Преземање на веројатност. Теорија на веројатност. Веројатност за настан, случајни настани (теорија на веројатност). Независни и некомпатибилни настани во теоријата на веројатност. Примери на решенија на проблеми со класична веројатност

тогаш велиме дека случајната променлива ξ Тоа има густина на распределба на веројатност f(x).

Дефиниција.Нека . За функција на континуирана дистрибуција Ф теоретски α-квантилсе нарекува решение на равенката.

Ова решение можеби не е единственото.

Квантил на ниво ½ наречен теоретски медијана , квантили на ниво ¼ и ¾ -долните и горните квартили соодветно.

Во актуарските апликации важна улога игра Нееднаквоста на Чебишев:

за се `

Симбол за математичко очекување.

Тоа гласи вака:веројатноста дека модулот е поголем од помал или еднаков на очекуваниот модул поделен со .

Животниот век како случајна променлива

Неизвесноста на моментот на смртта е главен фактор на ризик во осигурувањето на живот.

Ништо дефинитивно не може да се каже за моментот на смртта на поединецот. Меѓутоа, ако имаме работа со голема хомогена група на луѓе и не сме заинтересирани за судбината на поединечни луѓе од оваа група, тогаш сме во рамките на теоријата на веројатност како наука за масовните случајни појави со својство на стабилност на фреквенцијата.

Соодветно, можеме да зборуваме за очекуваниот животен век како случајна променлива Т.

функција за преживување

Во теоријата на веројатност, тие ја опишуваат стохастичката природа на која било случајна променлива Тфункција на дистрибуција F(x),што се дефинира како веројатност дека случајната променлива Тпомала од бројка x:

.

Во актуарската математика, пријатно е да се работи не со функција на дистрибуција, туку со дополнителна функција на дистрибуција . Во однос на долговечноста, тоа е веројатноста дека човекот ќе доживее до години xгодини.

повикани функција за преживување(функција за преживување):

Функцијата за преживување ги има следниве својства:

Во животните табели, обично се претпоставува дека има некои старосна граница (ограничување на возраста) (по правило, години) и, соодветно, на x>.

Кога се опишува смртноста со аналитички закони, обично се претпоставува дека животниот век е неограничен, меѓутоа, типот и параметрите на законите се избираат така што веројатноста за живот над одредена возраст е занемарлива.

Функцијата за преживување има едноставно статистичко значење.

Да речеме дека набљудуваме група новороденчиња (обично ) кои ги набљудуваме и можеме да ги снимиме моментите на нивната смрт.

Да го означиме бројот на живи претставници на оваа група во возраст преку . Потоа:

.

Симбол Еовде и подолу се користи за означување на математичкото очекување.

Значи, функцијата на преживување е еднаква на просечната пропорција на оние кои преживеале до возраст од одредена фиксна група новороденчиња.

Во актуарската математика, често се работи не со функција на преживување, туку со штотуку воведена вредност (имајќи ја фиксирана почетната големина на групата).

Функцијата за преживување може да се реконструира од густината:

Карактеристики на животниот век

Од практична гледна точка, следниве карактеристики се важни:

1 . Просечнацел живот

,
2 . Дисперзијацел живот

,
каде
,

Досега е претставено во отворената банка на USE проблеми во математиката (mathege.ru), чиешто решение се заснова само на една формула, која е класична дефиниција за веројатност.

Најлесен начин да се разбере формулата е со примери.
Пример 1Во кошот има 9 црвени топки и 3 сини. Топките се разликуваат само по боја. По случаен избор (без да гледаме) добиваме еден од нив. Која е веројатноста вака избраната топка да биде сина?

Коментар.Во проблемите во теоријата на веројатност се случува нешто (во овој случај, нашата акција на влечење на топката) што може да има поинаков резултат - исход. Треба да се напомене дека резултатот може да се гледа на различни начини. Резултат е и „извадивме топка“. „Ја извлековме сината топка“ е резултатот. „Ја извлечевме оваа конкретна топка од сите можни топки“ - овој најмалку генерализиран поглед на резултатот се нарекува елементарен исход. Токму елементарните исходи се наменети во формулата за пресметување на веројатноста.

Решение.Сега ја пресметуваме веројатноста за избор на сина топка.
Настан А: „избраната топка се покажа како сина“
Вкупен број на сите можни исходи: 9+3=12 (број на сите топки што можевме да ги извлечеме)
Број на исходи поволни за настанот А: 3 (бројот на такви исходи во кои се случил настанот А - односно бројот на сини топки)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Одговор: 0,25

Дозволете ни да ја пресметаме за истиот проблем веројатноста за избор на црвена топка.
Вкупниот број на можни исходи ќе остане ист, 12. Број на поволни исходи: 9. Посакувана веројатност: 9/12=3/4=0,75

Веројатноста за кој било настан секогаш лежи помеѓу 0 и 1.
Понекогаш во секојдневниот говор (но не и во теоријата на веројатност!) Веројатноста за настани се проценува како процент. Преминот помеѓу математичкото и разговорното оценување се врши со множење (или делење) за 100%.
Значи,
Во овој случај, веројатноста е нула за настани што не можат да се случат - неверојатно. На пример, во нашиот пример, ова би била веројатноста да се извлече зелена топка од кошот. (Бројот на поволни исходи е 0, P(A)=0/12=0 ако се брои според формулата)
Веројатноста 1 има настани кои апсолутно дефинитивно ќе се случат, без опции. На пример, веројатноста дека „одбраната топка ќе биде или црвена или сина“ е за нашиот проблем. (Број на поволни исходи: 12, P(A)=12/12=1)

Разгледавме класичен пример кој ја илустрира дефиницијата за веројатност. Сите слични USE проблеми во теоријата на веројатност се решаваат со помош на оваа формула.
Наместо црвени и сини топки, може да има јаболка и круши, момчиња и девојчиња, научени и ненаучени билети, билети што содржат и не содржат прашање на одредена тема (прототипови , ), неисправни и квалитетни кеси или пумпи за градина (прототипови , ) - принципот останува ист.

Тие малку се разликуваат во формулирањето на проблемот на теоријата на веројатност USE, каде што треба да ја пресметате веројатноста за настанување на одреден ден. ( , ) Како и во претходните задачи, треба да одредите што е елементарен исход, а потоа да ја примените истата формула.

Пример 2Конференцијата трае три дена. Првиот и вториот ден по 15 говорници, третиот ден - 20. Колкава е веројатноста извештајот на професорот М. да падне на третиот ден, ако редоследот на извештаите се определи со лотарија?

Кој е елементарниот исход овде? - Доделување на извештај на професор на еден од сите можни сериски броеви за говор. Во извлекувањето учествуваат 15+15+20=50 лица. Така, извештајот на професорот М. може да добие еден од 50-те броеви. Ова значи дека има само 50 елементарни исходи.
Кои се поволните исходи? - Оние во кои ќе испадне дека професорот ќе зборува третиот ден. Односно последните 20 бројки.
Според формулата, веројатноста P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Одговор: 0,4

Ждрепката овде е воспоставување случајна кореспонденција помеѓу луѓето и нарачаните места. Во Пример 2, совпаѓањето беше разгледано во однос на тоа кое од местата може да заземе одредено лице. Можете да ѝ пристапите на истата ситуација од другата страна: кој од луѓето со каква веројатност би можел да стигне до одредено место (прототипови , , , ):

Пример 3Во ждрепката учествуваат 5 Германци, 8 Французи и 3 Естонци. Колкава е веројатноста првиот (/втор/седми/последен - не е важно) да биде Французин.

Бројот на елементарни исходи е бројот на сите можни луѓе кои би можеле да стигнат до дадено место со ждрепка. 5+8+3=16 луѓе.
Поволни исходи - Французите. 8 луѓе.
Посакувана веројатност: 8/16=1/2=0,5
Одговор: 0,5

Прототипот е малку поинаков. Има задачи за монети () и коцки () кои се нешто покреативни. Решенија за овие проблеми може да се најдат на страниците на прототипот.

Еве неколку примери на фрлање парички или фрлање коцки.

Пример 4Кога фрламе паричка, колкава е веројатноста да добиеме опашки?
Резултати 2 - глави или опашки. (се верува дека паричката никогаш не паѓа на работ) Поволен исход - опашки, 1.
Веројатност 1/2=0,5
Одговор: 0,5.

Пример 5Што ако свртиме паричка двапати? Која е веројатноста дека ќе дојде до глави и двата пати?
Главната работа е да одредиме кои елементарни исходи ќе ги земеме предвид при фрлање две монети. По фрлање две монети, може да се случи еден од следниве резултати:
1) ПП - и двата пати дојде до опашки
2) PO - прв пат опашки, втор пат глави
3) ОП - првиот пат глави, вториот пат опашки
4) ОО - главите горе и двата пати
Нема други опции. Тоа значи дека има 4 елементарни исходи.Само првиот е поволен, 1.
Веројатност: 1/4=0,25
Одговор: 0,25

Која е веројатноста две фрлања паричка да слетаат на опашките?
Бројот на елементарни исходи е ист, 4. Поволни исходи се вториот и третиот, 2.
Веројатност да се добие една опашка: 2/4=0,5

Во такви проблеми, друга формула може да ни се најде.
Ако при едно фрлање паричка имаме 2 можни исходи, тогаш за две фрлања резултати ќе има 2 2=2 2 =4 (како во примерот 5), за три фрлања 2 2 2=2 3 =8, за четири : 2·2·2·2=2 4 =16, … за N фрлања на можни исходи ќе има 2·2·...·2=2 N .

Значи, можете да ја најдете веројатноста да добиете 5 опашки од 5 фрлања парички.
Вкупен број на елементарни исходи: 2 5 =32.
Поволни исходи: 1. (RRRRRR - сите опашки 5 пати)
Веројатност: 1/32=0,03125

Истото важи и за коцките. Со едно фрлање, можни се 6 резултати. Значи, за две фрлања: 6 6=36, за три 6 6 6=216 итн.

Пример 6Фрламе коцка. Која е веројатноста да се добие парен број?

Вкупни исходи: 6, според бројот на лица.
Поволни: 3 исходи. (2, 4, 6)
Веројатност: 3/6=0,5

Пример 7Фрли две коцки. Која е веројатноста вкупниот број да ролни 10? (заокружете до стотинки)

Постојат 6 можни исходи за еден умре. Оттука, за двајца, според горенаведеното правило, 6·6=36.
Кои исходи ќе бидат поволни за да испаднат вкупно 10?
10 мора да се разложи на збир од два броја од 1 до 6. Тоа може да се направи на два начина: 10=6+4 и 10=5+5. Значи, за коцки, можни се опции:
(6 на првиот и 4 на вториот)
(4 на првиот и 6 на вториот)
(5 на првиот и 5 на вториот)
Севкупно, 3 опции. Посакувана веројатност: 3/36=1/12=0,08
Одговор: 0,08

Други видови проблеми Б6 ќе бидат разгледани во една од следните написи „Како да се реши“.

веројатносте број од 0 до 1 кој ги одразува шансите да се случи случаен настан, каде 0 е целосно отсуство на веројатноста за појава на настанот, а 1 значи дека предметниот настан дефинитивно ќе се случи.

Веројатноста за настан Е е број помеѓу и 1.
Збирот на веројатностите за заемно исклучувачки настани е 1.

емпириска веројатност- веројатност, која се пресметува како релативна фреквенција на настанот во минатото, извлечена од анализата на историските податоци.

Веројатноста за многу ретки настани не може да се пресмета емпириски.

субјективна веројатност- веројатноста заснована на лична субјективна проценка на настанот, без оглед на историските податоци. Инвеститорите кои донесуваат одлуки за купување и продавање акции често дејствуваат врз основа на субјективна веројатност.

претходна веројатност -

Шанса 1 од... (шансите) дека некој настан ќе се случи преку концептот на веројатност. Шансата да се случи некој настан се изразува во однос на веројатноста на следниов начин: P/(1-P).

На пример, ако веројатноста за настан е 0,5, тогаш шансата за настан е 1 од 2, бидејќи 0,5/(1-0,5).

Шансата дека настанот нема да се случи се пресметува со формулата (1-P)/P

Неконзистентна веројатност- на пример, во цената на акциите на друштвото А се зема предвид 85% од можниот настан Е, а кај цената на акциите на друштвото Б само 50%. Ова се нарекува неусогласена веројатност. Според холандската теорема за обложување, неусогласената веројатност создава можности за профит.

Безусловна веројатносте одговорот на прашањето „Која е веројатноста да се случи настанот?

Условна веројатносте одговорот на прашањето: „Која е веројатноста за настанот А доколку настанот Б се случил“. Условната веројатност се означува како P(A|B).

Заедничка веројатносте веројатноста дека настаните А и Б ќе се случат во исто време. Назначен како P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B) *P(B)

Правило за сумирање на веројатност:

Веројатноста да се случи или настан А или настан Б е

P(A или B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ако настаните А и Б се исклучуваат меѓусебно, тогаш

P(A или B) = P(A) + P(B)

Независни настани- настаните А и Б се независни ако

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Односно, тоа е низа од исходи каде што вредноста на веројатноста е константна од еден настан до друг.
Фрлењето паричка е пример за таков настан - резултатот од секое следно фрлање не зависи од резултатот од претходното.

Зависни настаниТоа се настани во кои веројатноста да се случи еден зависи од веројатноста да се случи другиот.

Правило за множење на веројатностите на независни настани:
Ако настаните А и Б се независни, тогаш

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило за вкупна веројатност:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S") P(S) + P(A|S") P(S") (4)

S и S“ се меѓусебно исклучувачки настани

очекуваната вредностслучајна променлива е просекот на можните исходи на случајната променлива. За настанот X, очекувањето е означено како E(X).

Да претпоставиме дека имаме 5 вредности на меѓусебно исклучувачки настани со одредена веројатност (на пример, приходот на компанијата изнесувал таков и таков износ со таква веројатност). Очекувањето е збир на сите исходи помножени со нивната веројатност:

Варијансата на случајна променлива е очекуваната вредност на квадратните отстапувања на случајната променлива од нејзината очекувана вредност:

s 2 = E( 2 ) (6)

Условна очекувана вредност - очекување на случајна променлива X, под услов настанот S веќе да се случил.

Од практична гледна точка, веројатност за настане односот на бројот на оние набљудувања во кои се случил предметниот настан со вкупниот број на набљудувања. Таквото толкување е дозволено во случај на доволно голем број на набљудувања или експерименти. На пример, ако околу половина од луѓето што ги среќавате на улица се жени, тогаш можете да кажете дека веројатноста личноста што ќе ја сретнете на улица да е жена е 1/2. Со други зборови, фреквенцијата на нејзиното појавување во долга серија на независни повторувања на случаен експеримент може да послужи како проценка на веројатноста за настан.

Веројатност во математиката

Во современиот математички пристап, класичната (односно, не квантната) веројатност е дадена со аксиоматика на Колмогоров. Веројатноста е мерка П, кој е поставен на сетот X, наречен простор на веројатност. Оваа мерка мора да ги има следниве својства:

Од овие услови произлегува дека мерката на веројатност Пима и имот адитивност: ако се постави А 1 и А 2 не се сечат, тогаш . За да го докажете тоа, треба да ставите сè А 3 , А 4 , … еднакво на празното множество и примени го својството на бројлива адитивност.

Мерката на веројатност може да не се дефинира за сите подмножества од множеството X. Доволно е да се дефинира на сигма-алгебрата која се состои од некои подмножества на множеството X. Во овој случај, случајните настани се дефинираат како мерливи подмножества на просторот X, односно како елементи на сигма алгебрата.

Смисла за веројатност

Кога ќе откриеме дека причините за некој можен факт да се случи всушност ги надминуваат спротивните причини, го разгледуваме овој факт веројатноинаку - неверојатно. Оваа доминација на позитивните основи над негативните, и обратно, може да претставува неопределен сет на степени, како резултат на што веројатност(и неверојатност) се случува повеќеили помалку .

