Operacja arytmetyczna wykonywana jako ostatnia podczas obliczania wartości wyrażenia to „główna”.

Oznacza to, że jeśli podstawisz jakieś (dowolne) liczby zamiast liter i spróbujesz obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią akcją jest mnożenie, to mamy iloczyn (wyrażenie jest rozkładane na czynniki).

Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest uwzględniane (a zatem nie może być zredukowane).

Aby to naprawić samodzielnie, kilka przykładów:

Przykłady:

Rozwiązania:

1. Mam nadzieję, że nie spieszyłeś się od razu do cięcia i? Nadal nie wystarczyło „zredukować” jednostek w ten sposób:

Pierwszym krokiem powinno być rozłożenie na czynniki:

4. Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych to dobrze znana operacja: szukamy wspólnego mianownika, każdy ułamek mnożymy przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zapamiętajmy:

Odpowiedzi:

1. Mianowniki i są względnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych czynników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:

2. Tutaj wspólny mianownik to:

3. Tutaj przede wszystkim zamieniamy ułamki mieszane na niewłaściwe, a następnie - zgodnie ze zwykłym schematem:

Zupełnie inną sprawą jest, jeśli ułamki zawierają litery, na przykład:

Zacznijmy prosto:

a) Mianowniki nie zawierają liter

Tutaj wszystko jest takie samo, jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdujemy wspólny mianownik, każdy ułamek mnożymy przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki:

teraz w liczniku możesz przynieść podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć je na czynniki:

Spróbuj sam:

Odpowiedzi:

b) Mianowniki zawierają litery

Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:

Przede wszystkim określamy wspólne czynniki;

Następnie raz wypisujemy wszystkie wspólne czynniki;

i pomnóż je przez wszystkie inne czynniki, a nie wspólne.

Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki proste:

Podkreślamy wspólne czynniki:

Teraz wypisujemy raz czynniki wspólne i dodajemy do nich wszystkie czynniki nietypowe (niepodkreślone):

To jest wspólny mianownik.

Wróćmy do listów. Mianowniki podaje się dokładnie w ten sam sposób:

Rozkładamy mianowniki na czynniki;

wyznaczyć wspólne (identyczne) mnożniki;

wypisz raz wszystkie wspólne czynniki;

Mnożymy je przez wszystkie inne czynniki, a nie zwykłe.

A więc po kolei:

1) rozłożyć mianowniki na czynniki:

2) określić wspólne (identyczne) czynniki:

3) wypisz raz wszystkie wspólne czynniki i pomnóż je przez wszystkie pozostałe (niepodkreślone) czynniki:

Więc wspólny mianownik jest tutaj. Pierwszą frakcję należy pomnożyć przez, drugą - przez:

Nawiasem mówiąc, jest jedna sztuczka:

Na przykład: .

Widzimy te same czynniki w mianownikach, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:

w stopniu

w stopniu

w stopniu

w stopniu.

Skomplikujmy zadanie:

Jak sprawić, by ułamki miały ten sam mianownik?

Przypomnijmy sobie podstawową własność ułamka:

Nigdzie nie jest powiedziane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!

Przekonaj się sam: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj jakąś liczbę do licznika i mianownika, na przykład . Czego się nauczyliśmy?

A więc kolejna niezachwiana zasada:

Kiedy sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika, używaj tylko operacji mnożenia!

Ale co trzeba pomnożyć, aby otrzymać?

Tutaj i mnożyć. I pomnóż przez:

Wyrażenia, których nie można rozłożyć na czynniki, będą nazywane „czynnikami elementarnymi”.

Na przykład jest czynnikiem elementarnym. - To samo. Ale - nie: rozkłada się na czynniki.

A co z ekspresją? Czy to jest elementarne?

Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:

(o faktoryzacji czytałeś już w temacie „”).

Tak więc elementarne czynniki, na które rozkładasz wyrażenie z literami, są analogią prostych czynników, na które rozkładasz liczby. I zrobimy z nimi to samo.

Widzimy, że oba mianowniki mają dzielnik. To pójdzie do wspólnego mianownika w potędze (pamiętasz dlaczego?).

Mnożnik jest elementarny i nie mają go wspólnego, co oznacza, że ​​pierwszy ułamek wystarczy pomnożyć przez niego:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz pomyśleć o tym, jak je rozłożyć na czynniki? Obaj reprezentują:

Świetnie! Następnie:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Jak zwykle rozkładamy mianowniki na czynniki. W pierwszym mianowniku po prostu umieszczamy go poza nawiasami; w drugim - różnica kwadratów:

Wydawałoby się, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, są już tak podobne… A prawda jest taka:

Napiszmy więc:

Oznacza to, że wyszło tak: wewnątrz nawiasu zamieniliśmy wyrazy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Pamiętaj, będziesz musiał to robić często.

Teraz sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Rozumiem? Teraz sprawdźmy.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Tutaj musimy pamiętać o jeszcze jednej rzeczy - różnicy kostek:

Zwróć uwagę, że mianownik drugiego ułamka nie zawiera formuły „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy wyglądałby tak:

A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi wyraz w nim jest iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich podwojonym iloczynem. Niepełny kwadrat sumy jest jednym z czynników rozszerzania różnicy sześcianów:

Co jeśli są już trzy frakcje?

Tak to samo! Przede wszystkim upewnimy się, że maksymalna liczba czynników w mianownikach jest taka sama:

Uwaga: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmieniamy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem jest ponownie odwracany. W rezultacie on (znak przed ułamkiem) nie zmienił się.

Pierwszy mianownik zapisujemy w całości we wspólnym mianowniku, a następnie dodajemy do niego wszystkie czynniki, które nie zostały jeszcze zapisane, od drugiego, a następnie od trzeciego (i tak dalej, jeśli ułamków jest więcej). To znaczy, idzie to tak:

Hmm ... W przypadku ułamków jasne jest, co robić. Ale co z tymi dwoma?

To proste: wiesz, jak dodawać ułamki, prawda? Musisz więc upewnić się, że dwójka stanie się ułamkiem! Pamiętaj: ułamek to operacja dzielenia (licznik jest dzielony przez mianownik, gdybyś nagle zapomniał). A nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba nie zmieni się, ale zamieni się w ułamek:

Dokładnie to, co jest potrzebne!

5. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Cóż, najtrudniejsza część już za nami. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:

Procedura

Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, biorąc pod uwagę wartość takiego wyrażenia:

policzyłeś?

Powinno działać.

Więc przypominam.

Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.

Drugi to mnożenie i dzielenie. Jeśli jednocześnie wykonujesz kilka mnożeń i dzieleń, możesz je wykonywać w dowolnej kolejności.

Na koniec wykonujemy dodawanie i odejmowanie. Ponownie, w dowolnej kolejności.

Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane nieprawidłowo!

Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw obliczamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie je mnożymy lub dzielimy.

Co jeśli w nawiasach znajdują się inne nawiasy? Cóż, pomyślmy: jakieś wyrażenie jest zapisane w nawiasach. Jaka jest pierwsza rzecz do zrobienia podczas oceniania wyrażenia? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, wymyśliliśmy to: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, a potem wszystko inne.

Tak więc kolejność działań dla powyższego wyrażenia jest następująca (aktualna czynność jest podświetlona na czerwono, czyli czynność, którą teraz wykonuję):

Ok, wszystko jest proste.

Ale to nie to samo, co wyrażenie z literami, prawda?

Nie, to to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych konieczne jest wykonywanie operacji algebraicznych, czyli operacji opisanych w poprzedniej sekcji: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą będzie działanie wielomianów na czynniki (często używamy go podczas pracy z ułamkami). Najczęściej do rozkładu na czynniki należy użyć i lub po prostu wyjąć wspólny czynnik z nawiasów.

Zwykle naszym celem jest przedstawienie wyrażenia jako iloczynu lub ilorazu.

Na przykład:

Upraszczamy wyrażenie.

1) Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasach. Mamy różnicę ułamków, a naszym celem jest przedstawienie jej jako iloczynu lub ilorazu. Sprowadzamy więc ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy:

Nie da się dalej uprościć tego wyrażenia, wszystkie czynniki tutaj są elementarne (czy pamiętasz jeszcze, co to znaczy?).

2) Otrzymujemy:

Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostszego.

3) Teraz możesz skrócić:

OK, to już koniec. Nic skomplikowanego, prawda?

Inny przykład:

Uprość wyrażenie.

Najpierw spróbuj rozwiązać go samodzielnie, a dopiero potem spójrz na rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Przede wszystkim zdefiniujmy procedurę.

Najpierw dodajmy ułamki w nawiasach, zamiast dwóch ułamków wyjdzie jeden.

Następnie dokonamy podziału ułamków. Cóż, dodajemy wynik z ostatnim ułamkiem.

Schematycznie ponumeruję kroki:

Teraz pokażę cały proces, zabarwiając bieżącą akcję na czerwono:

1. Jeśli są podobne, należy je natychmiast przynieść. W każdym momencie, gdy mamy podobne, wskazane jest, aby od razu je przynieść.

2. To samo dotyczy redukcji ułamków: gdy tylko pojawi się okazja do redukcji, należy z niej skorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, to redukcję należy zostawić na później.

Oto kilka zadań do samodzielnego rozwiązania:

I obiecał na samym początku:

Odpowiedzi:

Rozwiązania (krótkie):

Jeśli poradziłeś sobie z przynajmniej trzema pierwszymi przykładami, to pomyśl, że opanowałeś temat.

A teraz do nauki!

KONWERSJA WYRAŻEŃ. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Podstawowe operacje upraszczające:

• Przynosząc podobne: aby dodać (zmniejszyć) wyrazy podobne, należy dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
• Faktoryzacja: wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie itp.
• Redukcja frakcji: licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera, od której wartość ułamka się nie zmienia.
  1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
  2) jeśli w liczniku i mianowniku występują wspólne czynniki, można je przekreślić.

  WAŻNE: można zmniejszyć tylko mnożniki!

• Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych:
  ;
• Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
  ;

Wyrażenie postaci a (m/n) , gdzie n jest pewną liczbą naturalną, m jest liczbą całkowitą, a podstawa stopnia a jest większa od zera, nazywamy stopniem z wykładnikiem ułamkowym. Ponadto prawdziwa jest następująca równość. n√(za m) = za (m/n) .

Jak już wiemy, liczby postaci m/n, gdzie n jest pewną liczbą naturalną, a m pewną liczbą całkowitą, nazywane są liczbami ułamkowymi lub wymiernymi. Z powyższego wynika, że ​​stopień jest zdefiniowany dla dowolnego wymiernego wykładnika i dowolnej dodatniej podstawy stopnia.

Dla dowolnych liczb wymiernych p,q oraz dowolnych a>0 i b>0 prawdziwe są następujące równości:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p): (b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Te właściwości są szeroko stosowane podczas konwersji różnych wyrażeń zawierających stopnie z wykładnikami ułamkowymi.

Przykłady przekształceń wyrażeń zawierających stopień z wykładnikiem ułamkowym

Przyjrzyjmy się kilku przykładom, które pokazują, jak można użyć tych właściwości do przekształcania wyrażeń.

1. Oblicz 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Oblicz 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Oblicz (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Oblicz 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Oblicz (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Uprość wyrażenie ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Oblicz (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Uprość wyrażenie

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 + za - (1-a) = 2*a.

Jak widać, używając tych właściwości, można znacznie uprościć niektóre wyrażenia zawierające stopnie z wykładnikami ułamkowymi.

Rozważmy temat przekształcania wyrażeń za pomocą potęg, ale najpierw zajmiemy się szeregiem przekształceń, które można przeprowadzić za pomocą dowolnych wyrażeń, w tym potęg. Nauczymy się otwierać nawiasy, podawać wyrazy podobne, pracować z podstawą i wykładnikiem, korzystać z własności stopni.

Czym są wyrażenia mocy?

Na kursie szkolnym niewiele osób używa wyrażenia „wyrażenia mocy”, ale termin ten stale znajduje się w zbiorach przygotowujących do egzaminu. W większości przypadków fraza oznacza wyrażenia, które zawierają stopnie w swoich wpisach. To właśnie odzwierciedlimy w naszej definicji.

Definicja 1

Wyrażenie mocy jest wyrażeniem zawierającym stopnie.

Podajemy kilka przykładów potęg, zaczynając od stopnia z wykładnikiem naturalnym, a kończąc na stopniu z wykładnikiem rzeczywistym.

Najprostsze wyrażenia potęgowe można uznać za potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + za 2 , x 3 - 1 , (za 2) 3 . Oraz potęgi o zerowym wykładniku: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Oraz potęgi o ujemnych potęgach całkowitych: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochę trudniej jest pracować ze stopniem, który ma wykładniki wymierne i niewymierne: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 za - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Wskaźnikiem może być zmienna 3 x - 54 - 7 3 x - 58 lub logarytm x 2 l sol x − 5 x l sol x.

Zajmowaliśmy się pytaniem, czym są wyrażenia mocy. Teraz przekształćmy je.

Główne rodzaje przekształceń wyrażeń potęgowych

Przede wszystkim rozważymy podstawowe transformacje tożsamościowe wyrażeń, które można wykonać za pomocą wyrażeń potęgowych.

Przykład 1

Oblicz wartość wyrażenia mocy 2 3 (4 2 - 12).

Rozwiązanie

Wszystkie przekształcenia przeprowadzimy zgodnie z kolejnością działań. W tym przypadku zaczniemy od wykonania działań w nawiasach: zastąpimy stopień wartością cyfrową i obliczymy różnicę między tymi dwiema liczbami. Mamy 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Pozostaje nam wymienić stopień 2 3 znaczenie tego 8 i obliczyć produkt 8 4 = 32. Oto nasza odpowiedź.

Odpowiedź: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Przykład 2

Uprość wyrażenie za pomocą potęg 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7.

