Prezentare pe tema limitei unei funcții. Limita unei funcții Limita unei funcții într-un punct Limite unilaterale Limita unei funcții pe măsură ce x tinde spre infinit Teoreme de bază asupra limitelor Calculul limitelor. Proprietățile de bază ale limitelor

Reguli pentru calcularea limitelor Dacă lim f(x) = b și lim g(x) =c, atunci x 1) Limita sumei este egală cu suma limitelor: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Limita produsului este egală cu produsul limitelor: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) Limita câtului este egală cu câtul limitelor: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x = k b x x

Plan de abstract Grafice ale funcțiilor y=1/x și y=1/x 2. Grafice ale funcțiilor y=1/x m, pentru m par și impar. Conceptul de asimptotă orizontală. Conceptul limitei unei funcții pe +, -,. Sensul geometric al limitei unei funcții pe +, -,. Reguli pentru calcularea limitelor unei funcții pe. Formule pentru calcularea limitei unei funcții pe. Tehnici de calcul a limitelor unei funcţii pe.

Rezumatul lecției Ce înseamnă existența unei limite a unei funcții la infinit? Ce asimptotă are funcția y=1/ x 4? Ce reguli cunoașteți pentru a calcula limitele unei funcții la infinit? Cu ce formule de calcul a limitelor la infinit v-ați familiarizat? Cum să găsiți lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? X

Referințe: - A.G. Mordkovich. Algebră și clase timpurii de calcul. Mnemosyne. M A.G. Mordkovici., P.V. Semenov. Ghid metodologic pentru profesor. Clasa de algebră și calcul timpuriu. Un nivel de bază de. M. Mnemozina. 2010

Obiectivele lecției:

Educational:
- introduceți conceptul de limită a unui număr, limita unei funcții;
- dați concepte despre tipurile de incertitudine;
- învață să calculezi limitele unei funcții;
- a sistematiza cunostintele dobandite, a activa autocontrolul, controlul reciproc.
În curs de dezvoltare:
- să poată aplica cunoştinţele dobândite pentru a calcula limitele.
- dezvoltarea gândirii matematice.
Educational: să cultive interesul pentru matematică și pentru disciplinele muncii mentale.

Tip de lecție: prima lectie

Forme de lucru ale elevilor: frontal, individual

Echipament necesar: tablă interactivă, proiector multimedia, fișe cu exerciții orale și pregătitoare.

Planul lecției

1. Moment organizatoric (3 min.)
2. Cunoașterea teoriei limitei unei funcții. exerciții pregătitoare. (12 min.)
3. Calculul limitelor unei funcții (10 min.)
4. Exerciții independente (15 min.)
5. Rezumatul lecției (2 min.)
6. Tema pentru acasă (3 min.)

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Salutarea profesorului, marcarea absentei, verificarea pregătirii pentru lecție. Prezentați subiectul și scopul lecției. În viitor, toate sarcinile sunt afișate pe tabla interactivă.

2. Cunoașterea teoriei limitei unei funcții. exerciții pregătitoare.

Limita functiei (limita functiei) la un punct dat, limitativ pentru domeniul de definire al unei funcții, este o astfel de valoare la care funcția considerată tinde atunci când argumentul său tinde către un punct dat.
Limita este scrisă după cum urmează.

Să calculăm limita:
Înlocuim în loc de x - 3.
Rețineți că limita unui număr este egală cu numărul însuși.

Exemple: calculează limite

Dacă există o limită într-un punct al domeniului funcției și această limită este egală cu valoarea funcției în punctul dat, atunci funcția se numește continuă (în punctul dat).

Să calculăm valoarea funcției în punctul x 0 = 3 și valoarea limitei acesteia în acest punct.

Valoarea limitei și valoarea funcției în acest punct coincid, prin urmare, funcția este continuă în punctul x 0 = 3.

Dar la calcularea limitelor apar adesea expresii a căror valoare nu este definită. Astfel de expresii sunt numite incertitudini.

Principalele tipuri de incertitudini:

Dezvăluirea incertitudinilor

Următoarele sunt utilizate pentru a rezolva incertitudinile:

simplificați expresia funcției: factorizați, transformați funcția folosind formule de înmulțire abreviate, formule trigonometrice, înmulțiți cu conjugat, ceea ce vă permite să reduceți în continuare etc., etc.;
dacă există o limită în dezvăluirea incertitudinilor, atunci se spune că funcția converge la valoarea specificată; dacă o astfel de limită nu există, atunci se spune că funcția diverge.

Exemplu: calculați limita.
Să factorizăm numărătorul

3. Calculul limitelor unei funcții

Exemplul 1. Calculați limita funcției:

Prin substituție directă se obține incertitudinea:

4. Exerciții independente

Calculați limitele:

5. Rezumând lecția

Această lecție este prima

În acest proiect, alături de materialul teoretic, a fost luat în considerare și materialul practic. În aplicarea practică, am luat în considerare tot felul de moduri de a calcula limitele. Studiul celei de-a doua secțiuni de matematică superioară prezintă deja un mare interes, încă de anul trecut tema „Matrici. Aplicarea proprietăților matricei la soluționarea sistemelor de ecuații”, ceea ce a fost simplu, fie și doar pentru motivul că rezultatul era controlabil. Nu există un astfel de control aici. Studiul Secțiunilor de Matematică Superioară dă rezultatul său pozitiv. Orele de la acest curs au adus rezultatele lor: - a studiat o cantitate mare de material teoretic și practic; - a fost dezvoltată capacitatea de a alege o metodă de calcul a limitei; - s-a stabilit utilizarea competentă a fiecărei metode de calcul; - capacitatea de a proiecta un algoritm de sarcină este fixă. Vom continua să studiem secțiuni de matematică superioară. Scopul studierii lui este că vom fi bine pregătiți pentru re-studiul cursului de matematică superioară.

Planul I Conceptul limitei unei funcții II Sensul geometric al limitei III Funcții infinit mici și mari și proprietățile lor IV Calculele limitelor: 1) Unele dintre limitele cele mai frecvent utilizate; 2) Limitele funcţiilor continue; 3) Limitele funcţiilor complexe; 4) Incertitudini și metode de soluționare a acestora

0, puteți specifica vecinătatea δ a punctului a pe axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în vecinătatea ε a punctului b Notație matematică: Pentru |x-a|" title=" Semnificația geometrică a limitei Definiție: Pentru orice ε>0, puteți specifica vecinătatea δ a punctului a pe axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x =a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în vecinătatea ε a punctului b Notație matematică: Pentru |x-a |" class="link_thumb"> 4 !} Semnificația geometrică a limitei Definiție: Pentru orice ε>0, puteți specifica vecinătatea δ a punctului a pe axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în ε-vecinatatea punctului b Notatie matematica: Pentru |x-a | 0, puteți specifica vecinătatea δ a punctului a pe axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în vecinătatea ε a punctului b punctul a de pe Axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în vecinătatea ε a punctului b, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în vecinătatea ε a punctului b δ- vecinătatea punctului a pe axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în vecinătatea ε a punctului b Matematic notație: Pentru |x-a|"> title="Semnificația geometrică a limitei Definiție: Pentru orice ε>0, puteți specifica vecinătatea δ a punctului a pe axa Ox, astfel încât pentru toți x din această vecinătate, cu excepția x=a, valoarea corespunzătoare a lui y se află în ε-vecinatatea punctului b Notatie matematica: Pentru |x-a |"> !}

Teoreme limită de bază Teorema 1: Pentru ca numărul A să fie limita funcției f (x) at, este necesar și suficient ca această funcție să fie reprezentată sub forma, unde este infinitezimală. Corolarul 1: O funcție nu poate avea 2 limite diferite la un moment dat. Teorema 2: Limita unei constante este egală cu constanta însăși Teorema 3: Dacă o funcție pentru tot x în vreo vecinătate a punctului a, cu excepția poate pentru punctul a însuși, și are o limită în punctul a, atunci

Teoreme limită de bază (continuare) Teorema 4: Dacă funcția f 1 (x) și f 2 (x) au limite la, atunci la, suma lor f 1 (x) + f 2 (x), produsul f 1 are și limitele (x)*f 2 (x) și sub rezerva coeficientului f 1 (x)/f 2 (x) și Corolarul 2: Dacă funcția f(x) are o limită la, atunci, unde n este a numar natural. Corolarul 3: Factorul constant poate fi scos din semnul limitei

Subiect:

Dezvoltarea și educația oricărei persoane nu poate fi dat sau comunicat. Oricine dorește să li se alăture trebuie a realiza acest lucru prin propria activitate, propria forță, propriul efort. Din exterior, nu poate primi decât emoție. A. Diesterweg

Stabilirea scopului și obiectivelor lecției:

explora definiția infinitului;

Determinarea limitei unei funcții la infinit;
Determinarea limitei unei funcții la plus infinit;
Determinarea limitei unei funcții la minus infinit;
Proprietăți ale funcțiilor continue;

învăța calculați limite simple ale funcțiilor la infinit.

B. Bolzano

Bolzano (Bolzano) Bernard (1781-1848), matematician și filozof ceh. S-a opus psihologismului în logică; el a atribuit o existenţă obiectivă ideală adevărurilor logicii. Influențat

E . Husserl. A introdus o serie de concepte importante analiză matematică, a fost precursorul G. Cantorîn studiul nesfârșitului seturi .

Augustin Louis Cauchy(francez Augustin Louis Cauchy; 21 august 1789, Paris - 23 mai 1857, Co, Franța) - mare matematician și mecanic francez, membru al Academiei de Științe din Paris, Societății Regale din Londra

y=1 /X m

Existenţă

lim f(x) = b

X → ∞

este echivalent cu a avea

asimptotă orizontală

graficul funcției y = f(x)

lim f(x) = b X →+∞

lim f(x) = b și lim f(x) = b X →+∞x→-∞ lim f(x) = b x → ∞

Ce vom studia:

Ce este Infinitul?

Limita unei funcții la infinit

Limita funcției la minus infinit .

Proprietăți .

Exemple.

Limita unei funcții la infinit.

Infinit - folosit pentru a caracteriza obiecte și fenomene nelimitate, nelimitate, inepuizabile, în cazul nostru, caracterizarea numerelor.

Infinitul este un număr arbitrar mare (mic), nelimitat.

Dacă luăm în considerare planul de coordonate, atunci axa absciselor (ordonatelor) merge la infinit dacă este continuată la infinit la stânga sau la dreapta (jos sau sus).

Limita unei funcții la infinit.

Limita unei funcții la plus infinit.

Acum să trecem la limita funcției la infinit:

Să avem o funcție y=f(x), domeniul funcției noastre conține o rază , și fie linia y=b asimptota orizontală a graficului funcției y=f(x), să scriem totul în limbaj matematic:

limita funcției y=f(x) când x tinde spre minus infinit este egală cu b

Limita unei funcții la infinit.

De asemenea, relațiile noastre pot fi realizate simultan:

Atunci se obișnuiește să o scrieți astfel:

sau

limita funcției y=f(x) pe măsură ce x tinde spre infinit este b

Limita unei funcții la infinit.

Exemplu.

Exemplu. Trasează funcția y=f(x) astfel încât:

Domeniul definiției este mulțimea numerelor reale.
f(x) - funcție continuă

Soluţie:

Trebuie să construim o funcție continuă pe (-∞; +∞). Să arătăm câteva exemple ale funcției noastre.

Limita unei funcții la infinit.

Proprietăți de bază.

Pentru a calcula limita la infinit, se folosesc mai multe afirmații:

1) Pentru orice număr natural m, următoarea relație este adevărată:

2) Dacă

Acea:

a) Limita sumei este egală cu suma limitelor:

b) Limita produsului este egală cu produsul limitelor:

c) Limita câtului este egală cu câtul limitelor:

d) Factorul constant poate fi scos din semnul limită:

Limita unei funcții la infinit.

Exemplul 1

Găsi

Exemplul 2

Exemplul 3

Aflați limita funcției y=f(x), deoarece x tinde spre infinit .

Limita unei funcții la infinit.

Exemplul 1

Răspuns:

Exemplul 2

Răspuns:

Exemplul 3

Răspuns:

Limita unei funcții la infinit.

Construiți un grafic al unei funcții continue y=f(x). Astfel încât limita pentru x care tinde spre plus infinit este 7, iar pentru x care tinde spre minus infinit 3.
Construiți un grafic al unei funcții continue y=f(x). Astfel încât limita ca x tinde spre plus infinit este 5 și funcția este în creștere.
Găsiți limite: