КАРАКТЕРИСТИКИ НА РАСТРУВАЊЕ

Од карактеристиките на позицијата - математичко очекување, медијана, режим - да преминеме на карактеристиките на ширењето на случајна променлива x.дисперзија D(X)= a 2, стандардното отстапување a и коефициентот на варијација v. Дефиницијата и својствата на варијансата за дискретни случајни променливи беа разгледани во претходното поглавје. За континуирани случајни променливи

Стандардната девијација е ненегативната вредност на квадратниот корен на варијансата:

Коефициентот на варијација е односот на стандардното отстапување со математичкото очекување:

Коефициент на варијација - се применува кога М(Х)> O - го мери ширењето во релативни единици, додека стандардната девијација - во апсолутна.

Пример 6. За рамномерно распределена случајна променлива Xнајдете ја варијансата, стандардната девијација и коефициентот на варијација. Дисперзијата е:

Замена на променлива овозможува да се напише:

каде со = f - aU2.

Затоа, стандардната девијација е а коефициентот на варијација е:

ТРАНСФОРМАЦИИ НА СЛУЧАЈНИ ВРЕДНОСТИ

За секоја случајна променлива Xдефинирајте уште три количини - центрирани Y,нормализиран Ви дадена У.Централизирана случајна променлива Yе разликата помеѓу дадената случајна променлива Xи неговото математичко очекување M(X),тие. Y=X - М(Х).Математичко очекување на центрирана случајна променлива Yе еднаква на 0, а варијансата е варијансата на дадената случајна променлива:

функција на дистрибуција Fy(x)центрирана случајна променлива Yповрзани со дистрибутивната функција F(x) од оригиналната случајна променлива Xсооднос:

За густината на овие случајни променливи, еднаквоста

Нормализирана случајна променлива Ве односот на дадената случајна променлива Xдо неговата стандардна девијација a, т.е. V = XIo.Математичко очекување и варијанса на нормализирана случајна променлива Визразени преку карактеристиките XЗначи:

каде v е коефициентот на варијација на оригиналната случајна променлива x.За функцијата на дистрибуција Fv(x)и густина fv(x)нормализирана случајна променлива Вние имаме:

каде F(x)- функција на дистрибуција на оригиналната случајна променлива x; поправете)е неговата густина на веројатност.

Намалена случајна променлива Уе центрирана и нормализирана случајна променлива:

За намалена случајна променлива

Нормализирани, центрирани и намалени случајни променливи постојано се користат и во теоретските истражувања и во алгоритмите, софтверските производи, регулаторната и техничката и поучна и методолошка документација. Особено, бидејќи еднаквостите M(U) = 0, D(lf) = 1 овозможуваат да се поедностави поткрепувањето на методите, формулациите на теоремите и формулите за пресметување.

Се користат трансформации на случајни променливи и поопшт план. Значи, ако У = aX + б,каде аи бтогаш има некои бројки

Пример 7. Ако а= 1/Г, б = -M(X)/G,тогаш Y е намалена случајна променлива, а формулите (8) се трансформираат во формули (7).

Со секоја случајна променлива Xможно е да се поврзе множеството случајни променливи Y дадени со формулата Y = О + бна различни а > 0 и б.Овој сет се нарекува семејство на скала-стрижење,генериран од случајна променлива x.Функции на дистрибуција Fy(x) сочинуваат фамилија на распределби со поместување на скалата генерирани од функцијата за дистрибуција F(x).Наместо Y= aX + bчесто користена нотација

Број сосе нарекува параметар поместување, а број г- параметар на скала. Формулата (9) покажува дека X- резултат од мерење одредена вредност - оди во К - резултат од мерење на истата вредност, ако почетокот на мерењето се премести во точка со,а потоа користете ја новата единица мерка, во гпати поголема од старата.

За семејството на смена на скала (9), дистрибуцијата Xнаречен стандарден. Во веројатностичко-статистички методи на одлучување и други применети истражувања се користат стандардната нормална дистрибуција, стандардната распределба Веибул-Гнеденко, стандардната гама дистрибуција.

дистрибуција итн. (види подолу).

Се користат и други трансформации на случајни променливи. На пример, за позитивна случајна променлива Xда се разгледа Y = IgX,каде IgX- децимален логаритам на број x.Синџир на еднаквости

ги поврзува функциите на дистрибуција Xи Y.

Погоре се запознавме со законите за распределба на случајни променливи. Секој закон за дистрибуција исцрпно ги опишува својствата на веројатностите на случајната променлива и овозможува да се пресметаат веројатностите на какви било настани поврзани со случајна променлива. Меѓутоа, во многу прашања од практиката нема потреба од таков целосен опис и често е доволно да се наведат само поединечни нумерички параметри кои ги карактеризираат суштинските карактеристики на дистрибуцијата. На пример, просекот, околу кој се расфрлани вредностите на случајната променлива, е некоја бројка што ја карактеризира големината на ова ширење. Овие бројки се наменети да ги изразат во концизна форма најзначајните карактеристики на дистрибуцијата и се нарекуваат нумерички карактеристики на случајна променлива.

Меѓу нумеричките карактеристики на случајните променливи, пред сè, тие ги земаат предвид карактеристиките што ја фиксираат позицијата на случајна променлива на оската на бројот, т.е. некоја просечна вредност на случајна променлива околу која се групирани нејзините можни вредности. Од карактеристиките на позицијата во теоријата на веројатност, најголема улога има очекуваната вредност, што понекогаш едноставно се нарекува средна вредност на случајната променлива.

Да претпоставиме дека дискретниот SW?, ги зема вредностите x (, x 2,..., x стрсо веројатности Р j, стр 2 ,...y Ptvтие. дадени од серијата на дистрибуција

Можно е дека во овие експерименти вредноста x xзабележани N(пати, вредност x 2 - N 2пати,..., вредност x n - N nеднаш. Во исто време + N 2 +... + N n =N.

Аритметичка средина на резултатите од набљудувањето

Ако Нголеми, т.е. Н- „О, тогаш

опишувајќи го дистрибутивниот центар. Просечната вредност на случајната променлива добиена на овој начин ќе се нарече математичко очекување. Да дадеме вербална формулација на дефиницијата.

Дефиниција 3.8. математичко очекување (MO) дискретниот SV% е број еднаков на збирот на производите од сите негови можни вредности и веројатностите на овие вредности (нотација M;):

Сега разгледајте го случајот кога бројот на можни вредности на дискретното CV? е броен, т.е. имаме RR

Формулата за математичкото очекување останува иста, само во горната граница на збирот Псе заменува со oo, т.е.

Во овој случај, веќе добиваме серија што може да се разминува, т.е. соодветното CV ^ може да нема математичко очекување.

Пример 3.8. CB?, дадена од серијата на дистрибуција

Ајде да го најдеме МО на овој SW.

Одлука.А-приоритет. тие. Mt,не постои.

Така, во случај на пребројлив број на SW вредности, ја добиваме следната дефиниција.

Дефиниција 3.9. математичко очекување, или просечната вредност, дискретна SW,кој има бројлив број вредности, се нарекува број еднаков на збирот на низа производи од сите негови можни вредности и соодветните веројатности, под услов оваа серија да се конвергира апсолутно, т.е.

Ако оваа серија се разминува или конвергира условно, тогаш велиме дека CV ^ нема математичко очекување.

Со густината да преминеме од дискретна во континуирана SW p(x).

Дефиниција 3.10. математичко очекување, или просечната вредност, континуирано SWнаречен број еднаков на

под услов овој интеграл апсолутно да конвергира.

Ако овој интеграл се разминува или конвергира условно, тогаш велат дека континуираниот CB? нема математичко очекување.

Забелешка 3.8.Ако сите можни вредности на случајната променлива J;

припаѓаат само на интервалот ( а; б)тогаш

Математичкото очекување не е единствената карактеристика на позицијата што се користи во теоријата на веројатност. Понекогаш се користат како што се режим и медијана.

Дефиниција 3.11. Мода CB ^ (ознака Мот,)се нарекува нејзината најверојатна вредност, т.е. еден за кој веројатноста пиили густина на веројатност p(x)ја достигнува својата највисока вредност.

Дефиниција 3.12. медијанаСВ?, (ознака се сретна)се нарекува таква вредност за која P(t> Met) = P(? > се сретна) = 1/2.

Геометриски, за континуиран SW, медијаната е апсцисата на таа точка на оската О,за кои плоштините лево и десно од него се исти и еднакви на 1/2.

Пример 3.9. SWт,има дистрибутивен број

Ајде да го најдеме математичкото очекување, режимот и медијаната на SW

Одлука. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Мене(?) не постои.

Пример 3.10. Континуираното CB % има густина

Ајде да го најдеме математичкото очекување, медијаната и режимот.

Одлука.

p(x)достигнува максимум, тогаш Очигледно, медијаната е исто така еднаква, бидејќи областите на десната и левата страна на линијата што минува низ точката се еднакви.

Покрај карактеристиките на позицијата во теоријата на веројатност, се користат и голем број нумерички карактеристики за различни намени. Меѓу нив, моментите - почетни и централни - се од особено значење.

Дефиниција 3.13. Почетниот момент од k-тиот ред SW?, се нарекува математичко очекување k-тистепен на оваа вредност: =M(t > k).

Од дефинициите за математичко очекување за дискретни и континуирани случајни променливи произлегува дека

Забелешка 3.9.Очигледно, почетниот момент од 1-виот ред е математичкото очекување.

Пред да го дефинираме централниот момент, воведуваме нов концепт на центрирана случајна променлива.

Дефиниција 3.14. Центрирано CV е отстапување на случајна променлива од нејзиното математичко очекување, т.е.

Лесно е да се потврди тоа

Центрирањето на случајна променлива, очигледно, е еднакво на пренесување на потеклото во точката М;. Се нарекуваат моментите на центрираната случајна променлива централни моменти.

Дефиниција 3.15. Централниот момент на k-тиот ред SW % се нарекува математичко очекување k-тистепени на центрирана случајна променлива:

Од дефиницијата за математичко очекување произлегува дека

Очигледно, за која било случајна променлива ^ централниот момент од првиот ред е еднаков на нула: со x= М(? 0) = 0.

Од особено значење за практиката е втората централна точка од 2.Тоа се нарекува дисперзија.

Дефиниција 3.16. дисперзија CB?, се нарекува математичко очекување на квадратот на соодветната центрирана вредност (нотација Д?)

За да се пресмета варијансата, директно од дефиницијата може да се добијат следните формули:

Трансформирајќи ја формулата (3.4), можеме да ја добиеме следната формула за пресметување Д.Л.

Карактеристика е дисперзијата на SW расфрлање, ширење на вредностите на случајна променлива околу нејзиното математичко очекување.

Варијансата има димензија на квадрат на случајна променлива, што не е секогаш погодно. Затоа, за јасност, како карактеристика на дисперзијата, погодно е да се користи број чија димензија се совпаѓа со онаа на случајна променлива. За да го направите ова, земете го квадратниот корен на дисперзијата. Добиената вредност се нарекува Стандардна девијацијаслучајна променлива. Ќе го означиме како a: a = l / w.

За ненегативен CB?, понекогаш се користи како карактеристика коефициентот на варијација, еднаков на односот на стандардното отстапување со математичкото очекување:

Знаејќи го математичкото очекување и стандардното отстапување на случајна променлива, може да се добие приближна идеја за опсегот на нејзините можни вредности. Во многу случаи, можеме да претпоставиме дека вредностите на случајната променлива % само повремено го надминуваат интервалот M; ± За. Ова правило за нормална распределба, кое подоцна ќе го оправдаме, се нарекува три сигма правило.

Математичкото очекување и варијансата се најчесто користените нумерички карактеристики на случајната променлива. Од дефиницијата за математичко очекување и варијанса, следат некои едноставни и прилично очигледни својства на овие нумерички карактеристики.

Протозоисвојства на математичкото очекување и дисперзија.

1. Математичко очекување на неслучајна променлива соеднаква на вредноста на c: M(s) = s.

Навистина, бидејќи вредноста созема само една вредност со веројатност 1, потоа М(с) = со 1 = с.

2. Варијансата на неслучајната променлива c е еднаква на нула, т.е. D(c) = 0.

Навистина, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- в) 2 = М( 0) = 0.

3. Неслучаен множител може да се извади од знакот на очекување: M(c^) = cМ(?,).

Дозволете ни да ја покажеме валидноста на ова својство на примерот на дискретна RV.

Нека RV е дадена од серијата на дистрибуција

Потоа

Оттука,

Својството се докажува слично за континуирана случајна променлива.

4. Неслучаен множител може да се извади од знакот за квадратна варијанса:

Колку повеќе моменти на случајна променлива се познати, толку подетална идеја за законот за распределба имаме.

Во теоријата на веројатност и нејзините примени, се користат уште две нумерички карактеристики на случајна променлива, врз основа на централните моменти од третиот и четвртиот ред, коефициентот на асиметрија или m x .

За дискретни случајни променливи очекуваната вредност :

Збирот на вредностите на соодветната вредност според веројатноста за случајни променливи.

Мода (Mod) на случајна променлива X се нарекува нејзина најверојатна вредност.

За дискретна случајна променлива. За континуирана случајна променлива.

Едномодална дистрибуција

Мултимодална дистрибуција

Во принцип, Mod и очекуваната вредност не

натпревар.

медијана (Med) на случајна променлива X е таква вредност за која веројатноста дека P(X Med). Секоја дистрибуција на Med може да има само една.

Мед ја дели областа под кривата на 2 еднакви делови. Во случај на унимодална и симетрична распределба

Моменти.

Најчесто во пракса се користат два вида моменти: почетни и централни.

Почетен момент. риот ред на дискретна случајна променлива X е збир од формата:

За континуирана случајна променлива X, почетниот момент на ред е интегралот , очигледно е дека математичкото очекување на случајна променлива е првиот почетен момент.

Користејќи го знакот (оператор) M, почетниот момент од -тиот ред може да се претстави како мат. очекување на та моќ на некоја случајна променлива.

Центрирано случајната променлива на соодветната случајна променлива X е отстапувањето на случајната променлива X од нејзините математички очекувања:

Математичкото очекување на центрирана случајна променлива е 0.

За дискретни случајни променливи имаме:

Се нарекуваат моментите на центрираната случајна променлива Централни моменти

Централен момент на нарачка Случајната променлива X се нарекува математичко очекување на та моќ на соодветната центрирана случајна променлива.

За дискретни случајни променливи:

За континуирани случајни променливи:

Врска помеѓу централните и почетните моменти од различни поредоци

Од сите моменти, првиот момент (математичко очекување) и вториот централен момент најчесто се користат како карактеристика на случајна променлива.

Вториот централен момент се нарекува дисперзија случајна променлива. Ја има ознаката:

По дефиниција

За дискретна случајна променлива:

За континуирана случајна променлива:

Дисперзијата на случајна променлива е карактеристика на дисперзија (растурање) на случајни променливи X околу нејзиното математичко очекување.

Дисперзијазначи расфрлање. Варијансата има димензија на квадрат на случајна променлива.

За визуелна карактеризација на дисперзијата, попогодно е да се користи вредноста m y иста како и димензијата на случајната променлива. За таа цел се зема корен од дисперзијата и се добива вредност наречена - стандардна девијација (RMS) случајна променлива X, при воведување на ознаката: