Paralelogram în probleme. Cum să găsești aria unui paralelogram, triunghi, trapez Cum să calculezi aria unui paralelogram

Zona geometrică- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

1. Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
   Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
   
2. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
   
3. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
   Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
   
unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

1. Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
   suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
2. Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
   suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
   

   S=	1	2
   	2

unde S este aria pătratului,
este lungimea laturii pătratului,
este lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară este egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

unde S este aria dreptunghiului,
sunt lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule pentru aria unui paralelogram

1. Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
   Zona paralelogramului
2. Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
   Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
   

   a b sinα

unde S este aria paralelogramului,
sunt lungimile laturilor paralelogramului,
este înălțimea paralelogramului,
este unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

1. Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
   Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
2. Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
   Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
3. Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
   Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formulele zonei trapezului

1. Formula lui Heron pentru un trapez

   Unde S este aria trapezului,
   - lungimea bazelor trapezului,
   - lungimea laturilor trapezului,
   

Paralelogram este un patrulater ale cărui laturi sunt paralele la perechi.

În această figură, laturile și unghiurile opuse sunt egale între ele. Diagonalele unui paralelogram se intersectează într-un punct și îl bisectează. Formulele de zonă de paralelogram vă permit să găsiți valoarea prin laturi, înălțime și diagonale. Paralelogramul poate fi reprezentat și în cazuri speciale. Sunt considerate dreptunghi, pătrat și romb.
În primul rând, să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram în funcție de înălțime și latura la care este coborât.

Acest caz este considerat un clasic și nu necesită investigații suplimentare. Este mai bine să luați în considerare formula pentru calcularea ariei prin două laturi și unghiul dintre ele. Aceeași metodă este utilizată în calcul. Dacă sunt date laturile și unghiul dintre ele, atunci aria se calculează după cum urmează:

Să presupunem că ni se dă un paralelogram cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Să găsim zona:

Aria unui paralelogram în termeni de diagonale

Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonale vă permite să găsiți rapid valoarea.
Pentru calcule, aveți nevoie de valoarea unghiului situat între diagonale.

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram prin diagonale. Să fie dat un paralelogram cu diagonalele D = 7 cm, d = 5 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Înlocuiți datele din formula:

Un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram printr-o diagonală ne-a dat un rezultat excelent - 8,75.

Cunoscând formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonală, puteți rezolva multe probleme interesante. Să ne uităm la una dintre ele.

Sarcină: Dat un paralelogram cu o suprafață de 92 mp. vezi Punctul F este situat în mijlocul laturii sale BC. Să găsim aria trapezului ADFB, care se va afla în paralelogramul nostru. Pentru început, să desenăm tot ce am primit conform condițiilor.
Să ajungem la soluție:

Conform condițiilor noastre, ah \u003d 92 și, în consecință, aria trapezului va fi egală cu

Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea lui. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului.

Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Aria unui paralelogram este notată cu (S).

Formule pentru a afla aria unui paralelogram

S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază.

S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b.

S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram.

Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume:

Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea este de 3 cm. Cum să găsiți aria paralelogramului, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare.

Deci S= 7x3. S=21. Răspuns: 21 cm 2.

Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva:

Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2.

Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția

Ce este un paralelogram? Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.

1. Aria unui paralelogram se calculează cu formula:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Unde:
a este latura paralelogramului,
h a este înălțimea trasă în această parte.

2. Dacă sunt cunoscute lungimile a două laturi adiacente ale paralelogramului și unghiul dintre ele, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Dacă sunt date diagonalele paralelogramului și unghiul dintre ele este cunoscut, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Proprietățile paralelogramului

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt: ​​\(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Diagonalele paralelogramului în punctul de intersecție sunt bisectate \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.

Suma unghiurilor unui paralelogram adiacent unei laturi este 180 o:

\(\unghi A + \unghi B = 180^(o) \), \(\unghi B + \unghi C = 180^(o)\)

\(\unghi C + \unghi D = 180^(o) \), \(\unghi D + \unghi A = 180^(o)\)

Diagonalele și laturile unui paralelogram sunt legate prin următoarea relație:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Într-un paralelogram, unghiul dintre înălțimi este egal cu unghiul său ascuțit: \(\angle K B H =\angle A \) .

Bisectoarele unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului sunt reciproc perpendiculare.

Bisectoarele a două unghiuri opuse ale unui paralelogram sunt paralele.

Caracteristicile paralelogramului

Un patrulater este un paralelogram dacă:

\(AB = CD \) și \(AB || CD \)

\(AB = CD \) și \(BC = AD \)

\(AO = OC \) și \(BO = OD \)

\(\angle A = \angle C \) și \(\angle B = \angle D \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!

Ca și în geometria euclidiană, punctul și linia dreaptă sunt elementele principale ale teoriei planelor, deci paralelogramul este una dintre figurile cheie ale patrulaterelor convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.

In contact cu

Definiția paralelogramului

patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.

Cum arată un paralelogram clasic este un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă a acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD sunt diagonalele.

Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Laturi și unghiuri: caracteristici de raport

Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:

1. Laturile care sunt opuse sunt identice în perechi.
2. Unghiurile care sunt opuse unul altuia sunt egale în perechi.

Demonstrație: se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD la dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC le este comun (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi liniilor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice în perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile diagonalelor figurii

Caracteristica principală aceste drepte paralelograme: punctul de intersecție le traversează.

Demonstrație: fie m. E punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.

AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantelor, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.

Conform celui de-al doilea semn de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE sunt: ​​AE = CE, BE = DE și, în plus, sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile colțurilor adiacente

Pe laturile adiacente, suma unghiurilor este de 180°, deoarece se află de aceeași parte a dreptelor paralele și a secantei. Pentru patrulater ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietăți bisectoare:

1. , coborât într-o parte, sunt perpendiculare;
2. vârfurile opuse au bisectoare paralele;
3. triunghiul obţinut prin trasarea bisectoarei va fi isoscel.

Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram prin teoremă

Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care sună după cum urmează: patrulaterul este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.

Demonstrație: Fie că liniile AC și BD ale patrulaterului ABCD se intersectează în t. E. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (prin primul semn de egalitate a triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile de trecere interioare ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || î.Hr. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.

Calcularea ariei unei figuri

Zona acestei figuri găsit în mai multe feluri una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.

Demonstrație: Desenați perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egal cu dreptunghiul EBCF, deoarece acestea constau și din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. Rezultă că aria acestei figuri geometrice este aceeași cu cea a unui dreptunghi:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pentru a determina formula generală pentru aria unui paralelogram, notăm înălțimea ca hb, și lateral b. Respectiv:

Alte modalități de a găsi zonă

Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.

,

Spr-ma - zona;

a și b sunt laturile sale

α - unghiul dintre segmentele a și b.

Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. decupează întotdeauna un triunghi dreptunghic ai cărui parametri sunt găsiți prin identități trigonometrice, adică . Transformând raportul, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.

Prin diagonalele unui paralelogram și a unui unghi, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.

Dovada: AC și BD care se intersectează formează patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.

Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită din expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Deoarece , atunci o singură valoare a sinusului este utilizată în calcule. Acesta este . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2 , formula ariei se reduce la:

.

Aplicație în algebră vectorială

Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială și anume: adăugarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectoriȘiNusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.

Dovada: de la un început ales arbitrar – adică. - construim vectori și . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.

Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram

Identitățile sunt date în următoarele condiții:

1. a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
2. d 1 și d 2 , γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
3. h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;

Parametru	Formulă
Găsirea părților
de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele
în diagonală și lateral
prin înălțime și vârf opus
Aflarea lungimii diagonalelor
pe laturi si marimea varfului intre ele
de-a lungul laturilor și una dintre diagonale	 Concluzie Paralelogramul, ca una dintre figurile cheie ale geometriei, este folosit în viață, de exemplu, în construcții, atunci când se calculează suprafața site-ului sau alte măsurători. Prin urmare, cunoștințele despre caracteristicile distinctive și metodele de calculare a diferiților săi parametri pot fi utile în orice moment al vieții.