Własności stopni: sformułowania, dowody, przykłady. Własności stopni, sformułowania, dowody, przykłady Własności stopni z regułami wykładników naturalnych

Wcześniej rozmawialiśmy o tym, jaki jest stopień liczby. Ma pewne właściwości przydatne w rozwiązywaniu problemów: to one i wszystkie możliwe wykładniki będziemy analizować w tym artykule. Na przykładach jasno pokażemy, jak można je udowodnić i poprawnie zastosować w praktyce.

Przypomnijmy pojęcie stopnia z naturalnym wykładnikiem, już sformułowane przez nas wcześniej: jest to iloczyn n-liczby czynników, z których każdy jest równy a. Musimy również pamiętać, jak poprawnie mnożyć liczby rzeczywiste. Wszystko to pomoże nam sformułować następujące właściwości dla stopnia z naturalnym wskaźnikiem:

Definicja 1

1. Główna własność stopnia: a m · a n \u003d a m + n

Można uogólnić na: a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k.

2. Własność ilorazu stopni o tych samych podstawach: a m: a n \u003d a m - n

3. Własność stopnia iloczynu: (a b) n \u003d a n b n

Równość można rozszerzyć na: (a 1 a 2… a k) n \u003d a 1 n a 2 n… a k n

4. Własność ilorazu w stopniu naturalnym: (a: b) n \u003d a n: b n

5. Podnieś potęgę do potęgi: (a m) n \u003d a m · n,

Można uogólnić na: (((a n 1) n 2)…) n k \u003d a n 1 n 2… n k

6. Porównaj stopień z zerem:

• jeśli a\u003e 0, to dla dowolnego naturalnego n a n będzie większe od zera;
• gdy a jest równe 0, a n będzie również równe zero;
• w a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• w a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Równość a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Nierówność a m\u003e a n będzie prawdziwa pod warunkiem, że m i n są liczbami naturalnymi, m jest większe niż n, a a jest większe od zera i nie mniejsze niż jeden.

W rezultacie otrzymaliśmy kilka równości; jeśli wszystkie powyższe warunki zostaną spełnione, to będą identyczne. Dla każdej z równości, na przykład dla właściwości głównej, można zamienić stronę prawą i lewą: a m a n \u003d a m + n - to samo co a m + n \u003d a m a n. W związku z tym jest często używany do uproszczenia wyrażeń.

1. Zacznijmy od głównej własności stopnia: równość a m · a n \u003d a m + n będzie prawdziwa dla każdego naturalnego m i n oraz rzeczywistego a. Jak możesz udowodnić to stwierdzenie?

Podstawowa definicja stopni z naturalnymi wykładnikami pozwoli nam przekształcić równość w iloczyn czynników. Otrzymujemy taki rekord:

Można to skrócić do (pamiętaj o podstawowych właściwościach mnożenia). W rezultacie otrzymaliśmy potęgę liczby a z naturalnym wykładnikiem m + n. Zatem m + n, co oznacza, że \u200b\u200bgłówna właściwość stopnia została udowodniona.

Spójrzmy na konkretny przykład, który to potwierdza.

Przykład 1

Mamy więc dwa stopnie o podstawie 2. Ich naturalne wskaźniki to odpowiednio 2 i 3. Otrzymaliśmy równość: 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 Obliczmy wartości, aby sprawdzić, czy ta równość jest poprawna.

Wykonajmy niezbędne operacje matematyczne: 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 i 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32

W rezultacie otrzymaliśmy: 2 2 2 3 \u003d 2 5. Właściwość jest udowodniona.

Ze względu na właściwości mnożenia możemy uogólnić tę właściwość, formułując ją w postaci trzech lub więcej stopni, których wykładniki są liczbami naturalnymi, a podstawy są takie same. Jeśli oznaczymy liczbę liczb naturalnych n 1, n 2 itd. Literą k, otrzymamy poprawną równość:

a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k.

Przykład 2

2. Następnie musimy udowodnić następującą własność, która jest nazywana własnością ilorazu i jest nieodłączna w stopniach o tych samych podstawach: jest to równość am: an \u003d am - n, która jest prawdziwa dla dowolnych liczb naturalnych m i n (gdzie m jest większe niż n)) i dowolna niezerowa liczba rzeczywista a ...

Na początek wyjaśnijmy, jakie dokładnie jest znaczenie warunków wymienionych w sformułowaniu. Jeśli przyjmiemy równe zero, to w końcu otrzymamy dzielenie przez zero, czego nie da się zrobić (w końcu 0 n \u003d 0). Warunek, że liczba m musi być koniecznie większa niż n, jest konieczny, abyśmy mogli zachować naturalne wykładniki: odejmując n od m, otrzymujemy liczba naturalna... Jeśli warunek nie zostanie spełniony, otrzymamy liczbę ujemną lub zero i ponownie wyjdziemy poza studiowanie stopni za pomocą wskaźników naturalnych.

Teraz możemy przejść do dowodu. Z tego, co badaliśmy wcześniej, przypominamy sobie podstawowe właściwości ułamków i formułujemy równość w następujący sposób:

a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m

Z tego można wywnioskować: a m - n a n \u003d a m

Pamiętajmy o związku między dzieleniem a mnożeniem. Wynika z tego, że a m - n jest ilorazem stopni a m i a n. To jest dowód drugiej właściwości stopnia.

Przykład 3

Zastąp konkretne liczby, aby zwiększyć czytelność wskaźników i oznacz podstawę stopnia przez π: π 5: π 2 \u003d π 5 - 3 \u003d π 3

3. Następnie analizujemy własność stopnia iloczynu: (a b) n \u003d a n b n dla dowolnego rzeczywistego a i b oraz naturalnego n.

Zgodnie z podstawową definicją naturalnego wykładnika możemy przeformułować równość w następujący sposób:

Pamiętając o właściwościach mnożenia, piszemy: ... Oznacza to to samo, co a n · b n.

Przykład 4

2 3 - 4 2 5 4 \u003d 2 3 4 - 4 2 5 4

Jeśli mamy trzy lub więcej czynników, to ta właściwość dotyczy również tego przypadku. Wprowadźmy oznaczenie k dla liczby czynników i napiszmy:

(a 1 a 2… a k) n \u003d a 1 n a 2 n… a k n

Przykład 5

Przy określonych liczbach otrzymujemy następującą prawdziwą równość: (2 (- 2, 3) a) 7 \u003d 2 7 (- 2, 3) 7 a

4. Następnie postaramy się udowodnić właściwość ilorazu: (a: b) n \u003d a n: b n dla dowolnej liczby rzeczywistej a i b, jeśli b nie jest 0, a n jest liczbą naturalną.

