Prezentacja na granicy tematu funkcji. Granica funkcji Granica funkcji w punkcie Granice jednostronne Granica funkcji przy x dążącym do nieskończoności Podstawowe twierdzenia o granicach Obliczanie granic. Podstawowe własności granic

Zasady obliczania granic Jeśli lim f(x) = b i lim g(x) =c, to x 1) Granica sumy jest równa sumie granic: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Granica iloczynu jest równa iloczynowi granic: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x = k b x x

Plan abstrakcyjny Wykresy funkcji y=1/x i y=1/x 2. Wykresy funkcji y=1/x m, dla m parzystych i nieparzystych. Pojęcie asymptoty poziomej. Pojęcie granicy funkcji na +, -,. Geometryczne znaczenie granicy funkcji na +, -,. Zasady obliczania granic funkcji na. Wzory do obliczania granicy funkcji na. Techniki obliczania granic funkcji na.

Podsumowanie lekcji Co oznacza istnienie granicy funkcji w nieskończoności? Jaką asymptotę ma funkcja y=1/ x 4? Jakie znasz zasady obliczania granic funkcji w nieskończoności? Z jakimi wzorami obliczania granic w nieskończoności się zapoznałeś? Jak znaleźć limit (5-3x 3) / (6x 3 +2)? X

Referencje: - AG Mordkovich. Zajęcia z algebry i wczesnego rachunku różniczkowego. Mnemosyne MAG Mordkovich, PV Semenov. Przewodnik metodyczny dla nauczyciela. Zajęcia z algebry i rachunku różniczkowego. Podstawowy poziom. M. Mnemozyna. 2010

Cele Lekcji:

Edukacyjny:
- wprowadzić pojęcie granicy liczby, granicy funkcji;
- podać pojęcia dotyczące typów niepewności;
- nauczyć się obliczać granice funkcji;
- usystematyzować zdobytą wiedzę, uruchomić samokontrolę, wzajemną kontrolę.
Rozwój:
- umieć zastosować zdobytą wiedzę do obliczenia granic.
- rozwijać myślenie matematyczne.
Edukacyjny: pielęgnować zainteresowanie matematyką i dyscyplinami pracy umysłowej.

Rodzaj lekcji: pierwsza lekcja

Formy pracy studenta: czołowy, indywidualny

Niezbędny sprzęt: tablica interaktywna, rzutnik multimedialny, karty z ćwiczeniami ustnymi i przygotowawczymi.

Plan lekcji

1. Moment organizacyjny (3 min.)
2. Znajomość teorii granicy funkcji. ćwiczenia przygotowawcze. (12 minut)
3. Obliczanie granic funkcji (10 min.)
4. Ćwiczenia niezależne (15 min.)
5. Podsumowanie lekcji (2 min.)
6. Praca domowa (3 min.)

PODCZAS ZAJĘĆ

1. Moment organizacyjny

Powitanie nauczyciela, zaznaczenie nieobecnych, sprawdzenie przygotowania do lekcji. Podaj temat i cel lekcji. W przyszłości wszystkie zadania będą wyświetlane na tablicy interaktywnej.

2. Znajomość teorii granicy funkcji. ćwiczenia przygotowawcze.

Granica funkcji (granica funkcji) w danym punkcie, ograniczające dziedzinę definicji funkcji, jest taką wartością, do której dąży dana funkcja, gdy jej argument dąży do danego punktu.
Granica jest zapisana w następujący sposób.

Obliczmy granicę:
Podstawiamy zamiast x - 3.
Zauważ, że granica liczby jest równa samej liczbie.

Przykłady: granice obliczeniowe

Jeżeli w pewnym punkcie dziedziny funkcji istnieje granica i granica ta jest równa wartości funkcji w danym punkcie, to funkcję nazywamy ciągłą (w danym punkcie).

Obliczmy wartość funkcji w punkcie x 0 = 3 i wartość jej granicy w tym punkcie.

Wartość granicy i wartość funkcji w tym punkcie pokrywają się, więc funkcja jest ciągła w punkcie x 0 = 3.

Ale podczas obliczania limitów często pojawiają się wyrażenia, których wartość nie jest zdefiniowana. Takie wyrażenia są nazywane niepewność.

Główne rodzaje niepewności:

Ujawnienie niepewności

Do rozwiązania niepewności stosuje się:

uprościć wyrażenie funkcji: rozłożyć na czynniki, przekształcić funkcję za pomocą skróconych wzorów mnożenia, wzorów trygonometrycznych, pomnożyć przez sprzężenie, co pozwala na dalsze zmniejszanie itp., itd.;
jeśli istnieje granica ujawniania niepewności, to mówi się, że funkcja jest zbieżna do określonej wartości, jeśli taka granica nie istnieje, to mówi się, że funkcja jest rozbieżna.

Przykład: oblicz granicę.
Rozłóżmy licznik na czynniki

3. Obliczanie granic funkcji

Przykład 1. Oblicz granicę funkcji:

Przy bezpośrednim podstawieniu uzyskuje się niepewność:

4. Samodzielne ćwiczenia

Oblicz limity:

5. Podsumowanie lekcji

Ta lekcja jest pierwsza

W tym projekcie oprócz materiału teoretycznego uwzględniono również materiał praktyczny. W praktyce rozważaliśmy różne sposoby obliczania granic. Studium drugiej sekcji matematyki wyższej cieszy się już dużym zainteresowaniem, ponieważ w zeszłym roku temat „Matryce. Zastosowanie właściwości macierzy do rozwiązywania układów równań”, co było proste, choćby z tego powodu, że wynik można było kontrolować. Tutaj nie ma takiej kontroli. Studium Sekcji Matematyki Wyższej daje pozytywny wynik. Zajęcia na tym kursie przyniosły efekty: - przestudiowano dużą ilość materiału teoretycznego i praktycznego; - rozwinięto możliwość wyboru metody obliczania limitu; - opracowano właściwe zastosowanie każdej metody obliczeń; - naprawiono możliwość zaprojektowania algorytmu zadania. Będziemy nadal studiować sekcje matematyki wyższej. Celem jej studiowania jest dobre przygotowanie do ponownego studiowania kursu matematyki wyższej.

Plan I Pojęcie granicy funkcji II Geometryczne znaczenie granicy III Funkcje nieskończenie małe i duże oraz ich własności IV Obliczenia granic: 1) Niektóre z najczęściej używanych granic; 2) Granice funkcji ciągłych; 3) Granice funkcji zespolonych; 4) Niepewności i metody ich rozwiązywania

0, można określić δ-sąsiedztwo punktu a na osi Ox w taki sposób, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa oprócz x=a, odpowiednia wartość y leży w ε-sąsiedztwie punktu b Notacja matematyczna: Dla |x-a|" title=" Geometryczne znaczenie granicy Definicja: Dla dowolnego ε>0 można określić δ-sąsiedztwo punktu a na osi Ox, takie, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa oprócz x =a, odpowiednia wartość y leży w sąsiedztwie ε punktu b Notacja matematyczna: Dla |x-a |" class="link_thumb"> 4 !} Geometryczne znaczenie granicy Definicja: Dla dowolnego ε>0 można określić δ-sąsiedztwo punktu a na osi Ox, takie, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa oprócz x=a odpowiadająca wartość y leży w ε-sąsiedztwo punktu b Notacja matematyczna: Dla |x-a | 0, można określić δ-sąsiedztwo punktu a na osi Ox w taki sposób, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa z wyjątkiem x=a odpowiadająca wartość y leży w ε-sąsiedztwie punktu b punktu a na Oś Ox, taka, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa z wyjątkiem x=a, odpowiednia wartość y leży w ε-sąsiedztwie punktu b tak, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa z wyjątkiem x=a, odpowiednia wartość y leży w ε-sąsiedztwie punktu b δ-sąsiedztwie punktu a na osi Ox, tak że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa oprócz x=a odpowiadająca wartość y leży w ε-sąsiedztwie punktu b Matematyczne notacja: Dla |x-a|"> title="Geometryczne znaczenie granicy Definicja: Dla dowolnego ε>0 można określić δ-sąsiedztwo punktu a na osi Ox, takie, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa oprócz x=a odpowiadająca wartość y leży w ε-sąsiedztwo punktu b Notacja matematyczna: Dla |x-a |"> !}

Podstawowe twierdzenia graniczne Twierdzenie 1: Aby liczba A była granicą funkcji f(x) w, konieczne i wystarczające jest, aby ta funkcja była przedstawiona w postaci, gdzie jest nieskończenie mała. Wniosek 1: Funkcja nie może mieć 2 różnych granic w jednym punkcie. Twierdzenie 2: Granica wartości stałej jest równa samej stałej Twierdzenie 3: Jeśli funkcja dla wszystkich x w jakimś sąsiedztwie punktu a, może z wyjątkiem samego punktu a, i ma granicę w punkcie a, to

Podstawowe twierdzenia graniczne (kontynuacja) Twierdzenie 4: Jeśli funkcje f 1 (x) i f 2 (x) mają granice w punkcie, to przy ich sumie f 1 (x) + f 2 (x), iloczyn f 1 również ma granice (x)*f 2 (x) i podlegają ilorazowi f 1 (x)/f 2 (x) oraz Wniosek 2: Jeśli funkcja f(x) ma granicę w punkcie, to gdzie n jest a Liczba naturalna. Wniosek 3: Stały czynnik można usunąć ze znaku granicy

Temat:

Rozwój i edukacja każdego człowieka nie mogą być podane ani przekazane. Każdy, kto chce do nich dołączyć, musi osiągnąć to własnym działaniem, własnymi siłami, własnym wysiłkiem. Z zewnątrz może odbierać tylko podniecenie. A. Diesterwega

Ustalenie celu i zadań lekcji:

badać definicja nieskończoności;

Wyznaczanie granicy funkcji w nieskończoności;
Wyznaczanie granicy funkcji w plus nieskończoności;
Wyznaczanie granicy funkcji w minus nieskończoności;
Własności funkcji ciągłych;

uczyć się obliczyć proste granice funkcji w nieskończoności.

B. Bolzano

Bolzano (Bolzano) Bernard (1781-1848), czeski matematyk i filozof. Przeciwstawiał się psychologizmowi w logice; prawdom logiki przypisywał idealne obiektywne istnienie. Pod wpływem

mi . Husserla. Wprowadził kilka ważnych pojęć Analiza matematyczna, był prekursorem G. Kantora w badaniu nieskończoności zestawy .

Augustyna Ludwika Cauchy'ego(Francuski Augustin Louis Cauchy; 21 sierpnia 1789, Paryż - 23 maja 1857, Co, Francja) - wielki francuski matematyk i mechanik, członek Paryskiej Akademii Nauk, Royal Society of London

y=1 /X M

Istnienie

granica f(x) = b

X → ∞

jest równoważne z posiadaniem

asymptota pozioma

wykres funkcji y = f(x)

granica f(x) = b X →+∞

lim f(x) = b i lim f(x) = b X →+∞x→-∞ granica f(x) = b x → ∞

Co będziemy studiować:

Czym jest nieskończoność?

Granica funkcji w nieskończoności

Granica funkcji w minus nieskończoności .

Nieruchomości .

Przykłady.

Granica funkcji w nieskończoności.

Nieskończoność - używany do charakteryzowania nieograniczonych, nieograniczonych, niewyczerpanych obiektów i zjawisk, w naszym przypadku charakteryzacja liczb.

Nieskończoność to dowolnie duża (mała), nieograniczona liczba.

Jeśli weźmiemy pod uwagę płaszczyznę współrzędnych, to oś odciętych (rzędnych) dąży do nieskończoności, jeśli jest nieskończenie kontynuowana w lewo lub w prawo (w dół lub w górę).

Granica funkcji w nieskończoności.

Granica funkcji do plus nieskończoności.

Przejdźmy teraz do granicy funkcji w nieskończoności:

Miejmy funkcję y=f(x), dziedzina naszej funkcji zawiera promień , a prosta y=b będzie poziomą asymptotą wykresu funkcji y=f(x), zapiszmy to wszystko w język matematyczny:

granica funkcji y=f(x), gdy x dąży do minus nieskończoności, jest równa b

Granica funkcji w nieskończoności.

Ponadto nasze relacje mogą być wykonywane jednocześnie:

Następnie zwyczajowo zapisuje się to jako:

Lub

granicą funkcji y=f(x), gdy x dąży do nieskończoności, jest b

Granica funkcji w nieskończoności.

Przykład.

Przykład. Wykreśl funkcję y=f(x) tak, że:

Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
f(x) - funkcja ciągła

Rozwiązanie:

Musimy zbudować funkcję ciągłą na (-∞; +∞). Pokażmy kilka przykładów naszej funkcji.

Granica funkcji w nieskończoności.

Podstawowe właściwości.

Aby obliczyć granicę w nieskończoności, stosuje się kilka instrukcji:

1) Dla dowolnej liczby naturalnej m prawdziwa jest następująca zależność:

2) Jeśli

To:

a) Limit sumy jest równy sumie limitów:

b) Limit produktu jest równy iloczynowi limitów:

c) Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic:

d) Stały współczynnik można wyjąć ze znaku granicznego:

Granica funkcji w nieskończoności.

Przykład 1

Znajdować

Przykład 2

Przykład 3

Znajdź granicę funkcji y=f(x), ponieważ x dąży do nieskończoności .

Granica funkcji w nieskończoności.

Przykład 1

Odpowiedź:

Przykład 2

Odpowiedź:

Przykład 3

Odpowiedź:

Granica funkcji w nieskończoności.

Skonstruuj wykres funkcji ciągłej y=f(x). Takie, że granica dla x dążącego do plus nieskończoności wynosi 7, a dla x dążącego do minus nieskończoności 3.
Skonstruuj wykres funkcji ciągłej y=f(x). Takie, że granica przy x dążącym do plus nieskończoności wynosi 5, a funkcja jest rosnąca.
Znajdź granice: