Записи со ознака "производ на вектори". Производ на точки на вектори Тест на производ на вектори со 6 точки
Овој тест може да се користи во училницата за средно, генерализирање или крајна контрола на знаењето на учениците. За тестот да работи правилно, мора да поставите ниско безбедносно ниво (услуга-макро-безбедност)
Преземи:
Преглед:
За да користите преглед на презентациите, создадете сметка на Google (сметка) и најавете се на неа: https://accounts.google.com
Слајд наслови:
Опција 1 Опција 2 Користевме образец за создавање тестови во PowerPoint MCOU „Средно училиште Погорелскаја“ М.М. Кошчеев
Резултат од тестот Точен: 14 Грешки: 0 Ознака: 5 Време: 3 мин. 29 сек. уште поправам
Опција 1 б) 360 ° а) 180 ° в) 246 ° г) 274 ° д) 454 °
Опција 1 в) 22 а) -22 б) 0 г) 8 д) 1
Опција 1 д) 5 г) 0 а) 7
Опција 1 б) тапа д) не постојат, бидејќи нивното потекло не се совпаѓа c) 0 ° г) акутно а) директно
Опција 1 б) 10,5 д) за не а) -10,5
Опција 1 а) -10,5 б) 10,5 д) под никакви околности
Опција 1 д) 0 б) невозможно е да се одреди а) -6 г) 4 в) 6
Опција 1 б) 28 д) невозможно да се одреди а) 70 г) -45,5 в) 91
Опција 1 9. Двете страни на триаголникот се 16 и 5, а аголот меѓу нив е 120 °. Кој од наведените интервали припаѓа на должината на третата страна? г) д) (19; 31] а) (0; 7] б) (7; 11] в) а) (0; 7] б) (7; 11] г)
Опција 1 13. Радиусот на кругот обемен околу триаголникот ABC е 0,5. Пронајдете го односот на синусот на агол Б со должината на страната на наизменична струја. д) 1 в) 1, 3 а) 0,5 г) 2
Опција 1 14. Во триаголник ABC, должините на страните BC и AB се 5 и 7, соодветно, и
Опција 2 в) 360 ° а) 180 ° б) 246 ° г) 274 ° д) 454 °
Опција 2 д) 22 а) -22 б) 0 г) 8 в) 4
Опција 2 а) 10 г) 17 д) 15
Опција 2 в) е еднаква на 0 ° д) не постојат, бидејќи нивното потекло не се совпаѓаат в) тапи г) акутни а) прави
Опција 2 б) 10,5 д) за не а) -10,5
Опција 2 а) - 10,5 д) за не в) 10,5
Опција 2 г) 0 б) невозможно е да се одреди а) -6 д) 4 в) 6
Опција 2 а) 70 д) невозможно да се одреди б) 28 г) -45,5 в) 91
Опција 2 9. Двете страни на триаголникот се 12 и 7, а аголот меѓу нив е 60 °. Кој од наведените интервали припаѓа на должината на третата страна? д) (7; 11) г) (19; 31] а) (0; 7] б) в) д) (19; 31] в)
Опција 2 13. Радиусот на кругот испишан околу триаголникот ABC е еднаков на 2. Пронајдете го односот на синусот на агол Б со должината на страната на наизменична струја. а) 0,25 в) 1, 3 д) 1 г) 2
Опција 2 14. Во триаголник ABC, должините на страните AC и AB се 9 и 7, соодветно, и
Клучеви на тестот: „Точки производ на вектори. Теореми на триаголник “. Опција 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Репл. b c e b c a e b d a c c e d 2 опција 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. c d a c d b d a d d c a a Литература Л.И. Звавич, Е, В. Тестови за геометрија на Потоскујев, одделение 9 на учебникот Л.С. Атанасијан и сор. М .: Издавачка куќа „Испит“ 2013 година - 128 стр.
2. Поедноставете ја равенката со множење на обете страни со 7. Добиваме 7y 2 -9y + 2 \u003d 0. Според теоремата на Виета, збирот на корените на квадратната равенка секира 2 + bx + c \u003d 0 е –b / a. Значи:
3. Вкупно 880 патници. Од нив, 35% се мажи, што значи жени и деца 100% -35% \u003d 65%. Пронајдете 65% од 880. За да го пронајдете процентот на бројот, треба да го претворите процентот во децимална дропка и да се помножите со дадениот број.
65% \u003d 0,65; множете 880 со 0,65, добиваме 572. Толку жени и деца, а 75% од нив се жени, останатите 25% од 572 се деца. Повторно го наоѓаме процентот на бројот. 25% од 572. Ние претвораме 25% во децимална дропка (ќе биде 0,25) и множиме со 572. Сметаме: 572 · 0,25 \u003d 143. Овие се деца. Womenени: 572-143 \u003d 429 .
Дали е пократко?
25% е четвртина од 100%, затоа, ние размислуваме вака: подели 572 со 4, ќе добиеме 143 (делењето со 4 е полесно отколку множењето со 0,25) - ова се деца, а 75% од жените се три четвртини, затоа, 143 се множи со 3 и добиваме 429.
4. По услов, ние ја сочинуваме нееднаквоста:
11x + 3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:
11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:
6x<-9; делим обе части неравенства на 6:
x<-1,5. Ответ: Д)
5. Пишуваме 990 ° како 2 · 360 ° + 270 °. Потоа кос 990 °\u003d кос (2 360 ° + 270 °) \u003d кос 270 ° \u003d 0.
6. Дозволете ни да ја примениме формулата за решавање на наједноставната равенка tg t \u003d a.
t \u003d арктан a + πn, nєZ. Имаме t \u003d 4x.
7. Имаме: прв мандат на аритметичката прогресија а 1 \u003d 25... Разлика во аритметичката прогресија г.\u003d а 2 -а 1 \u003d 30-25 =5. Ајде да ја примениме формулата за да го најдеме збирот на првиот н членови на аритметичката прогресија и ги заменуваат нашите вредности во неа a 1 \u003d 25, d \u003d 5 и n \u003d 22, бидејќи треба да ја пронајдете сумата 22 членови на прогресијата.
8. Графикот на оваа квадратна функција y \u003d x 2 -x-6 служи како парабола, чии гранки се насочени нагоре, а врвот на параболата е на точката О '(м; н)... Ова е најниската точка на графиконот, затоа е неговата најниска вредност н функцијата ќе ја има во x \u003d m \u003d -b / (2a) \u003d 1/2. Одговор: Г).
9. Во рамнокрак триаголник, страните се еднакви едни на други. Ние ја означуваме основата со x... Тогаш секоја страна ќе биде еднаква на (x + 3)... Знаејќи дека периметарот на триаголникот е 15,6 см, составете ја равенката:
x + (x + 3) + (x + 3) \u003d 15,6;
3х \u003d 9,6 → x \u003d 3,2 Дали е основата на триаголникот, и секоја страна ќе биде 3,2 + 3 \u003d 6,2 ... Одговор: страните на триаголникот се еднакви 6,2 см; 6,2 см наспроти 3,2 см.
10. Сè е јасно со првата нееднаквост на системот. Втората нееднаквост ја решаваме со метод на интервали. За да го направите ова, ги наоѓаме корените на квадратниот трином 4x 2 + 5x-6 и проширете го во линеарни фактори.
11. Десно од главниот логаритамски идентитет, добиваме 7 ... Испуштање на основите на степени (7) на левата и десната страна на еднаквоста. Останува: x 2 \u003d 1, од тука x \u003d ± 1. Одговор: В).
12. Да ги квадрираме двете страни на еднаквоста. Применувајќи ги формулите за логаритмот на степенот и логаритмот на производот, добиваме квадратна равенка во однос на логаритмот на бројот 5 од разум x... Да ја воведеме променливата во, ја решаваме квадратната равенка во однос на во и назад кон променливата x... Пронајдете ги вредностите x и да ги анализира одговорите.
13. Задача: реши го системот. Ние нема да одлучиме - ќе направиме проверка. Да ги замениме предложените одговори во втората равенка на системот, бидејќи е поедноставна: x + y \u003d 35... Од сите предложени парови решенија за системот, само одговорот е соодветен Г).
8+27=35 и 27+8=35 ... Не вреди да се заменуваат овие парови во првата равенка на системот, но ако еден од одговорите се појави на втората равенка, тогаш треба да се изврши замена во првата еднаквост на системот.
14. Опсег на функција е множество вредности на аргументот x, за кои има смисла десната страна на еднаквоста. Бидејќи аритметичкиот квадратен корен може да се извлече само од негативен број, мора да се исполни следниов услов: 6 + 2x≥0, следува дека 2x≥-6 или x≥-3. Бидејќи именителот на дропката мора да биде различен од нула, тогаш пишуваме: x ≠ 5... Излегува дека можете да ги земете сите броеви поголеми или еднакви -3 но не и еднакви 5 . Одговор: [-3; 5) У (5; + ∞).
15. За да ги пронајдете најголемите и најмалите вредности на функцијата на даден сегмент, треба да ги пронајдете вредностите на оваа функција на краевите на сегментот и на оние критични точки што припаѓаат на овој сегмент, а потоа да ги изберете најголемите и најмал од сите добиени вредности на функцијата.
16 ... Размислете за круг испишан во правилен шестоаголник и потсетете се како се изразува радиусот на впишаниот круг р преку страната на обичен шестоаголник и... Пронајдете го радиусот, потоа страната и периметарот на шестоаголникот.
17 ... Бидејќи сите странични рабови на пирамидата се наклонети кон основата под истиот агол, горниот дел од пирамидата се проектира до точка ЗА - пресекот на дијагоналите на правоаголникот што лежи во основата на пирамидата, бидејќи точката ЗА мора да биде еднакво оддалечено од сите врвови на основата на пирамидата.
Пронајдете го дијагоналниот AC на правоаголникот ABCD. AC 2 \u003d АД 2 + ЦД 2;
AC 2 \u003d 32 2 +24 2 \u003d 1024 + 576 \u003d 1600 → AC \u003d 40cm. Потоа ОС \u003d 20 см. Бидејќи Δ MOS е правоаголен и рамнокрак (/ OSM \u003d 45 °), тогаш MO \u003d OS \u003d 20cm. Да ја примениме формулата за волуменот на пирамидата, заменувајќи ги потребните вредности.
18. Секој дел од сферата со рамнина е круг.
Нека круг центриран во точката О 1 и радиусот ОА е нормален на радиусот на топката ОБ и поминува низ неговата средна точка О 1. Потоа во правоаголен триаголник AO 1 O хипотенуза OA \u003d 10 cm (радиус на топката), нога OO 1 \u003d 5 cm. Со питагоровата теорема О 1 А 2 \u003d ОА 2 -ОО 1 2. Оттука O 1 A 2 \u003d 10 2 -5 2 \u003d 100-25 \u003d 75. Површината на пресекот е површина на нашиот круг, наоѓаме според формулата S \u003d πr 2 \u003d π ∙ O 1 A 2 \u003d 75π cm 2.
19. Нека биде а 1и а 2 - потребните координати на векторот. Бидејќи векторите се меѓусебно нормални, нивниот производен точка е нула. Ајде да запишеме: 2а 1 + 7а 2 \u003d 0. Дозволете ни да изразиме 1 до 2. Потоа a 1 \u003d -3,5a 2. Бидејќи должините на векторите се еднакви, имаме еднаквост: a 1 2 + a 2 2 \u003d 2 2 +7 2... Заменете ја во оваа еднаквост вредноста a 1. Добиваме: (3.5a 2) 2 + a 2 2 \u003d 4 + 49; поедностави: 12,25а 2 2 + а 2 2 \u003d 53;
13,25а 2 2 \u003d 53, па оттука и 2 2 \u003d 53: 13,25 \u003d 4. Излегува две вредности a 2 \u003d ± 2. Ако a 2 \u003d -2, тогаш a 1 \u003d -3,5 ∙ (-2) \u003d 7. Ако a 2 \u003d 2, тогаш a 1 \u003d -7. Пребарувани координати (7; -2) или (-7; 2) ... Одговор: ВО)
20. Да го поедноставиме именителот на дропката. За да го направите ова, ги отвораме заградите и ги носиме дропките под знакот корен во заеднички именител.
21. Да го донесеме изразот во заграда до заеднички именител. Поделбата се заменува со множење со инверзната на делителот. Ние ги применуваме формулите за квадратот на разликата помеѓу два израза и разликата помеѓу квадратите на два израза. Да ја намалиме дропката.
22. За да го решите овој систем на нееднаквости, треба да ја решите секоја нееднаквост одделно и да пронајдете општо решение за двете нееднаквости. Ние решаваме 1-ви нееднаквост Поместете ги сите поими налево, извадете го заедничкиот фактор надвор од заградата.
x 2 ∙ 4 x -4 x +1\u003e 0;
x 2 ∙ 4 x -4 x ∙ 4\u003e 0;
4 x (x 2 -4)\u003e 0. Бидејќи експоненцијалната функција за кој било индикатор зема само позитивни вредности, тогаш 4 x\u003e 0, според тоа, x 2 -4\u003e 0.
(x-2) (x + 2)\u003e 0.
Ние решаваме 2-ри нееднаквост
Претставете ги левата и десната страна како степени со основа 2.
2 - x ≥2 3. Бидејќи експоненцијалната функција со база поголема од една, се зголемува за Р., ги изоставуваме основите, држејќи го знакот за нееднаквост.
X≥3 → x≤-3.
Ние наоѓаме општо решение.
Одговор: (-∞; -3].
23. Според формулата за кастинг, косинусот се претвора во синус 3х... По намалувањето на сличните поими и поделбата на обете страни на нееднаквоста со 2 , ја добиваме наједноставната нееднаквост на формата: грев т\u003e а... Решението за оваа нееднаквост го наоѓаме според формулата:
arcsin a + 2πn
24. Да ја поедноставиме оваа функција. Според теоремата на Виета, ги наоѓаме корените на квадратниот трином x 2 -x-6 (x 1 \u003d) -2 , x 2 \u003d 3 ), именителот на дропката го прошируваме во линеарни фактори (x-3) (x + 2) и откажете ја дропката со (x-3)... Пронајдете го антидеривативот H (x) добиената функција 1 / (x + 2).
25. Значи, ќе играат 126 играчи 63 игри, од кои 63 учесници ќе се квалификуваат како победници во второто коло. Вкупно, 63 + 1 \u003d 64 учесници ќе се борат во втората рунда. Е играат 32 игри, па оттука и уште 32 победници кои ќе играат 16 игри. .Е играат 16 победници 8 игри, ќе играат 8 победници 4 игри. Fourе играат четворицата победници 2 игри, и конечно, двајцата победници ќе треба да играат последна игра... Ние броиме натпревари: 63+32+16+8+4+2+1=126.
Опција 1.
Опција 2.
д) Дали овој агол е акутен, прав или тап (оправдај го одговорот)?
Опција 1.
1. Со оглед на точките A (1; 3), B (4; 7), C (-1; -1), D (7; 5), Q (x; 3)
а) Пронајдете ги координатите на векторите AB и CD.
б) Пронајдете ги должините на векторите AB и CD.
в) Пронајдете го производниот точка на векторите AB и CD.
г) Пронајдете го косинусот на аголот помеѓу векторите AB и CD.
д) Дали овој агол е акутен, прав или тап (оправдај го одговорот)?
ѓ) Според која вредност на x се вертикалите вектори CB и DQ?
2. Во рамнокрак триаголник ABC, аголот B е прав, AC \u003d 2√2, BD е медијана на триаголникот. Пресметајте ги производите со точки на векторите BD AC, BD BC, BD BD.
Опција 2.
1. Дадени се точките M (2; 3), P (-2; 0), O (0; 0), K (-5; -12), R (4; y).
а) Најдете ги координатите на векторите МР и ОК.
б) Пронајдете ги должините на векторите МР и ОК.
в) Пронајдете го производниот точка на векторите МР и OK.
г) Пронајдете го косинусот на аголот помеѓу векторите МР и ОК.
д) Дали овој агол е акутен, прав или тап (оправдај го одговорот)?
ѓ) Со која вредност на y векторите RK и MR се нормални?
2. Во рамностран триаголник МНР НК - бисектор, МН \u003d 2. Пресметај ги скаларните производи на векторите НК МР, НК НР, РМ РМ
Опција 1.
1. Со оглед на точките A (1; 3), B (4; 7), C (-1; -1), D (7; 5), Q (x; 3)
а) Пронајдете ги координатите на векторите AB и CD.
б) Пронајдете ги должините на векторите AB и CD.
в) Пронајдете го производниот точка на векторите AB и CD.
г) Пронајдете го косинусот на аголот помеѓу векторите AB и CD.
д) Дали овој агол е акутен, прав или тап (оправдај го одговорот)?
ѓ) Според која вредност на x се вертикалите вектори CB и DQ?
2. Во рамнокрак триаголник ABC, аголот B е прав, AC \u003d 2√2, BD е медијана на триаголникот. Пресметајте ги производите со точки на векторите BD AC, BD BC, BD BD.
Опција 2.
1. Дадени се точките M (2; 3), P (-2; 0), O (0; 0), K (-5; -12), R (4; y).
а) Најдете ги координатите на векторите МР и ОК.
б) Пронајдете ги должините на векторите МР и ОК.
в) Пронајдете го производниот точка на векторите МР и OK.
г) Пронајдете го косинусот на аголот помеѓу векторите МР и ОК.
д) Дали овој агол е акутен, прав или тап (оправдај го одговорот)?
ѓ) Со која вредност на y векторите RK и MR се нормални?
2. Во рамностран триаголник МНР НК - бисектор, МН \u003d 2. Пресметај ги скаларните производи на векторите НК МР, НК НР, РМ РМ
Точки производ а б два не нула вектори а и б е број еднаков на производот на должините на овие вектори со косинусот на аголот меѓу нив. Ако барем еден од овие вектори е еднаков на нула, скаларниот производ е еднаков на нула. Така, по дефиниција, имаме
каде што е аголот помеѓу векторите а и б .
Точки производ на вектори а , б исто така означени со симболи аб .
Знакот на производот со точки се одредува според вредноста :
ако 0 
тогаш а
б
0,
ако 
, тогаш а
б
0.
Производот со точки е дефиниран само за два вектори.
Операции на вектори во координатна форма
Дозволете ни во координатниот систем Оохдадени вектори а = (x 1 ; г. 1) = x 1 јас + г. 1 ј и б = (x 2 ; г. 2) = x 2 јас + г. 2 ј .
1. Секоја координата на збирот од два (или повеќе) вектори е еднаква на збирот на соодветните координати на векторите-збирови, т.е. а + б = = (x 1 + x 2 ; г. 1 + г. 2).
2. Секоја координата на разликата на два вектори е еднаква на разликата на соодветните координати на овие вектори, т.е. а – б = (x 1 – x 2 ; г. 1 – г. 2).
3. Секоја координата на производот на векторот и бројот е еднаква на производот на соодветната координата на овој вектор за , односно и = ( x 1 ; во 1).
4. Скаларниот производ на два вектори е еднаков на збирот на производите на соодветните координати на овие вектори, т.е. а б = x 1 x 2 + + г. 1 г. 2 .
Последица. Векторска должина и = (x; г.) е еднакво на квадратниот корен на збирот на квадратите на неговите координати, т.е.
=
(5)
Пример 4.
Дадени вектори 
б
= 3јас
– ј
.
Задолжително:
1. Најдете 
2. Пронајдете го производниот точка на вектори од , г. .
3. Најдете ја должината на векторот од .
Одлука
1. Според својството 3, ги наоѓаме координатите на векторите 2 и , –и , 3б , 2б : 2и = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –и = –(–2; 3) = (2; –3), 3б = 3(3; –1) = (9; –3), 2б = = 2(3; –1) = = (6; –2).
Според својствата 2, 1, ги наоѓаме координатите на векторите од , г. : од = 2а – 3б = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), г. = –а + 2б = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).
2. Според имотот 4 цД = –13 8 + 9 (–5) = –104 – 45 = –149.
3. Како резултат на имотот 4 |
од
|
=
=
.
Тест 3 . Одреди векторски координати и + б , ако и = (–3; 4), б = = (5; –2):
Тест 4. Одреди векторски координати и – б , ако и = (2; –1), б = = (3; –4):
Тест 5 . Пронајдете координати на векторот 3 и , ако и = (2; –1):
Тест 6 . Пронајдете производ со точки а , б вектори и = (1; –4), б = (–2; 3):
Тест 7 . Пронајдете ја должината на векторот и = (–12; 5):
3) 
;
Одговори на тест задачи
1.3. Елементи на аналитичка геометрија во вселената
Правоаголен координатен систем во просторот се состои од три меѓусебно нормални координатни оски кои се пресекуваат во иста точка (потекло 0) и имаат насока, како и единица скала по секоја оска (Слика 17).
Слика 17
Позиција на точка М. на авионот е уникатно одредено со три броја - неговите координати М.(x т ; во т ; z т), каде x т - апсциса, во т - ординира, z т - аплицирај.
Секој од нив дава растојание од точка М. на една од координатните рамнини со знак што зема предвид од која страна на оваа рамнина се наоѓа точката: дали е земена во правец на позитивната или негативната насока на третата оска.
Три координатни рамнини го делат просторот на 8 дела (октанти).
Растојание помеѓу две точки А.(x И ; во И ; z И) и Б.(x ИН ; во ИН ; z ИН) се пресметува со формулата
Со оглед на поени А.(x 1 ;
во 1 ;
z 1) и Б.(x 2 ;
во 2 ;
z 2) Потоа координатите на точката ОД(x;
во;
z) делење на сегментот 
во однос на, се изразени со следниве формули:
Пример 1 . Пронајдете растојание АБ, ако И(3; 2; –10) и ИН(–1; 4; –5).
Одлука
Растојание АБ пресметано со формулата
Множеството од сите точки чии координати ја задоволуваат равенката со три променливи сочинува одредена површина.
Множеството точки, чии координати задоволуваат две равенки, сочинуваат одредена линија - линија на пресек на соодветните две површини.
Секоја равенка од прв степен претставува рамнина и, обратно, секоја рамнина може да биде претставена со равенки од прв степен.
Опции А., Б., C се координати на нормалниот вектор нормално на рамнината, т.е. н = (А.; Б.; В.).
Равенка на рамнината во отсечените сегменти на оските: а - по должината на оската ОX,
б - по должината на оската ОЈ,
од - по должината на оската ОЗ:
Нека се дадат два авиона А. 1 x + Б. 1 г. + В. 1 z + Д. 1 = 0, А. 2 x + Б. 2 г. + В. 2 z + + Д. 2 = 0.
Состојба на паралелизам на авиони: 
.
Состојба на нормалноста на рамнините:
Аголот помеѓу рамнините се одредува со следнава формула:
.
Нека авионот помине низ точките М. 1 (x 1 ; г. 1 ; z 1), М. 2 (x 2 ; г. 2 ; z 2), М. 3 (x 3 ; г. 3 ; z 3).
Тогаш нејзината равенка има форма:
Оддалеченост од точка М. 0 (x 0 ; г. 0 ; z 0) до авионот Секира + Од страна на + Cz + Д. \u003d 0 се наоѓа според формулата
.
Тест 1.
Рамнина 
поминува низ точката:
1) А.(–1; 6; 3);
2) Б.(3; –2; –5);
3) В.(0; 4; –1);
4) Д.(2; 0; 5).
Тест 2 . Равенка на рамнините ОXY следново:
1) z = 0;
2) x = 0;
3) г. = 0.
Пример 2 . Напишете ја равенката на рамнината паралелна со рамнината ОXY и минување низ точката (2; –5; 3).
Одлука
Бидејќи авионот е паралелен со авионот ОXY, нејзината равенка има форма Cz + D \u003d 0 (вектор = (0; 0; ОД) ОхY).
Бидејќи рамнината поминува низ точката (2; –5; 3), тогаш В. 3 + Д. \u003d 0 или како Д. = –3В..
Така, ЦЗ – 3В. \u003d 0. Од ОД 0 фунти, тогаш z – 3 = 0.
Одговор: z – 3 = 0.
Тест 3 . Равенката на рамнината што минува низ потеклото и е нормална на векторот (3; –1; –4) има форма:
1)
2)
3)
4)
Тест 4
.
Вредноста на линијата исечена долж оската ОЈ рамнина 
е еднакво на:
Пример 3 . Напишете ја равенката на рамнината:
1. Паралелна рамнина 
и минување низ точката А.(2;
0; –1).
2. Перпендикуларна рамнина 
и минување низ точката Б.(0;
2; 0).
Одлука
Равенките на рамнините ќе се бараат во форма А. 1 x + Б. 1 г. + В. 1 z + Д. 1 = 0.
1. Бидејќи авионите се паралелни, тогаш 
Од тука А.= 3т,Б.= –т,В.= 2ткаде тР.... Нека биде т\u003d 1. Потоа А.
= 3, Б. =
–1, В. \u003d 2. Затоа, равенката има форма 
Координати на точки Икои припаѓаат на рамнината ја претвораат равенката во вистинска еднаквост. Затоа, 32 - 10 + 2 (–1) + Д.\u003d 0. Од каде Д.= 4.
Одговор: 
2. Бидејќи рамнините се нормални, тогаш 3 А. – 1 Б. + 2 В. = 0.
Бидејќи има три варијабли, а равенката е една, двете променливи земаат произволни вредности истовремено не еднакви на нула. Нека биде А.
= 1, Б. \u003d 3. Потоа В.\u003d 0. Равенката има форма 
Д.= –6.
Одговор: 
Тест 5 . Изберете рамнина паралелна со рамнина x – 2г. + 7z – 2 = 0:
1)
4)
Тест 6 . Изберете рамнина нормална на рамнината x– 2г.+ + 6z– 2 = 0:
1)
4)
Тест 7 . Косинус на аголот помеѓу рамнините 3 x + г. – z - 1 \u003d 0 и x – 4г. – – 5z + 3 \u003d 0 се определува со формулата:
1)
2)
3)
Тест 8 . Растојание од точката (3; 1; –1) до рамнината 3 x – г. + 5z + 1 \u003d 0 се определува со формулата:
1)
2)