Jako dowód możesz użyć poprzedniej właściwości stopnia. Jeśli (a: b) n bn \u003d ((a: b) b) n \u003d an, and (a: b) n bn \u003d an, to implikuje to, że (a: b) n jest ilorazem dzielenie an przez mld.

Przykład 6

Obliczmy przykład: 3 1 2: - 0. 5 3 \u003d 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Przykład 7

Zacznijmy od razu od przykładu: (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6

Sformułujmy teraz łańcuch równości, który udowodni nam, że równość jest prawdziwa:

Jeśli w naszym przykładzie mamy stopnie stopni, to ta właściwość jest również dla nich prawdziwa. Jeśli mamy jakieś liczby naturalne p, q, r, s, to będzie prawdą:

a p q y s \u003d a p q y s

Przykład 8

Dodaj szczegóły: (((5, 2) 3) 2) 5 \u003d (5, 2) 3 2 5 \u003d (5, 2) 30

6. Kolejną właściwością stopni z naturalnymi wykładnikami, którą musimy udowodnić, jest właściwość porównania.

Najpierw porównajmy stopień do zera. Dlaczego a n\u003e 0, pod warunkiem, że a jest większe niż 0?

Jeśli pomnożymy jedną liczbę dodatnią przez drugą, otrzymamy również liczbę dodatnią. Znając ten fakt, możemy powiedzieć, że nie zależy to od liczby czynników - wynikiem pomnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich jest liczba dodatnia. A czym jest stopień, jeśli nie wynik pomnożenia liczb? Wtedy dla dowolnego stopnia a n z dodatnią podstawą i naturalnym wykładnikiem będzie to prawdą.

Przykład 9

3 5\u003e 0, (0, 00201) 2\u003e 0 oraz 34 9 13 51\u003e 0

Jest również oczywiste, że stopień o podstawie równej zero sam jest zerowy. Bez względu na to, w jakim stopniu podniesiemy zero, pozostanie.

Przykład 10

0 3 \u003d 0 i 0 762 \u003d 0

Jeśli podstawą wykładnika jest liczba ujemna, dowód jest nieco bardziej skomplikowany, ponieważ ważne staje się pojęcie wykładnika parzystego / nieparzystego. Na początek weźmy przypadek, gdy wykładnik jest parzysty i oznaczmy go jako 2 · m, gdzie m jest liczbą naturalną.

Pamiętajmy, jak poprawnie mnożyć liczby ujemne: iloczyn a · a jest równy iloczynowi modułów, a zatem będzie liczbą dodatnią. Następnie a stopień a 2 · m jest również dodatni.

Przykład 11

Na przykład (- 6) 4\u003e 0, (- 2, 2) 12\u003e 0 i - 2 9 6\u003e 0

A jeśli wykładnik o ujemnej podstawie jest liczbą nieparzystą? Oznaczamy to 2 m - 1.

Następnie

Wszystkie produkty a · a, zgodnie z właściwościami rozmnażania, są pozytywne, ich iloczyn również. Ale jeśli pomnożymy ją przez jedyną pozostałą liczbę a, to ostateczny wynik będzie ujemny.

Wtedy otrzymujemy: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Jak to udowodnić?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Przykład 12

Na przykład nierówności są prawdziwe: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Pozostaje nam udowodnić ostatnią właściwość: jeśli mamy dwa stopnie, których podstawy są takie same i dodatnie, a wykładniki są liczbami naturalnymi, to jeden z nich jest większy i którego wykładnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami, większy niż jeden, tym większy jest stopień, którego wskaźnik jest większy.

Udowodnijmy te stwierdzenia.

Najpierw musimy się upewnić, że plik m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Wyjmijmy n z nawiasów, po czym nasza różnica przybierze postać a n · (a m - n - 1). Jego wynik będzie ujemny (ponieważ wynik pomnożenia liczby dodatniej przez ujemną jest ujemny). W końcu według warunki początkowe, m - n\u003e 0, wtedy a m - n - 1 jest ujemne, a pierwszy czynnik jest dodatni, jak każdy stopień naturalny z dodatnią podstawą.

Okazało się, że a m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Pozostaje jeszcze udowodnić drugą część sformułowanego powyżej stwierdzenia: a m\u003e a obowiązuje dla m\u003e n i a\u003e 1. Wskazujemy różnicę i umieszczamy a n poza nawiasami: (a m - n - 1). Stopień a n dla większego niż jeden da wynik pozytywny; a sama różnica będzie również dodatnia ze względu na warunki początkowe, a dla a\u003e 1 stopień m - n jest większy niż jeden. Okazuje się, że a m - a n\u003e 0 i a m\u003e a n, co musieliśmy udowodnić.

Przykład 13

Przykład z określonymi liczbami: 3 7\u003e 3 2

Podstawowe własności stopni z wykładnikami całkowitymi

W przypadku stopni z dodatnimi wykładnikami całkowitymi właściwości będą podobne, ponieważ dodatnie liczby całkowite są naturalne, co oznacza, że \u200b\u200bwszystkie udowodnione powyżej równości są również dla nich prawdziwe. Nadają się również do przypadków, w których wykładniki są ujemne lub równe zero (pod warunkiem, że podstawa samego stopnia jest różna od zera).

Zatem właściwości stopni są takie same dla dowolnych podstaw a i b (pod warunkiem, że liczby te są rzeczywiste i nie są równe 0) oraz wykładników m i n (pod warunkiem, że są liczbami całkowitymi). Napiszmy je pokrótce w postaci wzorów:

Definicja 2

1. a m a n \u003d a m + n

2. a m: a n \u003d a m - n

3. (a b) n \u003d a n b n

4. (a: b) n \u003d a n: b n

5. (a m) n \u003d a m n

6.a n< b n и a − n > b - n przy założeniu dodatniej liczby całkowitej n, dodatniej a i b, a< b

7 rano< a n , при условии целых m и n , m > ni 0< a < 1 , при a > 1 a m\u003e a n.

Jeśli podstawa stopnia jest równa zero, to zapisy a m i a n mają sens tylko w przypadku naturalnej i dodatniej m i n. W rezultacie stwierdzamy, że powyższe sformułowania są również odpowiednie dla przypadków o stopniu z zerem podstawowym, jeśli wszystkie inne warunki są spełnione.

Dowody tych właściwości w tym przypadku nie są skomplikowane. Musimy pamiętać, czym jest stopień z wykładnikami naturalnymi i całkowitymi, a także właściwościami działań na liczbach rzeczywistych.

Przeanalizujmy właściwość stopnia do stopnia i udowodnijmy, że jest ona prawdziwa zarówno dla dodatnich, jak i nie dodatnich liczb całkowitych. Zaczynamy od udowodnienia równości (ap) q \u003d ap q, (a - p) q \u003d a (- p) q, (ap) - q \u003d ap (- q) i (a - p) - q \u003d a (- p) (- q)

Warunki: p \u003d 0 lub liczba naturalna; q - podobnie.

Jeśli wartości p i q są większe niż 0, to otrzymujemy (a p) q \u003d a p q. Podobną równość udowodniliśmy już wcześniej. Jeśli p \u003d 0, to:

(a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 a 0 q \u003d a 0 \u003d 1

Dlatego (a 0) q \u003d a 0 q

Dla q \u003d 0 wszystko jest dokładnie takie samo:

(a p) 0 \u003d 1 a p 0 \u003d a 0 \u003d 1

Wynik: (a p) 0 \u003d a p · 0.

Jeśli oba wykładniki są równe zero, to (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 i 0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1, stąd (a 0) 0 \u003d a 0 · 0.

Przypomnijmy własność ilorazu w stopniu udowodnionym powyżej i napiszmy:

1 a p q \u003d 1 q a p q

Jeśli 1 p \u003d 1 1… 1 \u003d 1 i a p q \u003d a p q, to \u200b\u200b1 q a p q \u003d 1 a p q

Możemy przekształcić ten zapis w a (- p) q ze względu na podstawowe zasady mnożenia.

Podobnie: a p - q \u003d 1 (a p) q \u003d 1 a p q \u003d a - (p q) \u003d a p (- q).

I (a - p) - q \u003d 1 a p - q \u003d (a p) q \u003d a p q \u003d a (- p) (- q)

Pozostałe właściwości stopnia można udowodnić w podobny sposób, przekształcając istniejące nierówności. Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, wskażemy tylko trudne punkty.

Dowód przedostatniej właściwości: pamiętaj, że a - n\u003e b - n jest prawdziwe dla każdej ujemnej liczby całkowitej n oraz każdej dodatniej wartości a i b, pod warunkiem, że a jest mniejsze niż b.

Następnie nierówność można przekształcić w następujący sposób:

1 a n\u003e 1 b n

Napiszmy prawą i lewą część jako różnicę i dokonaj niezbędnych przekształceń:

1 a n - 1 b n \u003d b n - a n a n b n

Przypomnijmy, że w warunku a jest mniejsze od b, to zgodnie z definicją stopnia z naturalnym wykładnikiem: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n jest liczbą dodatnią, ponieważ jej czynniki są dodatnie. W rezultacie mamy ułamek b n - a n a n · b n, co w końcu daje również wynik dodatni. Stąd 1 a n\u003e 1 b n skąd a - n\u003e b - n, co musieliśmy udowodnić.

Ostatnia właściwość stopni z wykładnikami całkowitymi jest udowodniona podobnie do właściwości stopni z wykładnikami naturalnymi.

Podstawowe własności stopni z wymiernymi wskaźnikami

W poprzednich artykułach omawialiśmy, czym jest stopień z wymiernym (ułamkowym) wykładnikiem. Ich właściwości są takie same jak w stopniach z wykładnikami całkowitymi. Napiszmy:

Definicja 3

1. am 1 n 1 am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 + m 2 n 2 dla a\u003e 0, a jeśli m 1 n 1\u003e 0 im 2 n 2\u003e 0, to dla a ≥ 0 (właściwość iloczynu stopni z tymi samymi podstawami).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 - m 2 n 2, jeśli a\u003e 0 (własność ilorazu).

3. a bmn \u003d amn bmn dla a\u003e 0 i b\u003e 0, a jeśli m 1 n 1\u003e 0 im 2 n 2\u003e 0, to dla a ≥ 0 i (lub) b ≥ 0 (właściwość produktu w stopień ułamkowy).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n dla a\u003e 0 i b\u003e 0, a jeśli m n\u003e 0, to dla a ≥ 0 ib\u003e 0 (własność ilorazu potęgi ułamkowej).

5. am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 dla a\u003e 0, a jeśli m 1 n 1\u003e 0 im 2 n 2\u003e 0, to dla a ≥ 0 (właściwość stopnia w stopień).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0; Jeżeli p< 0 - a p > b p (właściwość porównywania stopni z równymi wskaźnikami racjonalnymi).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p > q w 0< a < 1 ; если a > 0 - a p\u003e a q

Aby udowodnić wskazane warunki, musimy pamiętać, czym jest stopień z wykładnikiem ułamkowym, jakie są własności pierwiastka arytmetycznego z n-tego stopnia, a jakie są własności stopnia z wykładnikami całkowitymi. Przyjrzyjmy się każdej nieruchomości.

Zgodnie z tym, czym jest wykładnik ułamkowy, otrzymujemy:

a m 1 n 1 \u003d a m 1 n 1 i a m 2 n 2 \u003d a m 2 n 2, więc a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 a m 2 n 2

Właściwości korzenia pozwalają nam wydedukować równości:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 \u003d a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Z tego otrzymujemy: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Zmieńmy:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Wykładnik można zapisać jako:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d m 1 n 1 + m 2 n 2

To jest dowód. Druga właściwość jest udowodniona dokładnie w ten sam sposób. Zapiszmy łańcuch równości:

1 n 1: 2 n 2 \u003d 1 n 1: 2 n 2 \u003d 1 n 2: 2 n 1 n 1 n 2 \u003d \u003d 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d rano 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d rano 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d 1 n 1 - m 2 n 2

Dowody pozostałych równości:

a b m n \u003d (a b) m n \u003d a m b m n \u003d a m n b m n \u003d a m n b m n; (a: b) m n \u003d (a: b) m n \u003d a m: b m n \u003d \u003d a m n: b m n \u003d a m n: b m n; 1 n 1 m 2 n 2 \u003d 1 n 1 m 2 n 2 \u003d 1 n 1 m 2 n 2 \u003d \u003d 1 m 2 n 1 n 2 \u003d 1 m 2 n 1 n 2 \u003d \u003d 1 n M 2 n 2 n 1 \u003d rano 1 m 2 n 2 n 1 \u003d rano 1 n 1 m 2 n 2

Następna właściwość: dowodzimy, że dla dowolnych wartości a i b większych od 0, jeśli a jest mniejsze niż b, to a p< b p , а для p больше 0 - a p > b p

Reprezentujemy liczbę wymierną p jako m n. W tym przypadku m jest liczbą całkowitą, n jest naturalne. Wtedy warunki s< 0 и p > 0 rozszerzy się do m< 0 и m > 0. Dla m\u003e 0 i a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Używamy własności korzeni i wyniku: a m n< b m n

Biorąc pod uwagę dodatnie wartości a i b, przepisujemy nierówność jako a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

W ten sam sposób dla m< 0 имеем a a m > b m, otrzymujemy a m n\u003e b m n, co oznacza, że \u200b\u200ba m n\u003e b m n i a p\u003e b p.

Pozostaje nam przedstawić dowód ostatniej własności. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q, p\u003e q dla 0< a < 1 a p < a q , а при a > 0 będzie prawdziwe a p\u003e a q.

Liczby wymierne p i q można sprowadzić do wspólnego mianownika i otrzymać ułamki m 1 ni m 2 n

Tutaj m 1 im 2 są liczbami całkowitymi, an jest naturalne. Jeśli p\u003e q, to \u200b\u200bm 1\u003e m 2 (biorąc pod uwagę regułę porównywania ułamków). Następnie o 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 - nierówność a 1 m\u003e a 2 m.

Można je przepisać w następujący sposób:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Następnie możesz dokonać transformacji i uzyskać w rezultacie:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Podsumowując: dla p\u003e q i 0< a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 - a p\u003e a q.

Podstawowe własności stopni z irracjonalnymi wykładnikami

Wszystkie opisane powyżej właściwości, jakie posiada stopień o racjonalnych wskaźnikach, można rozszerzyć do tego stopnia. Wynika to z samej definicji, którą podaliśmy w jednym z poprzednich artykułów. Sformułujmy krótko te własności (warunki: a\u003e 0, b\u003e 0, wykładniki p i q są liczbami niewymiernymi):

Definicja 4

1. a p a q \u003d a p + q

2. a p: a q \u003d a p - q

3. (a b) p \u003d a p b p

4. (a: b) p \u003d a p: b p

5. (a p) q \u003d a p q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0, a następnie a p\u003e a q.

Zatem wszystkie potęgi, których wykładniki p i q są liczbami rzeczywistymi, pod warunkiem, że a\u003e 0, mają te same właściwości.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

algebra Klasa 7

nauczyciel matematyki

oddział MBOUTSOSH # 1

we wsi Poletaevo I.P. Zueva

Poletaevo 2016

Temat: « Naturalne właściwości gatunku wykładnika»

CEL

1. Powtórzenie, uogólnienie i systematyzacja badanego materiału na temat „Właściwości stopnia ze wskaźnikiem naturalnym”.
2. Sprawdzanie wiedzy uczniów na ten temat.
3. Zastosowanie wiedzy zdobytej podczas wykonywania różnych zadań.

ZADANIA

przedmiot :

powtórzyć, podsumować i usystematyzować wiedzę na dany temat; stwarzać warunki do kontroli (wzajemnej kontroli) przyswajania wiedzy i umiejętności;kontynuować kształtowanie motywacji uczniów do studiowania przedmiotu;

meta-temat:

rozwinąć operacyjny styl myślenia; promować nabywanie umiejętności komunikacyjnych przez uczniów podczas wspólnej pracy; aktywować ich twórcze myślenie; P.kontynuować kształtowanie określonych kompetencji uczniów, co przyczyni się do ich skutecznej socjalizacji; umiejętności samokształcenia i samokształcenia.

osobisty:

wychowanie kultury, promowanie kształtowania cech osobistych ukierunkowanych na życzliwą, tolerancyjną postawę wobec siebie nawzajem, ludzi, życia; wspierać inicjatywę i niezależność w działaniach; doprowadzić do zrozumienia potrzeby badanego tematu dla pomyślnego przygotowania do państwowej certyfikacji końcowej.

RODZAJ LEKCJI

lekcja uogólniania i systematyzacji ZUN.

Ekwipunek: komputer, projektor,ekran do projekcji, tablica, ulotka.

Oprogramowanie: System operacyjny Windows 7: MS Office 2007 (wymagana aplikacja -PowerPoint).

Etap przygotowawczy:

prezentacja „Właściwości stopnia ze wskaźnikiem naturalnym”;

materiały informacyjne;

arkusz ocen.

Struktura

Czas organizacyjny. Ustalenie celów i zadań lekcji - 3 minuty.

Aktualizacja, usystematyzowanie podstawowej wiedzy - 8 minut.

Część praktyczna -28 minut.

Uogólnienie, zakończenie -3 minuty.

Praca domowa - 1 minuta.

Refleksja - 2 minuty.

Pomysł na lekcję

Sprawdzenie w ciekawej i skutecznej formie studentów ZUN na ten temat.

Organizacja lekcji Lekcja odbywa się w klasie 7. Chłopaki pracują w parach, niezależnie, nauczyciel pełni rolę konsultanta-obserwatora.

Podczas zajęć

Czas organizacyjny:

Cześć chłopaki! Dziś mamy niezwykłą lekcję gry. Każdy z Was ma świetną okazję do wyrażenia siebie, wykazania się wiedzą. Być może podczas lekcji odkryjesz w sobie ukryte zdolności, które przydadzą ci się w przyszłości.

Każdy z was ma na stole arkusz ocen i karty do wykonywania w nich zadań. Podnieś arkusz ocen, potrzebujesz go, abyś sam ocenił swoją wiedzę podczas lekcji. Zarejestruj się.

A więc zapraszam na lekcję!

Chłopaki, spójrzcie na ekran i posłuchajcie wiersza.

Slajd numer 1

Mnóż i dziel

Podnoszenie stopnia do stopnia ...

Te właściwości są nam znane.

I od dawna nie są nowe.

Pięć prostych zasad

Wszyscy w klasie już odpowiedzieli

Ale jeśli zapomniałeś o właściwościach,

Rozważ przykład, którego nie rozwiązałeś!

I żeby żyć bez kłopotów w szkole

Dam ci kilka praktycznych porad:

Chcesz zapomnieć o regule?

Po prostu spróbuj zapamiętać!

Odpowiedz na pytanie:

1) Jakie działania są w nim wymienione?

2) Jak myślisz, o czym porozmawiamy dzisiaj na lekcji?

Stąd temat naszego tutoriala:

„Właściwości naturalnego wykładnika” (Slajd 3).

Ustalenie celów i zadań lekcji

Na lekcji powtórzymy, podsumujemy i wprowadzimy do systemu badany materiał na temat „Właściwości stopnia ze wskaźnikiem naturalnym”

Zobaczmy, jak nauczyłeś się mnożyć i dzielić moce za pomocą tych samych podstaw, a także podnosić moc do potęgi

Aktualizacja podstawowej wiedzy. Systematyzacja materiału teoretycznego.

1) Praca ustna

Pracujmy ustnie

1) Sformułuj właściwości stopnia z naturalnym wykładnikiem.

2) Wypełnij puste miejsca: (Slajd 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Jaka jest wartość wyrażenia:(Slajd 5-9)

a m ∙ a n; (a m + n) a m: a n (a m-n); (a m) n; a 1; a 0.

2) Sprawdzenie części teoretycznej (Karta nr 1)

Teraz weź kartę numer 1 w swoje ręce iwypełnić luki

1) Jeśli wykładnik jest liczbą parzystą, wartość stopnia zawsze wynosi _______________

2) Jeśli wykładnik jest liczbą nieparzystą, to wartość stopnia pokrywa się ze znakiem ____.

3) Iloczyn stopnia n a k \u003d a n + k
Mnożąc stopnie z tymi samymi podstawami, podstawą jest ____________, a wykładniki ________.

4) Stopnie prywatnea n: a k \u003d a n - k
Dzieląc stopnie z tymi samymi podstawami, potrzebujesz podstawy _____ oraz indeksu dywidendy ____________________________.

5) Potęgowanie (a n) к \u003d a nk
Podnosząc stopień do stopnia, podstawą musi być _______, a wykładniki ______.

Sprawdzanie odpowiedzi. (Slajdy 10-13)

Głównym elementem

3) A teraz otwieramy zeszyty, zapisujemy numer 28.01 14g, świetna robota

Gra „Clapperboard » (Slajd 14)

Samodzielnie wykonuj zadania w notatnikach

Postępuj zgodnie z instrukcjami: a)x11 ∙ x ∙ x2 b)x14 : x5 c) (a4 ) 3 d) (-Za)2 .

Porównaj wartość wyrażenia z zerem: a) (- 5)7 , b) (- 6)18 ,

o 4)11 . ( -4) 8 d) (- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d) - (- 4)8 .

Oblicz wartość wyrażenia:

a) -1 ∙ 3 2, b) (- 1 ∙ 3) 2 c) 1 ∙ (-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, e) 1 2 ∙ (-3) 2

Sprawdzamy, czy odpowiedź nie jest prawidłowa, klaszczą jedną ręką.

Oblicz liczbę punktów i wpisz je na karcie wyników.

4) Zróbmy teraz gimnastykę oczu, odstresuj się i kontynuujmy pracę. Uważnie monitorujemy ruch obiektów

Pierwsze kroki! (Slajd 15,16,17,18).

5) Teraz przejdźmy do następnego rodzaju naszej pracy. (Karta 2)

Napisz odpowiedź jako stopień z podstawą Z poznasz imię i nazwisko wielkiego francuskiego matematyka, który jako pierwszy wprowadził pojęcie potęgi liczby.

Zgadnij imię matematyka naukowca.

1.	Z 5 ∙ С 3	6.	Z 7 : Z 5
2.	Z 8 : Z 6	7.	(Z 4 ) 3 ∙ С
3,	(Z 4 ) 3	8.	Z 4 ∙ Z 5 ∙ С 0
4.	Z 5 ∙ С 3 : Z 6	9.	Z 16 : Z 8
5.	Z 14 ∙ С 8	10.	(Z 3 ) 5

O odpowiedź: RENE DECART

R

Sh

M

YU

DO

H.

I

T

mi

re

Z 8

Z 5

Z 1

Z 40

Z 13

Z 12

Z 9

Z 15

Z 2

Z 22

Posłuchajmy teraz wiadomości ucznia na temat „Rene Descartes”

Rene Descartes urodził się 21 marca 1596 roku w małym miasteczku La Gay w Turenii. Rodzaj Kartezjusza należał do ignoranckiej oficjalnej szlachty. Rene spędził dzieciństwo w Touraine. W 1612 roku Kartezjusz skończył szkołę. Spędził w nim osiem i pół roku. Kartezjusz nie od razu odnalazł swoje miejsce w życiu. Szlachcic z urodzenia, po ukończeniu college'u w La Flèche, pogrąża się w szczytowym życiu Paryża, po czym rezygnuje ze wszystkiego dla nauki. Kartezjusz przypisał matematyce szczególne miejsce w swoim systemie, uważał jej zasady ustanawiania prawdy za wzór dla innych nauk. Dużą zasługą Kartezjusza było wprowadzenie wygodnych oznaczeń, które przetrwały do \u200b\u200bdziś: łacińskie litery x, y, z dla nieznanego; a, b, c - dla współczynników, dla stopni. Zainteresowania Kartezjusza nie ograniczają się do matematyki, ale obejmują mechanikę, optykę, biologię. W 1649 roku Kartezjusz po dłuższym wahaniu przeniósł się do Szwecji. Ta decyzja okazała się fatalna dla jego zdrowia. Sześć miesięcy później Kartezjusz zmarł na zapalenie płuc.

6) Pracuj przy tablicy:

1. Rozwiązać równanie

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 \u003d 49

B) (t 7 ∙ t 17): (t 0 ∙ t 21) \u003d -125

2. Oblicz wartość wyrażenia:

(5-x) 2 -2x 3 + 3x 2 -4x + x-x 0

a) dla x \u003d -1

b) dla x \u003d 2 Niezależnie

7) Podnieś kartę numer 3, zrób test

Opcja 1	Opcja 2.
1. Wykonaj podział mocy 217 : 2 5 2 12 2 45 2. Napisz w postaci potęgi (x + y) (x + y) \u003d x 2 + y 2 (x + y) 2 2 (x + y) 3. Wymień * stopień, tak aby równość apięć · * \u003d a 15 a 10 a 3 (a 7) 5? a) a 12 b) a 5 c) a 35 3 = 8 15 8 12 6 znajdź znaczenie ułamka	1. Wykonaj podział stopni 99 : 9 7 9 16 9 63 2. Zapisz w postaci stopnia (x-y) (x-y) \u003d ... x 2 -y 2 (x-y) 2 2 (x – y) 3. Wymień * stopień, tak aby równośćb 9 * \u003d b 18 b 17 b 1 1 4. Jaka jest wartość wyrażenia(od 6) 4? a) od 10 b) od 6 c) od 24 5. Z proponowanych opcji wybierz tę, która może zastąpić * w równości (*)3 = 5 24 5 21 6 znajdź znaczenie ułamka

Sprawdźcie swoją pracę i zapiszcie swoich rówieśników na arkuszu ocen.

opcja 1	i	b	b	z	b	3
Opcja 2	i	b	z	z	i	4

Dodatkowe zadania dla silnych uczniów

Każde zadanie jest oceniane oddzielnie.

Znajdź wartość wyrażenia:

8) Teraz zobaczmy skuteczność naszej lekcji ( Slajd 19)

Aby to zrobić, wykonując zadanie, przekreśl litery odpowiadające odpowiedziom.

AOVSTLKRICHGNMO

Uprość wyrażenie:

1.	С 4 ∙ С 3	5.	(Z 2 ) 3 ∙ Z 5
2.	(C 5) 3	6.	Z 6 ∙ Z 5 : Z 10
3.	C 11: C 6	7.	(Z 4 ) 3 ∙ С 2
4.	С 5 ∙ С 5: С

Szyfr: I - Od 7 W- Od 15 G - Z I - Od 30 K - S 9 M - Od 14 H - S 13 O - Od 12 R - S 11 Z - S 5 T - C 8 H - C 3

Jakie dostałeś słowo? ODPOWIEDŹ: DOSKONAŁA! (Slajd 20)

Podsumowując, oceniając, oceniając (Slajd 21)

Podsumujmy naszą lekcję, jak skutecznie powtórzyliśmy, podsumowaliśmy i usystematyzowaliśmy wiedzę na temat „Właściwości stopnia z naturalnym wskaźnikiem”

Bierzemy arkusze ocen, obliczamy całkowitą liczbę punktów i zapisujemy je w końcowej linii ocen

Wstań, który zdobył 29-32 punkty: wynik jest doskonały

25-28 punktów: ocena jest dobra

20-24 punkty: ocena - dostateczna

Jeszcze raz sprawdzę poprawność zadań na kartach, Twoje wyniki sprawdzę z punktami ustawionymi w arkuszu testowym. Umieszczę oceny w dzienniku

A do aktywnej pracy na lekcji oceniającej:

Chłopaki, proszę was o ocenę swoich działań na lekcji. Zaznacz w karcie nastroju.

Arkusz ocen
Nazwisko Imię		Oszacowanie
1. część teoretyczna
2. Gra „Clapperboard”
3. Test
4. „Kod”
Część dodatkowa
Ocena końcowa:
Ocena emocjonalna	O mnie	O lekcji
Zadowolona
Niezadowolony

Praca domowa (Slajd 22)

Utwórz krzyżówkę ze słowem kluczowym DEGREE. W następnej lekcji przyjrzymy się najciekawszym pracom.

№ 567

Lista wykorzystanych źródeł

1. Podręcznik „Algebra Grade 7”.
2. Wiersz. http://yandex.ru/yandsearch
3. NIE. Shchurkov. Kultura współczesnej lekcji. Moskwa: Rosyjska Agencja Pedagogiczna, 1997.
4. A.V. Petrov. Metodologiczne i metodologiczne podstawy edukacji komputerowej kształtującej osobowość. Wołgograd. Zmiana, 2001.
5. TAK JAK. Belkin. Sytuacja sukcesu. Jak to stworzyć. M.: „Edukacja”, 1991.
6. Informatyka i edukacja # 3. Styl myślenia operacyjnego, 2003

Schemat blokowy lekcji

Klasa 7 Lekcja nr 38

Temat: Stopień naukowy z naturalnym wykładnikiem

1. Zapewnić powtórzenie, uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy na dany temat, utrwalić i doskonalić umiejętności najprostszych przekształceń wyrażeń zawierających stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, stwarzać warunki do kontrolowania przyswajania wiedzy i umiejętności;

2. Promowanie kształtowania umiejętności stosowania technik uogólniania, porównywania, podkreślania najważniejszych rzeczy, promowania edukacji zainteresowań przenoszeniem wiedzy do nowej sytuacji, rozwoju horyzontów matematycznych, mowy, uwagi i pamięci, rozwoju działalności edukacyjnej i poznawczej;

3. Przyczynianie się do rozwijania zainteresowania matematyką, aktywności, organizacji, rozwijanie umiejętności wzajemnej i samokontroli swoich działań, kształtowanie pozytywnej motywacji do nauki, kultury komunikacji.

Podstawowe pojęcia lekcji

Stopień, podstawa stopnia, wykładnik, własności stopnia, iloczyn stopnia, podział stopni, podniesienie stopnia do potęgi.

Planowany wynik

Nauczą się operować pojęciem stopnia, rozumieją znaczenie pisania liczby w postaci stopnia i wykonują proste przekształcenia wyrażeń zawierających stopnie z naturalnym wykładnikiem.

Potrafią nauczyć się przeprowadzać transformacje wyrażeń całkowitych zawierających stopień z naturalnym wykładnikiem

Umiejętności przedmiotowe, UUD

Osobisty UUD:

zdolność do samooceny w oparciu o kryterium powodzenia działań edukacyjnych.

Poznawczy UUD:

umiejętność poruszania się w swoim systemie wiedzy i umiejętności: odróżnianie nowych od już znanych z pomocą nauczyciela; znajdź odpowiedzi na pytania, korzystając z informacji zdobytych podczas lekcji.

Uogólnianie i systematyzacja materiałów edukacyjnych, operowanie symbolicznym zapisem stopnia, podstawienia, odtwarzanie z pamięci informacji niezbędnych do rozwiązania problemu edukacyjnego

Temat UUD:

Zastosuj właściwości wykładników, aby przekształcić wyrażenia zawierające naturalne wykładniki

UUD regulacyjny:

Umiejętność definiowania i formułowania celów na lekcji z pomocą nauczyciela; oceń swoją pracę na lekcji.Podczas wykonywania zadań ćwicz wzajemną kontrolę i samokontrolę

Komunikatywny UUD:
Umiejętność formułowania swoich myśli ustnie i na piśmie, słuchania i rozumienia wypowiedzi innych

Linki metasubject

Fizyka, astronomia, medycyna, życie codzienne

Rodzaj lekcji

Powtarzanie, uogólnianie i zastosowanie wiedzy i umiejętności.

Formy i metody pracy

Frontowe, łaźnia parowa, indywidualne. Wyjaśniające - ilustracyjne, werbalne, sytuacje problemowe, warsztaty, wzajemne sprawdzanie, kontrola

Dostarczanie zasobów

Elementy podręcznika EMC Makarychev, projektor, ekran, komputer, prezentacja, zadania dla studentów, arkusze samooceny

Technologie używane na zajęciach

Technologia czytania semantycznego, uczenie się problemowe, indywidualne i zróżnicowane podejście, ICT

Mobilizowanie uczniów do pracy, mobilizowanie uwagi

Dzień dobry chłopaki. Dzień dobry, drodzy koledzy! Pozdrawiam wszystkich zebranych na dzisiejszy wieczór lekcja otwarta... Chłopaki, życzę owocnej pracy na lekcji, uważnie rozważ odpowiedzi na postawione pytania, nie spiesz się, nie przerywaj, szanuj kolegów z klasy i ich odpowiedzi. Życzę też wszystkim, żebyście otrzymywali tylko dobre oceny. Powodzenia!

Są zawarte w biznesowym rytmie lekcji

Sprawdzają dostępność wszystkiego, co niezbędne do pracy na lekcji, poprawność ułożenia przedmiotów. Umiejętność organizowania się, nastawiania na pracę.

2. Aktualizacja podstawowej wiedzy i wejście w tematykę lekcji

3. Praca ustna

Chłopaki, każdy z was ma na biurku arkusze wyników.Na nich ocenisz swoją pracę na lekcji. Dziś na lekcji masz możliwość otrzymania nie jednej, ale dwóch ocen: za pracę na lekcji i za samodzielną pracę.
Twoje prawidłowe, kompletne odpowiedzi również otrzymają ocenę „+”, ale umieszczę tę ocenę w innej kolumnie.

Na ekranie widać zagadki, w których zaszyfrowane są słowa kluczowe dzisiejszej lekcji. Rozwikłać je. (Slajd 1)

moc

ponowienie

uogólnienie

Chłopaki, poprawnie odgadliście zagadki. Te słowa to: stopień, powtórzenie i uogólnienie. Teraz, korzystając z odgadywanych słów - podpowiedzi, sformułuj temat dzisiejszej lekcji.

Dobrze. Otwórz zeszyty i zapisz numer i temat lekcji „Powtórzenie i uogólnienie na temat„ Właściwości stopnia z naturalnym wykładnikiem ”(Slajd 2)

Określiliśmy temat lekcji, ale jak myślisz, co zrobimy na lekcji, jakie cele sobie postawimy? (Slajd 3)

Powtórzyć i podsumować naszą wiedzę na ten temat, wypełnić istniejące luki, przygotować się do opracowania kolejnego tematu „Monomials”.

Chłopaki, właściwości stopnia z naturalnym wykładnikiem są dość często używane podczas znajdowania wartości wyrażeń, podczas konwersji wyrażeń. Szybkość obliczeń i przekształceń związanych z właściwościami stopnia z naturalnym wykładnikiem jest również podyktowana wprowadzeniem USE.

Dlatego dzisiaj dokonamy przeglądu i podsumujemy Twoją wiedzę i umiejętności na ten temat. Werbalnie trzeba rozwiązać szereg problemów i zapamiętać słowne grupowanie cech i określenie stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego.

Epigraf do słów lekcji wielkiego rosyjskiego naukowca MV Łomonosowa „Niech ktoś spróbuje usunąć stopnie z matematyki, a zobaczy, że bez nich daleko nie zajdziesz”

(Slajd 4)

Myślisz, że naukowiec ma rację?

Dlaczego potrzebujemy stopni?

Gdzie są szeroko stosowane? (w fizyce, astronomii, medycynie)

Zgadza się, teraz powtórzmy, co to jest stopień?

Jakie są imiona a in w notacji stopni?

Jakie działania możesz zrobić ze stopniami? (Slajdy 5-11)

A teraz podsumujmy. Masz zadania na swoim biurku .

1. Po lewej stronie znajdują się początek definicji, po prawej koniec definicji. Połącz wiersze poprawne stwierdzenia (slajd 12)

Połącz odpowiednie części definicji liniami.

a) Mnożenie stopni z tymi samymi podstawami ...

1) podstawę nadania stopnia naukowego

b) Podczas dzielenia stopni za pomocą tych samych podstaw….

2) Wykładnik potęgowy

c) Zostaje wywołany numer a

3) iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

d) Podnosząc stopień do stopnia ...

4)… podstawa pozostaje taka sama, a wskaźniki sumują się.

e) Potęga liczby a z naturalnym wykładnikiem n większym od 1 jest nazywana

5) ... podstawa pozostaje taka sama, a wskaźniki są pomnożone.

mi)Numernnazywa

6) stopień naukowy

sol)Wyrażenie a n nazywa

7)… podstawa pozostaje taka sama i kwoty są odejmowane.

2. Teraz wymień dokumenty z kolegą z pracy, oceń jego pracę i wystaw mu ocenę. Umieść tę ocenę na swojej karcie wyników.

Sprawdźmy teraz, czy poprawnie wykonałeś zadanie.

Zgaduj zagadki, definiuj słowa - wskazówki.

Podejmowane są próby ujęcia tematu lekcji.

Zapisz numer i temat lekcji w zeszycie.

Odpowiadać na pytania

Pracują w parach. Pamiętaj, że przeczytali zadanie.

Połącz części definicji

Wymiana notatników.

Przeprowadzają wzajemną kontrolę wyników, oceniają kolegę ze szkoły.

4. minuta ćwiczeń

Ręce uniesione i uniesione

to są drzewa w lesie,

Ręce zgięte, szczotki się trzęsły -

Wiatr zrywa liście.

Po bokach dłoni delikatnie pomachaj -

Ptaki lecą więc na południe

Po cichu pokażemy, jak siedzą -

Ręce złożone w ten sposób!

Wykonuj czynności równolegle z nauczycielem

5. Transfer zdobytej wiedzy, jej pierwotne zastosowanie w nowych lub zmienionych warunkach w celu kształtowania umiejętności.

1. Oferuję ci następującą pracę: masz karty na biurkach. Musisz wykonać zadania tj. napisz odpowiedź w formie stopnia z podstawą s, a poznasz nazwisko i imię wielkiego francuskiego matematyka, który wprowadził obecnie przyjęte określenie stopni. (Slajd 14)

5

Z 8 : Z 6

(Z 4 ) 3 Z

(Z 4 ) 3

Z 4 Z 5 Z 0

Z 5 Z 3 : Z 6

Z 16 : Z 8

Z 14 Z 8

10.

(Z 3 ) 5

Odpowiedź: Rene Descartes.

Opowieść o biografii Rene Descartes (slajdy 15-17)

Chłopaki, przejdźmy teraz do następnego zadania.

2. Informacje ogranicz, które odpowiedzi są prawidłowe, a które fałszywe. (Slajd 18-19)

umieść prawdziwą odpowiedź w korespondencji z 1, fałsz - 0.

otrzymawszy uporządkowany zestaw jedynek i zer, znajdziesz poprawną odpowiedź i ustalisz imię i nazwisko pierwszej Rosjanki - matematyka.

i) x 2 x 3 \u003d x 5

b) s 3 s 5 s 8 = s 16

w) x 7 : x 4 \u003d x 28

d) (do+ re) 8 : ( do+ re) 7 = do+ re

e) (x 5 ) 6 = x 30

Wybierz jej imię spośród czterech nazwisk znanych kobiet, z których każde odpowiada zestawowi jedynek i zer:

Ada August Lovelace - 11001

Sophie Germain - 10101

Ekaterina Dashkova - 11101

Sofia Kovalevskaya - 11011

Z biografii Sophii Kovalevskaya (slajd 20)

Wykonaj zadanie, określ nazwisko i imię francuskiego matematyka

Posłuchaj, rozważ slajdy

Zaznaczają poprawne i niepoprawne odpowiedzi, zapisują wynikowy kod, który określa imię pierwszej Rosjanki - matematyka.

6. Kontrola i ocena wiedzy Samodzielne wykonywanie zadań przez studenta pod kierunkiem nauczyciela.

A teraz musisz wykonać pracę weryfikacyjną. Przed tobą karty z zadaniami w różnych kolorach. Kolor odpowiada poziomowi trudności zadania (na „3”, na „4”, na „5”) Wybierz dla siebie zadanie, dla którego wykonasz ocenę i zabierz się do pracy. (Slajd 21)

Na „3”

1. Wyobraź sobie pracę jako stopień:

i) ; b) ;

w) ; re) .

2. Wykonaj kroki:

( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( za x ) y

Na „4”

1. Przedstaw pracę jako dyplom.

a) x 5 x 8 ; gwizd 2 w 9 ; o 2 6 · 2 4 ; re)m 2 m 5 m 4 ;

mi)x 6 ∙ x 3 ∙ x 7 ; e) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Wyobraź sobie iloraz jako stopień:

i)x 8 : x 4 ; b) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

c) x 5 : x 3 ; d) o godz 10 : w 10 ; D 2 6 : 2 4 ; mi);

do „5”

1. Postępuj zgodnie z instrukcjami:

a) a 4 · i · i 3 a b) (7 x ) 2 c) str · r 2 · r 0

d) z · z 3 · c e) t · t 4 · ( t 2 ) 2 · t 0

e) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 g) -x 3 · (– x ) 4

h) (r 2 ) 4 : r 5 i) (3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Uprość:

i) x 3 ( x 2) 5 c) ( za 2) 3 ( za 4 ) 2

b) ( za 3) 2 za 5 g) ( x 2) 5 ( x 5 )

Niezależna praca

Wykonuj zadania w notatnikach

7. Podsumowanie lekcji

Uogólnienie informacji uzyskanych na lekcji.Sprawdzanie pracy, nadawanie ocen. Identyfikacja trudności napotkanych na lekcji

8. Odbicie

Co się stało z koncepcją stopnia wXVII wieku, ty i ja możemy siebie przewidzieć. Aby to zrobić, spróbuj odpowiedzieć na pytanie: czy liczbę można podnieść do potęgi ujemnej, czy ułamkową? Ale to jest temat naszych przyszłych badań.

Oceny z lekcji

Chłopaki, chcę zakończyć naszą lekcję następującą przypowieścią.

Przypowieść. Mędrzec szedł i spotkały go trzy osoby, które w gorącym słońcu wiozły wozy z kamieniami do budowy. Mędrzec zatrzymał się i zadał każdemu pytanie. Pierwszy zapytał: „Co robiłeś przez cały dzień”. Odpowiedział z uśmiechem, że przez cały dzień wbijał te przeklęte kamienie. Mędrzec zapytał drugiego: „Co robiłeś przez cały dzień”, a on odpowiedział: „Ale ja wykonałem swoją pracę sumiennie”. A trzeci uśmiechnął się, a jego twarz rozjaśniła się radością i przyjemnością: „A ja brałem udział w budowie świątyni!”.

Chłopaki, odpowiedzcie, co robiliście dzisiaj w klasie? Po prostu zrób to na arkuszu samooceny. Zakreśl stwierdzenie, które dotyczy Ciebie, w każdej kolumnie.

Na arkuszu samooceny należy podkreślić zwroty charakteryzujące pracę ucznia podczas lekcji w trzech obszarach.

Nasza lekcja się skończyła. Dziękuję wszystkim za pracę na lekcji!

Odpowiadać na pytania

Oceń ich pracę w klasie.

Zaznaczają na karcie frazy, które charakteryzują ich pracę podczas lekcji.