Хармонија на правилни полиедри. Елементи на симетрија на правилни многуедри Колку оски на симетрија има правилен октаедар?

ТЕКСТ ТРАНСКРИПТ НА ЧАСОТ:

Нашето запознавање со полиедра продолжува.

Потсетиме дека полиедарот се нарекува правилен ако се исполнети следниве услови:

1.конвексен полиедар;

2. сите негови лица се еднакви правилни многуаголници;

3. ист број на лица се спојуваат на секое негово теме;

4. сите негови диедрални агли се еднакви.

Во претходните лекции научивте за уникатното постоење на пет типа редовни полиедри:

тетраедар, октаедар, икозаедар, хексаедар (коцка) и додекаедрон.

Денес ќе ги разгледаме елементите на симетријата на проучуваните правилни полиедри.

Обичен тетраедар нема центар на симетрија.

Нејзината оска на симетрија е права линија што минува низ средните точки на спротивните рабови.

Рамнината на симетрија е рамнината што минува низ кој било раб нормално на спротивниот раб.

Правилен тетраедар има три оски на симетрија и шест рамнини на симетрија.

Коцката има еден центар на симетрија - ова е точката на пресек на нејзините дијагонали.

Оските на симетрија се прави линии што минуваат низ центрите на спротивните лица и средните точки на два спротивни рабови кои не припаѓаат на истото лице.

Коцката има девет оски на симетрија кои минуваат низ центарот на симетрија.

Рамнината што минува низ било кои две оски на симетрија е рамнина на симетрија.

Коцката има девет рамнини на симетрија.

Правилен октаедар има центар на симетрија - центарот на октаедарот, 9 оски на симетрија и 9 рамнини на симетрија: три оски на симетрија минуваат низ спротивни темиња, шест низ средните точки на рабовите.

Центарот на симетрија на октаедарот е точката на пресек на неговите оски на симетрија.

Три од 9-те рамнини на симетрија на тетраедарот минуваат низ секои 4 темиња на октаедарот што лежи во иста рамнина.

Шест рамнини на симетрија минуваат низ две темиња кои не припаѓаат на истото лице и средните точки на спротивните рабови.

Обичен икозаедрон има 12 темиња. Икозаедронот има центар на симетрија - центарот на икозаедронот, 15 оски на симетрија и 15 рамнини на симетрија: Пет рамнини на симетрија минуваат низ првиот пар спротивни темиња (секоја од нив поминува низ раб што го содржи темето, нормално на спротивниот агол).

За третиот пар добиваме 3 нови авиони, за четвртиот - два авиони и за петтиот пар само еден нов авион.

Низ шестиот пар темиња нема да помине ниту една нова рамнина на симетрија.

Редовниот додекаедар се состои од дванаесет правилни петаголници. Додекаедронот има центар на симетрија - центарот на додекаедронот, 15 оски на симетрија и 15 рамнини на симетрија: рамнините на симетрија минуваат низ работ што го содржи темето, нормално на спротивниот раб. Според тоа, 5 рамнини минуваат низ првиот пар спротивни петаголници, 4 низ вториот пар, 3 низ третиот, 2 низ четвртиот и 1 низ петтиот.

Ајде да решиме неколку задачи користејќи го стекнатото знаење.

Докажете дека во правилен тетраедар отсечките што ги поврзуваат центрите на неговите лица се еднакви.

Бидејќи сите лица на правилен тетраедар се еднакви и секое од нив може да се смета за основа, а другите три може да се сметаат за странични лица, ќе биде доволно да се докаже еднаквоста на отсечките OM и ON.

Доказ:

1.Дополнителна конструкција: нацртајте права линија DN додека не се пресече со страната AC, добивајќи ја точката F;

Да повлечеме права линија DM додека не се пресече со страната AB, добиваме точка Е.

Потоа поврзете го темето А со точката F;

теме С со точка Е.

2. Размислете за триаголниците DEO и DOP, тие

правоаголна, бидејќи DO е висината на тетраедарот, тогаш тие се еднакви по хипотенуза и крак: DO-вкупно, DE = DF (висини на еднакви лица на тетраедарот)).

Од еднаквоста на овие триаголници произлегува дека OE=OF, ME=NF (средини на еднакви страни),

аголот DEO е еднаков на аголот DFO.

3. Од она што е погоре докажано произлегува дека триаголниците OEM и OFN се еднакви од двете страни и аголот меѓу нив (види точка 2).

И од еднаквоста на овие триаголници произлегува дека OM = ON.

Q.E.D.

Дали постои четириаголна пирамида чии спротивни страни се нормални на основата?

Да докажеме дека таква пирамида не постои со контрадикторност.

Доказ:

1. Нека работ PA1 е нормален на основата на пирамидата и работ PA2 исто така нормален на основата.

2. Потоа, според теоремата (две прави нормални на третата се паралелни) добиваме дека работ RA1 е паралелен со работ RA2.

3. Но, пирамидата има заедничка точка за сите странични рабови (а со тоа и лица) - врвот на пирамидата.

Добивме контрадикција, така што не постои четириаголна пирамида чии спротивни лица се нормални на основата.

Октаедар е еден од петте правилни полиедри, со 8 триаголни лица, 12 рабови, 6 темиња. Секое од неговите темиња е теме на четири триаголници. Збирот на рамнинските агли на секое теме е 240 степени. Октаедарот има центар на симетрија - центар на октаедарот, 9 оски на симетрија и 9 рамнини на симетрија.

Во природата, во науката, во животот, овој полиедар се наоѓа доста често: се користи во објаснувањето на структурата и формите на Универзумот, во структурата на ДНК и нанотехнологијата и во создавањето загатки игри.

Но, најчесто се наоѓа, можеби, на прво место - во природата. Имено, во структурата на кристалите. Кристалите од дијамант, перовскит, оливин, флуорит, спинел, алуминиум-калиум стипса, бакар сулфат, па дури и натриум хлорид и злато имаат октаедрална форма!

Полиедрите се користат и во сликарството. Највпечатлив пример за уметничко прикажување на полиедрите во 20 век се, се разбира, графичките фантазии на Мауритс Корнилис Ешер (1898-1972), холандски уметник роден во Леуварден. Мауритс Ешер, во своите цртежи, се чинеше дека ги открил и интуитивно ги илустрирал законите за комбинација на елементи на симетрија, т.е. оние закони кои владеат над кристалите, одредувајќи ја нивната надворешна форма, нивната атомска структура и нивните физички својства.

Редовните геометриски тела - полиедри - имаа посебен шарм за Ешер. Во многу негови дела главна фигура се полиедрите, а во уште повеќе дела се јавуваат како помошни елементи.

Ориз. 7. Гравирање на „Ѕвездите“ од Ешер

Најинтересното дело на Ешер е гравурата „Ѕвездички“, во која можете да видите цврсти материи добиени со комбинирање на тетраедари, коцки и октаедри.

Заклучок

Во текот на оваа работа, беше разгледан концептот на правилни полиедри, дознавме дека многуедар се нарекува правилен ако: 1) е конвексен; 2) сите негови лица се правилни многуаголници еднакви еден на друг; 3) сите негови диедрали се еднакви; 4) ист број на рабови се спојуваат на секое негово теме.

Откако ја испитавме историјата на појавата на платонските цврсти тела, дознавме дека постојат пет правилни полиедри: тетраедар, коцка, октаедар, додекаедар и икозаедар. Нивните имиња се од Античка Грција. Буквално преведен од грчки, „тетраедар“, „октаедар“, „хексаедар“, „додекаедар“, „икоаедрон“ значат: „тетраедар“, „октаедар“, „хексаедар“, „додекаедар“, „дваесетедар“.

Користената литература и извори ни овозможија да ја разгледаме оваа тема подлабоко.

Откако ги анализиравме подетално икозаедронот и октаедарот, како и нивната примена во различни области, видовме дека проучувањето на платонските цврсти тела и сродните фигури продолжува до ден-денес. Иако убавината и симетријата се главната мотивација за современите истражувања, тие имаат и одредено научно значење, особено во кристалографијата. Кристалите на кујнска сол, натриум тиоантимонид и хром стипса се појавуваат во природата во форма на коцка, тетраедар и октаедар, соодветно. Икозаедронот не се наоѓа меѓу кристалните форми, но може да се забележи меѓу формите на микроскопски морски организми познати како радиолари.

Идеите на Платон и Кеплер за поврзаноста на правилните полиедри со хармоничната структура на светот го најдоа своето продолжение во наше време во една интересна научна хипотеза дека јадрото на Земјата има облик и својства на растечки кристал, што влијае на развојот на сите природни процеси што се случуваат на планетата. Зраците на овој кристал, или подобро кажано, неговото поле на сила, ја одредуваат структурата на Земјата икозаедрон-додекаедар. Тоа се манифестира во фактот дека во земјината кора се појавуваат проекции на правилни полиедри испишани во земјината топка: икозаедарот и додекаедронот.

Скулпторите, архитектите и уметниците исто така покажале голем интерес за облиците на редовните полиедри. Сите биле воодушевени од совршенството и хармонијата на полиедроните.

Библиографија

1. Александров А.Д и др.Геометрија за 10-11 одделение: Учебник. Прирачник за ученици од училиштата. и напредни часови студирал Математика / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik. – 3. изд., ревидирана. - М.: Образование, 1992 – 464 стр.

2. Атанасјан Л.С. Геометрија 10 - 11.- М.: Образование, 2003 г.

3. Василевски А.Б. Паралелни проекции - Москва, 2012 година.

4. Волошинов А.В. Математика и уметност - М.: Образование, 2002 година.

5. Гончар В.В. Модели на полиедри. – М.: Аким, 1997. – 64 стр.

6. Дитјаткин В.Г. Леонардо да Винчи - М.: Москва, 2002 година.

7. Евклид. Почеток.- Во 3 тома М. Л.; 1948 – 1950 година.

8. Математика: Училишна енциклопедија / Гл. ед. Николски С. М. - М.: Научна издавачка куќа. „Голема руска енциклопедија“, 1996 година

9. Пиду Д. Геометрија и уметност. - Москва, 1999 година.