Rozwiązanie

Wyrażenie podane nam w warunku problemu zawiera podobne terminy, które możemy przytoczyć: 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7 = 5 za 4 b - 7 - 1.

Odpowiedź: 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7 = 5 za 4 b - 7 - 1 .

Przykład 3

Wyraź wyrażenie potęgami 9 - b 3 · π - 1 2 jako iloczyn.

Rozwiązanie

Przedstawmy liczbę 9 jako potęgę 3 2 i zastosuj skrócony wzór mnożenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odpowiedź: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A teraz przejdźmy do analizy identycznych przekształceń, które można zastosować konkretnie do wyrażeń potęgowych.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Stopień w podstawie lub wykładniku może zawierać liczby, zmienne i niektóre wyrażenia. Na przykład, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 I . Praca z takimi dokumentami jest trudna. Znacznie łatwiej jest zastąpić wyrażenie w podstawie stopnia lub wyrażenie w wykładniku identycznie równym wyrażeniem.

Transformacje stopnia i wskaźnika przeprowadzane są według znanych nam zasad niezależnie od siebie. Najważniejsze jest to, że w wyniku przekształceń uzyskuje się wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Celem przekształceń jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia lub uzyskanie rozwiązania problemu. Na przykład w przykładzie, który podaliśmy powyżej, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 możesz wykonać operacje, aby przejść do stopnia 4 , 1 1 , 3 . Otwierając nawiasy, możemy wprowadzić wyrazy podobne do podstawy stopnia (za (za + 1) - za 2) 2 (x + 1) i uzyskaj wyrażenie mocy o prostszej formie za 2 (x + 1).

Korzystanie z właściwości mocy

Własności stopni, zapisane jako równości, są jednym z głównych narzędzi do przekształcania wyrażeń ze stopniami. Przedstawiamy tutaj główne, biorąc pod uwagę to A I B są dowolnymi liczbami dodatnimi i R I S- dowolne liczby rzeczywiste:

Definicja 2

• za r za s = za r + s ;
• za r: za s = za r - s ;
• (za b) r = za r b r ;
• (a: b) r = za r: b r ;
• (za r) s = za r s .

W przypadkach, gdy mamy do czynienia z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi, dodatnimi, ograniczenia dotyczące liczb aib mogą być znacznie mniej rygorystyczne. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę równość za m za n = za m + n, Gdzie M I N są liczbami naturalnymi, to będzie prawdziwe dla dowolnych wartości a, zarówno dodatnich, jak i ujemnych, a także dla za = 0.

Możesz zastosować właściwości stopni bez ograniczeń w przypadkach, gdy podstawy stopni są dodatnie lub zawierają zmienne, których zakres dopuszczalnych wartości jest taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie. W rzeczywistości w ramach szkolnego programu nauczania matematyki zadaniem ucznia jest wybranie odpowiedniej właściwości i prawidłowe jej zastosowanie.

Podczas przygotowań do przyjęcia na uczelnie mogą pojawić się zadania, w których niedokładne zastosowanie właściwości doprowadzi do zawężenia ODZ i innych trudności z rozwiązaniem. W tej części rozważymy tylko dwa takie przypadki. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w temacie „Przekształcanie wyrażeń za pomocą właściwości wykładnika”.

Przykład 4

Reprezentuj wyrażenie za 2 , 5 (za 2) - 3: za - 5 , 5 jako stopień z podstawą A.

Rozwiązanie

Na początek używamy właściwości potęgowania i przekształcamy za jej pomocą drugi czynnik (a 2) - 3. Następnie korzystamy z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie:

za 2 , 5 za - 6: za - 5 , 5 = za 2 , 5 - 6: za - 5 , 5 = za - 3 , 5: za - 5 , 5 = za - 3 , 5 - (- 5 , 5 ) = za 2 .

Odpowiedź: za 2 , 5 (za 2) - 3: za - 5 , 5 = za 2 .

Transformację wyrażeń mocy zgodnie z właściwością stopni można wykonać zarówno od lewej do prawej, jak iw przeciwnym kierunku.

Przykład 5

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Rozwiązanie

Jeżeli zastosujemy równość (a b) r = za r b r, od prawej do lewej, to otrzymujemy iloczyn postaci 3 7 1 3 21 2 3 a następnie 21 1 3 21 2 3 . Dodajmy wykładniki podczas mnożenia potęg o tych samych podstawach: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Istnieje inny sposób dokonywania przekształceń:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odpowiedź: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Przykład 6

Biorąc pod uwagę wyrażenie mocy za 1 , 5 - za 0 , 5 - 6, wprowadź nową zmienną t = za 0 , 5.

Rozwiązanie

Wyobraź sobie stopień 1 , 5 Jak za 0 , 5 3. Korzystanie z właściwości degree w stopniu (za r) s = za r s od prawej do lewej i uzyskaj (a 0 , 5) 3: za 1 , 5 - za 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - za 0 , 5 - 6 . W wynikowym wyrażeniu możesz łatwo wprowadzić nową zmienną t = za 0 , 5: Dostawać t 3 - t - 6.

Odpowiedź: t 3 - t - 6 .

Konwersja ułamków zawierających potęgi

Zwykle mamy do czynienia z dwoma wariantami potęgowania ułamków: wyrażenie jest ułamkiem ze stopniem lub zawiera taki ułamek. Wszystkie podstawowe przekształcenia ułamków mają zastosowanie do takich wyrażeń bez ograniczeń. Można je zmniejszyć, doprowadzić do nowego mianownika, pracować osobno z licznikiem i mianownikiem. Zilustrujmy to przykładami.

Przykład 7

Uprość wyrażenie potęgi 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z ułamkiem, więc przekształcenia przeprowadzimy zarówno w liczniku, jak i mianowniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Wstaw minus przed ułamkiem, aby zmienić znak w mianowniku: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odpowiedź: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ułamki zawierające potęgi sprowadza się do nowego mianownika w taki sam sposób, jak ułamki wymierne. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy czynnik i pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka. Konieczne jest dobranie dodatkowego czynnika w taki sposób, aby nie znikał on dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład 8

Sprowadź ułamki do nowego mianownika: a) a + 1 a 0, 7 do mianownika A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do mianownika x + 8 y 1 2 .

Rozwiązanie

a) Wybieramy czynnik, który pozwoli nam sprowadzić do nowego mianownika. za 0 , 7 za 0 , 3 = za 0 , 7 + 0 , 3 = za , dlatego jako dodatkowy czynnik bierzemy za 0 , 3. Zakres dopuszczalnych wartości zmiennej a obejmuje zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. W tej dziedzinie stopień za 0 , 3 nie idzie do zera.

Pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez za 0 , 3:

za + 1 za 0, 7 = za + 1 za 0, 3 za 0, 7 za 0, 3 = za + 1 za 0, 3 za

b) Zwróć uwagę na mianownik:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnóż to wyrażenie przez x 1 3 + 2 · y 1 6 , otrzymamy sumę sześcianów x 1 3 i 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . To jest nasz nowy mianownik, do którego musimy doprowadzić pierwotny ułamek.

Więc znaleźliśmy dodatkowy czynnik x 1 3 + 2 · y 1 6 . O zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych X I y wyrażenie x 1 3 + 2 y 1 6 nie znika, więc możemy pomnożyć przez nie licznik i mianownik ułamka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Odpowiedź: a) za + 1 za 0, 7 = za + 1 za 0, 3 za, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Przykład 9

Skróć ułamek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2.

Rozwiązanie

a) Użyj największego wspólnego mianownika (NWD), przez który można zmniejszyć licznik i mianownik. Dla liczb 30 i 45 jest to 15 . Możemy też zmniejszyć x 0 , 5 + 1 i na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Otrzymujemy:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Tutaj obecność identycznych czynników nie jest oczywista. Będziesz musiał wykonać pewne przekształcenia, aby uzyskać te same czynniki w liczniku i mianowniku. Aby to zrobić, rozszerzamy mianownik za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:

za 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2 = za 1 4 - b 1 4 za 1 4 2 - b 1 2 2 = = za 1 4 - b 1 4 za 1 4 + b 1 4 za 1 4 - b 1 4 = 1 za 1 4 + b 1 4

Odpowiedź: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) za 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2 = 1 za 1 4 + b 1 4 .

Podstawowe operacje na ułamkach to redukcja do nowego mianownika i redukcja ułamków. Obie czynności są wykonywane z zachowaniem szeregu zasad. Podczas dodawania i odejmowania ułamków ułamki są najpierw redukowane do wspólnego mianownika, po czym wykonywane są czynności (dodawanie lub odejmowanie) z licznikami. Mianownik pozostaje ten sam. Efektem naszych działań jest nowy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników.

Przykład 10

Wykonaj kroki x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Rozwiązanie

Zacznijmy od odjęcia ułamków znajdujących się w nawiasach. Sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odejmijmy liczniki:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz mnożymy ułamki:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmniejszmy o stopień x 1 2, otrzymujemy 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatkowo możesz uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku za pomocą wzoru na różnicę kwadratów: kwadraty: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odpowiedź: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Przykład 11

Uprość wyrażenie potęgi x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Rozwiązanie

Ułamek możemy skrócić o (x 2 , 7 + 1) 2. Otrzymujemy ułamek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Kontynuujmy przekształcenia x potęg x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz możesz użyć własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Przechodzimy od ostatniego produktu do ułamka x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odpowiedź: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

W większości przypadków wygodniej jest przenieść mnożniki z ujemnymi wykładnikami z licznika do mianownika i odwrotnie, zmieniając znak wykładnika. Ta czynność upraszcza dalszą decyzję. Podajmy przykład: potęgę wyrażenia (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 można zastąpić przez x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

W zadaniach istnieją wyrażenia potęgowe, które zawierają nie tylko stopnie z wykładnikami ułamkowymi, ale także pierwiastki. Pożądane jest sprowadzenie takich wyrażeń tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Preferowane jest przejście na stopnie, ponieważ łatwiej jest z nimi pracować. Takie przejście jest szczególnie korzystne, gdy DPV zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności dostępu do modułu lub dzielenia DPV na kilka przedziałów.

Przykład 12

Wyraź wyrażenie x 1 9 x x 3 6 jako potęgę.

Rozwiązanie

Prawidłowy zakres zmiennej X jest określona przez dwie nierówności x ≥ 0 oraz x · x 3 ≥ 0 , które definiują zbiór [ 0 , + ∞) .

Na tym zbiorze mamy prawo przejść od pierwiastków do potęg:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Korzystając z właściwości stopni, upraszczamy wynikowe wyrażenie potęgi.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odpowiedź: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Konwersja potęg ze zmiennymi w wykładniku

Te przekształcenia są dość proste do wykonania, jeśli poprawnie użyjesz właściwości stopnia. Na przykład, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Możemy zastąpić iloczyn stopnia, pod względem którego znajduje się suma pewnej zmiennej i liczby. Po lewej stronie można to zrobić za pomocą pierwszego i ostatniego wyrazu po lewej stronie wyrażenia:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Teraz podzielmy obie strony równania przez 7 2 x. To wyrażenie na ODZ zmiennej x przyjmuje tylko wartości dodatnie:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Skróćmy ułamki potęgami, otrzymamy: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Ostatecznie stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępujemy potęgami stosunków, co prowadzi do równania 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , co odpowiada 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Wprowadzamy nową zmienną t = 5 7 x , która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Konwersja wyrażeń z potęgami i logarytmami

Wyrażenia zawierające potęgi i logarytmy znajdują się również w zadaniach. Przykładami takich wyrażeń są: 1 4 1 - 5 log 2 3 lub log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacja takich wyrażeń odbywa się przy użyciu omówionych powyżej podejść i właściwości logarytmów, które szczegółowo przeanalizowaliśmy w temacie „Transformacja wyrażeń logarytmicznych”.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule porozmawiamy o przekształcaniu wyrażeń za pomocą potęg. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane za pomocą wyrażeń dowolnego rodzaju, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak nawiasy otwierające, redukujące podobne wyrazy. Następnie przeanalizujemy przekształcenia charakterystyczne dla wyrażeń ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, wykorzystanie właściwości stopni itp.

Nawigacja po stronie.

Czym są wyrażenia mocy?

Termin „wyrażenia potęgowe” praktycznie nie występuje w szkolnych podręcznikach matematyki, ale często pojawia się w zbiorach problemów, specjalnie zaprojektowanych na przykład do przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego i OGE. Po przeanalizowaniu zadań, w których wymagane jest wykonanie dowolnych czynności z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że wyrażenia potęgowe są rozumiane jako wyrażenia zawierające w swoich wpisach stopnie. Dlatego dla siebie możesz przyjąć następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi potęgi.

przynieśmy przykłady wyrażeń potęgowych. Ponadto będziemy je reprezentować według tego, jak przebiega rozwój poglądów od stopnia ze wskaźnikiem naturalnym do stopnia ze wskaźnikiem rzeczywistym.

Jak wiecie najpierw zapoznajecie się ze stopniem liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 za 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby z wykładnikiem całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych o ujemnych potęgach całkowitych, takich jak: 3 −2, , za -2 +2 b -3 + do 2 .

W klasach maturalnych znów wracają do stopni. Tam wprowadza się stopień z wykładnikiem wymiernym, co prowadzi do pojawienia się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , i tak dalej. Wreszcie, rozważane są stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażenia je zawierające: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik i są np. takie wyrażenia 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się zaczynają pojawiać się wyrażenia z potęgami i logarytmami, na przykład x 2 lgx −5 x lgx.

Doszliśmy więc do pytania, czym są wyrażenia mocy. Następnie nauczymy się, jak je przekształcić.

Główne rodzaje przekształceń wyrażeń potęgowych

Za pomocą wyrażeń mocy możesz wykonać dowolną z podstawowych czynności identyczne przekształcenia wyrażeń. Na przykład można rozwinąć nawiasy, zastąpić wyrażenia liczbowe ich wartościami, dodać podobne terminy i tak dalej. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie zaakceptowanego kolejność działań. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 ·(4 2 −12) .

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością działań, najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Tam po pierwsze zamieniamy potęgę 4 2 na jej wartość 16 (zobaczmy czy to konieczne), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4 . Mamy 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8 , po czym obliczamy iloczyn 8·4=32 . To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odpowiedź:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Przykład.

Uprość wyrażenia mocy 3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7.

Rozwiązanie.

Oczywiście to wyrażenie zawiera podobne określenia 3 a 4 b −7 i 2 a 4 b −7 , i możemy je skrócić: .

Odpowiedź:

3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7 =5 za 4 b −7 −1.

Przykład.

Wyraź wyrażenie z mocami jako iloczynem.

Rozwiązanie.

Aby poradzić sobie z zadaniem, umożliwia reprezentację liczby 9 jako potęgi 3 2 i późniejsze użycie skrócone wzory mnożenia różnica kwadratów:

Odpowiedź:

Istnieje również szereg identycznych przekształceń nieodłącznie związanych z wyrażeniami mocy. Następnie je przeanalizujemy.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawą i/lub wskaźnikiem są nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład napiszmy (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Pracując z podobnymi wyrażeniami, zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie w wykładniku można zastąpić identycznym wyrażeniem na ODZ jego zmienne. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam zasadami, możemy osobno przeliczyć podstawę stopnia, a osobno - wskaźnik. Oczywiste jest, że w wyniku tego przekształcenia uzyskuje się wyrażenie, które jest identycznie równe pierwotnemu.

Takie przekształcenia pozwalają nam upraszczać wyrażenia za pomocą potęg lub osiągać inne potrzebne nam cele. Na przykład we wspomnianym wyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 · 7) 5−3,7 można wykonać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli przejść do potęgi 4,1 · 1,3. A po otwarciu nawiasów i postawieniu wyrazów podobnych w podstawie stopnia (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) otrzymujemy potęgowe wyrażenie prostszej postaci a 2·(x+1 ) .

Korzystanie z właściwości mocy

Jednym z głównych narzędzi do przekształcania wyrażeń z potęgami są równości, które odzwierciedlają . Przypomnijmy główne. Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s obowiązują następujące właściwości potęgowe:

• za r za s = za r + s ;
• za r:a s =a r-s ;
• (za b) r = za r b r ;
• (a:b) r =a r:br r ;
• (za r) s = za r s .

Zauważ, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb aib mogą nie być tak surowe. Na przykład dla liczb naturalnych m i n równość a m·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla liczb dodatnich a , ale także dla liczb ujemnych i dla a=0 .

W szkole główna uwaga w transformacji wyrażeń władzy skupia się właśnie na umiejętności wyboru odpowiedniej właściwości i prawidłowego jej zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na korzystanie z właściwości stopni bez ograniczeń. To samo tyczy się transformacji wyrażeń zawierających zmienne w podstawach stopni – zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na dowolne wykorzystanie właściwości stopni. Ogólnie rzecz biorąc, musisz stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można zastosować jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ niedokładne użycie właściwości może prowadzić do zawężenia ODZ i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule. przekształcanie wyrażeń z wykorzystaniem własności potęg. Tutaj ograniczymy się do kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako potęgę o podstawie a .

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) −3 przez właściwość podnoszenia potęgi do potęgi: (za 2) −3 = za 2 (−3) = za −6. W tym przypadku początkowe wyrażenie potęgowe przyjmie postać a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Oczywiście pozostaje skorzystać z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, jaką mamy
a 2,5 a -6: a -5,5 =
za 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
za −3,5−(−5,5) = za 2 .

Odpowiedź:

za 2,5 (a 2) -3: za -5,5 \u003d za 2.

Właściwości potęgowe są używane podczas przekształcania wyrażeń potęgowych zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego.

Rozwiązanie.

Równość (a·b) r =a r·br r , zastosowana od prawej do lewej, pozwala przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wskaźniki sumują się: .

Można było przeprowadzić transformację pierwotnego wyrażenia w inny sposób:

Odpowiedź:

.

Przykład.

Mając dane wyrażenie potęgowe a 1,5 −a 0,5 −6 , wprowadź nową zmienną t=a 0,5 .

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako 0,5 3 i dalej na podstawie własności stopnia w stopniu (a r) s = a r s zastosowanym od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3 . Zatem, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz łatwo wprowadzić nową zmienną t=a 0.5 , otrzymamy t 3 −t−6 .

Odpowiedź:

t 3 − t − 6 .

Konwersja ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać ułamki z potęgami lub reprezentować takie ułamki. Do takich ułamków dowolna z głównych konwersje ułamków, które są nieodłącznie związane z ułamkami dowolnego rodzaju. Oznacza to, że ułamki zawierające stopnie można zmniejszyć, sprowadzić do nowego mianownika, pracować osobno z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować powyższe słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

To wyrażenie potęgi jest ułamkiem. Popracujmy nad jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane następnie wyrażenie wykorzystując własności potęg, aw mianowniku przedstawiamy podobne wyrazy:

I zmieniamy również znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiedź:

.

Sprowadzanie ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się podobnie jak sprowadzanie ułamków wymiernych do nowego mianownika. W tym samym czasie znajduje się również dodatkowy czynnik, przez który mnoży się licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia DPV. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy czynnik nie zniknął dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Doprowadź ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W takim przypadku dość łatwo jest ustalić, jaki dodatkowy czynnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to współczynnik a 0,3, ponieważ a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Zauważmy, że w przedziale dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) stopień a 0,3 nie znika, dlatego mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danego ułamka tym dodatkowym czynnikiem:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, stwierdzamy, że

a pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę kostek i , czyli . I to jest nowy mianownik, do którego musimy doprowadzić pierwotny ułamek.

Znaleźliśmy więc dodatkowy czynnik. Wyrażenie nie znika w przedziale dopuszczalnych wartości zmiennych x i y, dlatego możemy przez nie pomnożyć licznik i mianownik ułamka:

Odpowiedź:

A) , B) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających stopnie: licznik i mianownik są reprezentowane jako pewna liczba czynników, a te same czynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Skróć ułamek: a) , B).

Rozwiązanie.

a) Po pierwsze, licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co daje 15. Ponadto, oczywiście, możesz zmniejszyć o x 0,5 +1 i przez . Oto, co mamy:

b) W tym przypadku te same czynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je zdobyć, musisz wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki według wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

A)

B) .

Sprowadzanie ułamków do nowego mianownika i skracanie ułamków służy głównie do wykonywania operacji na ułamkach. Akcje są wykonywane według znanych zasad. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), a mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, którym jest , następnie odejmij liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwa jest redukcja o potęgę x 1/2, po której mamy .

Możesz także uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku, używając wzoru na różnicę kwadratów: .

Odpowiedź:

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

Oczywiście ułamek ten można skrócić o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Oczywiste jest, że z potęgami x należy zrobić coś jeszcze. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość wykorzystania własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: . A pod koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.

Odpowiedź:

.

Dodajmy, że jest możliwe iw wielu przypadkach pożądane przeniesienie czynników o ujemnych wykładnikach z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika poprzez zmianę znaku wykładnika. Takie przekształcenia często upraszczają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgi można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, obok stopni z wykładnikami ułamkowymi występują również pierwiastki. Aby przekształcić takie wyrażenie do pożądanej postaci, w większości przypadków wystarczy przejść tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Ale ponieważ wygodniej jest pracować ze stopniami, zwykle przechodzą od korzeni do stopni. Jednak wskazane jest przeprowadzenie takiego przejścia, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zamianę pierwiastków na stopnie bez konieczności dostępu do modułu lub podzielenie ODZ na kilka przedziałów (szczegółowo omówiliśmy to w artykuł przejście od pierwiastków do potęg i odwrotnie Po zapoznaniu się ze stopniem z wykładnikiem wymiernym wprowadza się stopień z niewymiernym wskaźnikiem, co pozwala mówić o stopniu z dowolnym wskaźnikiem rzeczywistym. szkoła zaczyna się uczyć funkcja wykładnicza, który jest analitycznie podawany przez stopień, na podstawie którego znajduje się liczba, a we wskaźniku - zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie stopnia, aw wykładniku - wyrażeniami ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba dokonywania przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przy rozwiązywaniu zwykle trzeba przeprowadzić transformację wyrażeń wskazanego typu równania wykładnicze I nierówności wykładnicze, a te przekształcenia są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków bazują one na właściwościach stopnia i mają na celu przede wszystkim wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Równanie pozwoli nam je wykazać 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Po pierwsze, wykładniki, w których wykładnikach znajduje się suma jakiejś zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczby, są zastępowane iloczynami. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie strony równości są dzielone przez wyrażenie 7 2 x , które przyjmuje tylko wartości dodatnie zmiennej ODZ x dla pierwotnego równania (jest to standardowa technika rozwiązywania równań tego rodzaju, o której nie mówimy to teraz, więc skup się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami ):

Teraz ułamki z potęgami są anulowane, co daje .

Ostatecznie stosunek potęg o tych samych wykładnikach jest zastępowany potęgami stosunków, co prowadzi do równania , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają wprowadzić nową zmienną, która redukuje rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego

IV Boikov, LD Romanova Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu. Część 1. Penza 2003.