Wszystkie formuły na temat iloczynu skalarnego wektorów. Jak znaleźć iloczyn skalarny wektorów. Definicja iloczynu skalarnego wektorów pod względem współrzędnych

Produkt skalarny wektory (dalej określane jako SP). Drodzy przyjaciele! Egzamin z matematyki obejmuje grupę zadań do rozwiązywania wektorów. Rozważaliśmy już pewne problemy. Możesz je zobaczyć w kategorii "Wektory". Ogólnie rzecz biorąc, teoria wektorów jest prosta, najważniejsze jest konsekwentne jej studiowanie. Obliczenia i działania z wektorami na szkolnym kursie matematyki są proste, formuły nie są skomplikowane. Zajrzyj do . W tym artykule przeanalizujemy zadania na wspólnym przedsięwzięciu wektorów (uwzględnionych w egzaminie). Teraz „zanurzenie” w teorię:

H Aby znaleźć współrzędne wektora, musisz odjąć od współrzędnych jego końcaodpowiednie współrzędne jego początku

I dalej:

*Długość wektora (moduł) definiuje się następująco:

Te wzory trzeba zapamiętać!!!

Pokażmy kąt między wektorami:

Oczywiste jest, że może wynosić od 0 do 180 0(lub w radianach od 0 do Pi).

Możemy wyciągnąć pewne wnioski na temat znaku iloczynu skalarnego. Długości wektorów są oczywiście dodatnie. Zatem znak iloczynu skalarnego zależy od wartości cosinusa kąta między wektorami.

Możliwe przypadki:

1. Jeśli kąt między wektorami jest ostry (od 0 0 do 90 0), to cosinus kąta będzie miał wartość dodatnią.

2. Jeśli kąt między wektorami jest rozwarty (od 90 0 do 180 0), wówczas cosinus kąta będzie miał wartość ujemną.

* Przy zerowych stopniach, to znaczy, gdy wektory mają ten sam kierunek, cosinus jest równy jeden, a zatem wynik będzie dodatni.

Przy 180o, czyli gdy wektory mają przeciwne kierunki, cosinus jest równy minus jeden,a wynik będzie ujemny.

Teraz WAŻNA INFORMACJA!

Przy kącie 90o, czyli gdy wektory są do siebie prostopadłe, cosinus wynosi zero, a zatem wspólne przedsięwzięcie wynosi zero. Ten fakt (konsekwencja, wniosek) jest wykorzystywany przy rozwiązywaniu wielu problemów, o których mówimy względne położenie wektorów, w tym w zadaniach wchodzących w skład otwartego banku zadań z matematyki.

Formułujemy stwierdzenie: iloczyn skalarny jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy dane wektory leżą na prostych prostopadłych.

Zatem wzory na wektory SP to:

Jeśli znane są współrzędne wektorów lub współrzędne punktów ich początku i końca, to zawsze możemy znaleźć kąt między wektorami:

Rozważ zadania:

27724 Znajdź iloczyn wewnętrzny wektorów a i b .

Iloczyn skalarny wektorów możemy znaleźć za pomocą jednego z dwóch wzorów:

Kąt między wektorami jest nieznany, ale możemy łatwo znaleźć współrzędne wektorów, a następnie użyć pierwszego wzoru. Ponieważ początki obu wektorów pokrywają się z początkiem, współrzędne tych wektorów są równe współrzędnym ich końców, to znaczy

Jak znaleźć współrzędne wektora opisano w.

obliczamy:

Odpowiedź: 40

Znajdź współrzędne wektorów i skorzystaj ze wzoru:

Aby znaleźć współrzędne wektora, należy od współrzędnych końca wektora odjąć odpowiednie współrzędne jego początku, co oznacza

Obliczamy iloczyn skalarny:

Odpowiedź: 40

Znajdź kąt między wektorami a i b . Podaj odpowiedź w stopniach.

Niech współrzędne wektorów mają postać:

Aby znaleźć kąt między wektorami, używamy wzoru na iloczyn skalarny wektorów:

Cosinus kąta między wektorami:

Stąd:

Współrzędne tych wektorów to:

Podstawmy je do wzoru:

Kąt między wektorami wynosi 45 stopni.

Odpowiedź: 45

W przypadku problemu płaskiego iloczyn skalarny wektorów a = (a x ; ay ) i b = (b x ; by y ) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

za b = za x b x + za y przez y

Wzór na iloczyn skalarny wektorów dla problemów przestrzennych

W przypadku problemu przestrzennego iloczyn skalarny wektorów a = (a x ; ay ; a z ) i b = (b x ; b y ; b z ) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

za b = za x b x + za y przez y + za z b z

Formuła iloczynu skalarnego wektorów n-wymiarowych

W przypadku n-wymiarowej przestrzeni iloczyn skalarny wektorów a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) i b = ( b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) można znaleźć za pomocą następująca formuła:

za b = za 1 b 1 + za 2 b 2 + ... + za n b n

Właściwości iloczynu skalarnego wektorów

1. Iloczyn skalarny wektora samego siebie jest zawsze większy lub równy zeru:

2. Iloczyn skalarny wektora samego siebie jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest równy wektorowi zerowemu:

za a = 0<=>za = 0

3. Sam iloczyn skalarny wektora jest równy kwadratowi jego modułu:

4. Operacja mnożenia przez skalar jest komunikatywna:

5. Jeżeli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zeru, to te wektory są ortogonalne:

za ≠ 0, b ≠ 0, za b = 0<=>za ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operacja mnożenia przez skalar jest rozdzielna:

(a + b) do = za do + b do

Przykłady zadań do obliczania iloczynu skalarnego wektorów

Przykłady obliczania iloczynu skalarnego wektorów dla problemów płaskich

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a = (1; 2) i b = (4; 8).

Rozwiązanie: za b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów aib, jeśli ich długości |a| = 3, |b| = 6, a kąt między wektorami wynosi 60˚.

Rozwiązanie: za · b = |a| |b| sałata α = 3 6 sałata 60˚ = 9.

Znajdź iloczyn wewnętrzny wektorów p = a + 3b i q = 5a - 3 b, jeśli ich długości |a| = 3, |b| = 2, a kąt między wektorami a i b wynosi 60˚.

Rozwiązanie:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 za za - 3 za b + 15 b za - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 sałata 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Przykład obliczania iloczynu skalarnego wektorów dla problemów przestrzennych

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a = (1; 2; -5) i b = (4; 8; 1).

Rozwiązanie: za b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Przykład obliczania iloczynu skalarnego dla wektorów n-wymiarowych

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a = (1; 2; -5; 2) i b = (4; 8; 1; -2).

Rozwiązanie: za b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Nazywa się iloczyn krzyżowy wektorów i wektora trzeci wektor , zdefiniowane w następujący sposób:

2) prostopadły, prostopadły. (1"")

3) wektory są zorientowane w taki sam sposób jak podstawa całej przestrzeni (dodatnio lub ujemnie).

Wyznaczyć: .

znaczenie fizyczne produkt wektorowy

jest momentem siły względem punktu O; gdzie promień jest wektorem punktu przyłożenia siły

ponadto, jeśli zostanie przeniesiony do punktu O, to trójka musi być zorientowana jako wektor podstawy.

1. Definicja i proste własności. Weźmy niezerowe wektory aib i odłóżmy je od dowolnego punktu O: OA = a i OB = b. Wartość kąta AOB nazywana jest kątem między wektorami a i b i jest oznaczona (a,b). Jeśli co najmniej jeden z dwóch wektorów wynosi zero, to kąt między nimi z definicji jest uważany za właściwy. Zauważ, że z definicji kąt między wektorami wynosi co najmniej 0 i co najwyżej . Ponadto kąt między dwoma niezerowymi wektorami jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są współkierunkowe i równe wtedy i tylko wtedy, gdy są w przeciwnych kierunkach.

Sprawdźmy, czy kąt między wektorami nie zależy od wyboru punktu O. Jest to oczywiste, jeśli wektory są współliniowe. W przeciwnym razie odkładamy od dowolnego punktu O 1 wektory O 1 A 1 = a i o 1 W 1 = b i zwróć uwagę, że trójkąty AOB i A 1 O 1 W 1 są równe z trzech stron, ponieważ |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 W 1 | = |b|, |AB| = |A 1 W 1 | = |b–a|. Zatem kąty AOB i A 1 O 1 W 1 są równe.

Teraz możemy podać najważniejsze w tym akapicie

(5.1) Definicja. Iloczyn skalarny dwóch wektorów aib (oznaczonych przez ab) jest liczbą 6 , równy iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między wektorami. Krótko mówiąc:

ab = |a||b|cos (a,b).

Operacja znajdowania iloczynu skalarnego nazywana jest skalarnym mnożeniem wektorów. Iloczyn skalarny aa wektora z samym sobą nazywany jest kwadratem skalarnym tego wektora i oznaczany jest jako a 2 .

(5.2) Skalarny kwadrat wektora jest równy kwadratowi jego długości.

 Jeśli |a|  0, więc (a,a) = 0, skąd a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Jeśli a = 0, to a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Nierówność Cauchy'ego. Moduł iloczynu skalarnego dwóch wektorów nie przekracza iloczynu modułów czynników: |ab| |a||b|. W tym przypadku równość jest osiągnięta wtedy i tylko wtedy, gdy wektory a i b są współliniowe.

 Z definicji |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Dowodzi to samej nierówności Cauchy'ego. Teraz zauważmy. że dla niezerowych wektorów aib równość w nim jest osiągnięta wtedy i tylko wtedy, gdy |cos (a,b)| = 1, tj. Na (a, b) = 0 lub (a, b) =  . To ostatnie jest równoważne z faktem, że wektory a i b są skierowane wspólnie lub przeciwnie, tj. współliniowy. Jeśli co najmniej jeden z wektorów aib jest równy zeru, to są one współliniowe i |ab| = |a||b| = 0. 

2. Podstawowe własności mnożenia przez skalar. Należą do nich:

(CS1) ab = ba (przemienność);

(CS2) (xa)b = x(ab) (łączność);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (rozdzielność).

Przemienność tutaj jest oczywista, ponieważ Ab =  ba. Łączność dla x = 0 jest również oczywista. Jeśli x > 0 to

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

Do (xa, b) = (a,b) (od współkierunku wektorów xa i a - rys. 21). jeśli x< 0, więc

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

Do (xa, b) = –  (a,b) (od kierunku przeciwnego do wektorów xa i a - rys.22). W ten sposób asocjatywność jest również udowodniona.

Udowodnienie rozdzielności jest trudniejsze. Do tego potrzebujemy takich

(5.4) Lemat. Niech a będzie niezerowym wektorem równoległym do prostej l, a b dowolnym wektorem. Następnie rzut ortogonalnyB" wektora b do prostej l jest równe
.



Jeśli b = 0, toB„ = 0 i ab = 0, więc w tym przypadku lemat jest prawdziwy. W dalszej części założymy, że wektor b” jest różny od zera. W tym przypadku z dowolnego punktu O linii prostej l odkładamy na bok wektory OA = a i OB = b, a także upuszczamy prostopadłą BB ”od punktu B do prostej l. Z definicjiOB" = B" I (a, b) =  AOW. Oznaczać AOB przez i udowodnić lemat oddzielnie dla każdego z następujących trzech przypadków:

1)  <  /2. Następnie wektory a i współreżyserowany (ryc. 23) i

B" = =
=
.

2)  >  /2 . Następnie wektory a iB„przeciwnie skierowany (ryc. 24) i

B" = – = –
= .

3)  =  /2. NastępnieB" = 0 i ok = 0, skądB" =
= 0. 

Udowodnimy teraz rozdzielność (CS3). Jest oczywiste, że wektor a jest równy zeru. niech  0. Następnie narysuj linię l || a i oznacz przezB" IC„ rzuty ortogonalne wektorów b i c na nią i przezD" będzie rzutem ortogonalnym wektora d = b + c na ten wektor. Z Twierdzenia 3.5D" = B"+ C". Stosując Lemat 5.4 do ostatniej równości, otrzymujemy równość
=
. Mnożąc to skalarnie przez a, stwierdzamy, że 2 =
, skąd ad = ab+ac, co należało udowodnić.

Udowodnione przez nas własności skalarnego mnożenia wektorów są podobne do odpowiednich własności mnożenia liczb. Ale nie wszystkie właściwości mnożenia liczb przenoszą się na skalarne mnożenie wektorów. Oto typowe przykłady:

) Jeśli ab = 0, to nie oznacza to, że a = 0 lub b = 0. Przykład: dwa niezerowe wektory tworzące kąt prosty.

2) Jeśli ab = ac, to nie oznacza to, że b = c, nawet jeśli wektor a jest niezerowy. Przykład: b i c to dwa różne wektory o tej samej długości, tworzące równe kąty z wektorem a (ryc. 25).

3) Nie jest prawdą, że zawsze a(bc) = (ab)c: choćby dlatego, że ważność takiej równości dla bc, ab 0 oznacza, że wektory a i c są współliniowe.

3. Ortogonalność wektorów. Dwa wektory nazywamy ortogonalnymi, jeśli kąt między nimi jest prosty. Ortogonalność wektorów jest wskazywana ikoną .

Kiedy określiliśmy kąt między wektorami, zgodziliśmy się uznać kąt między wektorem zerowym a dowolnym innym wektorem za linię prostą. Dlatego wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego. Ta umowa pozwala nam to udowodnić

(5.5) Znak ortogonalności dwóch wektorów. Dwa wektory są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0.

 Niech aib będą dowolnymi wektorami. Jeśli przynajmniej jeden z nich jest równy zeru, to są ortogonalne, a ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zatem w tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy teraz, że oba podane wektory są niezerowe. Z definicji ab = |a||b|cos (a,b). Ponieważ z naszego założenia liczby |a| i |b| nie są równe 0, to ab = 0 sałata (a, b) = 0  (a, b) = /2, co należało udowodnić.

Za definicję ortogonalności wektorów często przyjmuje się równość ab = 0.

(5.6) Wniosek. Jeżeli wektor a jest prostopadły do każdego z wektorów a 1 , …, A P , to jest również ortogonalny do dowolnej z ich kombinacji liniowych.

 Wystarczy zauważyć, że z równości aa 1 = … = aa P = 0 implikuje równość a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ach 1 ) + … + x P (ach P ) = 0. 

Z Wniosku 5.6 łatwo wyprowadzić szkolne kryterium prostopadłości prostej i płaszczyzny. Rzeczywiście, niech jakaś prosta MN będzie prostopadła do dwóch przecinających się prostych AB i AC. Wtedy wektor MN jest prostopadły do wektorów AB i AC. Weźmy dowolną linię prostą DE na płaszczyźnie ABC. Wektor DE jest współpłaszczyznowy z niewspółliniowymi wektorami AB i AC, a zatem rozszerza się w nich. Ale wtedy jest również prostopadły do wektora MN, to znaczy proste MN i DE są prostopadłe. Okazuje się, że prosta MN jest prostopadła do dowolnej prostej z płaszczyzny ABC, co należało udowodnić.

4. Bazy ortonormalne. (5.7) Definicja. Mówimy, że baza przestrzeni wektorowej jest ortonormalna, jeśli po pierwsze wszystkie jej wektory mają długość jednostkową, a po drugie dowolne dwa jej wektory są ortogonalne.

Wektory o bazie ortonormalnej w przestrzeni trójwymiarowej są zwykle oznaczane literami i, j oraz k, a na płaszczyźnie wektorowej literami i oraz j. Biorąc pod uwagę znak ortogonalności dwóch wektorów i równość kwadratu skalarnego wektora do kwadratu jego długości, warunki ortonormalności dla bazy (i,j,k) przestrzeni V 3 można zapisać tak:

(5.8) 2 = j 2 = k 2 = 1 , ja = ik = jk = 0,

oraz podstawa (i,j) płaszczyzny wektorowej w następujący sposób:

(5.9) 2 = j 2 = 1 , ja = 0.

Niech wektory aib mają w bazie ortonormalnej (i,j,k) przestrzenie V 3 współrzędne (a 1 , A 2 , A 3 ) oraz b 1 B 2 ,B 3 ) odpowiednio. Następnieab = (A 1 ja+A 2 j+A 3 k)(b 1 ja+b 2 j+b 3 k) = za 1 B 1 I 2 +a 2 B 2 J 2 +a 3 B 3 k 2 +a 1 B 2 ij+a 1 B 3 ik+a 2 B 1 ji+a 2 B 3 jk+a 3 B 1 ki+a 3 B 2 kj = a 1 B 1 +a 2 B 2 +a 3 B 3 . W ten sposób wzór na iloczyn skalarny wektorów a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) i b(b 1 ,B 2 ,B 3 ) podane przez ich współrzędne w ortonormalnej bazie przestrzeni V 3 :

(5.10) ab = a 1 B 1 +a 2 B 2 +a 3 B 3 .

Dla wektorów a(a 1 ,A 2 ) i b(b 1 ,B 2 ) podane przez ich współrzędne w bazie ortonormalnej na płaszczyźnie wektorowej, ma postać

(5.11) ab = a 1 B 1 +a 2 B 2 .

Podstawmy b = a do wzoru (5.10). Okazuje się, że w bazie ortonormalnej a 2 = za 1 2 + za 2 2 + za 3 2 . Ponieważ 2 = |a| 2 , otrzymujemy taki wzór na znalezienie długości wektora a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) określone przez jego współrzędne w ortonormalnej bazie przestrzeni V 3 :

(5.12) |a| =
.

Na płaszczyźnie wektorowej na mocy (5.11) przyjmuje postać

(5.13) |a| =
.

Podstawiając b = i, b = j, b = k do wzoru (5.10), otrzymujemy jeszcze trzy przydatne równości:

(5.14) ai = a 1 , aj = za 2 , ak = a 3 .

Prostota wzorów współrzędnych do znajdowania iloczynu skalarnego wektorów i długości wektorów jest główną zaletą baz ortonormalnych. W przypadku baz nieortonormalnych wzory te są, ogólnie rzecz biorąc, niepoprawne, a ich zastosowanie w tym przypadku jest rażącym błędem.

5. Cosinusy kierunkowe. Przyjmij bazę ortonormalną (i, j, k) przestrzeni V 3 wektor a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Następnieai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, ja).Z drugiej strony ai = a 1 zgodnie ze wzorem 5.14. Okazało się, że

(5.15) 1 = |a|cos (a, ja).

I podobnie,

A 2 = |a|cos (a, j) i 3 = |a|cos (a, k).

Jeśli wektor a jest jednością, te trzy równości przybierają szczególnie prostą postać:

(5.16) A 1 = cos (a, ja),A 2 = cos (a, j),A 3 = cos (a, k).

Cosinusy kątów utworzonych przez wektor z wektorami o bazie ortonormalnej nazywane są cosinusami kierunkowymi tego wektora w danej bazie. Jak pokazują wzory 5.16, współrzędne wektora jednostkowego w bazie ortonormalnej są równe jego cosinusom kierunku.

Z 5.15 wynika, że a 1 2 + za 2 2 + za 3 2 = |a| 2 (sałata 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). Z drugiej strony A 1 2 + za 2 2 + za 3 2 = |a| 2 . Okazało się, że

(5.17) suma kwadratów cosinusów kierunkowych niezerowego wektora jest równa 1.

Fakt ten jest przydatny do rozwiązywania niektórych problemów.

(5.18) Problem. Przekątna równoległościanu prostokątnego ma dwie krawędzie wychodzące z tych samych kątów wierzchołkowych równych 60 . Jaki kąt tworzy z trzecią krawędzią wychodzącą z tego wierzchołka?

 Rozważ ortonormalną bazę przestrzeni V 3 , którego wektory reprezentują krawędzie równoległościanu wychodzące z danego wierzchołka. Ponieważ wektor przekątny tworzy kąty 60 z dwoma wektorami tej podstawy , kwadraty dwóch z jego trzech cosinusów kierunkowych są równe cos 2 60  = 1/4. Dlatego kwadrat trzeciego cosinusa wynosi 1/2, a sam cosinus to 1/
. Zatem żądany kąt wynosi 45 . 

Kąt między wektorami

Rozważmy dwa wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Odłóżmy na bok wektory $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ z dowolnie wybranego punktu $O$, wtedy kąt $AOB$ nazywa się kąt między wektorami $\overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (rys. 1).

Obrazek 1.

Zauważ, że jeśli wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są współkierunkowe lub jeden z nich jest wektorem zerowym, to kąt między wektorami jest równy $0^0$.

Notacja: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Pojęcie iloczynu skalarnego wektorów

Matematycznie definicję tę można zapisać w następujący sposób:

Iloczyn skalarny może wynosić zero w dwóch przypadkach:

Jeśli jeden z wektorów będzie wektorem zerowym (od tego czasu jego długość wynosi zero).

Jeśli wektory są wzajemnie prostopadłe (tj. $cos(90)^0=0$).

Zauważ również, że iloczyn wewnętrzny jest większy od zera, jeśli kąt między tymi wektorami jest ostry (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) i mniejszy od zera, jeśli kąt między tymi wektorami jest rozwarty (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Pojęcie kwadratu skalarnego jest związane z pojęciem iloczynu skalarnego.

Definicja 2

Kwadrat skalarny wektora $\overrightarrow(a)$ jest iloczynem skalarnym tego wektora z samym sobą.

Otrzymujemy, że kwadrat skalarny to

Obliczanie iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów

Oprócz standardowego sposobu znajdowania wartości iloczynu skalarnego, który wynika z definicji, istnieje inny sposób.

rozważmy to.

Niech wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ mają odpowiednio współrzędne $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

Twierdzenie 1

Iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dowód.

Twierdzenie zostało udowodnione.

To twierdzenie ma kilka implikacji:

Wniosek 1: Wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1a_2+b_1b_2=0$

Wniosek 2: Cosinus kąta między wektorami to $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Właściwości iloczynu skalarnego wektorów

Dla dowolnych trzech wektorów i liczby rzeczywistej $k$ prawdziwe jest:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Właściwość ta wynika z definicji kwadratu skalarnego (Definicja 2).

prawo przemieszczenia:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Właściwość ta wynika z definicji iloczynu wewnętrznego (Definicja 1).

Prawo dystrybucji:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(wylicz)

Z Twierdzenia 1 mamy:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Prawo kombinacyjne:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(wylicz)

Z Twierdzenia 1 mamy:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Przykład problemu obliczania iloczynu skalarnego wektorów

Przykład 1

Znajdź iloczyn wewnętrzny wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, jeśli $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, a kąt między nimi wynosi $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Rozwiązanie.

Korzystając z definicji 1, otrzymujemy

Za $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Za $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ po prawej)=-3\sqrt(2)\]

Jeżeli w zadaniu zarówno długości wektorów, jak i kąt między nimi są przedstawione „na srebrnej tacy”, to warunek zadania i jego rozwiązanie wyglądają następująco:

Przykład 1 Podano wektory. Znajdź iloczyn skalarny wektorów, jeśli ich długości i kąt między nimi są reprezentowane przez następujące wartości:

Obowiązuje również inna definicja, która jest całkowicie równoważna z definicją 1.

Definicja 2. Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą (skalarną) równą iloczynowi długości jednego z tych wektorów i rzutu drugiego wektora na oś wyznaczoną przez pierwszy z tych wektorów. Formuła zgodnie z definicją 2:

Rozwiążemy problem za pomocą tego wzoru po następnym ważnym punkcie teoretycznym.

Definicja iloczynu skalarnego wektorów pod względem współrzędnych

Tę samą liczbę można uzyskać, jeśli pomnożone wektory są podane przez ich współrzędne.

Definicja 3. Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą równą sumie iloczynów parami ich odpowiednich współrzędnych.

Na powierzchni

Jeśli dwa wektory i w płaszczyźnie są określone przez ich dwa współrzędne kartezjańskie

wtedy iloczyn skalarny tych wektorów jest równy sumie iloczynów parami ich odpowiednich współrzędnych:

Przykład 2 Znajdź wartość liczbową rzutu wektora na oś równoległą do wektora.

Rozwiązanie. Iloczyn skalarny wektorów znajdujemy, dodając iloczyny parami ich współrzędnych:

Teraz musimy zrównać wynikowy iloczyn skalarny z iloczynem długości wektora i rzutu wektora na oś równoległą do wektora (zgodnie ze wzorem).

Znajdujemy długość wektora jako Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:

Napisz równanie i rozwiąż je:

Odpowiedź. Żądana wartość liczbowa to minus 8.

W kosmosie

Jeśli dwa wektory iw przestrzeni są zdefiniowane przez ich trzy prostokątne współrzędne kartezjańskie

wtedy iloczyn skalarny tych wektorów jest również równy sumie iloczynów parami ich odpowiednich współrzędnych, tylko że są już trzy współrzędne:

Zadaniem znalezienia iloczynu skalarnego w rozważany sposób jest po przeanalizowaniu właściwości iloczynu skalarnego. Ponieważ w zadaniu konieczne będzie określenie, jaki kąt tworzą zwielokrotnione wektory.

Właściwości iloczynu skalarnego wektorów

Właściwości algebraiczne

1. (właściwość przemienna: wartość ich iloczynu skalarnego nie zmienia się od zmiany miejsc pomnożonych wektorów).

2. (właściwość asocjacyjna w odniesieniu do czynnika liczbowego: iloczyn skalarny wektora pomnożonego przez pewien czynnik i inny wektor jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów pomnożonych przez ten sam czynnik).

3. (właściwość rozdzielcza względem sumy wektorów: iloczyn skalarny sumy dwóch wektorów przez trzeci wektor jest równy sumie iloczynów skalarnych pierwszego wektora przez trzeci wektor i drugiego wektora przez trzeci wektor).

4. (skalarny kwadrat wektora większy od zera) if jest wektorem niezerowym, a if jest wektorem zerowym.

Właściwości geometryczne

W definicjach badanej operacji poruszyliśmy już pojęcie kąta między dwoma wektorami. Czas wyjaśnić to pojęcie.

Na powyższym rysunku widoczne są dwa wektory, które są doprowadzone do wspólnego początku. I pierwszą rzeczą, na którą musisz zwrócić uwagę: między tymi wektorami są dwa kąty - φ 1 I φ 2 . Który z tych kątów występuje w definicjach i właściwościach iloczynu skalarnego wektorów? Suma rozważanych kątów wynosi 2 π a zatem cosinusy tych kątów są równe. Definicja iloczynu skalarnego obejmuje tylko cosinus kąta, a nie wartość jego wyrażenia. Ale we właściwościach uwzględniany jest tylko jeden narożnik. I to jest jeden z dwóch kątów, który nie przekracza π czyli 180 stopni. Kąt ten jest pokazany na rysunku jako φ 1 .

1. Wywołane są dwa wektory prostokątny I kąt między tymi wektorami jest prosty (90 stopni lub π /2 ) jeśli iloczyn skalarny tych wektorów wynosi zero :

Ortogonalność w algebrze wektorów to prostopadłość dwóch wektorów.

2. Tworzą się dwa niezerowe wektory ostry róg (od 0 do 90 stopni, czyli co to samo, mniej π iloczyn skalarny jest dodatni .

3. Tworzą się dwa niezerowe wektory kąt rozwarty (od 90 do 180 stopni lub, co to jest to samo - więcej π /2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny jest ujemny .

Przykład 3 Wektory podane są we współrzędnych:

Oblicz iloczyn skalarny wszystkich par danych wektorów. Jaki kąt (ostry, prosty, rozwarty) tworzą te pary wektorów?

Rozwiązanie. Obliczymy, dodając iloczyny odpowiednich współrzędnych.

Otrzymaliśmy liczbę ujemną, więc wektory tworzą kąt rozwarty.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

Mamy zero, więc wektory tworzą kąt prosty.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

Do autotestu możesz użyć kalkulator online iloczyn skalarny wektorów i cosinusa kąta między nimi .

Przykład 4 Biorąc pod uwagę długości dwóch wektorów i kąt między nimi:

Określ, przy jakiej wartości liczby wektory i są ortogonalne (prostopadłe).

Rozwiązanie. Wektory mnożymy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów:

Teraz obliczmy każdy wyraz:

Ułóżmy równanie (równość iloczynu do zera), podaj wyrazy podobne i rozwiążmy równanie:

Odpowiedź: otrzymaliśmy wartość λ = 1,8 , przy którym wektory są ortogonalne.

Przykład 5 Udowodnij, że wektor ortogonalny (prostopadły) do wektora

Rozwiązanie. Aby sprawdzić ortogonalność, mnożymy wektory i jako wielomiany, zastępując je wyrażeniem podanym w warunku zadania:

Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy składnik (człon) pierwszego wielomianu przez każdy składnik drugiego i dodać otrzymane produkty:

W rezultacie część należna ulega zmniejszeniu. Otrzymuje się następujący wynik:

Wniosek: w wyniku mnożenia otrzymaliśmy zero, dlatego udowodniono ortogonalność (prostopadłość) wektorów.

Rozwiąż problem samodzielnie, a następnie zobacz rozwiązanie

Przykład 6 Biorąc pod uwagę długości wektorów i , oraz kąt między tymi wektorami wynosi π /4 . Określ, w jakiej wartości μ wektory i są wzajemnie prostopadłe.

Do autotestu możesz użyć kalkulator online iloczyn skalarny wektorów i cosinusa kąta między nimi .

Reprezentacja macierzowa iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu wektorów n-wymiarowych

Czasami dla jasności korzystne jest przedstawienie dwóch zwielokrotnionych wektorów w postaci macierzy. Wtedy pierwszy wektor jest reprezentowany jako macierz wierszowa, a drugi jako macierz kolumnowa:

Wtedy iloczyn skalarny wektorów będzie iloczyn tych macierzy :

Wynik jest taki sam, jak uzyskany metodą, którą już rozważaliśmy. Otrzymaliśmy jedną pojedynczą liczbę, a iloczyn wiersza macierzy przez kolumnę macierzy jest również jedną pojedynczą liczbą.

W postaci macierzy wygodnie jest przedstawić iloczyn abstrakcyjnych wektorów n-wymiarowych. Zatem iloczyn dwóch czterowymiarowych wektorów będzie iloczynem macierzy wierszowej z czterema elementami przez macierz kolumnową również z czterema elementami, iloczyn dwóch wektorów pięciowymiarowych będzie iloczynem macierzy wierszowej z pięcioma elementami przez macierz kolumnowa również z pięcioma elementami i tak dalej.

Przykład 7 Znajdź iloczyn skalarny par wektorów

z wykorzystaniem reprezentacji macierzowej.

Rozwiązanie. Pierwsza para wektorów. Pierwszy wektor reprezentujemy jako macierz wierszową, a drugi jako macierz kolumnową. Znajdujemy iloczyn skalarny tych wektorów jako iloczyn macierzy wierszowej przez macierz kolumnową:

Podobnie reprezentujemy drugą parę i znajdujemy:

Jak widać, wyniki są takie same jak dla tych samych par z przykładu 2.

Kąt między dwoma wektorami

Wyprowadzenie wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami jest bardzo piękne i zwięzłe.

Aby wyrazić iloczyn skalarny wektorów

(1)

V forma współrzędnych, najpierw znajdujemy iloczyn skalarny ortów. Iloczyn skalarny wektora samego siebie to z definicji:

To, co jest napisane w powyższym wzorze, oznacza: iloczyn skalarny wektora samego siebie jest równy kwadratowi jego długości. Cosinus zera jest równy jeden, więc kwadrat każdej orth będzie równy jeden: