Obszar równoległoboku. Oblicz sumę kątów i powierzchnię równoległoboku: właściwości i cechy Powierzchnia równoległoboku, jeśli znane są boki i przekątna

Wzór na pole równoległoboku

Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi jego boku i wysokości obniżonej na tę stronę.

Dowód

Jeśli równoległobok jest prostokątem, to równość jest spełniona przez twierdzenie o polu prostokąta. Ponadto zakładamy, że rogi równoległoboku nie są prawidłowe.

Niech $\angle BAD$ będzie kątem ostrym w równoległoboku $ABCD$ i $AD > AB$. W przeciwnym razie zmienimy nazwy wierzchołków. Wówczas wysokość $BH$ od wierzchołka $B$ do prostej $AD$ wypada na bok $AD$, ponieważ noga $AH$ jest krótsza od przeciwprostokątnej $AB$, a $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Porównajmy pole równoległoboku $ABCD$ i pole prostokąta $HBCK$. Pole równoległoboku jest większe o pole $\triangle ABH$, ale mniejsze o pole $\triangle DCK$. Ponieważ te trójkąty są przystające, ich obszary również są przystające. Oznacza to, że pole równoległoboku jest równe polu prostokąta o bokach długich do boku i wysokości równoległoboku.

Wzór na pole równoległoboku pod względem boków i sinusa

Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi.

Dowód

Wysokość równoległoboku $ABCD$ obniżonego do boku $AB$ jest równa iloczynowi odcinka $BC$ i sinusa kąta $\angle ABC$. Pozostaje zastosować poprzednie twierdzenie.

Wzór na pole równoległoboku pod względem przekątnych

Powierzchnia równoległoboku jest równa połowie iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi.

Dowód

Niech przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $O$ pod kątem $\alpha$. Następnie $AO=OC$ i $BO=OD$ według właściwości równoległoboku. Sinusy kątów, które sumują się do $180^\circ$, to $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Stąd sinusy kątów na przecięciu przekątnych są równe $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\trójkąt AOB) + S_(\trójkąt BOC) + S_(\trójkąt COD) + S_(\trójkąt AOD)$

zgodnie z aksjomatem pomiaru powierzchni. Zastosuj wzór na pole trójkąta $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ dla tych trójkątów i kątów, gdy przekątne się przecinają. Boki każdego są równe połowie przekątnych, sinusy są również równe. Zatem pola wszystkich czterech trójkątów to $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha$. Podsumowując wszystkie powyższe, otrzymujemy

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Podobnie jak w geometrii euklidesowej punkt i prosta są głównymi elementami teorii płaszczyzn, tak równoległobok jest jedną z kluczowych figur wypukłych czworoboków. Z niego, jak nici z kuli, wypływają pojęcia „prostokąta”, „kwadratu”, „rombu” i innych wielkości geometrycznych.

W kontakcie z

Definicja równoległoboku

wypukły czworobok, składający się z segmentów, z których każda para jest równoległa, jest znany w geometrii jako równoległobok.

Jak wygląda klasyczny równoległobok, to czworokąt ABCD. Boki nazywamy podstawami (AB, BC, CD i AD), prostopadła poprowadzona z dowolnego wierzchołka na przeciwległy bok tego wierzchołka nazywana jest wysokością (BE i BF), proste AC i BD to przekątne.

Uwaga! Kwadrat, romb i prostokąt to szczególne przypadki równoległoboku.

Boki i kąty: cechy proporcji

Kluczowe właściwości, ogólnie rzecz biorąc, z góry określone przez samą nazwę, są one udowodnione przez twierdzenie. Cechy te są następujące:

1. Boki, które są przeciwne, są identyczne w parach.
2. Kąty leżące naprzeciw siebie są równe w parach.

Dowód: rozważ ∆ABC i ∆ADC, które otrzymujemy dzieląc czworokąt ABCD przez prostą AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, ponieważ AC jest dla nich wspólne (odpowiednio kąty pionowe dla BC||AD i AB||CD). Wynika z tego: ∆ABC = ∆ADC (drugie kryterium równości trójkątów).

Odcinki AB i BC w ∆ABC odpowiadają parami prostym CD i AD w ∆ADC, co oznacza, że ​​są one identyczne: AB = CD, BC = AD. Zatem ∠B odpowiada ∠D i są one równe. Ponieważ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, które również są identyczne w parach, to ∠A = ∠C. Właściwość została udowodniona.

Charakterystyka przekątnych figury

Główna cecha te linie równoległoboku: punkt przecięcia przecina je na pół.

Dowód: niech m. E będzie punktem przecięcia przekątnych AC i BD figury ABCD. Tworzą one dwa współmierne trójkąty - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD, ponieważ są przeciwne. Zgodnie z prostymi i siecznymi, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Zgodnie z drugim znakiem równości ∆ABE = ∆CDE. Oznacza to, że elementy ∆ABE i ∆CDE to: AE = CE, BE = DE, a ponadto są to części współmierne AC i BD. Właściwość została udowodniona.

Cechy sąsiednich narożników

Na sąsiednich bokach suma kątów wynosi 180°, ponieważ leżą po tej samej stronie prostych równoległych i siecznej. Dla czworokąta ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Właściwości dwusiecznej:

1. , opuszczone na bok, są prostopadłe;
2. przeciwległe wierzchołki mają dwusieczne równoległe;
3. trójkąt uzyskany przez narysowanie dwusiecznej będzie równoramienny.

Wyznaczanie cech charakterystycznych równoległoboku za pomocą twierdzenia

Cechy tej figury wynikają z jej głównego twierdzenia, które brzmi następująco: czworokąt jest uważany za równoległobok w przypadku, gdy jego przekątne się przecinają, a ten punkt dzieli je na równe segmenty.

Dowód: Niech proste AC i BD czworokąta ABCD przecinają się w t. E. Skoro ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, to ∆AED = ∆BEC (przy pierwszym znaku równości trójkątów). Oznacza to, że ∠EAD = ∠ECB. Są to również wewnętrzne kąty przecięcia siecznej AC dla linii AD i BC. Zatem z definicji równoległości - AD || PNE. Wyprowadzono również podobną właściwość linii BC i CD. Twierdzenie zostało udowodnione.

Obliczanie pola figury

Obszar tej figury znaleźć na kilka sposobów jeden z najprostszych: pomnożenie wysokości i podstawy, do której jest rysowany.

Dowód: Narysuj prostopadłe BE i CF z wierzchołków B i C. ∆ABE i ∆DCF są równe, ponieważ AB = CD i BE = CF. ABCD jest równe prostokątowi EBCF, ponieważ składają się one również z cyfr proporcjonalnych: SABE i S EBCD oraz S DCF i S EBCD. Wynika z tego, że obszar tej figury geometrycznej jest taki sam jak prostokąta:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Aby określić ogólny wzór na obszar równoległoboku, oznaczamy wysokość jako hb i bok B. Odpowiednio:

Inne sposoby znajdowania obszaru

Obliczenia powierzchni przez boki równoległoboku i kąt, które tworzą, jest drugą znaną metodą.

,

Spr-ma - obszar;

a i b to jego boki

α - kąt między odcinkami a i b.

Ta metoda jest praktycznie oparta na pierwszej, ale w przypadku, gdy jest nieznana. zawsze odcina trójkąt prostokątny, którego parametry znajdują się za pomocą tożsamości trygonometrycznych, tj. Przekształcając stosunek, otrzymujemy . W równaniu pierwszej metody zastępujemy wysokość tym iloczynem i uzyskujemy dowód ważności tego wzoru.

Przez przekątne równoległoboku i kąta które tworzą, gdy się przecinają, możesz również znaleźć obszar.

Dowód: AC i BD przecinające się tworzą cztery trójkąty: ABE, BEC, CDE i AED. Ich suma jest równa polu tego czworoboku.

Powierzchnię każdego z tych ∆ można znaleźć z wyrażenia , gdzie a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Skoro , to do obliczeń używana jest pojedyncza wartość sinusa. To jest . Ponieważ AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , wzór na pole redukuje się do:

.

Zastosowanie w algebrze wektorów

Cechy części składowych tego czworokąta znalazły zastosowanie w algebrze wektorów, a mianowicie: dodawanie dwóch wektorów. Mówi o tym reguła równoległoboku jeśli dane wektoryINiesą współliniowe, to ich suma będzie równa przekątnej tej figury, której podstawy odpowiadają tym wektorom.

Dowód: z dowolnie wybranego początku - czyli ok. - budujemy wektory i . Następnie budujemy równoległobok OASV, gdzie odcinki OA i OB są bokami. Zatem system operacyjny leży na wektorze lub sumie.

Wzory do obliczania parametrów równoległoboku

Tożsamości są podawane pod następującymi warunkami:

1. aib, α - boki i kąt między nimi;
2. re 1 i re 2 , γ - przekątne iw punkcie ich przecięcia;
3. h a i h b - wysokości obniżone na boki a i b;

Parametr	Formuła
Znalezienie stron
wzdłuż przekątnych i cosinusa kąta między nimi
po przekątnej i na boki
przez wysokość i przeciwny wierzchołek
Znalezienie długości przekątnych
po bokach i wielkości blatu pomiędzy nimi
wzdłuż boków i jednej z przekątnych	 Wniosek Równoległobok, jako jedna z kluczowych figur geometrii, jest używany w życiu, na przykład w budownictwie, przy obliczaniu powierzchni terenu lub innych pomiarów. Dlatego wiedza o cechach wyróżniających i metodach obliczania różnych jego parametrów może być przydatna w każdym momencie życia.

Co to jest równoległobok? Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe.

1. Powierzchnię równoległoboku oblicza się według wzoru:

\[ \DUŻE S = a \cdot h_(a)\]

Gdzie:
a jest bokiem równoległoboku,
h a to wysokość poprowadzona po tej stronie.

2. Jeżeli znane są długości dwóch sąsiednich boków równoległoboku i kąt między nimi, wówczas obszar równoległoboku oblicza się według wzoru:

\[ \DUŻE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Jeżeli podane są przekątne równoległoboku i znany jest kąt między nimi, wówczas obszar równoległoboku oblicza się według wzoru:

\[ \DUŻA S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Właściwości równoległoboku

W równoległoboku przeciwległe boki są równe: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

W równoległoboku przeciwległe kąty to: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Przekątne równoległoboku w punkcie przecięcia są podzielone na pół \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa równe trójkąty.

Suma kątów równoległoboku przylegającego do jednego boku wynosi 180o:

\(\kąt A + \kąt B = 180^(o) \), \(\kąt B + \kąt C = 180^(o)\)

\(\kąt C + \angle D = 180^(o) \), \(\kąt D + \angle A = 180^(o)\)

Przekątne i boki równoległoboku są powiązane następującą zależnością:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

W równoległoboku kąt między wysokościami jest równy jego kątowi ostremu: \(\kąt K B H =\kąt A \) .

Dwusieczne kątów przylegających do jednego boku równoległoboku są wzajemnie prostopadłe.

Dwusieczne dwóch przeciwległych kątów równoległoboku są równoległe.

Funkcje równoległoboku

Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli:

\(AB = CD \) i \(AB || CD \)

\(AB = CD \) i \(BC = AD \)

\(AO = OC \) i \(BO = OD \)

\(\kąt A = \kąt C \) i \(\kąt B = \kąt D \)

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Kontrolki ActiveX muszą być włączone, aby można było wykonywać obliczenia!

Podczas rozwiązywania problemów na ten temat, oprócz podstawowe właściwości równoległobok i odpowiadające im formuły, możesz zapamiętać i zastosować następujące zasady:

1. Dwusieczna kąta wewnętrznego równoległoboku odcina od niego trójkąt równoramienny
2. Dwusieczne kątów wewnętrznych przylegających do jednego z boków równoległoboku są wzajemnie prostopadłe
3. Dwusieczne wychodzące z przeciwnych kątów wewnętrznych równoległoboku, równoległe do siebie lub leżące na jednej prostej
4. Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego boków
5. Pole równoległoboku to połowa iloczynu przekątnych razy sinus kąta między nimi.

Rozważmy zadania, w rozwiązaniu których te właściwości są używane.

Zadanie 1.

Dwusieczna kąta C równoległoboku ABCD przecina bok AD w punkcie M i kontynuację boku AB poza punktem A w punkcie E. Znajdź obwód równoległoboku, jeśli AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Rozwiązanie.

1. Trójkąt CMD równoramienny. (Obiekt 1). Zatem CD = MD = 3 cm.

2. Trójkąt EAM jest równoramienny.
Zatem AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Obwód ABCD = 20 cm.

Odpowiedź. 20 cm

Zadanie 2.

W czworokącie wypukłym ABCD narysowano przekątne. Wiadomo, że pola trójkątów ABD, ACD, BCD są równe. Udowodnij, że podany czworokąt jest równoległobokiem.

Rozwiązanie.

1. Niech BE będzie wysokością trójkąta ABD, CF będzie wysokością trójkąta ACD. Ponieważ zgodnie z warunkiem zadania pola trójkątów są równe i mają wspólną podstawę AD, to wysokości tych trójkątów są równe. BE = CF.

2. BE, CF są prostopadłe do AD. Punkty B i C leżą po tej samej stronie prostej AD. BE = CF. Dlatego linia BC || OGŁOSZENIE. (*)

3. Niech AL będzie wysokością trójkąta ACD, BK wysokością trójkąta BCD. Ponieważ zgodnie z warunkiem zadania pola trójkątów są równe i mają wspólną podstawę CD, to wysokości tych trójkątów są równe. AL = BK.

4. AL i BK są prostopadłe do CD. Punkty B i A leżą po tej samej stronie prostej CD. AL = BK. Dlatego prosta AB || PŁYTA CD (**)

5. Z warunków (*), (**) wynika, że ​​ABCD jest równoległobokiem.

Odpowiedź. Udowodniony. ABCD jest równoległobokiem.

Zadanie 3.

Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zaznaczono odpowiednio punkty M i H, tak że odcinki BM i HD przecinają się w punkcie O;<ВМD = 95 о,

Rozwiązanie.

1. W trójkącie DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. W trójkącie prostokątnym DHC
(

Następnie<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Ponieważ w trójkącie prostokątnym noga leżąca naprzeciw kąta 30 o jest równa połowie przeciwprostokątnej).

Ale CD = AB. Wtedy AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Odpowiedź: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Zadanie 4.

Jedna z przekątnych równoległoboku o długości 4√6 tworzy z podstawą kąt 60°, a druga przekątna tworzy z tą samą podstawą kąt 45°. Znajdź drugą przekątną.

Rozwiązanie.

1. AO = 2√6.

2. Zastosuj twierdzenie o sinusach do trójkąta AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odpowiedź: 12.

Zadanie 5.

Dla równoległoboku o bokach 5√2 i 7√2, mniejszy kąt między przekątnymi jest równy mniejszemu kątowi równoległoboku. Znajdź sumę długości przekątnych.

Rozwiązanie.

Niech d 1, d 2 będą przekątnymi równoległoboku, a kąt między przekątnymi a mniejszym kątem równoległoboku będzie φ.

1. Policzmy dwa różne
drogi swojego obszaru.

S ABCD \u003d AB AD grzech A \u003d 5√2 7√2 grzech f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD grzech AOB \u003d 1/2 d 1 re 2 grzech fa.

Otrzymujemy równość 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f lub

2 5√2 7√2 = re 1 re 2 ;

2. Używając stosunku między bokami i przekątnymi równoległoboku, piszemy równość

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2 .

re 1 2 + re 2 2 = 296.

3. Zróbmy system:

(re 1 2 + re 2 2 = 296,
(re 1 + re 2 = 140.

Pomnóż drugie równanie układu przez 2 i dodaj do pierwszego.

Otrzymujemy (d 1 + d 2) 2 = 576. Stąd Id 1 + d 2 I = 24.

Ponieważ d 1, d 2 są długościami przekątnych równoległoboku, to d 1 + d 2 = 24.

Odpowiedź: 24.

Zadanie 6.

Boki równoległoboku to 4 i 6. Kąt ostry między przekątnymi wynosi 45o. Znajdź obszar równoległoboku.

Rozwiązanie.

1. Z trójkąta AOB, korzystając z twierdzenia o cosinusie, piszemy zależność między bokiem równoległoboku a przekątnymi.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) sałata 45 o;

re 1 2/4 + re 2 2/4 - 2 (re 1/2) (re 2/2)√ 2/2 = 16.

re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √ 2 = 64.

2. Podobnie zapisujemy zależność dla trójkąta AOD.

Bierzemy to pod uwagę<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Otrzymujemy równanie d 1 2 + re 2 2 + re 1 d 2 √2 = 144.

3. Mamy system
(re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √ 2 = 64,
(re 1 2 + re 2 2 + re 1 re 2 √ 2 = 144.

Odejmując pierwsze od drugiego równania, otrzymujemy 2d 1 d 2 √2 = 80 lub

re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD grzech AOB \u003d 1/2 re 1 re 2 grzech α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Notatka: W tym i poprzednim zadaniu nie ma potrzeby całkowitego rozwiązywania układu, zakładając, że w tym zadaniu do obliczenia pola potrzebujemy iloczynu przekątnych.

Odpowiedź: 10.

Zadanie 7.

Pole równoległoboku wynosi 96, a jego boki to 8 i 15. Znajdź kwadrat mniejszej przekątnej.

Rozwiązanie.

1. S ABCD \u003d AB AD grzech VAD. Zróbmy podstawienie we wzorze.

Otrzymujemy 96 = 8 15 grzechów VAD. Stąd grzech VAD = 4/5.

2. Znajdź cos ZŁE. grzech 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ZŁE = 1. cos 2 ZŁE = 9/25.

W zależności od warunku problemu znajdujemy długość mniejszej przekątnej. Przekątna BD będzie mniejsza, jeśli kąt BAD będzie ostry. Wtedy cos ZŁE = 3/5.

3. Z trójkąta ABD, korzystając z twierdzenia o cosinusie, znajdujemy kwadrat przekątnej BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos ZŁE.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Odpowiedź: 145.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązać problem z geometrią?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Zanim nauczymy się, jak znaleźć obszar równoległoboku, musimy pamiętać, czym jest równoległobok i jak nazywa się jego wysokość. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe (leżą na prostych równoległych). Prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu po przeciwnej stronie do linii zawierającej ten bok nazywana jest wysokością równoległoboku.

Kwadrat, prostokąt i romb to szczególne przypadki równoległoboku.

Obszar równoległoboku jest oznaczony jako (S).

Wzory na znalezienie obszaru równoległoboku

S=a*h, gdzie a to podstawa, h to wysokość poprowadzona do podstawy.

S=a*b*sinα, gdzie a i b to podstawy, a α to kąt między podstawami a i b.

S \u003d p * r, gdzie p jest półobwodem, r jest promieniem okręgu wpisanego w równoległobok.

Obszar równoległoboku utworzony przez wektory aib jest równy modułowi iloczynu danych wektorów, a mianowicie:

Rozważ przykład nr 1: Podano równoległobok, którego bok ma 7 cm, a wysokość 3 cm Jak znaleźć obszar równoległoboku, potrzebujemy wzoru do rozwiązania.

Więc S= 7x3. S=21. Odpowiedź: 21 cm 2.

Rozważ przykład nr 2: podstawy mają 6 i 7 cm, a kąt między podstawami wynosi 60 stopni. Jak znaleźć obszar równoległoboku? Formuła użyta do rozwiązania:

W ten sposób najpierw znajdujemy sinus kąta. Sinus 60 \u003d 0,5, odpowiednio S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Odpowiedź: 21 cm 2.

Mam nadzieję, że te przykłady pomogą ci w rozwiązywaniu problemów. I pamiętaj, najważniejsza jest znajomość formuł i uważność