Ang paglutas ng kumplikadong mga equation ng eksponensial sa mga pagsusulit sa pagsusulit. Ang mga kahalintulad na equation. Paraan ng Logarithm. Ang pag-highlight ng isang matatag na expression

Huwag matakot sa aking mga salita, naranasan mo na ang pamamaraang ito sa ika-7 na baitang, kapag nag-aral ka ng mga polynomial.

Halimbawa, kung kailangan mo:

Pangkatin natin: ang una at pangatlong termino, pati na rin ang pangalawa at ikaapat.

Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba-iba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at ikaapat ay may isang karaniwang kadahilanan ng tatlo:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan aalisin ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Samakatuwid,

Ito ay humigit-kumulang kung paano tayo kikilos kapag malulutas ang mga exponential equation: hanapin ang "pagkakapareho" sa mga termino at ilalagay ito sa labas ng mga bracket, kung gayon - darating kung ano ang maaaring, naniniwala ako na magiging masuwerte kami \u003d))

Halimbawa Hindi 14

Sa kanan ay malayo sa isang antas ng pitong (sinuri ko ito!) At sa kaliwa - hindi gaanong mas mahusay ...

Maaari mong, siyempre, "i-chop off" ang multiplier mula sa pangalawa mula sa unang term, at pagkatapos ay makitungo sa resulta, ngunit gawin itong mas may pakiramdam sa iyo.

Hindi ko nais na makitungo sa mga praksiyon, na hindi maiiwasang nagmula sa "pagpili," kaya't hindi na ito mabubuting magtiis ako?

Pagkatapos ay hindi ako magkakaroon ng mga praksiyon: tulad ng sinasabi nila, ang mga lobo ay pinakain at ang tupa ay ligtas:

Bilangin ang expression sa mga panaklong.

Sa isang mahiwagang, mahiwagang paraan, lumiliko na (nakakagulat, kahit na ano pa ang maaari nating asahan?).

Pagkatapos ay kanselahin namin ang magkabilang panig ng ekwasyon sa pamamagitan ng salik na ito. Nakukuha namin:, mula sa kung saan.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Ang gulo! Wala kaming isang karaniwang lupa dito!

Hindi malinaw na malinaw kung ano ang gagawin ngayon.

Gawin natin kung ano ang makakaya: una, ilipat natin ang "fours" sa isang tabi, at ang "fives" sa kabilang:

Ngayon ilipat natin ang "karaniwang" sa kaliwa at kanan:

Kaya ano ngayon?

Ano ang pakinabang ng tulad ng isang hangal na pangkat? Sa unang sulyap, hindi ito nakikita sa lahat, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Buweno, ngayon gawin natin ito na sa kaliwa mayroon lamang tayong ekspresyon, at sa kanan - lahat ng iba pa.

Paano natin ito gagawin?

Narito kung paano: Hatiin ang magkabilang panig ng ekwasyon sa pamamagitan ng (sa paraang ito ay mapupuksa ang degree sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig sa pamamagitan nito (sa ganitong paraan mapupuksa ang numerical factor sa kaliwa).

Sa wakas nakukuha namin:

Hindi kapani-paniwala!

Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan mayroon kaming isang simple.

Pagkatapos ay agad naming tapusin iyon

Halimbawa Hindi 15

Ibibigay ko ang kanyang maikling solusyon (nang walang abala sa mga paliwanag), subukang alamin ang lahat ng "mga subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Ngayon ang pangwakas na pagsasama-sama ng nakapasa na materyal.

Malutas ang sumusunod na 7 mga problema nang nakapag-iisa (na may mga sagot)

1. Alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket:
2. Kinakatawan namin ang unang expression sa form:, hatiin ang parehong mga bahagi at makuha iyon
3. , pagkatapos ay ang orihinal na equation ay binago sa form: Well, ngayon isang pahiwatig - tingnan kung nasaan ka at nalutas ko na ang equation na ito!
4. Isipin kung paano, paano, at, well, pagkatapos ay hatiin ang parehong mga bahagi sa pamamagitan ng, upang makuha mo ang pinakasimpleng pagpapalawak na pagpapalawak.
5. Ilabas ang mga bracket.
6. Ilabas ang mga bracket.

MAHALAGA EQUATIONS. GITNANG ANTAS

Ipinapalagay ko na matapos basahin ang unang artikulo na nagsabi ano ang mga exponential equation at kung paano malutas ang mga ito, pinagkadalubhasaan mo ang kinakailangang minimum na kaalaman na kinakailangan upang malutas ang pinakasimpleng mga halimbawa.

Ngayon ay susuriin ko ang isa pang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng eksponensial, ito ...

Paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable (o kapalit)

Malulutas niya ang karamihan sa mga "mahirap" na mga problema sa paksa ng mga exponential equation (at hindi lamang mga equation).

Ang pamamaraang ito ay isa sa madalas na ginagamit sa pagsasanay. Una, inirerekumenda ko na pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang isang pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay mapaghimalang nagbabago sa isang madali mong malutas.

Lahat ng naiwan para sa iyo pagkatapos malutas ang napaka "pinasimple na equation" ay ang gumawa ng isang "reverse replacement": iyon ay, upang bumalik mula sa pinalitan ng napalitan.

Isalarawan natin kung ano ang sinabi lamang natin sa isang napaka-simpleng halimbawa:

Halimbawa 16. Ang simpleng pamamaraan ng kapalit

Ang equation na ito ay nalulutas gamit "Simpleng kapalit", habang ang mga matematika ay scornfully tumawag ito.

Sa katunayan, ang kapalit ay ang pinaka-halata dito. Ang isa lamang ay upang makita iyon

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ganito:

Kung karagdagan mong isipin kung paano, kung gano’y malinaw na malinaw kung ano ang kailangang mapalitan ...

Syempre, .

Ano kaya ang magiging orihinal na equation? At narito kung ano:

Madali mong mahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili:.

Ano ang dapat nating gawin ngayon?

Panahon na upang bumalik sa orihinal na variable.

Ano ang nakalimutan kong ipahiwatig?

Namely: kapag pinalitan ang ilang degree sa isang bagong variable (iyon ay, kapag binabago ang view), magiging interesado ako mga positibong ugat lamang!

Madali mong masagot ang iyong sarili kung bakit.

Kaya, ikaw at ako ay hindi interesado, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Pagkatapos kung saan.

Sagot:

Tulad ng nakikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang kapalit ay humihiling sa aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging nangyayari.

Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa nakalulungkot, ngunit magsanay kasama ang isa pang halimbawa na may isang medyo simpleng kapalit

Halimbawa 17. Ang simpleng pamamaraan ng kapalit

Malinaw na malamang na mapapalitan ito (ito ang pinakamaliit sa mga degree na kasama sa aming equation).

Gayunpaman, bago ipakilala ang kapalit, ang ating equation ay dapat na "handa" para dito, ibig sabihin,.

Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta nakukuha ko ang sumusunod na expression:

Oh kakila-kilabot: isang cubic equation na may ganap na kakatakot na mga formula para sa solusyon nito (mabuti, nagsasalita sa pangkalahatang mga termino).

Ngunit huwag muna tayong mawalan ng pag-asa, ngunit isipin ang gagawin.

Iminumungkahi kong manloko: alam namin na upang makakuha ng isang "gandang" sagot, kailangan nating makuha ito sa anyo ng ilang kapangyarihan ng isang triple (bakit ganon, eh?).

Subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng aming equation (sisimulan kong hulaan na may kapangyarihan ng tatlo).

Unang pagpapalagay. Hindi ito ugat. Sayang at ah ...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
Tamang bahagi:!

Mayroong! Nahulaan mo ang unang ugat. Ngayon ay magiging mas madali ang mga bagay!

Alam mo ba ang tungkol sa "sulok" division scheme? Siyempre alam mong ginagamit mo ito kapag hatiin mo ang isang numero ng isa pa.

Ngunit kakaunti ang nakakaalam na ang parehong ay maaaring gawin sa mga polynomial.

May isang mahusay na teorema:

Naaangkop sa aking sitwasyon, sinasabi nito sa akin kung ano ang hindi nahahati.

Paano isinasagawa ang paghahati? Iyon ay kung paano:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang kailangan kong dumami upang makuha

Malinaw na sa, pagkatapos:

Alisin ang nagresultang expression mula sa, kumuha ng:

Ngayon ano ang kailangan kong dumami upang makakuha?

Malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako:

at muli ibawas ang nagresultang expression mula sa natitirang isa:

Buweno, ang huling hakbang, dadami ako, at ibabawas mula sa natitirang expression:

Hurray, tapos na ang dibisyon! Ano ang nai-save namin sa pribado?

Sa pamamagitan nito:.

Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na polynomial:

Malutas natin ang pangalawang equation:

Mayroon itong mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

ay may tatlong ugat:

Siyempre, itatapon namin ang huling ugat, dahil mas mababa ito sa zero.

At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse kapalit ay magbibigay sa amin ng dalawang mga ugat:

Sagot: ..

Hindi ko ibig sabihin na takutin ka sa halimbawang ito!

Sa kabaligtaran, ang layunin ko ay upang ipakita na kahit na medyo may kapalit kami, gayunpaman humantong ito sa isang medyo kumplikadong equation, ang solusyon kung saan nangangailangan ng ilang mga espesyal na kasanayan mula sa amin.

Buweno, walang immune mula dito. Ngunit ang kapalit sa kasong ito ay medyo halata.

Halimbawa # 18 (na may isang hindi malinaw na kapalit)

Hindi malinaw kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay sa ating equation mayroong dalawang magkakaibang mga base at ang isang base ay hindi maaaring makuha mula sa iba pa sa pamamagitan ng pagtaas sa anumang (makatuwiran, natural) na degree.

Gayunpaman, ano ang nakikita natin?

Ang parehong mga batayan ay naiiba lamang sa pag-sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba-iba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga bilang na ang mga batayan sa aming halimbawa ay magkatulad.

Sa kasong ito, magiging isang matalinong paglipat dumami ang magkabilang panig ng equation ng numero ng conjugate.

Halimbawa, sa, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging pantay, at ang kanan.

Kung gumawa kami ng isang kapalit, kung gayon ang aming orihinal na equation ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, at pag-alala na, nakuha natin iyon.

Sagot:,.

Bilang isang patakaran, ang paraan ng kapalit ay sapat upang malutas ang karamihan sa mga "ekstra" exponential equation.

Ang mga sumusunod na gawain ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado ay kinuha mula sa mga bersyon ng USE.

Tatlong mga gawain ng tumaas na pagiging kumplikado mula sa mga pagpipilian ng pagsusulit

Mayroon kang sapat na kakayahan upang malayang malutas ang mga halimbawang ito. Bibigyan ko lang ang kinakailangang kapalit.

1. Malutas ang equation:
2. Hanapin ang mga ugat ng equation:
3. Malutas ang equation:. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng ekwasyong ito na kabilang sa segment:

At ngayon, mga maikling paliwanag at sagot:

Halimbawa Hindi 19

Narito sapat na para sa amin na tandaan iyon at.

Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas nito:

Ang equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit

Gawin ang karagdagang mga kalkulasyon sa iyong sarili.

Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko (depende sa sine o kosine). Susuriin namin ang solusyon ng naturang mga halimbawa sa iba pang mga seksyon.

Halimbawa Hindi

Dito maaari mo ring gawin nang walang kapalit ...

Ito ay sapat na upang ilipat ang ibawas sa kanan at kumatawan sa parehong mga batayan sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng dalawa :, at pagkatapos ay direktang pumunta sa equation ng quadratic.

Halimbawa Hindi 21

Malutas din ito sa isang medyo pamantayang paraan: isipin kung paano.

Pagkatapos ng pagpapalit makakakuha kami ng isang kuwadradong equation: kung gayon,

Alam mo na kung ano ang isang logarithm? Hindi ba? Pagkatapos ay basahin agad ang paksa!

Ang unang ugat, malinaw naman, ay hindi kabilang sa segment, at ang pangalawa ay hindi maintindihan!

Ngunit malalaman natin sa lalong madaling panahon!

Dahil, pagkatapos (ito ay isang pag-aari ng logarithm!)

Magbawas mula sa parehong mga bahagi, pagkatapos ay makukuha namin:

Ang kaliwang bahagi ay maaaring kinakatawan bilang:

pinarami namin ang parehong mga bahagi sa pamamagitan ng:

maaaring dumami sa, kung gayon

Pagkatapos ay ihambing natin:

simula noon:

Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa kinakailangang agwat

Sagot:

Tulad ng nakikita mo, ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng sapat na malalim na kaalaman sa mga katangian ng mga logarithmskaya ipinapayo ko sa iyo na maging maingat hangga't maaari kapag lutasin ang exponential equation.

Tulad ng iyong maisip, sa matematika, lahat ay magkakaugnay!

Tulad ng sinasabi ng aking guro sa matematika: "matematika, tulad ng kasaysayan, hindi mo mabasa ang magdamag."

Bilang isang patakaran, lahat ang kahirapan sa paglutas ng mga problema ng isang nadagdagan na antas ng pagiging kumplikado ay tiyak na pagpili ng mga ugat ng ekwasyon.

Isa pang halimbawa para sa pagsasanay ...

Halimbawa 22

Malinaw na ang equation mismo ay medyo simple upang malutas.

