Oczekiwanie matematyczne ciągłej zmiennej losowej. Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to moduł oczekiwań matematycznych

Oczekiwanie matematyczne to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne, definicja, oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, oczekiwanie selektywne, oczekiwanie warunkowe, rachunek, własności, zadania, estymacja oczekiwana, wariancja, dystrybuant, wzory, przykłady obliczeń

Rozwiń zawartość

Zwiń zawartość

Oczekiwanie matematyczne jest definicją

Jedno z najważniejszych pojęć w statystyce matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństw zmiennej losowej. Zwykle wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Jest szeroko stosowany w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych, badaniu procesów ciągłych i długoterminowych. Jest ważny w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cenowych podczas handlu na rynkach finansowych i jest wykorzystywany w opracowywaniu strategii i metod taktyki gry w teorii hazardu.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozważany w teorii prawdopodobieństwa.

Oczekiwanie matematyczne jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej X oznaczony M(x).

Oczekiwanie matematyczne jest

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć ta zmienna losowa.

Oczekiwanie matematyczne jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwa tych wartości.

Oczekiwanie matematyczne jest przeciętnej korzyści z określonej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużej odległości.

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii hazardu, kwota wygranych, które gracz może zarobić lub przegrać średnio dla każdego zakładu. W języku graczy nazywa się to czasem „przewagą gracza” (jeśli jest dodatnia dla gracza) lub „przewagą kasyna” (jeśli jest ujemna dla gracza).

Oczekiwanie matematyczne jest Procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożony przez średnią stratę.

Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej w teorii matematycznej

Jedną z ważnych cech liczbowych zmiennej losowej jest oczekiwanie matematyczne. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważ zestaw zmiennych losowych, które są wynikami tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości systemu, to zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest wspólnym prawem dystrybucji. Ta funkcja pozwala obliczyć prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia z. W szczególności wspólne prawo dystrybucji zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest określone przez prawdopodobieństwa.

Termin „oczekiwanie” został wprowadzony przez Pierre'a Simona Marquisa de Laplace'a (1795) i wywodzi się z pojęcia „oczekiwanej wartości wypłaty”, które po raz pierwszy pojawiło się w XVII wieku w teorii hazardu w pracach Blaise'a Pascala i Christiana Huygensa . Jednak pierwszego pełnego teoretycznego zrozumienia i oceny tej koncepcji dokonał Pafnutij Lwowicz Czebyszew (połowa XIX wieku).

Prawo dystrybucji losowych zmiennych numerycznych (funkcja dystrybucji i szereg dystrybucji lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmiennej losowej. Jednak w wielu problemach wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej wartość średnią i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Główne cechy liczbowe zmiennych losowych to oczekiwanie matematyczne, wariancja, tryb i mediana.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywane jest średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że ​​jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne: jeśli jednostka masy zostanie umieszczona na linii prostej, umieszczenie pewnej masy w niektórych punktach (dla rozkładu dyskretnego) lub „rozsmarowanie” jej określoną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego), wówczas punktem odpowiadającym oczekiwaniom matematycznym będzie współrzędna prosta „środka ciężkości”.

Średnia wartość zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „reprezentantem” i zastępuje ją w przybliżonych obliczeniach przybliżonych. Gdy mówimy: „średni czas pracy lampy wynosi 100 godzin” lub „przeciętny punkt uderzenia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, oznaczamy przez to pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej opisującej jej położenie na osi numerycznej, tj. opis pozycji.

Spośród cech pozycji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, którą czasami nazywa się po prostu średnią wartością zmiennej losowej.

Rozważ zmienną losową X, który ma możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwem p1, p2, …, pn. Musimy scharakteryzować pewną liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi x, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. W tym celu naturalne jest wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każda wartość xi podczas uśredniania powinna być brana pod uwagę z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, które będziemy oznaczać M|X|:

Ta średnia ważona nazywana jest matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. Wprowadziliśmy więc do rozważań jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa - pojęcie matematycznego oczekiwania. Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

X ze względu na swoistą zależność ze średnią arytmetyczną obserwowanych wartości zmiennej losowej przy dużej liczbie eksperymentów. Ta zależność jest tego samego typu, co zależność między częstotliwością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega się pod względem prawdopodobieństwa) do jej matematycznego oczekiwania. Z obecności związku między częstotliwością a prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku między średnią arytmetyczną a oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową X, charakteryzujący się szeregiem rozkładów:

Niech powstanie N niezależne eksperymenty, w każdym z których wartość X przyjmuje określoną wartość. Załóżmy wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawił się mi razy. Obliczmy średnią arytmetyczną obserwowanych wartości X, co w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M|X| będziemy oznaczać M*|X|:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. Dlatego średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów będzie zbliżać się (zbiegać się pod względem prawdopodobieństwa) do swoich matematycznych oczekiwań. Związek średniej arytmetycznej ze sformułowanym powyżej oczekiwaniem matematycznym stanowi treść jednej z form prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że pewne średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Mówimy tutaj o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji o tej samej wartości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nieprzypadkowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - matematycznego oczekiwania.

Właściwość stabilności średnich dla dużej liczby eksperymentów jest łatwa do zweryfikowania doświadczalnie. Na przykład ważąc dowolne ciało w laboratorium na precyzyjnych wagach, w wyniku ważenia za każdym razem otrzymujemy nową wartość; aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i wykorzystujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że wraz z dalszym wzrostem liczby eksperymentów (ważeń) średnia arytmetyczna coraz słabiej reaguje na ten wzrost, a przy odpowiednio dużej liczbie eksperymentów praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć, że najważniejsza cecha pozycji zmiennej losowej – oczekiwanie matematyczne – nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Możliwe jest skomponowanie przykładów takich zmiennych losowych, dla których nie istnieje oczekiwanie matematyczne, ponieważ odpowiadająca im suma lub całka jest rozbieżna. Jednak w praktyce takie przypadki nie mają większego znaczenia. Zwykle zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają oczekiwanie.

Oprócz najważniejszej z charakterystyk pozycji zmiennej losowej – matematycznej wartości oczekiwanej, w praktyce stosuje się niekiedy inne charakterystyki pozycji, w szczególności modę i medianę zmiennej losowej.

Tryb zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobną wartością. Ściśle mówiąc, termin „najbardziej prawdopodobna wartość” odnosi się tylko do ilości nieciągłych; dla wielkości ciągłej modą jest wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Rysunki przedstawiają tryb odpowiednio dla nieciągłych i ciągłych zmiennych losowych.

Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, mówi się, że rozkład jest „polimodalny”.

Czasami istnieją rozkłady, które mają w środku nie maksimum, ale minimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.

W ogólnym przypadku tryb i matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i istnieje matematyczne oczekiwanie, to pokrywa się ona z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystywana jest inna charakterystyka pozycji – tzw. mediana zmiennej losowej. Ta cecha jest zwykle używana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować również dla zmiennej nieciągłej. Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar ograniczony krzywą rozkładu jest podzielony na pół.

W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się ze średnią i trybem.

Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej - liczbowa charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. W najbardziej ogólny sposób, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) jest zdefiniowana jako całka Lebesgue'a w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa R w oryginalnej przestrzeni prawdopodobieństwa:

Oczekiwanie matematyczne można również obliczyć jako całkę Lebesgue'a X przez rozkład prawdopodobieństwa piks wielkie ilości X:

W naturalny sposób można zdefiniować pojęcie zmiennej losowej z nieskończonym oczekiwaniem matematycznym. Typowym przykładem są czasy powrotu w niektórych spacerach losowych.

Za pomocą oczekiwań matematycznych określa się wiele liczbowych i funkcjonalnych charakterystyk rozkładu (jako matematyczne oczekiwanie odpowiednich funkcji zmiennej losowej), na przykład funkcja generująca, funkcja charakterystyczna, momenty dowolnego rzędu, w szczególności dyspersja , kowariancja.

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średnia wartość jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne służy jako pewien „typowy” parametr rozkładu, a jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisywany ogólnie - mediany, tryby, oczekiwanie matematyczne różni się tym większą wartością, ile ono i odpowiadająca mu charakterystyka rozpraszania - dyspersja - mają w twierdzeniach granicznych teorii prawdopodobieństwa. Z największą kompletnością znaczenie oczekiwań matematycznych ujawnia prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) i wzmocnione prawo wielkich liczb.

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów w rzucie kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce przy takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni zwrot (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?

Powiedzmy, że jest jakaś loteria. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się w nim uczestniczyć (a nawet wielokrotnie, regularnie). Powiedzmy, że co czwarty los wygrywa, nagroda wyniesie 300 rubli, a cena dowolnego losu wyniesie 100 rubli. Przy nieskończonej liczbie udziałów tak właśnie się dzieje. W trzech czwartych przypadków przegramy, co trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery starty tracimy średnio 100 rubli, za jedno - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka naszej ruiny wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostką. Jeśli to nie jest oszukiwanie (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile punktów będziemy mieli średnio na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, bierzemy głupią średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro to ŚREDNIA, to nie ma co się oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – no przecież ta kostka nie ma ścianki z taką liczbą!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:

Rzućmy okiem na zdjęcie tuż powyżej. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (podanych w górnym rzędzie). Nie może być innych wartości. Pod każdą możliwą wartością jej prawdopodobieństwo jest podpisane poniżej. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywamy oczekiwaniem matematycznym. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie prób (z dużą próbą) średnia wartość będzie dążyć do tego bardzo matematycznego oczekiwania.

Wróćmy do tej samej kostki do gry. Oczekiwana matematyczna liczba punktów w rzucie wynosi 3,5 (oblicz sobie, korzystając ze wzoru, jeśli w to nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wypadły 4 i 6. Średnio wyszło 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili to ponownie, wypadło 3, czyli średnio (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Jakoś daleko od matematycznych oczekiwań. A teraz zrób szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! A jeśli średnia nie wynosi dokładnie 3,5, to będzie blisko tego.

Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla wyżej opisanej loterii. Tabela będzie wyglądać następująco:

Wtedy oczekiwanie matematyczne będzie, jak ustaliliśmy powyżej:

Inna sprawa, że ​​też jest „na palcach”, bez formuły trudno byłoby, gdyby opcji było więcej. Cóż, powiedzmy, że było 75% biletów przegranych, 20% biletów wygrywających i 5% biletów wygrywających.

Teraz niektóre własności oczekiwań matematycznych.

Łatwo to udowodnić:

Ze znaku oczekiwania można wyciągnąć stały mnożnik, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości oczekiwań matematycznych.

Kolejna konsekwencja liniowości oczekiwań matematycznych:

to znaczy, matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, Następnie:

To też jest łatwe do udowodnienia) XY sama w sobie jest zmienną losową, podczas gdy początkowe wartości mogłyby przyjąć N I M odpowiednio wartości XY może przyjmować wartości nm. Prawdopodobieństwo każdej z wartości obliczane jest w oparciu o fakt, że prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych są mnożone. W rezultacie otrzymujemy to:

Oczekiwanie matematyczne ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką cechę, jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Charakteryzuje ona bowiem sytuację, że zmienna losowa przyjmuje pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych częściej, inne – rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:

Tutaj X- właściwie zmienną losową, f(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zeru. szanse na przekroczenie 3 lub być mniej -3 raczej czysto teoretyczne.

Załóżmy na przykład, że istnieje rozkład jednostajny:

Jest to całkiem zgodne z intuicyjnym rozumieniem. Powiedzmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o jednolitym rozkładzie, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Własności oczekiwań matematycznych - liniowość itp., mające zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych, mają tutaj również zastosowanie.

Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W analizie statystycznej obok oczekiwań matematycznych istnieje system współzależnych wskaźników odzwierciedlających jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Często wskaźniki zmienności nie mają samodzielnego znaczenia i służą do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną cechą statystyczną.

Stopień zmienności lub stabilności procesów w statystyce można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszym wskaźnikiem charakteryzującym zmienność zmiennej losowej jest Dyspersja, co jest najściślej i bezpośrednio związane z oczekiwaniem matematycznym. Ten parametr jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również zakres, w jakim dane rozchodzą się wokół średniej.

Przydatne jest tłumaczenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że wariancja to średni kwadrat odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, a następnie pobierana jest różnica między każdą wartością pierwotną i średnią, podnoszona do kwadratu, sumowana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w tej populacji. Różnica między indywidualną wartością a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Jest podnoszony do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby uniknąć wzajemnego znoszenia dodatnich i ujemnych odchyleń podczas ich sumowania. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia są podnoszone do kwadratu i bierze się pod uwagę średnią. Odpowiedź na magiczne słowo „dyspersja” to tylko trzy słowa.

Jednak w czystej postaci, takiej jak na przykład średnia arytmetyczna lub wskaźnik, dyspersja nie jest używana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, który jest używany do innych rodzajów analiz statystycznych. Ona nawet nie ma normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat oryginalnej jednostki danych.

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. W jaki sposób wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?

Lub rzucimy kostką wiele razy. Liczba oczek, które wypadną na kostkę podczas każdego rzutu jest zmienną losową i może przyjmować dowolne wartości naturalne od 1 do 6. N dąży do bardzo określonej liczby - matematycznego oczekiwania MX. W tym przypadku Mx = 3,5.

Jak powstała ta wartość? Wpuść N próby n1 po odrzuceniu 1 punktu, n2 razy - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których padł jeden punkt:

Podobnie z wynikami, gdy wypadły 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Załóżmy teraz, że znamy prawo dystrybucji zmiennej losowej x, to znaczy wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2, ..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2, ... , pk.

Oczekiwanie matematyczne Mx zmiennej losowej x wynosi:

Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Tak więc, aby oszacować przeciętne wynagrodzenie, rozsądniej jest posłużyć się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób, które otrzymują mniej niż mediana wynagrodzenia i więcej, była taka sama.

Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x jest mniejsza niż x1/2, oraz prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x jest większa niż x1/2, są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest jednoznacznie określona dla wszystkich rozkładów.

Odchylenie standardowe lub standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych lub zbiorów obserwacyjnych od wartości ŚREDNIEJ. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane są zgrupowane wokół średniej, a duże odchylenie standardowe wskazuje, że początkowe dane są od niej dalekie. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic początkowych danych odbiegających od średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy z wariancji:

Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej:

Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości atrybutu w jednostkach populacji. Odrębne wartości liczbowe cechy występujące w badanej populacji nazywane są wariantami wartości. Niewystarczalność wartości średniej do pełnej charakterystyki populacji powoduje konieczność uzupełnienia wartości średnich o wskaźniki, które umożliwiają ocenę typowości tych średnich poprzez pomiar fluktuacji (zmienności) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się według wzoru:

Zmienność rozpiętości(R) to różnica między maksymalną a minimalną wartością cechy w badanej populacji. Ten wskaźnik daje najbardziej ogólne wyobrażenie o fluktuacji badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między skrajnymi wartościami opcji. Zależność od skrajnych wartości atrybutu nadaje zakresowi zmienności niestabilny, losowy charakter.

Średnie odchylenie liniowe jest średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:

Oczekiwania matematyczne w teorii hazardu

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia kwota pieniędzy, jaką gracz może wygrać lub przegrać w danym zakładzie. Jest to bardzo istotna koncepcja dla gracza, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grze. Oczekiwania matematyczne są również najlepszym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grze.

Załóżmy, że grasz na monety ze znajomym, stawiając za każdym razem równy zakład o wartości 1 $, bez względu na to, co wypadnie. Orzeł - wygrywasz, orzeł - przegrywasz. Szanse na to, że wypadnie reszka, wynoszą jeden do jednego i obstawiasz od 1 $ do 1 $. Zatem twoje matematyczne oczekiwanie wynosi zero, ponieważ mówiąc matematycznie, nie możesz wiedzieć, czy poprowadzisz, czy przegrasz po dwóch rzutach, czy po 200.

Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wypłata godzinowa to kwota pieniędzy, którą spodziewasz się wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ Twoje szanse nie są ani dodatnie, ani ujemne. Jeśli spojrzeć, z punktu widzenia poważnego gracza, taki system obstawiania nie jest zły. Ale to tylko strata czasu.

Ale załóżmy, że ktoś chce postawić 2 dolary przeciwko twojemu 1 dolarowi w tej samej grze. Wtedy od razu masz pozytywne oczekiwanie 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszego dolara i przegraj 1 $, postaw drugiego i wygraj 2 $. Postawiłeś dwa razy 1 $ i masz przewagę 1 $. Więc każdy z twoich jednodolarowych zakładów dał ci 50 centów.

Jeśli moneta spadnie 500 razy w ciągu godziny, Twój godzinowy zysk wyniesie już 250 $, ponieważ. przegrywałeś średnio 1250 $ i wygrywałeś 2250 $. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Pamiętaj, że oczekiwana wartość, czyli kwota, którą średnio wygrywasz w pojedynczym zakładzie, wynosi 50 centów. Wygrałeś 250 $, stawiając 500 razy dolara, co równa się 50 centom twojego zakładu.

Oczekiwania matematyczne nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko tobie 2 dolary, mógł cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale ty, z przewagą zakładu 2 do 1, przy wszystkich innych równych warunkach, zarabiasz 50 centów na każdym zakładzie o wartości 1 dolara pod jakimkolwiek okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład lub kilka zakładów, ale tylko pod warunkiem, że masz wystarczająco dużo gotówki, aby z łatwością zrekompensować koszty. Jeśli obstawiasz dalej w ten sam sposób, to przez dłuższy czas Twoje wygrane będą zbliżać się do sumy oczekiwanych wartości w poszczególnych rzutach.

Za każdym razem, gdy postawisz lepszy zakład (zakład, który może być opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś na nim wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w danym rozdaniu. I odwrotnie, jeśli postawiłeś zakład z gorszym wynikiem (zakład, który na dłuższą metę jest nieopłacalny), gdy szanse nie są na twoją korzyść, coś przegrywasz, niezależnie od tego, czy wygrałeś, czy przegrałeś w tym rozdaniu.

Obstawiasz z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, i są pozytywne, jeśli szanse są na Twoją korzyść. Stawiając z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni gracze obstawiają tylko przy najlepszym wyniku, przy najgorszym - pasują. Co oznaczają szanse na twoją korzyść? Możesz wygrać więcej niż rzeczywiste szanse. Prawdziwe szanse na trafienie reszki wynoszą 1 do 1, ale ze względu na współczynnik obstawiania otrzymujesz 2 do 1. W tym przypadku szanse są na twoją korzyść. Zdecydowanie uzyskasz najlepszy wynik z pozytywnym oczekiwaniem 50 centów za zakład.

Oto bardziej złożony przykład oczekiwań matematycznych. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 $ przeciwko Twojemu 1 $, że nie wybierzesz numeru. Zgadzasz się na taki zakład? Jakie są tutaj oczekiwania?

Średnio pomylisz się cztery razy. Na tej podstawie prawdopodobieństwo, że odgadniesz liczbę, będzie wynosić 4 do 1. Istnieje prawdopodobieństwo, że stracisz dolara w jednej próbie. Wygrywasz jednak 5 do 1, z możliwością przegrania 4 do 1. Zatem szanse są na twoją korzyść, możesz przyjąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, przegrasz średnio cztery razy 1 $ i raz wygrasz 5 $. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 $ z dodatnim matematycznym oczekiwaniem 20 centów za zakład.

Gracz, który wygra więcej niż obstawia, jak w powyższym przykładzie, łapie szanse. I odwrotnie, rujnuje szanse, gdy spodziewa się, że wygra mniej niż obstawia. Obstawiający może mieć pozytywne lub negatywne oczekiwania w zależności od tego, czy trafi, czy zrujnuje szanse.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $ z szansą 4 do 1 na wygraną, otrzymasz ujemne oczekiwanie w wysokości 2 $, ponieważ średnio wygrasz cztery razy 10 $ i raz przegrasz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, z takimi samymi szansami na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz pozytywne oczekiwanie 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz cztery razy po 10 $ i raz przegrywasz 30 $, co daje zysk w wysokości 10 $. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.

Oczekiwania matematyczne są w centrum każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca fanów piłki nożnej do postawienia 11 USD, aby wygrać 10 USD, mają oni pozytywne oczekiwania w wysokości 50 centów za każde 10 USD. Jeśli kasyno wypłaca nawet pieniądze z linii pass w grze Craps, to pozytywne oczekiwanie kasyna wynosi około 1,40 $ na każde 100 $, ponieważ ta gra jest skonstruowana w taki sposób, że każdy, kto stawia na tę linię, przegrywa średnio 50,7% i wygrywa w 49,3% przypadków. Niewątpliwie to właśnie to pozornie minimalne pozytywne oczekiwanie przynosi ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył Bob Stupak, właściciel kasyna Vegas World: „Jedna tysięczna procenta ujemnego prawdopodobieństwa na dostatecznie dużej odległości doprowadzi do bankructwa najbogatszego człowieka na świecie”.

Oczekiwania matematyczne podczas gry w pokera

Gra w pokera jest najbardziej ilustrującym i ilustrującym przykładem wykorzystania teorii i własności oczekiwań matematycznych.

Oczekiwana wartość w pokerze to średnia korzyść z konkretnej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużej odległości. Sukces w pokerze polega na akceptowaniu ruchów z pozytywnym matematycznym oczekiwaniem.

Matematyczne znaczenie matematycznego oczekiwania podczas gry w pokera polega na tym, że przy podejmowaniu decyzji często spotykamy się ze zmiennymi losowymi (nie wiemy, jakie karty ma przeciwnik, jakie karty pojawią się w kolejnych rundach licytacji). Każde z rozwiązań musimy rozważyć z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która mówi, że przy odpowiednio dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie dążyć do jej matematycznego oczekiwania.

Wśród poszczególnych wzorów do obliczania matematycznej wartości oczekiwanej, w pokerze najlepiej sprawdza się następująca:

Podczas gry w pokera matematyczne oczekiwania można obliczyć zarówno dla zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę fold equity, w drugim własne oddsy puli. Oceniając matematyczne oczekiwanie konkretnego ruchu, należy pamiętać, że spasowanie zawsze ma zerowe matematyczne oczekiwanie. Dlatego odrzucanie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwanie mówi ci, czego możesz się spodziewać (zysk lub strata) za każdego dolara, którego ryzykujesz. Kasyna zarabiają pieniądze, ponieważ matematyczne oczekiwanie wszystkich gier, które są w nich uprawiane, jest na korzyść kasyna. Przy wystarczająco długiej serii gier można się spodziewać, że klient straci pieniądze, ponieważ „prawdopodobieństwo” jest na korzyść kasyna. Jednak profesjonalni gracze kasyn ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo dotyczy inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Oczekiwanie to Twój procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk pomniejszony o prawdopodobieństwo straty razy Twoja średnia strata.

Pokera można również rozpatrywać w kategoriach oczekiwań matematycznych. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Powiedzmy, że trafiłeś fulla w pokera z pięcioma kartami. Twój przeciwnik stawia. Wiesz, że jeśli podniesiesz stawkę, on zadzwoni. Podbijanie wydaje się więc najlepszą taktyką. Ale jeśli podbijesz, pozostali dwaj gracze na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz zakład, będziesz całkowicie pewien, że pozostali dwaj gracze po tobie zrobią to samo. Kiedy podbijasz stawkę, otrzymujesz jedną jednostkę, a po prostu sprawdzając, otrzymujesz dwie. Sprawdzenie daje więc wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i jest najlepszą taktyką.

Oczekiwania matematyczne mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokera są mniej opłacalne, a które są bardziej opłacalne. Na przykład, jeśli rozgrywasz określone rozdanie i uważasz, że Twoja średnia strata wynosi 75 centów, wliczając ante, powinieneś rozegrać to rozdanie, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 $.

Innym ważnym powodem zrozumienia wartości oczekiwanej jest to, że daje poczucie spokoju, niezależnie od tego, czy wygrasz zakład, czy nie: jeśli postawisz dobry zakład lub spasujesz na czas, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędziłeś pewną kwotę pieniądze, których słabszy gracz nie byłby w stanie zaoszczędzić. O wiele trudniej jest spasować, jeśli jesteś sfrustrowany, że twój przeciwnik ma lepszą rękę na draw. To powiedziawszy, pieniądze, które zaoszczędzisz, nie grając, zamiast obstawiać, są dodawane do twoich wygranych z dnia na dzień lub miesiąca.

Pamiętaj tylko, że gdybyś zamienił ręce, przeciwnik by cię sprawdził, a jak zobaczysz w artykule o fundamentalnych twierdzeniach pokera, to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś się cieszyć, gdy tak się stanie. Możesz nawet nauczyć się czerpać radość z przegranej, ponieważ wiesz, że inni gracze na twoim miejscu straciliby znacznie więcej.

Jak omówiono w przykładzie gry na monety na początku, godzinowa stopa zwrotu jest powiązana z matematycznymi oczekiwaniami, a ta koncepcja jest szczególnie ważna dla profesjonalnych graczy. Kiedy zamierzasz grać w pokera, musisz w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też skorzystać z obliczeń matematycznych. Na przykład, jeśli grasz w draw lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 $, a następnie dobierają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką, możesz sam obliczyć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 $, tracą około 2 $. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że ​​wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, którzy są w przybliżeniu równi, więc ci czterej gracze (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 $, a każdy z nich zarobi 12 $ na godzinę. Twoja stawka godzinowa w tym przypadku to po prostu Twój udział w kwocie pieniędzy straconych przez trzech złych graczy na godzinę.

W długim okresie łączna wygrana gracza jest sumą jego matematycznych oczekiwań w osobnych rozkładach. Im więcej grasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrywasz i odwrotnie, im więcej rąk rozgrywasz z negatywnymi oczekiwaniami, tym więcej przegrywasz. W rezultacie powinieneś nadać priorytet grze, która może zmaksymalizować twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować twoje negatywne oczekiwania, abyś mógł zmaksymalizować swój godzinowy zysk.

Pozytywne oczekiwanie matematyczne w strategii gry

Jeśli wiesz, jak liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, jeśli cię nie zauważą i wyrzucą. Kasyna kochają pijanych hazardzistów i nie znoszą liczenia kart. Przewaga pozwoli ci wygrać więcej razy niż przegrać w czasie. Dobre zarządzanie pieniędzmi przy użyciu obliczeń oczekiwań może pomóc Ci wykorzystać przewagę i ograniczyć straty. Bez przewagi lepiej oddać pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje więcej zysków niż strat, różnic cenowych i prowizji. Żadne zarządzanie pieniędzmi nie uratuje złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie jest definiowane przez wartość większą od zera. Im większa liczba, tym silniejsze oczekiwanie statystyczne. Jeśli wartość jest mniejsza od zera, wówczas oczekiwanie matematyczne również będzie ujemne. Im większy moduł o wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, oczekiwany jest próg rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne, rozsądny system gry. Granie na intuicji prowadzi do katastrofy.

Oczekiwania matematyczne i handel akcjami

Oczekiwanie matematyczne jest dość powszechnie pożądanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym w handlu giełdowym na rynkach finansowych. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handlu. Nietrudno zgadnąć, że im większa jest ta wartość, tym więcej powodów do uznania badanej transakcji za udaną. Oczywiście analizy pracy tradera nie da się przeprowadzić tylko za pomocą tego parametru. Jednak wyliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości pracy może znacznie zwiększyć dokładność analizy.

Matematyczne oczekiwanie jest często obliczane w usługach monitorowania konta handlowego, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na depozycie. Jako wyjątki możemy wymienić strategie wykorzystujące „przedłużanie” stratnych transakcji. Trader może mieć szczęście przez jakiś czas, a co za tym idzie, w jego pracy może nie być żadnych strat. W takim przypadku nie będzie można nawigować wyłącznie na podstawie oczekiwań, ponieważ ryzyka stosowane w pracy nie będą brane pod uwagę.

W handlu na rynku oczekiwanie matematyczne jest najczęściej wykorzystywane przy przewidywaniu rentowności strategii handlowej lub przy przewidywaniu dochodu tradera na podstawie statystyk jego poprzednich transakcji.

Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że dokonując transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, który zdecydowanie może przynieść wysokie zyski. Jeśli nadal będziesz grać na giełdzie w tych warunkach, to niezależnie od tego, jak zarządzasz swoimi pieniędzmi, stracisz całe konto, bez względu na to, jak duże było na początku.

Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w grach lub transakcjach z negatywnymi oczekiwaniami, ale także w grach o parzystych kursach. Dlatego jedyny przypadek, w którym masz szansę na długoterminowe korzyści, to zawieranie transakcji z pozytywnymi oczekiwaniami matematycznymi.

Różnica między oczekiwaniami negatywnymi a oczekiwaniami pozytywnymi jest różnicą między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; ważne jest, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Dlatego przed rozważeniem zarządzania pieniędzmi musisz znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie cię nie uratuje. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możliwe jest, poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi, przekształcenie ich w wykładniczą funkcję wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe jest pozytywne oczekiwanie! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system handlu oparty na jednym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 $ na kontrakt w pojedynczej transakcji (po opłatach i poślizgu), możesz użyć technik zarządzania pieniędzmi, aby uczynić go bardziej opłacalnym niż system, który pokazuje średni zysk w wysokości 1000 $ na transakcję (po odjęciu prowizji i poślizg).

Liczy się nie to, jak opłacalny był system, ale jak pewne jest, że system przyniesie przynajmniej minimalny zysk w przyszłości. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie trader może zrobić, jest upewnienie się, że system pokazuje dodatnią wartość oczekiwaną w przyszłości.

Aby mieć dodatnią wartość oczekiwaną w przyszłości, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody twojego systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez wyeliminowanie lub zmniejszenie liczby parametrów do optymalizacji, ale także poprzez ograniczenie jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie chcesz zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie stale przynosił niewielki zysk na prawie każdym rynku. Ponownie, ważne jest, aby zrozumieć, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, o ile jest opłacalny. Pieniądze, które zarobisz w handlu, zostaną zarobione dzięki efektywnemu zarządzaniu pieniędzmi.

System transakcyjny jest po prostu narzędziem, które daje pozytywne matematyczne oczekiwanie, aby można było korzystać z zarządzania pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalny zysk) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać w czasie rzeczywistym przez długi czas. Problem z większością traderów zorientowanych technicznie polega na tym, że spędzają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizacji różnych zasad i parametrów systemu handlowego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu handlowego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu pewności uzyskania minimalnego zysku.

Wiedząc, że zarządzanie pieniędzmi to tylko gra liczbowa, która wymaga wykorzystania pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlową, dowiedzieć się, jak ta metoda jest logicznie uzasadniona, czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi zastosowane do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlu, wykonają resztę pracy.

Każdy trader, aby odnieść sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: . Aby zapewnić, że liczba udanych transakcji przekroczy nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system handlowy tak, aby możliwość zarobienia pieniędzy była jak najczęściej; Osiągnij stabilny pozytywny wynik swojej działalności.

I tutaj dla nas, pracujących traderów, matematyczne oczekiwanie może być dobrą pomocą. Termin ten w teorii prawdopodobieństwa jest jednym z kluczowych. Dzięki niemu możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest jak środek ciężkości, jeśli wyobrazimy sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.

W odniesieniu do strategii handlowej, aby ocenić jej skuteczność, najczęściej stosuje się matematyczne oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiowany jest jako suma iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Na przykład opracowana strategia handlowa zakłada, że ​​37% wszystkich operacji przyniesie zysk, a pozostała część - 63% - będzie nieopłacalna. Jednocześnie średni dochód z udanej transakcji wyniesie 7 zł, a średnia strata 1,4 zł. Obliczmy matematyczne oczekiwanie handlu za pomocą następującego systemu:

Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu otrzymamy średnio 1,708 dolarów z każdej zamkniętej transakcji. Ponieważ uzyskany wynik wydajności jest większy od zera, taki system może być używany do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń oczekiwanie matematyczne okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę i taki handel doprowadzi do ruiny.

Kwota zysku na transakcję może być również wyrażona jako wartość względna w postaci%. Na przykład:

– procent dochodu na 1 transakcję - 5%;

– odsetek udanych operacji handlowych - 62%;

– procent strat na 1 transakcję - 3%;

- odsetek nieudanych transakcji - 38%;

Czyli średnia transakcja przyniesie 1,96%.

Możliwe jest wypracowanie systemu, który mimo przewagi transakcji przegranych będzie dawał wynik pozytywny, gdyż jego MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W takim przypadku jego rentowność będzie porównywalna z odsetkami bankowymi. Niech każda operacja przyniesie średnio tylko 0,5 dolara, ale co jeśli system zakłada 1000 transakcji rocznie? Będzie to bardzo poważna kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą charakterystyczną dobrego systemu handlowego może być krótki okres utrzymywania.

Źródła i linki

dic.academic.ru - akademicki słownik online

matematyka.ru - strona edukacyjna o matematyce

nsu.ru – strona edukacyjna Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego

webmath.ru to portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.

edukacyjna witryna matematyczna exponenta.ru

ru.tradimo.com - bezpłatna szkoła handlu online

crypto.hut2.ru - multidyscyplinarne źródło informacji

poker-wiki.ru - darmowa encyklopedia pokera

sernam.ru - Biblioteka naukowa wybranych publikacji przyrodniczych

reshim.su - strona internetowa SOLVE kontroluje zadania

unfx.ru – Forex na UNFX: edukacja, sygnały transakcyjne, zarządzanie zaufaniem

slovopedia.com - duży słownik encyklopedyczny

pokermansion.3dn.ru - Twój przewodnik po świecie pokera

statanaliz.info - blog informacyjny "Analiza danych statystycznych"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - aktualne analizy Forex

fx-by.com - wszystko dla tradera

Teoria prawdopodobieństwa jest specjalną gałęzią matematyki, którą studiują tylko studenci szkół wyższych. Czy lubisz obliczenia i wzory? Nie boisz się perspektywy znajomości rozkładu normalnego, entropii zbioru, matematycznej wartości oczekiwanej i wariancji dyskretnej zmiennej losowej? W takim razie ten temat bardzo Cię zainteresuje. Zapoznajmy się z niektórymi z najważniejszych podstawowych pojęć tej sekcji nauki.

Pamiętajmy o podstawach

Nawet jeśli pamiętasz najprostsze pojęcia teorii prawdopodobieństwa, nie zaniedbuj pierwszych akapitów artykułu. Faktem jest, że bez jasnego zrozumienia podstaw nie będziesz w stanie pracować z formułami omówionymi poniżej.

Jest więc jakieś przypadkowe zdarzenie, jakiś eksperyment. W wyniku wykonanych czynności możemy uzyskać kilka efektów – niektóre z nich występują częściej, inne rzadziej. Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby faktycznie uzyskanych wyników jednego typu do ogólnej liczby możliwych. Dopiero znając klasyczną definicję tego pojęcia, można przystąpić do badania matematycznego oczekiwania i dyspersji ciągłych zmiennych losowych.

Przeciętny

W szkole, na lekcjach matematyki, zacząłeś pracować ze średnią arytmetyczną. Pojęcie to jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa i dlatego nie można go ignorować. Najważniejsze dla nas w tej chwili jest to, że napotkamy to we wzorach na matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej.

Mamy ciąg liczb i chcemy znaleźć średnią arytmetyczną. Wszystko, co jest od nas wymagane, to zsumować wszystko, co jest dostępne, i podzielić przez liczbę elementów w sekwencji. Niech będą liczby od 1 do 9. Suma elementów wyniesie 45 i tę wartość podzielimy przez 9. Odpowiedź: - 5.

Dyspersja

W ujęciu naukowym wariancja to średni kwadrat odchyleń uzyskanych wartości cech od średniej arytmetycznej. Jeden jest oznaczony dużą literą łacińską D. Co jest potrzebne do jego obliczenia? Dla każdego elementu ciągu obliczamy różnicę między dostępną liczbą a średnią arytmetyczną i podnosimy ją do kwadratu. Będzie dokładnie tyle wartości, ile może być wyników dla zdarzenia, które rozważamy. Następnie podsumowujemy wszystko otrzymane i dzielimy przez liczbę elementów w sekwencji. Jeśli mamy pięć możliwych wyników, podziel przez pięć.

Wariancja ma również właściwości, o których należy pamiętać, aby zastosować ją przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład, jeśli zmienna losowa zostanie zwiększona X razy, wariancja wzrośnie X razy do kwadratu (tj. X*X). Nigdy nie jest mniejszy od zera i nie polega na przesuwaniu wartości o równą wartość w górę lub w dół. Również dla niezależnych prób wariancja sumy jest równa sumie wariancji.

Teraz zdecydowanie musimy rozważyć przykłady wariancji dyskretnej zmiennej losowej i matematycznej wartości oczekiwanej.

Załóżmy, że przeprowadzamy 21 eksperymentów i otrzymujemy 7 różnych wyników. Każdą z nich obserwowaliśmy odpowiednio 1,2,2,3,4,4 i 5 razy. Jaka będzie różnica?

Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną: suma elementów wynosi oczywiście 21. Dzielimy to przez 7, otrzymując 3. Teraz odejmujemy 3 od każdej liczby w oryginalnej sekwencji, podwyższamy każdą wartość do kwadratu i sumujemy wyniki . Okazuje się, że 12. Teraz pozostaje nam podzielić liczbę przez liczbę elementów i wydaje się, że to wszystko. Ale jest w tym haczyk! Porozmawiajmy o tym.

Zależność od liczby eksperymentów

Okazuje się, że przy obliczaniu wariancji mianownikiem może być jedna z dwóch liczb: N lub N-1. Tutaj N to liczba przeprowadzonych eksperymentów lub liczba elementów w sekwencji (co zasadniczo oznacza to samo). Od czego to zależy?

Jeśli liczbę testów mierzy się w setkach, to w mianowniku musimy umieścić N. Jeśli w jednostkach, to N-1. Naukowcy postanowili narysować granicę dość symbolicznie: dziś biegnie wzdłuż liczby 30. Jeśli przeprowadziliśmy mniej niż 30 eksperymentów, to liczbę podzielimy przez N-1, a jeśli więcej, to przez N.

Zadanie

Wróćmy do naszego przykładu rozwiązania problemu wariancji i oczekiwań. Otrzymaliśmy liczbę pośrednią 12, którą należało podzielić przez N lub N-1. Ponieważ przeprowadziliśmy 21 eksperymentów, czyli mniej niż 30, wybierzemy drugą opcję. Więc odpowiedź brzmi: wariancja wynosi 12/2 = 2.

Wartość oczekiwana

Przejdźmy do drugiej koncepcji, którą musimy rozważyć w tym artykule. Oczekiwanie matematyczne jest wynikiem dodania wszystkich możliwych wyników pomnożonych przez odpowiadające im prawdopodobieństwa. Ważne jest, aby zrozumieć, że wynikowa wartość, jak również wynik obliczenia wariancji, uzyskuje się tylko raz dla całego zadania, bez względu na to, ile wyników bierze pod uwagę.

Formuła oczekiwań matematycznych jest dość prosta: bierzemy wynik, mnożymy go przez jego prawdopodobieństwo, dodajemy to samo dla drugiego, trzeciego wyniku itd. Wszystko, co jest związane z tą koncepcją, jest łatwe do obliczenia. Na przykład suma oczekiwań matematycznych jest równa matematycznemu oczekiwaniu sumy. To samo dotyczy pracy. Nie każda wielkość w teorii prawdopodobieństwa pozwala na wykonanie tak prostych operacji. Podejmijmy zadanie i obliczmy wartość dwóch koncepcji, które studiowaliśmy jednocześnie. Poza tym rozpraszała nas teoria - czas na praktykę.

Jeszcze jeden przykład

Przeprowadziliśmy 50 prób i otrzymaliśmy 10 rodzajów wyników – numery od 0 do 9 – pojawiające się w różnych procentach. Są to odpowiednio: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Przypomnijmy, że aby uzyskać prawdopodobieństwa, należy podzielić wartości procentowe przez 100. W ten sposób otrzymujemy 0,02; 0,1 itd. Przedstawmy przykład rozwiązania problemu wariancji zmiennej losowej i matematycznej wartości oczekiwanej.

Średnią arytmetyczną obliczamy ze wzoru, który pamiętamy z podstawówki: 50/10 = 5.

Przekształćmy teraz prawdopodobieństwa na liczbę wyników „w kawałkach”, aby wygodniej było je policzyć. Otrzymujemy 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od każdej otrzymanej wartości odejmij średnią arytmetyczną, po czym podnieś każdy z otrzymanych wyników do kwadratu. Zobacz, jak to zrobić na przykładzie pierwszego elementu: 1 - 5 = (-4). Dalej: (-4) * (-4) = 16. Dla innych wartości wykonaj te operacje samodzielnie. Jeśli wszystko zrobiłeś dobrze, to po dodaniu wszystkiego otrzymasz 90.

Kontynuujmy obliczanie wariancji i średniej, dzieląc 90 przez N. Dlaczego wybieramy N, a nie N-1? Zgadza się, bo liczba przeprowadzonych eksperymentów przekracza 30. A więc: 90/10 = 9. Otrzymaliśmy dyspersję. Jeśli otrzymasz inny numer, nie rozpaczaj. Najprawdopodobniej popełniłeś banalny błąd w obliczeniach. Sprawdź dokładnie to, co napisałeś, a na pewno wszystko się ułoży.

Na koniec przypomnijmy matematyczną formułę oczekiwań. Nie podamy wszystkich obliczeń, napiszemy tylko odpowiedź, z którą możesz sprawdzić po wykonaniu wszystkich wymaganych procedur. Oczekiwana wartość to 5,48. Przypominamy tylko jak przeprowadzać operacje na przykładzie pierwszych elementów: 0*0,02 + 1*0,1... i tak dalej. Jak widać, po prostu mnożymy wartość wyniku przez jego prawdopodobieństwo.

Odchylenie

Innym pojęciem ściśle związanym z dyspersją i matematycznymi oczekiwaniami jest odchylenie standardowe. Jest oznaczony albo łacińskimi literami sd, albo grecką małą literą „sigma”. Ta koncepcja pokazuje, jak średnio wartości odbiegają od cechy centralnej. Aby znaleźć jego wartość, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Jeśli wykreślisz rozkład normalny i chcesz zobaczyć odchylenie kwadratowe bezpośrednio na nim, można to zrobić w kilku krokach. Weź połowę obrazu po lewej lub prawej stronie trybu (wartość środkowa), narysuj prostopadłą do osi poziomej, aby obszary wynikowych figur były równe. Wartość odcinka między środkiem rozkładu a wynikowym rzutem na oś poziomą będzie odchyleniem standardowym.

Oprogramowanie

Jak widać z opisów wzorów i przedstawionych przykładów, obliczenie wariancji i wartości oczekiwanej matematycznej nie jest najłatwiejszą procedurą z arytmetycznego punktu widzenia. Aby nie tracić czasu, warto skorzystać z programu stosowanego w szkolnictwie wyższym – nazywa się on „R”. Posiada funkcje, które pozwalają obliczyć wartości dla wielu pojęć ze statystyki i teorii prawdopodobieństwa.

Na przykład definiujesz wektor wartości. Odbywa się to w następujący sposób: wektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Wreszcie

Dyspersja i matematyczne oczekiwania są bez nich trudno cokolwiek obliczyć w przyszłości. W głównym toku wykładów na uczelniach są one uwzględniane już w pierwszych miesiącach studiowania przedmiotu. To właśnie z powodu braku zrozumienia tych prostych pojęć i nieumiejętności ich obliczenia wielu studentów od razu zaczyna mieć zaległości w programie, a później otrzymuje słabe oceny na koniec sesji, co pozbawia ich stypendiów.

Ćwicz przynajmniej przez tydzień przez pół godziny dziennie, rozwiązując zadania podobne do przedstawionych w tym artykule. Następnie na każdym teście z teorii prawdopodobieństwa poradzisz sobie z przykładami bez zbędnych wskazówek i ściągawek.

Charakterystyka DSW i ich właściwości. Oczekiwanie matematyczne, wariancja, odchylenie standardowe

Prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową. Jednak gdy znalezienie prawa dystrybucji jest niemożliwe lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości, zwanych numerycznymi charakterystykami zmiennej losowej. Wielkości te określają pewną wartość średnią, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozproszenia wokół tej wartości średniej.

oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.

Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny bezwzględnie.

Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź matematyczne oczekiwanie.

X
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Rozwiązanie:

9.2 Właściwości oczekiwane

1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe samej stałej.

2. Ze znaku oczekiwania można usunąć stały czynnik.

3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Ta właściwość jest ważna dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

4. Matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań wyrazów.

Ta właściwość jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

Niech przeprowadzi się n niezależnych prób, w których prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe p.

Twierdzenie. Oczekiwanie matematyczne M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli znane są matematyczne oczekiwania X i Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Rozwiązanie:

9.3 Rozrzut dyskretnej zmiennej losowej

Jednak matematyczne oczekiwanie nie może w pełni scharakteryzować losowego procesu. Poza oczekiwaniem matematycznym konieczne jest wprowadzenie wartości charakteryzującej odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.

To odchylenie jest równe różnicy między zmienną losową a jej matematycznym oczekiwaniem. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, aw wyniku ich wzajemnego znoszenia uzyskuje się zero.

Dyspersja (rozpraszanie) Dyskretna zmienna losowa nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania.

W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennej losowej.

Dlatego stosowana jest inna metoda.

Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między matematycznym oczekiwaniem kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej matematycznego oczekiwania.

Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M (X) i kwadrat oczekiwania matematycznego M 2 (X) są wartościami stałymi, możemy zapisać:

Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo dystrybucji.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Rozwiązanie: .

9.4 Właściwości dyspersyjne

1. Dyspersja stałej wartości wynosi zero. .

2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji, podnosząc go do kwadratu. .

3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

4. Wariancja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia jest stałe, jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej

Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych zmiennych.

Oczekiwanie matematyczne (wartość średnia) zmiennej losowej X , dane na dyskretnej przestrzeni prawdopodobieństwa, to liczba m =M[X]=∑x i p i , jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie.

Przydział usług. Z usługą online obliczane są matematyczne oczekiwania, wariancja i odchylenie standardowe(patrz przykład). Dodatkowo kreślony jest wykres funkcji rozkładu F(X).

Własności oczekiwań matematycznych zmiennej losowej

1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest sobie równe: M[C]=C , C jest stałą;
2. M=C M[X]
3. Matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań: M=M[X]+M[Y]
4. Matematyczne oczekiwanie iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań: M=M[X] M[Y] jeśli X i Y są niezależne.

Właściwości dyspersji

1. Rozrzut wartości stałej jest równy zeru: D(c)=0.
2. Stały współczynnik można wyjąć spod znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to wariancja sumy jest równa sumie wariancji: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jeśli zmienne losowe X i Y są zależne: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Dla wariancji obowiązuje wzór obliczeniowy:
   D(X)=M(X2)-(M(X)) 2

Przykład. Znane są matematyczne oczekiwania i wariancje dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej Z=9X-8Y+7 .
Rozwiązanie. Oparte na własnościach oczekiwań matematycznych: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Na podstawie właściwości dyspersji: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algorytm obliczania wartości oczekiwanej matematycznej

Właściwości dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; Przypisz każdej wartości niezerowe prawdopodobieństwo.

1. Pomnóż pary jeden po drugim: x i przez pi .
2. Dodajemy iloczyn każdej pary x i p i .
   Na przykład dla n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Dystrybutor dyskretnej zmiennej losowej stopniowo wzrasta gwałtownie w tych punktach, których prawdopodobieństwo jest dodatnie.

Przykład 1.

x ja	1	3	4	7	9
Liczba Pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Oczekiwanie matematyczne można znaleźć za pomocą wzoru m = ∑x i p i .
Oczekiwanie matematyczne M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dyspersję oblicza się ze wzoru d = ∑x 2 i p ja - M[x] 2 .
Dyspersja D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Odchylenie standardowe σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Przykład nr 2. Dyskretna zmienna losowa ma następujący szereg rozkładów:

X	-10	-5	0	5	10
R	A	0,32	2A	0,41	0,03

Znajdź wartość a , oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.

Rozwiązanie. Wartość a wyznacza się z zależności: Σp i = 1
Σp i = za + 0,32 + 2 za + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 za = 1
0,76 + 3 a = 1 lub 0,24 = 3 a, skąd a = 0,08

Przykład nr 3. Wyznacz prawo dystrybucji dyskretnej zmiennej losowej, jeśli znana jest jej wariancja i x 1 x 1 = 6; x2=9; x3=x; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Rozwiązanie.
Tutaj musisz sporządzić wzór na znalezienie wariancji d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
gdzie oczekiwanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Dla naszych danych
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
lub -9/100 (x 2 -20x+96)=0
W związku z tym konieczne jest znalezienie pierwiastków równania, a będą ich dwa.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Wybieramy ten, który spełnia warunek x 1 x3=12

Prawo dystrybucji dyskretnej zmiennej losowej
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3

W poprzednim podaliśmy szereg wzorów, które pozwalają znaleźć numeryczną charakterystykę funkcji, gdy znane są prawa rozkładu argumentów. Jednak w wielu przypadkach, aby znaleźć numeryczne cechy funkcji, nie trzeba nawet znać praw rozkładu argumentów, ale wystarczy znać tylko niektóre ich cechy liczbowe; w tym przypadku w ogóle nie stosujemy żadnych praw dystrybucji. Wyznaczanie numerycznych charakterystyk funkcji przez dane liczbowe charakterystyki argumentów jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa i pozwala znacznie uprościć rozwiązanie wielu problemów. W większości takie uproszczone metody dotyczą funkcji liniowych; jednak niektóre elementarne funkcje nieliniowe również pozwalają na to podejście.

Obecnie przedstawiamy szereg twierdzeń o numerycznych charakterystykach funkcji, które w całości reprezentują bardzo prosty aparat do obliczania tych charakterystyk, dający się zastosować w szerokim zakresie warunków.

1. Matematyczne oczekiwanie zmiennej nielosowej

Podana właściwość jest raczej oczywista; można to udowodnić, traktując zmienną nielosową jako szczególny rodzaj zmiennej losowej, z jedną możliwą wartością z prawdopodobieństwem jeden; to zgodnie z ogólnym wzorem na oczekiwanie matematyczne:

.

2. Rozrzut zmiennej nielosowej

Jeśli jest wartością nielosową, to

3. Usunięcie zmiennej nielosowej poza znakiem oczekiwań matematycznych

, (10.2.1)

tj. ze znaku oczekiwania można wyjąć nielosową wartość.

Dowód.

a) Dla ilości nieciągłych

b) Dla ilości ciągłych

.

4. Usunięcie nielosowej wartości znaku wariancji i odchylenia standardowego

Jeśli jest zmienną nielosową i jest losowa, to

, (10.2.2)

tj. nielosową wartość można wyjąć ze znaku dyspersji, podnosząc ją do kwadratu.

Dowód. Z definicji wariancji

Konsekwencja

,

tj. nielosową wartość można wyjąć ze znaku odchylenia standardowego o jego wartość bezwzględną. Dowód uzyskujemy przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego ze wzoru (10.2.2) i biorąc pod uwagę, że r.s.c. jest zasadniczo wartością dodatnią.

5. Matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych

Udowodnijmy, że dla dowolnych dwóch zmiennych losowych i

tj. matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań.

Ta właściwość jest znana jako twierdzenie o dodaniu oczekiwań.

Dowód.

a) Niech będzie układem nieciągłych zmiennych losowych. Zastosujmy do sumy zmiennych losowych ogólny wzór (10.1.6) na matematyczne oczekiwanie funkcji dwóch argumentów:

.

Ho to nic innego jak całkowite prawdopodobieństwo, że wartość przyjmie wartość:

;

stąd,

.

W podobny sposób udowodnimy to

,

i twierdzenie jest udowodnione.

b) Niech będzie układem ciągłych zmiennych losowych. Zgodnie ze wzorem (10.1.7)

. (10.2.4)

Przekształcamy pierwszą z całek (10.2.4):

;

podobnie

,

i twierdzenie jest udowodnione.

Należy szczególnie zaznaczyć, że twierdzenie o dodawaniu oczekiwań matematycznych obowiązuje dla dowolnych zmiennych losowych – zarówno zależnych, jak i niezależnych.

Twierdzenie o dodaniu oczekiwań można uogólnić na dowolną liczbę wyrazów:

, (10.2.5)

tj. matematyczne oczekiwanie sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań.

Aby to udowodnić, wystarczy zastosować metodę indukcji zupełnej.

6. Matematyczne oczekiwanie funkcji liniowej

Rozważ funkcję liniową kilku losowych argumentów:

gdzie są nielosowymi współczynnikami. Udowodnijmy to

, (10.2.6)

tj. średnia funkcji liniowej jest równa tej samej funkcji liniowej średniej argumentów.

Dowód. Korzystając z twierdzenia o dodawaniu m.o. a reguła wyprowadzania zmiennej nielosowej ze znaku m.o., otrzymujemy:

.

7. Wyśwodcta suma zmiennych losowych

Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji powiększonej o dwukrotność momentu korelacji:

Dowód. Oznaczać

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu oczekiwań matematycznych

Przejdźmy od zmiennych losowych do odpowiednich zmiennych wyśrodkowanych. Odejmując wyraz po wyrazie od równości (10.2.8) równości (10.2.9), otrzymujemy:

Z definicji wariancji

co było do okazania

Wzór (10.2.7) na wariancję sumy można uogólnić na dowolną liczbę wyrazów:

, (10.2.10)

gdzie jest moment korelacji wartości, znak pod sumą oznacza, że ​​sumowanie dotyczy wszystkich możliwych kombinacji parami zmiennych losowych .

Dowód jest podobny do poprzedniego i wynika ze wzoru na kwadrat wielomianu.

Formułę (10.2.10) można zapisać w innej postaci:

, (10.2.11)

gdzie podwójna suma rozciąga się na wszystkie elementy macierzy korelacji układu wielkości , zawierające zarówno momenty korelacji, jak i wariancje.

Jeśli wszystkie zmienne losowe , zawarte w systemie, są nieskorelowane (tj. at ), wzór (10.2.10) przyjmuje postać:

, (10.2.12)

tj. wariancja sumy nieskorelowanych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji terminów.

To twierdzenie jest znane jako twierdzenie o dodawaniu wariancji.

8. Rozproszenie funkcji liniowej

Rozważ funkcję liniową kilku zmiennych losowych.

gdzie to zmienne nielosowe.

Udowodnijmy, że dyspersja tej funkcji liniowej jest wyrażona wzorem

, (10.2.13)

gdzie jest moment korelacji wielkości , .

Dowód. Wprowadźmy notację:

. (10.2.14)

Stosując wzór (10.2.10) na wariancję sumy po prawej stronie wyrażenia (10.2.14) i uwzględniając to , otrzymujemy:

gdzie jest moment korelacji wielkości:

.

Obliczmy ten moment. Mamy:

;

podobnie

Podstawiając to wyrażenie do (10.2.15), otrzymujemy wzór (10.2.13).

W szczególnym przypadku, gdy wszystkie ilości nieskorelowane, wzór (10.2.13) przyjmuje postać:

, (10.2.16)

tj. wariancja funkcji liniowej nieskorelowanych zmiennych losowych jest równa sumie iloczynów kwadratów współczynników i wariancji odpowiednich argumentów.

9. Matematyczne oczekiwanie iloczynu zmiennych losowych

Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań plus moment korelacji:

Dowód. Przejdziemy od definicji momentu korelacji:

Przekształcamy to wyrażenie, korzystając z właściwości oczekiwań matematycznych:

co jest oczywiście równoważne ze wzorem (10.2.17).

Jeżeli zmienne losowe są nieskorelowane, to wzór (10.2.17) przyjmuje postać:

tj. średnia iloczynu dwóch nieskorelowanych zmiennych losowych jest równa iloczynowi ich średniej.

To stwierdzenie jest znane jako twierdzenie o mnożeniu oczekiwań.

Formuła (10.2.17) jest niczym innym jak wyrażeniem drugiego mieszanego momentu centralnego układu w odniesieniu do drugiego mieszanego momentu początkowego i oczekiwań matematycznych:

. (10.2.19)

Wyrażenie to jest często używane w praktyce przy obliczaniu momentu korelacji w taki sam sposób, w jaki dla jednej zmiennej losowej wariancja jest często obliczana na podstawie drugiego momentu początkowego i matematycznej wartości oczekiwanej.

Twierdzenie o mnożeniu oczekiwań można również uogólnić na dowolną liczbę czynników, tylko w tym przypadku do jego zastosowania nie wystarczy, aby wielkości były nieskorelowane, ale wymagane jest również zniknięcie niektórych wyższych momentów mieszanych, których liczba zależy od liczba terminów w produkcie. Warunki te są z pewnością spełnione, jeżeli zmienne losowe zawarte w produkcie są niezależne. W tym przypadku

, (10.2.20)

tj. matematyczne oczekiwanie iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą całkowitej indukcji.

10. Rozrzut iloczynu niezależnych zmiennych losowych

Udowodnijmy to dla wielkości niezależnych

Dowód. oznaczmy . Z definicji wariancji

Ponieważ ilości są niezależne, i

W przypadku niezależnych ilości są również niezależne; stąd,

,

Ale nie ma nic innego niż drugi początkowy moment wielkości , a zatem jest wyrażany w kategoriach wariancji:

;

podobnie

.

Podstawiając te wyrażenia do wzoru (10.2.22) i sprowadzając wyrazy podobne, otrzymujemy wzór (10.2.21).

W przypadku mnożenia wyśrodkowanych zmiennych losowych (wartości z oczekiwaniami matematycznymi równymi zeru) wzór (10.2.21) przyjmuje postać:

, (10.2.23)

tj. wariancja iloczynu niezależnych zmiennych losowych o środku centralnym jest równa iloczynowi ich wariancji.

11. Wyższe momenty sumy zmiennych losowych

W niektórych przypadkach konieczne jest obliczenie wyższych momentów sumy niezależnych zmiennych losowych. Udowodnijmy pewne powiązane zależności.

1) Jeśli ilości są niezależne, to

Dowód.

skąd przez twierdzenie o mnożeniu oczekiwań

Ale pierwszy moment centralny dla dowolnej wielkości wynosi zero; znikają dwa człony środkowe, a formuła (10.2.24) jest udowodniona.

Relację (10.2.24) można łatwo uogólnić przez indukcję do dowolnej liczby niezależnych wyrazów:

. (10.2.25)

2) Czwarty centralny moment sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych wyraża się wzorem

gdzie są dyspersje i .

Dowód jest dokładnie taki sam jak poprzedni.

Metodą indukcji zupełnej łatwo udowodnić uogólnienie wzoru (10.2.26) na dowolną liczbę wyrazów niezależnych.