Без разлика дали е поделена со. Може да се подели со нула? Математичарот одговара. Кога се појави нула

"Не можете да делите со нула!" - мнозинството ученици го запаметат ова правило без да поставуваат прашања. Сите деца знаат што не е „дозволено“ и што ќе се случи ако како одговор на него прашаат: „Зошто?“ Но, всушност е многу интересно и важно да се знае зошто е тоа невозможно.

Поентата е дека четирите операции на аритметиката - собирање, одземање, множење и поделба - се всушност нееднакви. Математичарите препознаваат само две од нив како целосни - собирање и множење. Овие операции и нивните својства се вклучени во самата дефиниција на концептот на број. Сите други дејства се изградени на еден или друг начин од овие две.

Размислете за одземање на пример. Што значи 5 - 3? Студентот ќе одговори на ова едноставно: треба да земете пет предмети, да однесете (отстраните) три од нив и да видите колку остануваат. Но, математичарите гледаат на овој проблем на сосема поинаков начин. Нема одземање, има само собирање. Затоа, пишувањето 5 - 3 значи број што, ако се додаде на бројот 3, дава број 5. Односно, 5 - 3 е само скратена нотација на равенката: x + 3 \u003d 5. Во оваа равенка нема одземање. Има само задача - да пронајдете соодветен број.

Истиот случај е со множење и поделба. Записот 8: 4 може да се сфати како резултат на поделба на осум ставки на четири еднакви купови. Но, во реалноста, ова е само скратена форма на равенката 4 x \u003d 8.

Ова е местото каде што станува јасно зошто е невозможно (или поточно невозможно) да се подели со нула. Забелешка 5: 0 е кратенка за 0 x \u003d 5. Тоа е, оваа задача е да најдеме број што, кога ќе се помножи со 0, дава 5. Но, знаеме дека кога ќе се помножи со 0, секогаш добиваш 0. Ова е својствено својство на нула, строго кажано, дел од нејзината дефиниција.

Не постои таков број што, ако се помножи со 0, ќе даде нешто друго освен нула. Тоа е, нашата задача нема решение. (Да, ова се случи, не секој проблем има решение.) Ова значи дека нотацијата 5: 0 не одговара на кој било специфичен број, и едноставно не значи ништо, и затоа нема смисла. Бесмисленоста на оваа снимка е накратко изразена, велејќи дека не можете да делите со нула.

Највнимателните читатели на ова место сигурно ќе прашаат: дали нулата може да се подели со нула? Навистина, равенката 0 x \u003d 0 е успешно решена. На пример, може да земете x \u003d 0, а потоа ќе добиеме 0 0 \u003d 0. Значи, 0: 0 \u003d 0? Но, да не брзаме. Да се \u200b\u200bобидеме да земеме x \u003d 1. Добиваме 0 1 \u003d 0. Нели? Значи 0: 0 \u003d 1? Но, можете да земете кој било број на овој начин и да добиете 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317, итн.

Но, ако кој било број е соодветен, тогаш немаме причина да се определиме за ниту еден од нив. Тоа е, не можеме да кажеме на кој број влезот 0: 0 одговара. И ако е тоа така, тогаш мора да признаеме дека и овој запис нема смисла. Излегува дека дури и нулата не може да се подели со нула. (Во математичката анализа, има случаи кога, благодарение на дополнителните услови на проблемот, може да се претпочита едно од можните решенија на равенката 0 x \u003d 0; во такви случаи, математичарите зборуваат за „откривање на несигурност“, но во аритметиката такви случаи не се појавуваат).

Ова е особеноста на операцијата за поделба. Поточно, операцијата за множење и придружниот број имаат нула.

Па, и најпрецизниот, читајќи досега, може да праша: зошто е невозможно да се подели со нула, но може да се одземе нула? Во извесна смисла, тука започнува вистинската математика. Можете да одговорите само откако ќе се запознаете со формалните математички дефиниции на множествата на броеви и операциите врз нив. Не е толку тешко, но поради некоја причина не се учи на училиште. Но, на предавањата по математика на универзитетот, пред сè, ќе ве научат токму ова.

Назад на училиште, наставниците се обидоа да го удрат наједноставното правило во нашите глави: "Било кој број помножен со нула е еднаков на нула!", - но сепак има многу полемики околу него. Некој само се сети на правилото и не се замара со прашањето „зошто?“. „Не можете и тоа е тоа, затоа што тие така рекоа на училиште, правило е правило! Некој може да напише половина тетратка со формули, докажувајќи го ова правило или, напротив, неговата нелогичност.

Во контакт со

Кој е во право на крајот

За време на овие спорови, обајцата кои имаат спротивни гледишта се гледаат едни на други како овен и со сите сили ја докажуваат својата невиност. Иако, ако ги погледнете од страна, може да видите не еден, туку два овни кои одмараат рогови едни на други. Единствената разлика меѓу нив е што едниот е малку помалку образован од другиот.

Почесто отколку не, оние кои сметаат дека ова правило е неточно, се обидуваат да се повикаат на логиката на овој начин:

Имам две јаболка на мојата маса, ако им ставам нула јаболка, односно не ставам ниту една, тогаш моите две јаболка нема да исчезнат од ова! Правилото е нелогично!

Навистина, јаболката нема да исчезнат никаде, но не затоа што правилото е нелогично, туку затоа што тука се користи малку поинаква равенка: 2 + 0 \u003d 2. Значи, таквиот заклучок го отфрламе веднаш - тоа е нелогично, иако има спротивна цел - да повикаме кон логиката.

Што е множење

Оригиналното правило на множење беше дефинирано само за природни броеви: множењето е број додаден на себе одреден број пати, што подразбира дека бројот е природен. Така, секој број со множење може да се сведе на оваа равенка:

25 × 3 \u003d 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 \u003d 25 + 25 + 25

Заклучокот произлегува од оваа равенка, тоа множење е поедноставено собирање.

Што е нула

Секое лице од детството знае: нула е празнина, и покрај фактот дека оваа празнина има назнака, таа воопшто не носи ништо. Античките ориентални научници размислувале поинаку - тие пристапиле кон ова прашање филозофски и направиле некои паралели помеѓу празнината и бесконечноста и виделе длабоко значење во овој број. На крајот на краиштата, нулата, која има значење на празнина, стоејќи покрај кој било природен број, ја множи десет пати. Оттука, целата полемика околу множењето - овој број носи толку многу недоследност што станува тешко да не се збуни. Покрај тоа, нулата постојано се користи за дефинирање на празни места во децимални дропки, ова се прави и пред и по децималната точка.

Дали е можно да се множи со празнина

Може да се множите со нула, но е бескорисно, бидејќи, што и да каже некој, но дури и кога множите негативни броеви, сепак ќе добиете нула. Доволно е само да го запомните ова едноставно правило и никогаш повеќе да не го поставувате ова прашање. Всушност, сè е поедноставно отколку што изгледа на прв поглед. Нема скриени значења и тајни, како што верувале античките научници. Подолу, ќе се даде најлогичното објаснување дека ова множење е бескорисно, бидејќи кога бројот ќе се помножи со него, сепак ќе се добие истото - нула.

Враќајќи се на самиот почеток, до расправијата за две јаболка, 2 пати 0 изгледа вака:

Ако јадете две јаболка пет пати, тогаш јадете 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 јаболка
Ако ги јадете двапати три пати, тогаш се јадат 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 јаболка
Ако јадете две јаболка нула пати, тогаш ништо нема да се јаде - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

На крајот на краиштата, јадењето јаболко 0 пати значи да не се јаде ниту едно. Дури и најмалото дете ќе го разбере ова. Што и да каже некој, 0 ќе излезе, две или три може да се заменат со апсолутно кој било број и апсолутно истиот ќе излезе. Едноставно кажано, тогаш нула не е ништои кога имаш нема ништо, колку и да се множиш, не е важно ќе биде нула... Нема магија и ништо нема да направи јаболко, дури и ако множите 0 со милион. Ова е наједноставното, најразбирливо и логично објаснување на правилото на множење со нула. За личност далеку од сите формули и математики, ваквото објаснување ќе биде доволно дисонанцата во главата да се распрсне и сè да дојде на свое место.

Поделба

Друго важно правило следи од сето горенаведено:

Не можете да делите со нула!

Ова правило, исто така, тврдоглаво се зачукуваше во нашите глави уште од детството. Ние само знаеме дека е невозможно и сè без да ги наполниме главите со непотребни информации. Ако неочекувано ви биде поставено прашањето зошто е забрането да се дели со нула, тогаш мнозинството ќе се збуни и нема да може јасно да одговори на наједноставното прашање од училишната програма, бидејќи нема толку многу полемики и противречности околу ова правило.

Секој само го запомни правилото и не подели со нула, не сомневајќи се дека одговорот лежи на површината. Собирањето, множењето, поделбата и одземањето се нееднакви, само множењето и собирањето се комплетни од горенаведеното, а сите други манипулации со броеви се изградени од нив. Тоа е, пишувањето 10: 2 е кратенка од равенката 2 * x \u003d 10. Значи, пишувањето 10: 0 е иста кратенка од 0 * x \u003d 10. Излегува дека поделбата со нула е задача да се најде број, множејќи го со 0, ќе добиете 10 И веќе сфативме дека таква бројка не постои, што значи дека оваа равенка нема решение и ќе биде неточна а приори.

Дозволете ми да ви кажам

Да не се дели со 0!

Исечете 1 како што сакате, по должина,

Само не дели со 0!

Евгениј ШИРЈАЕВ, предавач и раководител на математичката лабораторија на Политехничкиот музеј, изјави за „AiF“ за поделба со нула:

1. Надлежност на прашањето

Се согласувам, забраната дава посебна провокација на правилото. Како е невозможно? Кој го забрани тоа? Што е со нашите граѓански права?

Ниту уставот, ниту Кривичниот законик, па дури ниту статутите на вашето училиште не се спротивставуваат на интелектуалното дејствување од интерес за нас. Ова значи дека забраната нема правна сила и ништо не спречува токму тука, на страниците на „AiF“, да се обиде да подели нешто со нула. На пример, илјада.

2. Поделете се како што се учи

Запомнете, кога прв пат научивте како да делите, првите примери беа решени со тестот на множење: резултатот помножен со делителот мораше да се совпадне со дивидендата. Не се совпадна - не одлучи.

Пример 1. 1000: 0 =...

Да заборавиме на забранетото правило една минута и да направиме неколку обиди да го погодиме одговорот.

Невалидни проверки ќе бидат прекинати. Поминете низ опциите: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000. За секоја од нив, проверката ќе го даде истиот резултат:

100 0 \u003d 1 0 \u003d - 23 0 \u003d 17 0 \u003d 0 0 \u003d 10 000 0 \u003d 0

Нулта со множење претвора сè во себе и никогаш во илјада. Заклучокот не е тешко да се формулира: ниту еден број нема да го помине тестот. Тоа е, ниту еден број не може да биде резултат на делење на нула број на нула. Таквата поделба не е забранета, но едноставно нема резултат.

3. Нијанса

Речиси испуштивме една можност да ја побиеме забраната. Да, признаваме дека не нула број не може да се дели со 0. Но, можеби и самиот 0 може?

Пример 2. 0: 0 = ...

Ваши предлози за приватно лице? Сто? Ве молиме: количник 100 пати повеќе од делителот 0 е еднаков на делениот 0.

Повеќе опции! еден? Исто така се вклопува. И -23, и 17, и сè-сите. Во овој пример, тестот ќе биде позитивен за кој било број. И, да бидам искрен, решението во овој пример треба да се нарече не број, туку збир на броеви. Сите И нема да потрае долго да се согласиме на тоа дека Алиса не е Алис, туку Мери Ен, и двете се сон на зајак.

4. Што е со повисоката математика?

Проблемот беше решен, беа земени предвид нијансите, беа поставени точките, сè стана јасно - одговорот за примерот со поделба со нула не може да биде единствен број. Да се \u200b\u200bрешат ваквите проблеми е безнадежна и невозможна задача. Што значи ... интересно! Земете две.

Пример 3. Откријте како да се подели 1000 со 0.

Нема шанси. Но 1000 може лесно да се подели со други броеви. Па, ајде барем да направиме што ќе добиеме, дури и ако ја смениме задачата. И, гледате, ќе се занесеме, а одговорот ќе се појави сам по себе. Забораваме на нулата една минута и делиме на сто:

Стотка е далеку од нула. Ајде да направиме чекор кон тоа со намалување на делителот:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очигледна динамика: колку е поблизу делителот на нула, толку е поголем количникот. Трендот може да се набудува понатаму, придвижувајќи се кон дропки и продолжувајќи да го намалува броителот:

Останува да се напомене дека можеме да и пријдеме на нулата колку што сакаме поблиску, правејќи го количникот колку што сакаме.

Во овој процес, нема нула и последен количник. Ние го назначивме движењето кон нив, заменувајќи го бројот со низа што се конвергира на бројот на интерес за нас:

Ова подразбира слична замена за дивидендата:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрелките не се залудни ставени двострани: некои низи можат да се спојат во бројки. Тогаш можеме да ја доделиме низата до нејзината нумеричка граница.

Да ја разгледаме редоследот на количниците:

Расте на неодредено време, без да се стремиме кон кој било број и да надмине кој било. Математичарите го додаваат симболот на броевите ∞ да може да стави двоглава стрела покрај таквата низа:

Споредба на бројот на низи со ограничување ни овозможува да предложиме решение за третиот пример:

Поделувајќи ја низата што се конвергира на 1000 со низа на позитивни броеви што се собираат на 0 елементарно, добиваме низа што се соединува со.

5. И тука е нијанса со две нули

Кој ќе биде резултатот од делењето на две низи на позитивни броеви кои се спојуваат на нула? Ако се исти, тогаш идентичната единица. Ако редоследот на дивиденда побрзо се конвергира на нула, тогаш во количник тоа е низа со нулта граница. И кога елементите на делителот се намалуваат многу побрзо отколку на дивидендата, редоследот на количниците ќе расте силно:

Неизвесна состојба. И така се нарекува: неизвесност на видот 0/0 ... Кога математичарите ќе видат низи кои се погодни за таква несигурност, тие не брзаат да поделат два идентични броја едни со други, туку сфаќаат која од низите работи побрзо до нула и како точно. И секој пример ќе има свој специфичен одговор!

6. Во животот

Ом законот ги поврзува јачината на струјата, напонот и отпорот во колото. Честопати е напишано во оваа форма:

Да го занемариме точното физичко разбирање и формално да ја гледаме десната страна како количник од два броја. Замислете дека решаваме училишен проблем со електрична енергија. Состојбата дава напон во волти и отпор во оми. Прашањето е очигледно, решение во еден чекор.

Сега да ја разгледаме дефиницијата за суперспроводливост: ова е својство на некои метали да имаат нула електричен отпор.

Па, да го решиме проблемот за суперспроводливото коло? Само замена R \u003d0 нема да работи, физиката фрла интересен проблем, зад кој, очигледно, стои научно откритие. И луѓето кои успеаја да поделат со нула во оваа ситуација добија Нобелова награда. Корисно е да можете да ги заобиколите сите забрани!

И еве уште една интересна изјава. "Не можете да делите со нула!" - мнозинството ученици го запаметат ова правило без да поставуваат прашања. Сите деца знаат што „не е дозволено“ и што ќе се случи ако како одговор на него прашаат: „Зошто?“. Ова е она што ќе се случи ако

Но, всушност е многу интересно и важно да се знае зошто е тоа невозможно.

Истиот случај е со множење и поделба. Записот 8: 4 може да се сфати како резултат на поделба на осум ставки на четири еднакви купови. Но, во реалноста тоа е само скратена форма на равенката 4 x \u003d 8.

Ова е местото каде што станува јасно зошто е невозможно (или поточно невозможно) да се подели со нула. Записот 5: 0 е кратенка од 0 x \u003d 5. Односно, оваа задача е да најдеме број што, кога ќе се помножи со 0, ќе даде 5. Но, знаеме дека кога ќе се помножи со 0, секогаш се покажува дека е 0. Ова е својствено својство на нула, строго кажано , дел од нејзината дефиниција.

Не постои таков број што, ако се помножи со 0, ќе даде нешто друго освен нула. Тоа е, нашата задача нема решение. (Да, ова се случува, не секој проблем има решение.) Ова значи дека нотацијата 5: 0 не одговара на кој било специфичен број, и едноставно не значи ништо и затоа нема смисла. Бесмисленоста на оваа снимка е накратко изразена, велејќи дека не можете да делите со нула.

Највнимателните читатели на ова место сигурно ќе прашаат: дали нулата може да се подели со нула? Навистина, равенката 0 x \u003d 0 може успешно да се реши. На пример, може да земете x \u003d 0, а потоа ќе добиеме 0 · 0 \u003d 0. Излегува дека 0: 0 \u003d 0? Но, да не брзаме. Ајде да се обидеме да земеме x \u003d 1. Добиваме 0 · 1 \u003d 0. Нели? Значи 0: 0 \u003d 1? Но, можете да земете кој било број на овој начин и да добиете 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317, итн.

Но, ако кој било број е соодветен, тогаш немаме причина да се определиме за ниту еден од нив. Тоа е, не можеме да кажеме на кој број влезот 0: 0 одговара. И ако е тоа така, тогаш мора да признаеме дека и овој запис нема смисла. Излегува дека дури и нулата не може да се подели со нула. (Во математичката анализа има случаи кога, поради дополнителни услови на проблемот, може да се претпочита едно од можните решенија на равенката 0 · x \u003d 0; во вакви случаи, математичарите зборуваат за „откривање на несигурност“, но во аритметиката такви случаи не се појавуваат).

Ова е особеноста на операцијата за поделба. Поточно, операцијата за множење и придружниот број имаат нула.

Бројот 0 може да се претстави како еден вид граница што го одделува светот на реалните броеви од имагинарните или негативните. Поради двосмислената позиција, многу операции со оваа нумеричка вредност не се покоруваат на математичката логика. Невозможноста на поделба со нула е врвен пример за ова. И дозволените аритметички операции со нула може да се извршат со користење на општо прифатени дефиниции.

Нула приказна

Нулта е референтна точка во сите стандардни системи на пресметка. Европејците почнаа да ја користат оваа бројка релативно неодамна, но мудреците на античка Индија користеа нула илјада години пред празниот број редовно да го користеа европските математичари. Дури и пред Индијанците, нулата беше задолжителна вредност во системот на броеви на Маите. Овој американски народ го користеше дуодецималниот систем на број и тие започнаа со нула на првиот ден од секој месец. Интересно, знакот на Маите за „нула“ беше потполно ист со знакот за „бесконечност“. Така, древната Маја заклучила дека овие вредности се идентични и не се познаваат.

Математички операции со нула

Стандардните математички операции со нула може да се сведат на неколку правила.

Додаток: ако додадете нула на произволен број, тогаш тој нема да ја промени својата вредност (0 + x \u003d x).

Одземање: при одземање на нула од кој било број, вредноста на одземената останува непроменета (x-0 \u003d x).

Множење: Секој број помножен со 0 дава 0 во производот (a * 0 \u003d 0).

Поделба: Нулта може да се подели со кој било друг број освен нула. Во овој случај, вредноста на таквата дропка ќе биде 0. И поделбата со нула е забранета.

Експоненцијација. Ова дејство може да се изврши со кој било број. Произволен број подигнат на нула моќност ќе даде 1 (x 0 \u003d 1).

Нулта до која било моќност е 0 (0 а \u003d 0).

Во овој случај, веднаш произлегува противречност: изразот 0 0 нема никакво значење.

Парадокси на математиката

Многу луѓе знаат дека поделбата со нула е невозможна од училиште. Но, поради некоја причина не е можно да се објасни причината за таквата забрана. Навистина, зошто формулата за поделба со нула не постои, но другите дејства со овој број се прилично разумни и можни? Одговорот на ова прашање го даваат математичарите.

Факт е дека вообичаените аритметички операции што учениците ги учат во основно училиште се всушност далеку од тоа да бидат еднакви како што мислиме. Сите едноставни операции со броеви може да се сведат на две: собирање и множење. Овие дејства се суштината на самиот концепт на број, а остатокот од операциите се засноваат на употребата на овие две.

Собирање и множење

Да земеме стандарден пример на одземање: 10-2 \u003d 8. На училиште, се смета едноставно: ако одземат два од десет предмети, остануваат осум. Но, математичарите гледаат на оваа операција на сосема поинаков начин. На крајот на краиштата, таквата операција како одземање не постои за нив. Овој пример може да се напише на друг начин: x + 2 \u003d 10. За математичарите, непознатата разлика е едноставно број што треба да се додаде на двајца за да се направат осум. И тука не е потребно одземање, само треба да пронајдете соодветна нумеричка вредност.

Множењето и поделбата се третираат на ист начин. На пример 12: 4 \u003d 3, можете да разберете дека станува збор за поделба на осум предмети на два еднакви купови. Но, во реалноста тоа е само превртена формула за пишување 3x4 \u003d 12 и има бесконечни примери на поделба.

Поделба по 0 примери

Ова е местото каде што станува малку јасно зошто не можете да делите со нула. Множењето и поделбата со нула ги почитуваат сопствените правила. Сите примери за поделба на оваа величина може да се формулираат како 6: 0 \u003d x. Но, ова е превртена нотација на изразот 6 * x \u003d 0. Но, како што знаете, секој број помножен со 0 дава во производот само 0. Овој имот е својствен на самиот концепт на нулта вредност.

Излегува дека не постои таков број што, кога се множи со 0, дава каква било опиплива вредност, односно овој проблем нема решение. Не треба да се плашите од таков одговор, тоа е природен одговор за проблеми од овој тип. Само што 6-0 нема никаква смисла и не може да објасни ништо. На кратко, овој израз може да се објасни со бесмртната „поделбата со нула е невозможна“.

Дали постои операција 0: 0? Навистина, ако операцијата на множење со 0 е легална, дали нулата може да се подели со нула? На крајот на краиштата, равенка од образецот 0x 5 \u003d 0 е целосно легална. Наместо бројот 5, можете да ставите 0, производот нема да се промени од ова.

Навистина, 0x0 \u003d 0. Но, сè уште не можете да поделите со 0. Како што рече, поделбата е едноставно обратна форма на множењето. Така, ако во примерот 0x5 \u003d 0, треба да го одредите вториот фактор, добиваме 0x0 \u003d 5. Или 10. Или бесконечност. Делење на бесконечноста со нула - како ви се допаѓа?

Но, ако кој било број се вклопува во изразот, тогаш нема смисла, не можеме да избереме еден од бесконечното множество на броеви. И ако е така, тоа значи дека изразот 0: 0 нема смисла. Излегува дека дури и самата нула не може да се подели со нула.

Повисока математика

Поделбата на нула е главоболка за училишната математика. Математичката анализа изучена на техничките универзитети малку го проширува концептот на проблеми кои немаат решение. На пример, на веќе познатиот израз 0: 0, се додаваат нови што немаат решение на курсевите по училишна математика:

бесконечност поделена со бесконечност:?:?;
бесконечност минус бесконечност: ???
еден подигнат до бесконечна моќ: 1? ;
пати на бесконечност 0:? * 0;
некои други.

Невозможно е да се решат ваквите изрази со елементарни методи. Но, повисоката математика, благодарение на дополнителните можности за голем број слични примери, дава конечни решенија. Ова е особено видливо во разгледувањето на проблемите од теоријата на границите.

Откривање на неизвесност

Во теоријата на границите, вредноста 0 се заменува со условна бесконечно мала променлива. И изразите во кои се добива поделба со нула кога се заменува саканата вредност, се претвораат. Подолу е стандарден пример за гранична експанзија со употреба на обични алгебарски трансформации:

Како што можете да видите на примерот, едноставното намалување на дропката ја води неговата вредност до целосно рационален одговор.

Кога се разгледуваат границите на тригонометриските функции, нивните изрази имаат тенденција да се сведат на првата извонредна граница. Кога се разгледуваат границите во кои именителот оди на 0 кога границата е заменета, се користи второ извонредно ограничување.

Метод на Лопитал

Во некои случаи, границите на изразите може да се заменат со границата на нивните деривати. Гијом Лопитал - француски математичар, основач на француската школа за математичка анализа. Тој докажа дека границите на изразите се еднакви на границите на дериватите на овие изрази. Во математичката нотација, неговото правило е како што следува.

Во моментов, методот на L'Hôpital успешно се користи за решавање на несигурности како што се 0: 0 или?:?.

Како да се подели и помножи со 0,1; 0,01; 0,001, итн?

Напиши ги правилата за поделба и множење.

За да помножите број со 0,1, треба само да ја поместите запирката.

На пример тоа беше 56 , стана 5,6 .

За да поделите со ист број, треба да ја поместите запирката во спротивна насока:

На пример тоа беше 56 , стана 560 .

Со бројот 0,01, сè е исто, но треба да го пренесете за 2 карактери, не за еден.

Во принцип, колку што е нула, пренесете исто толку.

На пример, има број 123456789.

Треба да го помножите со 0.000000001

Во бројот 0,000000001 има девет нули (се смета и нула лево од запирката), така што бројот 123456789 го поместуваме за 9 цифри:

Сега беше 123456789 сега 0,123456789.

За да не се множиме, туку да се поделиме со ист број, се префрламе на другата страна:

Беше 123456789 сега 123456789000000000.

За да смените цел број на овој начин, едноставно доделете му нула. И во фракционо ја поместуваме запирката.

Делење на број со 0,1 е исто како множење на тој број со 10

Делење на број со 0,01 е исто како множење на тој број со 100

Поделбата со 0,001 се множи со 1000.

За полесно да се запамети - го читаме бројот со кој треба да го делиме од десно кон лево, игнорирајќи ја запирката и множиме со добиениот број.

Пример: 50: 0.0001. Тоа е како 50 пати (читај од десно кон лево без запирка - 10000) 10000. Тоа е 500000.

Истото е со множење, токму спротивното:

400 x 0,01 е исто како и поделба на 400 со (читај од десно кон лево без запирка - 100) 100: 400: 100 \u003d 4.

Кој е поудобен за пренесување на запирки надесно при делење и лево кога множење при множење и делење со такви броеви, можете да го сторите тоа.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Поделба со децимала

Јас За да поделите број со децимална дропка, треба да ги преместите запирките во дивидендата и делителот за онолку бројки надесно, колку што има по запирката во делителот, а потоа да поделите со природен број.

Ајде да земемеry

Изведете поделба: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Одлука.

Пример 1) 16,38: 0,7.

Во делител 0,7 има една цифра по запирката, затоа, поместете ги запирките во дивидендата и делител со една цифра надесно.

Тогаш ќе треба да се поделиме 163,8 на 7 .

Ајде да поделиме по правило за делење на децимална дропка со природен број.

Поделете се како што се делат природните броеви. Како да срушиме цифра 8 - првата цифра по децималната точка (т.е. цифрата на десеттото место), така веднаш стави во приватна запирка и продолжи да дели.

Одговор: 23.4.

Пример 2) 15,6: 0,15.

Ние носиме запирки во дивиденда ( 15,6 ) и делител ( 0,15 ) две цифри надесно, бидејќи во делителот 0,15 има две цифри по децималната точка.

Запомнете дека колку што сакате нули, може да се додели на децималата надесно, и ова нема да го промени децималот.

15,6:0,15=1560:15.

Вршиме поделба на природните броеви.

Одговор: 104.

Пример 3) 3,114: 4,5.

Поместете ги запирките во дивидендата и делителот со една цифра надесно и поделете 31,14 на 45 според правилото за делење на децимална дропка со природен број.

3,114:4,5=31,14:45.

Во приватно, ставаме запирка веднаш штом ќе срушиме цифра 1 на десеттото место. Потоа продолжуваме да се делиме.

За да ја завршиме поделбата, моравме да доделиме нула до бројот 9 - разлика на броеви 414 и 405 . (знаеме дека нулите може да се доделат десно од децималната дропка)

Одговор: 0,692.

Пример 4) 53,84: 0,1.

Поместете запирки во дивиденда и делител според 1 цифра надесно.

Добиваме: 538,4:1=538,4.

Да ја анализираме еднаквоста: 53,84:0,1=538,4. Обрнете внимание на запирката во дивидендата во овој пример и запирката во добиениот количник. Забележете дека запирката во дивидендата е преместена во 1 цифра надесно, како да се множиме 53,84 на 10. (Погледнете го видеото „Множење на децимала со 10, 100, 1000 и сл.“) Оттука произлегува правилото за поделба на децимала со 0,1; 0,01; 0,001 итн.

II. Да се \u200b\u200bподели децимала со 0,1; 0,01; 0,001 и така натаму, треба да ја преместите запирката надесно со 1, 2, 3 итн. Цифри. (Делење на децимална дропка со 0,1; 0,01; 0,001, итн. Е еквивалентно на множење на таа децимална дропка со 10, 100, 1000, итн.)

Примери.

Изведете поделба: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Одлука.

Пример 1) 617,35: 0,1.

Според правилото II поделба со 0,1 е еквивалентно на множење со 10 , и поместете ја запирката во дивидендата 1 цифра надесно:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Пример 2) 0,235: 0,01.

Поделба од 0,01 е еквивалентно на множење со 100 , што значи дека се пренесува запирка во дивидендата на 2 цифри надесно:

2) 0,235:0,01=23,5.

Пример 3) 2,7845: 0,001.

Како што поделба со 0,001 е еквивалентно на множење со 1000 , потоа поместете ја запирката 3 цифри надесно:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Пример 4) 26,397: 0,0001.

Дели децимала со 0,0001 - тоа е како да го множиш со 10000 (носи запирка 4 цифри на десно) Добиваме:

www.mathematics-repetition.com

Множење и делење со броеви од образецот 10, 100, 0,1, 0,01

Ова видео упатство е достапно со претплата

Дали веќе имате претплата? Да влезе внатре

Оваа лекција ќе дискутира како да се изврши множење и делење со броеви од образецот 10, 100, 0,1, 0,001. Различни примери на оваа тема исто така ќе бидат решени.

Помножете ги броевите со 10, 100

Вежба. Како да се помножи 25,78 со 10?

Децималната ознака за овој број е скратена нотација за износот. Неопходно е да се наслика подетално:

Така, треба да ја умножите количината. За да го направите ова, можете едноставно да го размножите секој поим:

Излегува дека.

Можеме да заклучиме дека множењето на децималната дропка со 10 е многу едноставно: треба да ја смените запирката надесно со една позиција.

Вежба. Помножете 25,4486 со 100.

Множењето со 100 е исто како множење двапати со 10. Со други зборови, треба да ја смените запирката надесно двапати:

Поделба на броеви со 10, 100

Вежба. Поделете 25,78 на 10.

Како и во претходниот случај, потребно е да се претстави бројот 25,78 како збир:

Бидејќи треба да ја поделите збирот, ова е еквивалентно на поделба на секој поим:

Излезе дека за да се подели со 10, треба да ја поместите запирката на левата позиција. На пример:

Вежба. Поделете 124,478 на 100.

Подели со 100 е исто што и подели со 10 двапати, така што запирката се поместува за 2 позиции налево:

Правило на множење и делење со 10, 100, 1000

Ако децималната дропка треба да се помножи со 10, 100, 1000 и така натаму, треба да ја смените запирката надесно за онолку позиции колку што има нули во факторот.

Спротивно на тоа, ако децималната дропка треба да се подели со 10, 100, 1000 и така натаму, треба да ја префрлите запирката налево со онолку позиции колку што има нули во факторот.

Примери кога е потребно да се префрли запирка, но нема повеќе броеви

Множење со 100 е да се префрли запирката две места надесно.

По смената, можете да откриете дека нема бројки по децималната точка, што значи дека недостасува фракциониот дел. Тогаш запирката не е потребна, бројот е цел број.

Треба да смените 4 позиции надесно. Но, има само две цифри по децималната точка. Вреди да се запамети дека постои еквивалентна нотација за дропката 56,14.

Сега множењето со 10.000 е лесно:

Ако не е многу јасно зошто можете да додадете две нули на дропката во претходниот пример, тогаш дополнителното видео на врската може да помогне во ова.

Еквивалентна децимална нотација

Влез 52 значи следново:

Ако ставите 0 пред, ќе го добиете записот 052. Овие записи се еквивалентни.

Можете ли да ставите две нули напред? Да, овие записи се еквивалентни.

Сега да ја разгледаме децималната дропка:

Ако доделите нула, излегува:

Овие записи се еквивалентни. Слично на тоа, можете да доделите повеќе нули.

Така, на кој било број може да се доделат неколку нули по фракциониот дел и неколку нули пред целиот број. Овие ќе бидат еквивалентни записи за ист број.

Бидејќи се случи поделба со 100, потребно е да се поместат запирките 2 позиции налево. Не останаа броеви од запирката. Недостасува целиот дел. Оваа нотација често ја користат програмерите. Во математиката, ако нема цел дел, тогаш тие ставаат нула наместо него.

Треба да се преместите лево за три позиции, но има само две позиции. Ако напишете неколку нули пред бројот, тогаш ова ќе биде еквивалентен запис.

Тоа е, кога се префрлувате налево, ако броевите истекуваат, треба да ги наполните со нули.

Во овој случај, запомнете дека запирката секогаш доаѓа по целиот дел. Потоа:

Множење и делење со 0,1, 0,01, 0,001

Множењето и делењето со броеви 10, 100, 1000 е многу едноставна постапка. Состојбата е потполно иста со броевите 0,1, 0,01, 0,001.

Пример... Помножете 25,34 со 0,1.

Да ја напишеме децималната дропка 0,1 како обична. Но, множењето со е исто како и делењето со 10. Затоа, треба да ја смените позицијата запирка 1 налево:

Слично на тоа, множењето со 0,01 се дели со 100:

Пример. 5.235 поделено со 0,1.

Решението за овој пример е конструирано на сличен начин: 0,1 се изразува како обична дропка, а делењето со е исто како множење со 10:

Тоа е, за да се подели со 0,1, треба да ја смените запирката во вистинската позиција, што е еквивалентно на множење со 10.

Правило на множење и делење со 0,1, 0,01, 0,001

Множењето со 10 и делењето со 0,1 се иста работа. Запирката мора да се префрли надесно за 1 позиција.

Поделете со 10 и помножете со 0,1 се иста работа. Запирката мора да се префрли надесно за 1 позиција:

Примери за решение

Заклучок

На овој час беа проучени правилата за поделба и множење со 10, 100 и 1000. Покрај тоа, беа разгледани правилата за множење и поделба со 0,1, 0,01, 0,001.

Примери за примена на овие правила се разгледани и решени.

Библиографија

1. Виленкин Н.Ја. Математика: учебник. за 5 кл. генерал учр. 17-то издание - М.: Мнемосина, 2005 година.

2. Шевкин А.В. Зборовни проблеми во математиката: 5-6. - М.: Илекса, 2011 година.

3. Ершова А.П., Голобородко В.В. Сите училишни математики во независни и тест трудови. Математика 5-6. - М.: Илекса, 2006 година.

4. Khlevnyuk NN, Иванова М.В. Формирање на компјутерски вештини на часови по математика. 5-9 одделение. - М.: Илекса, 2011 година .

1. Интернет портал „Фестивал на педагошки идеи“ (Извор)

2. Интернет портал „Matematika-na.ru“ (Извор)

3. Интернет портал „School.xvatit.com“ (Извор)

Домашна работа

3. Споредете ги вредностите на изразите:

Дејства со нула

Во математиката, бројот нула зазема посебно место. Факт е дека тоа, всушност, значи „ништо“, „празнина“, но неговото значење е навистина тешко да се прецени. За да го направите ова, доволно е да запомните барем со што точно нулта ознакаи започнува да ги брои координатите на позицијата на точката во кој било координатен систем.

Нула Широко се користи во децимални дропки за дефинирање на вредностите на „празни“ цифри лоцирани и пред и по децималната точка. Покрај тоа, со него е поврзано едно од основните правила на аритметиката, во кое се вели дека на нула не може да се подели. Неговата логика, всушност, произлегува од самата суштина на овој број: навистина, невозможно е да се замисли дека некое значење различно од него (а и тој, исто така) е поделено на „ништо“.

ОД нула се извршуваат сите аритметички операции, и како нејзини „партнери“ во нив може да се користат цели броеви, обични и децимални дропки, и сите од нив можат да имаат и позитивни и негативни вредности. Еве примери за нивно спроведување и неколку објаснувања за нив.

При додавање гребење до одреден број (и целосен и фракционо, и позитивен и негативен) неговата вредност останува апсолутно непроменета.

Дваесет и четири плус нула е еднакво на дваесет и четири.

Седумнаесет поен три осмини плус нула е еднакво на седумнаесет точка три осмина.

Форми на даночни декларации Ви ги пренесуваме на вашето внимание формите на декларации за сите видови даноци и такси: 1. Данок на доход. Внимание, од 10.02.2014 година, извештајот за данок на доход се доставува според нови примероци на декларации одобрени со наредба на Министерството за приходи бр. 872 од 30.12.2013 година. 1. 1. Даночна пријава за данок на [...]
Правило за разлика на квадрат Збир Цел: Да се \u200b\u200bизведат формули за квадрат на збирот и разликата на изразите. Очекувани резултати: научете да ги користите формулите за квадратот на збирот и квадратот за разликата. Вид на лекција: лекција за изјава за проблем. I. Комуникација на темата и целта на часот II. Работа на темата на часот Кога множење [...]
Која е разликата помеѓу приватизацијата на стан со малолетни деца и приватизацијата без деца? Карактеристики на нивното учество, документи Било какви трансакции со недвижнини бараат големо внимание на учесниците. Особено ако планирате да приватизирате стан со малолетни деца. За да биде признаено како валидно, и [...]
Големината на државната давачка за пасош во стар стил за дете под 14 години и каде да го платиме Контактирањето со државните органи за добивање на каква било услуга е секогаш придружено со плаќање на државна должност. За да добиете странски пасош, треба да платите и федерална такса. Колку е големината [...]
Како да пополните формулар за апликација за замена на пасош на 45 години Пасошите на Русите мора да се заменат со достигнување на возрасната граница - 20 или 45 години. За да добиете јавна услуга, мора да поднесете апликација во утврдената форма, да ги прикачите потребните документи и да платите за државата [...]
Како и каде да издадеме донација за удел во стан Многу граѓани се соочуваат со ваква законска постапка како што е донацијата на недвижен имот во заедничка сопственост. Постојат доста информации за тоа како правилно да се издаде донација за удел во стан, и тоа не е секогаш веродостојно. Пред да започнете, [...]