1. Ogólna płaszczyzna równania

Definicja. Płaszczyzna nazywana jest powierzchnią, z których wszystkie punkty spełniają całkowitą równanie: AX + przez + CZ + D \u003d 0, gdzie A, B, C - współrzędne wektora

N \u003d AI + BJ + CK jest standardem normalnego samolotu. Możliwe są następujące specjalne przypadki:

A \u003d 0 - płaszczyzna równoległa do osi Och

B \u003d 0 - płaszczyzna równoległa do osi C \u003d 0 - płaszczyzna równoległa do oś OZ

D \u003d 0 - Samolot przechodzi przez pochodzenie współrzędnych

A \u003d B \u003d 0 - Płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Xow A \u003d C \u003d 0 - płaszczyzna jest równoległa do XZ B \u003d C \u003d 0 płaszczyzny - płaszczyzna równoległa do samolotu Yoz a \u003d d \u003d 0 - Samolot przechodzi przez oś Och

B \u003d d \u003d 0 - Płaszczyzna przechodzi przez oś ou c \u003d d \u003d 0 - płaszczyzna przechodzi przez oś OZ

A \u003d b \u003d d \u003d 0 - Płaszczyzna zbiega się z płaszczyzną Xou A \u003d C \u003d D \u003d 0 - płaszczyzna zbiega się z płaszczyzną XOZ B \u003d C \u003d D \u003d 0 - Płaszczyzna zbiega się z płaszczyzną Yoz

2. Równanie powierzchni w przestrzeni

Definicja. Każde równanie łączące współrzędne X, Y, z dowolnego punktu powierzchni jest równaniem tej powierzchni.

3. Równanie samolotu przechodzącego przez trzy punkty

Aby przez trzy punkty Kakelibo było możliwe, aby przeprowadzić pojedynczą płaszczyźnie, konieczne jest, aby te punkty nie leżą na jednej linii prostej.

Rozważ punkty M1 (X1, Y1, Z1), M2 (x2, Y2, Z2), M3 (x3, Y3, Z3) w całkowitym systemie odkształconym

współrzędne.
W celu arbitralnego punktu m (x, y, z)	leżąc w tym samym samolocie z kropkami
M 1, M2, M3 jest konieczne, aby wektory M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M były komorą, tj.
M1 M \u003d (X1; Y - Y1; Z - Z1)
(M 1 m2, M 1 m3, M 1 m) \u003d 0. Tak więc M 1 m 2	\u003d (x 2 - x 1; y 2		- y 1; Z 2 - Z 1)
M1 M 3.	\u003d (x 3 - x 1; y3 - y 1; z 3 - z 1)
		x - x1.	y - y1.	z - Z1.
Równanie samolotu przechodzącego przez trzy punkty:		x 2 - x 1	y 2 - y 1	z 2 - Z 1
		x 3 - x 1	y 3 - y 1	z 3 - Z 1

4. Równanie płaszczyzny na dwóch punktach i wektorze, samolot kollinowy

Niech podano punkty M1 (X1, Y1, Z1), m2 (x2, Y2, Z2) i wektor \u003d (A 1, A 2, A 3).

Dokonamy równania samolotu przechodzącego przez dane punktów M1 i M2 i arbitralnych

punkt m (x, y, z) w równoległym wektorowym a.
Wektory M1 M \u003d (X1; Y - Y1; Z - Z1)	i wektor A \u003d (a, a					musi być
M 1 m 2 \u003d (x 2 - x 1; y2 - y 1; z 2 - z 1)
			x - x1.				y - y1.	z - Z1.
compliannas, tj. (M 1 m, M 1 m2, A) \u003d 0.Europearce samolotu:		x 2 - x 1					y 2 - y 1	z 2 - Z 1

5. Równanie płaszczyzny w jednym punkcie i dwa wektory, samolot kollinowy

Niech określono dwie wersje A \u003d (A 1, A 2, 3) i B \u003d (B 1, B2, B3), są określone płaszczyzny kolinkowe. Następnie dla dowolnego punktu M (X, Y, Z) należące do płaszczyzny, wektory A, B, mm 1 muszą być komorą.

6. Równanie płaszczyzny w punkcie i wektora normalnego

Twierdzenie. Jeśli punkt M 0 (X 0, Y 0, Z 0) jest określony w przestrzeni, równanie płaszczyzny przechodzące przez punkt M 0 prostopadle do wektora Normalnego N (A, B, C) jest: A ( X - X 0) + B (Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

7. Równanie płaszczyzny w segmentach

Jeśli w łącznej AX + przez + CZ + D \u003d 0 równania, aby udostępnić obie części (-D)

x -

y -

z - 1 \u003d 0, Wymiana -

C, otrzymujemy równanie samolotu

w segmentach:

jeden. Liczby A, B, C są odpowiednio punktami przecięcia płaszczyzny

z osiami x, y, z.

8. Równanie samolotu w formie wektorowej

r n \u003d p, gdzie r \u003d xi + yj + zk jest radiusser bieżącego punktu m (x, y, z),

n \u003d i cosα + j cos β + k cosγ - pojedynczy wektor ma kierunek, prostopadle,

obniżony do płaszczyzny od początku współrzędnych. α, β i γ - kąty utworzone przez ten wektor z osiami X, Y, Z. P oznacza długość tego prostopadle. W współrzędnych to równanie wygląda jak:

x cosα + y cos β + z cosγ - p \u003d 0

9. Odległość od punktu do samolotu

Odległość od dowolnego punktu M 0 (x 0, Y 0, Z 0) do samolotu AX + przez + CZ + D \u003d 0 to:

d \u003d AX0 + OB0 + CZ0 + D

A2 + B2 + C2

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącego przez punkty A (2, -1,4) i (3,2, -1) prostopadle do płaszczyzny X + Y + 2Z - 3 \u003d 0.

Pożądana równanie płaszczyzny wynosi: AX + przez + CZ + D \u003d 0, wektor normalny do tej płaszczyzny N 1 (A, B, C). Wektor AB (1,3, -5) należy do samolotu. Samolot dany nam,

pożądany progowy ma wektor normalnego N2 (1,1,2). Dlatego punkty A i B należą do obu samolotów, a samolot jest wzajemnie prostopadły

n \u003d ab × n

− 5

- J.

− 5

11 I - 7 J - 2 k.

− 5

W ten sposób wektor normalnego N 1 (11, -7, -2). Dlatego Punkt A należy do pożądanej płaszczyzny, jego współrzędne muszą spełniać równanie tego samolotu, tj.

11.2 + 7.1-2,4 + D \u003d 0; D \u003d - 21. Razem otrzymujemy równanie płaszczyzny: 11x - 7 Y - 2Z - 21 \u003d 0

10. Równanie linii w przestrzeni

Zarówno na płaszczyźnie, jak iw przestrzeni, dowolna linia może być zdefiniowana jako zestaw punktów, których współrzędne w niektórych układach współrzędnych wybranych w przestrzeni spełniają równanie:

F (x, y, z) \u003d 0. To równanie nazywa się równaniem linii w przestrzeni.

Ponadto linia w przestrzeni można określić i w przeciwnym razie. Można go traktować jako linia przecięcia dwóch powierzchni, z których każdy jest ustawiony według tego samego równania.

Niech f (x, y, z) \u003d 0 i φ (x, y, z) \u003d 0 będzie równaniami powierzchni przecinających się wzdłuż L.

F (x, y, z) \u003d 0

Następnie para równań f (x, y, z) \u003d 0 zwana równaniem linii w przestrzeni.

11. Równanie jest bezpośrednio w przestrzeni w punkcie i wektor przewodnika 0 \u003d M 0 m.

Dlatego Wektory mają kollinę M 0 m, a następnie stosunek M 0 M \u003d St, gdzie T jest jakiś parametr. Całkowita, możesz napisać: r \u003d r 0 + ul.

Dlatego To równanie spełnia współrzędne dowolnego punktu bezpośredniego, uzyskane równanie jest równaniem parametrycznym bezpośrednim.

x \u003d x0 + mt

To równanie wektorowe mogą być reprezentowane w formie współrzędnej: y \u003d y 0 + nt

z \u003d z0 + pt

Konwersja tego systemu i równoważą wartość parametru T, otrzymujemy kanoniczne

równania bezpośrednio w przestrzeni:	x - x0.		y - y0.		z - Z0.

Definicja. Bezpośrednie Cosines są bezpośrednio nazywane cosinami prowadnicami wektora S, które można obliczyć przez wzory:

	cosα \u003d.			; Cos β \u003d.		; cosγ \u003d..
					N2 + p 2		m2 + N2 + P 2

Stąd otrzymujemy: M: N: P \u003d COSα: COS β: COSγ.

Numery M, N, P są nazywane współczynnikami narożnymi bezpośrednią. Dlatego S to niezerowy wektor, wtedy M, N i P nie może być w tym samym czasie, ale jeden lub dwie z tych liczb może wynosić zero. W tym przypadku, w równaniu, odpowiednie liczniki powinny być wyrównane.

12. Równanie jest bezpośrednio w przestrzeni przechodzącym przez dwa punkty

Jeśli istnieją dwa arbitralne punkty M 1 (x 1, Y 1, Z 1) na prostym w przestrzeni) i

M2 (x 2, Y2, Z2), współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie uzyskane powyżej:

x 2 - x 1		y 2 - y 1		z 2 - Z 1

Możesz ustawić na różne sposoby (przez jeden punkt i wektor, dwa punkty i wektor, trzy kropki itp.). Biorąc pod uwagę to równanie samolotu może mieć różne typy. Również, z zastrzeżeniem pewnych warunków, płaszczyzna może być równoległa, prostopadle do przecięcia itp. Weź to i porozmawiaj o tym artykule. Nauczysz się nawiązywać ogólne równanie samolotu i nie tylko.

Normalne równanie formy

Przypuśćmy, że jest przestrzeń R3, która ma prostokątny układ współrzędnych XYZ. Ustaw wektor α, który zostanie zwolniony z punktu początkowego O. Po zakończeniu wektora α będziemy wykonywać samolot P, który będzie do niego prostopadle.

Oznaczanie przez P arbitralny punkt Q \u003d (x, y, z). Radius-Vector Point q Subskrybuj literę r. W tym przypadku długość wektora α jest równa p \u003d Iαi i ʋ \u003d (COSα, COSβ, COSγ).

Jest to pojedynczy wektor, który jest skierowany na bok, a także wektor α. α, β i γ są kątami, które są utworzone między ʋ a pozytywnymi kierunkami osi X, Y, odpowiednio. Projekcja dowolnego punktu QεP na wektor ʋ jest stałą wartością równą P: (P, ʋ) \u003d p (P≥0).

Określone równanie ma sens, gdy p \u003d 0. Jedyny, samolot p w tym przypadku przejdzie do punktu o (α \u003d 0), który jest początkiem współrzędnych, a wektor jednostki ʋ, zwolniony z pkt o, będzie prostopadle do p, pomimo jego kierunku, co oznacza, że \u200b\u200bwektor ʋ jest określony przez dokładność przed znakiem. Poprzednie równanie to równanie naszego samolotu N, wyrażone w formie wektorowej. Ale we współrzędnych jego wygląd będzie taki:

R jest większy lub równy 0. znaleźliśmy równanie samolotu w przestrzeni w normalnej formie.

Równanie ogólne

Jeśli równanie we współrzędnych do pomnożenia na dowolnej liczbie, która nie jest zero, otrzymujemy równoważny równania, który określa bardzo samolot. Będzie to miało to:

Tutaj A, B, C to liczby, które są jednocześnie różne od zera. To równanie jest określane jako równanie ogólnej płaszczyzny formularza.

Równania samolotów. Prywatne przypadki

Równanie w formie ogólnej można modyfikować w obecności dodatkowych warunków. Rozważ niektóre z nich.

Załóżmy, że współczynnik A wynosi 0. Oznacza to, że ta płaszczyzna jest równoległa do określonej osi Och. W tym przypadku widok równania się zmieni: Wu + CZ + D \u003d 0.

Podobny do rodzaju równania zostanie zmienione w następujących warunkach:

• Po pierwsze, jeśli b \u003d 0, równanie zmieni się na AH + CZ + D \u003d 0, co wskaże równolegle do osi OU.
• Po drugie, jeśli C \u003d 0, równanie jest konwertowane na AH + W + D \u003d 0, co będzie mówić równolegle do określonej osi oz.
• Po trzecie, jeśli d \u003d 0, równanie będzie wyglądać jak AH + V / CZ \u003d 0, co oznacza, że \u200b\u200bsamolot krzyży o (pochodzenie współrzędnych).
• Czwarty, jeśli A \u003d B \u003d 0, równanie zmieni się na CZ + D \u003d 0, co udowodni równolegle do tlenowania.
• Piąta, jeśli b \u003d c \u003d 0, równanie stanie się AH + D \u003d 0, a to oznacza, że \u200b\u200bpłaszczyzna do Oyz jest równoległa.
• Szósty, jeśli A \u003d C \u003d 0, równanie nabywa widok Wu + D \u003d 0, czyli zgłasza równolegle do OXZ.

Wyświetl równanie w segmentach

W przypadku, gdy liczby A, B, C, D są różne od zera, forma równania (0) może być następująca:

x / A + Y / B + Z / S \u003d 1,

w którym A \u003d -D / A, B \u003d -D / B, C \u003d -D / s.

Uzyskujemy w końcu warto zauważyć, że samolot ten przekroczy osi Och w punkcie z współrzędnymi (A, 0,0), OU - (0, B, 0) i OZ - (0,0, C).

Biorąc pod uwagę równanie X / A + Y / B + Z / S \u003d 1, nie jest trudne do wizualnie przedstawienia umieszczania płaszczyzny w stosunku do określonego układu współrzędnych.

Współrzędne wektora normalnego

Normalny wektor N do płaszczyzny P ma współrzędne, które są współczynnikami ogólnych równania tego płaszczyzny, czyli, N (A, B, C).

W celu określenia współrzędnych normy N, wystarczy poznać ogólne równanie określonej płaszczyzny.

W przypadku stosowania równania w segmentach, które ma formularz X / A + Y / B + Z / S \u003d 1, jak przy użyciu ogólnego równania, współrzędne dowolnego normalnego wektor określonej płaszczyzny są możliwe: (1 / A + 1 / B + 1 / z).

Warto zauważyć, że normalny wektor pomaga rozwiązać różne zadania. Najczęstszymi zadaniami obejmuje dowód prostopadłości lub równoległości samolotów, zadania do znalezienia kątów między płaszczyznach lub kątów między samolotami i prostymi.

Widok równania płaszczyzny zgodnie ze współrzędnymi punktem i normalnym wektorem

Niezerzerowy wektor N, prostopadle do określonej płaszczyzny nazywany jest normalnym (normalnym) dla danej płaszczyzny.

Załóżmy, że w przestrzeni współrzędnej (prostokątny układ współrzędnych) Oxyz:

• punkt mₒ z współrzędnymi (Xₒ, Uₒ, Zₒ);
• zero wektor n \u003d a * i + w * j + s * k.

Konieczne jest, aby równanie samolotu, który przejdzie przez punkt Mₒ prostopadle do normalnego N.

W przestrzeni wybierz dowolny arbitralny punkt i oznaczmy to M (x Y, Z). Niech promień-wektor dowolnego punktu M (X, Y, Z) będzie R \u003d X * I + Y * J + Z * K, a punkt-wektor RADIUS Mₒ (Xₒ, Uₒ, Zₒ) - Rₒ \u003d Xₒ * i + u * j + zₒ * k. Punkt M będzie należeć do danej płaszczyzny, jeśli wektor MₒM jest prostopadle do wektora N. Zapiszymy stan ortogonalności za pomocą produktu skalarnego:

[MₒM, N] \u003d 0.

Od MₒM \u003d R-Rₒ, równanie wektora płaszczyzny wygląda tak:

To równanie może mieć inną formę. W tym celu stosuje się właściwości produktu skalarnego, a lewa strona równania jest konwertowana. \u003d -. Jeśli wyznaczysz jako C, następnie otrzymasz następujące równanie: - C \u003d 0 lub \u003d C, co wyraża stałą prognoz na normalnym wektorze promień wektorów określonych punktów należących do płaszczyzny.

Teraz możesz uzyskać widok współrzędnych zapisu wektora równania naszej płaszczyzny \u003d 0. Ponieważ R-Rₒ \u003d (X-Xₒ) * I + (Y-Uₒ) * J + (Z-Zₒ) * K i n \u003d a * i + w * j + c * k, mamy:

Okazuje się, że mamy równanie samolotu przechodzące przez punkt prostopadły do \u200b\u200bNormalnego N:

A * (X-Xₒ) + B * (U-) C * (Z - Zₒ) \u003d 0.

Widok równania samolotu zgodnie ze współrzędnymi dwóch punktów i wektora, płaszczyzny do kollini

Ustawimy dwa arbitralne punkty M '(X', U ', Z') i M "(X", Y, Z "), a także wektor A (A", A ", A ‴).

Teraz będziemy mogli sporządzić równanie danej płaszczyzny, która przejdzie przez dostępne punkty M 'i M ", a także dowolnego punktu m ze współrzędnymi (X, Y, Z) równolegle do określonego wektora A.

W tym samym czasie, wektory M'M \u003d (xx '; y, "; zz') i m" m \u003d (x "-h '; y" -u "; z" -Z') musi być przedział Wektor A \u003d (A ", A", A ‴), co oznacza, że \u200b\u200b(M'M, M "M, A) \u003d 0.

Tak więc nasze równanie samolotu w przestrzeni będzie wyglądać tak:

Widok równania samolotu przekraczającego trzy punkty

Przypuśćmy, że mamy trzy punkty: (x ', y', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴), które nie należą do jednej linii prostej. Konieczne jest napisanie równania samolotu przechodzącego przez określone trzy punkty. Teoria geometrii twierdzi, że ten rodzaj samolotu naprawdę istnieje, tylko to jest jedyny i wyjątkowy. Ponieważ ten samolot przecina punkt (x ', w', z '), pogląd na równanie będzie następujący:

Tutaj A, B, z niezera w tym samym czasie. Również określona płaszczyzna przekracza dwa kolejne punkty: (x ", y, z") i (x ‴, ‴, z ‴). W tym względzie ten rodzaj stanu należy przeprowadzić:

Teraz możemy sporządzić jednorodny system z nieznanym U, V, W:

W naszym przypadek x, u lub z wykonuje arbitralny punkt, który spełnia równanie (1). Biorąc pod uwagę równanie (1) i system z równań (2) i (3), system równań wskazany na powyższym rysunku spełnia wektor N (A, B, C), co jest nietrywialne. Dlatego wyznacznik tego systemu wynosi zero.

Równanie (1), które udało nam się, jest to równanie samolotu. Po 3 punktach dokładnie przechodzi i jest łatwy do sprawdzenia. Aby to zrobić, rozkupnij nasz identyfikator w elementach w pierwszej linii. Z istniejących właściwości wyznacznika wynika, że \u200b\u200bnasza płaszczyzna jednocześnie przekracza trzy początkowo określone punkty (X ', U', Z '), (x ", Y, Z"), (x ‴, ‴, z ‴). Oznacza to, że zdecydowaliśmy zadanie ustawione przed nami.

Kąt dwustronny między samolotami

Kąt dwustronny jest przestrzennym kształt geometrycznyutworzone przez dwa pół-samoloty pochodzące z jednej linii prostej. Innymi słowy, jest to część przestrzeni, która jest ograniczona przez te pół-samoloty.

Przypuśćmy, że mamy dwa samoloty z następującymi równaniami:

Wiemy, że wektory n \u003d (A, B, C) i N¹ \u003d (A¹, V¹, C¹) są prostopadłe zgodnie z określonymi samolotami. W związku z tym kąt φ między wektorami N i N¹ jest równy rogu (dwukierakowi), który znajduje się między tymi samolotami. Produkt skalarny Ma formularz:

Nn¹ \u003d | n || n¹ | cos φ,

tak jest ponieważ

cOSS \u003d NN¹ / | N || N¹ | \u003d (AA¹ + Explosive + SS¹) / ((√ (A ² + C² + C²) * (√ (A¹) ² + (V) ² + (С¹) ²)) .

Wystarczy wziąć pod uwagę, że 0≤φ≤π.

W rzeczywistości dwa płaszczyzny, które przecinają się, tworzą dwa kąt (dwukierak): φ 1 i φ 2. Suma jest równa π (φ 1 + φ 2 \u003d π). Jeśli chodzi o ich cosinki, ich wartości bezwzględne są równe, ale różnią się znakami, czyli cos φ 1 \u003d -cos φ 2. Jeśli w równaniu (0) zastępuje się odpowiednio a, i C na numer -a, -in i -s, odpowiednio równanie, które otrzymujemy, określi ten sam samolot, jedyny, kąt φ w cos φ \u003d Nn 1 / równanie n || n 1 | zostanie zastąpiony przez π-φ.

Równanie prostopadły samolot

Prostopadły nazywany jest samolotem między którym kąt wynosi 90 stopni. Korzystając z powyższego materiału, możemy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadły do \u200b\u200bdrugiego. Przypuśćmy, że mamy dwa płaszczyzny: AH + V / CZ + D \u003d 0 i A¹X + V \u003d 0 i oz + D \u003d 0. Możemy twierdzić, że będą prostopadłe, jeśli cosφ \u003d 0. Oznacza to, że NN¹ \u003d AA¹ + Explosion + SS¹ \u003d 0.

Równanie płaszczyzny równoległej

Równolegle nazywane są dwoma płaszczyznami, które nie zawierają wspólnych punktów.

Warunek (ich równania są takie same jak w poprzednim akapicie) leży w fakcie, że wektory N i N¹, które są do nich prostopadłe, kollinialne. Oznacza to, że spełnione są następujące warunki:

A / \u003d v / v¹ \u003d c / c¹.

Jeśli warunki proporcjonalności są rozszerzone - A / A¹ \u003d W / C \u003d C / C¹ \u003d DD¹,

sugeruje to, że te samoloty pokrywają się. Oznacza to, że równania AH + V / CZ + D \u003d 0 i A¹X + w + С¹Z + D¹ \u003d 0 Opisz jedną płaszczyznę.

Odległość do płaszczyzny z punktu

Przypuśćmy, że mamy samolot P, który jest ustawiony przez równanie (0). Konieczne jest znalezienie odległości od punktu z koordynatami (Xₒ, Uₒ, Zₒ) \u003d Qₒ. Aby to zrobić, musisz przynieść równanie płaszczyzny P w normalnej postaci:

(ρ, V) \u003d p (P≥0).

W tym przypadku ρ (x, y, z) jest promień-wektor naszego punktu q znajduje się na p, p oznacza długość prostopadle N, który został zwolniony z punktu zerowego, V jest pojedynczym wektorowym, który jest znajduje się w kierunku A.

Różnica promienia ρ-ρº-wektor niektórych punktów q \u003d (x, y, z) należący do n, a także wektora promienia danego punktu q 0 \u003d (xₒ, uₒ, zₒ) jest tym samym wektorem, całkowita wartość Prognozy, których na V są równe odległości D, aby znaleźć od q 0 \u003d (Xₒ, Y, Zₒ) do P:

D \u003d | (ρ-ρ 0, V) | ale

(ρ-ρ 0, V) \u003d (ρ, V) - (ρ 0, V) \u003d P- (ρ 0, V).

Okazuje się, więc okazuje się

d \u003d | (ρ 0, v) -r |.

W ten sposób znajdziemy wartość bezwzględną wynikową ekspresji, która jest pożądana d.

Korzystając z języka parametrów, jesteśmy oczywiste:

d \u003d | ahₒ + vuₒ + czₒ | / √ (A² + C² + C²).

Jeśli punkt Q 0 znajduje się po drugiej stronie samolotu P, jak i początek współrzędnych, a następnie między ρ-ρ 0 a V jest zatem:

d \u003d - (ρ-ρ 0, V) \u003d (ρ 0, V) -R\u003e 0.

W przypadku, gdy punkt q 0, wraz z początkiem współrzędnych, znajduje się po tej samej stronie z N, a następnie utworzony kąt jest ostry, czyli:

d \u003d (ρ-ρ 0, V) \u003d P - (ρ 0, V)\u003e 0.

W rezultacie okazuje się, że w pierwszym przypadku (ρ 0, V)\u003e P, w drugim (ρ 0, V)<р.

Samolot styczny i jego równanie

Dotykanie płaszczyzny do powierzchni w punkcie dotykania Mº jest płaszczyzna zawierająca wszystkie możliwe style do krzywej prowadzonej przez ten punkt na powierzchni.

Dzięki tej formie równania powierzchni F (X, Y, Z) \u003d 0, równanie płaszczyzny stycznej w punkcie stycznej Mº (Xº, Uº, Zº) będzie wyglądać następująco:

F X (Xº, Yº, Zº) (xº) + F X (Xº, Yº, Zº) (UHº) + F X (Xº, Yº, Zº) (Z-Zº) \u003d 0.

Jeśli określisz powierzchnię w wyraźnej postaci z \u003d f (x, y), wówczas płaszczyzna styczna zostanie opisana przez równanie:

z-zº \u003d f (xº, uº) (xº) + f (xº, yº) (uº).

Przekraczanie dwóch samolotów

Układ koordynowany (prostokątny) oksyz znajduje się dwa płaszczyzny p 'i p ", które przecinają się i nie pokrywają się. Ponieważ jakakolwiek płaszczyzna w prostokątnym układzie współrzędnych zależy od równania ogólnego, zakładamy, że p 'i p "są ustalane przez równania A'H + B'U + C'Z + D' \u003d 0 i" x + w "Y + z" z + d "\u003d 0. W tym przypadku mamy normalny N '(A', B ', C') płaszczyźnie p 'i normalny N "(A", w ", C") P ". Ponieważ nasze samoloty nie są równoległe i nie pokrywają się, te wektory nie są kopiujące. Korzystając z języka matematyki, możemy napisać ten stan w następujący sposób: N '≠ N ↔ (A', w ', C') ≠ (λ * A ", λ * w", λ * s "), λεr. Niech linii prostej, która leży na skrzyżowaniu P 'i P ", zostanie oznaczony literą A, w tym przypadku, A \u003d P' ∩ P".

a jest bezpośrednim składającym się z różnych punktów (ogólnych) samolotów p 'i p ". Oznacza to, że współrzędne dowolnej punktu należącego do bezpośredniego A powinno jednocześnie spełniać równania A'H + B'U + C'Z + D '\u003d 0 i "X + do" Y + z "Z + D" \u003d 0 . Tak więc współrzędne punktu będą prywatnym rozwiązaniem następnego systemu równań:

W rezultacie okaże się, że rozwiązanie (ogólnie) tego systemu równań określi współrzędne każdego z punktów linii, która będzie działać jako punkt przecięcia p 'i p "i określ bezpośredni A w układzie współrzędnych oksyz (prostokątny) w przestrzeni.

Rozważaj samolot w przestrzeni. Położenie go jest w pełni określone przez zestaw wektora n prostopadle do tego samolotu, a niektóre stały punkt leżący w płaszczyźnie q. Wektor N, Płaski płaszczyzna Q, nazywana jest normalnym wektorem tego samolotu. Jeśli wyznaczysz przez A, B i z projekcji normalnego wektora n

Wykierujemy równanie samolotu q przechodzącego przez ten punkt i ma dany normalny wektor. Aby to zrobić, rozważ wektor podłączenie z dowolnym punktem samolotu Q (rys. 81).

W dowolnej pozycji punktu m na płaszczyźnie q, MXEM jest prostopadle do normalnego wektora N płaszczyzny N q. Dlatego produkt skalarny napisze produkt skalarny poprzez prognozy. Jak i wektor

i dlatego,

Pokazaliśmy, że współrzędne jakiegokolwiek punktu samolotu q spełniają równanie (4). Łatwo zauważyć, że współrzędne punktów, które nie leżą na płaszczyźnie Q, to równanie nie jest satysfakcjonujące (w tym drugim przypadku). W związku z tym uzyskaliśmy pożądane równanie samolotu Q. Równanie (4) nazywane jest równaniem samolotu przechodzącego przez ten punkt. Jest to pierwszy stopień dotyczący obecnych współrzędnych.

Wykazaliśmy więc, że każda płaszczyzna odpowiada równaniu pierwszego stopnia w stosunku do obecnych współrzędnych.

Przykład 1. Napisz równanie samolotu przechodzącego przez punkt prostopadłym do wektora.

Decyzja. Tutaj. Na podstawie formuły (4) dostajemy

lub po uproszczeniu

Dając współczynniki A, B i równania (4) różne wartości, możemy uzyskać równanie każdej płaszczyzny przechodzącą przez punkt. Połączenie samolotów przechodzących przez ten punkt nazywany jest więzadłem samolotów. Równanie (4), w których współczynniki A, B i C mogą podjąć jakiekolwiek wartości, nazywane są równaniem więzadła samolotów.

Przykład 2. Uzyskaj równanie płaszczyzny przechodzącego przez trzy punkty (rys. 82).

Decyzja. Napisz równanie więzadła samolotów przechodzących przez punkt

Pozycja płaszczyzny w przestrzeni będzie dość zdefiniowana, jeśli jest ustawiona na odległość od początku O, tj. Długość prostopadłej z, opuszczonej z punktu O na płaszczyźnie, a wektor jednostki nr, prostopadle do samolotu i skierowany od początku do płaszczyzny (rys. 110).

Gdy punkt M porusza się wzdłuż płaszczyzny, jego wektor promień różni się tak, że cały czas jest związany z pewnym warunkiem. Zobaczmy, co to jest warunek. Oczywiście, dla każdego punktu leżącego w samolocie, mamy:

Ten warunek odbywa się tylko do punktów lotniczych; Jest zepsuty, jeśli m m leży z samolotu. Tak więc równość (1) wyraża nieruchomość, całkowitą punktów lotniczych i tylko na nich. Według § 7 Ch. 11 Mamy:

dlatego równanie (1) można przepisać w formie:

Równanie (d) wyraża stan, w którym punkt) leży na tym płaszczyźnie i nazywa się normalnym równaniem dla tego samolotu. Radius-wektor arbitralnego punktu samolotu nazywany jest wektorem bieżącym promieniem.

Równanie (1) samolotu jest napisane w formie wektorowej. Obracając się do współrzędnych i umieszczenie pochodzenia na początku wektorów - punkt o, zauważamy, że występy wektora urządzenia na osi współrzędnych są cosines kątów skompilowanych przez osie z tym wektorem oraz prognozami punkt wektorowy ranus

służ współrzędnych punktu, tj. Mamy:

Równanie (D) przechodzi do współrzędnej:

Podczas tłumaczenia równania wektorowego (D) płaszczyzny do równania współrzędnych (2), użyliśmy wzoru (15) § 9 ch. 11 Wyrażanie produktu skalarnego przez prognozy wektorów. Równanie (2) wyraża stan, w którym znajduje się punkt M (X, Y, Z) leży na tym płaszczyźnie i nazywany jest normalnym równaniem dla tego płaszczyzny w formie współrzędnej. Powstałe równanie (2) jest względnym stopniem, czyli jakąkolwiek płaszczyzna może być reprezentowany przez równanie pierwszego stopnia w stosunku do obecnych współrzędnych.

Należy zauważyć, że równania pochodzące (1 ") i (2) pozostają obowiązujące, a następnie, kiedy to samolot przechodzi przez pochodzenie. W tym przypadku możliwe jest przyjmowanie dowolnego z dwóch pojedynczych wektorów prostopadłych do samolotu i różnych z innego kierunku.

Komentarz. Normalne równanie płaszczyzny (2) można wyjść bez użycia metody wektorowej.

Weź dowolną płaszczyznę i wydać przez pochodzenie współrzędnych prostopadłych do niego bezpośredniego I. Zainstalujemy w tym bezpośredniego kierunku pozytywnym od początku współrzędnych do płaszczyzny (jeśli wybrana płaszczyzna przeszła przez pochodzenie współrzędnych, a następnie kierunek Na prostym można przyjmować dowolne).

Pozycja tego płaszczyzny w przestrzeni jest całkowicie określona przez odległość od pochodzenia, tj. Długość segmentu osi L od początku do punktu przecięcia z płaszczyzną (na rys. 111 - segment) i kąty między oś i osie współrzędnych. Gdy punkt współrzędnych porusza się wzdłuż płaszczyzny, jego współrzędne zmieniają się tak, że cały czas jest związany z pewnym warunkiem. Zobaczmy, co to jest warunek.

Budować na rys. 111 Koordynuj połączoną linię OPSM arbitralny punkt M Weź projekcję tego złamanego na osi. Zauważając, że projekcja złamania jest równa projekcji segmentu zwalczonego (Ch. I, § 3), będziemy mieli.

24. Zależność liniowa zależność kolumn matrycy. Właściwości liniowe zależność i niezależność ciągów (kolumny) macierzy

Właściwości zależnych liniowych i liniowo niezależnych kolumn matryc

25. BASY MILL. Twierdzenie o podstawowym małym. Twierdzenie zasięgu.

26. Systemy równań liniowych. Twierdzenie Kronkener - Capelli na kompatybilność systemów.

27. Jednolite systemy równań liniowych. Właściwości ich rozwiązań. Ogólna decyzja osła.

28. Podstawowe rozwiązania systemowe

29. Niejednorodne układy równań liniowych. Właściwości ich rozwiązań. Budowanie ogólnego rozwiązania NSLU.

30. Przestępki liniowe. Definicja. Przykłady, efekty aksjomatu.

31. Zależność liniowa wektory przestrzeni liniowej. Nieruchomości

32. Podstawa przestrzeni liniowej. Wymiar

33. Wyjątkowość rozkładu wektory według bazy. Współrzędne. Działania na temat wektorów współrzędnych.

34. Zmień współrzędne wektorowe podczas przeprowadzki do nowej podstawy. Matryca przejścia.

35. Przestrzeń Euclidean. Definicja, przykłady. Moduł wektorowy. Kąt między wektory. Nierówność Cauchy Bunyakovsky.

36. Operator liniowy. Matryca operatora liniowego. Zmiana macierzy operatora liniowego podczas przełączania na nową podstawę.

37. Obraz i rdzeń operatora liniowego. Ranga operatora liniowego.

38. W oddzielnym pliku.

39. Własne wektory i własne wartości operatora liniowego. Ich właściwości

40. Sekwencja. Limit sekwencji. Ograniczone, nieograniczone, nieskończenie małe i nieskończenie duże sekwencje. Definicja

[Edytuj] Przykłady

[Edytuj] Operacje sekwencji

[Edytuj] SUkiet

[Edytuj] Przykłady

[Edytuj] Właściwości

[Edytuj] Sekwencja punktowa

[Edytuj] Limit sekwencji

[Edytuj] Niektóre rodzaje sekwencji

[Edytuj] Ograniczone i nieograniczone sekwencje

[Edytuj] Kryterium ograniczoną sekwencję numeryczną

[Edytuj] Właściwości ograniczonych sekwencji

[Edytuj] nieskończenie duże i nieskończenie małe sekwencje

[Edytuj] Właściwości nieskończenie małych sekwencji

[Edytuj] Zbieżne i rozbieżne sekwencje

[Edytuj] Właściwości sekwencji zbieżnych

41. Koncepcja funkcji. Sposoby ustawienia funkcji.

42. Funkcja limitu w punkcie, w nieskończoności. Interpretacja geometryczna. Definicje i przykłady.

43. Twierdzenia są ograniczone:

44. Ciągłe funkcje i właściwości:

Właściwości lokalne

Światowy

Sign Conservation TheoreM dla funkcji ciągłej

Dowód

45. Pierwszy wspaniały limit. Konsekwencje. Kwoty limitu twierdzenia, działa i prywatne.

46. \u200b\u200bOgraniczone funkcje i ich właściwości. Wymagany warunek istnienia limitu funkcji w punkcie.

47. Nieszoodporne funkcje, ich właściwości. Lemat

Lematy o nieskończenie małym

48. Kryterium istnienia limitu funkcji w punkcie.

49. nieskończenie duże funkcje, komunikacja z nieskończeniem małych funkcji.

50. Ujawnienie niepewności. Drugi wspaniały limit.

51. równoważne nieskończenie małe funkcje. Stół równoważnych nieskończenie małych funkcji.

52. Twierdzenie o stosowaniu równoważnego nieskończenie niewielkiego do obliczenia limitów.

3.2. Główne wzory równoważne są nieskończenie małe.

53. Ograniczenia funkcji jednokierunkowej w punkcie. Jednostronna ciągłość funkcji w punkcie.

54. punkty punktów punktowych i ich klasyfikacja.

55. Właściwości funkcji ciągły w segmencie.

56. Zadania prowadzące do koncepcji pochodnej. Pojęcie pochodnej. Pochodna geometryczna i fizyczna.

1.1 Zadania prowadzące do koncepcji pochodnej

, Jeśli.

57. RÓŻNOŚĆ FUNKCJI. Funkcja zróżnicowania kryterium w punkcie.

57. RÓŻNOŚĆ FUNKCJI. Funkcja zróżnicowania kryterium w punkcie.

58. Funkcja złożona pochodna.

59. Funkcja różnicowa. Niezmienność pierwszego formularza rejestracji różnicowej.

60. Funkcja odwrotna i jego pochodna.

60. Funkcja odwrotna i jego pochodna.

61. Zasady różnicowania.

63. Zróżnicowanie logarytmiczne. Pochodna funkcji orientacyjnej stopniowej.

5.4. Pochodna funkcji orientacyjnej stopniowej

64. Zobacz oddzielny plik.

65. Twierdzenie przeciętnie - gospodarstwo rolne.

66. The Middle Lagrange Twierdzenia, Cauchy.

67. Różnice wyższych zamówień. Niezmienny formularz nagrywania.

68. Zasada LOPITAL. Ujawnienie niepewności przy użyciu zasady lopital.

69. Formuła Taylora. Rozkład funkcji zgodnie z formułą Taylor.

70. Monotonia funkcji. Warunki monotoniczności.

71. Ekstremalna funkcja. Niezbędny warunek istnienia ekstremum.

72. Wystarczające warunki ekstremum.

73. Konwersja i wklęsła funkcja funkcji. Punkty przegięcia.

74. Asymptoty graficzne.

[Edytuj] Rodzaje asymptotów wykresów [edytuj] pionowe

[Edytuj] poziomy

[Edytuj] nachylony

[Edytuj] znalezienie asymptota

76. Metoda zastępowania zmiennych w nieokreślonym integralnym.

77. Integracja w częściach w nieokreślonym integralnym. Zajęcia funkcji integrowanych w częściach.

78. Racjonalne Fraci. Rozkład racjonalnych frakcji na sumie najprostszej.

79. Integracja najprostszych racjonalnych frakcji.

80. Integracja funkcji trygonometrycznych.

81. Integracja irracjonalna ...

82. Integracja irracjonalności oczu ...

83. Koncepcja konkretnej integralnej, jej znaczenia geometrycznego i właściwości. Środkowy twierdzenie.

84. Integralne ze zmienną górną granicą. Formuła Newton Labitsa.

85. System współrzędnych polarnych. Równania krzywych w systemie współrzędnych biegunowych.

Równanie krzywych współrzędnych polarnych

okrąg

Polar Rosa.

Spiralne Archimedes.

Stożkowe sekcje

86. Obliczanie określonej integralnej. Używanie go do obliczenia obszarów płaskich postaci, długość krzywej łuku.

87. Obliczanie ciał, organów obrotów.

88. Załącznik specyficzna integralna do zadań fizyki.

89. Nieodwołalne pierwoty z I rodzaju.

89. Nieodwołalne pierwoty z I rodzaju.

Nieodwołalne całki

Geometryczne znaczenie niezgodnego integralnego i rodzaju

Przykłady.

90. Nieodwołalne pierwoty z rodzaju.

Geometryczne znaczenie niewłaściwych integerów z rodzaju

Normalne równanie płaszczyzny.

Nazywany jest ogólne równanie płaszczyzny gatunkowej normalne równanie samolotuJeśli długość wektora równy jeden, to znaczy , i.

Często można zobaczyć, że normalne równanie płaszczyzny jest zapisywane w formie. Tutaj - Przewodnik Cosines normalnego wektor tego płaszczyzny pojedynczej długości, czyli i p. - liczba nieustwowa równa odległości od początku współrzędnych do płaszczyzny.

Normalne równanie płaszczyzny w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz. Określa samolot usunięty z początku współrzędnych p. W pozytywnym kierunku normalnego wektor tego samolotu . Jeśli p \u003d 0.Samolot przechodzi przez pochodzenie współrzędnych.

Dajemy przykład równania normalnego samolotu.

Niech płaszczyzna ustawiona w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz. Wspólne równanie płaszczyzny formularza . To ogólne równanie płaszczyzny jest normalnym równaniem samolotu. Rzeczywiście, normalny wektor tego samolotu ma długość równą pierwszej .

Równanie płaszczyzny w formacie normalnym pozwala znaleźć odległość od punktu do samolotu.

Odległość od punktu do samolotu.

Odległość od punktu do samolotu jest najmniejsza z odległości między tym punktem a punktami samolotu. Wiadomo, że dystans Od punktu do płaszczyzny jest równy długości prostopadłej, opuszczonej z tego punktu do samolotu.

Jeśli pochodzenie współrzędnych leży na różnych stronach płaszczyzny, w przeciwnym przypadku. Odległość od punktu do samolotu jest

Wzajemna lokalizacja samolotów. Warunki równoległości i prostopadłości samolotów.

Odległość między równoległych płaszczyzn

Połączone koncepcje

Samolot jest równolegle , Jeśli

lub (Sztuka wektorowa)

Samoloty prostopadły, Jeśli

Lub . (Produkt skalarny)

Bezpośrednio w przestrzeni. Różne rodzaje równania są proste.

Równania bezpośrednio w przestrzeni - początkowe informacje.

Równanie bezpośredniego w samolocie Oxy. jest równaniem liniowym z dwoma zmiennymi x. i y.Co spełnia współrzędne dowolnego punktu bezpośrednio i nie spełniają współrzędnych innych punktów. Z linią w przestrzeni trójwymiarowej, jest trochę inaczej - nie ma równania liniowego z trzema zmiennymi. x., y. i z.który zaspokoiłby tylko współrzędne kropek bezpośrednio określone w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz.. Rzeczywiście, równanie gatunku, gdzie x., y. i z. - zmienne i ZA., B., DO. i RE. - Niektóre ważne liczby i I, W i OD W tym samym czasie nie są zero, reprezentuje ogólne równanie samolotu. Następnie pojawia się pytanie: "W jaki sposób można opisać bezpośrednią linię w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz.»?

Odpowiedź na to jest zawarta w następujących akapitach artykułu.

Równania bezpośrednio w przestrzeni są równaniami dwóch przecinających się samolotów.

Przypomnijmy jeden aksjomat: Jeśli dwa płaszczyzny w przestrzeni mają wspólny punkt, mają wspólnego bezpośredniego, na którym znajdują się wszystkie wspólne punkty tych samolotów. W ten sposób można określić bezpośrednią linię w przestrzeni, wskazując, że dwa płaszczyzny przecinające się przez ten bezpośredni.

Przenosimy najnowsze oświadczenie do języka algebry.

Niech ustalono prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej Oxyz. I wiadomo, że prosto zA. Jest to linia przecięcia dwóch samolotów i, co odpowiada wspólne równania samolotu, jest film. Od prostego zA. Jest to zestaw wszystkich wspólnych punktów samolotów, a następnie współrzędne dowolnego punktu bezpośredniego spełniają zarówno równania równania, współrzędne jakiegokolwiek innych punktów nie będą spełnione jednocześnie zarówno równania samolotów. W związku z tym współrzędne dowolnego punktu bezpośrednio zA. W prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz. przedstawiać prywatne rozwiązanie systemu równań liniowych Widok oraz ogólne rozwiązanie systemu równań określa współrzędne każdego punktu bezpośrednia zA.to znaczy, określa bezpośredni zA..

Tak, bezpośrednio w przestrzeni w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz. można ustawić przez system z równań dwóch przecinających się samolotów .

Oto przykład zadania linii prostej w przestrzeni przy użyciu systemu dwóch równań - .

Opis linii prostej z równanami dwóch przecinających się samolotów jest świetna znalezienie współrzędnych skrzyżowania bezpośredniej i płaszczyznyjak również znalezienie współrzędnych skrzyżowania dwóch bezpośrednich w przestrzeni.

Zalecamy kontynuowanie badania tego tematu, skontaktowanie się z artykułem. równania bezpośrednio w przestrzeni - równania dwóch przecinających się samolotów. Przedstawia bardziej szczegółowe informacje, rozwiązania charakterystycznych przykładów i zadań są zdemontowane szczegółowo, a pokazano metodę przejścia do równań bezpośrednio w przestrzeni innego gatunku.

Należy zauważyć, że są różne metody zadania bezpośrednio w przestrzeniW praktyce, bezpośredni jest częściej zdefiniowany przez dwa przecinające samoloty, ale bezpośrednia linia bezpośredniego i punktu leżącego na tej linii prostej. W takich przypadkach łatwiej jest uzyskać równania kanoniczne i parametryczne bezpośrednio w przestrzeni. Porozmawiamy o nich w poniższych akapitach.

Równania parametryczne bezpośrednio w przestrzeni.

Równania parametryczne bezpośrednio w przestrzeni mieć rodzaj ,

gdzie x. 1 ,y. 1 i z. 1 - współrzędne pewnego punktu bezpośrednia, zA. x. , zA. y. i zA. z. (zA. x. , zA. y. i zA. z. Jednocześnie nie są zerowe) - istotne bezpośrednie współrzędne wektory, A - jakiś parametr, który może podjąć wszelkie ważne znaczenie.

Z dowolną wartością parametru według równań parametrycznych, bezpośrednio w przestrzeni, możemy obliczyć trzy trzy liczby,

odpowiada pewnym punkcie prosto (stąd nazwa tego typu linii równań). Na przykład, kiedy

od równań parametrycznych, bezpośrednio w przestrzeni uzyskiwamy współrzędne x. 1 , y. 1 i z. 1 : .

Przykładowo, rozważ bezpośrednio, które równania parametryczne określone specjalnie . To bezpośrednie przechodzi przez punkt, a wektor przewodnika tego bezpośredniego ma współrzędne.

Zalecamy kontynuowanie badania tematu, skontaktowanie się z artykułem równania parametryczne bezpośrednio w przestrzeni. Pokazuje wycofanie równań parametrycznych do prostej w przestrzeni, specjalne przypadki równań parametrycznych są zdemontowane w przestrzeni, ilustracje graficzne są podane, szczegółowe rozwiązania zadań charakterystycznych i podłączenia równań parametrycznych bezpośrednio z innymi rodzajami równań bezpośrednich .

Równania kanoniczne bezpośrednio w przestrzeni.

Rozwiązywanie każdego z parametrycznych równań typu bezpośredniego w stosunku do parametru, łatwy do przejścia równania kanoniczne bezpośrednio w przestrzeni Widok .

Równania kanoniczne bezpośrednie w przestrzeni są zdefiniowane bezpośrednią przechodzącą przez punkt i bezpośredni bezpośredni wektor bezpośredni . Na przykład równania bezpośrednio w formie kanonicznej odpowiedni do bezpośredniego przechodzenia przez punkt przestrzeni z współrzędnymi, wektor prowadzący tego bezpośredniego ma współrzędne.

Należy zauważyć, że jedna lub dwie liczby w równaniach kanonicznych prostych może wynosić zero (wszystkie trzy nie mogą być zerowe indywidualnie równe, ponieważ linia bezpośrednia nie może być zero). Następnie rekord widoku jest uważany za formalny (jak w mianownikach jednej lub dwóch frakcji będzie zer) i należy rozumieć jako gdzie.

Jeśli jedna z liczb w równań kanonicznych jest prosta równa zero, a następnie bezpośrednie leży w jednym z samolotów współrzędnych lub w płaszczyźnie je równolegle. Jeśli dwie powieści mają zero, a następnie bezpośrednio lub pokrywa się z jedną z osi współrzędnych lub równolegle do niego. Na przykład, bezpośrednio odpowiadający równaniu kanonicalowi bezpośrednio w przestrzeni gatunku Leży w samolocie z \u003d -2.który jest równoległy do \u200b\u200bpłaszczyzny współrzędnych Oxy.i osi współrzędnych. Oy. Określone przez równania kanoniczne.

Ilustracje graficzne tych przypadków, wycofanie równań kanonicznych w przestrzeni, szczegółowe rozwiązania charakterystycznych przykładów i zadań, a także przejście z równań kanonicznych bezpośrednio do innych równań bezpośrednich w przestrzeni, patrz artykuł równania kanoniczne bezpośrednio w przestrzeni.

Równanie ogólne jest proste. Przejście z całkowitej do równania kanonicznego.

"