Kiedy równanie kwadratowe ma. Pierwiastek kwadratowy: wzory obliczeniowe. Wzór na znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego. Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady

Właśnie. Według wzorów i jasnych, prostych zasad. Na pierwszym etapie

konieczne jest doprowadzenie danego równania do standardowej postaci, tj. patrzeć:

Jeśli równanie zostało już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego kroku. Najważniejsze jest właściwe

określić wszystkie współczynniki, i, b i do.

Wzór na znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego.

Wywoływane jest wyrażenie pod znakiem root dyskryminujący ... Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Te. współczynniki od równanie kwadratowe... Po prostu ostrożnie zastąp

znaczenie a, b i c do tego wzoru i policz. Zastąp przez ich oznaki!

na przykład, w równaniu:

i =1; b = 3; do = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład jest prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami znaczenia. a, bi z... Raczej z substytucją

wartości ujemne do wzoru na obliczanie pierwiastków. Tutaj oszczędza się szczegółowa receptura

z określonymi numerami. Jeśli masz problemy obliczeniowe, zrób to!

Załóżmy, że musisz rozwiązać ten przykład:

Tutaj za = -6; b = -5; do = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie tracąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Równania kwadratowe często wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na najlepsze praktyki, które radykalnie zmniejszą liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie... Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązanie równania kwadratowego doprowadzić go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Powiedzmy, że po każdej transformacji otrzymałeś następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzenia! Prawie na pewno pomylisz szanse. a, b i c.

Zbuduj przykład poprawnie. Najpierw X jest podniesiony do kwadratu, następnie bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:

Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Musisz pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminację i uzupełnić przykład.

Zrób to sam. Powinieneś mieć korzenie 2 i -1.

Odbiór drugi. Sprawdź korzenie! Przez twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x 2 + bx + c \u003d 0,

następnie x 1 x 2 \u003d ok

x 1 + x 2 \u003d -b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a ≠ 1:

x 2 +bx +do=0,

podziel całe równanie przez i:

→ →

gdzie x 1 i x 2 - pierwiastki równania.

Recepcja trzecia... Jeśli twoje równanie zawiera współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie wspólnego mianownika.

Wynik. Praktyczne porady:

1. Przed rozwiązaniem sprowadzamy równanie kwadratowe do standardowej postaci, budujemy je dobrze.

2. Jeśli przed x w kwadracie występuje współczynnik ujemny, eliminujemy go mnożąc wynik

równań o -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki mnożąc całe równanie przez odpowiednie

czynnik.

4. Jeśli x kwadrat jest czysty, współczynnik jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić

Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu nauczysz się, jak znaleźć korzenie pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe, inne metody służą do rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych, które można znaleźć w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.

Jakie równania kwadratowe nazywamy kompletnymi? to równania w postaci ax 2 + b x + c \u003d 0gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zeru. Tak więc, aby rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musisz obliczyć dyskryminator D.

D \u003d b 2 - 4ac.

W zależności od tego, jaką wartość ma dyskryminator, zapiszemy odpowiedź.

Jeśli dyskryminator jest ujemny (D.< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator ma wartość zero, to x \u003d (-b) / 2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D\u003e 0),

wtedy x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, a x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odpowiedź: bez korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpowiedź: - 3,5; 1.

Przedstawimy więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych według obwodu na rysunku 1.

Każde pełne równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą tych wzorów. Musisz tylko uważać, aby to zapewnić równanie zostało zapisane jako standardowy wielomian

i x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład, pisząc równanie x + 3 + 2x 2 \u003d 0, możesz błędnie o tym zdecydować

a \u003d 1, b \u003d 3 i c \u003d 2. Następnie

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. To nieprawda. (Zobacz rozwiązanie do przykładu 2 powyżej).

Dlatego też, jeśli równanie nie jest zapisane jako wielomian o postaci standardowej, najpierw całe równanie kwadratowe należy zapisać jako wielomian postaci standardowej (w pierwszej kolejności powinien to być jednomian o największym wykładniku, czyli i x 2 , a potem mniej – bxa następnie wolny członek z.

Podczas rozwiązywania zredukowanego równania kwadratowego i równania kwadratowego z parzystym współczynnikiem w drugim członie można również użyć innych wzorów. Poznajmy również te formuły. Jeśli w pełnym równaniu kwadratowym z drugim członem współczynnik jest parzysty (b \u003d 2k), to równanie można rozwiązać za pomocą wzorów przedstawionych na schemacie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równa jeden, a równanie przyjmuje postać x 2 + px + q \u003d 0... Takie równanie można podać dla rozwiązania lub otrzymać je dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik istojąc przy x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązania zredukowanego kwadratu
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Rozwiążmy to równanie, używając wzorów przedstawionych na schemacie na rysunku 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3

Można zauważyć, że współczynnik przy x w tym równaniu jest liczbą parzystą, to znaczy b \u003d 6 lub b \u003d 2k, skąd k \u003d 3. Następnie spróbujemy rozwiązać równanie zgodnie ze wzorami przedstawionymi na schemacie z rysunku D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3... Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielone przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Rozwiąż to równanie, używając wzorów na zredukowany kwadrat
rysunek równania 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego dobrze opanowawszy formuły pokazane na schemacie na rysunku 1, zawsze możesz rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

strona, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału, wymagany jest link do źródła.

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w zagadnienia równań kwadratowych.

Rozważmy wszystko szczegółowo: istotę i zapis równania kwadratowego, ustalimy powiązane terminy, przeanalizujemy schemat rozwiązywania niekompletnych i pełnych równań, zapoznamy się ze wzorem pierwiastków i dyskryminatora, ustalimy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Równanie kwadratowe, jego typy

Definicja 1

Równanie kwadratowe Czy równanie jest zapisane jako a x 2 + b x + c \u003d 0gdzie x - zmienna, a, b i do - trochę liczb, tymczasem zanie jest zerem.

Często równania kwadratowe nazywane są również równaniami drugiego stopnia, ponieważ w istocie równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia.

Oto przykład ilustrujący podaną definicję: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 itd. Są równaniami kwadratowymi.

Definicja 2

Liczby a, b i do Czy współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, podczas gdy współczynnik za nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, i do nazywany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 najwyższy współczynnik to 6, drugi współczynnik to − 2 a termin wolny to − 11 ... Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki bi / lub c są ujemne, wówczas stosowany jest krótki zapis formy 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: \u200b\u200bjeśli współczynniki za i / lub b są równe 1 lub − 1 , wówczas nie mogą brać wyraźnego udziału w zapisie równania kwadratowego, co tłumaczy się specyfiką zapisu wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 - y + 7 \u003d 0 najwyższy współczynnik to 1, a drugi współczynnik to − 1 .

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

Zgodnie z wartością pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielimy na zredukowane i niezredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe Jest równaniem kwadratowym, w którym wiodący współczynnik wynosi 1. Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe nie jest redukowane.

Oto przykłady: równania kwadratowe x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 są redukowane, w każdym z których współczynnik wiodący wynosi 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - niezredukowane równanie kwadratowe, w którym pierwszy współczynnik jest różny od 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie części przez pierwszy współczynnik (transformacja równoważna). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki, co dane równanie niezredukowane lub też nie będzie miało żadnych korzeni.

Rozważenie konkretnego przykładu pozwoli nam jasno zademonstrować implementację przejścia od niezredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład 1

Równanie to 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania w postać zredukowaną.

Decyzja

Zgodnie z powyższym schematem dzielimy obie strony pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 6. Wtedy otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3i to jest to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 i dalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. W związku z tym: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. W ten sposób uzyskuje się równanie, które jest równoważne temu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Pełne i niepełne równania kwadratowe

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim to określiliśmy a ≠ 0... Podobny warunek jest konieczny dla równania a x 2 + b x + c \u003d 0 był dokładnie kwadratowy, ponieważ dla a \u003d 0 jest zasadniczo konwertowany na równanie liniowe b x + c \u003d 0.

W przypadku, gdy współczynniki b i dorówne zero (co jest możliwe, zarówno osobno, jak i razem), równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja 4

Niepełne równanie kwadratowe Czy takie równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0,gdzie przynajmniej jeden ze współczynników bi do(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe - równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zeru.

Omówmy, dlaczego typom równań kwadratowych nadawane są właśnie takie nazwy.

Dla b \u003d 0 równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 + 0 x + c \u003d 0który jest taki sam jak a x 2 + c \u003d 0... Kiedy c \u003d 0 równanie kwadratowe jest zapisane jako a x 2 + b x + 0 \u003d 0co jest równoważne z a x 2 + b x \u003d 0... Kiedy b \u003d 0 i c \u003d 0 równanie staje się a x 2 \u003d 0... Równania, które otrzymaliśmy, różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani terminu ze zmienną x, ani terminu wolnego, ani obu. W rzeczywistości fakt ten dał nazwę tego typu równaniom - niekompletne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 to pełne równania kwadratowe; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - niepełne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Powyższa definicja pozwala wyróżnić następujące typy niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 \u003d 0, takie równanie odpowiada współczynnikom b \u003d 0 i c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 przy b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 przy c \u003d 0.

Rozważmy sekwencyjnie rozwiązanie każdego typu niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 \u003d 0

Jak wspomniano powyżej, równanie to odpowiada współczynnikom b i dorówna zero. Równanie a x 2 \u003d 0 można przekształcić równanie równoważne x 2 \u003d 0, który otrzymujemy, dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę zaróżne od zera. Jest oczywistym faktem, że pierwiastek równania x 2 \u003d 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 ... To równanie nie ma innych pierwiastków, co można wyjaśnić właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby p,różna od zera, nierówność jest prawdziwa p 2\u003e 0, z którego wynika, że \u200b\u200bdla p ≠ 0 równość p 2 \u003d 0nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 \u003d 0 istnieje unikalny pierwiastek x \u003d 0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe - 3 x 2 \u003d 0... Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym źródłem jest x \u003d 0, to pierwotne równanie również ma pojedynczy pierwiastek - zero.

Krótko mówiąc, rozwiązanie jest sformalizowane w następujący sposób:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c \u003d 0

Następnym krokiem jest rozwiązanie niekompletnych równań kwadratowych, gdzie b \u003d 0, c ≠ 0, czyli równania postaci a x 2 + c \u003d 0... Przekształcamy to równanie, przenosząc termin z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę, która nie jest równa zeru:

• przenieść dokądś do po prawej stronie, co daje równanie a x 2 \u003d - c;
• dzielimy obie strony równania przez zaotrzymujemy jako wynik x \u003d - c a.

Nasze przekształcenia są odpowiednio równoważne, wynikowe równanie jest również równoważne pierwotnemu, a fakt ten pozwala wyciągnąć wnioski dotyczące pierwiastków równania. Z tego, jakie są wartości za i dowartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (na przykład jeśli a \u003d 1 i c \u003d 2, a następnie - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) lub znak plus (na przykład, jeśli a \u003d - 2 i c \u003d 6, to - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); nie jest równe zero, ponieważ c ≠ 0... Rozważmy bardziej szczegółowo sytuacje, w których - c a< 0 и - c a > 0 .

W przypadku, gdy - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p równość p 2 \u003d - c a nie może być prawdą.

Wszystko jest inne, gdy - c a\u003e 0: zapamiętaj pierwiastek kwadratowy, a stanie się oczywiste, że pierwiastek z równania x 2 \u003d - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 \u003d - c a. Łatwo zrozumieć, że liczba - - c a jest również pierwiastkiem równania x 2 \u003d - c a: w istocie - - c a 2 \u003d - c a.

Równanie nie będzie miało innych korzeni. Możemy to wykazać za pomocą metody sprzecznej. Na początek definiujemy notację korzeni znalezionych powyżej jako x 1 i - x 1... Załóżmy, że równanie x 2 \u003d - c a również ma pierwiastek x 2który różni się od korzeni x 1 i - x 1... Wiemy to, podstawiając w równaniu zamiast x jego korzenie, przekształcić równanie w uczciwą równość liczbową.

Dla x 1 i - x 1 piszemy: x 1 2 \u003d - c a i dla x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Opierając się na właściwościach równości liczbowych, odejmujemy jedną prawdziwą równość od drugiego terminu według terminu, co daje nam: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Używamy właściwości działań na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z liczb wynosi zero. Z tego, co zostało powiedziane, wynika, że x 1 - x 2 \u003d 0 i / lub x 1 + x 2 \u003d 0który jest taki sam x 2 \u003d x 1 i / lub x 2 \u003d - x 1... Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo ustalono, że jest to pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 i - x 1... Zatem udowodniliśmy, że równanie nie ma innych pierwiastków, z wyjątkiem x \u003d - c a i x \u003d - - c a.

Podsumowujemy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niepełne równanie kwadratowe a x 2 + c \u003d 0 jest równoważne równaniu x 2 \u003d - c a, które:

• nie będzie miał korzeni dla - c a< 0 ;
• będzie miał dwa pierwiastki x \u003d - c a i x \u003d - - c a for - c a\u003e 0.

Podajmy przykłady rozwiązania równań a x 2 + c \u003d 0.

Przykład 3

Podano równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 \u003d 0.Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Decyzja

Przenosimy termin wolny na prawą stronę równania, a następnie równanie przyjmuje postać 9 x 2 \u003d - 7.
Obie strony otrzymanego równania dzielimy przez 9 dochodzimy do x 2 \u003d - 7 9. Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: dane równanie nie ma pierwiastków. Następnie oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 \u003d 0 nie będą miały korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 \u003d 0nie ma korzeni.

Przykład 4

Konieczne jest rozwiązanie równania - x 2 + 36 \u003d 0.

Decyzja

Przesuń 36 na prawą stronę: - x 2 \u003d - 36.
Podzielmy obie części na − 1 , mamy x 2 \u003d 36... Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy to wywnioskować x \u003d 36 lub x \u003d - 36.
Wyodrębnij pierwiastek i zapisz końcowy wynik: niepełne równanie kwadratowe - x 2 + 36 \u003d 0 ma dwa korzenie x \u003d 6 lub x \u003d - 6.

Odpowiedź: x \u003d 6 lub x \u003d - 6.

Rozwiązanie równania a x 2 + b x \u003d 0

Przeanalizujmy trzeci rodzaj niekompletnych równań kwadratowych, kiedy c \u003d 0... Znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego a x 2 + b x \u003d 0używamy metody faktoryzacji. Rozłożymy wielomian po lewej stronie równania, usuwając wspólny czynnik poza nawiasy x... Ten krok umożliwi przekształcenie pierwotnego niepełnego równania kwadratowego w jego odpowiednik x (a x + b) \u003d 0... A to równanie z kolei jest równoważne z zestawem równań x \u003d 0 i a x + b \u003d 0... Równanie a x + b \u003d 0 liniowy, a jego pierwiastek to: x \u003d - b a.

Definicja 7

Więc niekompletne równanie kwadratowe a x 2 + b x \u003d 0 będzie miał dwa korzenie x \u003d 0 i x \u003d - b a.

Poprawmy materiał na przykładzie.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Decyzja

Na wynos x w nawiasach i otrzymujemy równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. To równanie jest równoważne równaniom x \u003d 0 i 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Teraz musisz rozwiązać wynikowe równanie liniowe: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Krótko piszemy rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 lub 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 lub x \u003d 3 3 7

Odpowiedź: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązanie równań kwadratowych, istnieje wzór na pierwiastek:

Definicja 8

x \u003d - b ± D 2 a, gdzie D \u003d b 2-4 a c - tzw. dyskryminator równania kwadratowego.

Notacja x \u003d - b ± D 2 · a zasadniczo oznacza, że \u200b\u200bx 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Zrozumienie, w jaki sposób wyprowadzono wskazaną formułę i jak ją zastosować, nie będzie zbyteczne.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Stańmy przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0... Przeprowadźmy kilka równoważnych przekształceń:

• podziel obie strony równania przez liczbę zainne niż zero, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• wybierz pełny kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ok
  Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• teraz można przenieść ostatnie dwa wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

W ten sposób doszliśmy do równania x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, które jest równoważne pierwotnemu równaniu a x 2 + b x + c \u003d 0.

Przeanalizowaliśmy rozwiązanie takich równań w poprzednich akapitach (rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte doświadczenie pozwala wyciągnąć wnioski dotyczące pierwiastków równania x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• przy b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• dla b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 równanie ma postać x + b 2 a 2 \u003d 0, wtedy x + b 2 a \u003d 0.

