Układy równań z parametrem. Układy równań z parametrem Jak znaleźć wartość parametru

1. Systemy równania liniowe z parametrem

Układy równań liniowych z parametrem rozwiązuje się tymi samymi podstawowymi metodami, co konwencjonalne układy równań: metodą podstawienia, metodą dodawania równań i metodą graficzną. Znajomość graficznej interpretacji układów liniowych ułatwia odpowiedź na pytanie o liczbę pierwiastków i ich istnienie.

Przykład 1.

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań nie ma rozwiązań.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y \u003d 2.

Decyzja.

Rozważmy kilka sposobów rozwiązania tego zadania.

1 sposób. Używamy własności: system nie ma rozwiązań, jeśli stosunek współczynników przed x jest równy stosunkowi współczynników przed y, ale nie jest równy stosunkowi wyrażeń wolnych (a / a 1 \u003d b / b 1 ≠ c / c 1). Następnie mamy:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 lub system

(a 2 - 3 \u003d 1,
(a ≠ 2.

Zatem z pierwszego równania a 2 \u003d 4, biorąc pod uwagę warunek, że a ≠ 2, otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: a \u003d -2.

Metoda 2.Rozwiązujemy metodą substytucyjną.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x \u003d 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x \u003d 2 - y.

Po umieszczeniu wspólnego czynnika y w pierwszym równaniu poza nawiasami, otrzymujemy:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x \u003d 2 - y.

To znaczy, system nie ma rozwiązań, jeśli pierwsze równanie nie ma rozwiązań

(a 2 - 4 \u003d 0,
(a - 2 ≠ 0.

Oczywiście a \u003d ± 2, ale biorąc pod uwagę drugi warunek, odpowiedź jest tylko odpowiedzią z minusem.

Odpowiedź: a \u003d -2.

Przykład 2.

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla którego układ równań ma nieskończony zbiór rozwiązań.

(8x + ay \u003d 2,
(topór + 2y \u003d 1.

Decyzja.

Z własności, jeśli stosunek współczynników przy x i y jest taki sam i jest równy stosunkowi wolnych składników układu, to ma nieskończony zbiór rozwiązań (tj. A / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Dlatego 8 / a \u003d a / 2 \u003d 2/1. Rozwiązując każde z otrzymanych równań, okazuje się, że a \u003d 4 - odpowiedź w tym przykładzie.

Odpowiedź: a \u003d 4.

2. Układy równań wymiernych z parametrem

Przykład 3.

(3 | x | + y \u003d 2,
(| x | + 2y \u003d a.

Decyzja.

Pomnóż pierwsze równanie układu przez 2:

(6 | x | + 2y \u003d 4,
(| x | + 2y \u003d a.

Odejmijmy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy 5 | x | \u003d 4 - a. To równanie będzie miało unikalne rozwiązanie dla a \u003d 4. W innych przypadkach to równanie będzie miało dwa rozwiązania (dla a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpowiedź: a \u003d 4.

Przykład 4.

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma unikalne rozwiązanie.

(x + y \u003d a,
(y - x 2 \u003d 1.

Decyzja.

Rozwiążemy ten system metodą graficzną. Zatem wykres drugiego równania układu jest parabolą podniesioną wzdłuż osi Oy o jeden segment jednostkowy. Pierwsze równanie definiuje zbiór prostych równoległych do prostej y \u003d -x (obrazek 1)... Rysunek wyraźnie pokazuje, że układ ma rozwiązanie, jeśli linia y \u003d -x + a jest styczna do paraboli w punkcie o współrzędnych (-0,5; 1,25). Zastępując te współrzędne w równaniu linią prostą zamiast x i y, otrzymujemy wartość parametru a:

1,25 \u003d 0,5 + a;

Odpowiedź: a \u003d 0,75.

Przykład 5.

Korzystając z metody substytucyjnej, dowiedz się, przy jakiej wartości parametru a system ma unikalne rozwiązanie.

(topór - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2) y \u003d 2.

Decyzja.

Wyrażamy y z pierwszego równania i podstawiamy je do drugiego:

(y \u003d ax - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) \u003d 2.

Doprowadźmy drugie równanie do postaci kx \u003d b, które będzie miało unikalne rozwiązanie dla k ≠ 0. Mamy:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Kwadratowy trójmian a 2 + 3a + 2 można przedstawić jako iloczyn nawiasów

(a + 2) (a + 1), a po lewej wyjmujemy x poza nawiasami:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Oczywiście 2 + 3a nie powinno być równe zero, dlatego

a 2 + 3a ≠ 0, a (a + 3) ≠ 0, a zatem a ≠ 0 i ≠ -3.

Odpowiedź:a ≠ 0; ≠ -3.

Przykład 6.

Korzystając z metody rozwiązania graficznego, określ przy jakiej wartości parametru a system ma unikalne rozwiązanie.

(x 2 + y 2 \u003d 9,
(y - | x | \u003d a.

Decyzja.

Na podstawie warunku budujemy okrąg ze środkiem na początku i promieniem 3 segmentów jednostkowych, to on jest określony przez pierwsze równanie układu

x 2 + y 2 \u003d 9. Drugie równanie układu (y \u003d | x | + a) to linia przerywana. Przez rysunek 2 rozważ wszystkie możliwe przypadki jego lokalizacji względem koła. Łatwo zauważyć, że a \u003d 3.

Odpowiedź: a \u003d 3.

Wciąż masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązać układy równań?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strona, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału, wymagany jest link do źródła.

1. Problem.
Przy jakich wartościach parametru za równanie ( za - 1)x 2 + 2x + za - 1 \u003d 0 ma dokładnie jeden pierwiastek?

1. Rozwiązanie.
Kiedy za \u003d 1 równanie ma postać 2 x \u003d 0 i oczywiście ma jeden pierwiastek x \u003d 0. Jeśli za Nr 1, to równanie to jest kwadratowe i ma pojedynczy pierwiastek dla tych wartości parametru, dla których dyskryminator trójmianu kwadratowego wynosi zero. Przyrównując dyskryminator do zera, otrzymujemy równanie dla parametru za 4za 2 - 8za \u003d 0, skąd za \u003d 0 lub za = 2.

1. Odpowiedź:równanie ma pojedynczy pierwiastek w za O (0; 1; 2).

2. Zadanie.
Znajdź wszystkie wartości parametrów zadla których równanie ma dwa różne pierwiastki x 2 +4topór+8za+3 = 0.
2. Rozwiązanie.
Równanie x 2 +4topór+8za+3 \u003d 0 ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy re = 16za 2 -4(8za+3)\u003e 0. Otrzymujemy (po redukcji o współczynnik 4) 4 za 2 -8za-3\u003e 0, skąd

2. Odpowiedź:

za O (-Ґ; 1 -

C 7 2

) ORAZ (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Wyzwanie.
Wiadomo, że
fa 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Wykreśl funkcję fa 1 (x) w za = 1.
b) W jakiej wartości za wykresy funkcyjne fa 1 (x) i fa 2 (x) mają jeden wspólny punkt?

3. Rozwiązanie.
3.a. Zmieniamy fa 1 (x) w następujący sposób
Wykres tej funkcji w za \u003d 1 pokazano na rysunku po prawej stronie.
3.b. Zauważ od razu, że wykresy funkcji y = kx+b i y = topór 2 +bx+do (za Nr 0) przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe kx+b = topór 2 +bx+do ma jeden root. Korzystanie z widoku fa 1 z 3.a, utożsamiamy dyskryminator równania za = 6x-x 2-6 do zera. Z równania 36-24-4 za \u003d 0 otrzymujemy za \u003d 3. Robiąc to samo z równaniem 2 x-za = 6x-x 2-6 znajdź za \u003d 2. Łatwo jest zweryfikować, czy te wartości parametru spełniają warunki problemu. Odpowiedź: za \u003d 2 lub za = 3.

4. Wyzwanie.
Znajdź wszystkie wartości zadla których zestaw rozwiązań nierówności x 2 -2topór-3za 0 zawiera segment.

4. Rozwiązanie.
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli fa(x) = x 2 -2topór-3za równa się x 0 = za... Z właściwości funkcji kwadratowej warunek fa(x) 0 w przedziale jest równoważne z zestawem trzech systemów
ma dokładnie dwa rozwiązania?

5. Rozwiązanie.
Przepisujemy to równanie jako x 2 + (2za-2)x - 3za+7 \u003d 0. To jest równanie kwadratowe, ma dokładnie dwa rozwiązania, jeśli jego dyskryminator jest większy od zera. Obliczając dyskryminator, okazuje się, że warunkiem obecności dokładnie dwóch pierwiastków jest spełnienie się nierówności za 2 +za-6\u003e 0. Znajdujemy rozwiązanie nierówności za < -3 или za \u003e 2. Pierwszą z nierówności jest oczywiście rozwiązanie w liczby naturalne nie ma, a najmniej naturalnym rozwiązaniem drugiego jest 3.

5. Odpowiedź: 3.

6. Problem (10 stopni)
Znajdź wszystkie wartości zana którym wykres funkcji lub, po oczywistych przekształceniach, za-2 = | 2-za| ... Ostatnie równanie jest równoważne nierówności za i 2.

6. Odpowiedź: za Gdzie \\ - zmienne, \\ - parametr;

\\ [y \u003d kx + b, \\] gdzie \\ - zmienne, \\ - parametr;

\\ [ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\] gdzie \\ to zmienna, \\ [a, b, c \\] to parametr.

Rozwiązanie równania z parametrem oznacza z reguły rozwiązanie nieskończonej liczby równań.

Jednak postępując zgodnie z określonym algorytmem, możesz łatwo rozwiązać następujące równania:

1. Określić wartości „kontrolne” parametru.

2. Rozwiąż pierwotne równanie dla [\\ x \\] z wartościami parametrów zdefiniowanymi w pierwszym akapicie.

3. Rozwiąż pierwotne równanie dla [\\ x \\] z wartościami parametrów różniącymi się od tych wybranych w pierwszym akapicie.

Powiedzmy, że podane jest następujące równanie:

\\ [\\ mid 6 - x \\ mid \u003d a. \\]

Po przeanalizowaniu wstępnych danych można zauważyć, że a \\ [\\ ge 0. \\]

Zgodnie z regułą modułu \\ express \\

Odpowiedź: \\ gdzie \\

Gdzie można rozwiązać równanie z parametrem w trybie online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej https: // site. Darmowy solwer online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solwera. Możesz również obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. Jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Dla jakich wartości parametru $ a $ nierówność $ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1\u003e 0 $ ma co najmniej jedno rozwiązanie?

Decyzja

Zmniejszmy tę nierówność do dodatniego współczynnika dla $ x ^ 2 $:

$ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1\u003e 0 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad x ^ 2 - (a + 2) x + 8a + 1< 0 .$

Obliczmy dyskryminator: $ D \u003d (a + 2) ^ 2 - 4 (8a + 1) \u003d a ^ 2 + 4a + 4 - 32a - 4 \u003d a ^ 2 - 28a $. Aby ta nierówność miała rozwiązanie, konieczne jest, aby co najmniej jeden punkt paraboli leżał poniżej osi x $. Ponieważ gałęzie paraboli są skierowane w górę, konieczne jest, aby kwadratowy trójmian po lewej stronie nierówności miał dwa pierwiastki, to znaczy, że jego wyróżnik jest dodatni. Dochodzimy do potrzeby rozwiązania nierówności kwadratowej $ a ^ 2 - 28a\u003e 0 $. Trójmian kwadratowy $ a ^ 2 - 28a $ ma dwa pierwiastki: $ a_1 \u003d 0 $, $ a_2 \u003d 28 $. Dlatego nierówność $ a ^ 2 - 28a\u003e 0 $ jest spełniona przez przedziały $ a \\ in (- \\ infty; 0) \\ cup (28; + \\ infty) $.

Odpowiedź. $ a \\ in (- \\ infty; 0) \\ cup (28; + \\ infty) $.

Dla jakich wartości parametru $ a $ równanie $ (a-2) x ^ 2-2ax + a + 3 \u003d 0 $ ma co najmniej jeden pierwiastek, a wszystkie pierwiastki są dodatnie?

Decyzja

Niech $ a \u003d 2 $. Wtedy równanie przyjmuje postać $ () - 4x +5 \u003d 0 $, skąd otrzymujemy, że $ x \u003d \\ dfrac (5) (4) $ jest dodatnim pierwiastkiem.

Teraz niech $ a \\ ne 2 $. Okazuje się, że jest to równanie kwadratowe. Najpierw ustalmy, dla jakich wartości parametru $ a $ to równanie ma pierwiastki. Jego cecha dyskryminująca musi być nieujemna. To znaczy:

$ D \u003d 4a ^ 2 - 4 (a-2) (a + 3) \u003d () -4a + 24 \\ geqslant 0 \\ Leftrightarrow a \\ leqslant 6. $

Warunkiem jest, że pierwiastki muszą być dodatnie, dlatego z twierdzenia Vieta otrzymujemy układ:

$ \\ begin (cases) x_1 + x_2 \u003d \\ dfrac (2a) (a - 2)\u003e 0, \\\\ x_1x_2 \u003d \\ dfrac (a + 3) (a - 2)\u003e 0, \\\\ a \\ leqslant 6 \\ end (przypadki) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ begin (cases) a \\ in (- \\ infty; 0) \\ cup (2; + \\ infty), \\\\ a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup ( 2; + \\ infty), \\\\ a \\ in (- \\ infty; 6] \\ end (cases) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup (2; 6]. $

Łącząc odpowiedzi otrzymujemy wymagany zbiór: $ a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup $.

Odpowiedź. $ a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup $.

Dla jakich wartości parametru $ a $ nierówność $ ax ^ 2 + 4ax + 5 \\ leqslant 0 $ nie ma rozwiązań?

Decyzja

1. Jeśli $ a \u003d 0 $, to nierówność ta degeneruje się do nierówności 5 $ \\ leqslant 0 $, która nie ma rozwiązań. Dlatego wartość $ a \u003d 0 $ spełnia warunek problemu.
2. Jeśli $ a\u003e 0 $, to wykres trójmianu kwadratowego po lewej stronie nierówności jest parabolą z gałęziami skierowanymi do góry. Oblicz $ \\ dfrac (D) (4) \u003d 4a ^ 2 - 5a $. Nierówność nie ma rozwiązania, jeśli parabola znajduje się powyżej osi odciętych, to znaczy, gdy kwadratowy trójmian nie ma pierwiastków ($ D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
3. Jeśli $ a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Odpowiedź. $ a \\ in \\ left $ leży między pierwiastkami, więc muszą być dwa pierwiastki (stąd $ a \\ ne 0 $). Jeśli gałęzie paraboli $ y \u003d ax ^ 2 + (a + 3) x - 3a $ są skierowane w górę, to $ y (-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0 $ i $ y (1)\u003e 0 $.

Przypadek I. Niech $ a\u003e 0 $. Następnie

$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) y (-1) \u003d a- (a + 3) -3a \u003d -3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \\ end (tablica) \\ right. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ left \\ (\\ begin (array) (l) a\u003e -1 \\\\ a\u003e 3 \\\\ a\u003e 0 \\ end (array) \\ right. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a\u003e 3. $

Oznacza to, że w tym przypadku okazuje się, że wszystkie $ a\u003e 3 $ są odpowiednie.

Przypadek II. Niech $ a< 0$. Тогда

$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) y (-1) \u003d a- (a + 3) -3a \u003d -3a-3\u003e 0 \\\\ y (1) \u003d a + (a + 3) -3a \u003d -a + 3\u003e 0 \\\\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

Oznacza to, że w tym przypadku okazuje się, że wszystkie $ a< -1$.

Odpowiedź. $ a \\ in (- \\ infty; -1) \\ cup (3; + \\ infty) $

Znajdź wszystkie wartości parametru $ a $, dla każdego z których układ równań

$ \\ begin (przypadki) x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 2a, \\\\ 2xy \u003d 2a-1 \\ end (przypadki) $

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Decyzja

Odejmij drugą od pierwszej: $ (x-y) ^ 2 \u003d 1 $. Następnie

$ \\ left [\\ begin (array) (l) x-y \u003d 1, \\\\ x-y \u003d -1 \\ end (array) \\ right. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ left [\\ begin (array) (l) x \u003d y + 1, \\\\ x \u003d y-1. \\ end (tablica) \\ right. $

Podstawiając otrzymane wyrażenia do drugiego równania układu, otrzymujemy dwa równania kwadratowe: $ 2y ^ 2 + 2y - 2a + 1 \u003d 0 $ i $ 2y ^ 2 - 2y - 2a + 1 \u003d 0 $. Dyskryminatorem każdego z nich jest $ D \u003d 16a-4 $.

Zauważ, że nie może się zdarzyć, że para pierwiastków pierwszego z równań kwadratowych pokrywa się z parą pierwiastków drugiego równania kwadratowego, ponieważ suma pierwiastków pierwszego równa się -1 $, a drugiego 1.

Oznacza to, że każde z tych równań musi mieć jeden pierwiastek, wtedy oryginalny układ będzie miał dwa rozwiązania. Oznacza to, że $ D \u003d 16a - 4 \u003d 0 $.

Odpowiedź. $ a \u003d \\ dfrac (1) (4) $

Znajdź wszystkie wartości parametru $ a $, dla każdego z których równanie $ 4x- | 3x- | x + a || \u003d 9 | x-3 | $ ma dwa pierwiastki.

Decyzja

Przepiszmy równanie jako:

9 $ | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || \u003d 0, $

Rozważmy funkcję $ f (x) \u003d 9 | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || $.

Dla $ x \\ geqslant 3 $ pierwszy moduł jest rozszerzany o znak plus, a funkcja wygląda następująco: $ f (x) \u003d 5x-27 + | 3x- | x + a || $. Oczywiście, każde rozszerzenie modułów ostatecznie spowoduje powstanie funkcji liniowej o współczynniku $ k \\ geqslant 5-3-1 \u003d 1\u003e 0 $, to znaczy, że funkcja ta rośnie w nieskończoność w tym przedziale.

Rozważ teraz przedział $ x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

Mamy więc, że $ x \u003d 3 $ to minimalny punkt tej funkcji. Oznacza to, że aby pierwotne równanie miało dwa rozwiązania, wartość funkcji w punkcie minimalnym musi być mniejsza od zera. Oznacza to, że nierówność zachodzi: $ f (3)<0$.

12- | 9- | 3 + a ||\u003e 0 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad | 9- | 3 + a ||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$ \\ Leftrightarrow \\ quad | 3 + a |< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Odpowiedź. $ a \\ in (-24; 18) $

Dla jakich wartości parametru $ a $ równanie $ 5 ^ (2x) -3 \\ cdot 5 ^ x + a-1 \u003d 0 $ ma pojedynczy pierwiastek?

Decyzja

Dokonajmy zmiany: $ t \u003d 5 ^ x\u003e 0 $. Wtedy pierwotne równanie przyjmuje postać równania kwadratowego: $ t ^ 2-3t + a-1 \u003d 0 $. Oryginalne równanie będzie miało pojedynczy pierwiastek, jeśli to równanie ma jeden dodatni pierwiastek lub dwa, z których jeden jest dodatni, a drugi ujemny.

Dyskryminator równania to: $ D \u003d 13-4a $. To równanie będzie miało jeden pierwiastek, jeśli wynikowy dyskryminator jest równy zero, czyli dla $ a \u003d \\ dfrac (13) (4) $. Ponadto pierwiastek $ t \u003d \\ dfrac (3) (2)\u003e 0 $, więc podana wartość $ a $ jest odpowiednia.

Jeśli istnieją dwa pierwiastki, z których jeden jest dodatni, a drugi niedodatni, to $ D \u003d 13-4a\u003e 0 $, $ x_1 + x_2 \u003d 3\u003e 0 $ i $ x_1x_2 \u003d a - 1 \\ leqslant 0 $.

To znaczy $ a \\ in (- \\ infty; 1] $

Odpowiedź. $ a \\ in (- \\ infty; 1] \\ cup \\ left \\ (\\ dfrac (13) (4) \\ right \\) $

Znajdź wszystkie wartości parametru $ a $, dla których system

$ \\ begin (cases) \\ log_a y \u003d (x ^ 2-2x) ^ 2, \\\\ x ^ 2 + y \u003d 2x \\ end (sprawy) $

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Decyzja

Przekształcamy system do postaci:

$ \\ begin (cases) \\ log_a y \u003d (2x-x ^ 2) ^ 2, \\\\ y \u003d 2x-x ^ 2. \\ koniec (przypadki) $

Ponieważ parametr $ a $ znajduje się u podstawy logarytmu, nałożone są na niego następujące ograniczenia: $ a\u003e 0 $, $ a \\ ne 1 $. Ponieważ zmienna $ y $ jest argumentem logarytmu, to $ y\u003e 0 $.

Po połączeniu obu równań układu przechodzimy do równania: $ \\ log_a y \u003d y ^ 2 $. W zależności od tego, jakie wartości przyjmuje parametr $ a $, możliwe są dwa przypadki:

1. Niech 0 $< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y > 0 $. Z zachowania wykresów wynika, że \u200b\u200bpierwiastek równania jest jeden, podczas gdy jest mniejszy niż 1. Drugie równanie układu i całego układu mają zatem dwa rozwiązania, ze względu na fakt, że dyskryminator równania $ x ^ 2-2x + y \u003d 0 $ przy 0 $
2. Teraz niech $ a\u003e 1 $. W tym przypadku funkcja $ f (y) \u003d \\ log_a y \\ leqslant 0 $ dla $ y< 1$, а функция $g(y) = y^2 > 0 $ za te same $ y $. Oznacza to, że jeśli istnieją rozwiązania, to tylko dla $ y\u003e 1 $, ale drugiego równania układu rozwiązań nie będzie, ponieważ dyskryminator równania $ x ^ 2 - 2x + y \u003d 0 $ dla $ y\u003e 1 $ jest ujemny.

Odpowiedź. $ a \\ in (0; 1) $

Rozważmy przypadek, gdy $ a\u003e 1 $. Ponieważ dla dużych wartości modulo $ t $ wykres funkcji $ f (t) \u003d a ^ t $ leży powyżej linii prostej $ g (t) \u003d t $, to jedynym punktem wspólnym może być tylko punkt styczności.

Niech $ t_0 $ będzie punktem styczności. W tym miejscu pochodna do $ f (t) \u003d a ^ t $ jest równa jedynce (styczna kąta nachylenia stycznej), dodatkowo wartości obu funkcji pokrywają się, czyli układ zachodzi:

$ \\ begin (cases) a ^ (t_0) \\ ln a \u003d 1, \\\\ a ^ (t_0) \u003d t_0 \\ end (cases) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ begin (cases) a ^ (t_0) \u003d \\ dfrac (1) (\\ ln a), \\\\ a ^ (\\ tau) \u003d \\ tau \\ end (przypadki) $

Skąd $ t_0 \u003d \\ dfrac (1) (\\ ln a) $.

$ a ^ (\\ frac (1) (\\ ln a)) \\ ln a \u003d 1 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a ^ (\\ log_a e) \u003d \\ frac (1) (\\ ln a) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a \u003d e ^ (\\ frac (1) (e)). $

Co więcej, prosta i funkcja wykładnicza oczywiście nie mają innych punktów wspólnych.

Odpowiedź. $ a \\ in (0; 1] \\ cup \\ left \\ (e ^ (e ^ (- 1)) \\ right \\) $

W ostatnich latach na egzaminach wstępnych, w końcowym teście w postaci USE, proponowano problemy z parametrami. Zadania te pozwalają zdiagnozować poziom matematycznego i przede wszystkim logicznego myślenia kandydatów, umiejętność prowadzenia działalności naukowej, a także po prostu znajomość głównych działów szkolnego kursu matematyki.

Spojrzenie na parametr jako na zmienną równą jest odzwierciedlone w metodach graficznych. Rzeczywiście, skoro parametr ma „równe prawa” ze zmienną, to oczywiście może „wybrać” własną oś współrzędnych. W ten sposób pojawia się płaszczyzna współrzędnych. Odrzucenie tradycyjnego wyboru liter i wyznaczenia osi określa jedną z najskuteczniejszych metod rozwiązywania problemów z parametrami - „Metoda powierzchniowa”. Wraz z innymi metodami rozwiązywania problemów z parametrami wprowadzam moich studentów w techniki graficzne, zwracając uwagę na to, jak rozpoznać „takie” problemy i jak wygląda proces ich rozwiązywania.

Najczęstszymi znakami, które pomogą Ci rozpoznać zadania odpowiednie dla rozważanej metody, są:

Problem 1. „Dla jakich wartości parametru nierówność dotyczy wszystkich?”

Decyzja. 1). Rozwińmy moduły uwzględniając znak wyrażenia submodułu:

2). Zapisujemy wszystkie układy powstałych nierówności:

i)

b) w)

re)

3). Pokażmy zbiór punktów spełniających każdy układ nierówności (Rys. 1a).

4). Łącząc kreskowaniem wszystkie obszary pokazane na rysunku, można zauważyć, że punkty leżące wewnątrz paraboli nie spełniają nierówności.

Rysunek pokazuje, że dla dowolnej wartości parametru można znaleźć obszar, w którym leżą punkty, których współrzędne spełniają pierwotną nierówność. Nierówność dotyczy wszystkich, jeśli. Odpowiedź: o godz.

Rozważany przykład jest „problemem otwartym” - można rozważyć rozwiązanie całej klasy problemów bez zmiany wyrażenia rozważanego w przykładzie , w którym trudności techniczne związane z kreśleniem zostały już przezwyciężone.

Zadanie. Dla jakich wartości parametru równanie nie ma rozwiązań? Odpowiedź: o godz.

Zadanie. Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania? Zapisz oba znalezione rozwiązania.

Odpowiedź: wtedy , ;

Następnie ; następnie , .

Zadanie. Dla jakich wartości parametru równanie ma jeden pierwiastek? Znajdź ten korzeń. Odpowiedź: kiedy.

Zadanie. Rozwiąż nierówności.

(Punkty leżące wewnątrz paraboli „działają”).

,; nie ma rozwiązań;

Zadanie 2: Znajdź wszystkie wartości parametrów i, dla każdego z nich system nierówności tworzy odcinek o długości 1 na osi liczbowej.

Decyzja. Przepiszmy oryginalny system w następujący sposób

Wszystkie rozwiązania tego układu (pary postaci) tworzą pewien obszar ograniczony parabolami i (Rysunek 1).

Oczywiście rozwiązaniem układu nierówności będzie odcinek o długości 1 dla i dla. Odpowiedź:; ...

Zadanie 3: Znajdź wszystkie wartości parametru, dla którego zbiór rozwiązań nierówności zawiera liczbę, a także zawiera dwa odcinki linii bez punktów wspólnych.

Decyzja. W rozumieniu nierówności; przepisujemy nierówność, mnożąc obie strony przez (), otrzymujemy nierówność:

, ,

(1)

Nierówność (1) jest równoważna połączeniu dwóch systemów:

(rys. 2).

Oczywiście przedział nie może zawierać odcinka długości. Oznacza to, że w przedziale znajdują się dwa rozłączne odcinki długości Jest to możliwe np. w. Odpowiedź:.

Problem 4: Znajdź wszystkie wartości parametru, dla każdej z nich zbiór rozwiązań nierówności zawiera odcinek o długości 4 i jest zawarty w pewnym odcinku o długości 7.

Decyzja. Przeprowadźmy równoważne transformacje, biorąc pod uwagę to i.

, ,

; ostatnia nierówność jest równoważna połączeniu dwóch systemów:

Pokażmy obszary, które odpowiadają tym systemom (rys. 3).

1) Bo zbiór rozwiązań jest przedziałem o długości mniejszej niż 4. Ponieważ zbiór rozwiązań jest sumą dwóch przedziałów, tylko przedział może zawierać odcinek o długości 4. Ale wtedy związek nie jest już zawarty w żadnym segmencie o długości 7. Oznacza to, że takie połączenie nie spełnia warunku.

2) zbiór rozwiązań jest interwałem. Zawiera odcinek o długości 4 tylko wtedy, gdy jego długość jest większa niż 4, tj. w. Jest zawarty w odcinku o długości 7 tylko wtedy, gdy jego długość nie jest większa niż 7, to znaczy, więc. Odpowiedź:.

Zadanie 5. Znajdź wszystkie wartości parametru, dla którego zbiór rozwiązań nierówności zawiera cyfrę 4, a także zawiera dwa rozłączne segmenty o długości 4 każdy.

Decyzja. Według warunków. Pomnóżmy obie strony nierówności przez (). Otrzymujemy równoważną nierówność, w której grupujemy wszystkie wyrazy po lewej stronie i przekształcamy je w iloczyn:

, ,

, .

Ostatnia nierówność oznacza:

1) 2)

Pokażmy obszary, które odpowiadają tym systemom (rys.4).

a) Ponieważ otrzymujemy przedział, który nie zawiera liczby 4. Albowiem otrzymujemy przedział, który również nie zawiera liczby 4.

b) Gdy otrzymamy sumę dwóch przedziałów. Niezachodzące na siebie odcinki o długości 4 mogą znajdować się tylko w interwale. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy długość interwału jest większa niż 8, czyli jeżeli. Przy takim spełniony jest również inny warunek: Odpowiedź:.

Zadanie 6. Znajdź wszystkie wartości parametru, dla którego zbiór rozwiązań nierówności zawiera odcinek o długości 2, ale nie zawiera brak długości linii 3.

Decyzja. W rozumieniu zadania mnożymy obie strony nierówności przez, grupujemy wszystkie wyrazy z lewej strony nierówności i przekształcamy w iloczyn:

, ... Ostatnia nierówność oznacza:

1) 2)

Pokażmy region, który odpowiada pierwszemu systemowi (rys. 5).

Oczywiście stan problemu jest spełniony, jeśli . Odpowiedź:.

Zadanie 7. Znajdź wszystkie wartości parametru, dla którego zbiór rozwiązań nierówności 1+ jest zawarty w pewnym odcinku o długości 1 i jednocześnie zawiera odcinek o długości 0,5.

Decyzja. 1). Wskażmy ODZ zmiennej i parametru:

2). Przepisujemy nierówność jako

, ,

(1). Nierówność (1) jest równoważna połączeniu dwóch systemów:

1)

2)

Biorąc pod uwagę ODZ rozwiązania systemów wyglądają następująco:

i) b)

(rys. 6).

i) b)

Pokażmy region odpowiadający systemowi a) (rys. 7).Odpowiedź:.

Zadanie 8. Sześć liczb tworzy rosnący postęp arytmetyczny. Pierwszy, drugi i czwarty warunek tego postępu są rozwiązaniami dla nierówności i reszta

nie są rozwiązania tej nierówności. Znajdź zbiór wszystkich możliwych wartości pierwszego terminu takich progresji.

Decyzja. I. Znajdź wszystkie rozwiązania nierówności

i). ODZ:
czyli

(w rozwiązaniu uwzględniliśmy wzrost funkcji).

b). Nierówność w DHS równoznaczne z nierównością czyli , co daje:

1).

2).

Oczywiście poprzez rozwiązanie nierówności ma wiele znaczeń .

II. Zilustrujmy drugą część problemu dotyczącego warunków wzrastającego postępu arytmetycznego rysując ( figa. 8 , gdzie jest pierwszym wyrazem, jest drugim itd.). Zauważ, że:

Albo mamy układ nierówności liniowych:

rozwiążmy to graficznie. Budujemy zarówno proste, jak i proste

To… Pierwszy, drugi i szósty termin tego postępu to rozwiązania nierówności a reszta nie jest rozwiązaniem tej nierówności. Znajdź zbiór wszystkich możliwych wartości różnicy tego progresji.