Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2020). Lekcja „Mnożenie i dzielenie potęg” Mnożenie liczb o tych samych potęgach

W poprzednim artykule wyjaśniliśmy, czym są jednomiany. W tym materiale przyjrzymy się sposobom rozwiązywania przykładów i problemów, w których są one stosowane. Rozważymy tutaj takie działania, jak odejmowanie, dodawanie, mnożenie, dzielenie jednomianów i podnoszenie ich do potęgi z naturalnym wykładnikiem. Pokażemy, jak definiuje się takie operacje, zarysujemy podstawowe zasady ich realizacji i jaki powinien być wynik. Wszystkie koncepcje teoretyczne, jak zwykle, zostaną zilustrowane przykładami problemów wraz z opisami rozwiązań.

Najwygodniej jest pracować ze standardową notacją jednomianów, dlatego wszystkie wyrażenia, które zostaną użyte w artykule, przedstawimy w standardowej formie. Jeżeli pierwotnie określono je inaczej, zaleca się najpierw doprowadzenie ich do ogólnie przyjętej formy.

Zasady dodawania i odejmowania jednomianów

Najprostsze operacje, które można wykonać na jednomianach, to odejmowanie i dodawanie. Ogólnie rzecz biorąc, wynikiem tych działań będzie wielomian (w niektórych szczególnych przypadkach możliwy jest jednomian).

Kiedy dodajemy lub odejmujemy jednomiany, najpierw zapisujemy odpowiednią sumę i różnicę w ogólnie przyjętej formie, a następnie upraszczamy powstałe wyrażenie. Jeżeli istnieją podobne terminy, należy je przytoczyć, a nawiasy należy otworzyć. Wyjaśnijmy na przykładzie.

Przykład 1

Stan : schorzenie: wykonaj dodanie jednomianów − 3 x i 2, 72 x 3 y 5 z.

Rozwiązanie

Zapiszmy sumę oryginalnych wyrażeń. Dodajmy nawiasy i wstawmy między nimi znak plus. Otrzymamy następujące informacje:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Kiedy rozwiniemy nawiasy, otrzymamy - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Jest to wielomian zapisany w postaci standardowej, który będzie wynikiem dodania tych jednomianów.

Odpowiedź:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.

Jeśli mamy trzy, cztery lub więcej terminów, czynność tę przeprowadzamy dokładnie w ten sam sposób.

Przykład 2

Stan : schorzenie: wykonaj wskazane działania na wielomianach w odpowiedniej kolejności

3 za 2 - (- 4 za do) + za 2 - 7 za 2 + 4 9 - 2 2 3 za do

Rozwiązanie

Zacznijmy od otwarcia nawiasów.

3 za 2 + 4 za do + za 2 - 7 za 2 + 4 9 - 2 2 3 za do

Widzimy, że powstałe wyrażenie można uprościć, dodając podobne terminy:

3 za 2 + 4 za do + za 2 - 7 za 2 + 4 9 - 2 2 3 za do = = (3 za 2 + za 2 - 7 za 2) + 4 za do - 2 2 3 za do + 4 9 = = - 3 za 2 + 1 1 3 za do + 4 9

Mamy wielomian, który będzie wynikiem tego działania.

Odpowiedź: 3 za 2 - (- 4 za do) + za 2 - 7 za 2 + 4 9 - 2 2 3 za do = - 3 za 2 + 1 1 3 za do + 4 9

W zasadzie możemy dodawać i odejmować dwa jednomiany, z zastrzeżeniem pewnych ograniczeń, tak że otrzymamy jednomian. Aby to zrobić, musisz spełnić pewne warunki dotyczące dodawania i odejmowanych jednomianów. Jak to się robi, powiemy w osobnym artykule.

Zasady mnożenia jednomianów

Akcja mnożenia nie nakłada żadnych ograniczeń na czynniki. Mnożone jednomiany nie muszą spełniać żadnych dodatkowych warunków, aby wynik był jednomianem.

Aby wykonać mnożenie jednomianów, wykonaj następujące kroki:

1. Zapisz poprawnie fragment.
2. Rozwiń nawiasy w wynikowym wyrażeniu.
3. Jeśli to możliwe, należy pogrupować oddzielnie czynniki zawierające te same zmienne i czynniki liczbowe.
4. Wykonaj niezbędne operacje na liczbach i zastosuj własność mnożenia potęg o tych samych podstawach do pozostałych czynników.

Zobaczmy jak to się robi w praktyce.

Przykład 3

Stan : schorzenie: pomnóż jednomiany 2 x 4 y z i - 7 16 t 2 x 2 z 11.

Rozwiązanie

Zacznijmy od skomponowania pracy.

Otwieramy w nim nawiasy i otrzymujemy:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Wszystko, co musimy zrobić, to pomnożyć liczby w pierwszym nawiasie i zastosować własność potęgi dla drugiego. W efekcie otrzymujemy co następuje:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Odpowiedź: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Jeśli nasz warunek zawiera trzy lub więcej wielomianów, mnożymy je dokładnie tym samym algorytmem. Zagadnienie mnożenia jednomianów rozważymy bardziej szczegółowo w osobnym materiale.

Zasady podnoszenia jednomianu do potęgi

Wiemy, że potęga z wykładnikiem naturalnym jest iloczynem pewnej liczby identycznych czynników. Ich liczbę wskazuje liczba na wskaźniku. Zgodnie z tą definicją podniesienie jednomianu do potęgi jest równoznaczne z pomnożeniem określonej liczby identycznych jednomianów. Zobaczmy jak to się robi.

Przykład 4

Stan : schorzenie: podnieś jednomian - 2 · a · b 4 do potęgi 3 .

Rozwiązanie

Potęgowanie możemy zastąpić mnożeniem 3 jednomianów − 2 · a · b 4 . Zapiszmy to i uzyskajmy pożądaną odpowiedź:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((- 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · za 3 · b 12

Odpowiedź:(− 2 · za · b 4) 3 = – 8 · za 3 · b 12 .

Ale co, jeśli stopień ma duży wskaźnik? Rejestrowanie dużej liczby czynników jest niewygodne. Następnie, aby rozwiązać taki problem, musimy zastosować właściwości stopnia, a mianowicie właściwość stopnia iloczynu i właściwość stopnia w stopniu.

Rozwiążmy problem, który przedstawiliśmy powyżej, stosując wskazaną metodę.

Przykład 5

Stan : schorzenie: podnieś − 2 · a · b 4 do potęgi trzeciej.

Rozwiązanie

Znając własność potęgi stopnia, możemy przystąpić do wyrażenia w postaci:

(− 2 · za · b 4) 3 = (- 2) 3 · za 3 · (b 4) 3 .

Następnie podnosimy do potęgi - 2 i stosujemy właściwość potęg do potęg:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = - 8 · za 3 · b 4 · 3 = - 8 · za 3 · b 12 .

Odpowiedź:− 2 · za · b 4 = − 8 · za 3 · b 12 .

Podnoszeniu jednomianu do potęgi poświęciliśmy także osobny artykuł.

Zasady dzielenia jednomianów

Ostatnią operacją na jednomianach, którą omówimy w tym materiale, jest dzielenie jednomianu przez jednomian. W rezultacie powinniśmy otrzymać ułamek wymierny (algebraiczny) (w niektórych przypadkach możliwe jest otrzymanie jednomianu). Od razu wyjaśnijmy, że dzielenie przez jednomian zerowy nie jest zdefiniowane, ponieważ dzielenie przez 0 nie jest zdefiniowane.

Aby dokonać dzielenia, należy zapisać wskazane jednomiany w postaci ułamka zwykłego i w miarę możliwości go skrócić.

Przykład 6

Stan : schorzenie: podziel jednomian - 9 · x 4 · y 3 · z 7 przez - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Rozwiązanie

Zacznijmy od zapisania jednomianów w postaci ułamkowej.

9 x 4 lata 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 lata 2

Ułamek ten można zmniejszyć. Po wykonaniu tej akcji otrzymamy:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Odpowiedź:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Warunki, w jakich w wyniku dzielenia jednomianów otrzymujemy jednomian, podano w osobnym artykule.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje na stopniach.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:

jestem·a n = za m + n .

2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = za n · b n · do n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n /b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

(a m) n = za m n .

Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co ostatnim razem: pomnóż jakąś liczbę normalną przez tę samą liczbę do potęgi ujemnej:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a na egzaminie nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

1. Nie zapomnij o zwykłych właściwościach stopni:

2. . Tutaj pamiętamy, że zapomnieliśmy nauczyć się tabeli stopni:

w końcu - to jest lub. Rozwiązanie zostanie znalezione automatycznie: .

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień ujemnej liczby całkowitej- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od zwykłej zasady podnoszenia potęgi do potęgi:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przegrupujmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Można sformułować następujące proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przyjrzymy się ostatniej regule, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Jeżeli zostałyby odwrócone, zastosowanie miałaby zasada 3. Ale jak? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Z ostatniej lekcji wideo dowiedzieliśmy się, że stopień pewnej podstawy to wyrażenie reprezentujące iloczyn samej podstawy, wzięty w ilości równej wykładnikowi. Przeanalizujmy teraz niektóre z najważniejszych właściwości i działań potęg.

Na przykład pomnóżmy dwie różne potęgi o tej samej podstawie:

Przedstawmy to dzieło w całości:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po obliczeniu wartości tego wyrażenia otrzymujemy liczbę 32. Z drugiej strony, jak widać na tym samym przykładzie, 32 można przedstawić jako iloczyn tej samej podstawy (dwa) wzięty 5 razy. I rzeczywiście, jeśli to policzyć, to:

Możemy więc śmiało stwierdzić, że:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ta zasada działa z powodzeniem bez względu na wskaźniki i powody. Ta właściwość mnożenia potęgi wynika z reguły, że znaczenie wyrażeń zostaje zachowane podczas przekształceń w iloczyn. Dla dowolnej podstawy a iloczyn dwóch wyrażeń (a)x i (a)y jest równy a(x + y). Innymi słowy, gdy tworzone są dowolne wyrażenia o tej samej podstawie, powstały jednomian ma stopień całkowity utworzony przez dodanie stopni pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przedstawiona reguła świetnie sprawdza się także przy mnożeniu kilku wyrażeń. Głównym warunkiem jest to, że wszyscy mają te same podstawy. Na przykład:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Niemożliwe jest dodawanie stopni, a wręcz dokonywanie jakichkolwiek wspólnych działań opartych na sile z dwoma elementami wyrażenia, jeśli ich podstawy są różne.
Jak pokazuje nasz film, ze względu na podobieństwo procesów mnożenia i dzielenia, zasady dodawania potęg w iloczynie doskonale przenoszą się na procedurę dzielenia. Rozważmy ten przykład:

Przekształćmy wyrażenie wyraz po wyrazie do jego pełnej formy i zredukujmy te same elementy w dzielnej i dzielniku:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Wynik końcowy tego przykładu nie jest już tak interesujący, ponieważ już w trakcie jego rozwiązywania jasne jest, że wartość wyrażenia jest równa kwadratowi dwóch. I to jest dwa, które otrzymuje się odejmując stopień drugiego wyrażenia od stopnia pierwszego.

Aby określić stopień ilorazu, należy odjąć stopień dzielnika od stopnia dywidendy. Reguła działa na tej samej podstawie dla wszystkich swoich wartości i wszystkich sił naturalnych. W postaci abstrakcji mamy:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Z zasady dzielenia jednakowych podstaw przez stopnie wynika definicja stopnia zerowego. Oczywiście następujące wyrażenie wygląda następująco:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Z drugiej strony, jeśli dokonamy podziału w bardziej wizualny sposób, otrzymamy:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Przy redukcji wszystkich widocznych elementów ułamka zawsze uzyskuje się wyrażenie 1/1, czyli jeden. Dlatego ogólnie przyjmuje się, że każda podstawa podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:

Niezależnie od wartości A.

Byłoby jednak absurdem, gdyby 0 (które nadal daje 0 dla dowolnego mnożenia) było w jakiś sposób równe jedności, więc wyrażenie postaci (0) 0 (zero do potęgi zerowej) po prostu nie ma sensu, a formuła ( a) 0 = 1 dodaj warunek: „jeśli a nie jest równe 0”.

Rozwiążmy ćwiczenie. Znajdźmy wartość wyrażenia:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Ponieważ podstawa jest wszędzie taka sama i równa 34, ostateczna wartość będzie miała tę samą podstawę ze stopniem (zgodnie z powyższymi zasadami):

Innymi słowy:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpowiedź: wyrażenie jest równe jeden.

Jedną z głównych cech algebry i całej matematyki jest stopień. Oczywiście w XXI wieku wszystkie obliczenia można wykonać na kalkulatorze internetowym, jednak dla rozwoju mózgu lepiej jest nauczyć się, jak to zrobić samodzielnie.

W tym artykule rozważymy najważniejsze kwestie dotyczące tej definicji. Mianowicie zrozummy, co to jest w ogóle i jakie są jego główne funkcje, jakie właściwości istnieją w matematyce.

Przyjrzyjmy się przykładom, jak wyglądają obliczenia i jakie są podstawowe wzory. Przyjrzyjmy się głównym rodzajom wielkości i tym, jak różnią się one od innych funkcji.

Rozumiemy, jak rozwiązać różne problemy za pomocą tej wielkości. Pokażemy na przykładach, jak podnieść do potęgi zerowej, irracjonalnej, ujemnej itp.

Kalkulator potęgowania online

Co to jest potęga liczby

Co oznacza wyrażenie „podnieść liczbę do potęgi”?

Potęga n liczby jest iloczynem współczynników wielkości n razy z rzędu.

Matematycznie wygląda to tak:

za n = za * za * za * …za n .

Na przykład:

• 2 3 = 2 w trzecim stopniu. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 do kroku. dwa = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 do kroku. cztery = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 w 5 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 w 4 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Poniżej znajduje się tabela kwadratów i sześcianów od 1 do 10.

Tabela stopni od 1 do 10

Poniżej znajdują się wyniki podniesienia liczb naturalnych do potęg dodatnich - „od 1 do 100”.

Ch-lo	2. ul.	Trzeci etap
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Właściwości stopni

Co jest charakterystyczne dla takiej funkcji matematycznej? Spójrzmy na podstawowe właściwości.

Naukowcy ustalili, co następuje znaki charakterystyczne dla wszystkich stopni:

• za n * za m = (a) (n+m) ;
• za n: za m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Sprawdźmy na przykładach:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Z drugiej strony 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Podobnie: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. W przeciwnym razie 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. A jeśli jest inaczej? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Jak widać zasady działają.

Ale co z z dodawaniem i odejmowaniem? To proste. Najpierw wykonuje się potęgowanie, a następnie dodawanie i odejmowanie.

Spójrzmy na przykłady:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Uwaga: reguła nie będzie obowiązywać, jeśli najpierw odejmiesz: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ale w tym przypadku musisz najpierw obliczyć dodatek, ponieważ w nawiasach znajdują się działania: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Jak produkować obliczenia w bardziej skomplikowanych przypadkach? Kolejność jest taka sama:

• jeśli są nawiasy, musisz zacząć od nich;
• następnie potęgowanie;
• następnie wykonaj operacje mnożenia i dzielenia;
• po dodaniu odejmowanie.

Istnieją specyficzne właściwości, które nie są charakterystyczne dla wszystkich stopni:

1. N-ty pierwiastek liczby a do stopnia m zostanie zapisany jako: a m / n.
2. Przy podnoszeniu ułamka do potęgi: tej procedurze podlegają zarówno licznik, jak i jego mianownik.
3. Podnosząc iloczyn różnych liczb do potęgi, wyrażenie będzie odpowiadać iloczynowi tych liczb do danej potęgi. To znaczy: (a * b) n = za n * b n .
4. Podnosząc liczbę do potęgi ujemnej, należy podzielić 1 przez liczbę z tego samego stulecia, ale ze znakiem „+”.
5. Jeśli mianownik ułamka jest do potęgi ujemnej, to wyrażenie to będzie równe iloczynowi licznika i mianownika do potęgi dodatniej.
6. Dowolna liczba do potęgi 0 = 1 i do potęgi. 1 = dla siebie.

Zasady te są ważne w niektórych przypadkach, rozważymy je bardziej szczegółowo poniżej.

Stopień z wykładnikiem ujemnym

Co zrobić ze stopniem ujemnym, czyli gdy wskaźnik jest ujemny?

Na podstawie właściwości 4 i 5(patrz punkt powyżej), okazało się:

ZA (- n) = 1 / ZA n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

I wzajemnie:

1 / ZA (- n) = ZA n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

A jeśli to ułamek?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Rozumie się przez to stopień, którego wykładniki są równe liczbom całkowitym.

Rzeczy do zapamiętania:

ZA 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...itd.

ZA 1 = ZA, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...itd.

Dodatkowo, jeśli (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... to wynik będzie oznaczony znakiem „+”. Jeśli liczbę ujemną podnosi się do potęgi nieparzystej, to odwrotnie.

Charakteryzują się także właściwościami ogólnymi i wszystkimi opisanymi powyżej cechami szczegółowymi.

Stopień ułamkowy

Typ ten można zapisać w postaci schematu: A m/n. Czytaj jako: n-ty pierwiastek liczby A do potęgi m.

Ze wskaźnikiem ułamkowym możesz zrobić, co chcesz: zmniejszyć go, podzielić na części, podnieść do innej potęgi itp.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Niech α będzie liczbą niewymierną, a A ˃ 0.

Aby zrozumieć istotę stopnia z takim wskaźnikiem, Przyjrzyjmy się różnym możliwym przypadkom:

• A = 1. Wynik będzie równy 1. Ponieważ istnieje aksjomat - 1 we wszystkich potęgach równa się jeden;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – liczby wymierne;

• 0˂А˂1.

W tym przypadku jest odwrotnie: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 w takich samych warunkach jak w akapicie drugim.

Na przykład wykładnikiem jest liczba π. To racjonalne.

r 1 – w tym przypadku wynosi 3;

r 2 – będzie równe 4.

Wtedy dla A = 1, 1 π = 1.

A = 2, następnie 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, następnie (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Stopnie takie charakteryzują się wszystkimi opisanymi powyżej operacjami matematycznymi i specyficznymi właściwościami.

Wniosek

Podsumujmy - do czego potrzebne są te wielkości, jakie są zalety takich funkcji? Oczywiście przede wszystkim ułatwiają życie matematykom i programistom przy rozwiązywaniu przykładów, ponieważ pozwalają im minimalizować obliczenia, skracać algorytmy, usystematyzować dane i wiele więcej.

Gdzie jeszcze ta wiedza może się przydać? W dowolnej specjalności zawodowej: medycynie, farmakologii, stomatologii, budownictwie, technologii, inżynierii, projektowaniu itp.