Stąd jedyny pierwiastek x \u003d - b 2 · a jest oczywisty;

• dla b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 będzie to prawda: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 lub x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, czyli to samo co x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 lub x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Można wywnioskować, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (stąd pierwotne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 a c 4 · 2 napisane po prawej stronie. Znak tego wyrażenia jest ustalany przez znak licznika (mianownik 4 a 2 zawsze będzie dodatnia), czyli znak wyrażenia b 2 - 4 a c... To wyrażenie b 2 - 4 a c podaje się nazwę - dyskryminator równania kwadratowego i litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę dyskryminatora - po jego wartości i znaku wnioskuje się, czy równanie kwadratowe będzie miało rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Przepisujemy go, używając notacji dyskryminatora: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Sformułujmy ponownie wnioski:

Definicja 9

• w re< 0 równanie nie ma prawdziwych korzeni;
• w D \u003d 0 równanie ma pojedynczy pierwiastek x \u003d - b 2 · a;
• w D\u003e 0 równanie ma dwa pierwiastki: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 lub x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Te pierwiastki, opierając się na właściwościach rodników, można zapisać jako: x \u003d - b 2 a + D 2 a lub - b 2 a - D 2 a. A kiedy otworzymy moduły i zredukujemy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Tak więc wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, dyskryminator re obliczone według wzoru D \u003d b 2-4 a c.

Wzory te umożliwiają, gdy dyskryminator jest większy od zera, określenie obu pierwiastków rzeczywistych. Gdy dyskryminator ma wartość zero, zastosowanie obu wzorów da ten sam pierwiastek, co jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, próbując użyć wzoru na pierwiastek kwadratowy, będziemy musieli wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, co wyniesie nas poza liczby rzeczywiste. W przypadku dyskryminatora ujemnego równanie kwadratowe nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych korzeni sprzężonych, określonych przez te same wzory, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem wzorów na pierwiastki

Możliwe jest rozwiązanie równania kwadratowego przez natychmiastowe użycie wzoru na pierwiastek, ale zasadniczo robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków ma na celu poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy jest optymalnie, przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw określ dyskryminator i upewnij się, że nie jest ujemny (w przeciwnym razie wyciągniemy wniosek, że równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków), a następnie przystąpimy do obliczania wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala sformułować algorytm rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, Czy to jest to konieczne:

• zgodnie ze wzorem D \u003d b 2-4 a c znaleźć wartość dyskryminatora;
• w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• dla D \u003d 0 znajdź jedyny pierwiastek równania według wzoru x \u003d - b 2 · a;
• dla D\u003e 0, określ dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego według wzoru x \u003d - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator jest równy zero, możesz użyć formuły x \u003d - b ± D 2 · a, da to taki sam wynik jak formuła x \u003d - b 2 · a.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy rozwiązanie przykładów dla różnych wartości dyskryminatora.

Przykład 6

Konieczne jest znalezienie korzeni równania x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Decyzja

Zapiszmy liczbowe współczynniki równania kwadratowego: a \u003d 1, b \u003d 2 i c \u003d - 6... Następnie działamy zgodnie z algorytmem, tj. zacznijmy obliczać dyskryminator, dla którego podstawiamy współczynniki a, b i do do formuły dyskryminacyjnej: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Mamy więc D\u003e 0, co oznacza, że \u200b\u200bpierwotne równanie będzie miało dwa rzeczywiste pierwiastki.
Aby je znaleźć, używamy wzoru pierwiastkowego x \u003d - b ± D 2 · a i zastępując odpowiednie wartości, otrzymujemy: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy wynikowe wyrażenie, wyjmując czynnik poza znak pierwiastka, a następnie zmniejszając ułamek:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 lub x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 lub x \u003d - 1 - 7

Odpowiedź: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Przykład 7

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Decyzja

Zdefiniujmy dyskryminującego: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Przy tej wartości dyskryminatora pierwotne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Odpowiedź: x \u003d 3, 5.

Przykład 8

Konieczne jest rozwiązanie równania 5 lat 2 + 6 lat + 2 \u003d 0

Decyzja

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a \u003d 5, b \u003d 6 ic \u003d 2. Używamy tych wartości do znalezienia dyskryminatora: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Obliczony dyskryminator jest ujemny, więc pierwotne równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków złożonych, stosujemy wzór na pierwiastki, wykonując czynności na liczbach zespolonych:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 lub x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i lub x \u003d - 3 5 - 1 5 i.

Odpowiedź: brak ważnych korzeni; złożone pierwiastki są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

W programie szkolnym nie ma standardowego wymogu szukania korzeni złożonych, dlatego też jeśli w trakcie rozwiązania dyskryminator zostanie określony jako negatywny, natychmiast odnotowuje się odpowiedź, że nie ma prawdziwych korzeni.

Wzór na pierwiastek nawet dla drugich współczynników

Wzór na pierwiastek x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) pozwala na otrzymanie innej formuły, bardziej zwartej, pozwalającej znaleźć rozwiązania równań kwadratowych o parzystym współczynniku przy x (lub współczynniku postaci 2 n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 \u003d 2 7 ln 5). Pokażmy, jak powstaje ten wzór.

Załóżmy, że mamy do czynienia z zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Działamy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c), a następnie wykorzystujemy formułę pierwiastkową:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a ok.

Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczane jako D 1 (czasami jest oznaczane przez D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać:

x \u003d - n ± D 1 a, gdzie D 1 \u003d n 2 - a · c.