Комплицираните единечни факти не дозволуваат точна пресметка на нивните степени на веројатност, но дури и овде е важно да се утврдат некои големи поделби. Така, на пример, во областа на правото, кога врз основа на сведочењето на сведоците се утврдува личен факт што е предмет на судење, тој секогаш останува, строго кажано, само веројатен, и потребно е да се знае колку е значајна оваа веројатност; во римското право, овде беше прифатена четворната поделба: probatio plena(каде што веројатноста практично се претвора во автентичноста), Понатаму - probatio минус plena, тогаш - probatio semiplena majorи, конечно probatio semiplena minor .

Покрај прашањето за веројатноста на случајот, може да се појави, како на полето на правото, така и на полето на моралот (со одредена етичка гледна точка), прашањето колку е веројатно дека даден конкретен факт претставува повреда на општиот закон. Ова прашање, кое служи како главен мотив во религиозната јуриспруденција на Талмудот, во римокатоличката морална теологија (особено од крајот на 16 век) покрена многу сложени систематски конструкции и огромна литература, догматска и полемичка (види Веројатност ).

Концептот на веројатност признава дефинитивен нумерички израз во неговата примена само за такви факти кои се дел од одредени хомогени серии. Така (во наједноставниот пример), кога некој ќе фрли паричка сто пати по ред, овде наоѓаме една општа или голема серија (збирот на сите падови на паричка), која е составена од два приватни или помали, во оваа случај нумерички еднаков, серија (паѓа „орел“ и паѓа „опашки“); Веројатноста дека овој пат монетата ќе падне во опашка, односно дека овој нов член од општиот ред ќе припаѓа на овој од двата помали редови, е еднаква на дропка што го изразува нумеричкиот однос помеѓу овој мал ред и поголемиот, имено 1/2, односно иста веројатност припаѓа на едната или другата од двете приватни серии. Во помалку едноставни примери, заклучокот не може да се извлече директно од податоците на самиот проблем, туку бара претходна индукција. Така, на пример, се поставува прашањето: колкава е веројатноста даденото новороденче да живее до 80 години? Тука мора да има општа или голема серија на познат број луѓе родени во слични услови и умираат на различни возрасти (овој број мора да биде доволно голем за да се елиминираат случајните отстапувања и доволно мал за да се зачува хомогеноста на серијата, бидејќи за лице, родено, на пример, во Санкт Петербург во добро ситуирано културно семејство, целото милионско население на градот, чиј значаен дел се состои од луѓе од различни групи кои можат прерано да умрат - војници, новинари , работници во опасни професии - претставува група премногу хетерогена за вистинска дефиниција на веројатноста); нека оваа општа серија се состои од десет илјади човечки животи; вклучува помали редови што го претставуваат бројот на оние кои живеат до оваа или онаа возраст; еден од овие помали редови го претставува бројот на оние кои живеат до 80 години. Но, невозможно е да се одреди големината на оваа помала серија (како и сите други). априори; тоа се прави на чисто индуктивен начин, преку статистика. Да претпоставиме дека статистичките студии утврдиле дека од 10.000 петербургери од средната класа, само 45 преживуваат до 80-годишна возраст; така, овој помал ред е поврзан со поголемиот како 45 до 10.000, а веројатноста даденото лице да припаѓа на овој помал ред, односно да доживее 80 години, се изразува како дропка од 0,0045. Проучувањето на веројатноста од математичка гледна точка претставува посебна дисциплина, теоријата на веројатност.

исто така види

Белешки

Литература

Фондацијата Викимедија. 2010 година.

Антоними:

Погледнете што е „Веројатност“ во другите речници:

Општи научни и филозофски. категорија што го означува квантитативниот степен на можноста за појава на масовни случајни настани под фиксни услови на набљудување, карактеризирајќи ја стабилноста на нивните релативни фреквенции. Во логиката, семантичкиот степен ... ... Филозофска енциклопедија

ВЕРОЈАТНОСТ, број во опсег од нула до еден, вклучително, што ја претставува можноста овој настан да се случи. Веројатноста за настан се дефинира како однос на бројот на шансите да се случи некој настан со вкупниот број на можни ... ... Научно-технички енциклопедиски речник

Со голема веројатност .. Речник на руски синоними и изрази слични по значење. под. ед. Н. Абрамова, М.: Руски речници, 1999. веројатност, можност, веројатност, шанса, објективна можност, маза, допуштеност, ризик. Мравка. неможност...... Речник на синоними

веројатност- Мерка дека може да се случи некој настан. Забелешка Математичката дефиниција за веројатност е „реален број помеѓу 0 и 1 поврзан со случаен настан“. Бројот може да ја одразува релативната фреквенција во серија набљудувања ... ... Прирачник за технички преведувач

Веројатност- „математичка, нумеричка карактеристика на степенот на можност за појава на кој било настан во одредени специфични услови што може да се повтори неограничен број пати“. Врз основа на оваа класика…… Економски и математички речник

- (веројатност) Можноста за настанување на некој настан или одреден резултат. Може да се претстави како скала со поделби од 0 до 1. Ако веројатноста за настан е нула, неговата појава е невозможна. Со веројатност еднаква на 1, почетокот на ... Речник на деловни поими

Во задачите USE по математика, има и посложени проблеми со веројатноста (отколку што ги разгледавме во Дел 1), каде што треба да го примените правилото за собирање, множење на веројатностите и да правите разлика помеѓу заеднички и некомпатибилни настани.

Значи, теорија.

Заеднички и незаеднички настани

Настаните се вели дека се некомпатибилни ако појавата на еден од нив ја исклучува појавата на другите. Тоа е, само еден конкретен настан може да се случи, или друг.

На пример, со фрлање матрица, можете да разликувате настани како парен број поени и непарен број поени. Овие настани се некомпатибилни.

Настаните се нарекуваат заеднички ако појавата на еден од нив не ја исклучува појавата на другиот.

На пример, кога фрлате матрица, можете да разликувате настани како што е појавата на непарен број поени и губењето на одреден број поени што е повеќекратно од три. Кога се тркалаат три, двата настани се реализираат.

Збир на настани

Збирот (или сојузот) на неколку настани е настан кој се состои во појава на барем еден од овие настани.

При што збир од два дисјункционирани настани е збирот на веројатностите на овие настани:

На пример, веројатноста да се добијат 5 или 6 поени на коцка во едно фрлање ќе биде затоа што двата настани (пад 5, пад 6) се некомпатибилни и веројатноста за еден или вториот настан се пресметува на следниов начин:

Веројатноста збир од два заеднички настани е еднаков на збирот на веројатностите на овие настани без да се земе предвид нивното заедничко појавување:

На пример, во трговски центар, две идентични автомати продаваат кафе. Веројатноста дека машината ќе остане без кафе до крајот на денот е 0,3. Веројатноста дека двете машини ќе останат без кафе е 0,12. Да ја најдеме веројатноста дека до крајот на денот кафето ќе заврши барем во една од машините (т.е. или во едната, или во другата, или во двете одеднаш).

Веројатноста за првиот настан „кафето ќе заврши во првата машина“ како и веројатноста за вториот настан „кафето ќе заврши во втората машина“ според условот е еднаква на 0,3. Настаните се во соработка.

Веројатноста за заедничка реализација на првите два настани е еднаква на 0,12 според условот.

Тоа значи дека веројатноста до крајот на денот да снема кафе во барем една од машините е

Зависни и независни настани

Два случајни настани А и Б се нарекуваат независни ако појавата на еден од нив не ја менува веројатноста за појава на другиот. Во спротивно, настаните А и Б се нарекуваат зависни.

На пример, кога се фрлаат две коцки во исто време, едната од нив, да речеме 1, а другата 5, се независни настани.

Производ на веројатности

Производ (или пресек) на неколку настани е настан кој се состои во заедничко појавување на сите овие настани.

Ако има две независни настани A и B со веројатности P(A) и P(B), соодветно, тогаш веројатноста за реализација на настаните A и B е истовремено еднаква на производот на веројатностите:

На пример, ние сме заинтересирани за губење на шестка на коцка двапати по ред. Двата настани се независни и веројатноста секој од нив да се случи посебно е . Веројатноста дека ќе се случат и двата настани ќе се пресмета со горната формула: .

Погледнете избор на задачи за разработка на темата.