Zadania na etapie szkolnym Ogólnorosyjskiej Olimpiady dla uczniów z matematyki. Olimpiady matematyczne i problemy olimpijskie Nikołaj kupił zwykły zeszyt o objętości 96 kartek

Zadanie 16:

Czy można wymienić 25 rubli na dziesięć banknotów o nominałach 1, 3 i 5 rubli? Rozwiązanie:

Odpowiedź: Nie

Petya kupił zwykły zeszyt o objętości 96 kartek i ponumerował wszystkie jego strony w kolejności od 1 do 192. Wasia wyrwała z tego zeszytu 25 kartek i zsumowała wszystkie 50 liczb, które są na nich napisane. Czy mógł zrobić 1990? Rozwiązanie:

Na każdym arkuszu suma numerów stron jest nieparzysta, a suma 25 nieparzystych numerów jest nieparzysta.

Iloczyn 22 liczb całkowitych jest równy 1. Udowodnij, że ich suma nie jest równa zeru. Rozwiązanie:

Wśród tych liczb - Liczba parzysta„minus jednostek”, a aby suma była równa zero, musi być ich dokładnie 11.

Czy z pierwszych 36 liczb pierwszych można zrobić magiczny kwadrat? Rozwiązanie:

Wśród tych liczb jedna (2) jest parzysta, a pozostałe są nieparzyste. Dlatego w linii, w której jest dwójka, suma liczb jest nieparzysta, a w pozostałych parzysta.

W rzędzie zapisywane są liczby od 1 do 10. Czy można umieścić między nimi znaki „+” i „-”, aby wartość wynikowego wyrażenia była równa zero?

Uwaga: pamiętaj, że liczby ujemne mogą być również parzyste i nieparzyste. Rozwiązanie:

Rzeczywiście, suma liczb od 1 do 10 wynosi 55, a zmieniając w niej znaki, zmieniamy całe wyrażenie na liczbę parzystą.

Konik polny skacze w linii prostej i za pierwszym razem skoczył 1 cm w jakimś kierunku, za drugim 2 cm i tak dalej. Udowodnij, że po skokach w 1985 roku nie może być tam, gdzie zaczął. Rozwiązanie:

Uwaga: suma 1 + 2 + … + 1985 jest nieparzysta.

Na tablicy zapisane są liczby 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Dozwolone jest wymazanie z tablicy dowolnych dwóch liczb i zapisanie modułu ich różnicy. Ostatecznie na planszy pozostanie tylko jeden numer. Czy to może być zero? Rozwiązanie:

Sprawdź, czy wskazane operacje nie zmieniają parzystości sumy wszystkich liczb zapisanych na tablicy.

Czy można pokryć szachownicę kostkami domina 1×2 w taki sposób, aby tylko komórki a1 i h8 pozostały wolne? Rozwiązanie:

Każde domino pokrywa jedno czarne i jedno białe pole, a gdy wyrzucone zostaną kwadraty a1 i h8, jest o 2 mniej czarnych kwadratów niż białych.

Do 17-cyfrowej liczby dodano liczbę zapisaną tymi samymi cyframi, ale w Odwrotna kolejność. Udowodnij, że co najmniej jedna cyfra otrzymanej sumy jest parzysta. Rozwiązanie:

Przeanalizuj dwa przypadki: suma pierwszej i ostatniej cyfry liczby jest mniejsza niż 10, a suma pierwszej i ostatniej cyfry liczby jest nie mniejsza niż 10. Jeśli założymy, że wszystkie cyfry sumy są nieparzyste , to w pierwszym przypadku nie powinno być ani jednego przeniesienia w cyfrach (co oczywiście prowadzi do sprzeczności), a w drugim przypadku obecność przeniesienia przy przechodzeniu z prawej do lewej lub z lewej do prawej zmienia się przy braku przeniesienia, w wyniku czego otrzymujemy, że cyfra sumy w dziewiątej cyfrze jest koniecznie parzysta.

W drużynie ludowej jest 100 osób, a co wieczór trzy z nich pełnią dyżur. Czy po jakimś czasie może się okazać, że każdy był u wszystkich na służbie dokładnie raz? Rozwiązanie:

Ponieważ na każdym obowiązku, w którym uczestniczy ta osoba, jest na służbie z dwoma innymi, wtedy całą resztę można podzielić na pary. Jednak 99 to liczba nieparzysta.

Na linii prostej zaznaczonych jest 45 punktów leżących poza odcinkiem AB. Wykazać, że suma odległości z tych punktów do punktu A nie jest równa sumie odległości z tych punktów do punktu B. Rozwiązanie:

Dla dowolnego punktu X leżącego poza AB mamy AX - BX = ± AB. Jeśli założymy, że sumy odległości są równe, to otrzymamy, że wyrażenie ± AB ± AB ± … ± AB, w którym bierze udział 45 członów, jest równe zero. Ale to jest niemożliwe.

W kole ułożonych jest 9 liczb - 4 jedynki i 5 zer. Co sekundę na liczbach wykonywana jest następująca operacja: między sąsiadującymi liczbami, jeśli są różne, umieszcza się zero, a jedynkę, jeśli są równe; po tym stare numery są usuwane. Czy po pewnym czasie wszystkie liczby mogą stać się takie same? Rozwiązanie:

Oczywiste jest, że nie można uzyskać kombinacji dziewięciu jedynek przed dziewięcioma zerami. Gdyby było dziewięć zer, to w poprzednim ruchu zera i jedynki powinny się zmieniać, co jest niemożliwe, ponieważ jest ich tylko nieparzysta liczba.

Przy okrągłym stole siedzi 25 chłopców i 25 dziewczynek. Udowodnij, że jedna z osób siedzących przy stole ma obu sąsiadów chłopców. Rozwiązanie:

Przeprowadźmy nasz dowód przez sprzeczność. Wszystkich siedzących przy stole numerujemy w kolejności, zaczynając od jakiegoś miejsca. Jeśli włączone k-te miejsce chłopiec siedzi, jasne jest, że (k - 2)-te i (k + 2)-te miejsca zajmują dziewczęta. Ale ponieważ liczba chłopców i dziewcząt jest taka sama, to dla każdej dziewczyny zajmującej n-te miejsce prawdą jest, że (n - 2) i (n + 2) miejsce zajmują chłopcy. Jeśli teraz weźmiemy pod uwagę tylko te 25 osób, które siedzą w „równych” miejscach, to zauważymy, że wśród nich chłopcy i dziewczęta zmieniają się, jeśli chodzą wokół stołu w jakimś kierunku. Ale 25 to liczba nieparzysta.

Ślimak czołga się wzdłuż samolotu ze stałą prędkością, skręcając pod kątem prostym co 15 minut. Udowodnij, że może wrócić do punktu wyjścia dopiero po całkowitej liczbie godzin. Rozwiązanie:

Oczywiste jest, że liczba sekcji, w których ślimak czołgał się w górę lub w dół, jest równa liczbie sekcji, w których czołgał się w prawo lub w lewo. Pozostaje tylko zauważyć, że a jest parzyste.

Trzy koniki polne grają w żabę skaczącą w linii prostej. Za każdym razem jeden z nich przeskakuje nad drugim (ale nie nad dwoma naraz!). Czy mogą wrócić na swoje pierwotne pozycje po skoku z 1991 roku? Rozwiązanie:

Oznaczmy koniki polne A, B i C. Nazwijmy układ koników polnych ABC, BCA i CAB (od lewej do prawej) prawidłowymi, a ACB, BAC i CBA nieprawidłowymi. Łatwo zauważyć, że z każdym skokiem zmienia się rodzaj aranżacji.

Jest 101 monet, z czego 50 jest fałszywych, różniących się wagą o 1 gram od prawdziwych. Petya wziął jedną monetę i za jedną ważąc na wadze strzałką pokazującą różnicę wag na kubkach, chce ustalić, czy jest fałszywa. Czy może to zrobić? Rozwiązanie:

Musisz odłożyć tę monetę na bok, a następnie podzielić pozostałe 100 monet na dwa stosy po 50 monet i porównać masy tych stosów. Jeśli różnią się o parzystą liczbę gramów, to moneta, która nas interesuje, jest prawdziwa. Jeśli różnica między wagami jest nieparzysta, moneta jest fałszywa.

Czy można jednorazowo wypisać liczby od 1 do 9 pod rząd, tak aby między jednym a dwoma, dwoma a trzema, ..., ósmym a dziewiątym była nieparzysta liczba cyfr? Rozwiązanie:

W przeciwnym razie wszystkie liczby w rzędzie byłyby w miejscach o tej samej parzystości.

Ta praca Petya kupił wspólny zeszyt o objętości 96 kartek i ponumerował wszystkie jego strony w kolejności od 1 do 192. Wasia wyciągnięta (Kontrola) na temat (AHD i analiza finansowa), została wykonana na zamówienie przez naszą firmę. specjalistów i zdał swoją udaną obronę. Praca - Petya kupił wspólny notatnik o objętości 96 arkuszy i ponumerował wszystkie jego strony w kolejności od 1 do 192. Vasya wyciągnięty na temat AHD, a analiza finansowa odzwierciedla jego temat i logiczny element jej ujawnienia, ujawnia się istota badanego zagadnienia, główne przepisy i wiodące idee są uwypuklane w tym temacie.
Praca - Petya kupił wspólny zeszyt o objętości 96 arkuszy i ponumerował wszystkie jego strony w kolejności od 1 do 192. Wasia wyrwał go, zawiera: tabele, rysunki, najnowsze źródła literackie, rok złożenia i obrony praca - 2017. W pracy Petya kupił wspólny zeszyt o objętości 96 arkuszy i ponumerował wszystkie jego strony w kolejności od 1 do 192. Vasya wyciągnął (AHD i analiza finansowa) ujawniono trafność tematu badań, stopień rozwoju problemu jest odzwierciedlony, na podstawie dogłębnej oceny i analizy naukowej i literatura metodyczna, w pracach na temat AHD i analizy finansowej przedmiot analizy i jej zagadnienia rozpatrywane są kompleksowo, zarówno od strony teoretycznej, jak i praktyczna strona, sformułowany jest cel i konkretne zadania rozważanego tematu, istnieje logika prezentacji materiału i jego kolejności.

Sekcje: Matematyka

Drogi uczestniku Olimpiady!

Szkolna Olimpiada Matematyki odbywa się w jednej rundzie.
Jest 5 zadań o różnym stopniu trudności.
Nie ma specjalnych wymagań dotyczących projektu pracy. Forma prezentacji rozwiązania problemów, a także metody rozwiązania mogą być dowolne. Jeśli masz jakieś indywidualne przemyślenia na temat konkretnego zadania, ale nie możesz doprowadzić rozwiązania do końca, nie wahaj się przedstawić wszystkich swoich myśli. Nawet częściowo rozwiązane zadania będą oceniane odpowiednią liczbą punktów.
Zacznij rozwiązywać zadania, które wydają Ci się łatwiejsze, a następnie przejdź do reszty. W ten sposób oszczędzasz czas.

Życzymy powodzenia!

Etap szkolny Ogólnorosyjskiej Olimpiady Uczniów z Matematyki

Ocena 5

Ćwiczenie 1. W wyrażeniu 1*2*3*4*5 zamień „*” na znaki akcji i umieść nawiasy w ten sposób. Aby uzyskać wyrażenie o wartości 100.

Zadanie 2. Wymagane jest rozszyfrowanie zapisu równości arytmetycznej, w którym liczby są zastępowane literami, a różne liczby są zastępowane różne litery, to samo - to samo.

PIĘĆ - TRZY \u003d DWA Wiadomo, że zamiast litery ALE musisz wpisać cyfrę 2.

Zadanie 3. Jak podzielić 80 kg gwoździ na dwie części - 15 kg i 65 kg przy użyciu wagi szalkowej bez odważników?

Zadanie 4. Przetnij figurę pokazaną na rysunku na dwie równe części, tak aby każda część miała jedną gwiazdkę. Można ciąć tylko wzdłuż linii siatki.

Zadanie 5. Filiżanka i spodek kosztują razem 25 rubli, a 4 filiżanki i 3 spodki kosztują 88 rubli. Znajdź cenę filiżanki i cenę spodka.

6 klasa.

Ćwiczenie 1. Porównaj ułamki bez dodawania ich do wspólnego mianownika.

Zadanie 2. Wymagane jest rozszyfrowanie zapisu równości arytmetycznej, w którym liczby zastępuje się literami, a różne liczby różnymi literami, te same są takie same. Zakłada się, że pierwotna równość jest prawdziwa i napisana zgodnie ze zwykłymi zasadami arytmetyki.

PRACA
+ BĘDZIE
SZCZĘŚCIE

Zadanie 3. W obóz letni trzech przyjaciół przyszło odpocząć: Misza, Wołodia i Petya. Wiadomo, że każdy z nich ma jedno z następujących nazwisk: Iwanow, Siemionow, Gierasimow. Misza to nie Gierasimow. Ojciec Wołodii jest inżynierem. Wołodia jest w szóstej klasie. Gierasimow jest w piątej klasie. Ojciec Iwanowa jest nauczycielem. Jakie jest nazwisko każdego z trzech przyjaciół?

Zadanie 4. Podziel figurę wzdłuż linii siatki na cztery identyczne części, tak aby każda część miała jeden punkt.

Zadanie 5. Skacząca ważka spała przez połowę każdego dnia czerwonego lata, tańczyła przez jedną trzecią każdego dnia i śpiewała przez szóstą część. Resztę czasu postanowiła poświęcić na przygotowania do zimy. Ile godzin dziennie Dragonfly przygotowywała się do zimy?

7 klasa.

Ćwiczenie 1. Rozwiąż rebus, jeśli wiesz, że największa cyfra w liczbie STRONG to 5:

ZDECYDOWAĆ
JEŚLI
SILNY

Zadanie 2. Rozwiąż równanie│7 - x│ = 9,3

Zadanie 3. Po siedmiu praniach długość, szerokość i grubość mydła zmniejszyły się o połowę. Ile tych samych prań wystarczy na pozostałe mydło?

Zadanie 4 . Podziel prostokąt 4 × 9 komórek wzdłuż boków komórek na dwie równe części, aby następnie zrobić z nich kwadrat.

Zadanie 5. Drewniany sześcian został pomalowany białą farbą ze wszystkich stron, a następnie pocięty na 64 identyczne kostki. Ile kostek okazało się kolorowych z trzech stron? Z dwóch stron?
Jedna strona? Ile kostek nie jest kolorowych?

8 klasa.

Ćwiczenie 1. Jakie dwie cyfry kończą liczbę 13!

Zadanie 2. Zmniejsz ułamek:

Zadanie 3. Szkolne koło teatralne, przygotowujące się do produkcji fragmentu bajki A.S. Puszkin o carze Saltanie postanowił rozdzielić role między uczestników.
- Będę Czernomorem - powiedziała Yura.
- Nie, będę Czernomorem - powiedział Kola.
- W porządku - przyznała mu Yura - Mogę grać w Gvidona.
- Cóż, mogę zostać Saltanem - Kolya również wykazał zgodność.
- Zgadzam się być tylko Guidonem! - powiedział Misza.
Życzenia chłopców zostały spełnione. Jak rozdzielono role?

Zadanie 4. Mediana AD jest narysowana w trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB = 8m. Obwód trójkąta ACD jest większy od obwodu trójkąta ABD o 2m. Znajdź AS.

Zadanie 5. Nikołaj kupił zwykły zeszyt na 96 kartek i ponumerował strony od 1 do 192. Jego bratanek Artur wyrwał z tego zeszytu 35 kartek i zsumował wszystkie 70 numerów, które na nich napisano. Czy mógłby dostać 2010.

Stopień 9

Ćwiczenie 1. Znajdź ostatnią cyfrę 1989 1989 .

Zadanie 2. Suma pierwiastków niektórych równanie kwadratowe to 1, a suma ich kwadratów to 2. Jaka jest suma ich sześcianów?

Zadanie 3. Wykorzystując trzy mediany m a , m b i m c ∆ ABC znajdź długość boku AC = b.

Zadanie 4. Zmniejsz ułamek .

Zadanie 5. Na ile sposobów można wybrać samogłoskę i spółgłoskę w słowie „kamzol”?

Klasa 10.

Ćwiczenie 1. Obecnie istnieją monety o wartości 1, 2, 5, 10 rubli. Wskaż wszystkie kwoty pieniędzy, które można wypłacić zarówno parzystą, jak i nieparzystą liczbą monet.

Zadanie 2. Udowodnij, że 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 jest podzielne przez 6.

Zadanie 3. W czworoboku ABCD przekątne przecinają się w punkcie M. Wiadomo, że przed południem = 1,
Śr = 2, ŚP = 4. Przy jakich wartościach DM czworoboczny ABCD jest trapezem?

Zadanie 4. Rozwiąż układ równań

Zadanie 5. Trzydziestu uczniów – dziesiątych i jedenastoklasistów – podało sobie ręce. Jednocześnie okazało się, że każdy dziesiątoklasista uścisnął rękę ośmiu jedenastoklasistom, a co jedenasty uścisnął rękę siedmiu dziesiątych równiarkach. Ilu dziesiątych i ilu jedenastoklasistów?