Înălțimea dintr-un colț în unghi drept. Triunghi dreptunghic. Colectarea și utilizarea informațiilor personale

(ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză - latura care se află opusă unghiului drept.

Sfat 1: Cum să găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Poza laterală AD, DC și BD, DC- picioare și laterale LA FEL DEși SV- ipotenuza.

Teorema 1. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 ° catetul opus acestui unghi rupe jumătate din ipotenuză.

hC

AB- ipotenuza;

ANUNȚși DB

Triunghi
Există o teoremă:
sistem de comentarii CACKLE

Rezolvare: 1) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt egale.Corect 2) Dacă într-un triunghi există un unghi ascuțit, atunci acest triunghi este acut. Neadevarat. Tipuri de triunghiuri. Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei colțuri ale sale sunt acute, adică mai puțin de 90 ° 3) Dacă punctul se află pe.

Sau, într-o altă intrare,

După teorema lui Pitagora

Care este înălțimea într-o formulă de triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă de ipotenuză, poate fi găsită într-un fel sau altul, în funcție de datele din enunțul problemei.

Sau, într-o altă intrare,

Unde BK și KC sunt proiecțiile catetelor către ipotenuză (segmentele în care înălțimea împarte ipotenuza).

Înălțimea trasată de ipotenuză poate fi găsită prin aria unui triunghi dreptunghic. Dacă aplicăm formula pentru a găsi aria unui triunghi

(jumătate din produsul laturii cu înălțimea trasă de această parte) la ipotenuză și înălțimea trasă la ipotenuză, obținem:

De aici putem găsi înălțimea ca raport dintre aria dublată a triunghiului și lungimea ipotenuzei:

Deoarece aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor:

Adică, lungimea înălțimii trasate la ipotenuză este egală cu raportul dintre produsul catetelor la ipotenuză. Dacă notăm lungimile catetelor prin a și b, lungimea ipotenuzei prin c, formula poate fi rescrisă ca

Deoarece raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză, lungimea înălțimii poate fi exprimată în termeni de catete și raza cercului circumscris:

Întrucât înălțimea trasată la ipotenuză formează încă două triunghiuri dreptunghiulare, lungimea ei poate fi găsită prin rapoartele din triunghiul dreptunghic.

Dintr-un triunghi dreptunghic ABK

Din triunghiul dreptunghic ACK

Lungimea înălțimii unui triunghi dreptunghic poate fi exprimată în termeni de lungime a catetelor. pentru că

După teorema lui Pitagora

Dacă pătrați ambele părți ale egalității:

Puteți obține o altă formulă pentru conectarea înălțimii unui triunghi dreptunghic cu picioarele:

Care este înălțimea într-o formulă de triunghi dreptunghic

Triunghi dreptunghic. Nivel mediu.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau OGE?

Teorema principală despre un triunghi dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vedeți cât de inteligent i-am împărțit părțile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . O zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că le-am luat câte doi și le-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „restelor” este egală cu.

Să punem totul împreună acum.

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic, sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sunt sub formă de farfurie:

Ai observat un lucru foarte convenabil? Privește cu atenție semnul.

Este foarte confortabil!

Teste de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare

II. Pe picior și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. Pe un picior și un colț ascuțit

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă este așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au unul din același unghi ascuțit.

Trebuie sa În ambele triunghiuri, piciorul era adiacent, sau în ambele triunghiuri, opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncați o privire la subiectul „Triunghi” și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite” aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu-i așa?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele asemănării triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne ale asemănării triunghiurilor dreptunghiulare

III. Pe picior și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

Luați în considerare un întreg dreptunghi în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?

Punctul de intersecție al diagonalei este înjumătățit Diagonalele sunt egale cu

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce poți obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem:, adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTrul CERCULUI DESCRIS. Deci ce s-a întâmplat?

Să începem cu asta „în afară de asta. ".

Dar în astfel de triunghiuri toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Aveți aceleași colțuri ascuțite!

Ce beneficii se poate deduce din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - Două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relația părților respective:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem Prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”.:

Cum obții al doilea?

Acum să aplicăm asemănarea triunghiurilor și.

Deci, să aplicăm asemănarea:.

Ce se intampla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Ambele formule trebuie reținute foarte bine și care este mai convenabil de aplicat. Să le scriem din nou

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Comentarii (1)

Distribuirea materialelor fără aprobare este permisă dacă există un link dofollow către pagina sursă.

Politica de Confidențialitate

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare. Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și mesaje importante. De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.

Proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic renunțat la ipotenuză

Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra acele programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinul instanței, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - să dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte motive importante din punct de vedere social. În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul corespunzător - succesorul legal.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și abuzului, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respect pentru intimitatea ta la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, aducem regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm cu strictețe implementarea măsurilor de confidențialitate.

Multumesc pentru mesaj!

Comentariul dumneavoastră a fost acceptat, după moderare va fi publicat pe această pagină.

Vrei să afli ce se ascunde sub tăietură și să primești materiale exclusive pentru pregătirea pentru examen și examen? Lasă-ți e-mailul

Proprietățile triunghiului dreptunghic

Luați în considerare un triunghi dreptunghic (ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză - latura care se află opusă unghiului drept. Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Poza laterală AD, DC și BD, DC- picioare și laterale LA FEL DEși SV- ipotenuza.

Semne de egalitate ale unui triunghi dreptunghic:

Teorema 1. Dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și catetul altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 2. Dacă două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt egale cu două catete ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 3. Dacă ipotenuza și un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și un unghi ascuțit al unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 4. Dacă un catete și un unghi ascuțit adiacent (opus) unui triunghi dreptunghic sunt egali cu un catete și un unghi ascuțit adiacent (opus) altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Proprietăți ale piciorului opus unghiului de 30 °:

Teorema 1.

Înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 °, catetul opus acestui unghi se rupe la jumătate din ipotenuză.

Teorema 2. Dacă într-un triunghi dreptunghic catetul este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus este de 30 °.

Dacă înălțimea este trasă de la vârful unui unghi drept la ipotenuză, atunci un astfel de triunghi este împărțit în două mai mici, asemănătoare cu cel de ieșire și similare între ele. Aceasta conduce la următoarele concluzii:

1. Înălțimea este media geometrică (media proporțională) a celor două segmente de ipotenuză.
2. Fiecare catetă a triunghiului este media proporțională cu ipotenuza și segmentele adiacente.

Într-un triunghi dreptunghic, picioarele acționează ca înălțimi. Ortocentrul este punctul în care se intersectează înălțimile triunghiului. Coincide cu vârful colțului drept al formei.

hC- înălțimea care iese din unghiul drept al triunghiului;

AB- ipotenuza;

ANUNȚși DB- segmentele care au apărut la împărțirea ipotenuzei la înălțime.

Reveniți la vizualizarea referințelor pentru disciplina „Geometrie”

Triunghi Este o figură geometrică formată din trei puncte (vârfurile) care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte. Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are unul dintre unghiurile de 90 ° (unghi drept).
Există o teoremă: suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic este de 90 °.
sistem de comentarii CACKLE

Cuvinte cheie: triunghi, dreptunghic, cateta, ipotenuză, teorema lui Pitagora, cerc

Triunghiul se numește dreptunghiular dacă are unghi drept.
Un triunghi dreptunghic are două laturi reciproc perpendiculare, numite picioare; terțul său este numit ipotenuză.

• După proprietățile perpendicularului și oblicului, ipotenuza este mai lungă decât fiecare catete (dar mai mică decât suma lor).
• Suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este egală cu unghiul drept.
• Două înălțimi ale unui triunghi dreptunghic coincid cu picioarele sale. Prin urmare, unul dintre cele patru puncte remarcabile se încadrează în vârfurile unghiului drept al triunghiului.
• Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află în mijlocul ipotenuzei.
• Mediana unui triunghi dreptunghic, trasă de la vârful unghiului dreptunghic la ipotenuză, este raza cercului circumscris acestui triunghi.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic arbitrar ABC și trasați înălțimea СD = hc din vârful С al unghiului său drept.

Acesta va împărți acest triunghi în două triunghiuri dreptunghiulare ACD și BCD; fiecare dintre aceste triunghiuri are un unghi ascuțit comun cu triunghiul ABC și, prin urmare, este similar cu triunghiul ABC.

Toate cele trei triunghiuri ABC, ACD și BCD sunt similare unul cu celălalt.

Din asemănarea triunghiurilor se determină următoarele relații:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• c = ac + bc;
• $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

teorema lui Pitagora una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic.

Formulare geometrică.Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Formulare algebrică.Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c și lungimile catetelor prin a și b:
a2 + b2 = c2

Teorema inversă a lui Pitagora.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Pentru orice triplu de numere pozitive a, b și c astfel încât
a2 + b2 = c2,
există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și o ipotenuză c.

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
• pe două picioare;
• de-a lungul piciorului și colțului ascuțit;
• prin ipotenuză și unghi ascuțit.

Vezi si:
Aria unui triunghi, triunghi isoscel, triunghi echilateral

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

ANUNȚ : CD = CD : BD. Prin urmare, CD2 = AD ∙ BD. Ei spun:

ANUNȚ : AC = AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun:

BD : BC = BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ BD.

Rezolva sarcinile:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36.

Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30.

Cum aflu înălțimea într-un triunghi dreptunghic?

Aflați distanța de la vârful unui unghi drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Comparați răspunsurile!

D8.04.1. Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90 °. Cattele AC și BC, ipotenuza AB.

CD este înălțimea triunghiului trasat la ipotenuză.

proiecția AD a catetei AC pe ipotenuză,

Proiecția BD a catetei BC pe ipotenuză.

Înălțimea CD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri similare (și unul față de celălalt): Δ ADC și Δ CDB.

Din proporționalitatea laturilor precum Δ ADC și Δ CDB rezultă:

ANUNȚ : CD = CD : BD.

Proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic renunțat la ipotenuză.

Prin urmare, CD2 = AD ∙ BD. Ei spun: înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză,există o valoare proporţională medie între proiecţiile catetelor pe ipotenuză.

Din asemănarea dintre Δ ADC și Δ ACB rezultă:

ANUNȚ : AC = AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun: fiecare catenă este valoarea proporțională medie dintre întreaga ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

În mod similar, din similitudinea dintre Δ СDВ și Δ АCB rezultă:

BD : BC = BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ BD.

Rezolva sarcinile:

1. Aflați înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză dacă împarte ipotenuza în segmente de 25 cm și 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasat de ipotenuză, împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36. Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, tras de ipotenuză, este 22, proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați proiecția celuilalt catete.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. catetul unui triunghi dreptunghic este 18, iar proiecția lui pe ipotenuză este 12. Aflați ipotenuza.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Ipotenuza este 32. Aflați catetul, a cărui proiecție pe ipotenuză este 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 45. Aflați catetul, a cărui proiecție față de ipotenuză este 9.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30. Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 41, iar proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați lungimea înălțimii trasate de la vârful unghiului drept la ipotenuză.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Diferența dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză este 15, iar distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză este 4. Aflați raza cercului circumscris.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Triunghiuri.

Noțiuni de bază.

Triunghi este o figură formată din trei segmente de dreaptă și trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă.

Segmentele sunt numite petreceri, și puncte - culmi.

Suma unghiurilor un triunghi este egal cu 180º.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului este o perpendiculară trasată dinspre sus spre partea opusă.

Într-un triunghi cu unghi ascuțit, înălțimea este conținută în triunghi (Fig. 1).

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt înălțimile triunghiului (Fig. 2).

Într-un triunghi obtuz, înălțimea este în afara triunghiului (Figura 3).

Proprietăți înălțimea triunghiului:

Bisectoarea unui triunghi.

Bisectoarea unui triunghi este un segment de linie care împarte colțul vârfului în jumătate și leagă vârful cu un punct din partea opusă (Fig. 5).

Proprietăți bisectoare:

Mediana triunghiului.

Mediana unui triunghi este un segment de linie care leagă vârful cu mijlocul laturii opuse (Fig. 9a).

Lungimea mediei poate fi calculată folosind formula: 2b 2 + 2c 2 - A 2 m a 2 = —————— 4 Unde m a este mediana trasă în lateral A. Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este jumătate din ipotenuză: c m c = — 2 Unde m c- mediana trasată la ipotenuză c(Figura 9c) Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct (în centrul de masă al triunghiului) și sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2: 1, numărând de la vârf. Adică, segmentul de la vârf la centru este de două ori mai mare decât segmentul de la centru spre latura triunghiului (Figura 9c). Trei mediane ale unui triunghi îl împart în șase triunghiuri egale.

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a unui triunghi este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale (Fig. 10).

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și este egală cu jumătatea acesteia

Colțul exterior al triunghiului.

Colț exterior triunghiul este egal cu suma a două unghiuri interioare neadiacente (Fig. 11).

Colțul exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi neadiacent.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic este un triunghi cu unghi drept (fig. 12).

Latura unui triunghi dreptunghic opus unui unghi drept se numește ipotenuză.

Celelalte două partide sunt chemate picioare.

Segmente de drepte proporționale într-un triunghi dreptunghic.

1) Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea trasă dintr-un unghi drept formează trei triunghiuri asemănătoare: ABC, ACH și HCB (fig. 14a). În consecință, unghiurile formate de înălțime sunt egale cu unghiurile A și B.

Fig.14a

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel este un triunghi cu două laturi egale (Fig. 13).

Aceste laturi egale sunt numite laturile laterale iar al treilea este bază triunghi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale. (În triunghiul nostru, unghiul A este egal cu unghiul C).

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este atât bisectoarea, cât și înălțimea triunghiului.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale (Fig. 14).

Proprietățile triunghiului echilateral:

Proprietăți minunate ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți originale care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele cu aceste forme. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm ​​încă o dată, adăugându-le și alte câteva caracteristici grozave:

1) Într-un triunghi dreptunghic cu catete de 90º, 30º și 60º b, care se află vizavi de un unghi de 30º, este egal cu jumătate din ipotenuză. Și piciorulA mai mult piciorb√3 ori (Fig. 15 A). De exemplu, dacă catetul b este 5, atunci ipotenuza c neapărat egal cu 10, iar piciorul A este egal cu 5√3. 2) Într-un triunghi isoscel dreptunghic cu unghiuri de 90º, 45º și 45º, ipotenuza este de √2 ori catetul (Fig. 15). b). De exemplu, dacă catetele sunt 5, atunci ipotenuza este 5√2. 3) Linia de mijloc a triunghiului este egală cu jumătate din latura paralelă (Fig. 15 Cu). De exemplu, dacă latura unui triunghi este 10, atunci linia mediană paralelă este 5. 4) Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză (Figura 9c): m c= s/2. 5) Medianele unui triunghi, care se intersectează într-un punct, sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2: 1. Adică, segmentul de la vârf până la punctul de intersecție al medianelor este de două ori mai mare decât segmentul de la punctul de intersecție al medianelor până la latura triunghiului (Figura 9c) 6) Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris (Fig. 15). d).

Teste de egalitate pentru triunghiuri.

Primul semn de egalitate: dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Al doilea semn de egalitate: dacă latura și unghiurile adiacente acesteia ale unui triunghi sunt egale cu latura și unghiurile adiacente acesteia ale celuilalt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Al treilea semn al egalității: dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Inegalitatea triunghiului.

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

c 2 = A 2 + b 2 .

Aria unui triunghi.

1) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale cu înălțimea trasă de această latură:

Ah
S = ——
2

2) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul oricăror două dintre laturile sale cu sinusul unghiului dintre ele:

1
S = — AB AC · păcat A
2

Un triunghi circumscris unui cerc.

Un cerc se numește înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale (Fig. 16 A).

Un triunghi înscris într-un cerc.

Un triunghi se numește înscris într-un cerc dacă îl atinge cu toate vârfurile sale (Fig. 17). A).

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic (Fig. 18).

Sinusul unghi ascutit X opunându-se catete la ipotenuză.
Se notează astfel: păcatX.

Cosinus unghi ascutit X triunghiul dreptunghic este raportul adiacent catete la ipotenuză.
Se notează astfel: cos X.

Tangentă unghi ascutit X este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Se notează astfel: tgX.

Cotangentă unghi ascutit X- Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Se notează astfel: ctgX.

Reguli:

Picior opus colțului X, este egal cu produsul dintre ipotenuză și sin X:

b = c Păcat X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul ipotenuzei și cos X:

a = c Cos X

Picior opus colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment și tg X:

b = a Tg X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment și ctg X:

a = b Ctg X.

Pentru orice unghi ascuțit X:

păcat (90 ° - X) = cos X

cos (90 ° - X) = păcat X

Triunghi dreptunghic- acesta este un triunghi, unul dintre unghiuri este drept, adică este egal cu 90 de grade.

• Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză (în figură este indicată ca c sau AB)
• Latura adiacentă unghiului drept se numește picior. Fiecare triunghi dreptunghic are două catete (indicate în figură ca Ași b sau AC și BC)

Formule și proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Denumirile formulei:

(vezi poza de mai sus)

a, b- catetele unui triunghi dreptunghic

c- ipotenuza

α, β - unghiurile acute ale triunghiului

S- pătrat

h- înălțimea coborâtă de la vârful unghiului drept la ipotenuză

m a A din coltul opus ( α )

m b este mediana trasă în lateral b din coltul opus ( β )

m c este mediana trasă în lateral c din coltul opus ( γ )

V triunghi dreptunghic oricare dintre catete este mai mic decât ipotenuza(Formulele 1 și 2). Această proprietate este o consecință a teoremei lui Pitagora.

Cosinusul oricărui unghi ascuțit mai puțin de unu (Formulele 3 și 4). Această proprietate urmează de la precedenta. Deoarece oricare dintre catete este mai mic decât ipotenuză, atunci raportul catetei la ipotenuză este întotdeauna mai mic de unu.

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor (teorema lui Pitagora). (Formula 5). Această proprietate este utilizată în mod constant la rezolvarea problemelor.

Aria unui triunghi dreptunghic egal cu jumătate din produsul picioarelor (Formula 6)

Suma pătratelor medianelor la catete, este egal cu cinci pătrate ale medianei ipotenuzei și cinci pătrate ale ipotenuzei, împărțite la patru (Formula 7). Pe lângă cele de mai sus, există Încă 5 formule, prin urmare, este recomandat să vă familiarizați și cu lecția „Media unui triunghi dreptunghic”, care descrie mai detaliat proprietățile medianei.

Înălţime un triunghi dreptunghic este egal cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză (Formula 8)

Pătratele catetelor sunt invers proporționale cu pătratul înălțimii coborâte la ipotenuză (Formula 9). Această identitate este și una dintre consecințele teoremei lui Pitagora.

Lungimea ipotenuzei este egal cu diametrul (două raze) cercului circumscris (Formula 10). Hipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului circumscris... Această proprietate este adesea folosită la rezolvarea problemelor.

Raza înscrisă v triunghi dreptunghic cercuri poate fi găsită ca jumătate dintr-o expresie care include suma catetelor acestui triunghi minus lungimea ipotenuzei. Sau ca produsul catetelor, împărțit la suma tuturor laturilor (perimetrului) unui triunghi dat. (Formula 11)
Unghiul sinusoid relatie de opus acest colt picior la ipotenuză(prin definiția sinusului). (Formula 12). Această proprietate este utilizată la rezolvarea problemelor. Cunoscând dimensiunea laturilor, puteți găsi unghiul pe care îl formează.

Cosinusul unghiului A (α, alfa) dintr-un triunghi dreptunghic va fi egal cu atitudine adiacent acest colt picior la ipotenuză(prin definiția sinusului). (Formula 13)

De fapt, nu este deloc înfricoșător. Desigur, definițiile „reale” ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui găsite în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

Și ce zici de colț? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Bineînțeles că au! Acesta este un picior!

Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Prin urmare, pentru unghi, piciorul este adiacent și

Acum, atenție! Uite ce avem:

Vezi ce grozav:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum o pot scrie acum în cuvinte? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și piciorul? Adiacent colțului. Deci ce am făcut?

Vedeți că numărătorul și numitorul sunt inversate?

Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:

rezumat

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală despre un triunghi dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vedeți cât de inteligent i-am împărțit părțile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare?

Dreapta, .

O zonă mai mică?

Cu siguranță, .

Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că le-am luat câte doi și le-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze.

Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „restelor” este egală cu.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic, sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sunt sub formă de farfurie:

Este foarte confortabil!

Teste de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare

I. Pe două picioare

II. Pe picior și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. Pe un picior și un colț ascuțit

A)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă este așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au unul din același unghi ascuțit.

Trebuie sa în ambele triunghiuri, piciorul era adiacent, sau în ambele triunghiuri, opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor?

Aruncați o privire la subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite” aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi.

Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu-i așa?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele asemănării triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne ale asemănării triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe un colţ ascuţit

II. Pe două picioare

III. Pe picior și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

Luați în considerare un întreg dreptunghi în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce poți obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem:, adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTrul CERCULUI DESCRIS. Deci ce s-a întâmplat?

Să începem cu acest „în afară de...”

Să ne uităm la și.

Dar în astfel de triunghiuri toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii se poate deduce din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relația părților respective:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Deci, să aplicăm asemănarea:.

Ce se intampla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie reținute foarte bine și care este mai convenabil de aplicat.

Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua picioare:
• pe picior și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne ale asemănării triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colţ ascuţit: sau
• din proporționalitatea celor două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi a ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de cel alăturat:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și cel opus:.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză:.

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare:

Proprietate: 1.În orice triunghi dreptunghic, înălțimea scăzută din unghiul drept (de ipotenuză) împarte triunghiul dreptunghic în trei triunghiuri similare.

Proprietate: 2.Înălțimea unui triunghi dreptunghic, aruncat pe ipotenuză, este egală cu media geometrică a proiecțiilor catetelor la ipotenuză (sau media geometrică a acelor segmente în care înălțimea descompune ipotenuza).

Proprietate: 3. Catonul este egal cu media geometrică a ipotenuzei și proiecția acestui catet la ipotenuză.

Proprietate: 4. Piciorul față de un unghi de 30 de grade este egal cu jumătate din ipotenuză.

Formula 1.

Formula 2. unde este ipotenuza; , picioare.

Proprietate: 5.Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este egală cu jumătatea acesteia și este egală cu raza cercului circumscris.

Proprietate: 6. Dependența dintre laturile și colțurile unui triunghi dreptunghic:

44. Teorema cosinusurilor. Consecințe: legătura dintre diagonalele și laturile unui paralelogram; determinarea tipului de triunghi; formula pentru calcularea lungimii medianei unui triunghi; calculând cosinusul unghiului triunghiului.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Clasă. Programul de colocviu de bază ale planimetriei

Proprietatea unghiurilor adiacente .. determinarea a două unghiuri adiacente dacă o latură este comună celorlalte două formând o linie dreaptă ..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale: