Wzór na macierz odwrotną drugiego rzędu. Macierz odwrotna i jej własności. Wybór początkowego przybliżenia

Podobne do odwrotności w wielu właściwościach.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

✪ Odwrócona macierz (2 sposoby znalezienia)

✪ Jak znaleźć macierz odwrotną - bezbotvy

✪ Odwrócona macierz #1

✪ Rozwiązywanie układu równań metodą odwrotna macierz- bezbotvy

✪ Odwrócona macierz

Napisy na filmie obcojęzycznym

Właściwości macierzy odwrotnej

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))), gdzie det (\displaystyle \ \det) oznacza wyznacznik.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) dla dwóch kwadratowych matryc odwracalnych A (\styl wyświetlania A) oraz B (\styl wyświetlania B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1)^(T)), gdzie (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) oznacza transponowaną macierz.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1) dla dowolnego współczynnika k ≠ 0 (\displaystyle k\nie =0).
• E − 1 = E (\ Displaystyle \ E ^ (-1) = E).
• Jeśli konieczne jest rozwiązanie układu równań liniowych , (b jest wektorem niezerowym) gdzie x (\styl wyświetlania x) jest pożądanym wektorem, a jeśli A − 1 (\displaystyle A^(-1)) istnieje, więc x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). W przeciwnym razie albo wymiar przestrzeni rozwiązań jest większy od zera, albo nie ma go wcale.

Sposoby znajdowania macierzy odwrotnej

Jeśli macierz jest odwracalna, aby znaleźć odwrotność macierzy, możesz użyć jednej z następujących metod:

Dokładne (bezpośrednie) metody

Metoda Gaussa-Jordana

Weźmy dwie macierze: A i singiel mi. Przynieśmy macierz A do macierzy jednostkowej metodą Gaussa-Jordana stosując przekształcenia w wierszach (można również zastosować przekształcenia w kolumnach, ale nie w mieszance). Po zastosowaniu każdej operacji do pierwszej macierzy, zastosuj tę samą operację do drugiej. Gdy zakończy się redukcja pierwszej macierzy do postaci identyczności, druga macierz będzie równa A-1.

Przy zastosowaniu metody Gaussa pierwsza macierz zostanie pomnożona od lewej przez jedną z podstawowych macierzy Λ ja (\ Displaystyle \ Lambda _ (i))(poprzeczna lub przekątna matryca z jedynkami na głównej przekątnej, z wyjątkiem jednej pozycji):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\ Displaystyle \ Lambda _ (1) \ cdot \ kropki \ cdot \ Lambda _ (n) \ cdot A = \ Lambda A = E \Rightarrow \Lambda =A^(-1). Λ m = [1 … 0 − a 1 m/am 0 … 0 … 0 … 1 − m − 1 m/am m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − m + 1 m/am m 1 … 0 … 0 … 0 − za n m / za m m 0 … 1 ] (\ Displaystyle \ Lambda _ (m) = (\ początek (bmatryca) 1 i \ kropki & 0 i a_ (1 m) / a_ (mm) i 0 & \ kropki & 0 \\ &&&\kropki &&&\\0&\kropki &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\kropki &0\\0&\kropki &0&1/a_(mm)&0&\kropki &0\\0&\kropki &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\kropki &0\\&&&\kropki &&&\\0&\kropki &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\kropki &1\koniec(bmatryca))).

Druga macierz po zastosowaniu wszystkich operacji będzie równa Λ (\ Displaystyle \ Lambda), czyli będzie pożądany. Złożoność algorytmu - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Korzystanie z macierzy dodawania algebraicznego

Macierz odwrotna macierz A (\styl wyświetlania A), reprezentuj w formie

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

gdzie adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- przyłączona – macierz;

Złożoność algorytmu zależy od złożoności algorytmu obliczania wyznacznika O det i jest równa O(n²) O det .

Korzystanie z rozkładu LU/LUP

Równanie macierzowe A X = Ja n (\displaystyle AX=I_(n)) dla macierzy odwrotnej X (\ styl wyświetlania X) można oglądać jako kolekcję n (\styl wyświetlania n) systemy formy A x = b (\displaystyle Ax=b). Oznaczać ja (\displaystyle ja)-ta kolumna macierzy X (\ styl wyświetlania X) poprzez X ja (\displaystyle X_(i)); następnie A X ja = e ja (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),ponieważ ja (\displaystyle ja)-ta kolumna macierzy Ja n (\displaystyle I_(n)) jest wektorem jednostkowym e ja (\displaystyle e_(i)). innymi słowy, znalezienie macierzy odwrotnej sprowadza się do rozwiązania n równań z tą samą macierzą i różnymi prawymi stronami. Po uruchomieniu rozwinięcia LUP (czas O(n3)) rozwiązanie każdego z n równań zajmuje czas O(n²), więc ta część pracy zajmuje również czas O(n³).

Jeśli macierz A jest nieosobliwa, możemy dla niej obliczyć rozkład LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Wynajmować P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Następnie z własności macierzy odwrotnej możemy napisać: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jeśli pomnożymy tę równość przez U i L, to otrzymamy dwie równości postaci U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) oraz D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Pierwszym z tych równości jest układ n² równania liniowe dla n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) których prawe strony są znane (z właściwości macierzy trójkątnych). Drugi to również układ równań liniowych n² dla n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) których prawe strony są znane (również z właściwości matryc trójkątnych). Razem tworzą system n² równości. Korzystając z tych równości, możemy rekurencyjnie wyznaczyć wszystkie n² elementów macierzy D. Wtedy z równości (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. otrzymujemy równość A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

W przypadku użycia rozkładu LU nie jest wymagana żadna permutacja kolumn macierzy D, ale rozwiązanie może się różnić, nawet jeśli macierz A jest nieosobliwa.

Złożoność algorytmu wynosi O(n³).

Metody iteracyjne

Metody Schultza

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k ja (\displaystyle (\begin (przypadki)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Oszacowanie błędu

Wybór początkowego przybliżenia

Rozważany tutaj problem wyboru aproksymacji początkowej w procesach iteracyjnej inwersji macierzy nie pozwala traktować ich jako niezależnych metod uniwersalnych, które konkurują z metodami bezpośredniej inwersji, opartymi np. na dekompozycji macierzy LU. Istnieje kilka zaleceń dotyczących wyboru U 0 (\displaystyle U_(0)), zapewniając spełnienie warunku ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (promień widmowy matrycy jest mniejszy niż jedność), co jest konieczne i wystarczające do zbieżności procesu. Jednak w tym przypadku najpierw należy znać z góry oszacowanie widma macierzy odwracalnej A lub macierzy ZA T (\displaystyle AA^(T))(mianowicie, jeśli A jest symetryczną dodatnio określoną macierzą i ρ (A) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ beta), wtedy możesz wziąć U 0 = α E (\ Displaystyle U_ (0) = (\ alfa ) E), gdzie ; jeśli A jest arbitralną macierzą nieosobliwą i ρ (A A T) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq \ beta ), to załóżmy, że U 0 = α ZA T (\displaystyle U_(0)=(\alfa)A^(T)), gdzie też α ∈ (0 , 2 β) (\ Displaystyle \ alfa \ w \ lewo (0, (\ Frac (2) (\ beta)) \ prawo)); Oczywiście sytuację można uprościć i wykorzystując fakt, że ρ (A A T) ≤ k A A T k (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq ( \ mathcal (k)) AA ^ (T) (\ mathcal (k))), położyć U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Po drugie, przy takiej specyfikacji macierzy wyjściowej nie ma gwarancji, że ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) będzie mały (może nawet ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), a wysoki stopień konwergencji nie będzie od razu widoczny.

Przykłady

Matryca 2x2

Nie można przeanalizować wyrażenia (błąd składni): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end (bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ początek (bmacierz) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmacierz).)

Odwrócenie macierzy 2x2 jest możliwe tylko pod warunkiem, że a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Niech będzie macierz kwadratowa n-tego rzędu

Macierz A -1 nazywa się odwrotna macierz w odniesieniu do macierzy A, jeśli A * A -1 = E, gdzie E jest macierzą jednostkową n-tego rzędu.

Macierz jednostkowa- taka macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy wzdłuż głównej przekątnej przechodzące od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu to jedynki, a reszta to zera, na przykład:

odwrotna macierz może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych tych. dla tych macierzy, które mają taką samą liczbę wierszy i kolumn.

Twierdzenie o odwrotnej macierzy egzystencji

Aby macierz miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby była niezdegenerowana.

Nazywa się macierz A \u003d (A1, A2, ... A n) niezdegenerowany jeśli wektory kolumn są liniowo niezależne. Liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy nazywana jest rangą macierzy. Można więc powiedzieć, że aby zaistniała macierz odwrotna, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy był równy jej wymiarowi, tj. r = n.

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

1. Napisz macierz A w tabeli rozwiązywania układów równań metodą Gaussa i po prawej (w miejsce prawych części równań) przypisz do niej macierz E.
2. Używając przekształceń Jordana, przenieś macierz A do macierzy składającej się z pojedynczych kolumn; w tym przypadku konieczne jest jednoczesne przekształcenie macierzy E.
3. W razie potrzeby zmień kolejność wierszy (równań) ostatniej tabeli tak, aby macierz jednostkowa E została uzyskana pod macierzą A pierwotnej tabeli.
4. Napisz macierz odwrotną A -1, która znajduje się w ostatniej tabeli pod macierzą E oryginalnej tabeli.

Przykład 1

Dla macierzy A znajdź macierz odwrotną A -1

Rozwiązanie: Zapisujemy macierz A i po prawej stronie przypisujemy macierz jednostkową E. Wykorzystując przekształcenia Jordana sprowadzamy macierz A do macierzy jednostkowej E. Obliczenia przedstawia tabela 31.1.

Sprawdźmy poprawność obliczeń mnożąc pierwotną macierz A i macierz odwrotną A -1.

W wyniku mnożenia macierzy otrzymuje się macierz tożsamości. Dlatego obliczenia są poprawne.

Odpowiadać:

Rozwiązanie równań macierzowych

Równania macierzowe mogą wyglądać tak:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdzie A, B, C są danymi macierzami, X jest pożądaną macierzą.

Równania macierzowe rozwiązuje się mnożąc równanie przez macierze odwrotne.

Na przykład, aby znaleźć macierz z równania, musisz pomnożyć to równanie przez po lewej stronie.

Dlatego, aby znaleźć rozwiązanie równania, musisz znaleźć macierz odwrotną i pomnożyć ją przez macierz po prawej stronie równania.

Inne równania są rozwiązywane podobnie.

Przykład 2

Rozwiąż równanie AX = B jeśli

Rozwiązanie: Ponieważ odwrotność macierzy równa się (patrz przykład 1)

Metoda macierzowa w analizie ekonomicznej

Wraz z innymi znajdują również zastosowanie metody macierzowe. Metody te oparte są na algebrze liniowej i wektorowo-macierzowej. Takie metody są wykorzystywane do analizy złożonych i wielowymiarowych zjawisk ekonomicznych. Najczęściej metody te stosuje się, gdy konieczne jest porównanie funkcjonowania organizacji i ich podziałów strukturalnych.

W procesie stosowania macierzowych metod analizy można wyróżnić kilka etapów.

Na pierwszym etapie dokonywane jest tworzenie systemu wskaźników ekonomicznych i na jego podstawie opracowywana jest macierz danych wyjściowych, czyli tablica, w której w poszczególnych wierszach wyświetlane są numery systemowe (i = 1,2,...,n), a wzdłuż wykresów pionowych - liczby wskaźników (j = 1,2,....,m).

Na drugim etapie dla każdej kolumny pionowej ujawniana jest największa z dostępnych wartości wskaźników, która jest traktowana jako jednostka.

Następnie wszystkie kwoty odzwierciedlone w tej kolumnie są dzielone przez największa wartość i tworzona jest macierz standaryzowanych współczynników.

Na trzecim etapie wszystkie składniki macierzy są do kwadratu. Jeśli mają różne znaczenie, to każdemu wskaźnikowi macierzy przypisywany jest określony współczynnik ważenia k. Wartość tego ostatniego określa ekspert.

Na ostatnim czwarty etap znalezione wartości ocen Rj pogrupowane w kolejności rosnącej lub malejącej.

Powyższe metody macierzowe należy stosować np. gdy analiza porównawcza różne projekty inwestycyjne, a także w ocenie innych wskaźników efektywności ekonomicznej organizacji.

W tym artykule omówimy macierzową metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych, znajdziemy jej definicję i podamy przykłady rozwiązania.

Definicja 1

Metoda macierzy odwrotnej to metoda używana do rozwiązywania SLAE, gdy liczba niewiadomych jest równa liczbie równań.

Przykład 1

Znajdź rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi:

a 11 x 1 + 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 za n 1 x 1 + za n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Widok rekordu matrycy : A × X = B

gdzie A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 an 2 ⋯ a n n jest macierzą układu.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - kolumna niewiadomych,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - kolumna wolnych współczynników.

Z równania, które otrzymaliśmy, musimy wyrazić X. Aby to zrobić, pomnóż obie strony równania macierzowego po lewej przez A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Ponieważ A - 1 × A = E, to E × X = A - 1 × B lub X = A - 1 × B.

Komentarz

Macierz odwrotna do macierzy A ma prawo istnieć tylko wtedy, gdy warunek d e t A nie jest równy zero. Dlatego przy rozwiązywaniu SLAE metodą macierzy odwrotnej przede wszystkim znajduje się d e t A.

W przypadku, gdy d e t A nie jest równe zeru, system ma tylko jedno rozwiązanie: zastosowanie metody macierzy odwrotnej. Jeżeli d e t A = 0, to układ nie może być rozwiązany tą metodą.

Przykład rozwiązania układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej

Przykład 2

SLAE rozwiązujemy metodą macierzy odwrotnej:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Jak zdecydować?

• Układ zapisujemy w postaci równania macierzowego А X = B , gdzie

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Wyrażamy z tego równania X:

• Znajdujemy wyznacznik macierzy A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А nie jest równe 0, dlatego metoda rozwiązania odwrotnej macierzy jest odpowiednia dla tego układu.

• Znajdziemy macierz odwrotną A - 1 za pomocą macierzy sumy. Obliczamy dodatki algebraiczne A i j do odpowiednich elementów macierzy A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Zapisujemy macierz sumy A * , która składa się z algebraicznych dopełnień macierzy A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Macierz odwrotną zapisujemy według wzoru:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Mnożymy macierz odwrotną A - 1 przez kolumnę wyrazów wolnych B i otrzymujemy rozwiązanie układu:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Odpowiadać : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Początkowe według wzoru: A^-1 = A*/detA, gdzie A* jest macierzą skojarzoną, detA jest macierzą pierwotną. Załączona macierz jest transponowaną macierzą dodatków do elementów macierzy oryginalnej.

Przede wszystkim znajdź wyznacznik macierzy, musi być różny od zera, ponieważ wtedy wyznacznik będzie używany jako dzielnik. Dajmy na przykład macierz trzeciej (składająca się z trzech wierszy i trzech kolumn). Jak widać wyznacznik macierzy nie jest równy zero, więc istnieje macierz odwrotna.

Znajdź uzupełnienie do każdego elementu macierzy A. Uzupełnienie do A jest wyznacznikiem podmacierzy otrzymanej z pierwotnej przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny, a wyznacznik ten jest brany ze znakiem. Znak określa się mnożąc wyznacznik przez (-1) przez potęgę i+j. Zatem na przykład uzupełnienie do A będzie wyznacznikiem rozważanym na rysunku. Znak wyglądał tak: (-1)^(2+1) = -1.

W rezultacie otrzymasz matryca uzupełnienia, teraz przetransponuj go. Transpozycja jest operacją symetryczną względem głównej przekątnej macierzy, gdzie następuje zamiana kolumn i wierszy. W ten sposób znalazłeś powiązaną macierz A*.

Macierzą odwrotną dla danej macierzy jest taka macierz, mnożenie macierzy pierwotnej przez co daje macierz jednostkową: Warunkiem obowiązkowym i wystarczającym na obecność macierzy odwrotnej jest to, że wyznacznik macierzy oryginalnej nie jest równy zero (co z kolei oznacza, że ​​macierz musi być kwadratowa). Jeśli wyznacznik macierzy jest równy zero, to nazywa się ją zdegenerowaną i taka macierz nie ma odwrotności. W matematyce wyższej macierze odwrotne są ważne i służą do rozwiązywania wielu problemów. Na przykład wł. znalezienie macierzy odwrotnej konstruowana jest macierzowa metoda rozwiązywania układów równań. Nasza strona serwisowa pozwala oblicz odwrotną macierz online dwie metody: metoda Gaussa-Jordana oraz macierz dodawania algebraicznego. Pierwsza implikuje dużą liczbę elementarnych przekształceń w macierzy, druga - obliczenie wyznacznika i dodatków algebraicznych do wszystkich elementów. Aby obliczyć wyznacznik macierzy online, możesz skorzystać z naszej innej usługi - Obliczanie wyznacznika macierzy online

.

Znajdź macierz odwrotną na stronie

stronie internetowej pozwala znaleźć odwrotna macierz online szybko i za darmo. Na stronie obliczenia są wykonywane przez nasz serwis, a wynik jest wyświetlany wraz ze szczegółowym rozwiązaniem do znalezienia odwrotna macierz. Serwer zawsze podaje tylko dokładną i poprawną odpowiedź. W zadaniach z definicji odwrotna macierz online konieczne jest, aby wyznacznik matryce różniło się od zera, w przeciwnym razie stronie internetowej zgłosi niemożność znalezienia macierzy odwrotnej ze względu na fakt, że wyznacznik macierzy oryginalnej jest równy zero. Znajdowanie zadania odwrotna macierz znajduje się w wielu gałęziach matematyki, będąc jednym z najbardziej podstawowych pojęć algebry i narzędziem matematycznym w stosowanych problemach. Niezależny definicja macierzy odwrotnej wymaga sporego wysiłku, dużo czasu, obliczeń i dużej staranności, aby nie popełnić poślizgu lub drobnego błędu w obliczeniach. Dlatego nasza usługa znalezienie macierzy odwrotnej online znacznie ułatwi Ci zadanie i stanie się niezbędnym narzędziem do rozwiązywania problemy matematyczne. Nawet jeśli ty znajdź macierz odwrotną samodzielnie, zalecamy sprawdzenie swojego rozwiązania na naszym serwerze. Wpisz swoją oryginalną macierz w naszym Calculate Inverse Matrix Online i sprawdź swoją odpowiedź. Nasz system nigdy się nie myli i stwierdza odwrotna macierz podany wymiar w trybie online natychmiast! Na stronie stronie internetowej wpisy znaków są dozwolone w elementach matryce, w tym przypadku odwrotna macierz online zostaną przedstawione w ogólnej formie symbolicznej.