Demonstrați că sistemul de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare se numește definit dacă. Protecția informațiilor personale

Conținutul lecției

Ecuații liniare cu două variabile

Elevul are 200 de ruble pentru a lua prânzul la școală. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea poți cumpăra cu 200 de ruble?

Indicați numărul de prăjituri prin X, și numărul de cești de cafea prin y. Apoi costul prăjiturii va fi notat cu expresia 25 X, iar costul ceștilor de cafea în 10 y .

25X- Preț X prăjituri
10y- Preț y cesti de cafea

Suma totală ar trebui să fie de 200 de ruble. Apoi obținem o ecuație cu două variabile XȘi y

25X+ 10y= 200

Câte rădăcini are această ecuație?

Totul depinde de apetitul elevului. Dacă cumpără 6 prăjituri și 5 căni de cafea, atunci rădăcinile ecuației vor fi numerele 6 și 5.

Se spune că perechea de valori 6 și 5 este rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 . Scris ca (6; 5) , primul număr fiind valoarea variabilei X, iar al doilea - valoarea variabilei y .

6 și 5 nu sunt singurele rădăcini care inversează ecuația 25 X+ 10y= 200 la identitate. Dacă doriți, pentru aceleași 200 de ruble, un student poate cumpăra 4 prăjituri și 10 căni de cafea:

În acest caz, rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 este perechea de valori (4; 10) .

În plus, un student poate să nu cumpere cafea deloc, ci să cumpere prăjituri pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 8 și 0

Sau invers, nu cumpărați prăjituri, ci cumpărați cafea pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 0 și 20

Să încercăm să enumerăm toate rădăcinile posibile ale ecuației 25 X+ 10y= 200 . Să fim de acord că valorile XȘi y aparțin mulțimii numerelor întregi. Și să fie aceste valori mai mari sau egale cu zero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Deci, va fi convenabil pentru student însuși. Prăjiturile sunt mai convenabile de cumpărat întregi decât, de exemplu, mai multe prăjituri întregi și o jumătate de prăjitură. Cafeaua este, de asemenea, mai convenabil să luați în căni întregi decât, de exemplu, câteva căni întregi și o jumătate de ceașcă.

Rețineți că pentru ciudat X este imposibil să se obțină egalitatea sub niciuna y. Apoi valorile X vor fi următoarele numere 0, 2, 4, 6, 8. Și știind X poate fi ușor de determinat y

Astfel, am obținut următoarele perechi de valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Aceste perechi sunt soluții sau rădăcini ale ecuației 25 X+ 10y= 200. Ei transformă această ecuație într-o identitate.

Tip ecuație ax + by = c numit ecuație liniară cu două variabile. O soluție sau rădăcini ale acestei ecuații sunt o pereche de valori ( X; y), care o transformă într-o identitate.

De asemenea, rețineți că dacă o ecuație liniară cu două variabile este scrisă ca ax + b y = c , apoi spun că este scris în canonic formă (normală).

Unele ecuații liniare în două variabile pot fi reduse la formă canonică.

De exemplu, ecuația 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) poate fi adus în minte ax + by = c. Să deschidem parantezele din ambele părți ale acestei ecuații, obținem 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Termenii care conțin necunoscute sunt grupați în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute sunt grupați în dreapta. Apoi primim 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Aducem termeni similari în ambele părți, obținem ecuația 16 X+ 8y= 32. Această ecuație se reduce la forma ax + by = cși este canonică.

Ecuația 25 considerată mai devreme X+ 10y= 200 este, de asemenea, o ecuație liniară cu două variabile în formă canonică. În această ecuație, parametrii A , bȘi c sunt egale cu valorile 25, 10 și, respectiv, 200.

De fapt, ecuația ax + by = c are un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuației 25X+ 10y= 200, am căutat rădăcinile sale doar pe mulțimea numerelor întregi. Drept urmare, am obținut mai multe perechi de valori care au transformat această ecuație într-o identitate. Dar pe setul de numere raționale ecuația 25 X+ 10y= 200 va avea un număr infinit de soluții.

Pentru a obține perechi noi de valori, trebuie să luați o valoare arbitrară pentru X, apoi exprima y. De exemplu, să luăm o variabilă X valoarea 7. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 25×7 + 10y= 200 în care să se exprime y

Lăsa X= 15 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × 15 + 10y= 200. De aici aflăm că y = −17,5

Lăsa X= −3 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × (−3) + 10y= 200. De aici aflăm că y = −27,5

Sistem de două ecuații liniare cu două variabile

Pentru ecuație ax + by = c puteți lua de câte ori valori arbitrare pentru Xși găsiți valori pentru y. Luată separat, o astfel de ecuație va avea un număr infinit de soluții.

Dar se întâmplă și ca variabilele XȘi y legate nu de una, ci de două ecuații. În acest caz, ele formează așa-numitul sistem de ecuații liniare cu două variabile. Un astfel de sistem de ecuații poate avea o pereche de valori (sau cu alte cuvinte: „o soluție”).

De asemenea, se poate întâmpla ca sistemul să nu aibă deloc soluții. Un sistem de ecuații liniare poate avea un număr infinit de soluții în cazuri rare și excepționale.

Două ecuații liniare formează un sistem atunci când valorile XȘi y sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații.

Să revenim la prima ecuație 25 X+ 10y= 200 . Una dintre perechile de valori pentru această ecuație a fost perechea (6; 5) . Acesta este cazul când 200 de ruble ar putea cumpăra 6 prăjituri și 5 căni de cafea.

Compunem problema astfel încât perechea (6; 5) să devină singura soluție pentru ecuația 25 X+ 10y= 200 . Pentru a face acest lucru, compunem o altă ecuație care ar conecta la fel X prajituri si y cesti de cafea.

Să punem textul sarcinii după cum urmează:

„Un școlar a cumpărat mai multe prăjituri și câteva cești de cafea pentru 200 de ruble. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat elevul dacă se știe că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea?

Avem deja prima ecuație. Aceasta este ecuația 25 X+ 10y= 200 . Acum să scriem o ecuație pentru condiție „numărul de prăjituri este cu o unitate mai mult decât numărul de cești de cafea” .

Numărul de prăjituri este X, iar numărul de cești de cafea este y. Puteți scrie această expresie folosind ecuația x − y= 1. Această ecuație ar însemna că diferența dintre prăjituri și cafea este 1.

x=y+ 1 . Această ecuație înseamnă că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea. Prin urmare, pentru a obține egalitate, la numărul de cești de cafea se adaugă una. Acest lucru poate fi ușor de înțeles dacă folosim modelul de greutate pe care l-am luat în considerare atunci când studiem cele mai simple probleme:

Am două ecuații: 25 X+ 10y= 200 și x=y+ 1. Deoarece valorile XȘi y, și anume 6 și 5 sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații, apoi împreună formează un sistem. Să scriem acest sistem. Dacă ecuațiile formează un sistem, atunci ele sunt încadrate de semnul sistemului. Semnul de sistem este o acoladă:

Să rezolvăm acest sistem. Acest lucru ne va permite să vedem cum ajungem la valorile 6 și 5. Există multe metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Luați în considerare cele mai populare dintre ele.

Metoda de înlocuire

Numele acestei metode vorbește de la sine. Esența sa este de a substitui o ecuație în alta, după ce a exprimat anterior una dintre variabile.

În sistemul nostru, nimic nu trebuie exprimat. În a doua ecuație X = y+ 1 variabilă X deja exprimat. Această variabilă este egală cu expresia y+ 1 . Apoi puteți înlocui această expresie în prima ecuație în loc de variabilă X

După înlocuirea expresiei y+ 1 în prima ecuație X, obținem ecuația 25(y+ 1) + 10y= 200 . Aceasta este o ecuație liniară cu o variabilă. Această ecuație este destul de ușor de rezolvat:

Am găsit valoarea variabilei y. Acum înlocuim această valoare într-una dintre ecuații și găsim valoarea X. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți a doua ecuație X = y+ 1 . Să punem valoare în ea y

Deci perechea (6; 5) este o soluție a sistemului de ecuații, așa cum ne-am propus. Verificăm și ne asigurăm că perechea (6; 5) satisface sistemul:

Exemplul 2

Înlocuiți prima ecuație X= 2 + yîn a doua ecuație 3 X - 2y= 9 . În prima ecuație, variabila X este egală cu expresia 2 + y. Înlocuim această expresie în a doua ecuație în loc de X

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea yîn prima ecuație X= 2 + y

Deci soluția sistemului este valoarea perechii (5; 3)

Exemplul 3. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Aici, spre deosebire de exemplele anterioare, una dintre variabile nu este exprimată în mod explicit.

Pentru a înlocui o ecuație în alta, mai întâi aveți nevoie de .

Este de dorit să se exprime variabila care are un coeficient de unu. Unitatea de coeficient are o variabilă X, care este cuprinsă în prima ecuație X+ 2y= 11 . Să exprimăm această variabilă.

După o expresie variabilă X, sistemul nostru va arăta astfel:

Acum înlocuim prima ecuație în a doua și găsim valoarea y

Substitui y X

Deci soluția sistemului este o pereche de valori (3; 4)

Desigur, puteți exprima și o variabilă y. Rădăcinile nu se vor schimba. Dar dacă exprimi y, rezultatul nu este o ecuație foarte simplă, a cărei soluție va dura mai mult timp. Va arata asa:

Vedem că în acest exemplu pentru a exprima X mult mai convenabil decât exprimarea y .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Exprimați în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

y

Substitui yîn prima ecuație și găsiți X. Puteți folosi ecuația originală 7 X+ 9y= 8 , sau utilizați ecuația în care este exprimată variabila X. Vom folosi această ecuație, deoarece este convenabil:

Deci soluția sistemului este perechea de valori (5; −3)

Metoda de adunare

Metoda adunării este de a adăuga termen cu termen ecuațiile incluse în sistem. Această adăugare are ca rezultat o nouă ecuație cu o singură variabilă. Și este destul de ușor să rezolvi această ecuație.

Să rezolvăm următorul sistem de ecuații:

Adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. Obținem următoarea egalitate:

Iată termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 3 X= 27 a cărui rădăcină este 9. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Înlocuiți valoarea Xîn a doua ecuație x − y= 3 . Obținem 9 − y= 3 . De aici y= 6 .

Deci soluția sistemului este o pereche de valori (9; 6)

Exemplul 2

Adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. În egalitatea rezultată, prezentăm termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 5 X= 20, a cărui rădăcină este 4. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Înlocuiți valoarea Xîn prima ecuație 2 x+y= 11 . Să obținem 8 + y= 11 . De aici y= 3 .

Deci soluția sistemului este perechea de valori (4;3)

Procesul de adăugare nu este descris în detaliu. Trebuie făcut în minte. Când se adună, ambele ecuații trebuie reduse la formă canonică. Adică ac+by=c .

Din exemplele luate în considerare, se poate observa că scopul principal al adunării ecuațiilor este acela de a scăpa de una dintre variabile. Dar nu este întotdeauna posibil să se rezolve imediat sistemul de ecuații prin metoda adunării. Cel mai adesea, sistemul este adus preliminar într-o formă în care este posibilă adăugarea ecuațiilor incluse în acest sistem.

De exemplu, sistemul poate fi rezolvată direct prin metoda adunării. Când se adună ambele ecuații, termenii yȘi −y dispar deoarece suma lor este zero. Ca rezultat, cea mai simplă ecuație este formată 11 X= 22 , a cărui rădăcină este 2. Atunci se va putea determina y egal cu 5.

Și sistemul de ecuații metoda adunării nu poate fi rezolvată imediat, deoarece aceasta nu va duce la dispariția uneia dintre variabile. Adunarea va rezulta în ecuația 8 X+ y= 28 , care are un număr infinit de soluții.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr care nu este egal cu zero, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată. Această regulă este valabilă și pentru un sistem de ecuații liniare cu două variabile. Una dintre ecuații (sau ambele ecuații) poate fi înmulțită cu un număr. Rezultatul este un sistem echivalent, ale cărui rădăcini vor coincide cu cel anterior.

Să revenim la primul sistem, care descria câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat studentul. Soluția acestui sistem a fost o pereche de valori (6; 5).

Înmulțim ambele ecuații incluse în acest sistem cu câteva numere. Să presupunem că înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3

Rezultatul este un sistem
Soluția acestui sistem este încă perechea de valori (6; 5)

Aceasta înseamnă că ecuațiile incluse în sistem pot fi reduse la o formă adecvată pentru aplicarea metodei de adunare.

Înapoi la sistem , pe care nu l-am putut rezolva prin metoda adunării.

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu −2

Apoi obținem următorul sistem:

Adăugăm ecuațiile incluse în acest sistem. Adăugarea componentelor 12 Xși -12 X va rezulta 0, adunare 18 yși 4 y va da 22 y, iar adunând 108 și −20 dă 88. Apoi obțineți ecuația 22 y= 88, deci y = 4 .

Dacă la început este greu să adaugi ecuații în mintea ta, atunci poți scrie cum se adaugă partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă a primei ecuații în partea dreaptă a ecuației. a doua ecuație:

Știind că valoarea variabilei y este 4, puteți găsi valoarea X. Substitui yîntr-una dintre ecuații, de exemplu în prima ecuație 2 X+ 3y= 18 . Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 2 X+ 12 = 18 . Transferăm 12 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 2 X= 6, prin urmare X = 3 .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți a doua ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua următoarea formă:

Să adăugăm ambele ecuații. Adăugarea componentelor XȘi −x va rezulta 0, adunare 5 yși 3 y va da 8 y, iar adunând 7 și 1 rezultă 8. Rezultatul este ecuația 8 y= 8 , a cărui rădăcină este 1. Știind că valoarea y este 1, puteți găsi valoarea X .

Substitui yîn prima ecuație, obținem X+ 5 = 7, prin urmare X= 2

Exemplul 5. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Este de dorit ca termenii care conțin aceleași variabile să fie amplasați unul sub celălalt. Prin urmare, în a doua ecuație, termenii 5 yși −2 X schimba locurile. Ca urmare, sistemul va lua forma:

Înmulțiți a doua ecuație cu 3. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, obținem ecuația 8 y= 16, a cărui rădăcină este 2.

Substitui yîn prima ecuație, obținem 6 X− 14 = 40 . Transferăm termenul −14 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 6 X= 54 . De aici X= 9.

Exemplul 6. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să scăpăm de fracții. Înmulțiți prima ecuație cu 36 și a doua cu 12

În sistemul rezultat prima ecuație poate fi înmulțită cu −5 și a doua cu 8

Să adăugăm ecuațiile din sistemul rezultat. Apoi obținem cea mai simplă ecuație −13 y= −156 . De aici y= 12 . Substitui yîn prima ecuație și găsiți X

Exemplul 7. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Aducem ambele ecuații la forma normală. Aici este convenabil să se aplice regula proporției în ambele ecuații. Dacă în prima ecuație partea dreaptă este reprezentată ca , iar partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ca , atunci sistemul va lua forma:

Avem o proporție. Îi înmulțim termenii extremi și medii. Apoi sistemul va lua forma:

Înmulțim prima ecuație cu −3 și deschidem parantezele în a doua:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării acestor ecuații, obținem o egalitate, în ambele părți din care va fi zero:

Se dovedește că sistemul are un număr infinit de soluții.

Dar nu putem lua pur și simplu valori arbitrare din cer pentru XȘi y. Putem specifica una dintre valori, iar cealalta va fi determinata in functie de valoarea specificata de noi. De exemplu, lasa X= 2 . Înlocuiți această valoare în sistem:

Ca urmare a rezolvării uneia dintre ecuații, valoarea pt y, care va satisface ambele ecuații:

Perechea de valori rezultată (2; −2) va satisface sistemul:

Să găsim o altă pereche de valori. Lăsa X= 4. Înlocuiți această valoare în sistem:

Se poate determina cu ochii că y este egal cu zero. Apoi obținem o pereche de valori (4; 0), care ne satisface sistemul:

Exemplul 8. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu 12

Să rescriem ce a mai rămas:

Înmulțiți prima ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, se formează ecuația 6 b= 48 , a cărui rădăcină este 8. Înlocuiește bîn prima ecuație și găsiți A

Sistem de ecuații liniare cu trei variabile

O ecuație liniară cu trei variabile include trei variabile cu coeficienți, precum și o intersecție. În formă canonică, se poate scrie după cum urmează:

ax + by + cz = d

Această ecuație are un număr infinit de soluții. Dând două variabile valori diferite, poate fi găsită o a treia valoare. Soluția în acest caz este triplul valorilor ( X; y; z) care transformă ecuația într-o identitate.

Dacă variabile x, y, z sunt interconectate prin trei ecuații, apoi se formează un sistem de trei ecuații liniare cu trei variabile. Pentru a rezolva un astfel de sistem, puteți aplica aceleași metode care se aplică ecuațiilor liniare cu două variabile: metoda substituției și metoda adunării.

Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Exprimăm în a treia ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să facem înlocuirea. Variabil X este egală cu expresia 3 − 2y − 2z . Înlocuiți această expresie în prima și a doua ecuație:

Să deschidem parantezele din ambele ecuații și să dăm termeni similari:

Am ajuns la un sistem de ecuații liniare cu două variabile. În acest caz, este convenabil să aplicați metoda de adăugare. Ca urmare, variabila y va dispărea și putem găsi valoarea variabilei z

Acum să găsim valoarea y. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți ecuația − y+ z= 4. Înlocuiți valoarea z

Acum să găsim valoarea X. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți ecuația X= 3 − 2y − 2z . Înlocuiți valorile în el yȘi z

Astfel, triplul valorilor (3; −2; 2) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Exemplul 2. Rezolvați sistemul prin metoda adunării

Să adunăm prima ecuație cu a doua înmulțită cu −2.

Dacă a doua ecuație este înmulțită cu −2, atunci ea va lua forma −6X+ 6y- 4z = −4 . Acum adăugați-l la prima ecuație:

Vedem că în urma transformărilor elementare s-a determinat valoarea variabilei X. Este egal cu unu.

Să revenim la sistemul principal. Să adunăm a doua ecuație cu a treia înmulțită cu −1. Dacă a treia ecuație este înmulțită cu −1, atunci ea va lua forma −4X + 5y − 2z = −1 . Acum adăugați-l la a doua ecuație:

Am primit ecuația X - 2y= −1 . Înlocuiți valoarea în ea X pe care le-am găsit mai devreme. Apoi putem determina valoarea y

Acum cunoaștem valorile XȘi y. Acest lucru vă permite să determinați valoarea z. Folosim una dintre ecuațiile incluse în sistem:

Astfel, triplul valorilor (1; 1; 1) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Sarcini pentru compilarea sistemelor de ecuații liniare

Sarcina de compilare a sistemelor de ecuații este rezolvată prin introducerea mai multor variabile. În continuare, ecuațiile sunt compilate pe baza condițiilor problemei. Din ecuațiile compilate, ele formează un sistem și îl rezolvă. După rezolvarea sistemului, este necesar să se verifice dacă soluția acestuia îndeplinește condițiile problemei.

Sarcina 1. O mașină Volga a părăsit orașul spre ferma colectivă. S-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul. În total, mașina a parcurs 35 km în ambele sensuri. Câți kilometri are fiecare drum?

Soluţie

Lăsa X- lungimea primului drum, y- lungimea secundei. Dacă mașina a condus 35 km în ambele sensuri, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca X+ y= 35. Această ecuație descrie suma lungimilor ambelor drumuri.

Se spune că mașina se întorcea înapoi pe drum, care era mai scurt decât primul cu 5 km. Atunci a doua ecuație poate fi scrisă ca X− y= 5. Această ecuație arată că diferența dintre lungimile drumurilor este de 5 km.

Sau a doua ecuație poate fi scrisă ca X= y+ 5 . Vom folosi această ecuație.

Din moment ce variabilele XȘi yîn ambele ecuații notăm același număr, atunci putem forma un sistem din ele:

Să rezolvăm acest sistem folosind una dintre metodele studiate anterior. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda substituției, deoarece în a doua ecuație variabila X deja exprimat.

Înlocuiți a doua ecuație în prima și găsiți y

Înlocuiți valoarea găsită yîn a doua ecuație X= y+ 5 și găsiți X

Lungimea primului drum a fost notata cu variabila X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X este 20. Deci lungimea primului drum este de 20 km.

Iar lungimea celui de-al doilea drum era indicată de y. Valoarea acestei variabile este 15. Deci lungimea celui de-al doilea drum este de 15 km.

Hai să facem o verificare. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Acum să verificăm dacă soluția (20; 15) satisface condițiile problemei.

Se spunea că în total mașina a parcurs 35 de km în ambele sensuri. Adunăm lungimile ambelor drumuri și ne asigurăm că soluția (20; 15) îndeplinește această condiție: 20 km + 15 km = 35 km

Următoarea condiție: mașina s-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul . Vedem că soluția (20; 15) îndeplinește și această condiție, deoarece 15 km este mai scurt decât 20 km cu 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

La compilarea unui sistem, este important ca variabilele să desemneze aceleași numere în toate ecuațiile incluse în acest sistem.

Deci sistemul nostru conține două ecuații. Aceste ecuații conțin la rândul lor variabilele XȘi y, care denotă aceleași numere în ambele ecuații și anume lungimile drumurilor egale cu 20 km și 15 km.

Sarcina 2. Pe platformă au fost încărcate traverse din stejar și pin, în total 300 de traverse. Se știe că toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin. Stabiliți câte traverse de stejar și pin au fost separat, dacă fiecare traversă de stejar cântărea 46 kg și fiecare traversă de pin 28 kg.

Soluţie

Lăsa X stejar şi y traverse de pin au fost încărcate pe platformă. Dacă au fost 300 de traverse în total, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca x+y = 300 .

Toate traversele de stejar cântăreau 46 X kg, iar pinul a cântărit 28 y kg. Deoarece traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât traversele de pin, a doua ecuație poate fi scrisă ca 28y- 46X= 1000 . Această ecuație arată că diferența de masă dintre traversele de stejar și pin este de 1000 kg.

Tonele au fost convertite în kilograme deoarece masa traverselor de stejar și pin se măsoară în kilograme.

Ca rezultat, obținem două ecuații care formează sistemul

Să rezolvăm acest sistem. Exprimați în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Înlocuiți prima ecuație în a doua și găsiți y

Substitui yîn ecuație X= 300 − y si afla ce X

Aceasta înseamnă că 100 de traverse de stejar și 200 de pin au fost încărcate pe platformă.

Să verificăm dacă soluția (100; 200) satisface condițiile problemei. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Se spunea că erau 300 de dormitoare în total. Adunăm numărul de traverse de stejar și pin și ne asigurăm că soluția (100; 200) îndeplinește această condiție: 100 + 200 = 300.

Următoarea condiție: toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toți cei de pin . Vedem că soluția (100; 200) îndeplinește și această condiție, deoarece 46 × 100 kg de traverse de stejar sunt mai ușoare decât 28 × 200 kg de traverse de pin: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Sarcina 3. Am luat trei bucăți dintr-un aliaj de cupru și nichel în raporturi de 2: 1, 3: 1 și 5: 1 în greutate. Dintre acestea, o piesă cu greutatea de 12 kg a fost topită cu un raport de conținut de cupru și nichel de 4: 1. Aflați masa fiecărei piese originale dacă masa primei dintre ele este de două ori masa celei de-a doua.

CU n necunoscut este un sistem de forma:

Unde aijȘi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n- numere necunoscute. În notarea coeficienţilor aij index i determină numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.

sistem omogen - când toți membrii liberi ai sistemului sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), situația inversă este sistem eterogen.

sistem pătrat - când numărul m ecuații este egal cu numărul n necunoscut.

Soluție de sistem- a stabilit n numere c 1 , c 2 , …, c n , astfel încât înlocuirea tuturor c iîn loc de x iîntr-un sistem își transformă toate ecuațiile în identități.

Sistem articular - când sistemul are cel puțin o soluție și sistem incompatibil când sistemul nu are soluții.

Un sistem comun de acest fel (cum este prezentat mai sus, să fie (1)) poate avea una sau mai multe soluții.

Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)Și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistem comun de tip (1) va variat, când nici măcar 1 dintre egalități nu este satisfăcută:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Un sistem comun de tip (1) va anumit când are o singură soluție; când un sistem are cel puțin 2 soluții diferite, acesta devine subdeterminat. Când există mai multe ecuații decât necunoscute, sistemul este redefinit.

Coeficienții pentru necunoscute se scriu ca o matrice:

Se numeste matricea sistemului.

Numerele care se află în partea dreaptă a ecuațiilor, b 1 ,…,b m sunt membri liberi.

Agregat n numere c 1 ,…,c n este o soluție a acestui sistem atunci când toate ecuațiile sistemului se transformă în egalitate după înlocuirea numerelor din ele c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea 3 opțiuni:

1. Sistemul are o singură soluție.

2. Sistemul are un număr infinit de soluții. De exemplu, . Soluția acestui sistem va fi toate perechile de numere care diferă ca semn.

3. Sistemul nu are soluții. De exemplu, , dacă există o soluție, atunci x 1 + x 2 este egal cu 0 și 1 în același timp.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.

Metode directe dați un algoritm prin care se găsește soluția exactă SLAU(sisteme de ecuații algebrice liniare). Și dacă acuratețea ar fi fost absolută, ar fi găsit-o. Un computer electric real, desigur, funcționează cu o eroare, așa că soluția va fi aproximativă.

§1. Sisteme de ecuații liniare.

sistem de vizualizare

numit sistem m ecuații liniare cu n necunoscut.

Aici
- necunoscut, - coeficienți pentru necunoscute,
- membri liberi ai ecuațiilor.

Dacă toți termenii liberi ai ecuațiilor sunt egali cu zero, sistemul este numit omogen. Decizie sistem se numește un set de numere
, atunci când le înlocuiesc în sistem în loc de necunoscute, toate ecuațiile se transformă în identități. Sistemul este numit comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun cu o soluție unică anumit. Cele două sisteme sunt numite echivalent dacă mulţimile soluţiilor lor sunt aceleaşi.

Sistemul (1) poate fi reprezentat sub formă de matrice folosind ecuația

(2)

.

§2. Compatibilitatea sistemelor de ecuații liniare.

Numim matricea extinsă a sistemului (1) matrice

Kronecker - teorema Capelli. Sistemul (1) este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse:

.

§3. Soluție de sistemen ecuații liniare cun necunoscut.

Luați în considerare un sistem neomogen n ecuații liniare cu n necunoscut:

(3)

Teorema lui Cramer.Dacă principalul determinant al sistemului (3)
, atunci sistemul are o soluție unică determinată de formulele:

acestea.
,

Unde - determinantul obtinut din determinant înlocuire a coloana la coloana membrilor liberi.

Dacă
, și cel puțin unul dintre ≠0, atunci sistemul nu are soluții.

Dacă
, atunci sistemul are infinite de soluții.

Sistemul (3) poate fi rezolvat folosind notația sa matriceală (2). Dacă rangul matricei A egală n, adică
, apoi matricea A are invers
. Înmulțirea ecuației matriceale
la matrice
în stânga, obținem:

.

Ultima egalitate exprimă o modalitate de a rezolva sisteme de ecuații liniare folosind o matrice inversă.

Exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații folosind matricea inversă.

Soluţie. Matrice
nedegenerat, deoarece
, deci există o matrice inversă. Să calculăm matricea inversă:
.

,

Exercițiu. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer.

§4. Rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare de forma (1).

Să presupunem că sistemul este consistent, adică condiția teoremei Kronecker-Capelli este îndeplinită:
. Dacă rangul matricei
(la numărul de necunoscute), atunci sistemul are o soluție unică. Dacă
, atunci sistemul are infinite de soluții. Să explicăm.

Fie rangul matricei r(A)= r< n. Deoarece
, atunci există o ordine minoră diferită de zero r. Să-i spunem minorul de bază. Necunoscutele ai căror coeficienți formează minorul de bază se numesc variabile de bază. Necunoscutele rămase se numesc variabile libere. Rearanjam ecuațiile și renumerăm variabilele astfel încât acest minor să fie situat în colțul din stânga sus al matricei sistemului:

.

Primul r rândurile sunt liniar independente, restul sunt exprimate prin ele. Prin urmare, aceste linii (ecuații) pot fi aruncate. Primim:

Să dăm variabilelor libere valori numerice arbitrare: . Lăsăm doar variabilele de bază în partea stângă și mutam variabilele libere în partea dreaptă.

Am un sistem r ecuații liniare cu r necunoscut, al cărui determinant este diferit de 0. Are o soluție unică.

Acest sistem se numește soluția generală a sistemului de ecuații liniare (1). În caz contrar: se numește exprimarea variabilelor de bază în termeni de cele libere solutie comuna sisteme. Din el puteți obține un număr infinit decizii private, dând variabilelor libere valori arbitrare. Se numește o soluție particulară obținută dintr-una generală la valori zero ale variabilelor libere solutie de baza. Numărul de soluții de bază diferite nu depășește
. O soluție de bază cu componente nenegative se numește pivot soluție de sistem.

Exemplu.

, r=2.

Variabile
- de bază,
- gratuit.

Să adăugăm ecuațiile; expres
prin
:

- decizie comună.

- solutie privata
.

- soluție de bază, de bază.

§5. metoda Gauss.

Metoda Gauss este o metodă universală pentru studiul și rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare. Constă în aducerea sistemului într-o formă diagonală (sau triunghiulară) prin eliminarea secvenţială a necunoscutelor folosind transformări elementare care nu încalcă echivalenţa sistemelor. O variabilă este considerată exclusă dacă este conținută într-o singură ecuație a sistemului cu un coeficient de 1.

Transformări elementare sistemele sunt:

Înmulțirea unei ecuații cu un număr diferit de zero;

Adunarea unei ecuații înmulțită cu orice număr cu o altă ecuație;

Rearanjarea ecuațiilor;

Eliminarea ecuației 0 = 0.

Transformările elementare pot fi efectuate nu pe ecuații, ci pe matrici extinse ale sistemelor echivalente rezultate.

Exemplu.

Soluţie. Scriem matricea extinsă a sistemului:

.

Efectuând transformări elementare, aducem partea stângă a matricei la forma unitară: vom crea unități pe diagonala principală și zerouri în afara acesteia.

cometariu. Dacă, la efectuarea transformărilor elementare, o ecuație de forma 0 = a(Unde La0), atunci sistemul este inconsecvent.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda eliminării succesive a necunoscutelor poate fi formalizată sub forma Mese.

Coloana din stânga a tabelului conține informații despre variabilele excluse (de bază). Coloanele rămase conțin coeficienții necunoscutelor și termenii liberi ai ecuațiilor.

Matricea extinsă a sistemului este scrisă în tabelul sursă. Apoi, treceți la implementarea transformărilor Jordan:

1. Alegeți o variabilă , care va deveni baza. Coloana corespunzătoare se numește coloana cheie. Alegeți o ecuație în care această variabilă va rămâne, fiind exclusă din alte ecuații. Rândul corespunzător al tabelului se numește rând cheie. Coeficient , care se află la intersecția rândului de chei și a coloanei cheie, se numește cheie.

2. Elementele șirului de cheie sunt împărțite la elementul cheie.

3. Coloana cheie este umplută cu zerouri.

4. Elementele rămase se calculează după regula dreptunghiului. Ele alcătuiesc un dreptunghi, la vârfuri opuse din care există un element cheie și un element recalculat; din produsul elementelor de pe diagonala dreptunghiului cu elementul cheie se scade produsul elementelor altei diagonale, diferența rezultată se împarte la elementul cheie.

Exemplu. Aflați soluția generală și soluția de bază a sistemului de ecuații:

Soluţie.

Solutia generala a sistemului:

Soluție de bază:
.

O transformare de substituție unică permite trecerea de la o bază a sistemului la alta: în loc de una dintre variabilele principale, se introduce în bază una dintre variabilele libere. Pentru a face acest lucru, un element cheie este selectat în coloana variabilă liberă și transformările sunt efectuate conform algoritmului de mai sus.

§6. Găsirea soluțiilor de asistență

Soluția de referință a unui sistem de ecuații liniare este o soluție de bază care nu conține componente negative.

Soluțiile suport ale sistemului se găsesc prin metoda Gauss în următoarele condiții.

1. În sistemul original, toți termenii liberi trebuie să fie nenegativi:
.

2. Elementul cheie este ales dintre coeficienții pozitivi.

3. Dacă variabila introdusă în bază are mai mulți coeficienți pozitivi, atunci șirul cheie este cel în care raportul dintre termenul liber și coeficientul pozitiv este cel mai mic.

Observația 1. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, apare o ecuație în care toți coeficienții sunt nepozitivi, iar termenul liber
, atunci sistemul nu are soluții nenegative.

Observația 2. Dacă nu există un singur element pozitiv în coloanele de coeficienți pentru variabilele libere, atunci trecerea la o altă soluție de referință este imposibilă.

Exemplu.

În general, ecuația liniară are forma:

Ecuația are o soluție: dacă cel puțin unul dintre coeficienți din necunoscute este diferit de zero. În acest caz, orice vector -dimensional se numește soluție a ecuației dacă, atunci când coordonatele sale sunt înlocuite, ecuația devine o identitate.

Caracteristici generale ale sistemului de ecuații permis

Exemplul 20.1

Descrie sistemul de ecuații.

Soluţie:

1. Există o ecuație inconsistentă?(Dacă coeficienții, în acest caz, ecuația are forma: și se numește controversat.)

• Dacă un sistem conține unul inconsecvent, atunci un astfel de sistem este inconsecvent și nu are soluție.

2. Găsiți toate variabilele permise. (Necunoscutul este numitpermis pentru un sistem de ecuații, dacă este inclus într-una dintre ecuațiile sistemului cu un coeficient de +1, dar nu este inclus în celelalte ecuații (adică este inclus cu un coeficient egal cu zero).

3. Este permis sistemul de ecuații? (Sistemul de ecuații se numește rezolvat, dacă fiecare ecuație a sistemului conține o necunoscută rezolvată, printre care nu există unele care coincid)

Necunoscutele permise, luate pe rând din fiecare ecuație a sistemului, se formează set complet de necunoscute permise sisteme. (în exemplul nostru este)

Necunoscutele permise incluse în setul complet sunt, de asemenea, numite de bază(), și nu sunt incluse în set - gratuit ().

În cazul general, sistemul de ecuații rezolvat are forma:

În această etapă, este important să înțelegeți ce este rezolvat necunoscut(inclus în bază și gratuit).

Soluție generală de bază parțială

Soluție generală al sistemului de ecuații permis este mulțimea de expresii ale necunoscutelor permise în termeni liberi și necunoscute libere:

Decizie privată se numește soluție obținută din general pentru valori specifice ale variabilelor libere și necunoscutelor.

Soluție de bază este o soluție particulară obținută din cea generală la valori zero ale variabilelor libere.

• Soluția de bază (vectorul) se numește degenerat, dacă numărul coordonatelor sale diferite de zero este mai mic decât numărul de necunoscute permise.
• Soluția de bază se numește nedegenerat, dacă numărul coordonatelor sale non-nule este egal cu numărul de necunoscute permise ale sistemului inclus în setul complet.

Teorema (1)

Sistemul de ecuații permis este întotdeauna consistent(pentru ca are cel putin o solutie); În plus, dacă sistemul nu are necunoscute libere,(adică, în sistemul de ecuații, toate cele permise sunt incluse în bază) atunci este definit(are o soluție unică); dacă există cel puțin o variabilă liberă, atunci sistemul nu este definit(are un număr infinit de soluții).

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală, de bază și orice soluție particulară a sistemului de ecuații:

Soluţie:

1. Verificați dacă sistemul este permis?

• Sistemul este permis (deoarece fiecare dintre ecuații conține o necunoscută permisă)

2. Includem necunoscutele permise în mulțime - câte una din fiecare ecuație.

3. Notăm soluția generală, în funcție de ce necunoscute permise am inclus în set.

4. Găsirea unei soluții private. Pentru a face acest lucru, echivalăm variabilele libere pe care nu le-am inclus în set pentru a le echivala cu numere arbitrare.

Răspuns: soluție privată(una dintre variante)

5. Găsirea soluției de bază. Pentru a face acest lucru, echivalăm cu zero variabilele libere pe care nu le-am inclus în set.

Transformări elementare ale ecuațiilor liniare

Sistemele de ecuații liniare sunt reduse la sisteme echivalente permise cu ajutorul transformărilor elementare.

Teorema (2)

Dacă există înmulțiți ecuația sistemului cu un număr diferit de zero, și lăsați restul ecuațiilor neschimbate, apoi . (adică, dacă înmulțiți părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu același număr, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată)

Teorema (3)

Dacă adăugați altul la orice ecuație a sistemului, și lăsați toate celelalte ecuații neschimbate, atunci obține un sistem echivalent cu cel dat. (adică, dacă adăugați două ecuații (adăugând părțile lor din stânga și din dreapta), obțineți o ecuație echivalentă cu datele)

Corolar din teoremele (2 și 3)

Dacă adăugați la orice ecuație o alta, înmulțită cu un anumit numărși lăsați toate celelalte ecuații neschimbate, atunci obținem un sistem echivalent cu cel dat.

Formule pentru recalcularea coeficienților sistemului

Dacă avem un sistem de ecuații și dorim să-l transformăm într-un sistem permis de ecuații, metoda Jordan-Gauss ne va ajuta în acest sens.

Iordania transforma cu un element de rezolvare vă permite să obțineți necunoscuta rezolvată pentru sistemul de ecuații din ecuația cu numărul . (exemplul 2).

Transformarea Jordan constă din transformări elementare de două tipuri:

Să presupunem că vrem să facem necunoscutul din ecuația inferioară o necunoscută rezolvată. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțim la astfel încât suma să fie .

Exemplul 2 Recalculați coeficienții sistemului

La împărțirea unei ecuații cu un număr la , coeficienții acesteia sunt recalculați conform formulelor:

Pentru a exclude din ecuația cu numărul , trebuie să înmulțiți ecuația cu numărul cu și să adăugați la această ecuație.

Teorema (4) Despre reducerea numărului de ecuații de sistem.

Dacă sistemul de ecuații conține o ecuație trivială, atunci aceasta poate fi exclusă din sistem și se va obține un sistem echivalent cu cel original.

Teorema (5) Despre incompatibilitatea sistemului de ecuații.

Dacă un sistem de ecuații conține o ecuație inconsistentă, atunci aceasta este inconsistentă.

Algoritmul Jordan-Gauss

Algoritmul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda Jordan-Gauss constă dintr-un număr de pași de același tip, fiecare dintre ele efectuând acțiuni în următoarea ordine:

1. Verifică dacă sistemul este inconsecvent. Dacă un sistem conține o ecuație inconsistentă, atunci acesta este inconsecvent.
2. Se verifică posibilitatea reducerii numărului de ecuații. Dacă sistemul conține o ecuație trivială, aceasta este tăiată.
3. Dacă sistemul de ecuații este permis, atunci scrieți soluția generală a sistemului și, dacă este necesar, soluțiile particulare.
4. Dacă sistemul nu este permis, atunci în ecuația care nu conține o necunoscută permisă, se alege un element de rezolvare și se realizează o transformare Jordan cu acest element.
5. Apoi reveniți la punctul 1.

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Jordan-Gauss.

Găsi: două soluții generale și două soluții de bază corespunzătoare

Soluţie:

Calculele sunt prezentate în următorul tabel:

Acțiunile asupra ecuațiilor sunt afișate în partea dreaptă a tabelului. Săgețile arată la ce ecuație se adaugă ecuația cu elementul de rezoluție înmulțit cu un factor adecvat.

Primele trei rânduri ale tabelului conțin coeficienții necunoscutelor și părțile corecte ale sistemului original. Rezultatele primei transformări Jordan cu o rezoluție egală cu unu sunt date în rândurile 4, 5, 6. Rezultatele celei de-a doua transformări Jordan cu o rezoluție egală cu (-1) sunt date în rândurile 7, 8, 9. Deoarece a treia ecuație este banală, nu poate fi luată în considerare.

A investiga un sistem de ecuații liniare agebraice (SLAE) pentru compatibilitate înseamnă a afla dacă acest sistem are sau nu soluții. Ei bine, dacă există soluții, atunci indicați câte dintre ele.

Vom avea nevoie de informații din tema „Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Notație matriceală”. În special, sunt necesare concepte precum matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului, deoarece formularea teoremei Kronecker-Capelli se bazează pe acestea. Ca de obicei, matricea sistemului va fi notată cu litera $A$, iar matricea extinsă a sistemului cu litera $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, i.e. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că un sistem se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune așa: dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci există o soluție; dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci acest SLAE nu are soluții (este inconsecvent). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. Declarația corolarului folosește litera $n$, care este egală cu numărul de variabile din SLAE dat.

Corolar din teorema Kronecker-Capelli

1. Dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).
2. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, atunci SLAE este cert (are exact o soluție).

Rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți soluția SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.

Exemplul #1

Explorați SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned). )\right.$ pentru consecvență Dacă SLAE este consecvent, indicați numărul de soluții.

Pentru a afla existența soluțiilor la un SLAE dat, folosim teorema Kronecker-Capelli. Avem nevoie de matricea sistemului $A$ și de matricea extinsă a sistemului $\widetilde(A)$, le notăm:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(matrice)\dreapta). $$

Trebuie să găsim $\rang A$ și $\rang\widetilde(A)$. Există multe modalități de a face acest lucru, dintre care unele sunt enumerate în secțiunea Matrix Rank. De obicei, se folosesc două metode pentru a studia astfel de sisteme: „Calculul rangului unei matrice prin definiție” sau „Calculul rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare”.

Metoda numărul 1. Calculul rangurilor prin definiție.

Conform definiției, rangul este cel mai înalt ordin al minorilor matricei, printre care există cel puțin unul altul decât zero. De obicei, studiul începe cu minorii de ordinul întâi, dar aici este mai convenabil să se treacă imediat la calculul minorului de ordinul trei al matricei $A$. Elementele minorului de ordinul trei se află la intersecția a trei rânduri și trei coloane ale matricei luate în considerare. Deoarece matricea $A$ conține doar 3 rânduri și 3 coloane, minorul de ordinul trei al matricei $A$ este determinantul matricei $A$, adică. $\DeltaA$. Pentru a calcula determinantul, aplicăm formula nr. 2 din subiectul „Formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei”:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Deci, există un minor de ordinul trei al matricei $A$, care nu este egal cu zero. Un minor de ordinul 4 nu poate fi compus, deoarece necesită 4 rânduri și 4 coloane, iar matricea $A$ are doar 3 rânduri și 3 coloane. Deci, cel mai înalt ordin al minorilor din matricea $A$, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este egal cu 3. Prin urmare, $\rang A=3$.

De asemenea, trebuie să găsim $\rang\widetilde(A)$. Să ne uităm la structura matricei $\widetilde(A)$. Până la linia din matricea $\widetilde(A)$ există elemente ale matricei $A$ și am aflat că $\Delta A\neq 0$. Prin urmare, matricea $\widetilde(A)$ are un minor de ordinul trei care nu este egal cu zero. Nu putem compune minore de ordinul al patrulea ale matricei $\widetilde(A)$, deci concluzionăm: $\rang\widetilde(A)=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este consistent, i.e. are o soluție (cel puțin una). Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, adică. are o soluție unică.

Problema rezolvata. Care sunt dezavantajele și avantajele acestei metode? Mai întâi, să vorbim despre profesioniști. În primul rând, trebuia să găsim un singur determinant. După aceea, am făcut imediat o concluzie despre numărul de soluții. De obicei, în calculele tipice standard, sunt date sisteme de ecuații care conțin trei necunoscute și au o singură soluție. Pentru astfel de sisteme, această metodă este foarte convenabilă, deoarece știm dinainte că există o soluție (altfel nu ar exista niciun exemplu într-un calcul tipic). Acestea. trebuie doar să arătăm existența unei soluții în cel mai rapid mod. În al doilea rând, valoarea calculată a determinantului matricei sistemului (adică $\Delta A$) va fi utilă mai târziu: când începem să rezolvăm sistemul dat folosind metoda Cramer sau folosind matricea inversă.

Totuși, prin definiție, metoda de calcul a rangului este nedorită dacă matricea sistemului $A$ este dreptunghiulară. În acest caz, este mai bine să aplicați a doua metodă, care va fi discutată mai jos. În plus, dacă $\Delta A=0$, atunci nu vom putea spune nimic despre numărul de soluții pentru un SLAE neomogen dat. Poate SLAE are un număr infinit de soluții, sau poate nici una. Dacă $\Delta A=0$, atunci este necesară cercetare suplimentară, care este adesea greoaie.

Rezumând cele spuse, observ că prima metodă este bună pentru acele SLAE-uri a căror matrice de sistem este pătrată. În același timp, SLAE în sine conține trei sau patru necunoscute și este luat din calcule standard standard sau lucrări de control.

Metoda numărul 2. Calculul rangului prin metoda transformărilor elementare.

Această metodă este descrisă în detaliu în subiectul corespunzător. Vom calcula rangul matricei $\widetilde(A)$. De ce matrice $\widetilde(A)$ și nu $A$? Ideea este că matricea $A$ este o parte a matricei $\widetilde(A)$, deci calculând rangul matricei $\widetilde(A)$ vom găsi simultan rangul matricei $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(swap primul și al doilea rând)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Am redus matricea $\widetilde(A)$ la o formă în trepte. Matricea pasă rezultată are trei rânduri diferite de zero, deci rangul său este 3. Prin urmare, rangul matricei $\widetilde(A)$ este 3, adică. $\rank\widetilde(A)=3$. Făcând transformări cu elementele matricei $\widetilde(A)$, am transformat simultan elementele matricei $A$ situate înaintea liniei. Matricea $A$ este, de asemenea, în trepte: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ corect)$. Concluzie: rangul matricei $A$ este de asemenea egal cu 3, i.e. $\rang A=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este consistent, i.e. are o solutie. Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, i.e. are o soluție unică.

Care sunt avantajele celei de-a doua metode? Principalul avantaj este versatilitatea sa. Pentru noi nu contează dacă matricea sistemului este pătrată sau nu. În plus, am efectuat de fapt transformări ale metodei Gauss înainte. Au mai rămas doar câțiva pași și am putea obține soluția acestui SLAE. Sincer să fiu, a doua cale îmi place mai mult decât prima, dar alegerea este o chestiune de gust.

Răspuns: SLAE dat este consecvent și definit.

Exemplul #2

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ pentru consecvență.

Vom găsi rangurile matricei sistemului și matricei extinse a sistemului prin metoda transformărilor elementare. Matrice de sistem extinsă: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Să găsim rangurile necesare transformând matricea augmentată a sistemului:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ dreapta) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte. Rangul unei matrice pas este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero, deci $\rang\widetilde(A)=3$. Matricea $A$ (până la linie) este de asemenea redusă la o formă în trepte, iar rangul ei este egal cu 2, $\rang(A)=2$.

Deoarece $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent (adică nu are soluții).

Răspuns: Sistemul este inconsecvent.

Exemplul #3

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Aducem matricea augmentată a sistemului într-o formă în trepte:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( matrice) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( matrice) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (matrice)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(matrice) \right) $$

Am redus matricea extinsă a sistemului și matricea sistemului însuși la o formă în trepte. Rangul matricei extinse a sistemului este egal cu trei, rangul matricei sistemului este, de asemenea, egal cu trei. Deoarece sistemul conține $n=5$ necunoscute, i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, atunci, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, acest sistem este nedeterminat, i.e. are un număr infinit de soluții.

Răspuns: sistemul este nedeterminat.

În a doua parte, vom analiza exemple care sunt adesea incluse în calcule standard sau teste în matematică superioară: studiul compatibilității și soluția SLAE în funcție de valorile parametrilor incluși în acesta.