Pierwiastek kwadratowy z 2 100. Jak ręcznie znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby. Przykłady obliczania pierwiastków

Cóż, jeśli weźmiemy pod uwagę, że ten pierwiastek kwadratowy jest iloczynem tej samej liczby (czyli b = a), wówczas pierwiastek kwadratowy ze stu wyniesie 10 (100 = 10).

Należy zauważyć, że liczbę 100 można przedstawić jako iloczyn 25 i 4. Następnie oblicz pierwiastek kwadratowy z 25 i 4. 5 i 2. Pomnóż i również otrzymaj 10.

Kiedy po raz pierwszy zaczęliśmy uczyć się tego tematu w szkole, pierwiastek kwadratowy ze 100 był prawdopodobnie jednym z najłatwiejszych do zrozumienia i obliczenia. Zwykle patrzyłem na parzystą (!) liczbę zer i od razu obliczałem, która liczba pomnożona przez samą siebie daje liczbę pod pierwiastkiem kwadratowym. Na przykład, jeśli byłoby to 10000, wówczas pierwiastek kwadratowy tej liczby wynosiłby sto (100x100 = 10000). Jeśli liczba pod kwadratem pierwiastkiem jest sześć zer, wówczas odpowiedź będzie zawierać trzy zera. Itp.

W tym przypadku w liczbie są tylko dwa zera, co oznacza, że ​​​​były dwie dziesiątki. Więc, Pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10. Sprawdzamy: 10x10 = 100

Liczyć pierwiastek kwadratowy możesz skorzystać z kilku metod.

1) Weź kalkulator lub smartfon/tablet/komputer z zainstalowanym programem obliczeniowym, wpisz liczbę 100 i kliknij ikonę pierwiastka, który wygląda mniej więcej tak:

2) Zapoznaj się z tablicą kwadratów liczb do 100=25*4.

3) Metodą dzielenia.

4) Metodą rozkładu na czynniki pierwsze 100=10*10.

Teoretycznie, jeśli zrobisz wszystko poprawnie, otrzymasz wynik 10.

Ikona używana do reprezentowania pierwiastka kwadratowego nazywa się pierwiastkiem i wygląda tak.

A pierwiastek kwadratowy ze 100 jest łatwy do wyodrębnienia, jeśli znasz kwadraty liczb. 10 x 10 = 100. Zatem pierwiastek kwadratowy ze 100, zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego, wynosi 10.

Prawdopodobnie każde dziecko w wieku szkolnym wie, że liczba 100 jest iloczynem 10 przez 10.

Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest liczbą, która pomnożona przez siebie jest wyrażeniem radykalnym Pierwiastek kwadratowy ze stu jest równy liczbie 10.

Jeśli zapomniałeś, że 100=10*10, możesz skorzystać z właściwości pierwiastków:

pierwiastek ze 100 = pierwiastek z (25*4) = pierwiastek z 25 * pierwiastek z 4.

Każdy wie, że 5*5 = 25 i 2*2 = 4. Zatem pierwiastek ze 100 = 5 * 2 = 10.

Cóż, jeśli tego nie wiesz, możesz skorzystać z kalkulatora lub tabel Excela, mają one specjalną formułę zwaną ŹRÓDŁO. Oto jak to wszystko wygląda wizualnie:



W dzisiejszych czasach za pomocą kalkulatora bardzo łatwo jest obliczyć pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby.

Możesz wyodrębnić pierwiastek kwadratowy ze 100 doustnie. Przecież wiadomo, że podniesienie liczby x do kwadratu to liczba x pomnożona przez liczbę x.

Jeśli 10 10 = 100, to pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10.

Odpowiedz na pytanie: 10 .

Pierwiastek kwadratowy w matematyce jest oznaczony konwencjonalnym symbolem.

Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy a. Ponieważ 10^2=100, pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10.

Istnieją liczby, których korzenie są bardzo łatwe do zapamiętania. U mnie jest to np. 25 - pierwiastkiem będzie 5, bo 5*5=25, 625 to pierwiastek z 25, bo 25*25=625.

Jako takie liczby uwzględniam również liczbę 100 - pierwiastek będzie wynosić 10, sprawdź 10*10=100. Więc to prawda.

Pierwiastek kwadratowy ze stu? wygląda na to, że będzie 10

Trudno sobie wyobrazić, że ktoś wejdzie do Internetu, aby znaleźć tę odpowiedź, ale jeśli wyobrazimy sobie, że jest całkowicie niepobrany i nieuważny, to podaję odpowiedź.Pierwiastek kwadratowy z liczby 100 wynosi 10, a także -10. Wiele źródeł tak to podaje.



Pierwiastek kwadratowy ze 100 ma dwie wartości: 10 i -10. Ci, którzy nie wierzą, mogą sprawdzić, mnożąc.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora, musisz rozłożyć liczbę pod pierwiastkiem na najmniejsze czynniki i kontynuować od tego. Zatem dla liczby sto:

I odpowiednio stąd od razu staje się jasne, że pierwiastek kwadratowy ze stu będzie wynosić dokładnie 10.

Musiałem sobie przypomnieć zasadę, którą zapamiętałem ze szkoły:

Chociaż wyodrębnienie pierwiastka ze 100 jest prostą sprawą, która nie wymaga użycia kalkulatorów, ponieważ zapada w pamięć na całe życie. Liczbę 100 uzyskuje się poprzez pomnożenie 10 przez 10, a zatem liczbę 10 i będzie pierwiastkiem setki.

Rozwiązując różne zadania z matematyki i fizyki, uczniowie i studenci często stają przed koniecznością wyodrębnienia pierwiastków drugiego, trzeciego lub n-tego stopnia. Oczywiście w stuleciu Technologie informacyjne Rozwiązanie tego problemu za pomocą kalkulatora nie będzie trudne. Zdarzają się jednak sytuacje, w których nie ma możliwości skorzystania z asystenta elektronicznego.

Na przykład wiele egzaminów nie pozwala na przyniesienie sprzętu elektronicznego. Ponadto możesz nie mieć pod ręką kalkulatora. W takich przypadkach warto znać przynajmniej niektóre metody ręcznego obliczania rodników.

Znajdowanie pierwiastków kwadratowych za pomocą tabeli kwadratów

Jednym z najprostszych sposobów obliczania pierwiastków jest przy użyciu specjalnego stołu. Co to jest i jak prawidłowo go używać?

Korzystając z tabeli, możesz znaleźć kwadrat dowolnej liczby od 10 do 99. Wiersze tabeli zawierają wartości dziesiątek, a kolumny zawierają wartości jednostek. Komórka na przecięciu wiersza i kolumny zawiera kwadrat liczby dwucyfrowej. Aby obliczyć kwadrat 63, należy znaleźć wiersz o wartości 6 i kolumnę o wartości 3. Na przecięciu znajdziemy komórkę z liczbą 3969.

Ponieważ wyodrębnienie pierwiastka jest odwrotną operacją kwadratury, aby wykonać tę czynność, musisz wykonać odwrotną czynność: najpierw znajdź komórkę z liczbą, której pierwiastek chcesz obliczyć, a następnie użyj wartości kolumny i wiersza, aby określić odpowiedź . Jako przykład rozważ obliczenie pierwiastka kwadratowego ze 169.

Znajdujemy w tabeli komórkę z tą liczbą, w poziomie wyznaczamy dziesiątki - 1, w pionie znajdujemy jednostki - 3. Odpowiedź: √169 = 13.

Podobnie możesz obliczyć sześcian i n-ty pierwiastek, korzystając z odpowiednich tabel.

Zaletą metody jest jej prostota i brak dodatkowych obliczeń. Wady są oczywiste: metodę można zastosować tylko dla ograniczonego zakresu liczb (liczba, dla której zostanie znaleziony pierwiastek, musi mieścić się w przedziale od 100 do 9801). Poza tym nie zadziała, jeśli podanej liczby nie ma w tabeli.

Faktoryzacja pierwsza

Jeśli tabela kwadratów nie jest pod ręką lub znalezienie pierwiastka za jej pomocą okazało się niemożliwe, możesz spróbować rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to takie, które można całkowicie (bez reszty) podzielić tylko przez siebie lub przez jeden. Przykładami mogą być 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd.

Przyjrzyjmy się obliczaniu pierwiastka na przykładzie √576. Rozłóżmy to na czynniki pierwsze. Otrzymujemy następujący wynik: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Korzystając z podstawowej właściwości pierwiastków √a² = a pozbędziemy się pierwiastków i kwadratów, a następnie obliczymy odpowiedź: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Co zrobić, jeśli któryś z mnożników nie ma własnej pary? Rozważmy na przykład obliczenie √54. Po rozłożeniu na czynniki otrzymujemy wynik w postaci: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nieusuwalną część można pozostawić pod korzeniem. W przypadku większości problemów z geometrią i algebrą ta odpowiedź będzie liczona jako odpowiedź ostateczna. Jeśli jednak zachodzi potrzeba obliczenia wartości przybliżonych, można zastosować metody, które zostaną omówione poniżej.

Metoda Herona

Co zrobić, gdy trzeba przynajmniej w przybliżeniu wiedzieć, ile wynosi wyodrębniony pierwiastek (jeśli nie da się uzyskać wartości całkowitej)? Szybki i dość dokładny wynik uzyskuje się stosując metodę Herona. Jego istotą jest użycie przybliżonego wzoru:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

gdzie R jest liczbą, której pierwiastek należy obliczyć, a jest najbliższą liczbą, której pierwiastek jest znany.

Przyjrzyjmy się, jak metoda sprawdza się w praktyce i oceńmy, na ile jest dokładna. Obliczmy, ile wynosi √111. Liczba najbliższa 111, której pierwiastek jest znany, to 121. Zatem R = 111, a = 121. Podstaw wartości do wzoru:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Sprawdźmy teraz dokładność metody:

10,55² = 111,3025.

Błąd metody wynosił około 0,3. Jeżeli wymagana jest poprawa dokładności metody, można powtórzyć opisane wcześniej kroki:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Sprawdźmy dokładność obliczeń:

10,536² = 111,0073.

Po ponownym zastosowaniu wzoru błąd stał się zupełnie nieistotny.

Obliczanie pierwiastka przez dzielenie długie

Ta metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego jest nieco bardziej złożona niż poprzednie. Jest to jednak najdokładniejsza spośród innych metod obliczeń bez kalkulatora.

Załóżmy, że musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 4 miejsc po przecinku. Przeanalizujmy algorytm obliczeń na przykładzie dowolnej liczby 1308,1912.

1. Podziel kartkę papieru pionową linią na 2 części, a następnie narysuj z niej kolejną linię w prawo, nieco poniżej górnej krawędzi. Zapiszmy liczbę po lewej stronie, dzieląc ją na grupy po 2 cyfry, przesuwając się w prawo i w lewo od przecinka dziesiętnego. Pierwsza cyfra po lewej stronie może nie mieć pary. Jeśli po prawej stronie liczby brakuje znaku, należy dodać 0. W naszym przypadku wynikiem będzie 13 08.19 12.
2. Wybierzmy najlepszych duża liczba, którego kwadrat będzie mniejszy lub równy pierwszej grupie cyfr. W naszym przypadku jest to 3. Zapiszmy to w prawym górnym rogu; 3 to pierwsza cyfra wyniku. W prawym dolnym rogu wskazujemy 3×3 = 9; będzie to potrzebne do późniejszych obliczeń. Od 13 w kolumnie odejmujemy 9, a resztę otrzymujemy 4.
3. Przypiszmy następną parę liczb do reszty 4; otrzymujemy 408.
4. Pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez 2 i zapisz ją w prawym dolnym rogu, dodając do niej _ x _ =. Otrzymujemy 6_ x _ =.
5. Zamiast myślników należy zastąpić tę samą liczbę, mniejszą lub równą 408. Otrzymujemy 66 × 6 = 396. Piszemy 6 od prawego górnego rogu, ponieważ jest to druga cyfra wyniku. Odejmij 396 od 408, otrzymamy 12.
6. Powtórzmy kroki 3-6. Ponieważ cyfry przesunięte w dół stanowią część ułamkową liczby, po 6 należy w prawym górnym rogu postawić przecinek. Wynik podwójny zapisujemy myślnikami: 72_ x _ =. Odpowiednia liczba to 1: 721×1 = 721. Zapiszmy to jako odpowiedź. Odejmijmy 1219 - 721 = 498.
7. Wykonajmy sekwencję działań podaną w poprzednim akapicie jeszcze trzy razy, aby uzyskać wymaganą liczbę miejsc po przecinku. Jeśli nie ma wystarczającej liczby znaków do dalszych obliczeń, musisz dodać dwa zera do bieżącej liczby po lewej stronie.

W rezultacie otrzymujemy odpowiedź: √1308,1912 ≈ 36,1689. Jeśli sprawdzisz działanie za pomocą kalkulatora, możesz upewnić się, że wszystkie znaki zostały poprawnie zidentyfikowane.

Bitowe obliczanie pierwiastka kwadratowego

Metoda jest bardzo dokładna. Ponadto jest całkiem zrozumiały i nie wymaga zapamiętywania formuł ani złożony algorytm działań, ponieważ istotą metody jest wybór właściwego wyniku.

Wyodrębnijmy pierwiastek liczby 781. Przyjrzyjmy się szczegółowo sekwencji działań.

1. Przekonajmy się, która cyfra wartości pierwiastka kwadratowego będzie najbardziej znacząca. Aby to zrobić, podnieśmy do kwadratu 0, 10, 100, 1000 itd. i dowiedzmy się, pomiędzy którymi z nich znajduje się liczba pierwiastkowa. Otrzymujemy te 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Wybierzmy wartość dziesiątek. Aby to zrobić, będziemy na zmianę podnosić do potęgi 10, 20, ..., 90, aż otrzymamy liczbę większą niż 781. W naszym przypadku otrzymamy 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. wartość wyniku n będzie mieścić się w zakresie 20< n <30.
3. Podobnie jak w poprzednim kroku wybierana jest wartość cyfry jedności. Podnieśmy do kwadratu 21,22, ..., 29 jeden po drugim: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Otrzymujemy, że 27< n < 28.
4. Każdą kolejną cyfrę (dziesiętne, setne itp.) oblicza się w taki sam sposób, jak pokazano powyżej. Obliczenia prowadzi się do momentu uzyskania wymaganej dokładności.

Wideo

W tym filmie dowiesz się, jak znaleźć pierwiastek kwadratowy bez użycia kalkulatora.

Wśród wielu wiedzy będących oznaką umiejętności czytania i pisania na pierwszym miejscu znajduje się alfabet. Kolejnym, równie „znakowym” elementem są umiejętności dodawania-mnożenia i sąsiadujące z nimi, ale o przeciwnym znaczeniu, arytmetyczne operacje odejmowania-dzielenia. Umiejętności nabyte w odległym dzieciństwie szkolnym służą wiernie w dzień i w nocy: telewizja, gazeta, SMS-y i wszędzie czytamy, piszemy, liczymy, dodajemy, odejmujemy, mnożymy. I powiedz mi, czy często musiałeś zapuszczać korzenie w swoim życiu, z wyjątkiem daczy? Na przykład takie zabawne zadanie, jak pierwiastek kwadratowy z liczby 12345... Czy w kolbach jest jeszcze proch? Czy możemy sobie z tym poradzić? Nic prostszego! Gdzie jest mój kalkulator... A bez niego walka wręcz jest słaba?

Najpierw wyjaśnijmy, co to jest - pierwiastek kwadratowy z liczby. Ogólnie rzecz ujmując, „pierwiastkowanie liczby” oznacza wykonanie operacji arytmetycznej odwrotnej do podniesienia do potęgi – tutaj mamy jedność przeciwieństw w zastosowaniu życiowym. Powiedzmy, że kwadrat to pomnożenie liczby samej w sobie, czyli jak uczy się w szkole, X * X = A lub w innym zapisie X2 = A, a słownie – „X kwadrat równa się A”. Wtedy problem odwrotny brzmi następująco: pierwiastek kwadratowy z liczby A jest liczbą X, która po podniesieniu do kwadratu równa się A.

Biorąc pierwiastek kwadratowy

Ze szkolnego kursu arytmetyki znane są metody obliczeń „w kolumnie”, które pomagają wykonać dowolne obliczenia z wykorzystaniem pierwszych czterech operacji arytmetycznych. Niestety... Dla pierwiastków kwadratowych i nie tylko kwadratowych takie algorytmy nie istnieją. A w tym przypadku, jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora? Na podstawie definicji pierwiastka wniosek jest tylko jeden - należy wybrać wartość wyniku poprzez kolejne wyliczenie liczb, których kwadrat zbliża się do wartości wyrażenia pierwiastkowego. To wszystko! Zanim minie godzina lub dwie, możesz obliczyć, stosując dobrze znaną metodę mnożenia w „kolumnie”, dowolny pierwiastek kwadratowy. Jeśli masz umiejętności, zajmie to tylko kilka minut. Nawet niezbyt zaawansowany użytkownik kalkulatora czy komputera PC może to zrobić za jednym zamachem - postęp.

Ale poważnie, obliczenia pierwiastka kwadratowego często wykonuje się za pomocą techniki „widelców artyleryjskich”: najpierw weź liczbę, której kwadrat w przybliżeniu odpowiada wyrażeniu radykalnemu. Lepiej, jeśli „nasz kwadrat” jest nieco mniejszy niż to wyrażenie. Następnie dopasowują liczbę zgodnie ze swoimi umiejętnościami i zrozumieniem, np. mnożą przez dwa i... ponownie podnoszą do kwadratu. Jeżeli wynik jest większy od liczby pod pierwiastkiem, sukcesywnie dopasowujemy pierwotną liczbę, stopniowo zbliżając się do swojego „kolegi” pod pierwiastkiem. Jak widać - żadnego kalkulatora, tylko możliwość liczenia „w kolumnie”. Oczywiście istnieje wiele sprawdzonych naukowo i zoptymalizowanych algorytmów obliczania pierwiastka kwadratowego, ale w przypadku „użytku domowego” powyższa technika daje 100% pewności wyniku.

Tak, prawie zapomniałem, aby potwierdzić naszą zwiększoną umiejętność czytania, obliczmy pierwiastek kwadratowy ze wskazanej wcześniej liczby 12345. Robimy to krok po kroku:

1. Przyjmijmy czysto intuicyjnie X=100. Obliczmy: X * X = 10000. Intuicja działa najlepiej – wynik jest mniejszy niż 12345.

2. Spróbujmy, także czysto intuicyjnie, X = 120. Następnie: X * X = 14400. I znowu intuicja jest w porządku - wynik jest większy niż 12345.

3. Powyżej mamy „widelec” 100 i 120. Wybieramy nowe liczby - 110 i 115. Otrzymujemy odpowiednio 12100 i 13225 - widełki zwężają się.

4. Spróbujmy „może” X=111. Otrzymujemy X * X = 12321. Liczba ta jest już całkiem bliska 12345. Zgodnie z wymaganą dokładnością „dopasowanie” można kontynuować lub zakończyć na uzyskanym wyniku. To wszystko. Zgodnie z obietnicą - wszystko jest bardzo proste i bez kalkulatora.

Tylko trochę historii...

Pitagorejczycy, uczniowie tej szkoły i zwolennicy Pitagorasa, wpadli na pomysł wykorzystania pierwiastków kwadratowych już 800 lat p.n.e. a potem „natknęliśmy się” na nowe odkrycia w dziedzinie liczb. A skąd to się wzięło?

1. Rozwiązanie problemu z wyodrębnieniem pierwiastka daje wynik w postaci liczb nowej klasy. Nazywano je irracjonalnymi, innymi słowy „nierozsądnymi”, ponieważ. nie są one zapisywane jako liczba pełna. Najbardziej klasycznym przykładem tego rodzaju jest pierwiastek kwadratowy z 2. Ten przypadek odpowiada obliczeniu przekątnej kwadratu o boku równym 1 - taki jest wpływ szkoły pitagorejskiej. Okazało się, że w trójkącie o bardzo określonej jednostkowej wielkości boków przeciwprostokątna ma rozmiar, który wyraża się liczbą, która „nie ma końca”. Tak pojawiły się w matematyce

2. Wiadomo, że okazało się, że w tym działaniu matematycznym kryje się jeszcze jeden haczyk – przy wyodrębnianiu pierwiastka nie wiemy, która liczba, dodatnia czy ujemna, jest kwadratem wyrażenia pierwiastkowego. W ten sposób rejestruje się tę niepewność, czyli podwójny wynik jednej operacji.

Badanie problemów związanych z tym zjawiskiem stało się kierunkiem w matematyce zwanym teorią zmiennych zespolonych, który ma duże znaczenie praktyczne w fizyce matematycznej.

Ciekawe, że ten sam wszechobecny I. Newton użył oznaczenia pierwiastka – radykalnego – w swojej „Arytmetyce uniwersalnej”, a dokładnie współczesna forma zapisu pierwiastka znana jest od 1690 r. z książki Francuza Rolle’a „Podręcznik Algebry”.

Spojrzałem jeszcze raz na znak... I jedziemy!

Zacznijmy od czegoś prostego:

Tylko minutę. to, co oznacza, że ​​możemy to zapisać w ten sposób:

Rozumiem? Oto kolejny dla Ciebie:

Czy pierwiastki otrzymanych liczb nie zostały dokładnie wyodrębnione? Nie ma problemu – oto kilka przykładów:

A co jeśli nie ma dwóch, ale więcej mnożników? Ten sam! Wzór na mnożenie pierwiastków działa z dowolną liczbą czynników:

Teraz całkowicie samodzielnie:

Odpowiedzi: Dobrze zrobiony! Zgadzam się, wszystko jest bardzo proste, najważniejsze jest poznanie tabliczki mnożenia!

Podział korzeni

Omówiliśmy już mnożenie pierwiastków, teraz przejdźmy do własności dzielenia.

Przypomnę, że ogólny wzór wygląda następująco:

Co oznacza że pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Cóż, spójrzmy na kilka przykładów:

To wszystko, czym jest nauka. Oto przykład:

Nie wszystko jest tak gładkie jak w pierwszym przykładzie, ale jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego.

A co jeśli natkniesz się na to wyrażenie:

Wystarczy zastosować formułę w odwrotnym kierunku:

Oto przykład:

Możesz także spotkać się z tym wyrażeniem:

Wszystko jest takie samo, tylko tutaj musisz pamiętać, jak tłumaczyć ułamki zwykłe (jeśli nie pamiętasz, spójrz na temat i wróć!). Pamiętasz? Teraz zdecydujmy!

Jestem pewien, że poradziłeś sobie ze wszystkim, teraz spróbujmy podnieść korzenie do stopni.

Potęgowanie

Co się stanie, jeśli pierwiastek kwadratowy zostanie podniesiony do kwadratu? To proste, pamiętaj o znaczeniu pierwiastka kwadratowego z liczby - jest to liczba, której pierwiastek kwadratowy jest równy.

Jeśli więc podniesiemy do kwadratu liczbę, której pierwiastek kwadratowy jest równy, co otrzymamy?

Ależ oczywiście, !

Spójrzmy na przykłady:

To proste, prawda? A co jeśli korzeń jest w innym stopniu? W porządku!

Postępuj zgodnie z tą samą logiką i pamiętaj o właściwościach i możliwych działaniach ze stopniami.

Przeczytaj teorię na temat „”, a wszystko stanie się dla ciebie niezwykle jasne.

Oto na przykład wyrażenie:

W tym przykładzie stopień jest parzysty, ale co, jeśli jest nieparzysty? Ponownie zastosuj właściwości wykładników i rozłóż wszystko na czynniki:

Wszystko wydaje się jasne, ale jak wyodrębnić pierwiastek z liczby do potęgi? Tutaj na przykład jest tak:

Całkiem proste, prawda? A co jeśli stopień jest większy niż dwa? Kierujemy się tą samą logiką, wykorzystując właściwości stopni:

Czy wszystko jest jasne? Następnie samodzielnie rozwiąż przykłady:

A oto odpowiedzi:

Wejście pod znakiem korzenia

Czego nie nauczyliśmy się robić z korzeniami! Pozostaje tylko poćwiczyć wprowadzanie liczby pod znakiem głównym!

To naprawdę proste!

Załóżmy, że mamy zapisaną liczbę

Co możemy z tym zrobić? No cóż, oczywiście ukryj trójkę pod pierwiastkiem, pamiętając, że trójka to pierwiastek kwadratowy!

Dlaczego tego potrzebujemy? Tak, tylko po to, aby poszerzyć nasze możliwości przy rozwiązywaniu przykładów:

Jak podoba Ci się ta właściwość korzeni? Czy to znacznie ułatwia życie? Dla mnie to dokładnie prawda! Tylko Musimy pamiętać, że pod pierwiastkiem kwadratowym możemy wpisać tylko liczby dodatnie.

Rozwiąż sam ten przykład -
Czy udało Ci się? Zobaczmy, co powinieneś otrzymać:

Dobrze zrobiony! Udało Ci się wpisać numer pod znakiem głównym! Przejdźmy do czegoś równie ważnego – przyjrzyjmy się, jak porównać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy!

Porównanie korzeni

Dlaczego musimy nauczyć się porównywać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy?

Bardzo prosta. Często w dużych i długich wyrażeniach spotykanych na egzaminie otrzymujemy irracjonalną odpowiedź (pamiętacie, co to jest? Rozmawialiśmy już o tym dzisiaj!)

Otrzymane odpowiedzi musimy umieścić na osi współrzędnych, aby np. określić, który przedział jest odpowiedni do rozwiązania równania. I tu pojawia się problem: na egzaminie nie ma kalkulatora, a bez niego jak sobie wyobrazić, która liczba jest większa, a która mniejsza? Otóż ​​to!

Na przykład określ, co jest większe: lub?

Nie możesz tego stwierdzić od razu. Cóż, skorzystajmy z rozłożonej właściwości wprowadzania liczby pod znakiem głównym?

Wtedy idź przed siebie:

Cóż, oczywiście, im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy jest sam pierwiastek!

Te. Jeśli następnie, .

Z tego stanowczo wnioskujemy, że. I nikt nas nie przekona, że ​​jest inaczej!

Wyodrębnianie pierwiastków z dużych liczb

Wcześniej wpisaliśmy mnożnik pod znakiem pierwiastka, ale jak go usunąć? Wystarczy rozłożyć to na czynniki i wyodrębnić to, co wyodrębnisz!

Można było pójść inną ścieżką i rozszerzyć się na inne czynniki:

Nieźle, prawda? Każde z tych podejść jest prawidłowe, zdecyduj, jak chcesz.

Faktoring jest bardzo przydatny przy rozwiązywaniu takich niestandardowych problemów jak ten:

Nie bójmy się, ale działajmy! Rozłóżmy każdy czynnik pod pierwiastkiem na osobne czynniki:

Teraz spróbujcie sami (bez kalkulatora! Nie będzie tego na egzaminie):

Czy to jest koniec? Nie zatrzymujmy się w połowie!

To wszystko, to nie jest takie straszne, prawda?

Stało się? Dobra robota, zgadza się!

Teraz wypróbuj ten przykład:

Ale ten przykład jest twardym orzechem do zgryzienia, więc nie możesz od razu wymyślić, jak do niego podejść. Ale oczywiście możemy sobie z tym poradzić.

No cóż, zacznijmy faktoring? Od razu zauważmy, że liczbę można dzielić przez (pamiętaj o znakach podzielności):

Teraz spróbuj sam (ponownie, bez kalkulatora!):

No cóż, zadziałało? Dobra robota, zgadza się!

Podsumujmy to

1. Pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy.
   .
2. Jeśli po prostu wyciągniemy z czegoś pierwiastek kwadratowy, zawsze otrzymamy jeden wynik nieujemny.
3. Właściwości pierwiastka arytmetycznego:
4. Porównując pierwiastki kwadratowe, należy pamiętać, że im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy jest sam pierwiastek.

Jak pierwiastek kwadratowy? Wszystko jasne?

Staraliśmy się bez problemu wytłumaczyć Ci wszystko, co musisz wiedzieć na egzaminie z pierwiastka kwadratowego.

Twoja kolej. Napisz do nas czy ten temat jest dla Ciebie trudny czy nie.

Dowiedziałeś się czegoś nowego, czy wszystko było już jasne?

Piszcie w komentarzach i życzymy powodzenia na egzaminach!

Dość często przy rozwiązywaniu problemów mamy do czynienia z dużymi liczbami, z których musimy wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy. Wielu uczniów uznaje, że jest to błąd i zaczyna od nowa rozwiązywać cały przykład. W żadnym wypadku nie powinieneś tego robić! Są ku temu dwa powody:

1. Pierwiastki dużych liczb rzeczywiście pojawiają się w problemach. Zwłaszcza w tekstach;
2. Istnieje algorytm, dzięki któremu te pierwiastki są obliczane niemal ustnie.

Rozważymy ten algorytm dzisiaj. Być może niektóre rzeczy będą wydawać Ci się niezrozumiałe. Ale jeśli zwrócisz uwagę na tę lekcję, otrzymasz potężną broń przeciwko pierwiastki kwadratowe.

Zatem algorytm:

1. Ogranicz wymagany pierwiastek powyżej i poniżej do liczb będących wielokrotnościami 10. W ten sposób zmniejszymy zakres wyszukiwania do 10 liczb;
2. Z tych 10 liczb odrzuć te, które zdecydowanie nie mogą być pierwiastkami. W rezultacie pozostaną 1-2 liczby;
3. Podnieś do kwadratu te liczby 1-2. Pierwiastkiem będzie ten, którego kwadrat jest równy pierwotnej liczbie.

Zanim zastosujemy ten algorytm w praktyce, przyjrzyjmy się każdemu krokowi z osobna.

Ograniczenie korzeni

Przede wszystkim musimy dowiedzieć się, pomiędzy którymi liczbami znajduje się nasz pierwiastek. Jest wysoce pożądane, aby liczby były wielokrotnościami dziesięciu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otrzymujemy ciąg liczb:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Co nam mówią te liczby? To proste: wyznaczamy granice. Weźmy na przykład liczbę 1296. Leży ona pomiędzy 900 a 1600. Zatem jej pierwiastek nie może być mniejszy niż 30 i większy niż 40:

[Podpis do zdjęcia]

To samo dotyczy każdej innej liczby, z której można znaleźć pierwiastek kwadratowy. Na przykład 3364:

[Podpis do zdjęcia]

Tym samym zamiast niezrozumiałej liczby otrzymujemy bardzo konkretny zakres, w którym leży pierwiastek pierwotny. Aby jeszcze bardziej zawęzić obszar poszukiwań, przejdź do kroku drugiego.

Eliminowanie oczywiście niepotrzebnych liczb

Mamy więc 10 liczb - kandydatów na pierwiastek. Dostaliśmy je bardzo szybko, bez skomplikowanego myślenia i mnożenia w kolumnie. Czas iść dalej.

Wierzcie lub nie, ale teraz zmniejszymy liczbę numerów kandydatów do dwóch - znowu bez żadnych skomplikowanych obliczeń! Wystarczy znać specjalną zasadę. Oto ona:

Ostatnia cyfra kwadratu zależy tylko od ostatniej cyfry oryginalny numer.

Innymi słowy, wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę kwadratu i od razu zrozumiemy, gdzie kończy się pierwotna liczba.

Na ostatnim miejscu może zająć tylko 10 cyfr. Spróbujmy dowiedzieć się, w co zamieniają się po podniesieniu do kwadratu. Spójrz na tabelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ta tabela to kolejny krok w kierunku obliczenia pierwiastka. Jak widać liczby w drugiej linii okazały się symetryczne względem piątki. Na przykład:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Jak widać, ostatnia cyfra jest taka sama w obu przypadkach. Oznacza to, że np. pierwiastek 3364 musi kończyć się na 2 lub 8. Z drugiej strony pamiętamy o ograniczeniu z poprzedniego akapitu. Otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Czerwone kwadraty wskazują, że nie znamy jeszcze tej liczby. Ale pierwiastek leży w przedziale od 50 do 60, w którym znajdują się tylko dwie liczby kończące się na 2 i 8:

[Podpis do zdjęcia]

To wszystko! Ze wszystkich możliwych korzeni pozostawiliśmy tylko dwie opcje! I to w najtrudniejszym przypadku, bo ostatnią cyfrą może być 5 lub 0. I wtedy będzie tylko jeden kandydat na pierwiastki!

Ostateczne obliczenia

Mamy zatem 2 numery kandydatów. Skąd wiesz, który z nich jest korzeniem? Odpowiedź jest oczywista: podnieś obie liczby do kwadratu. Pierwiastkiem będzie ta, która zostanie podniesiona do kwadratu i da pierwotną liczbę.

Na przykład dla liczby 3364 znaleźliśmy dwie liczby kandydujące: 52 i 58. Podnieśmy je do kwadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

To wszystko! Okazało się, że pierwiastek wynosi 58! Jednocześnie dla uproszczenia obliczeń skorzystałem ze wzoru na kwadraty sumy i różnicy. Dzięki temu nie musiałem nawet mnożyć liczb w kolumnie! To kolejny poziom optymalizacji obliczeń, ale oczywiście jest on całkowicie opcjonalny :)

Przykłady obliczania pierwiastków

Teoria oczywiście jest dobra. Ale sprawdźmy to w praktyce.

[Podpis do zdjęcia]

Najpierw dowiedzmy się, pomiędzy którymi liczbami leży liczba 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Spójrzmy teraz na ostatnią liczbę. Jest równa 6. Kiedy to się dzieje? Tylko jeśli pierwiastek kończy się na 4 lub 6. Otrzymujemy dwie liczby:

Pozostaje tylko podnieść każdą liczbę do kwadratu i porównać ją z oryginałem:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Świetnie! Pierwszy kwadrat okazał się równy pierwotnej liczbie. Więc to jest korzeń.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

1369 → 9;
33; 37.

Kwadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Oto odpowiedź: 37.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

Ograniczamy liczbę:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

2704 → 4;
52; 58.

Kwadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Otrzymaliśmy odpowiedź: 52. Drugiej liczby nie trzeba już podnosić do kwadratu.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

Ograniczamy liczbę:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

4225 → 5;
65.

Jak widać, po drugim kroku pozostała tylko jedna opcja: 65. To jest pożądany korzeń. Ale spójrzmy jeszcze raz i sprawdźmy:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Wszystko jest poprawne. Zapisujemy odpowiedź.

Wniosek

Niestety, nie lepiej. Spójrzmy na przyczyny. Są dwa z nich:

• Na każdym normalnym egzaminie z matematyki, czy to na egzaminie państwowym, czy na egzaminie jednolitym, używanie kalkulatorów jest zabronione. A jeśli przyniesiesz na zajęcia kalkulator, możesz łatwo zostać wyrzucony z egzaminu.
• Nie bądź jak głupi Amerykanie. Które nie są jak pierwiastki - nie mogą dodać dwóch liczb pierwszych. A kiedy widzą ułamki, zazwyczaj wpadają w histerię.