Łatwo zauważyć, że D \u003d 4 · D 1 lub D 1 \u003d D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że \u200b\u200bznak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Tak więc, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:

• znajdź D 1 \u003d n 2 - a · c;
• w D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• gdy D 1 \u003d 0, określ jedyny pierwiastek równania według wzoru x \u003d - n a;
• dla D 1\u003e 0 zdefiniuj dwa pierwiastki rzeczywiste wzorem x \u003d - n ± D 1 a.

Przykład 9

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Decyzja

Drugi współczynnik podanego równania można przedstawić jako 2 · (- 3). Następnie przepisujemy podane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, gdzie a \u003d 5, n \u003d - 3 i c \u003d - 32.

Obliczmy czwartą część dyskryminatora: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Wynikowa wartość jest dodatnia, co oznacza, że \u200b\u200brównanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Definiujemy je za pomocą odpowiedniej formuły źródłowej:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 lub x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 lub x \u003d - 2

Możliwe byłoby wykonanie obliczeń przy użyciu zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej uciążliwe.

Odpowiedź: x \u003d 3 1 5 lub x \u003d - 2.

Upraszczanie widoku równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować postać pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Częściej upraszczanie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu jego części przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczony zapis równania 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, otrzymany przez podzielenie obu części przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są liczbami względnie pierwsze. Następnie zwykle dziel obie strony równania przez największy wspólny dzielnik wartości bezwzględne jego współczynniki.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Wyznacz GCD wartości bezwzględnych jego współczynników: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Podzielmy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymajmy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywamy się współczynników ułamkowych. W tym przypadku pomnóż przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jej współczynników. Na przykład, jeśli każda część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 zostanie pomnożona przez LCM (6, 3, 1) \u003d 6, to zostanie zapisana w prostszej formie x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego składnika równania, co uzyskuje się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) obu części przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, można przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Związek między pierwiastkami i współczynnikami

Znany już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x \u003d - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania w kategoriach jego współczynników liczbowych. Na podstawie tego wzoru jesteśmy w stanie określić inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i stosowane są wzory twierdzenia Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest drugim współczynnikiem o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład za pomocą równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 można od razu określić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.

Możesz również znaleźć szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Ten temat może początkowo wydawać się zniechęcający ze względu na wiele trudnych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie rekordy, ale także korzenie znajdują się dzięki dyskryminatorowi. W sumie są trzy nowe formuły. Nie jest to łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe tylko przy częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane samodzielnie.

Widok ogólny równania kwadratowego

W tym przypadku proponuje się ich wyraźne nagranie, gdy najwyższy stopień jest zapisywany najpierw, a następnie w porządku malejącym. Często zdarzają się sytuacje, w których warunki są niezgodne. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w kolejności malejącej według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy notację. Przedstawiono je w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te oznaczenia, wszystkie równania kwadratowe zostaną zredukowane do następującego rekordu.

Ponadto współczynnik a ≠ 0. Niech ten wzór będzie oznaczony numerem jeden.

Po podaniu równania nie jest jasne, ile pierwiastków będzie miała odpowiedź. Ponieważ zawsze jest możliwa jedna z trzech opcji:

• rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
• odpowiedź to jedna liczba;
• równanie nie będzie w ogóle miało korzeni.

Dopóki decyzja nie dobiegnie końca, trudno zrozumieć, która z opcji wypadnie w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

Zadania mogą zawierać różne rekordy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólne równanie kwadratowe. Czasami będzie brakować pewnych terminów. To, co zostało napisane powyżej, jest kompletnym równaniem. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Te rekordy są również nazywane równaniami kwadratowymi, tylko niekompletne.

Ponadto zniknąć mogą tylko terminy, w których współczynniki „b” i „c” mogą zniknąć. Liczba „a” w żadnych okolicznościach nie może być równa zeru. Ponieważ w tym przypadku formuła zamienia się w równanie liniowe. Wzory na niekompletną postać równań będą następujące:

Tak więc istnieją tylko dwa typy, oprócz pełnych, istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie numer dwa, a druga liczba trzy.

Dyskryminacja i zależność liczby pierwiastków od jej wartości

Musisz znać tę liczbę, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można to obliczyć, niezależnie od wzoru na równanie kwadratowe. Aby obliczyć dyskryminator, musisz użyć równości zapisanej poniżej, która będzie miała liczbę cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby z różnymi znakami. Jeśli odpowiedź brzmi tak, to odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Jeśli liczba jest ujemna, pierwiastki równania kwadratowego będą nieobecne. Jeśli jest równe zero, odpowiedź będzie wynosić jeden.

Jak rozwiązuje się pełne równanie kwadratowe?

W rzeczywistości rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw musisz znaleźć osobę dyskryminującą. Po ustaleniu, że równanie kwadratowe ma pierwiastki i ich liczba jest znana, należy użyć wzorów na zmienne. Jeśli istnieją dwa pierwiastki, musisz zastosować tę formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pierwiastkowe jest dyskryminacją. Dlatego formułę można przepisać w inny sposób.

Formuła numer pięć. Ten sam rekord pokazuje, że jeśli dyskryminator jest równy zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli rozwiązanie równań kwadratowych nie zostało jeszcze opracowane, lepiej jest zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem wzorów dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ten moment nie sprawi trudności. Ale na samym początku jest zamieszanie.

Jak rozwiązuje się niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest znacznie prostsze. Nie ma nawet potrzeby stosowania dodatkowych formuł. I nie będziesz potrzebować tych, które zostały już nagrane dla dyskryminującego i nieznanego.

Najpierw rozważ niepełne równanie numer dwa. W tej równości ma wyciągnąć nieznaną wartość z nawiasu i rozwiązać równanie liniowe, które pozostaje w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z nich jest z konieczności równa zero, ponieważ istnieje czynnik składający się z samej zmiennej. Drugi jest uzyskiwany podczas rozwiązywania równania liniowego.

Niekompletne równanie numer trzy można rozwiązać, przenosząc liczbę z lewej strony równania na prawo. Następnie musisz podzielić przez współczynnik w obliczu nieznanego. Pozostaje tylko wyodrębnić pierwiastek kwadratowy i pamiętaj, aby zapisać go dwukrotnie z przeciwnymi znakami.

Następnie napisano kilka czynności, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć nieostrożnych błędów. Te niedociągnięcia są przyczyną słabych ocen podczas studiowania szerokiego tematu ” Równania kwadratowe (8 klasa) ”. Następnie działania te nie będą musiały być stale wykonywane. Ponieważ pojawi się stabilna umiejętność.

• Najpierw musisz napisać równanie w standardowej formie. Oznacza to, że najpierw człon o najwyższym stopniu zmiennej, a następnie - bez stopnia i ostatni - po prostu liczba.

• Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującego, polegającą na studiowaniu równań kwadratowych. Lepiej się go pozbyć. W tym celu całą równość należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie terminy zmienią swój znak na przeciwny.

• Zaleca się pozbywanie się frakcji w ten sam sposób. Po prostu pomnóż równanie przez odpowiedni współczynnik, aby usunąć mianowniki.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Pierwsze równanie: x 2 - 7x \u003d 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je tak, jak opisano dla wzoru numer dwa.

Po wyjściu z nawiasów okazuje się: x (x - 7) \u003d 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 \u003d 0. Drugi zostanie znaleziony z równania liniowego: x - 7 \u003d 0. Łatwo zauważyć, że x 2 \u003d 7.

Drugie równanie: 5x 2 + 30 \u003d 0. Ponownie niekompletne. Tylko to jest rozwiązane zgodnie z opisem dla trzeciego wzoru.

Po przeniesieniu 30 na prawą stronę równości: 5x 2 \u003d 30. Teraz musisz podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 \u003d 6. Odpowiedzi będą liczbami: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

Trzecie równanie: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. W dalszej części rozwiązanie równań kwadratowych rozpocznie się od przepisania ich na standardowy widok: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz pora użyć drugiego przydatna rada i pomnóż wszystko przez minus jeden. Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Zgodnie z czwartym wzorem należy obliczyć dyskryminator: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Jest to liczba dodatnia. Z tego, co zostało powiedziane powyżej, wynika, że \u200b\u200brównanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć przy użyciu piątej formuły. Okazuje się, że x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Wtedy x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x \u003d 0 jest przekształcane w to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jego dyskryminator jest równy tej wartości: -23. Ponieważ ta liczba jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie następujący wpis: „Nie ma korzeni”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 \u003d 0 należy przepisać w następujący sposób: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. Po zastosowaniu wzoru na dyskryminator otrzymujemy liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden pierwiastek, a mianowicie: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Szóste równanie (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że przed otwarciem nawiasów należy wprowadzić podobne wyrazy. W miejsce pierwszego pojawi się wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po równości pojawi się ten rekord: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu takich wyrazów równanie przybierze postać: x 2 - x \u003d 0. Przekształciło się w niekompletne ... Coś podobnego zostało już uznane za nieco wyższe. Podstawą tego będą liczby 0 i 1.

Kontynuujemy badanie tematu „ rozwiązywanie równań”. Spotkaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przeanalizujemy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, przeanalizujemy szczegółowo, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe. Następnie przechodzimy do rozwiązywania całych równań, uzyskujemy wzór na pierwiastki, zapoznajemy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy związek między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych z definicją równania kwadratowego, a także definicjami z nim związanymi. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także pełne i niekompletne równania.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe Jest równaniem formy a x 2 + b x + c \u003d 0 , gdzie x jest zmienną, a, b i c to kilka liczb, a a jest niezerowe.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Brzmiąca definicja pozwala podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 itd. Są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a, b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, albo współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem, lub współczynnikiem przy x, ic jest terminem wolnym.

Na przykład, weźmy równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik to −2, a punkt przecięcia z osią to −3. Zwróć uwagę, że gdy współczynniki b i / lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wówczas krótka postać równania kwadratowego to 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, a nie 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Należy zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki pisania takich. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y + 3 \u003d 0, współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe... W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Według ta definicja, równania kwadratowe x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 itd. - podane, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. I 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1.

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez współczynnik wiodący, możesz przejść do zredukowanego. To działanie jest równoważną transformacją, to znaczy, uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak to, nie ma pierwiastków.

Przeanalizujmy na przykładzie, jak przebiega przejście od niezredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Decyzja.

Musimy tylko podzielić obie strony pierwotnego równania przez współczynnik wiodący 3, jest on niezerowy, abyśmy mogli wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, czyli to samo, (3 x 2): 3+ (12 x): 3-7: 3 \u003d 0 i dalej (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, skąd. Otrzymaliśmy więc zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Pełne i niepełne równania kwadratowe

Definicja równania kwadratowego zawiera warunek a ≠ 0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 + b x + c \u003d 0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a \u003d 0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym postaci b x + c \u003d 0.

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0 niekompletnyjeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe Jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są niezerowe.

Nazwy te nie są przypadkowe. Wynika to jasno z następujących rozważań.

Jeśli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 + 0 x + c \u003d 0 i jest równoważne równaniu a x 2 + c \u003d 0. Jeśli c \u003d 0, to znaczy równanie kwadratowe ma postać a x 2 + b x + 0 \u003d 0, to można je przepisać jako a x 2 + b x \u003d 0. A gdy b \u003d 0 ic \u003d 0, otrzymujemy równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0. Wynikowe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani terminu ze zmienną x, ani terminu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 + x + 1 \u003d 0 i −2 x 2 −5 x + 0,2 \u003d 0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 to niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że \u200b\u200btak trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 \u003d 0, odpowiadają mu współczynniki b \u003d 0 ic \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0, gdy b \u003d 0;
• i a x 2 + b x \u003d 0, gdy c \u003d 0.

Przeanalizujmy w kolejności, w jaki rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

a x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niekompletnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równaniami postaci a · x 2 \u003d 0. Równanie a · x 2 \u003d 0 jest równoważne równaniu x 2 \u003d 0, które jest otrzymywane z oryginału przez podzielenie obu jego części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. To równanie nie ma innych pierwiastków, co jest rzeczywiście wyjaśnione dla dowolnej niezerowej liczby p nierówność p 2\u003e 0, stąd wynika, że \u200b\u200bdla p ≠ 0 równość p 2 \u003d 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Tak więc niepełne równanie kwadratowe a · x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajmy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego −4 · x 2 \u003d 0. Równanie x 2 \u003d 0 jest mu równoważne, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma również unikalne zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można sformułować następująco:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Teraz rozważymy, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero i c ≠ 0, czyli równania postaci a · x 2 + c \u003d 0. Wiemy, że przeniesienie terminu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową, daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 + c \u003d 0:

• przesuń c na prawą stronę, co daje równanieax 2 \u003d −c,
• i podziel obie części przez a, otrzymamy.

Wynikowe równanie pozwala wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a \u003d 1 i c \u003d 2, to) lub dodatnia (na przykład, jeśli a \u003d −2 i c \u003d 6, to), nie jest równa zero , ponieważ według warunku c ≠ 0. Przeanalizujmy oddzielnie przypadki i.

Jeśli, to równanie nie ma korzeni. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat o dowolnej liczbie jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że kiedy, to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli, to sytuacja z korzeniami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętasz, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo zgadnąć, że liczba jest rzeczywiście podstawą równania. To równanie nie ma innych pierwiastków, co można pokazać na przykład przez zaprzeczenie. Zróbmy to.

Oznaczmy pierwiastki równania, które właśnie brzmiały jako x 1 i −x 1. Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2 różniący się od wskazanych pierwiastków x 1 i -x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków do równania zamiast x zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy, a dla x 2 mamy. Własności równości liczbowych pozwalają nam odejmować okres po członie prawdziwych równości liczbowych, więc odejmowanie odpowiednich części równości daje x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Własności akcji z liczbami pozwalają przepisać wynikową równość na (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Dlatego z uzyskanej równości wynika, że \u200b\u200bx 1 - x 2 \u003d 0 i / lub x 1 + x 2 \u003d 0, czyli to samo, x 2 \u003d x 1 i / lub x 2 \u003d −x 1. W ten sposób doszliśmy do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. Dowodzi to, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i.

Podsumujmy informacje dotyczące tej pozycji. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 + c \u003d 0 jest równoważne równaniu, które

• nie ma korzeni, jeśli
• ma dwa korzenie i, jeśli.

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a · x 2 + c \u003d 0.

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 + 7 \u003d 0. Po przeniesieniu terminu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 · x 2 \u003d −7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, dochodzimy do. Ponieważ po prawej stronie znajduje się liczba ujemna, to równanie nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niepełne równanie kwadratowe 9 · x 2 + 7 \u003d 0 nie ma pierwiastków.

Rozwiąż inne niepełne równanie kwadratowe −x 2 + 9 \u003d 0. Przesuń dziewiątkę w prawo: −x 2 \u003d −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 \u003d 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub. Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 + 9 \u003d 0 ma dwa pierwiastki x \u003d 3 lub x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niekompletnych równań kwadratowych dla c \u003d 0. Niepełne równania kwadratowe w postaci a x 2 + b x \u003d 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji... Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy rozliczyć wspólny czynnik x. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x · (a · x + b) \u003d 0. A to równanie jest równoważne zbiorem dwóch równań x \u003d 0 i a x + b \u003d 0, z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x \u003d −b / a.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a x 2 + b x \u003d 0 ma dwa pierwiastki x \u003d 0 i x \u003d −b / a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Decyzja.

Usunięcie x z nawiasów daje równanie. Odpowiada dwóm równaniom x \u003d 0 i. Rozwiązujemy wynikowe równanie liniowe: i po podzieleniu liczby mieszanej przez zwykły ułamek znajdujemy. Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x \u003d 0 i.

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko napisać:

Odpowiedź:

x \u003d 0 ,.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Istnieje wzór do rozwiązywania równań kwadratowych. Napiszmy równanie kwadratowe:, gdzie D \u003d b 2-4 a c - tak zwana kwadratowy dyskryminator... Notacja zasadniczo to oznacza.

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór na pierwiastek i jak jest on stosowany podczas znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zrozummy to.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Załóżmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0. Wykonajmy równoważne przekształcenia:

• Możemy podzielić obie strony tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymamy zredukowane równanie kwadratowe.
• Teraz wybierz cały kwadrat po jego lewej stronie: Następnie równanie przyjmie postać.
• Na tym etapie możliwe jest przeniesienie dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem, jaki mamy.
• Przekształcamy również wyrażenie po prawej stronie:

W rezultacie dochodzimy do równania, które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a x 2 + b x + c \u003d 0.

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, gdy je analizowaliśmy. To pozwala nam wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

• jeśli, to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
• jeśli, to równanie ma postać, stąd widoczny jest jego jedyny pierwiastek;
• jeśli, to lub, który jest taki sam lub, to znaczy, równanie ma dwa pierwiastki.

Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a tym samym pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określany przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 · a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4 · a · c. Wyrażenie b 2 −4 a c zostało wywołane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą re... Stąd istota dyskryminatora jest jasna - z jego wartości i znaku można wywnioskować, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracając do równania, przepisujemy je używając notacji dyskryminacyjnej: I wyciągamy wnioski:

• jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jeśli D \u003d 0, to równanie to ma pojedynczy pierwiastek;
• wreszcie, jeśli D\u003e 0, to równanie ma dwa pierwiastki lub, które dzięki temu można przepisać na lub, a po rozszerzeniu i zredukowaniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy.

Więc wyprowadziliśmy wzory na pierwiastki równania kwadratowego, mają one postać, w której dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D \u003d b 2 −4 · a · c.

Z ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zeru, obie formuły podają tę samą wartość pierwiastkową odpowiadającą unikalnemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A z dyskryminatorem ujemnym, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyodrębnieniem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyciąga nas z pudełka i program nauczania... W przypadku dyskryminatora ujemnego równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych wzorów korzeni, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem wzorów na pierwiastki

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek, za pomocą którego można obliczyć ich wartości. Ale chodzi bardziej o znajdowanie złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie mówimy o złożonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie można wywnioskować, że równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków), a dopiero potem obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać rozwiązywanie równań kwadratowych... Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

• korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D \u003d b 2 −4 · a · c obliczyć jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, jeśli dyskryminator jest ujemny;
• obliczyć jedyny pierwiastek równania według wzoru, jeśli D \u003d 0;
• znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego za pomocą wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj tylko zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, można również użyć formuły, która da taką samą wartość jak.

Możesz przejść do przykładów wykorzystania algorytmu do rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Mając do czynienia z ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Decyzja.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a \u003d 1, b \u003d 2 ic \u003d −6. Zgodnie z algorytmem najpierw należy obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminatora, który mamy D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Ponieważ 28\u003e 0, to znaczy dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdujemy je według wzoru na pierwiastek, otrzymujemy, tutaj możesz uprościć wyrażenia uzyskane przez wykonanie rozróżniając znak korzenia z późniejszą redukcją frakcji:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Decyzja.

Rozpoczynamy od znalezienia dyskryminatora: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako, to znaczy

Odpowiedź:

x \u003d 3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemną dyskryminacją.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Decyzja.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a \u003d 5, b \u003d 6 ic \u003d 2. Zastępując te wartości formułą dyskryminacyjną, mamy D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych korzeni.

Jeśli chcesz wskazać złożone pierwiastki, stosujemy dobrze znany wzór na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie są następujące:

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli dyskryminator równania kwadratowego jest ujemny, to w szkole zwykle natychmiast zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych korzeni i nie znaleziono złożonych korzeni.

Wzór na pierwiastek nawet dla drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D \u003d b 2-4 a ln5 \u003d 2 7 ln5). Wyjmijmy to.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Znajdźmy jego korzenie za pomocą znanego nam wzoru. Aby to zrobić, oblicz dyskryminację D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), a następnie użyj formuły głównej:

Oznaczmy wyrażenie n 2 - a · c jako D 1 (czasami jest oznaczane przez D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 \u003d n 2 - a · c.

Łatwo zauważyć, że D \u003d 4 · D 1, czyli D 1 \u003d D / 4. Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest jasne, że znak D 1 jest taki sam jak znak D. Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

• Oblicz D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jeśli D 1 \u003d 0, oblicz jedyny pierwiastek równania według wzoru;
• Jeśli D 1\u003e 0, znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki według wzoru.

Rozważmy rozwiązanie przykładu wykorzystującego wzór pierwiastka uzyskany w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

Decyzja.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2 · (−3). Oznacza to, że możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, tutaj a \u003d 5, n \u003d −3 ic \u003d −32, i obliczyć czwartą część dyskryminatora: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa prawdziwe pierwiastki. Znajdźmy je za pomocą odpowiedniej formuły głównej:

Zauważ, że można było użyć zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku należałoby wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Upraszczanie widoku równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania”? Zgadzam się, że z punktu widzenia obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 niż 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0.

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego stron przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100x2 −400x - 600 \u003d 0, dzieląc obie strony przez 100.

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są. W tym przypadku obie strony równania są zwykle dzielone przez bezwzględne wartości jego współczynników. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. wartości bezwzględne jej współczynników: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2-7 x + 8 \u003d 0.

Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się za pomocą mianowników jego współczynników. Na przykład, jeśli obie strony równania kwadratowego zostaną pomnożone przez LCM (6, 3, 1) \u003d 6, to przyjmie prostszą postać x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy wiodącym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład, zwykle z równania kwadratowego −2x2 −3x + 7 \u003d 0 przechodzi się do rozwiązania 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w kategoriach jego współczynników. Na podstawie wzoru na pierwiastek można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie wzory pochodzą z twierdzenia Viety o postaci i. W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy wolnemu członowi. Na przykład w postaci równania kwadratowego 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków to 22/3.

Korzystając z już napisanych wzorów, możesz uzyskać szereg innych zależności między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego poprzez jego współczynniki:

Lista referencji.

• Algebra: badanie. za 8 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Telyakovsky. - 16th ed. - M .: Edukacja, 2008. - 271 str. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. Klasa 8. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół wyższych / A. G. Mordkovich. - 11 wyd., Skasowane. - M .: Mnemozina, 2009. - 215 str.: Chory. ISBN 978-5-346-01155-2 .Linki zewnętrzne