KOD TEKSTOWY LEKCJI:

Znasz już dwa przypadki wzajemnego ułożenia prostych w przestrzeni:

1. przecinające się linie proste;

2. Linie równoległe.

Przypomnijmy sobie ich definicje.

Definicja. Linie w przestrzeni nazywane są przecinającymi się, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt

Definicja. Linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.

Wspólne dla tych definicji jest to, że linie leżą na tej samej płaszczyźnie.

W kosmosie nie zawsze tak jest. Możemy sobie poradzić z kilkoma płaszczyznami, a nie każde dwie proste będą leżeć na tej samej płaszczyźnie.

Na przykład krawędzie sześcianu ABCDA1B1C1D1

AB i A1D1 leżą w różnych płaszczyznach.

Definicja. Dwie linie nazywane są przecinającymi się, jeśli nie ma płaszczyzny, która przechodziłaby przez te proste. Z definicji jasno wynika, że \u200b\u200bte proste nie przecinają się i nie są równoległe.

Udowodnijmy twierdzenie, które wyraża kryterium przecinania się prostych.

Twierdzenie (znak przecinających się linii).

Jeśli jedna z linii leży na określonej płaszczyźnie, a druga linia przecina tę płaszczyznę w punkcie nie należącym do tej linii, to te proste przecinają się.

Prosta AB leży na płaszczyźnie α. Prosta CD przecina płaszczyznę α w punkcie C, która nie należy do prostej AB.

Udowodnij, że linie AB i DC są skrzyżowane.

Dowód

Dowód zostanie przeprowadzony w sprzeczności.

Załóżmy, że AB i CD leżą w tej samej płaszczyźnie, oznaczymy to β.

Następnie płaszczyzna β przechodzi przez prostą AB i punkt C.

W następstwie aksjomatów można narysować płaszczyznę przez prostą AB i nie leżący na niej punkt C, a ponadto tylko jeden.

Ale już mamy taką płaszczyznę - płaszczyznę α.

W konsekwencji płaszczyzny β i α pokrywają się.

Ale to niemożliwe, ponieważ linia CD przecina α, ale nie leży w nim.

Doszliśmy do sprzeczności, dlatego nasze założenie jest błędne. AB i CD leżą

różne płaszczyzny i są skrzyżowane.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Istnieją więc trzy możliwe sposoby wzajemnego ułożenia linii prostych w przestrzeni:

A) Linie przecinają się, to znaczy mają tylko jeden wspólny punkt.

B) Linie są równoległe, tj. leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.

C) Linie proste przecinają się, tj. nie leżeć w tej samej płaszczyźnie.

Rozważmy inne twierdzenie o przecinającej się linii

Twierdzenie. Przez każdą z dwóch przecinających się linii przebiega płaszczyzna równoległa do drugiej, a ponadto tylko jedna.

AB i CD - przecinanie linii prostych

Udowodnić, że istnieje płaszczyzna α taka, że \u200b\u200bprosta AB leży na płaszczyźnie α, a prosta CD jest równoległa do płaszczyzny α.

Dowód

Udowodnijmy istnienie takiego samolotu.

1) Przez punkt A narysuj prostą AE równoległą do CD.

2) Ponieważ proste AE i AB przecinają się, można przez nie narysować płaszczyznę. Oznaczmy to przez α.

3) Ponieważ prosta CD jest równoległa do AE, a AE leży w płaszczyźnie α, to prosta CD ∥ płaszczyzny α (zgodnie z twierdzeniem o prostopadłości prostej i płaszczyzny).

Płaszczyzna α jest płaszczyzną pożądaną.

Udowodnijmy, że tylko płaszczyzna α spełnia ten warunek.

Każda inna płaszczyzna przechodząca przez prostą AB będzie przecinać AE, a zatem prostą CD równoległą do niej. Oznacza to, że każda inna płaszczyzna przechodząca przez AB przecina się z linią CD, dlatego nie jest do niej równoległa.

W konsekwencji płaszczyzna α jest wyjątkowa. Twierdzenie zostało udowodnione.

W tym artykule najpierw podamy definicję kąta między przecinającymi się liniami i podamy graficzną ilustrację. Następnie odpowiemy na pytanie: „Jak wyznaczyć kąt między przecinającymi się liniami prostymi, jeśli znane są współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych w prostokątnym układzie współrzędnych?” Podsumowując, przećwiczymy znajdowanie kąta między przecinającymi się liniami podczas rozwiązywania przykładów i problemów.

Nawigacja po stronach.

Kąt między przecinającymi się liniami - definicja.

Do definicji kąta między skrzyżowanymi liniami będziemy zbliżać się stopniowo.

Najpierw przypomnij sobie definicję przecinających się linii: nazywane są dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej krzyżowaniejeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Z tej definicji wynika, że \u200b\u200bprzecinające się linie nie przecinają się, nie są równoległe, a ponadto nie pokrywają się, w przeciwnym razie obie leżałyby na określonej płaszczyźnie.

Oto kilka dodatkowych argumentów.

Niech dwie przecinające się proste a i b będą podane w przestrzeni trójwymiarowej. Skonstruujmy proste a 1 i b 1 tak, aby były równoległe do przecinających się odpowiednio prostych a i b i przechodziły przez jakiś punkt w przestrzeni M 1. W ten sposób otrzymujemy dwie przecinające się linie a 1 i b 1. Niech kąt między przecinającymi się prostymi a 1 i b 1 będzie równy kątowi. Teraz skonstruujemy proste a 2 i b 2, równoległe do przecinających się prostych a i b, przechodzących przez punkt М 2, różny od punktu М 1. Kąt między przecinającymi się prostymi a 2 i b 2 również będzie równy kątowi. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ proste a 1 i b 1 pokrywają się z prostymi odpowiednio a 2 i b 2, jeśli wykonujesz tłumaczenie równoległe, w którym punkt M 1 przechodzi do punktu M 2. Zatem miara kąta między dwiema przecinającymi się prostymi w punkcie M, odpowiednio równoległymi do danych przecinających się prostych, nie zależy od wyboru punktu M.

Teraz jesteśmy gotowi do zdefiniowania kąta między przecinającymi się liniami.

Definicja.

Kąt między przecinającymi się liniami Jest to kąt między dwiema przecinającymi się prostymi, które są odpowiednio równoległe do danych przecinających się prostych.

Z definicji wynika, że \u200b\u200bkąt między przecinającymi się liniami również nie będzie zależał od wyboru punktu M. Dlatego jako punkt M możesz wziąć dowolny punkt należący do jednej z przecinających się linii.

Podajmy ilustrację definicji kąta między przecinającymi się liniami.

Znajdowanie kąta między skrzyżowanymi liniami.

Ponieważ kąt między przecinającymi się prostymi jest określany przez kąt między przecinającymi się prostymi, to znalezienie kąta między przecinającymi się prostymi jest zredukowane do znalezienia kąta między odpowiednimi przecinającymi się liniami prostymi w przestrzeni trójwymiarowej.

Niewątpliwie metody nauczane na lekcjach geometrii w liceum nadają się do wyznaczania kąta między przecinającymi się liniami. Oznacza to, że po wykonaniu niezbędnych konstrukcji można powiązać żądany kąt z dowolnym kątem znanym z warunku, w oparciu o równość lub podobieństwo figur, w niektórych przypadkach pomoże twierdzenie cosinusowe, a czasami wynik jest definicja sinusa, cosinusa i tangensa kąta trójkąt prostokątny.

Jednak bardzo wygodnie jest rozwiązać problem znalezienia kąta między przecinającymi się liniami prostymi metodą współrzędnych. To właśnie rozważymy.

Niech Oxyz zostanie wprowadzony w trójwymiarową przestrzeń (jednak w wielu problemach trzeba go wprowadzić niezależnie).

Postawmy sobie zadanie: znajdź kąt między przecinającymi się prostymi a i b, które odpowiadają pewnym równaniom prostej w przestrzeni w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz.

Rozwiążmy to.

Weź dowolny punkt trójwymiarowej przestrzeni M i załóż, że przechodzą przez niego proste a 1 i b 1, równoległe do przecinających się linii a i b, odpowiednio. Wówczas wymagany kąt między przecinającymi się prostymi a i b jest z definicji równy kątowi między przecinającymi się prostymi a 1 i b 1.

W ten sposób pozostaje nam znaleźć kąt między przecinającymi się prostymi a 1 i b 1. Aby zastosować wzór do znajdowania kąta między dwiema przecinającymi się prostymi w przestrzeni, musimy znać współrzędne wektorów kierunkowych prostych a 1 i b 1.

Jak możemy je zdobyć? To jest bardzo proste. Definicja wektora kierunkowego prostej pozwala stwierdzić, że zbiory wektorów kierunkowych prostych równoległych pokrywają się. Dlatego jako wektory kierunkowe prostych a 1 i b 1 możemy przyjąć wektory kierunkowe i odpowiednio wiersze a i b.

Więc, kąt między dwiema skrzyżowanymi liniami prostymi a i b oblicza się według wzoru
gdzie i - wektory kierunkowe odpowiednio prostych a i b.

Wzór na obliczanie cosinusa kąta między skrzyżowanymi liniami prostymi a i b mają postać .

Pozwala znaleźć sinus kąta między przecinającymi się liniami, jeśli cosinus jest znany: .

Pozostaje przeanalizować rozwiązania przykładów.

Przykład.

Znajdź kąt między przecinającymi się prostymi a i b, które są zdefiniowane w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz za pomocą równań i .

Decyzja.

Równania kanoniczne prostej w przestrzeni pozwalają od razu określić współrzędne wektora kierującego tej prostej - są one podane przez liczby w mianownikach ułamków, czyli ... Równania parametryczne prostej w przestrzeni pozwalają również na natychmiastowe zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego - są one równe współczynnikom przed parametrem, czyli - wektor kierujący linii prostej ... Mamy więc wszystkie niezbędne dane do zastosowania wzoru, według którego obliczany jest kąt między przecinającymi się liniami:

Odpowiedź:

Kąt między podanymi przecinającymi się liniami wynosi.

Przykład.

Znajdź sinus i cosinus kąta między skrzyżowanymi prostymi, na których leżą krawędzie AD i BC piramidy ABCD, jeśli znane są współrzędne jej wierzchołków:

Decyzja.

Wektory kierujące przecinających się linii AD i BC to wektory i. Obliczmy ich współrzędne jako różnicę odpowiednich współrzędnych punktów końca i początku wektora:

Zgodnie ze wzorem możemy obliczyć cosinus kąta między określonymi przecinającymi się liniami:

Teraz obliczmy sinus kąta między przecinającymi się liniami:

Odpowiedź:

Podsumowując, rozważmy rozwiązanie problemu, w którym wymagane jest wyznaczenie kąta między przecinającymi się prostymi, a prostokątny układ współrzędnych trzeba wprowadzić niezależnie.

Przykład.

Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, w którym AB \u003d 3, AD \u003d 2 i AA 1 \u003d 7 jednostek. Punkt E leży na krawędzi AA 1 i dzieli go w stosunku 5 do 2, licząc od punktu A. Znajdź kąt między przecinającymi się liniami BE i A 1 C.

Decyzja.

Ponieważ krawędzie prostokątnego równoległościanu w jednym wierzchołku są wzajemnie prostopadłe, wygodnie jest wprowadzić prostokątny układ współrzędnych i określić kąt między wskazanymi przecinającymi się liniami za pomocą metody współrzędnych przez kąt między wektorami kierunkowymi tych linii.

Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych Oxyz w następujący sposób: niech początek współrzędnych pokrywa się z wierzchołkiem A, oś Ox pokrywa się z linią AD, oś Oy z linią AB, a oś Oz z linią AA 1.

Wtedy punkt B ma współrzędne, punkt E - (jeśli to konieczne, zobacz artykuł), punkt A1 - i punkt C -. Ze współrzędnych tych punktów możemy obliczyć współrzędne wektorów i. Mamy , .

Pozostaje zastosować wzór, aby znaleźć kąt między przecinającymi się liniami wzdłuż współrzędnych wektorów kierunkowych:

Odpowiedź:

Lista referencji.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 liceum.
• Pogorelov A.V., Geometry. Podręcznik dla klas 7-11 placówek edukacyjnych.
• Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

Te cechy pozwalają łatwo rozpoznać skrzyżowane linie proste. Znak 1. Jeśli na dwóch prostych znajdują się cztery punkty, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie, to te proste przecinają się (ryc. 1.21).

Rzeczywiście, gdyby te proste przecinały się lub były równoległe, to leżałyby w jednej płaszczyźnie, a następnie te punkty leżałyby na jednej płaszczyźnie, co jest sprzeczne z warunkiem.

Znak 2. Jeśli prosta O leży na płaszczyźnie, a linia b przecina płaszczyznę a w pewnym punkcie

M, nie leżąc na prostej a, wówczas przecinają się proste a i b (ryc. 1.22).

Rzeczywiście, biorąc dowolne dwa punkty na prostej a i dowolne dwa punkty na prostej b, dochodzimy do kryterium 1, tj. a i b są skrzyżowane.

Rzeczywiste przykłady przecinania się prostych podają węzły komunikacyjne (rys. 1.23).

W przestrzeni jest więcej par przecinających się linii prostych niż par równoległych lub przecinających się prostych. Można to wyjaśnić w następujący sposób.

Weź w przestrzeń jakiś punkt A i prostą a, która nie przechodzi przez punkt A.Aby narysować prostą przechodzącą przez punkt A równoległą do prostej a, konieczne jest narysowanie płaszczyzny a przechodzącej przez punkt A i prostej a (Twierdzenie 2 w punkcie 1.1), a następnie na płaszczyźnie i narysuj prostą b równoległą do prostej a (Rys. 1.24).

Jest tylko jedna taka prosta b. Wszystkie proste przechodzące przez punkt A i przecinające prostą O również leżą na płaszczyźnie a i wypełniają ją, z wyjątkiem linii b. Wszystkie pozostałe proste przechodzące przez A i wypełniające całą przestrzeń z wyjątkiem płaszczyzny a przecinają się z prostą a. Można powiedzieć, że przecinające się proste w przestrzeni to przypadek ogólny, a przecinające się i równoległe proste to szczególne przypadki. „Małe perturbacje” przecinających się linii powodują, że się krzyżują. Jednak właściwości równoległości lub przecinania się z „małymi zaburzeniami” w przestrzeni nie są zachowane.

Wzajemne porozumienie dwie proste linie w przestrzeni.

Względne położenie dwóch linii i przestrzeni charakteryzuje się następującymi trzema możliwościami.

Linie leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów - równoległe.

Linie leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt - przecinają się.

W przestrzeni można również umieścić dwie proste linie, tak aby nie leżały w żadnej płaszczyźnie. Takie proste nazywane są przecinającymi się (nie przecinają się i nie są równoległe).

PRZYKŁAD:

PROBLEM 434 Na płaszczyźnie leży trójkąt ABC, a

Trójkąt ABC leży na płaszczyźnie, a punkt D nie leży na tej płaszczyźnie. Punkty M, N i K to odpowiednio punkty środkowe segmentów DA, DB i DC

Twierdzenie. Jeśli jedna z dwóch prostych leży w pewnej płaszczyźnie, a druga przecina tę płaszczyznę i do punktu, który nie leży na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Na rys. 26 prosta a leży na płaszczyźnie, a prosta c przecina się w punkcie N. Linie a i c przecinają się.

Twierdzenie.Tylko jedna płaszczyzna przechodzi przez każdą z dwóch przecinających się linii równoległych do drugiej.

Na rys. 26 prostych a i b przecina się. Czarna linia prosta i narysowana płaszczyzna a (alfa) || b (linia a1 || b jest zaznaczona na płaszczyźnie B (beta)).

Twierdzenie 3.2.

Dwie proste równoległe do trzeciej są równoległe.

Ta właściwość nazywa się przechodniośćrównoległość prostych.

Dowód

Niech proste a i b będą jednocześnie równoległe do prostej c. Załóżmy, że a nie jest równoległe do b, a następnie prosta a przecina się z prostą b w pewnym punkcie A, który nie leży na prostej c według hipotezy. Dlatego mamy dwie proste a i b przechodzące przez punkt A, nie leżące na danej prostej c, a jednocześnie do niej równoległe. Jest to sprzeczne z Aksjomatem 3.1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 3.3.

Przez punkt, który nie leży na danej prostej, można narysować jedną i tylko jedną prostą równoległą do danej.

Dowód

Niech (AB) będzie daną linią, C będzie punktem nie leżącym na niej. Linia AC dzieli samolot na dwie półpłaszczyzny. Punkt B leży w jednym z nich. Zgodnie z aksjomatem 3.2 można odłożyć kąt (ACD) równy kątowi (CAB) z promienia C A na inną półpłaszczyznę. ACD i CAB są równymi wewnętrznymi przecinającymi się liniami pod liniami AB i CD oraz sieczną (AC) Następnie według Twierdzenia 3.1 (AB) || (PŁYTA CD). Uwzględniając aksjomat 3.1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Własność linii równoległych wynika z następującego twierdzenia, które jest odwrotnością do Twierdzenia 3.1.

Twierdzenie 3.4.

Jeśli dwie równoległe linie przecinają trzecia linia, wewnętrzne kąty leżące w poprzek są równe.

Dowód

Niech (AB) || (PŁYTA CD). Załóżmy, że ACD ≠ BAC. Narysuj linię AE przechodzącą przez punkt A, tak aby EAC \u003d ACD. Ale potem, według Twierdzenia 3.1 (AE) || (CD) i hipotezą - (AB) || (PŁYTA CD). Zgodnie z Twierdzeniem 3.2 (AE) || (AB). Jest to sprzeczne z Twierdzeniem 3.3, zgodnie z którym pojedynczą prostą równoległą do niego można poprowadzić przez punkt A, który nie leży na CD. Twierdzenie zostało udowodnione.

Rysunek 3.3.1.

Na podstawie tego twierdzenia można łatwo uzasadnić następujące właściwości.

Jeśli dwie równoległe linie przecinają trzecia linia, to odpowiednie kąty są równe.

Jeśli dwie równoległe linie przecinają trzecia linia, to suma wewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 180 °.

Wniosek 3.2.

Jeśli linia jest prostopadła do jednej z równoległych linii, to jest prostopadła do drugiej.

Koncepcja równoległości pozwala nam wprowadzić następującą nową koncepcję, która będzie potrzebna w dalszej części rozdziału 11.

Nazywa się dwie belki równie ukierunkowanejeśli istnieje taka prosta, że \u200b\u200bpo pierwsze są one prostopadłe do tej prostej, a po drugie, promienie leżą w tej samej półpłaszczyźnie względem tej prostej.

Nazywa się dwie belki skierowane przeciwniejeśli każdy z nich jest jednakowo skierowany promieniem komplementarnym do drugiego.

Równie skierowane promienie AB i CD będą oznaczone: a przeciwnie skierowane promienie AB i CD -

Rysunek 3.3.2.

Znak przecięcia linii.

Jeśli jedna z dwóch prostych leży w pewnej płaszczyźnie, a druga prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Przypadki wzajemnego ułożenia prostych w przestrzeni.

1. Istnieją cztery różne przypadki dwóch prostych w przestrzeni:

   
   

   - przejście proste, tj. nie leżeć w tej samej płaszczyźnie;

   - przecinają się proste, tj. leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt;

   - proste równoległe, tj. leżeć na tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się;

   - linie proste pokrywają się.

   
   

   Wyznaczmy znaki tych przypadków wzajemnego ułożenia się prostych danych równaniami kanonicznymi

   
   
   gdzie - punkty należące do prostych i odpowiednio a - wektory kierunkowe (rysunek 4.34). Oznaczmy przez wektor łączący podane punkty.
   
   

   Powyższe przypadki wzajemnego ułożenia linii prostych i odpowiadają następującym znakom:

   
   

   - wektory bezpośrednie i skrzyżowane nie są współpłaszczyznowe;

   
   

   - proste i przecinające się wektory są współpłaszczyznowe, ale wektory nie są współliniowe;

   
   

   - wektory bezpośrednie i równoległe są współliniowe, ale wektory nie są współliniowe;

   
   

   - wektory proste i pokrywające się są współliniowe.

   
   

   Warunki te można zapisać przy użyciu właściwości produktów mieszanych i wektorowych. Przypomnijmy, że iloczyn mieszany wektorów w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych można znaleźć według wzoru:

   
   
   a wyznacznik przecina jest zero, a jego druga i trzecia linia nie są proporcjonalne, tj.
   

   - prosta i równoległa druga i trzecia prosta wyznacznika są proporcjonalne, tj. a pierwsze dwie linie nie są proporcjonalne, tj.

   
   

   - wszystkie linie wyznacznika są proste i pokrywają się proporcjonalnie, tj.

Dowód na obecność skrzyżowanych linii.

Jeśli jedna z dwóch linii leży na płaszczyźnie, a druga przecina tę płaszczyznę w punkcie, który nie należy do pierwszej linii, to te dwie proste przecinają się.

Dowód

Niech a należy do α, b przecina α \u003d A, A nie należy do a (rysunek 2.1.2). Załóżmy, że proste a i b nie przecinają się, to znaczy przecinają się. Następnie jest płaszczyzna β, do której należą proste a i b. Prosta a i punkt A leżą na tej płaszczyźnie β. Ponieważ linia a i punkt A na zewnątrz niej definiują unikalną płaszczyznę, to β \u003d α. Ale b prowadzi β i b nie należy do α, stąd równość β \u003d α jest niemożliwa.

W mniej niż minutę utworzyłem nowy plik Vorda i kontynuowałem tak ekscytujący temat. Trzeba uchwycić momenty pracy, żeby nie było lirycznego wprowadzenia. Będzie prozaiczne chłosta \u003d)

Dwie proste przestrzenie mogą:

1) krzyżowanie;

2) przecinają się w punkcie;

3) być równoległe;

4) mecz.

Przypadek nr 1 zasadniczo różni się od innych przypadków. Dwie proste przecinają się, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie... Podnieś jedną rękę do góry, a drugą wyciągnij do przodu - oto przykład przecinania prostych linii. W punktach 2-4 proste muszą leżeć w jednej płaszczyźnie.

Jak znaleźć względne położenie prostych w przestrzeni?

Rozważ dwie proste przestrzenie:

- prosto, dany punkt i wektor kierunku;
- prosta określona przez punkt i wektor kierunkowy.

Dla lepszego zrozumienia zróbmy schematyczny rysunek:

Na rysunku jako przykład przedstawiono skrzyżowane linie proste.

Jak sobie radzić z tymi prostymi liniami?

Ponieważ punkty są znane, łatwo jest znaleźć wektor.

Jeśli prosto krzyżować, a następnie wektory nie współpłaszczyznowe (patrz lekcja Liniowa (nie) zależność wektorów. Podstawa wektorowa), a zatem wyznacznik złożony z ich współrzędnych jest różny od zera. Lub, co faktycznie jest tym samym, będzie niezerowe: .

W przypadkach nr 2-4 nasza konstrukcja „spada” na jedną płaszczyznę, natomiast wektory współpłaszczyznowya iloczyn liniowo zależnych wektorów jest równy zero: .

Obracamy algorytm dalej. Udawajmy, że w związku z tym linie przecinają się, są równoległe lub pokrywają się.

Jeśli wektory kierunku współliniowe, wtedy linie są równoległe lub pokrywają się. Na koniec proponuję następującą technikę: bierzemy dowolny punkt jednej prostej i podstawiamy jego współrzędne w równaniu drugiej prostej; jeśli współrzędne „pasują”, to proste pokrywają się; jeśli „nie pasują”, to proste są równoległe.

Przepływ algorytmu jest prosty, ale praktyczne przykłady nadal nie bolą:

Przykład 11

Znajdź względne położenie dwóch linii

Decyzja: podobnie jak w wielu problemach geometrii, wygodnie jest sporządzić rozwiązanie zgodnie z punktami:

1) Wyciągamy punkty i wektory kierunkowe z równań:

2) Znajdź wektor:

Zatem wektory są współpłaszczyznowe, co oznacza, że \u200b\u200blinie leżą w tej samej płaszczyźnie i mogą się przecinać, być równoległe lub pokrywać się.

4) Sprawdź wektory kierunkowe pod kątem kolinearności.

Utwórzmy układ odpowiednich współrzędnych tych wektorów:

Z każdy z równania wynika zatem, że układ jest spójny, odpowiednie współrzędne wektorów są proporcjonalne, a wektory współliniowe.

Wniosek: linie proste są równoległe lub pokrywają się.

5) Sprawdźmy, czy linie mają wspólne punkty. Weź punkt należący do pierwszej linii i zamień jego współrzędne na równania linii:

Tak więc linie nie mają wspólnych punktów i nie mają innego wyjścia, jak być równoległe.

Odpowiedź:

Ciekawy przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 12

Znajdź względne położenie prostych

To jest przykład rozwiązania zrób to sam. Zauważ, że druga linia ma literę jako parametr. To jest logiczne. Ogólnie są to dwie różne linie proste, więc każda prosta ma swój własny parametr.

I znowu namawiam, żebyście nie pomijali przykładów, będę biczować problemy, które zaproponowałem, nie są przypadkowe ;-)

Problemy z prostą linią w przestrzeni

W końcowej części lekcji postaram się rozważyć maksymalną liczbę różnych problemów z liniami przestrzennymi. W tym przypadku zostanie zachowana kolejność początkowa narracji: najpierw rozważymy problemy z przecinającymi się prostymi, potem z przecinającymi się prostymi, a na końcu porozmawiamy o równoległych liniach w przestrzeni. Muszę jednak powiedzieć, że niektóre zadania tej lekcji można sformułować od razu dla kilku przypadków ułożenia linii prostych i pod tym względem podział sekcji na akapity jest nieco arbitralny. Jest ich więcej proste przykładyistnieją bardziej złożone przykłady i miejmy nadzieję, że każdy znajdzie to, czego potrzebuje.

Skrzyżowane proste linie

Przypominam, że proste linie przecinają się, jeśli nie ma płaszczyzny, na której obie leżą. Kiedy myślałem nad ćwiczeniem, przyszedł mi do głowy problem z potworami, a teraz z radością przedstawiam wam smoka z czterema głowami:

Przykład 13

Podano proste linie. Wymagany:

a) udowodnić, że proste przecinają się;

b) znaleźć równania prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do \u200b\u200btych prostych;

c) ułóż równania z linii prostej, która zawiera wspólny prostopadły przecinanie prostych linii;

d) znajdź odległość między liniami.

Decyzja: Droga zostanie opanowana przez chodzenie:

a) Udowodnijmy, że linie się przecinają. Znajdź punkty i wektory kierunkowe tych linii:

Znajdź wektor:

Obliczamy produkt mieszany wektorów:

Zatem wektory nie współpłaszczyznowe, co oznacza, że \u200b\u200blinie się przecinają, co wymagało udowodnienia.

Prawdopodobnie już dawno wszyscy zauważyli, że przy przekraczaniu linii algorytm weryfikacji okazuje się najkrótszy.

b) Znajdź równania prostej, która przechodzi przez punkt i jest prostopadła do prostych. Wykonajmy schematyczny rysunek:

Dla odmiany postawiłem linię prostą ZA prosto, zobacz, jak jest lekko wymazany na skrzyżowaniach. Mieszańce? Tak, w ogólnym przypadku prosta „de” przecina się z oryginalnymi liniami prostymi. Chociaż nie interesuje nas ten moment, wystarczy zbudować prostopadłą i to wszystko.

Co wiadomo o bezpośrednim „de”? Punkt należący do niej jest znany. Brak wektora kierunku.

Warunkiem jest, że prosta musi być prostopadła do prostych, co oznacza, że \u200b\u200bjej wektor kierunkowy będzie prostopadły do \u200b\u200bwektorów kierunkowych. Znany już z motywu przykładu nr 9, znajdź iloczyn krzyżowy:

Skomponujmy równania prostej „de” przez punkt i wektor kierunkowy:

Gotowe. W zasadzie możesz zmienić znaki w mianownikach i napisać odpowiedź w formularzu , ale nie ma takiej potrzeby.

Aby to sprawdzić, konieczne jest zastąpienie współrzędnych punktu w wynikowych równaniach prostej, a następnie użycie iloczyn skalarny wektorówupewnij się, że wektor jest rzeczywiście prostopadły do \u200b\u200bwektorów kierunkowych „pe jeden” i „pe dwa”.

Jak znaleźć równania prostej zawierającej wspólny prostopadły?

c) To zadanie będzie trudniejsze. Manekinom polecam pominąć ten punkt, nie chcę ostudzić waszego szczerego współczucia dla geometrii analitycznej \u003d) Przy okazji, dla bardziej przygotowanych czytelników może lepiej poczekać, faktem jest, że pod względem złożoności przykład należy umieścić na ostatnim miejscu, ale zgodnie z logiką prezentacji to powinien znajdować się tutaj.

Dlatego wymagane jest znalezienie równań prostej, która zawiera wspólny prostopadły przecinających się prostych.

To odcinek linii łączący dane proste i prostopadły do \u200b\u200bpodanych prostych:

Oto nasz przystojny mężczyzna: - wspólna prostopadła skrzyżowanych linii. On jest jedyny. Nie ma innego takiego. Musimy również ułożyć równania prostej, która zawiera dany odcinek.

Co wiadomo o prostym „uh”? Znany jest jego wektor kierunkowy, znaleziony w poprzednim akapicie. Ale niestety nie znamy ani jednego punktu należącego do prostej „uh”, nie znamy końców prostopadłej - punkty. Gdzie ta prostopadła linia przecina dwie oryginalne linie? W Afryce, na Antarktydzie? Od wstępnego przeglądu i analizy stanu nie jest wcale jasne, jak rozwiązać problem…. Ale jest trudny ruch związany z użyciem równań parametrycznych linii prostej.

Decyzję wydamy zgodnie z punktami:

1) Przepiszmy równania pierwszej prostej w postaci parametrycznej:

Rozważ jedną kwestię. Nie znamy współrzędnych. ALE... Jeśli punkt należy do danej prostej, to odpowiada jego współrzędnym, oznaczamy go przez. Następnie współrzędne punktu zostaną zapisane w postaci:

Życie się poprawia, jedna niewiadoma - w końcu nie trzy niewiadome.

2) To samo oburzenie należy wyrazić w drugim punkcie. Przepiszmy równania drugiej prostej w postaci parametrycznej:

Jeśli punkt należy do danej prostej, to o bardzo określonej wartościjego współrzędne muszą spełniać równania parametryczne:

Lub:

3) Wektor, podobnie jak poprzednio znaleziony wektor, będzie wektorem kierunkowym prostej. Jak skomponować wektor o dwa punkty, rozważano na lekcji w czasach starożytnych Wektory dla manekinów... Teraz różnica polega na tym, że współrzędne wektorów są zapisywane z nieznanymi wartościami parametrów. Więc co? Nikt nie zabrania odejmowania odpowiednich współrzędnych początku wektora od współrzędnych końca wektora.

Istnieją dwie kwestie: .

Znajdź wektor:

4) Ponieważ wektory kierunkowe są współliniowe, jeden wektor jest wyrażany liniowo przez drugi z pewnym współczynnikiem proporcjonalności „lambda”:

Lub koordynacja:

Okazało się, że nie jest to normalne układ równań liniowych z trzema niewiadomymi, które można rozwiązać w standardzie, na przykład metoda Cramera... Ale tutaj jest szansa na pozbycie się odrobiny krwi, z trzeciego równania wyrażamy „lambda” i podstawiamy ją w pierwszym i drugim równaniu:

A zatem: i nie potrzebujemy lambdy. To, że wartości parametrów okazały się takie same, to czysty przypadek.

5) Niebo jest całkowicie czyste, zastąp znalezione wartości do naszych punktów:

Wektor kierunku nie jest szczególnie potrzebny, ponieważ jego kolega został już znaleziony.

Po długiej podróży zawsze fajnie jest to sprawdzić.

:

Uzyskuje się prawidłowe równości.

Zastąp współrzędne punktu w równaniach :

Uzyskuje się prawidłowe równości.

6) Akord końcowy: ułóż równania prostej wzdłuż punktu (możesz wziąć) i wektor kierunkowy:

Zasadniczo można wybrać „dobry” punkt za pomocą współrzędnych całkowitych, ale to już jest kosmetyczka.

Jak znaleźć odległość między skrzyżowanymi liniami?

d) Odcięliśmy czwartą głowę smoka.

Metoda pierwsza... Nawet nie sposób, ale mały specjalny przypadek. Odległość między przecinającymi się liniami jest równa długości ich wspólnej prostopadłej: .

Skrajne punkty wspólnej prostopadłej znalezione w poprzednim akapicie, a zadanie jest elementarne:

Metoda druga... W praktyce najczęściej końce wspólnej prostopadłości są nieznane, dlatego stosuje się inne podejście. Równoległe płaszczyzny można narysować przez dwie przecinające się linie, a odległość między tymi płaszczyznami jest równa odległości między tymi liniami. W szczególności między tymi płaszczyznami wystaje wspólny prostopadły.

W toku geometrii analitycznej, z powyższych rozważań, wyprowadzono wzór na wyznaczenie odległości między przecinającymi się liniami prostymi:
(zamiast naszych punktów „uh jeden, dwa” możesz wziąć dowolne punkty z prostych).

Produkt mieszany wektorów już znaleziono w akapicie „a”: .

Iloczyn wektorowy wektorów znaleziono w pozycji „bae”: obliczmy jego długość:

A zatem:

Z dumą rozłóżmy trofea w jednym rzędzie:

Odpowiedź:
i) , co oznacza, że \u200b\u200blinie przecinają się, co było wymagane do udowodnienia;
b) ;
w) ;
re)

Co jeszcze możesz nam powiedzieć o przekraczaniu linii prostych? Między nimi określony jest kąt. Ale rozważ uniwersalną formułę kąta w następnym akapicie:

Przecinające się proste linie przestrzeni muszą koniecznie leżeć w tej samej płaszczyźnie:

Pierwszą myślą jest oparcie się z całej siły na punkcie przecięcia. I od razu pomyślałem, po co odmawiać sobie właściwych pragnień ?! Rzućmy się na nią teraz!

Jak znaleźć punkt przecięcia linii przestrzennych?

Przykład 14

Znajdź punkt przecięcia linii

Decyzja: Przepiszmy równania prostych w postaci parametrycznej:

Zadanie to zostało szczegółowo omówione w przykładzie nr 7 tej lekcji (zob. Równania prostej w przestrzeni). A tak przy okazji, same proste zaczerpnąłem z przykładu 12. Nie będę kłamał, jestem zbyt leniwy, żeby wymyślać nowe.

Rozwiązanie jest standardowe i zostało już napotkane, gdy rozwinęliśmy równania wspólnego prostopadłego przecinających się prostych.

Punkt przecięcia prostych należy do prostej, dlatego jego współrzędne spełniają równania parametryczne danej prostej i odpowiadają dość specyficzna wartość parametru:

Ale ten sam punkt należy do drugiej prostej, dlatego:

Przyrównujemy odpowiednie równania i dokonujemy uproszczeń:

Otrzymuje się układ trzech równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Jeśli linie przecinają się (jak pokazano w przykładzie 12), to system jest koniecznie kompatybilny i ma unikalne rozwiązanie. Można to rozwiązać metoda Gaussaale nie zgrzeszymy takim przedszkolnym fetyszyzmem, zrobimy to łatwiej: z pierwszego równania wyrażymy „te zero” i podstawimy je do drugiego i trzeciego równania:

Ostatnie dwa równania okazały się w rzeczywistości takie same i wynika z nich to. Następnie:

Zastąp znalezioną wartość parametru w równaniach:

Odpowiedź:

Aby to sprawdzić, podstawiamy znalezioną wartość parametru do równań:
Uzyskano te same współrzędne, co wymagało weryfikacji. Skrupulatni czytelnicy mogą zastąpić współrzędne punktu w oryginalnych równaniach kanonicznych linii prostych.

Nawiasem mówiąc, można było zrobić odwrotnie: znaleźć punkt przez „es zero” i sprawdzić „te zero”.

Dobrze znany znak matematyczny mówi: tam, gdzie omawia się przecięcie prostych, zawsze pachnie jak prostopadłe.

Jak skonstruować linię przestrzeni prostopadłą do zadanej?

(linie się przecinają)

Przykład 15

a) Ułóż równania prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do \u200b\u200bprostej (linie się przecinają).

b) Znajdź odległość od punktu do linii prostej.

Uwaga : klauzula "linie przecinają się" - kluczowy... Przez punkt
możesz narysować nieskończenie wiele prostopadłych linii, które będą przecinały się z prostym „ale”. Jedynym rozwiązaniem jest poprowadzenie linii prostej przez ten punkt, prostopadłej do dwa dana linią prostą (patrz Przykład nr 13, punkt „b”).

i) Decyzja: Nieznana linia jest oznaczona przez. Wykonajmy schematyczny rysunek:

Co wiadomo o prostej? Warunkiem jest punkt. Aby utworzyć równania prostej, należy znaleźć wektor kierunkowy. Wektor jest całkiem odpowiedni jako taki wektor i zajmiemy się nim. Dokładniej, weźmy nieznany koniec wektora za fałd.

1) Z równań prostej „el” wyjmijmy wektor kierujący i przepiszmy same równania w postaci parametrycznej:

Wielu domyśliło się, że teraz po raz trzeci podczas lekcji mag wyjmie z kapelusza białego łabędzia. Rozważ punkt o nieznanych współrzędnych. Od punktu, jego współrzędne spełniają równania parametryczne prostej „el” i odpowiadają określonej wartości parametru:

Lub w jednej linii:

2) Warunkiem jest, że proste muszą być prostopadłe, dlatego ich wektory kierunkowe są ortogonalne. A jeśli wektory są ortogonalne, to ich iloczyn skalarny równa się zero:

Co się stało? Najprostsze równanie liniowe z jednym niewiadomym:

3) Znana jest wartość parametru, znajdź punkt:

I wektor kierunku:
.

4) Złóżmy równania prostej z punktu i wektora kierunkowego:

Mianowniki proporcji okazały się ułamkowe i tak właśnie jest, gdy należy pozbyć się ułamków. Po prostu pomnożę je przez -2:

Odpowiedź:

Uwaga : ściślejsze zakończenie rozwiązania tworzy się w następujący sposób: układamy równania prostej wzdłuż punktu i wektora kierunkowego. Rzeczywiście, jeśli wektor jest wektorem kierującym linii prostej, to wektor współliniowy do niego będzie naturalnie wektorem kierującym danej prostej.

Sprawdzenie składa się z dwóch etapów:

1) sprawdzić wektory kierunkowe linii prostych pod kątem ortogonalności;

2) wstawiamy współrzędne punktu do równań każdej prostej, muszą one „pasować” zarówno tam, jak i tam.

Wiele się mówiło o typowych akcjach, więc sprawdziłem na szkicu.

Swoją drogą zapomniałem też o punkcie - zbudować punkt "siu" symetryczny do punktu "en" względem prostej "el". Jest jednak dobry „płaski analog”, o którym można przeczytać w artykule Najprostsze problemy z prostą na płaszczyźnie... Tutaj cała różnica będzie dotyczyła dodatkowej współrzędnej „zeta”.

Jak znaleźć odległość od punktu do linii w przestrzeni?

b) Decyzja: Znajdź odległość od punktu do linii prostej.

Metoda pierwsza... Odległość ta jest dokładnie równa długości prostopadłej: Rozwiązanie jest oczywiste: jeśli punkty są znane , następnie:

Metoda druga... W zadaniach praktycznych podstawa prostopadłości jest często tajemnicą za siedmioma pieczęciami, dlatego bardziej racjonalne jest użycie gotowej formuły.

Odległość od punktu do linii prostej jest wyrażona wzorem:
, gdzie jest wektorem kierującym prostej „el”, a - arbitralnypunkt należący do tej linii.

1) Z równań prostej otrzymujemy wektor kierunkowy i najbardziej dostępny punkt.

2) Punkt jest znany z warunku, wyostrz wektor:

3) Znajdź iloczyn poprzeczny i oblicz jego długość:

4) Oblicz długość wektora kierunkowego:

5) Zatem odległość od punktu do linii prostej: