Aria unui paralelogram. Calculați suma unghiurilor și aria unui paralelogram: proprietăți și caracteristici Aria unui paralelogram dacă laturile și diagonala sunt cunoscute

Formula pentru aria unui paralelogram

Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturii sale și înălțimea coborâtă pe această latură.

Dovada

Dacă paralelogramul este dreptunghi, atunci egalitatea este satisfăcută de teorema ariei dreptunghiului. În plus, presupunem că colțurile paralelogramului nu sunt corecte.

Fie $\angle BAD$ un unghi ascuțit într-un paralelogram $ABCD$ și $AD > AB$. În caz contrar, vom redenumi nodurile. Atunci înălțimea $BH$ de la vârful $B$ la linia $AD$ cade pe latura $AD$, deoarece cateta $AH$ este mai scurtă decât ipotenuza $AB$ și $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Să comparăm aria paralelogramului $ABCD$ și aria dreptunghiului $HBCK$. Aria paralelogramului este mai mare cu aria $\triunghi ABH$, dar mai mică cu aria $\triunghi DCK$. Deoarece aceste triunghiuri sunt congruente, zonele lor sunt de asemenea congruente. Aceasta înseamnă că aria unui paralelogram este egală cu aria unui dreptunghi cu laturile lungi în lateral și înălțimea paralelogramului.

Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de laturi și sinus

Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele.

Dovada

Înălțimea paralelogramului $ABCD$ coborât pe latura $AB$ este egală cu produsul segmentului $BC$ și sinusul unghiului $\unghiul ABC$. Rămâne să aplicăm afirmația anterioară.

Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonale

Aria unui paralelogram este egală cu jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele.

Dovada

Fie ca diagonalele paralelogramului $ABCD$ să se intersecteze în punctul $O$ la un unghi $\alpha$. Apoi $AO=OC$ și $BO=OD$ după proprietatea paralelogramului. Sinusurile unghiurilor care însumează $180^\circ$ sunt $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Prin urmare, sinusurile unghiurilor de la intersecția diagonalelor sunt egale cu $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\triunghi AOB) + S_(\triunghi BOC) + S_(\triunghi COD) + S_(\triunghi AOD)$

conform axiomei măsurării ariei. Aplicați formula ariei triunghiului $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ pentru aceste triunghiuri și unghiuri când diagonalele se intersectează. Laturile fiecăreia sunt egale cu jumătate din diagonale, sinusurile sunt de asemenea egale. Prin urmare, ariile tuturor celor patru triunghiuri sunt $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Rezumând toate cele de mai sus, obținem

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Ca și în geometria euclidiană, punctul și linia dreaptă sunt elementele principale ale teoriei planelor, deci paralelogramul este una dintre figurile cheie ale patrulaterelor convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.

In contact cu

Definiția paralelogramului

patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.

Cum arată un paralelogram clasic este un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă a acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD sunt diagonalele.

Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Laturi și unghiuri: caracteristici de raport

Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:

1. Laturile care sunt opuse sunt identice în perechi.
2. Unghiurile care sunt opuse unul altuia sunt egale în perechi.

Demonstrație: se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD la dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC le este comun (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi liniilor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice în perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile diagonalelor figurii

Caracteristica principală aceste drepte paralelograme: punctul de intersecție le traversează.

Demonstrație: fie m. E punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.

AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantelor, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.

Conform celui de-al doilea semn de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE sunt: ​​AE = CE, BE = DE și, în plus, sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile colțurilor adiacente

Pe laturile adiacente, suma unghiurilor este de 180°, deoarece se află de aceeași parte a dreptelor paralele și a secantei. Pentru patrulater ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietăți bisectoare:

1. , coborât într-o parte, sunt perpendiculare;
2. vârfurile opuse au bisectoare paralele;
3. triunghiul obţinut prin trasarea bisectoarei va fi isoscel.

Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram prin teoremă

Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care sună după cum urmează: patrulaterul este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.

Demonstrație: Fie că liniile AC și BD ale patrulaterului ABCD se intersectează în t. E. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (prin primul semn de egalitate a triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile de trecere interioare ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || î.Hr. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.

Calcularea ariei unei figuri

Zona acestei figuri găsit în mai multe feluri una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.

Demonstrație: Desenați perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egal cu dreptunghiul EBCF, deoarece acestea constau și din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. Rezultă că aria acestei figuri geometrice este aceeași cu cea a unui dreptunghi:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pentru a determina formula generală pentru aria unui paralelogram, notăm înălțimea ca hb, și lateral b. Respectiv:

Alte modalități de a găsi zonă

Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.

,

Spr-ma - zona;

a și b sunt laturile sale

α - unghiul dintre segmentele a și b.

Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. decupează întotdeauna un triunghi dreptunghic ai cărui parametri sunt găsiți prin identități trigonometrice, adică . Transformând raportul, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.

Prin diagonalele unui paralelogram și a unui unghi, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.

Dovada: AC și BD care se intersectează formează patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.

Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită din expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Deoarece , atunci o singură valoare a sinusului este utilizată în calcule. Acesta este . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2 , formula ariei se reduce la:

.

Aplicație în algebră vectorială

Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială și anume: adăugarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectoriȘiNusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.

Dovada: de la un început ales arbitrar – adică. - construim vectori și . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.

Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram

Identitățile sunt date în următoarele condiții:

1. a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
2. d 1 și d 2 , γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
3. h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;

Parametru	Formulă
Găsirea părților
de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele
în diagonală și lateral
prin înălțime și vârf opus
Aflarea lungimii diagonalelor
pe laturi si marimea varfului intre ele
de-a lungul laturilor și una dintre diagonale	 Concluzie Paralelogramul, ca una dintre figurile cheie ale geometriei, este folosit în viață, de exemplu, în construcții, atunci când se calculează suprafața site-ului sau alte măsurători. Prin urmare, cunoștințele despre caracteristicile distinctive și metodele de calculare a diferiților săi parametri pot fi utile în orice moment al vieții.

Ce este un paralelogram? Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.

1. Aria unui paralelogram se calculează cu formula:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Unde:
a este latura paralelogramului,
h a este înălțimea trasă în această parte.

2. Dacă sunt cunoscute lungimile a două laturi adiacente ale paralelogramului și unghiul dintre ele, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Dacă sunt date diagonalele paralelogramului și unghiul dintre ele este cunoscut, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Proprietățile paralelogramului

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt: ​​\(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Diagonalele paralelogramului în punctul de intersecție sunt bisectate \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.

Suma unghiurilor unui paralelogram adiacent unei laturi este 180 o:

\(\unghi A + \unghi B = 180^(o) \), \(\unghi B + \unghi C = 180^(o)\)

\(\unghi C + \unghi D = 180^(o) \), \(\unghi D + \unghi A = 180^(o)\)

Diagonalele și laturile unui paralelogram sunt legate prin următoarea relație:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Într-un paralelogram, unghiul dintre înălțimi este egal cu unghiul său ascuțit: \(\angle K B H =\angle A \) .

Bisectoarele unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului sunt reciproc perpendiculare.

Bisectoarele a două unghiuri opuse ale unui paralelogram sunt paralele.

Caracteristicile paralelogramului

Un patrulater este un paralelogram dacă:

\(AB = CD \) și \(AB || CD \)

\(AB = CD \) și \(BC = AD \)

\(AO = OC \) și \(BO = OD \)

\(\angle A = \angle C \) și \(\angle B = \angle D \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!

La rezolvarea problemelor pe această temă, pe lângă proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:

1. Bisectoarea unghiului interior al unui paralelogram decupează de acesta un triunghi isoscel
2. Bisectoarele unghiurilor interne adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
3. Bisectoare care provin din unghiuri interne opuse ale unui paralelogram, paralele între ele sau situate pe o singură linie dreaptă
4. Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
5. Aria unui paralelogram este jumătate din produsul diagonalelor cu sinusul unghiului dintre ele.

Să luăm în considerare sarcinile în soluția cărora sunt utilizate aceste proprietăți.

Sarcina 1.

Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Soluţie.

1. Triunghi CMD isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.

2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetrul ABCD = 20 cm.

Răspuns. 20 cm

Sarcina 2.

Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că patrulaterul dat este un paralelogram.

Soluţie.

1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, în funcție de starea problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.

2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte a dreptei AD. BE = CF. Prin urmare, linia BC || ANUNȚ. (*)

3. Fie AL altitudinea triunghiului ACD, BK altitudinea triunghiului BCD. Deoarece, în funcție de starea problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.

4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte a liniei drepte CD. AL = BK. Prin urmare, linia AB || CD (**)

5. Condițiile (*), (**) implică faptul că ABCD este un paralelogram.

Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.

Sarcina 3.

Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M și respectiv H astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,

Soluţie.

1. În triunghiul DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Într-un triunghi dreptunghic DHC
(

Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic, catetul care se află opus unui unghi de 30 o este egal cu jumătate din ipotenuză).

Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Sarcina 4.

Una dintre diagonalele unui paralelogram de lungime 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală.

Soluţie.

1. AO = 2√6.

2. Aplicați teorema sinusului triunghiului AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Raspuns: 12.

Sarcina 5.

Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor.

Soluţie.

Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului să fie φ.

1. Să numărăm două diferite
căile din zona sa.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Să facem un sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Înmulțiți a doua ecuație a sistemului cu 2 și adăugați-o la prima.

Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24.

Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24.

Raspuns: 24.

Sarcina 6.

Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 o. Aflați aria paralelogramului.

Soluţie.

1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD.

Luam in calcul asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Avem un sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Notă:În această problemă și în cea anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria.

Raspuns: 10.

Sarcina 7.

Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici.

Soluţie.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Să facem o înlocuire în formulă.

Obținem 96 = 8 15 sin VAD. Prin urmare sin VAD = 4/5.

2. Gaseste ca RĂU. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 RĂU = 1. cos 2 RĂU = 9/25.

În funcție de starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este acut. Atunci cos RĂU = 3 / 5.

3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos RĂU.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Raspuns: 145.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea lui. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului.

Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Aria unui paralelogram este notată cu (S).

Formule pentru a afla aria unui paralelogram

S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază.

S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b.

S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram.

Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume:

Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea este de 3 cm. Cum să găsiți aria paralelogramului, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare.

Deci S= 7x3. S=21. Răspuns: 21 cm 2.

Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva:

Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2.

Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția