пример, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Доказот за својството на моќта во одреден степен е следниов синџир на еднаквости: 
.
Разгледуваниот имот може да се прошири до степен во рамките на степенот во рамките на степенот, и така натаму. На пример, за сите природни броеви p, q, r и s, еднаквоста 
. За поголема јасност, да дадеме пример со конкретни броеви: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Останува да се задржиме на својствата на споредување степени со природен експонент.
Започнуваме со докажување на споредбеното својство на нула и моќност со природен експонент.
Прво, да оправдаме дека a n >0 за било кое a>0 .
Производот на два позитивни броја е позитивен број, како што следува од дефиницијата за множење. Овој факт и својствата на множењето ни овозможуваат да тврдиме дека резултатот од множење на кој било број позитивни броеви ќе биде и позитивен број. А моќта на a со природен експонент n е, по дефиниција, производ на n фактори, од кои секој е еднаков на a. Овие аргументи ни овозможуваат да тврдиме дека за секоја позитивна основа a степенот на a n е позитивен број. Врз основа на докажаното својство 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и 
.
Сосема е очигледно дека за секое природно n со a=0 степенот на a n е нула. Навистина, 0 n =0·0·…·0=0 . На пример, 0 3 =0 и 0 762 =0.
Да преминеме на негативни основи.
Да почнеме со случајот кога експонентот е парен број, означи го како 2 m , каде што m е природен број. Потоа 
. Според правилото за множење на негативните броеви, секој од производите од формата a а е еднаков на производот на модулите од броевите a и a, што значи дека е позитивен број. Затоа, производот исто така ќе биде позитивен. 
и степен a 2 m . Еве примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .
Конечно, кога основата на a е негативен број, а експонентот е непарен број 2 m−1, тогаш 
. Сите производи a·a се позитивни броеви, производот на овие позитивни броеви е исто така позитивен, а неговото множење со преостанатиот негативен број a резултира со негативен број. Врз основа на ова својство, (−5) 3 17 n n е производ на левиот и десниот дел од n вистински неравенки a својства на неравенки, неравенството што се докажува е од форма a n n . На пример, поради ова својство, неравенките 3 7 7 и 
.
Останува да се докаже последното од наведените својства на моќите со природни експоненти. Ајде да го формулираме. Од двата степени со природни показатели и исти позитивни основи, помал од еден, степенот е поголем, чиј показател е помал; а од два степени со природни показатели и исти основи поголеми од еден, степенот чиј индикатор е поголем е поголем. Се свртуваме кон доказот за овој имот.
Да докажеме дека за m>n и 0m n . За да го направите ова, ја запишуваме разликата a m − a n и ја споредуваме со нула. Запишаната разлика по вадењето на n од заградите ќе има форма a n ·(a m−n −1) . Добиениот производ е негативен како производ на позитивен број a n и негативен број a m−n −1 (a n е позитивен како природна моќност на позитивен број, а разликата a m−n −1 е негативна, бидејќи m−n >0 поради почетната состојба m>n , од каде произлегува дека за 0m−n е помала од една). Затоа, a m − a n m n , што требаше да се докаже. На пример, ја даваме точната неравенка.
Останува да се докаже вториот дел од имотот. Да докажеме дека за m>n и a>1, a m >a n е точно. Разликата a m −a n по вадењето на n од заградите добива форма a n ·(a m−n −1) . Овој производ е позитивен, бидејќи за a>1 степенот на a n е позитивен број, а разликата a m−n −1 е позитивен број, бидејќи m−n>0 поради почетната состојба, а за a>1, степенот на m−n е поголем од еден. Затоа, a m − a n >0 и a m >a n, што требаше да се докаже. Ова својство е илустрирано со неравенката 3 7 >3 2 .
Својства на степени со целобројни експоненти
Бидејќи позитивните цели броеви се природни броеви, тогаш сите својства на силите со позитивни цели броеви точно се совпаѓаат со својствата на силите со природни експоненти наведени и докажани во претходниот став.
Дефиниравме степен со негативен цел број експонент, како и степен со нулта експонент, така што сите својства на степените со природни експоненти изразени со еднаквости остануваат валидни. Според тоа, сите овие својства важат и за нула експоненти и за негативни експоненти, додека, се разбира, основите на степените се ненула.
Значи, за сите реални и ненула броеви a и b, како и сите цели броеви m и n, следново е точно својства на степени со целобројни експоненти:
За a=0, моќите a m и a n имаат смисла само кога и m и n се позитивни цели броеви, односно природни броеви. Така, својствата штотуку напишани важат и за случаите кога a=0, а броевите m и n се позитивни цели броеви.
Не е тешко да се докаже секое од овие својства, за ова е доволно да се користат дефинициите за степенот со природен и целоброен експонент, како и својствата на дејствата со реални броеви. Како пример, да докажеме дека својството моќ важи и за позитивни цели и за непозитивни цели броеви. За да го направиме ова, треба да покажеме дека ако p е нула или природен број и q е нула или природен број, тогаш равенствата (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) и (a −p) −q =a (−p) (−q) . Ајде да го направиме тоа.
За позитивните p и q, еднаквоста (a p) q =a p·q беше докажана во претходната потточка. Ако p=0 , тогаш имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0 q =a 0 =1 , од каде (a 0) q =a 0 q . Слично, ако q=0 , тогаш (a p) 0 =1 и a p 0 =a 0 =1 , од каде (a p) 0 =a p 0 . Ако и p=0 и q=0 , тогаш (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0 0 =a 0 =1 , од каде (a 0) 0 =a 0 0 .
Сега да докажеме дека (a −p) q =a (−p) q . По дефиниција за степен со негативен цел број експонент , тогаш 
. По својството на количникот во степенот имаме 
. Бидејќи 1 p =1·1·…·1=1 и , тогаш . Последниот израз е, по дефиниција, моќ од формата a −(p q) , која, врз основа на правилата за множење, може да се запише како (−p) q .
Слично на тоа 
.
И 
.
По истиот принцип, може да се докажат сите други својства на степен со цел број експонент, запишан во форма на еднаквости.
Во претпоследното од запишаните својства, вреди да се задржиме на доказот за неравенството a −n >b −n , што е точно за секој негативен цел број −n и секој позитивен a и b за кој условот a . Ја пишуваме и трансформираме разликата помеѓу левиот и десниот дел од оваа неравенка: 
. Бидејќи по услов а n n , значи, b n − a n >0 . Производот a n ·b n е исто така позитивен како производ на позитивните броеви a n и b n . Тогаш добиената дропка е позитивна како количник на позитивни броеви b n − a n и a n b n . Оттука, од каде a −n >b −n , што требаше да се докаже.
Последното својство на степени со целобројни експоненти се докажува на ист начин како и аналогното својство на степени со природни експоненти.
Својства на моќи со рационални експоненти
Степенот го дефиниравме со фракционен експонент со проширување на својствата на степенот со цел број експонент кон него. Со други зборови, степените со фракциони експоненти ги имаат истите својства како степените со целобројни експоненти. Имено:
- својство на производот на моќности со иста основа
за a>0 , и ако и , тогаш за a≥0 ; - сопственост на парцијални овластувања со исти основи
за a>0; - фракционо својство на производот
за a>0 и b>0 , и ако и , тогаш за a≥0 и (или) b≥0 ; - количник својство на дробна моќ
за a>0 и b>0 , и ако , тогаш за a≥0 и b>0 ; - степен сопственост во степен
за a>0 , и ако и , тогаш за a≥0 ; - својството на споредување на моќи со еднакви рационални експоненти: за кои било позитивни броеви a и b, a 0 важи неравенството a p p, а за p p >b p ;
- својството на споредување на силите со рационални експоненти и еднакви основи: за рационални броеви p и q, p>q за 0p q, а за a>0, неравенката a p >a q .
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (а б) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- за сите позитивни броеви a и b , a 0 важи неравенството a p p, а за p p >b p ;
- за ирационални броеви p и q , p>q за 0p q , а за a>0 неравенството a p >a q .
Доказот за својствата на степените со дробни експоненти се заснова на дефиницијата на степен со дробен експонент, на својствата на аритметичкиот корен од n-ти степен и на својствата на степен со целоброен експонент. Ајде да дадеме доказ.
Со дефиниција на степенот со фракционо експонент и , тогаш 
. Својствата на аритметичкиот корен ни овозможуваат да ги напишеме следните еднаквости. Понатаму, користејќи го својството на степенот со цел број експонент, добиваме , од каде, со дефиниција за степен со фракционо експонент, имаме 
, а експонентот на добиениот степен може да се конвертира на следниот начин: . Ова го комплетира доказот.
Второто својство на силите со фракциони експоненти се докажува на ист начин: 
Останатите еднаквости се докажани со слични принципи: 
Се свртуваме кон доказот за следниот имот. Да докажеме дека за секое позитивно a и b , a 0 важи неравенството a p p, а за p p >b p . Рационалниот број p го запишуваме како m/n , каде што m е цел број, а n е природен број. Условите p 0 во овој случај ќе бидат еквивалентни на условите m 0, соодветно. За m>0 и am m . Од оваа неравенка, според својството на корените, имаме , и бидејќи a и b се позитивни броеви, тогаш, врз основа на дефиницијата на степенот со дробен експонент, добиената неравенка може да се препише како , односно a p p .
Слично, кога m m >b m , од каде , односно, и a p >b p .
Останува да се докаже последното од наведените својства. Да докажеме дека за рационални броеви p и q , p>q за 0p q , а за a>0 неравенството a p >a q . Секогаш можеме да ги намалиме рационалните броеви p и q на заеднички именител, да добиеме обични дропки и , каде m 1 и m 2 се цели броеви, а n е природен број. Во овој случај, условот p>q ќе одговара на условот m 1 >m 2, што произлегува од правилото за споредување на обични дропки со исти именители. Потоа, според својството да се споредуваат силите со исти основи и природни експоненти, за 0m 1 m 2 , а за a>1, неравенката a m 1 >a m 2 . Овие нееднаквости во однос на својствата на корените може да се препишат, соодветно, како 
и 
. И дефиницијата за степен со рационален експонент ни овозможува да преминеме на нееднаквостите и, соодветно. Од тука го извлекуваме конечниот заклучок: за p>q и 0p q , а за a>0, неравенката a p >a q .
Својства на степени со ирационални експоненти
Од тоа како се дефинира степенот со ирационален експонент, можеме да заклучиме дека тој ги има сите својства на степени со рационални експоненти. Значи, за кој било a>0 , b>0 и ирационални броеви p и q следниве се вистинити својства на степени со ирационални експоненти:
Од ова можеме да заклучиме дека моќите со кои било реални експоненти p и q за a>0 имаат исти својства.
- Алгебра - 10 одделение. Тригонометриски равенки Час и презентација на тема: „Решение на наједноставните тригонометриски равенки“ Дополнителни материјали Почитувани корисници, не заборавајте да оставите ваши коментари, повратни информации, предлози! Сите материјали […]
- Отворен е конкурс за позицијата „ПРОДАВАЧ – КОНСУЛТАНТ“: Обврски: продажба на мобилни телефони и додатоци за мобилни комуникациски услуги за Beeline, Tele2, MTS претплатници поврзување на тарифни планови и услуги на Beeline и Tele2, MTS […]
- Паралелепипед со формулата Паралелепипед е многуедар со 6 лица, од кои секоја е паралелограм. Кубоид е коцка чиешто лице е правоаголник. Секој паралелепипед се карактеризира со 3 […]
- Друштво за заштита на правата на потрошувачите Астана За да добиете пин-код за пристап до овој документ на нашата веб-страница, испратете СМС порака со текст zan на бројот Претплатници на GSM оператори (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) со испраќање СМС во собата, […]
- ПРАВОПИС Н И НН ВО РАЗЛИЧНИ ДЕЛОВИ ОД ГОВОРОТ 2. Наведете ги исклучоците од овие правила. 3. Како да разликуваме глаголска придавка со наставката -n- од партицип со […]
- Донеси закон за роднински домови Донеси федерален закон за бесплатна распределба на парцела на секој граѓанин на Руската Федерација или на семејство на граѓани кои сакаат да развијат роднинска куќа на неа под следниве услови: 1. Земјиштето е доделени за […]
- ИНСПЕКЦИЈА НА ГОСТЕХНАЏОР НА БРЈАНСКИОТ РЕГИОН Потврда за плаќање на државна давачка (Преземи-12,2 kb) Пријави за регистрација за физички лица (Преземи-12 kb) Пријави за регистрација за правни лица (Преземи-11,4 kb) 1. При регистрација на нов автомобил 1.: 1.апликација 2.пасош […]
- Одамна не сме играле турнири 1х1. И време е да се обнови оваа традиција. Додека не можеме да организираме посебна скала и турнири за играчи 1v1, предлагаме да ги користите профилите на вашите тимови на страницата. Одземете или додавајте поени за игри во натпревари […]
Претходно веќе зборувавме за тоа што е моќ на број. Има одредени својства кои се корисни за решавање проблеми: токму тие и сите можни експоненти ќе ги анализираме во оваа статија. Ќе покажеме и со примери како тие можат да се докажат и правилно да се применат во пракса.
Да се потсетиме на концептот на степен со природен експонент, кој веќе го формулиравме претходно: ова е производ на n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на a. Исто така, треба да запомниме како правилно да ги множиме реалните броеви. Сето ова ќе ни помогне да ги формулираме следните својства за степен со природен индикатор:
Дефиниција 1
1. Главното својство на степенот: a m a n = a m + n
Може да се генерализира на: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Својството количник за моќи кои имаат иста основа: a m: a n = a m − n
3. Својство на степенот на производот: (a b) n = a n b n
Равенството може да се прошири на: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n
4. Својство на природен степен: (a: b) n = a n: b n
5. Ја креваме моќноста на моќноста: (a m) n = a m n ,
Може да се генерализира на: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k
6. Споредете го степенот со нула:
- ако a > 0, тогаш за кое било природно n, a n ќе биде поголемо од нула;
- со еднаква на 0, a n исто така ќе биде еднаква на нула;
- за< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- за< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Еднаквост a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Неравенството a m > a n ќе биде точно под услов m и n да се природни броеви, m да е поголем од n и a да е поголем од нула и не помал од еден.
Како резултат на тоа, добивме неколку еднаквости; ако ги исполнувате сите услови наведени погоре, тогаш тие ќе бидат идентични. За секоја од еднаквостите, на пример, за главното својство, можете да ги замените десниот и левиот дел: a m · a n = a m + n - исто како a m + n = a m · a n . Во оваа форма, често се користи при поедноставување на изрази.
1. Да почнеме со главното својство на степенот: еднаквоста a m · a n = a m + n ќе биде точно за секое природно m и n и реално a . Како да се докаже оваа изјава?
Основната дефиниција на моќи со природни експоненти ќе ни овозможи да ја претвориме еднаквоста во производ на фактори. Ќе добиеме вака запис:
Ова може да се скрати на 
(потсетете се на основните својства на множењето). Како резултат на тоа, го добивме степенот на бројот a со природен експонент m + n. Така, a m + n , што значи дека се докажува главното својство на степенот.
Да земеме конкретен пример за да го докажеме ова.
Пример 1
Значи, имаме две сили со основа 2. Нивните природни показатели се 2 и 3, соодветно. Ја добивме еднаквоста: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Ајде да ги пресметаме вредностите за да ја провериме точноста на оваа еднаквост.
Да ги извршиме потребните математички операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Како резултат на тоа, добивме: 2 2 2 3 = 2 5 . Имотот е докажан.
Поради својствата на множење, можеме да го генерализираме својството така што ќе го формулираме во форма на три или повеќе сили, за кои експонентите се природни броеви, а основите се исти. Ако бројот на природните броеви n 1, n 2 итн. го означиме со буквата k, ќе ја добиеме точната еднаквост:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Пример 2
2. Следно, треба да го докажеме следново својство, кое се нарекува својство на количник и е својствено за моќи со исти основи: ова е еднаквоста a m: a n = a m − n , што важи за секое природно m и n (и m е поголема од n)) и која било ненула реална a .
За почеток, да објасниме што точно е значењето на условите што се споменати во формулацијата. Ако земеме еднакво на нула, тогаш на крајот ќе добиеме поделба со нула, што не може да се направи (на крајот на краиштата, 0 n = 0). Условот дека бројот m мора да биде поголем од n е неопходен за да можеме да останеме во рамките на природните експоненти: со одземање n од m, добиваме природен број. Ако условот не е исполнет, ќе добиеме негативен број или нула и повторно ќе одиме подалеку од проучувањето на степени со природни показатели.
Сега можеме да преминеме на доказот. Од претходно проучуваното, се потсетуваме на основните својства на дропките и ја формулираме еднаквоста на следниов начин:
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
Од него можеме да заклучиме: a m − n a n = a m
Потсетете се на врската помеѓу делењето и множењето. Од него произлегува дека a m − n е количник на силите a m и a n . Ова е доказ за имотот од втор степен.
Пример 3
Заменете ги специфичните броеви за јасност во индикаторите и означете ја основата на степенот π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Следно, ќе го анализираме својството на степенот на производот: (a · b) n = a n · b n за кое било реално a и b и природно n .
Според основната дефиниција за степен со природен експонент, можеме да ја преформулираме еднаквоста на следниов начин:
Сеќавајќи се на својствата на множење, пишуваме: 
. Тоа значи исто како a n · b n .
Пример 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Ако имаме три или повеќе фактори, тогаш ова својство важи и за овој случај. Ја воведуваме ознаката k за бројот на фактори и пишуваме:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
Пример 5
Со конкретни броеви, ја добиваме следната точна еднаквост: (2 (- 2 , 3) а) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. После тоа, ќе се обидеме да го докажеме својството на количник: (a: b) n = a n: b n за кое било реално a и b ако b не е еднакво на 0, а n е природен број.
За доказ, можеме да го користиме претходниот степен на својството. Ако (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , и (a: b) n b n = a n , тогаш следува дека (a: b) n е количник за делење a n со b n .
Пример 6
Да го изброиме примерот: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Пример 7
Да почнеме веднаш со пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
И сега формулираме синџир на еднаквости што ќе ни ја докажат исправноста на еднаквоста: 
Ако имаме степени на степени во примерот, тогаш ова својство важи и за нив. Ако имаме природни броеви p, q, r, s, тогаш тоа ќе биде точно:
a p q y s = a p q y s
Пример 8
Ајде да додадеме специфики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Друго својство на степени со природен експонент што треба да го докажеме е својството за споредба.
Прво, да го споредиме експонентот со нула. Зошто a n > 0 под услов a да е поголемо од 0?
Ако помножиме еден позитивен број со друг, ќе добиеме и позитивен број. Знаејќи го овој факт, можеме да кажеме дека тоа не зависи од бројот на фактори - резултатот од множење на кој било број позитивни броеви е позитивен број. А што е степен, ако не е резултат на множење броеви? Тогаш за која било моќност a n со позитивна основа и природен експонент, ова ќе биде точно.
Пример 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0
Исто така, очигледно е дека моќта со основа еднаква на нула е самата нула. На која моќ и да подигнеме нула, таа ќе остане нула.
Пример 10
0 3 = 0 и 0 762 = 0
Ако основата на степенот е негативен број, тогаш доказот е малку покомплициран, бидејќи концептот парен / непарен експонент станува важен. Да почнеме со случајот кога експонентот е парен и да го означиме со 2 · m , каде што m е природен број.
Да се потсетиме како правилно да ги множиме негативните броеви: производот a · a е еднаков на производот на модулите и, според тоа, ќе биде позитивен број. Потоа 
а степенот a 2 · m се исто така позитивни.
Пример 11
На пример, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0
Што ако експонентот со негативна основа е непарен број? Да го означиме 2 · m − 1 .
Потоа 
Сите производи a · a , според својствата на множење се позитивни, а исто така и нивниот производ. Но, ако го помножиме со единствениот преостанат број a, тогаш конечниот резултат ќе биде негативен.
Тогаш добиваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Како да се докаже?
a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Пример 12
На пример, неравенствата се вистинити: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Нам ни останува да го докажеме последното својство: ако имаме два степени, чии основи се исти и позитивни, а експонентите се природни броеви, тогаш едниот е поголем, чиј показател е помал; а од два степени со природни показатели и исти основи поголеми од еден, степенот чиј индикатор е поголем е поголем.
Ајде да ги докажеме овие тврдења.
Прво треба да се увериме дека м< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Од заградите вадиме n, по што нашата разлика ќе добие форма a n · (am − n − 1) . Неговиот резултат ќе биде негативен (бидејќи резултатот од множење позитивен број со негативен е негативен). Навистина, според почетните услови, m − n > 0, тогаш a m − n − 1 е негативен, а првиот фактор е позитивен, како и секоја природна моќност со позитивна основа.
Се покажа дека a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Останува да се докаже вториот дел од изјавата формулирана погоре: a m > a е точно за m > n и a > 1 . Ја означуваме разликата и вадиме n од заградите: (a m - n - 1) Моќта на n со поголема од една ќе даде позитивен резултат; а и самата разлика ќе испадне позитивна поради почетните услови, а за a > 1 степенот на m − n е поголем од еден. Излегува дека a m − a n > 0 и a m > a n , што ни требаше да го докажеме.
Пример 13
Пример со конкретни броеви: 3 7 > 3 2
Основни својства на степени со целобројни експоненти
За степени со позитивни цели броеви, својствата ќе бидат слични, бидејќи позитивните цели броеви се природни, што значи дека сите горе докажани еднаквости важат и за нив. Тие се погодни и за случаи кога експонентите се негативни или еднакви на нула (под услов основата на самиот степен да не е нула).
Така, својствата на силите се исти за сите основи a и b (под услов овие броеви да се реални и да не се еднакви на 0) и сите експоненти m и n (под услов да се цели броеви). Накратко ги пишуваме во форма на формули:
Дефиниција 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (а б) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = a m n
6. a n< b n и a − n >b − n со позитивен цел број n , позитивни a и b , a< b
7. а м< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
Ако основата на степенот е еднаква на нула, тогаш записите a m и a n имаат смисла само во случај на природни и позитивни m и n. Како резултат на тоа, откриваме дека формулациите погоре се исто така погодни за случаи со степен со нулта основа, доколку се исполнети сите други услови.
Доказите за овие својства во овој случај се едноставни. Ќе треба да запомниме што е степен со природен и цел број експонент, како и својствата на дејствата со реални броеви.
Да го анализираме својството на степенот во степенот и да докажеме дека тоа е точно и за позитивни цели и за непозитивни цели броеви. Започнуваме со докажување на еднаквостите (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) и (a − p) − q = a (− p) (−q)
Услови: p = 0 или природен број; q - слично.
Ако вредностите на p и q се поголеми од 0, тогаш добиваме (a p) q = a p · q. Слична еднаквост веќе докажавме и претходно. Ако p = 0 тогаш:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Затоа, (a 0) q = a 0 q
За q = 0 сè е сосема исто:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Резултат: (a p) 0 = a p 0 .
Ако двата показатели се нула, тогаш (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 0 = a 0 = 1, тогаш (a 0) 0 = a 0 0 .
Потсетете се на својството на количникот во моќта докажана погоре и напишете:
1 a p q = 1 q a p q
Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q , тогаш 1 q a p q = 1 a p q
Оваа нотација можеме да ја трансформираме врз основа на основните правила за множење во a (− p) · q .
Исто така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Останатите својства на степенот можат да се докажат на сличен начин со трансформирање на постоечките неравенки. Нема да се задржуваме на ова во детали, ќе ги посочиме само тешките точки.
Доказ за претпоследното својство: потсетете се дека a − n > b − n е точно за сите негативни цели броеви на n и за секое позитивно a и b, под услов a да е помало од b.
Тогаш неравенството може да се трансформира на следниов начин:
1 a n > 1 b n
Ги запишуваме десните и левите делови како разлика и ги извршуваме потребните трансформации:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
Потсетиме дека во условот a е помал од b , тогаш, според дефиницијата за степен со природен експонент: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n завршува како позитивен број бидејќи неговите фактори се позитивни. Како резултат на тоа, имаме дропка b n - a n a n · b n , која на крајот исто така дава позитивен резултат. Оттука 1 a n > 1 b n од каде a − n > b − n , што требаше да го докажеме.
Последното својство на степени со целобројни експоненти се докажува слично како и својството на степени со природни експоненти.
Основни својства на степени со рационални експоненти
Во претходните написи, разговаравме за тоа што е степен со рационален (фракционо) експонент. Нивните својства се исти како оние на степените со целобројни експоненти. Ајде да напишеме:
Дефиниција 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за ≥ 0 (моќни на својствата на производот со иста основа).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 ако a > 0 (својство на количник).
3. a b m n = a m n b m n за a > 0 и b > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (својство на производот во фракционо степен).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n за a > 0 и b > 0, а ако m n > 0, тогаш за a ≥ 0 и b > 0 (својство на количник на фракциона моќност).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 за > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за ≥ 0 (својство на степен во степени).
6.ап< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ако стр< 0 - a p >b p (својството на споредување степени со еднакви рационални експоненти).
7.ап< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q на 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
За да ги докажеме овие одредби, треба да запомниме што е степен со фракционо експонент, кои се својствата на аритметичкиот корен од n-ти степен и кои се својствата на степенот со целоброен експонент. Ајде да погледнеме во секој имот.
Според тоа колку е степен со фракционо експонент, добиваме:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 и a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, затоа, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d сум 1 n 1 a m 2 n 2
Својствата на коренот ќе ни овозможат да изведеме еднаквости:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
Од ова добиваме: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Ајде да се трансформираме:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Експонентот може да се запише како:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Ова е доказот. На ист начин се докажува и второто својство. Ајде да го запишеме синџирот на еднаквости:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Докази за преостанатите еднаквости:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (а: б) m n = (а: б) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
Следното својство: да докажеме дека за било кои вредности на a и b поголеми од 0, ако a е помало од b, ќе се изврши p.< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Да претставиме рационален број p како m n. Во овој случај, m е цел број, n е природен број. Тогаш условите стр< 0 и p >0 ќе се прошири на м< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Го користиме својството на корените и изведуваме: a m n< b m n
Земајќи ја предвид позитивноста на вредностите a и b, неравенството ја препишуваме како m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
На ист начин, за м< 0 имеем a a m >b m , добиваме m n > b m n па a m n > b m n и a p > b p .
Останува да го докажеме последниот имот. Да докажеме дека за рационални броеви p и q , p > q за 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 би било точно a p > a q .
Рационалните броеви p и q може да се сведат на заеднички именител и да се добијат дропки m 1 n и m 2 n
Овде m 1 и m 2 се цели броеви, а n е природен број. Ако p > q, тогаш m 1 > m 2 (земајќи го предвид правилото за споредување дропки). Потоа на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенка a 1 m > a 2 m .
Тие можат да се препишат во следнава форма:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Потоа можете да направите трансформации и да добиете како резултат:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Да резимираме: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Основни својства на степени со ирационални експоненти
Сите својства опишани погоре што ги поседува степенот со рационални експоненти може да се прошират до таков степен. Ова произлегува од самата негова дефиниција, која ја дадовме во една од претходните написи. Дозволете ни накратко да ги формулираме овие својства (услови: a > 0 , b > 0 , индикаторите p и q се ирационални броеви):
Дефиниција 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (а б) p = a p b стр
4. (а: б) p = a p: b стр
5. (a p) q = a p q
6.ап< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ап< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , потоа a p > a q .
Така, сите сили чии експоненти p и q се реални броеви, под услов a > 0 да имаат исти својства.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Ако не внимаваме на осмиот степен, што гледаме овде? Да ја погледнеме програмата за 7 одделение. Значи, се сеќавате? Ова е скратената формула за множење, имено разликата на квадратите! Добиваме:
Внимателно го разгледуваме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Погрешен редослед на термини. Ако тие беа заменети, правилото може да важи.
Но, како да се направи тоа? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.
Термините магично ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до изедначен степен: можеме слободно да ги менуваме знаците во загради.
Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!
Да се вратиме на примерот:
И повторно формулата:
целинаги именуваме природните броеви, нивните спротивности (односно земени со знакот „“) и бројот.
позитивен цел број, и не се разликува од природното, тогаш сè изгледа токму како во претходниот дел.
Сега да ги погледнеме новите случаи. Да почнеме со индикатор еднаков на.
Секој број со нулта моќ е еднаков на еден:
Како и секогаш, се прашуваме: зошто е тоа така?
Размислете за некоја моќ со основа. Земете, на пример, и множете се со:
Значи, го помноживме бројот со, и го добивме истиот како што беше -. Со кој број треба да се помножи за ништо да не се промени? Така е, на. Средства.
Можеме да го сториме истото со произволен број:
Да го повториме правилото:
Секој број со нулта моќност е еднаков на еден.
Но, постојат исклучоци од многу правила. И тука е исто така - ова е број (како основа).
Од една страна, таа мора да биде еднаква на кој било степен - колку и да ја помножите нулата само по себе, сепак добивате нула, ова е јасно. Но, од друга страна, како и секој број до нула степен, тој мора да биде еднаков. Па која е вистината за ова? Математичарите решија да не се мешаат и одбија да ја подигнат нулата на нулта моќност. Тоа е, сега не само што можеме да делиме со нула, туку и да ја подигнеме на нулта моќност.
Ајде да одиме понатаму. Покрај природните броеви и броевите, цели броеви вклучуваат и негативни броеви. За да разбереме што е негативен степен, да го сториме истото како минатиот пат: множиме некој нормален број со истиот во негативен степен:
Оттука веќе е лесно да се изрази посакуваното:
Сега го прошируваме добиеното правило до произволен степен:
Значи, да го формулираме правилото:
Број на негативна моќност е инверзна од истиот број на позитивна моќност. Но во исто време основата не може да биде нула:(затоа што е невозможно да се подели).
Да резимираме:
I. Изразот не е дефиниран во случај. Ако тогаш.
II. Секој број со нулта моќност е еднаков на еден: .
III. Број кој не е еднаков на нула до негативна моќност е инверзна на истиот број на позитивна моќност: .
Задачи за независно решение:
Па, како и обично, примери за независно решение:
Анализа на задачи за независно решение:
Знам, знам, бројките се страшни, но на испит треба да бидеш подготвен на се! Решете ги овие примери или анализирајте го нивното решение ако не сте можеле да го решите и ќе научите како лесно да се справите со нив на испитот!
Да продолжиме да го шириме кругот на броеви „погодни“ како експонент.
Сега размислете рационални броеви.Кои броеви се нарекуваат рационални?
Одговор: сè што може да се претстави како дропка, каде и се цели броеви, згора на тоа.
Да се разбере што е "фракционо степен"Да разгледаме дропка:
Ајде да ги подигнеме двете страни на равенката на моќност:
Сега запомнете го правилото "степен до степен":
Која бројка треба да се подигне на моќ за да се добие?
Оваа формулација е дефиниција за коренот на тиот степен.
Дозволете ми да ве потсетам: коренот на та моќ на број () е број кој, кога ќе се подигне на моќ, е еднаков.
Односно, коренот на тиот степен е инверзна операција на степенување: .
Излегува дека. Очигледно, овој посебен случај може да се прошири: .
Сега додадете го броителот: што е тоа? Одговорот е лесно да се добие со правилото моќ до моќ:
Но, дали основата може да биде кој било број? На крајот на краиштата, коренот не може да се извлече од сите броеви.
Никој!
Запомнете го правилото: кој било број подигнат до парен број е позитивен број. Тоа е, невозможно е да се извлечат корени со парен степен од негативни броеви!
А тоа значи дека таквите броеви не можат да се подигнат на фракциона сила со парен именител, односно изразот нема смисла.
Што е со изразувањето?
Но, тука се јавува проблем.
Бројот може да се претстави како други, намалени дропки, на пример, или.
И излегува дека постои, но не постои, а тоа се само два различни записи со ист број.
Или друг пример: еднаш, тогаш можете да го запишете. Но, штом ќе го напишеме индикаторот на поинаков начин, повторно добиваме проблеми: (односно, добивме сосема поинаков резултат!).
За да избегнете такви парадокси, размислете само позитивен базен експонент со дробен експонент.
Па ако:
- - природен број;
- е цел број;
Примери:
Моќите со рационален експонент се многу корисни за трансформација на изрази со корени, на пример:
5 примери за вежбање
Анализа на 5 примери за обука
1. Не заборавајте за вообичаените својства на степените:
2. . Овде потсетуваме дека заборавивме да ја научиме табелата со степени:
на крајот на краиштата - ова или. Решението се наоѓа автоматски: .
Па, сега - најтешко. Сега ќе анализираме степен со ирационален експонент.
Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како и за степените со рационален експонент, со исклучок на
Навистина, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви кои не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (односно, ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).
Кога студиравме степени со природен, цел број и рационален индикатор, секој пат кога правевме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини.
На пример, природен експонент е број помножен со себе неколку пати;
...нула моќност- ова е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнал да се множи, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа, резултатот е само одредена „подготовка на број“, поточно број;
...негативен цел број експонент- како да се случил одреден „обратен процес“, односно бројот не бил помножен сам по себе, туку поделен.
Патем, науката често користи степен со сложен експонент, односно, експонент не е ни реален број.
Но, на училиште, ние не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти во институтот.
КАДЕ СМЕ СИГУРНИ ДЕКА ЌЕ ОДИШ! (ако научиш како да решаваш вакви примери :))
На пример:
Одлучете сами:
Анализа на решенија:
1. Да почнеме со веќе вообичаеното правило за подигање на диплома до диплома:
Сега погледнете го резултатот. Дали те потсетува на нешто? Се сеќаваме на формулата за скратено множење на разликата на квадратите:
Во овој случај,
Излегува дека:
Одговор: .
2. Дропките во експоненти ги носиме во иста форма: или двете децимални или обете обични. Добиваме, на пример:
Одговор: 16
3. Ништо посебно, ги применуваме вообичаените својства на степените:
НАПРЕДНО НИВО
Дефиниција на степен
Степенот е израз на формата: , каде што:
- — основа на степен;
- - експонент.
Степен со природен експонент (n = 1, 2, 3,...)
Подигнувањето на број до природната моќност n значи множење на бројот сам по себе пати:
Моќност со цел број експонент (0, ±1, ±2,...)
Ако експонентот е позитивен цел бројброј:
ерекција на нула моќност:
Изразот е неопределен, бидејќи, од една страна, до кој било степен е ова, а од друга страна, кој било број до ти степен е ова.
Ако експонентот е цел број негативенброј:
(затоа што е невозможно да се подели).
Уште еднаш за нула: изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.
Примери:
Степен со рационален експонент
- - природен број;
- е цел број;
Примери:
Својства на степен
За да го олесниме решавањето на проблемите, ајде да се обидеме да разбереме: од каде потекнуваат овие својства? Да ги докажеме.
Ајде да видиме: што е и?
А-приоритет:
Така, на десната страна на овој израз се добива следниот производ:
Но, по дефиниција, ова е моќност на број со експонент, односно:
Q.E.D.
Пример : Поедноставете го изразот.
Одлука : .
Пример : Поедноставете го изразот.
Одлука : Важно е да се напомене дека во нашето владеење нужномора да има иста основа. Затоа, ги комбинираме степените со основата, но остануваме посебен фактор:
Друга важна забелешка: ова правило - само за производи на моќ!
Во никој случај не треба да го пишувам тоа.
Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степенот:
Ајде да го преуредиме вака:
Излегува дека изразот се множи сам по себе еднаш, односно, според дефиницијата, ова е -та сила на бројот:
Всушност, ова може да се нарече „заграда на индикаторот“. Но, никогаш не можете да го направите ова вкупно:!
Да се потсетиме на формулите за скратено множење: колку пати сакавме да напишеме? Но, тоа не е вистина, навистина.
Моќ со негативна основа.
До овој момент, разговаравме само за она што треба да биде индикаторстепен. Но, што треба да биде основата? Во степени од природно индикатор основата може да биде кој било број .
Навистина, можеме да помножиме кој било број еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни. Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?
На пример, дали бројот ќе биде позитивен или негативен? НО? ?
Со првото, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме едни со други, резултатот ќе биде позитивен.
Но, негативните се малку поинтересни. На крајот на краиштата, се сеќаваме на едно едноставно правило од 6-то одделение: „минус повеќекратен минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со (), добиваме -.
И така натаму бесконечно: со секое следно множење, знакот ќе се менува. Можете да ги формулирате овие едноставни правила:
- дуристепен, - број позитивен.
- Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
- Позитивен број на која било сила е позитивен број.
- Нула на која било моќност е еднаква на нула.
Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Дали се снајде? Еве ги одговорите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Ние едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.
Во примерот 5), сè исто така не е толку страшно како што изгледа: не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен. Па, освен кога основата е нула. Основата не е иста, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).
Пример 6) веќе не е толку едноставен. Овде треба да откриете што е помалку: или? Ако се сеќавате на тоа, станува јасно дека, што значи дека основата е помала од нула. Тоа е, го применуваме правилото 2: резултатот ќе биде негативен.
И повторно ја користиме дефиницијата за степен:
Сè е како и обично - ја запишуваме дефиницијата за степени и ги делиме еден на друг, ги делиме во парови и добиваме:
Пред да го анализираме последното правило, да решиме неколку примери.
Пресметајте ги вредностите на изразите:
Решенија :
Ако не внимаваме на осмиот степен, што гледаме овде? Да ја погледнеме програмата за 7 одделение. Значи, се сеќавате? Ова е скратената формула за множење, имено разликата на квадратите!
Добиваме:
Внимателно го разгледуваме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Погрешен редослед на термини. Ако тие беа обратни, може да се примени правилото 3. Но, како да го направите ова? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.
Ако го помножиш со, ништо не се менува, нели? Но сега изгледа вака:
Термините магично ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до изедначен степен: можеме слободно да ги менуваме знаците во загради. Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!Не може да се замени со промена на само еден непристоен минус за нас!
Да се вратиме на примерот:
И повторно формулата:
Па сега последното правило:
Како ќе го докажеме тоа? Се разбира, како и обично: да го прошириме концептот на степен и да поедноставиме:
Па, сега да ги отвориме заградите. Колку букви ќе има? пати по множители - како изгледа? Ова не е ништо друго освен дефиниција за операција множење: вкупно испадна дека има множители. Тоа е, тоа е, по дефиниција, моќ на број со експонент:
Пример:
Степен со ирационален експонент
Покрај информациите за степените за просечното ниво, степенот ќе го анализираме со ирационален индикатор. Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок - на крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви што не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (т.е. , ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).
Кога студиравме степени со природен, цел број и рационален индикатор, секој пат кога правевме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини. На пример, природен експонент е број помножен со себе неколку пати; број до нулта степен е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнал да се множи, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа, резултатот е само одредена „подготовка на број“, имено број; степен со негативен цел број - како да се случил одреден „обратен процес“, односно бројот не бил помножен сам по себе, туку поделен.
Исклучително е тешко да се замисли степен со ирационален експонент (исто како што е тешко да се замисли 4-димензионален простор). Наместо тоа, тоа е чисто математички објект што математичарите го создале за да го прошират концептот на степен на целиот простор на броеви.
Патем, науката често користи степен со сложен експонент, односно, експонент не е ни реален број. Но, на училиште, ние не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти во институтот.
Значи, што правиме ако видиме ирационален експонент? Се трудиме да се ослободиме од него! :)
На пример:
Одлучете сами:
| 1) | 2) | 3) |
Одговори:
- Запомнете ја формулата за разлика во квадратите. Одговор:.
- Ги носиме дропките во иста форма: или двете децимали, или обичните. Добиваме, на пример: .
- Ништо посебно, ги применуваме вообичаените својства на степените:
РЕЗИМЕ ДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА
Степенсе нарекува израз на формата: , каде што:
Степен со цел број експонент
степен, чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).
Степен со рационален експонент
степен, чиј показател се негативни и дробни броеви.
Степен со ирационален експонент
експонент чиј експонент е бесконечна децимална дропка или корен.
Својства на степен
Карактеристики на степени.
- Негативниот број е зголемен на дуристепен, - број позитивен.
- Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
- Позитивен број на која било сила е позитивен број.
- Нулата е еднаква на која било моќност.
- Секој број на нулта моќност е еднаков.
СЕГА ИМАШ ЗБОР...
Како ви се допаѓа статијата? Кажете ми во коментарите подолу дали ви се допаѓа или не.
Кажете ни за вашето искуство со својствата на моќноста.
Можеби имате прашања. Или предлози.
Напишете во коментарите.
И со среќа со вашите испити!
Една од главните карактеристики во алгебрата, и навистина во целата математика, е диплома. Се разбира, во 21 век, сите пресметки можат да се извршат на онлајн калкулатор, но подобро е да научите како да го направите тоа сами за развој на мозокот.
Во оваа статија ќе ги разгледаме најважните прашања во врска со оваа дефиниција. Имено, ќе разбереме што е тоа воопшто и кои се неговите главни функции, кои својства постојат во математиката.
Ајде да погледнеме примери за тоа како изгледа пресметката, кои се основните формули. Ќе ги анализираме главните типови на количини и како тие се разликуваат од другите функции.
Ќе разбереме како да решиме различни проблеми користејќи ја оваа вредност. Ќе покажеме со примери како се подига на нула степен, ирационален, негативен итн.
Онлајн калкулатор за експоненција
Кој е степенот на еден број
Што се подразбира под изразот „подигне број до моќ“?
Степенот n на бројот a е производ на факторите со големина a n пати по ред.
Математички изгледа вака:
a n = a * a * a * …a n .
На пример:
- 2 3 = 2 во третиот чекор. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 во чекор. два = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 во чекор. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 во 5 чекор. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 во 4 чекор. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Подолу е табела со квадрати и коцки од 1 до 10.
Табела со степени од 1 до 10
Подолу се прикажани резултатите од подигањето на природните броеви до позитивни сили - „од 1 до 100“.
| Ч-ло | 2 одделение | 3 одделение |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Својства на степен
Што е карактеристично за таква математичка функција? Ајде да ги погледнеме основните својства.
Научниците го утврдија следново знаци карактеристични за сите степени:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (а б) m =(а) (б*м) .
Ајде да провериме со примери:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Од друга страна 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Слично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Инаку 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Што ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Како што можете да видите, правилата функционираат.
Но, како да се биде со собирање и одземање? Сè е едноставно. Прво се врши степенување, а дури потоа собирање и одземање.
Ајде да погледнеме примери:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Но, во овој случај, прво мора да го пресметате собирањето, бидејќи има дејства во загради: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Како да се произведе пресметки во посложени случаи? Редоследот е ист:
- ако има загради, треба да започнете со нив;
- потоа степенување;
- потоа изврши операции на множење, делење;
- по собирање, одземање.
Постојат специфични својства кои не се карактеристични за сите степени:
- Коренот на n-тиот степен од бројот a до степенот m ќе се запише како: a m / n .
- При подигање на дропка на моќност: и броителот и неговиот именител се предмет на оваа постапка.
- При подигање на производот од различни броеви на моќност, изразот ќе одговара на производот од овие броеви до дадена моќност. Тоа е: (a * b) n = a n * b n .
- Кога подигате број на негативна моќност, треба да поделите 1 со број во истиот чекор, но со знак „+“.
- Ако именителот на дропка е во негативна моќност, тогаш овој израз ќе биде еднаков на производот на броителот и именителот во позитивна моќност.
- Било кој број со моќност од 0 = 1 и до чекор. 1 = за себе.
Овие правила се важни во поединечни случаи, ќе ги разгледаме подетално подолу.
Степен со негативен експонент
Што да се прави со негативен степен, односно кога индикаторот е негативен?
Врз основа на својствата 4 и 5(види точка погоре) излегува:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
И обратно:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Што ако е дропка?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Степен со природен индикатор
Се подразбира како степен со експоненти еднакви на цели броеви.
Работи што треба да се запамети:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...итн.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... итн.
Исто така, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогаш резултатот ќе биде со знак „+“. Ако негативен број се подигне на непарна моќност, тогаш обратно.
Општите својства, и сите специфични карактеристики опишани погоре, се исто така карактеристични за нив.
Дробен степен
Овој приказ може да се напише како шема: A m / n. Се чита како: коренот на n-тиот степен на бројот А до силата на m.
Со фракционо индикатор, можете да направите сè: намалување, распаѓање на делови, подигање на друг степен итн.
Степен со ирационален експонент
Нека α е ирационален број и А ˃ 0.
За да се разбере суштината на степенот со таков индикатор, Ајде да погледнеме во различни можни случаи:
- A \u003d 1. Резултатот ќе биде еднаков на 1. Бидејќи постои аксиома - 1 е еднакво на еден во сите сили;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 се рационални броеви;
- 0˂А˂1.
Во овој случај, обратно: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 под истите услови како во вториот став.
На пример, експонентот е бројот π.Тоа е рационално.
r 1 - во овој случај тоа е еднакво на 3;
r 2 - ќе биде еднакво на 4.
Потоа, за A = 1, 1 π = 1.
A = 2, потоа 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, потоа (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Ваквите степени се карактеризираат со сите математички операции и специфични својства опишани погоре.
Заклучок
Ајде да резимираме - за што се овие вредности, кои се предностите на таквите функции? Се разбира, пред сè, тие го поедноставуваат животот на математичарите и програмерите при решавање на примери, бидејќи овозможуваат минимизирање на пресметките, намалување на алгоритмите, систематизирање на податоците и многу повеќе.
Каде на друго место може да биде корисно ова знаење? Во која било работна специјалност: медицина, фармакологија, стоматологија, градежништво, технологија, инженерство, дизајн итн.