Sa pamamagitan ng paggawa ng kapalit, bawasan namin ang aming orihinal na pagkakapareho sa mga sumusunod:

Una isaalang-alang natin unang ugat.

Ihambing natin at: mula pa noon. (pag-aari ng pag-andar ng logarithmic, sa).

Kung gayon malinaw na ang unang ugat ay hindi rin kabilang sa aming pagitan.

Ngayon ang pangalawang ugat:. Malinaw na (dahil ang pag-andar sa ay tumataas).

Ito ay nananatiling ihambing at.

dahil, pagkatapos, sa parehong oras.

Sa ganitong paraan, maaari akong magmaneho ng isang peg sa pagitan ng at.

Ang peg na ito ay isang numero.

Ang unang expression ay mas maliit at ang pangalawa ay mas malaki.

Kung gayon ang pangalawang expression ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa agwat.

Sagot:.

Sa wakas, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang pamalit ay medyo hindi pamantayan.

Halimbawa Hindi 23 (Katumbas ng di-pamantayang pagpapalit!)

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang magagawa mo, at kung ano ang magagawa mo, ngunit mas mahusay na huwag gawin ito.

Maaari mong - kumakatawan sa lahat sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim.

Saan ito patungo?

Oo, hindi ito hahantong sa anumang bagay: isang hodgepodge ng mga degree, at ang ilan ay medyo mahirap mapupuksa.

Ano ang kinakailangan?

Tandaan natin na a

At ano ang ibibigay nito sa atin?

At ang katotohanan na maaari nating mabawasan ang solusyon ng halimbawang ito sa solusyon ng isang medyo simpleng equation na exponential!

Una, muling isulat ang aming equation bilang:

Ngayon hinati namin ang magkabilang panig ng nagresultang equation ng:

Eureka! Ngayon ay maaari nating palitan, nakukuha natin:

Buweno, ngayon ang iyong oras upang malutas ang mga problema sa pagpapakita, at bibigyan ko lamang ang mga maikling puna sa kanila upang hindi ka magliligaw! Buti na lang!

Halimbawa Hindi 24

Ang pinakamahirap!

Hindi madaling makahanap ng kapalit dito! Gayunpaman, maaari naming ganap na malutas ang halimbawang ito gamit pagpili ng isang buong parisukat.

Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Kung gayon narito ang isang kapalit para sa iyo:

(Mangyaring tandaan na dito, sa panahon ng aming kapalit, hindi namin mai-drop ang negatibong ugat !!! At bakit sa palagay mo?)

Ngayon, upang malutas ang halimbawa, kailangan mong malutas ang dalawang equation:

Pareho silang nalutas ng "pamantayang pamalit" (ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

Halimbawa Hindi

2. Tandaan na at gumawa ng kapalit.

Halimbawa Blg 26

3. mabulok ang numero sa mga kadahilanan ng koprime at gawing simple ang nagresultang expression.

Halimbawa Blg 27

4. Hatiin ang numumer at denominator ng maliit na bahagi ng (o, kung gusto mo) at palitan o.

Halimbawa Blg 28

5. Tandaan na ang mga numero at magkatugma.

PAGHAHANAP NG EKWENTO NG EKWENTO NG LOGARITHM METHOD. IKALABANGKING ANTAS

Bilang karagdagan, isaalang-alang natin ang isa pang paraan - solusyon ng exponential equation ng paraan ng logarithm.

Hindi ko masasabi na ang solusyon ng exponential equation ng pamamaraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso lamang ito ay magagawang humantong sa amin sa tamang solusyon ng aming equation.

Lalo na itong ginagamit upang malutas ang tinatawag na " halo-halong mga equation»: Iyon ay, ang mga kung saan nakakatugon ang mga pag-andar ng iba't ibang uri.

Halimbawa Blg 29

sa pangkalahatang kaso, malulutas lamang ito sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng magkabilang panig (halimbawa, sa pamamagitan ng base), kung saan ang orihinal na equation ay nagiging mga sumusunod:

Isaalang-alang natin ang sumusunod na halimbawa:

Malinaw na ayon sa ODZ ng pag-andar ng logarithmic, interesado lamang kami.

Gayunpaman, sumusunod ito hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang kadahilanan.

Sa palagay ko, hindi magiging mahirap para sa iyo na hulaan kung alin.

I-log ang magkabilang panig ng aming equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation ay mabilis na humantong sa amin sa tama (at maganda!) Sagot.

Magsagawa tayo ng isa pang halimbawa.

Halimbawa Blg 30

Dito, masyadong, walang mali: nag-logarithm kami sa magkabilang panig ng ekwasyon sa pamamagitan ng base, pagkatapos makuha namin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, nawawala kami ng isang bagay! Napansin mo ba kung saan ako nagkakamali? Pagkatapos ng lahat, kung gayon:

na hindi nasiyahan ang kinakailangan (isipin kung saan nanggaling!)

Sagot:

Subukang isulat ang solusyon ng exponential equation sa ibaba ng iyong sarili:

Ngayon suriin ang iyong desisyon laban dito:

Halimbawa Hindi 31

Logarithm magkabilang panig sa base, isinasaalang-alang na:

(ang pangalawang ugat ay hindi angkop sa amin dahil sa kapalit)

Halimbawa Hindi. 32

Logarithm base:

Ibahin ang anyo ang nagresultang expression sa sumusunod na form:

MAHALAGA EQUATIONS. BRIEF DESCRIPTION AT BATAYANG FORMULAS

Exponential equation

Katumbas ng form:

tinawag ang pinakasimpleng ekwasyon ng eksponensial.

Mga katangian ng kapangyarihan

Malapit na solusyon

• Pagpipilit sa parehong base
• Pagbabago sa parehong exponent
• Variable na kapalit
• Ang pagpapagaan ng expression at aplikasyon ng isa sa itaas.

Ang araling ito ay inilaan para sa mga nagsisimula pa ring malaman ang mga equation na exponential. Tulad ng dati, magsimula tayo sa isang kahulugan at simpleng mga halimbawa.

Kung binabasa mo ang araling ito, pagkatapos ay pinaghihinalaan ko na mayroon ka ng kahit na isang kaunting pag-unawa sa pinakasimpleng mga equation - linear at square: $ 56x-11 \u003d $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, atbp. Ito ay talagang kinakailangan upang malutas ang nasabing mga konstruksyon upang hindi "maiyak" sa paksang tatalakayin ngayon.

Kaya, ang mga exponential equation. Hayaan akong bigyan ka ng ilang mga halimbawa:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Ang ilan sa mga ito ay maaaring mukhang mas kumplikado sa iyo, ang ilan - sa kabilang banda, masyadong simple. Ngunit ang lahat ng mga ito ay pinagsama ng isang mahalagang tampok: ang kanilang notasyon ay naglalaman ng exponential function na $ f \\ kaliwa (x \\ kanan) \u003d ((a) ^ (x)) $. Kaya, ipinakilala namin ang kahulugan:

Ang isang exponential equation ay anumang equation na naglalaman ng isang exponential function, i.e. expression tulad ng $ ((a) ^ (x)) $. Bilang karagdagan sa ipinahiwatig na pag-andar, ang mga naturang equation ay maaaring maglaman ng anumang iba pang mga algebraic na mga pagbuo - polynomial, ugat, trigonometrya, logarithms, atbp

Oh well. Nalaman namin ang kahulugan. Ngayon ang tanong ay: kung paano malutas ang lahat ng crap na ito? Ang sagot ay parehong simple at kumplikado.

Magsimula tayo sa mabuting balita: mula sa aking karanasan sa mga klase na may maraming mga mag-aaral, masasabi ko na para sa karamihan sa kanila ang mga exponential equation ay mas madaling ibigay kaysa sa parehong mga logarithms at kahit na mas trigonometrya.

Ngunit mayroon ding masamang balita: kung minsan ang mga may-akda ng mga problema para sa lahat ng uri ng mga aklat-aralin at mga pagsusulit ay "inspirasyon", at ang kanilang utak na inflamed sa mga gamot ay nagsisimulang mag-isyu ng mga tulad na brutal na mga equation na ang paglutas sa kanila ay nagiging may problema hindi lamang para sa mga mag-aaral - kahit na maraming mga guro ang natigil sa naturang mga problema.

Gayunpaman, huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay. At bumalik sa tatlong mga equation na ibinigay sa pinakadulo simula ng kuwento. Subukan nating lutasin ang bawat isa sa kanila.

Unang equation: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. Kaya, sa anong antas dapat itaas ang bilang 2 upang makuha ang bilang 4? Marahil ang pangalawa? Pagkatapos ng lahat, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - at nakuha namin ang wastong pagkakapantay-pantay, i.e. talagang $ x \u003d 2 $. Well salamat, cap, ngunit ang equation na ito ay napaka-simple na kahit na ang aking pusa ay maaaring malutas ito. :)

Tingnan natin ang sumusunod na equation:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

At narito ito ay isang maliit na mas kumplikado. Maraming mga mag-aaral ang nakakaalam na $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ ay isang talahanayan ng pagpaparami. Ang ilan ay pinaghihinalaan din na $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ ay mahalagang kahulugan ng mga negatibong kapangyarihan (katulad ng formula $ ((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Sa wakas, lamang ng isang piling ilang hulaan na ang mga katotohanan na ito ay maaaring pagsamahin at ang mga sumusunod na resulta ay maaaring makuha sa output:

\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Kaya, ang aming orihinal na equation ay isusulat muli tulad ng sumusunod:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Ngunit ito ay lubos na nalulusaw! Sa kaliwa sa equation mayroong isang exponential function, sa kanan sa equation mayroong isang exponential function, walang iba kundi ang mga ito kahit saan pa. Samakatuwid, maaari mong "itapon" ang mga base at hangal na pinagsama ang mga tagapagpahiwatig:

Nakakuha kami ng pinakasimpleng linear equation na maaaring malutas ng anumang mag-aaral sa ilang linya. Okay, sa apat na linya:

\\ [\\ simulan (ihanay) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Kung hindi mo maintindihan kung ano ang nangyayari sa huling apat na linya, siguraduhin na bumalik sa paksa na "mga pagkakapareho ng linya" at ulitin ito. Sapagkat nang walang malinaw na pag-unawa sa paksang ito, masyadong maaga para sa iyo na harapin ang mga equation na exponential.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Kaya, kung paano malutas ito? Una naisip: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, kaya ang orihinal na equation ay maaaring maisulat muli:

\\ [((kaliwa (((3) ^ (2)) \\ kanan)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Pagkatapos ay natatandaan natin na kapag pinalalaki ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay dumami:

\\ [((kaliwa (((3) ^ (2)) \\ kanan)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ Rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ magsimula (align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

At para sa ganyang desisyon, makakatanggap kami ng isang matapat na karapat-dapat na deuce. Para sa amin, na may pagkakapantay-pantay ng isang Pokemon, ay nagpadala ng minus sign sa harap ng tatlo sa kapangyarihan ng napaka tatlo. At hindi mo magagawa iyon. At dahil jan. Tingnan ang iba't ibang mga kapangyarihan ng triplet:

\\ [\\ magsimula (matrix) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) ( 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ (\\) 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (matrix) \\]

Kapag pinagsama-sama ang tablet na ito, ako ay sa lalong madaling panahon ay hindi nababaligtad: itinuturing ko ang mga positibong degree, at negatibo, at kahit fractional ... mabuti, kung saan mayroong kahit isang negatibong numero dito? Wala na siya! At hindi ito maaaring, dahil ang pagpaparami ng pag-andar $ y \u003d ((a) ^ (x)) $, una, palaging tumatagal lamang ng mga positibong halaga (kahit gaano karami ang nagpaparami o nahahati sa dalawa, magiging positibo pa rin ito). at pangalawa, ang batayan ng tulad ng isang function - ang bilang $ a $ - ay sa pamamagitan ng kahulugan ng isang positibong numero!

Kung gayon, paano malulutas ang equation $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $? Ngunit sa anumang paraan: walang mga ugat. At sa kahulugan na ito, ang mga exponential equation ay halos kapareho sa mga quadratic na bago - maaaring walang mga ugat din doon. Ngunit kung sa quadratic equation ang bilang ng mga ugat ay natutukoy ng discriminant (positibo ang diskriminasyon - 2 mga ugat, negatibo - walang mga ugat), kung gayon sa mga exponential na ang lahat ay depende sa kung ano ang nasa kanan ng pantay na pag-sign.

Sa gayon, binabalangkas namin ang pangunahing konklusyon: ang pinakasimpleng pagpapakita ng exponential ng form na $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ ay may ugat kung at kung $ b \\ gt 0 $ lamang. Alam ang simpleng katotohanang ito, madali mong matukoy kung ang equation na iminungkahi sa iyo ay may mga ugat o hindi. Ang mga iyon. sulit ba itong malutas ito o isulat lamang na walang mga ugat.

Ang kaalamang ito ay makakatulong sa amin ng maraming beses kung kailangan nating malutas ang mas kumplikadong mga problema. Sa ngayon, sapat na lyrics - oras na upang pag-aralan ang pangunahing algorithm para sa paglutas ng mga equation na exponential.

Paano malulutas ang mga exponential equation

Kaya, pormulahin natin ang problema. Ito ay kinakailangan upang malutas ang exponential equation:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]

Ayon sa "walang muwang" algorithm, alinsunod sa kung saan kami kumilos nang mas maaga, kinakailangan na kumatawan sa bilang na $ b $ bilang isang kapangyarihan ng bilang na $ a $:

Bilang karagdagan, kung sa halip na variable $ x $ mayroong anumang expression, makakakuha kami ng isang bagong equation, na maaari nang malutas. Halimbawa:

\\ [\\ magsimula (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ Rightarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Rightarrow -x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ end (align) \\]

At sapat na kakatwa, ang pamamaraan na ito ay gumagana ng halos 90% ng oras. At kung ano ang tungkol sa natitirang 10%? Ang natitirang 10% ay bahagyang "schizophrenic" exponential equation ng form:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

Kaya, sa anong antas dapat itaas ang 2 upang makakuha ng 3? Una? Ngunit hindi: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - hindi sapat. Ang ikalawa? Hindi rin: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - medyo sobra. Ano ngayon?

Marahil ay nahulaan na ng mga may kaalaman na mag-aaral: sa mga ganitong kaso, kung imposibleng malutas ang "maganda", "mabigat na artilerya" - logarithms - ay kasangkot sa bagay na ito. Ipaalala ko sa iyo na ang paggamit ng mga logarithms, ang anumang positibong numero ay maaaring kinakatawan bilang isang kapangyarihan ng anumang iba pang positibong numero (maliban sa isa):

Tandaan ang formula na ito? Kapag sinabi ko sa aking mga mag-aaral ang tungkol sa mga logarithms, palagi akong binabalaan ka: ang pormula na ito (ito rin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan o, kung gusto mo, ang kahulugan ng isang logarithm) ay mapang-awa sa iyo sa mahabang panahon at "pop up" sa mga hindi inaasahang lugar. Kumbaga, nag-surf siya. Tingnan natin ang aming equation at ang formula na ito:

\\ [\\ magsimula (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ end (align) \\]

Kung ipinapalagay natin na ang $ a \u003d 3 $ ay ang aming orihinal na numero sa kanan, at ang $ b \u003d 2 $ ay ang napaka base pagpapaunlad ng pag-andar, kung saan nais nating bawasan ang kanang bahagi, nakukuha natin ang sumusunod:

\\ [\\ magsimula (align) at isang \u003d ((b) ^ (((log) _ (b)) a)) \\ Rightarrow 3 \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ end (align) \\]

Nakakuha kami ng isang maliit na kakaibang sagot: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 $. Sa ilang iba pang gawain, marami sa ganoong sagot ay duda at nagsimulang i-double-check ang kanilang solusyon: paano kung mayroong isang error sa isang lugar? Nagmadali akong pasayahin ka: walang pagkakamali dito, at ang mga logarithms sa mga ugat ng mga ekwasyong pang-eksponensial ay medyo pangkaraniwang sitwasyon. Kaya masanay ka na. :)

Ngayon ay malutas natin ang natitirang dalawang equation sa pamamagitan ng pagkakatulad:

\\ [\\ magsimula (align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ end (align) \\]

Iyon lang! Sa pamamagitan ng paraan, ang huling sagot ay maaaring maisulat nang naiiba:

Ipinakilala namin ang kadahilanan sa argumento ng logarithm. Ngunit walang nag-abala sa amin upang ipakilala ang salik na ito sa base:

Bukod dito, ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay tama - ang mga ito ay iba't ibang mga form ng pagsulat ng parehong numero. Alin ang pipiliin at isulat sa solusyon na ito ay nasa iyo.

Sa gayon, natutunan namin kung paano malutas ang anumang mga equation ng exponential tulad ng $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, kung saan ang mga numero ng $ a $ at $ b $ ay mahigpit na positibo. Gayunpaman, ang malupit na katotohanan ng ating mundo ay ang mga simpleng gawain ay magiging napaka, napakabihirang para sa iyo. Mas madalas na makikita mo ang isang bagay tulad nito:

\\ [\\ magsimula (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ end (align) \\]

Kaya, kung paano malutas ito? Malulutas ba ito ng lahat? At kung gayon, paano?

Huwag mag-panic. Ang lahat ng mga equation na ito nang mabilis at madaling mabawasan sa mga simpleng formula na napag-isipan na namin. Kailangan mo lang malaman at alalahanin ang isang pares ng mga trick mula sa kurso ng algebra. At siyempre, wala kahit saan na walang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree. Sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa lahat ng ito ngayon. :)

Pag-convert ng mga equation na eksponensial

Ang unang bagay na dapat tandaan: ang anumang exponential equation, kahit gaano pa kumplikado ito, ay dapat kahit papaano ay bawasan sa pinakasimpleng mga equation - ang parehong mga napag-isipan na at kung saan alam natin kung paano malutas. Sa madaling salita, ang pamamaraan para sa paglutas ng anumang pagkakapareho ng pagpaparami ay ganito:

1. Isulat ang orihinal na equation. Halimbawa: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Gumawa ng ilang uri ng hindi maintindihan na crap. O kahit na ilang crap na tinatawag na "transform equation";
3. Sa output, kunin ang pinakasimpleng expression tulad ng $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ o iba pa. Bukod dito, ang isang orihinal na equation ay maaaring magbigay ng maraming mga tulad na expression nang sabay-sabay.

Sa unang punto, malinaw ang lahat - kahit na ang aking pusa ay maaaring magsulat ng equation sa isang piraso ng papel. Sa pangatlong punto din, tila, ito ay higit pa o hindi gaanong malinaw - nalutas na namin ang isang buong bungkos ng naturang mga equation sa itaas.

Ngunit ano ang tungkol sa pangalawang punto? Anong uri ng pagbabago? Ano ang i-convert sa ano? At kung paano?

Well, malaman natin ito. Una sa lahat, nais kong ituro ang mga sumusunod. Ang lahat ng mga equation ng eksponensial ay nahahati sa dalawang uri:

1. Ang equation ay binubuo ng mga eksponensyang function na may parehong base. Halimbawa: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Ang pormula ay naglalaman ng mga eksponensyang function na may iba't ibang mga base. Mga halimbawa: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ at $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 $.

Magsimula tayo sa mga equation ng unang uri - sila ang pinakamadaling malutas. At sa paglutas ng mga ito, tutulungan tayo ng gayong pamamaraan tulad ng pag-highlight ng mga matatag na ekspresyon.

Ang pag-highlight ng isang matatag na expression

Tingnan natin ang isa pang pagtingin sa equation na ito:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Ano ang nakikita natin? Ang apat ay pinataas sa iba't ibang antas. Ngunit ang lahat ng mga kapangyarihang ito ay mga simpleng kabuuan ng variable na $ x $ sa iba pang mga numero. Samakatuwid, kinakailangang tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) ((a ) ^ (y))). \\\\\\ end (align) \\]

Maglagay lamang, ang pagdaragdag ng mga exponents ay maaaring ma-convert sa isang produkto ng mga kapangyarihan, at ang pagbabawas ay madaling ma-convert sa paghahati. Subukan nating ilapat ang mga pormula na ito sa mga kapangyarihan mula sa aming equation:

\\ [\\ magsimula (align) & ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) ((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Isulat natin ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang katotohanan na ito, at pagkatapos ay kolektahin ang lahat ng mga termino sa kaliwa:

\\ [\\ magsimula (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -tulo; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]

Ang unang apat na termino ay naglalaman ng element $ ((4) ^ (x)) $ - dalhin natin ito sa labas ng panaklong:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ kaliwa (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ pakanan) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ kaliwa (- \\ frac (11) (4) \\ kanan) \u003d - 11. \\\\\\ end (align) \\]

{!LANG-34d2229edd09fb5bdb4babd7c818ddf2!}

Ito ay nananatiling hatiin ang magkabilang panig ng ekwasyon sa maliit na bahagi ng $ - \\ frac (11) (4) $, i.e. mahalagang dumami sa pamamagitan ng inverted na bahagi - $ - \\ frac (4) (11) $. Nakukuha namin:

\\ [\\ simulan (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ kaliwa (- \\ frac (11) (4) \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (- \\ frac (4) (11) \\ pakanan ) \u003d - 11 \\ cdot \\ kaliwa (- \\ frac (4) (11) \\ pakanan); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]

Iyon lang! Binawasan namin ang orihinal na equation sa pinakasimpleng isa at nakuha ang pangwakas na sagot.

Kasabay nito, sa proseso ng paglutas, natagpuan namin (at kahit kinuha sa bracket) ang karaniwang kadahilanan na $ ((4) ^ (x)) $ - ito ang matatag na pagpapahayag. Maaari itong maitaguyod bilang isang bagong variable, o maaari itong tumpak na ipinahayag at sumagot. Sa anumang kaso, ang pangunahing prinsipyo ng solusyon ay ang mga sumusunod:

Hanapin sa orihinal na equation ang isang matatag na expression na naglalaman ng isang variable na madaling makilala sa lahat ng mga pag-andar ng exponential.

Ang mabuting balita ay na halos lahat ng pagpaparehong ekwasyon ay nagbibigay-daan para sa isang matatag na pagpapahayag.

Ngunit ang masamang balita ay ang mga ekspresyong tulad nito ay maaaring maging mahirap hawakan at maaaring maging nakakalito upang pumili. Samakatuwid, suriin natin ang isa pang gawain:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Marahil ay may isang katanungan na ngayon: "Pasha, binato ka ba? Mayroong iba't ibang mga base dito - 5 at 0.2 ”. Ngunit subukan nating i-convert ang degree mula sa base 0.2. Halimbawa, alisin natin ang perpektong bahagi, dalhin ito sa karaniwang isa:

\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ kaliwa (x + 1 \\ kanan))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (2) (10) ) \\ kanan)) ^ (- \\ kaliwa (x + 1 \\ kanan)) \u003d \u003d ((kaliwa (\\ kaliwa (\\ frac (1) (5) \\ kanan)) ^ (- kaliwa (x + 1 \\ kanan)) )

Tulad ng nakikita mo, lumitaw pa rin ang numero 5, kahit na sa denominador. Kasabay nito, ang tagapagpahiwatig ay muling isinulat bilang negatibo. Ngayon tandaan natin ang isa sa pinakamahalagang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((kaliwa (\\ frac (1) (5) \\ kanan)) ^ ( - \\ kaliwa (x + 1 \\ kanan)) \u003d \u003d ((kaliwa (\\ frac (5) (1) \\ kanan)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Dito ako, syempre, niloko ng kaunti. Sapagkat para sa isang kumpletong pag-unawa, ang pormula para mapupuksa ang mga negatibong tagapagpahiwatig ay kailangang isulat tulad nito:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ kaliwa (\\ frac (1) (a) \\ kanan)) ^ (n )) \\ Rightarrow ((\\ kaliwa (\\ frac (1) (5) \\ kanan)) ^ (- \\ kaliwa (x + 1 \\ kanan))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (5) (1) \\ Sa kabilang banda, walang pumipigil sa amin sa pagtatrabaho sa isang maliit na bahagi lamang:

\\ [((kaliwa (\\ frac (1) (5) \\ kanan)) ^ (- \\ kaliwa (x + 1 \\ kanan))) \u003d ((kaliwa ((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

{!LANG-864d2acd6e2c44f0816ab1138baac0d4!}

{!LANG-6579fb0af584a9a5f5d4d697e15834a6!}

Ngunit sa kasong ito, kailangan mong itaas ang degree sa ibang degree (tandaan: sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag). Ngunit hindi ko kailangang "i-over" ang mga praksiyon - marahil para sa ilan ay magiging mas madali ito. :)

Sa anumang kaso, ang orihinal na pagkakapareho ng pagkakapareho ay isusulat muli bilang:

\\ [\\ magsimula (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]

Kaya ito ay lumiliko na ang orihinal na equation ay mas madali upang malutas kaysa sa dati na itinuturing na isa: narito hindi mo kailangan pang i-solong ang isang matatag na pagpapahayag - lahat ay nabawasan ang sarili. Ito ay nananatiling tandaan lamang na $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, kung saan nakukuha natin:

\\ [\\ magsimula (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ end (align) \\]

Iyon ang buong solusyon! Nakuha namin ang pangwakas na sagot: $ x \u003d -2 $. Kasabay nito, nais kong tandaan ang isang pamamaraan na lubos na pinasimple ang lahat ng mga kalkulasyon para sa amin:

Sa exponential equation, siguraduhing mapupuksa ang mga perpektong praksiyon, i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong. Papayagan ka nitong makita ang parehong mga base ng mga degree at lubos na gawing simple ang solusyon.

Lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga equation, kung saan may magkakaibang mga base, na sa pangkalahatan ay hindi mababawas sa bawat isa gamit ang mga degree.

Gamit ang degree na pag-aari

Ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming dalawang higit na mas malupit na mga equation:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ end (align) \\]

Ang pangunahing kahirapan dito ay hindi malinaw kung ano at sa anong dahilan upang mamuno. Nasaan ang mga set expression? Nasaan ang parehong mga batayan? Wala rito.

Ngunit subukan nating pumunta sa iba pang paraan. Kung walang mga yari na magkaparehong mga base, maaari mong subukang hanapin ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapatotoo sa umiiral na mga base.

Magsimula tayo sa unang equation:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((kaliwa (7 \\ cdot 3 \\ kanan)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ end (align) \\]

Ngunit maaari mong gawin ang kabaligtaran - bumubuo ng numero 21 mula sa mga numero 7 at 3. Ito ay lalong madaling gawin sa kaliwa, yamang ang mga tagapagpahiwatig ng parehong degree ay pareho:

\\ [\\ magsimula (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((kaliwa (7 \\ cdot 3 \\ kanan)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ end (align) \\]

Iyon lang! Inilipat mo ang exponent sa labas ng produkto at agad na nakuha ang isang magandang equation na maaaring malutas sa isang linya.

Ngayon makipag-usap tayo sa pangalawang equation. Ang lahat ay mas kumplikado dito:

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ kaliwa (\\ frac (27) (10) \\ kanan)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

Sa kasong ito, ang mga praksiyon ay naging hindi maiiwasan, ngunit kung ang isang bagay ay maaaring mabawasan, siguraduhing bawasan ito. Kadalasan ay lilikha ito ng mga kagiliw-giliw na pundasyon kung saan gagana.

Sa kasamaang palad, wala talagang lumabas sa ating bansa. Ngunit nakikita namin na ang mga exponents sa kaliwa sa produkto ay kabaligtaran:

Ipaalala ko sa iyo: upang mapupuksa ang minus sign sa tagapagpahiwatig, kailangan mo lamang "i-flip" ang maliit na bahagi. Well, muling isulat ang orihinal na equation:

\\ [\\ simulan (align) & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ kaliwa (\\ frac (10) (27) \\ kanan)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9 )(isang daan); \\\\ & ((\\ kaliwa (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ kanan)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ kaliwa (\\ frac (1000) (27) \\ kanan)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ end (align) \\]

Sa pangalawang linya, inilipat lamang namin ang kabuuang exponent mula sa produkto sa labas ng bracket ayon sa panuntunan $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((kaliwa (a \\ cdot b \\ kanan)) ^ (x)) $, at sa huli ay pinarami lamang nila ang bilang na 100 ng isang maliit na bahagi.

Ngayon tandaan na ang mga numero sa kaliwa (sa ibaba) at sa kanan ay medyo magkatulad. Kaysa? Ngunit maliwanag: ang mga ito ay mga kapangyarihan ng parehong bilang! Meron kami:

\\ [\\ magsimula (align) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) ((3) ^ (3))) \u003d ((kaliwa (\\ frac () 10) (3) \\ tama)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac ((3) ^ (2))) ((10) ^ (3))) \u003d ((kaliwa (\\ frac (3) (10) \\ tama)) ^ (2)). \\\\\\ end (align) \\]

Kaya, ang aming equation ay isusulat muli tulad ng sumusunod:

\\ [((kaliwa ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ kanan)) ^ (3)) \\ kanan)) ^ (x-1)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (3) ) (10) \\ kanan)) ^ (2)) \\]

\\ [((kaliwa (((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ kanan)) ^ (3)) \\ kanan)) ^ (x-1)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10) ) (3) \\ kanan)) ^ (3 \\ kaliwa (x-1 \\ kanan))) \u003d ((\\ kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ kanan)) ^ (3x-3)) \\]

Sa kasong ito, sa kanan, maaari ka ring makakuha ng isang degree na may parehong base, kung saan sapat na ito upang "i-flip" ang maliit na bahagi:

\\ [((kaliwa (\\ frac (3) (10) \\ kanan)) ^ (2)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ kanan)) ^ (- 2)) \\]

Sa wakas, ang aming equation ay kukuha ng form:

\\ [\\ magsimula (align) & ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ kanan)) ^ (3x-3)) \u003d ((kaliwa (\\ frac (10) (3) \\ kanan) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ end (align) \\]

Iyon ang buong solusyon. Ang pangunahing ideya nito ay kumukulo sa katotohanan na kahit na may iba't ibang mga batayan, sinubukan namin sa pamamagitan ng kawit o baluktot upang mabawasan ang mga batayang ito sa isa at pareho. Sa ito ay tinutulungan kami ng elementarya na mga pagbabagong-anyo ng mga equation at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree.

Ngunit anong mga patakaran at kailan gagamitin? Paano maunawaan na sa isang equation kailangan mong hatiin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng isang bagay, at sa iba pang kailangan mong saliksikin ang batayan ng pagpapalawak ng pag-andar?

Ang sagot sa tanong na ito ay darating na may karanasan. Subukan ang iyong kamay sa una mga simpleng equation, at pagkatapos ay unti-unting kumplikado ang mga gawain - at sa lalong madaling panahon ang iyong mga kasanayan ay sapat upang malutas ang anumang exponential equation mula sa parehong pagsusulit o anumang independiyenteng / pagsubok sa trabaho.

At upang matulungan ka sa mahirap na gawain, iminumungkahi ko ang pag-download ng isang hanay ng mga equation para sa malayang solusyon sa aking website. Ang lahat ng mga equation ay may mga sagot, kaya maaari mong palaging subukan ang iyong sarili.

Sa pangkalahatan, nais ko sa iyo ng isang matagumpay na pagsasanay. At makita ka sa susunod na aralin - doon susuriin namin ang talagang kumplikadong mga equation ng eksponensyo, kung saan ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas ay hindi na sapat. At ang isang simpleng pag-eehersisyo ay hindi sapat din. :)

Bumalik

Pansin! Ginagamit ang slide preview para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga pagpipilian sa pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Uri ng aralin

: isang aralin sa pangkalahatan at kumplikadong aplikasyon ng kaalaman, kasanayan at kakayahan sa paksang “ Mga Katangian ng Kahusayan at mga paraan upang malutas ang mga ito ”.

Mga layunin sa aralin.

Pang-edukasyon:

upang ulitin at i-systematize ang pangunahing materyal ng paksa na "Exponential equation, ang kanilang mga solusyon"; upang pagsamahin ang kakayahang gumamit ng naaangkop na mga algorithm kapag ang paglutas ng exponential equation ng iba't ibang uri; paghahanda para sa pagsusulit.

Pagbuo:

bumuo ng lohikal at kaakibat na pag-iisip ng mga mag-aaral; mag-ambag sa pagbuo ng kasanayan ng malayang aplikasyon ng kaalaman.

Pang-edukasyon:

upang turuan ang pagiging kapaki-pakinabang, pansin at kawastuhan sa paglutas ng mga equation.

Kagamitan:

computer at multimedia projector.

Ginagamit ang aralin teknolohiya ng Impormasyon : suporta sa pamamaraan para sa aralin - pagtatanghal sa programa ng Microsoft Power Point.

Sa mga klase

Ang bawat kasanayan ay ibinibigay ng paggawa

Ako Pagtatakda ng layunin ng aralin(Slide number 2 )

Sa araling ito, ibubuod natin at isasalamin ang paksang "Mga ekwentipikong ekwasyon, ang kanilang mga solusyon". Kilalanin natin ang karaniwang mga takdang USE mula sa iba't ibang mga taon sa paksang ito.

Ang mga gawain para sa paglutas ng mga equation ng eksponensial ay matatagpuan sa anumang bahagi ng mga gawain sa pagsusulit. Sa bahaging " SA " karaniwang nag-aalok sila upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng eksponensial. Sa bahaging " MULA " maaari kang makahanap ng mas kumplikadong mga equation exponential, ang solusyon kung saan ay karaniwang isa sa mga yugto ng gawain.

Halimbawa ( Slide number 3 ).

• Pinagkaisang Exam ng Estado - 2007

Q 4 - Hanapin ang pinakamalaking halaga ng pagpapahayag x ysaan ( x; sa) - solusyon sa system:

• Pinagkaisang Exam ng Estado - 2008

B 1 - Malutas ang mga equation:

at) x 6 3x – 36 6 3x = 0;

b) 4 x +1 + 8 4 x= 3.

• Pinagkaisang Exam ng Estado - 2009

Q 4 - Hanapin ang kahulugan ng expression x + ysaan ( x; sa) - solusyon sa system:

• Pinagkaisang Exam ng Estado - 2010

– Malutas ang equation: 7 x– 2 = 49. - Hanapin ang mga ugat ng equation: 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x – 1 = 0. - Malutas ang sistema ng mga equation:

II. Pag-update ng pangunahing kaalaman. Muling Pagsasalita

(Mga slide ng numero 4 - 6 mga presentasyon para sa aralin)

Ipinapakita ng screen pangunahing buod ng teoretikal na materyal sa paksang ito.

Ang mga sumusunod na isyu ay tinalakay:

1. Anong mga equation ang tinawag nagpapakilala?
2. Pangalanan ang pangunahing paraan upang malutas ang mga ito. Magbigay ng mga halimbawa ng kanilang mga uri ( Slide number 4 )

(Malutas ang ipinanukalang mga equation para sa bawat pamamaraan sa iyong sarili at gumawa ng isang pagsubok sa sarili gamit ang isang slide)

3. Aling teorem ang ginamit upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng exponential ng form: at f (x) \u003d a g (x)?
4. Ano ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng exponential? ( Slide number 5 )

• Paraan ng factoring
(batay sa mga katangian ng mga degree na may ang parehong mga batayan, pagpasok: ang degree na may pinakamaliit na exponent ay nakuha sa labas ng bracket).
• Ang pagtanggap ng dibisyon (pagpaparami) sa pamamagitan ng isang pagpapahayag ng pagpapaunlad maliban sa zero, kapag nalulutas ang mga homogenous exponential equation
.

• Payo:

kapag nalutas ang mga exponential equation, kapaki-pakinabang na unang magsagawa ng mga pagbabagong-anyo, pagkuha ng mga degree na may parehong mga base sa magkabilang panig ng equation.

1. Ang paglutas ng mga equation sa huling dalawang pamamaraan na sinusundan ng mga komento

(Slide number 6 ).

. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,

4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .

2 2 2x - 3 2 x 5 x - 5 5 2x \u003d 0 |: 2 2 x0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) x - 5 = 0,

t \u003d (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3 t - 5 = 0, t= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, x= ?...

III. Paglutas ng mga gawain ng pagsusulit 2010

Malayang malutas ng mga mag-aaral ang mga gawain na iminungkahi sa simula ng aralin sa slide number 3, gamit ang mga direksyon para sa solusyon, suriin ang kanilang kurso ng solusyon at mga sagot sa kanila gamit ang presentasyon ( Slide number 7 ). Sa takbo ng trabaho, tinalakay ang mga pagpipilian at paraan ng paglutas, ang pansin ay iginuhit sa mga posibleng pagkakamali sa solusyon.

: a) 7 x- 2 \u003d 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Sagot: at) x\u003d 4, b) x = 2. : 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x - 1 \u003d 0. (Maaari mong palitan ang 0.5 \u003d 4 - 0.5)

Desisyon. ,

x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …

Sagot: x= -5/2, x = 1/2.

: 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y , kasama ang kos y< 0.

Indikasyon sa solusyon

... 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y ¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y + 4 5 tg y - 1 \u003d 0. Hayaan x\u003d 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y \u003d1/5.

Dahil tg y\u003d -1 at kos y< 0, kung gayon sa II coordinate quarter

Sagot: sa= 3/4 + 2k, k N.

IV. Makipagtulungan sa blackboard

Ang gawain ng isang mataas na antas ng pagsasanay ay isinasaalang-alang - Slide number 8 ... Sa tulong ng slide na ito, naganap ang isang pag-uusap sa pagitan ng guro at mga mag-aaral, na nag-aambag sa pag-unlad ng solusyon.

- Sa anong parameter at equation 2 2 x – 3 2 x + at 2 – 4at \u003d 0 ay may dalawang ugat?

Hayaan t= 2 x saan t > 0 ... Kumuha kami t 2 – 3t + (at 2 – 4at) = 0 .

1). Dahil ang ekwasyon ay may dalawang ugat, pagkatapos D\u003e 0;

2). Bilang t 1,2\u003e 0, kung gayon t 1 t 2\u003e 0, iyon ay at 2 – 4at> 0 (?...).

Sagot: at(- 0.5; 0) o (4; 4.5).

V. Gawain sa pagpapatunay

(Slide number 9 )

Ang mga mag-aaral ay gumaganap gawaing pagpapatunay sa mga piraso ng papel, pagsasagawa ng pagpipigil sa sarili at pagtatasa sa sarili ng gawa na isinagawa sa tulong ng isang presentasyon, na nagpapatunay sa paksa. Malaya nilang tinutukoy para sa kanilang sarili ang isang programa para sa pag-regulate at pagwawasto ng kaalaman batay sa mga pagkakamali na nagawa sa mga workbook. Ang mga sheet na may nakumpletong independiyenteng gawain ay ibinibigay sa guro para sa pagpapatunay.

Mga may salungguhit na numero - pangunahing antas, na may asterisk - nadagdagan ang kahirapan.

Solusyon at sagot.

0,3 2x + 1 = 0,3 – 2 , 2x + 1 = -2, x= -1,5.

(1; 1).

3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,

x \u003d -1.

4 * .3 9 x \u003d 2 3 x 5 x+ 5 25 x | : 25 x ,

3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) x+ 5,

3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,

3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (hindi kasya),

(3/5) x = 5, x \u003d -1.

Vi. Takdang aralin

(Slide number 10 )

• Ulitin ang § 11, 12.
• Ng mga materyales sa pagsusulit 2008 - 2010 upang pumili ng mga gawain sa paksa at lutasin ang mga ito.
• Trabaho sa pagsubok sa bahay
: