Hanapin ang halaga ng mga expression ng mga equation na trigonometric. Aralin "pinapasimple ang mga expression ng trigonometric"

Mga Seksyon: Matematika

Klase: 11

Aralin 1

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Pagpapasimple ng mga expression na trigonometric.

Paglutas ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric. (2 oras)

Mga Layunin:

• Upang mapagsamantala, gawing pangkalahatan, palawakin ang kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral na nauugnay sa paglalapat ng mga formula ng trigonometry at ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric.

Kagamitan para sa aralin:

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng organisasyon
2. Pagsubok sa mga laptop. Ang talakayan ng mga resulta.
3. Pinapasimple ang mga expression ng trigonometric
4. Paglutas ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric
5. Pansariling gawain.
6. Buod ng aralin. Paliwanag ng takdang-aralin sa bahay.

1. Sandali ng organisasyon. (2 minuto.)

Binabati ng guro ang madla, inanunsyo ang paksa ng aralin, pinapaalalahanan sila sa gawaing dating ibinigay upang ulitin ang mga formula ng trigonometry, at i-set up ang mga mag-aaral para sa pagsubok.

2. Pagsubok. (15min + 3min na talakayan)

Ang layunin ay upang subukan ang kaalaman ng mga trigonometric na pormula at ang kakayahang mailapat ang mga ito. Ang bawat mag-aaral ay may isang laptop sa kanyang mesa na may isang bersyon ng pagsubok.

Maaaring may maraming mga pagpipilian ayon sa gusto mo, magbibigay ako ng isang halimbawa ng isa sa mga ito:

Opsyon I.

Pasimplehin ang mga expression:

a) pangunahing mga pagkakakilanlang trigonometric

1. kasalanan 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) mga formula ng pagdaragdag

3.sin5x - sin3x;

c) pag-convert ng produkto sa isang kabuuan

6.2sin8y komportable;

d) mga pormula ng doble na anggulo

7.2sin5x cos5x;

e) mga formula ng kalahating anggulo

f) triple formula ng mga anggulo

g) unibersal na pagpapalit

h) pagbaba ng degree

16. cos 2 (3x / 7);

Ang mga mag-aaral sa isang laptop ay nakikita ang kanilang mga sagot sa harap ng bawat formula.

Ang gawain ay agad na nasuri ng computer. Ang mga resulta ay ipinapakita sa isang malaking screen para makita ng lahat.

Gayundin, pagkatapos ng pagtatapos ng gawain, ang mga tamang sagot ay ipinapakita sa mga laptop ng mga mag-aaral. Nakikita ng bawat mag-aaral kung saan nagawa ang pagkakamali at kung anong mga pormula ang kailangan niyang ulitin.

3. Pagpapasimple ng mga expression na trigonometric. (25 min.)

Ang layunin ay suriin, sanayin at pagsamahin ang aplikasyon ng pangunahing mga formula ng trigonometry. Paglutas ng mga problema B7 mula sa pagsusulit.

Sa yugtong ito, ipinapayong hatiin ang klase sa mga pangkat ng malakas (magtrabaho nang nakapag-iisa na may kasunod na pag-verify) at mga mahihinang mag-aaral na nagtatrabaho sa guro.

Takdang-aralin para sa matatag na mga nag-aaral (handa nang paunang naka-print). Ang pangunahing diin ay inilalagay sa mga formula ng pagbawas at dobleng anggulo, ayon sa pagsusulit noong 2011.

Pasimplehin ang mga expression (para sa malakas na mga nag-aaral):

Sa kahanay, gumagana ang guro sa mga mahihinang mag-aaral, tinatalakay at nilulutas ang mga gawain sa screen sa ilalim ng pagdidikta ng mga mag-aaral.

Kalkulahin:

5) kasalanan (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Pasimplehin:

Ito ay ang turn ng talakayan ng mga resulta ng gawain ng malakas na grupo.

Lumilitaw ang mga sagot sa screen, at gayundin, sa tulong ng isang video camera, ang mga gawa ng 5 magkakaibang mag-aaral ay ipinapakita (isang gawain para sa bawat isa).

Nakikita ng mahina na grupo ang kondisyon at pamamaraan ng solusyon. Isinasagawa ang talakayan at pagsusuri. Mabilis itong nangyayari sa paggamit ng mga teknikal na paraan.

4. Solusyon ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric. (30 minuto.)

Ang layunin ay upang ulitin, systematize at gawing pangkalahatan ang solusyon ng pinakasimpleng mga equonometric equation, naitala ang kanilang mga ugat. Solusyon sa problema B3.

Ang anumang equation na trigonometric, kahit paano natin ito malutas, ay hahantong sa pinakasimpleng isa.

Kapag nakumpleto ang takdang-aralin, ang mga mag-aaral ay dapat na iguhit sa pag-record ng mga ugat ng mga equation ng mga espesyal na kaso at ang pangkalahatang form at sa pagpili ng mga ugat sa huling equation.

Malutas ang mga equation:

Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat bilang tugon.

5. Malayang gawain (10 min.)

Ang layunin ay upang subukan ang nakuha kasanayan, makilala ang mga problema, mga pagkakamali at mga paraan upang matanggal ang mga ito.

Inaalok ang magkakaibang antas ng trabaho sa pagpili ng mag-aaral.

Pagpipilian para sa "3"

1) Hanapin ang halaga ng isang expression

2) Pasimplehin ang ekspresyong 1 - kasalanan 2 3α - cos 2 3α

3) Malutas ang equation

Pagpipilian para sa "4"

1) Hanapin ang halaga ng isang expression

2) Malutas ang equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat sa sagot.

Pagpipilian para sa "5"

1) Humanap ng tgα kung

2) Hanapin ang ugat ng equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat sa iyong sagot.

6. Buod ng aralin (5 min.)

Ibinigay ng guro ang katotohanang sa aralin ay inulit at pinagsama nila ang mga formula ng trigonometric, ang solusyon sa pinakasimpleng mga equonometric equation.

Takdang-aralin sa takdang-aralin (handa nang naka-print na batayan nang maaga) na may mga tseke sa susunod na aralin.

Malutas ang mga equation:

9)

10) Ipahiwatig ang pinakamaliit na positibong ugat sa iyong sagot.

Session 2

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric. Pagpili ng mga ugat. (2 oras)

Mga Layunin:

• Upang gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang kaalaman sa paglutas ng mga equonometric equation ng iba`t ibang mga uri.
• Upang maitaguyod ang pag-unlad ng pag-iisip ng matematika ng mga mag-aaral, ang kakayahang obserbahan, ihambing, gawing pangkalahatan, iuri.
• Hikayatin ang mga mag-aaral na pagtagumpayan ang mga paghihirap sa proseso ng aktibidad ng pag-iisip, sa pagpipigil sa sarili, pagsisiyasat sa kanilang mga aktibidad.

Kagamitan para sa aralin: KRMu, mga laptop para sa bawat mag-aaral.

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng organisasyon
2. Pagtalakay d / h at samot. gawa ng huling aralin
3. Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric.
4. Paglutas ng mga equation na trigonometric
5. Pagpili ng mga ugat sa mga equation na trigonometric.
6. Pansariling gawain.
7. Buod ng aralin. Takdang aralin.

1. Sandali ng organisasyon (2 min.)

Binabati ng guro ang madla, inihayag ang paksa ng aralin at ang plano sa trabaho.

2. a) Balik-aral sa takdang-aralin (5 min.)

Ang layunin ay suriin ang pagpapatupad. Ang isang gawain sa tulong ng isang video camera ay ipinapakita sa screen, ang natitira ay pili-pili na nakokolekta para sa tseke ng guro.

b) Pagsusuri sa independiyenteng gawain (3 min.)

Ang layunin ay pag-aralan ang mga pagkakamali, ipahiwatig ang mga paraan upang madaig ang mga ito.

Sa screen, mga sagot at solusyon, ang mga mag-aaral ay paunang nakatalaga sa kanilang trabaho. Ang pagsusuri ay mabilis na umuunlad.

3. Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric (5 min.)

Ang layunin ay maalala ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equonometric equation.

Tanungin ang mga mag-aaral kung anong mga pamamaraan ang alam nila para sa paglutas ng mga equonometric equation. Bigyang-diin na may mga tinatawag na pangunahing (madalas na ginagamit) na pamamaraan:

• variable na kapalit,
• factorization,
• magkakatulad na mga equation,

at may mga inilapat na pamamaraan:

• ayon sa mga formula para sa pag-convert ng isang kabuuan sa isang produkto at isang produkto sa isang kabuuan,
• ng mga formula sa pagbawas ng degree,
• unibersal na pagpapalit ng trigonometric
• pagpapakilala ng isang anggulong pantulong,
• pagpaparami ng ilang function na trigonometric.

Dapat ding alalahanin na ang isang equation ay maaaring malutas sa iba't ibang paraan.

4. Paglutas ng mga equation na trigonometric (30 min.)

Ang layunin ay upang gawing pangkalahatan at pagsamahin ang kaalaman at kasanayan sa paksang ito, upang maghanda para sa desisyon ng C1 mula sa pagsusulit.

Isaalang-alang ko itong kapaki-pakinabang upang malutas ang mga equation para sa bawat pamamaraan kasama ang mga mag-aaral.

Ang mag-aaral ang nagdidikta ng solusyon, ang guro ay nagsusulat sa tablet, ang buong proseso ay ipinapakita sa screen. Papayagan ka nitong mabilis at mahusay na maalala ang dating sakop na materyal.

Malutas ang mga equation:

1) pagbabago ng variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) factoring 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) magkakatulad na mga equation sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) pag-convert ng kabuuan sa produktong cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) pag-convert ng produkto sa kabuuan ng 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) pagbaba ng kapangyarihan sin2x - kasalanan 2 2x + kasalanan 2 3x \u003d 0.5

7) unibersal na trigonometric substitution sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Ang paglutas ng equation na ito, dapat pansinin na ang paggamit ng pamamaraang ito ay humahantong sa isang pagpapaliit ng domain ng kahulugan, dahil ang sine at cosine ay pinalitan ng tg (x / 2). Samakatuwid, bago isulat ang sagot, kailangan mong suriin kung ang mga numero mula sa itinakdang π + 2πn, n Z ay mga kabayo ng equation na ito.

8) pagpapakilala ng isang pandiwang pantulong na anggulo √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) pagpaparami ng ilang trigonometric function na cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Pagpili ng mga ugat ng mga equation na trigonometric (20 min.)

Dahil sa mga kondisyon ng mabangis na kumpetisyon kapag pumapasok sa mga unibersidad, ang paglutas ng isang unang bahagi ng pagsusulit ay hindi sapat, kung gayon ang karamihan sa mga mag-aaral ay dapat magbayad ng pansin sa mga gawain ng pangalawang bahagi (C1, C2, C3).

Samakatuwid, ang layunin ng yugtong ito ng aralin ay upang gunitain ang dati nang pinag-aralan na materyal, upang maghanda para sa paglutas ng problema sa C1 mula sa USE 2011.

Mayroong mga equation na trigonometric kung saan kailangan mong pumili ng mga ugat kapag nagsusulat ng isang sagot. Ito ay dahil sa ilang mga paghihigpit, halimbawa: ang denominator ng maliit na bahagi ay hindi zero, ang ekspresyon sa ilalim ng pantay na ugat ay hindi negatibo, ang ekspresyon sa ilalim ng pag-sign ng logarithm ay positibo, atbp.

Ang mga nasabing equation ay itinuturing na mga equation ng tumaas na pagiging kumplikado at sa bersyon ng USE ay nasa pangalawang bahagi, lalo na C1.

Lutasin ang equation:

Ang maliit na bahagi ay zero kung noon gamit ang bilog ng yunit, pinipili namin ang mga ugat (tingnan ang Larawan 1)

Larawan 1.

nakukuha natin ang x \u003d π + 2πn, n Z

Sagot: π + 2πn, n Z

Sa screen, ang pagpili ng mga ugat ay ipinapakita sa isang bilog sa isang imahe ng kulay.

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, at ang arc ay hindi mawawala ang kahulugan nito. Tapos

Piliin ang mga ugat gamit ang unit circle (tingnan ang Larawan 2)

Ang aralin sa video na "Simplification of Trigonometric Expressions" ay idinisenyo upang paunlarin ang mga kasanayan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problemang trigonometric gamit ang pangunahing mga pagkakakilanlang trigonometric Sa kurso ng aralin sa video, isinasaalang-alang ang mga uri ng pagkakakilanlang trigonometric, mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paggamit nito. Sa pamamagitan ng paggamit ng visual aid, mas madaling makamit ng guro ang mga layunin sa aralin. Ang isang matingkad na pagtatanghal ng materyal ay nakakatulong upang matandaan ang mahahalagang punto. Ang paggamit ng mga effects ng animasyon at pag-dub ay nagbibigay-daan sa iyo upang ganap na palitan ang guro sa yugto ng pagpapaliwanag ng materyal. Sa gayon, gamit ang visual aid na ito sa mga aralin sa matematika, maaaring dagdagan ng guro ang pagiging epektibo ng pagtuturo.

Sa simula ng aralin sa video, inihayag ang paksa nito. Pagkatapos ay ang mga pagkakakilanlang trigonometric na pinag-aralan nang mas maaga ay naalaala. Ipinapakita ng screen ang mga pagkakapantay-pantay sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, kung saan t ≠ π / 2 + πk para sa kϵZ, ctg t \u003d cos t / sin t, wasto para sa t ≠ πk, kung saan kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, para sa t ≠ πk / 2, kung saan ang kϵZ, ay tinawag na pangunahing mga pagkakakilanlang trigonometric. Nabanggit na ang mga pagkakakilanlan na ito ay madalas na ginagamit sa paglutas ng mga problema kung saan kinakailangan upang patunayan ang pagkakapantay-pantay o gawing simple ang isang expression.

Dagdag dito, ang mga halimbawa ng paglalapat ng mga pagkakakilanlan na ito sa paglutas ng mga problema ay isinasaalang-alang. Una, iminungkahi na isaalang-alang ang solusyon sa mga problema upang gawing simple ang mga expression. Sa halimbawang 1, kinakailangang gawing simple ang ekspresyong cos 2 tc 4 t + sin 4 t. Upang malutas ang halimbawa, ilagay muna ang karaniwang kadahilanan cos 2 t sa labas ng mga braket. Bilang isang resulta ng naturang pagbabago sa mga panaklong, ang ekspresyong 1- cos 2 t ay nakuha, ang halaga na mula sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometry ay katumbas ng kasalanan 2 t. Matapos baguhin ang ekspresyon, malinaw na ang isa pang karaniwang kadahilanan na sin 2 t ay maaaring maging panaklong, pagkatapos na ang ekspresyon ay nagkakaroon ng form na sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Mula sa parehong pangunahing pagkakakilanlan binabawas namin ang halaga ng pagpapahayag sa mga panaklong, katumbas ng 1. Bilang isang resulta ng pagpapagaan, nakukuha namin ang cos 2 tc 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

Sa halimbawang 2, dapat ding gawing simple ang ekspresyong gastos / (1- sint) + gastos / (1+ sint). Dahil ang gastos sa ekspresyon ay nasa mga numerator ng parehong mga praksyon, maaari itong ma-bracket bilang isang karaniwang kadahilanan. Pagkatapos ang mga praksyon sa mga braket ay nabawasan sa isang karaniwang denominator sa pamamagitan ng pag-multiply (1-sint) (1+ sint). Matapos dalhin ang mga naturang term sa numerator mananatiling 2, at sa denominator 1 - sin 2 t. Sa kanang bahagi ng screen, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan kasalanan 2 t + cos 2 t \u003d 1 ay naalalahanan. Gamit ito, nakita namin ang denominator ng praksyon na cos 2 t. Matapos mabawasan ang maliit na bahagi, nakakakuha kami ng isang pinasimple na form ng expression na gastos / (1- sint) + gastos / (1+ sint) \u003d 2 / gastos.

Dagdag dito, isinasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga patunay ng pagkakakilanlan, kung saan inilalapat ang kaalamang nakuha tungkol sa pangunahing mga pagkakakilanlan ng trigonometry. Sa halimbawang 3, kinakailangang patunayan ang pagkakakilanlan (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. Sa kanang bahagi ng screen, ipinapakita ang tatlong pagkakakilanlan na kakailanganin para sa patunay - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t at tg t \u003d sin t / cos t na may mga paghihigpit. Upang mapatunayan ang pagkakakilanlan, una ang mga panaklong ay pinalawak, na pagkatapos ay nabuo ang isang produkto na sumasalamin sa pagpapahayag ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan tg - CTg t \u003d 1. Pagkatapos, ayon sa pagkakakilanlan mula sa kahulugan ng cotangent, ang CTg 2 t ay nabago. Bilang resulta ng mga pagbabago, nakuha ang ekspresyong 1-cos 2 t. Gamit ang pangunahing pagkakakilanlan, mahahanap namin ang kahulugan ng pagpapahayag. Sa gayon, napatunayan na (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t.

Sa halimbawang 4, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression na tg 2 t + ctg 2 t kung tg t + ctg t \u003d 6. Upang kalkulahin ang expression, una sa kanan at kaliwang panig ng pagkakapantay-pantay (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2 ay parisukat. Ang pinaikling formula sa pagpaparami ay kahawig sa kanang bahagi ng screen. Matapos buksan ang mga bracket sa kaliwang bahagi ng ekspresyon, ang kabuuan tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t ay nabuo, para sa pagbabago na kung saan ang isa sa mga trigonometric na pagkakakilanlan na tg t · ctg t \u003d 1 ay maaaring mailapat, ang form na kung saan ay mapaalalahanan sa kanang bahagi ng screen. Pagkatapos ng pagbabago, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay tumutugma sa kalagayan ng problema, samakatuwid ang sagot ay 34. Nalulutas ang problema.

Ang aralin sa video na "Simplifying Trigonometric Expressions" ay inirerekomenda para magamit sa isang tradisyonal na aralin sa matematika ng paaralan. Gayundin, ang materyal ay magiging kapaki-pakinabang para sa isang guro na nagsasagawa ng malayong pag-aaral. Upang mabuo ang mga kasanayan sa paglutas ng mga problemang trigonometric.

TEXT CODE:

"Pagpapasimple ng mga trigonometric expression."

Pagkakapantay-pantay

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sine square te plus cosine square te ay katumbas ng isa)

2) tgt \u003d, para sa t ≠ + πk, kϵZ (ang tangent te ay katumbas ng ratio ng sine te sa cosine te kapag ang te ay hindi katumbas ng pi ng dalawa plus pi ka, kabilang ka sa zet)

3) ctgt \u003d, para sa t ≠ πk, kϵZ (ang cotangent te ay katumbas ng ratio ng cosine te sa sine te kapag ang te ay hindi katumbas ng rurok, kabilang ka sa z).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 para sa t ≠, kϵZ (ang produkto ng tangent te at ang cotangent te ay katumbas ng isa kung ang te ay hindi katumbas ng rurok, nahahati sa dalawa, kabilang ka sa z)

ay tinatawag na pangunahing mga pagkakakilanlang trigonometric.

Kadalasan ginagamit ang mga ito upang gawing simple at patunayan ang mga trigonometric na expression.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito upang gawing simple ang mga trigonometric expression.

HALIMBAWA 1: Pasimplehin ang ekspresyon: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ang expression ay isang cosine squared te minus ang ika-apat na degree cosine te plus ang ika-apat na degree sine te).

Desisyon. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d kasalanan 2 t 1 \u003d kasalanan 2 t

(inilabas namin ang karaniwang kadahilanan cosine squared te, sa panaklong nakukuha namin ang pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaisa at parisukat ng cosine te, na pantay ng unang pagkakakilanlan sa parisukat ng sine te. Nakukuha namin ang kabuuan ng sine ng ika-apat na degree te ng produkto cosine squared te at sine square te. sa panaklong, sa panaklong nakukuha natin ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine, na sa pamamagitan ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay katumbas ng 1. Bilang isang resulta, nakukuha natin ang parisukat ng sine te).

HALIMBAWA 2: Pasimplehin ang ekspresyon: +.

(Ang expression ba ay kabuuan ng dalawang praksiyon sa numerator ng unang cosine te sa denominator na isang minus sine te, sa numerator ng pangalawang cosine te sa denominator ang pangalawang yunit plus sine te).

(Tanggalin natin ang karaniwang kadahilanan cosine te mula sa mga braket, at sa panaklong dinadala namin ito sa karaniwang denominator, na kung saan ay ang produkto ng isang minus sine te at isang plus sine te.

Sa numerator na nakukuha namin: isang plus sine te plus isang minus sine te, binibigyan namin ang mga katulad nito, ang numerator ay katumbas ng dalawa pagkatapos ng mga katulad.

Sa denominator, maaari mong ilapat ang formula ng dinaglat na pagdaragdag (pagkakaiba ng mga parisukat) at makuha ang pagkakaiba sa pagitan ng yunit at parisukat ng sine te, na, ayon sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan

ay katumbas ng parisukat ng cosine te. Matapos ang pagkansela ng cosine te makuha namin ang pangwakas na sagot: dalawa na hinati ng cosine te).

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito sa pagpapatunay ng mga trigonometric na expression.

HALIMBAWA 3. Patunayan ang pagkakakilanlan (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (ang produkto ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng tangent te at sine te at ang parisukat ng cotangent te ay katumbas ng parisukat ng sine te).

Katibayan.

Baguhin natin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d kasalanan 2 t

(Buksan natin ang mga braket, mula sa dating nakuha na ugnayan nalalaman na ang produkto ng mga parisukat ng tangent te at ang cotangent te ay katumbas ng 1. Alalahanin na ang cotangent te ay katumbas ng ratio ng cosine te sa sine te, na nangangahulugang ang parisukat ng cotangent ay ang ratio ng parisukat ng cosine te at ang square ng sine te.

Matapos kanselahin ang square te ng sine, nakukuha namin ang pagkakaiba sa pagitan ng unit at ng cosine ng square te, na katumbas ng sine ng square te). Q.E.D.

HALIMBAWA 4 Hanapin ang halaga ng ekspresyong tg 2 t + ctg 2 t kung tgt + ctgt \u003d 6.

(ang kabuuan ng mga parisukat ng tangent te at ang cotangent te, kung ang kabuuan ng tangent at cotangent ay anim).

Desisyon. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Parisukat natin ang magkabilang panig ng orihinal na pagkakapantay-pantay:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (ang parisukat ng kabuuan ng tangent te at ang cotangent te ay katumbas ng anim na parisukat). Alalahanin ang pormula para sa dinaglat na pagpaparami: Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang dami ay katumbas ng parisukat ng una plus dalawang beses ang produkto ng una ng pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawa. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 Nakukuha namin ang tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (tangent square te plus dobleng produkto ng tangent te at cotangent te plus cotangent squared te ay katumbas ng tatlumpu't anim ...

Dahil ang produkto ng tangent te at ang cotangent te ay katumbas ng isa, pagkatapos tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (ang kabuuan ng mga parisukat ng tangent te at ang cotangent te at dalawa ay tatlumpu't anim),

AT magkatulad na mga pagbabago mga expression ng trigonometric ang mga sumusunod na diskarte sa algebraic ay maaaring magamit: karagdagan at pagbabawas ng parehong mga termino; pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng panaklong; pagpaparami at paghahati ng parehong halaga; aplikasyon ng dinaglat na mga pormula ng pagpaparami; pagpili ng isang buong parisukat; pag-factor ng isang parisukat na trinomial; pagpapakilala ng mga bagong variable upang gawing simple ang mga pagbabago.

Kapag nagko-convert ng mga trigonometric expression na naglalaman ng mga praksyon, maaari mong gamitin ang mga katangian ng proporsyon, pagbawas ng mga praksyon, o pag-convert ng mga praksyon sa isang karaniwang denominator. Bilang karagdagan, maaari mong gamitin ang pagpipilian ng integer na bahagi ng isang maliit na bahagi, na nagpaparami ng numerator at denominator ng maliit na bahagi ng parehong halaga, at, kung maaari, isaalang-alang ang homogeneity ng numerator o denominator. Kung kinakailangan, maaari kang kumatawan sa isang maliit na bahagi bilang kabuuan o pagkakaiba ng maraming mga mas simpleng praksiyon.

Bilang karagdagan, ang paglalapat ng lahat ng kinakailangang pamamaraan para sa pag-convert ng mga trigonometric expression, kinakailangang patuloy na isinasaalang-alang ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng mga na-convert na expression.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 1.

Kalkulahin ang А \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ kasalanan (3π / 2 - x) kasalanan (2x -5π / 2)) 2

Desisyon.

Sumusunod ito mula sa mga formula sa pagbawas:

kasalanan (2x - π) \u003d -kakasalanan 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

kasalanan (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d kasalanan x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

kasalanan (3π / 2 - x) \u003d -cos x; kasalanan (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Kung saan, sa bisa ng mga formula para sa pagdaragdag ng mga argumento at ang pangunahing pagkakakilanlang trigonometric, nakukuha natin

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d kasalanan 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Sagot: 1.

Halimbawa 2.

Gawing isang produkto ang ekspresyong М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - kasalanan (α + β) kasalanan γ + cos γ

Desisyon.

Mula sa mga formula para sa pagdaragdag ng mga argumento at pormula para sa pag-convert ng kabuuan ng mga function na trigonometric sa isang produkto pagkatapos ng kaukulang pagpapangkat, mayroon kaming

М \u003d (cos (α + β) cos γ - kasalanan (α + β) kasalanan γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Sagot: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Halimbawa 3.

Ipakita na ang ekspresyong A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ay tumatagal para sa lahat ng x mula sa R \u200b\u200bone at ang parehong kahulugan. Hanapin ang halagang ito.

Desisyon.

Narito ang dalawang paraan upang malutas ang problemang ito. Ang paglalapat ng unang pamamaraan, sa pamamagitan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat at paggamit ng kaukulang pangunahing mga formula ng trigonometric, nakukuha namin

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Kasalanan 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Ang paglutas ng problema sa pangalawang paraan, isaalang-alang ang A bilang isang pagpapaandar ng x mula sa R \u200b\u200bat kalkulahin ang hinalang ito. Pagkatapos ng mga pagbabago na nakukuha natin

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) kasalanan (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) kasalanan (x - π / 6) \u003d

Kasalanan 2 (x + π / 6) + kasalanan ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - kasalanan 2 (x - π / 6) \u003d

Kasalanan 2x - (kasalanan (2x + π / 3) + kasalanan (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Samakatuwid, sa bisa ng pamantayan ng pagpapanatili ng isang pagpapaandar na naiiba sa isang agwat, napagpasyahan namin iyon

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Sagot: A \u003d 3/4 para sa x € R.

Ang mga pangunahing pamamaraan ng pagpapatunay ng mga trigonometric na pagkakakilanlan ay:

at) binabawasan ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan sa kanan sa pamamagitan ng naaangkop na mga pagbabago;
b) pagbawas ng kanang bahagi ng pagkakakilanlan sa kaliwa;
sa) pagbawas ng kanan at kaliwang panig ng pagkakakilanlan sa parehong uri;
d) binabawasan hanggang zero ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakakilanlan na napatunayan.

Halimbawa 4.

Suriin ang cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Desisyon.

Ang pagbabago sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito ayon sa kaukulang mga formula ng trigonometric, mayroon tayo

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Ang kanang bahagi ng pagkakakilanlan ay nabawasan sa kaliwa.

Halimbawa 5.

Patunayan na ang kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2 kung ang α, β, γ ay panloob na mga anggulo ng ilang tatsulok.

Desisyon.

Isinasaalang-alang na ang α, β, γ ay ang mga panloob na anggulo ng ilang tatsulok, nakukuha natin iyon

α + β + γ \u003d π at samakatuwid γ \u003d π - α - β.

kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

Kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + (kasalanan 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Pinatunayan ang orihinal na pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 6.

Upang patunayan na para sa isa sa mga anggulo α, β, γ ng tatsulok na 60 °, kinakailangan at sapat na kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d 0.

Desisyon.

Ang kondisyon ng problemang ito ay nagpapahiwatig ng katibayan ng kapwa kinakailangan at kasapatan.

Una, pinatunayan namin pangangailangan.

Maaari itong maipakita

kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Samakatuwid, isinasaalang-alang ang cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, makukuha natin na kung ang isa sa mga anggulo α, β o γ ay 60 °, kung gayon

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0 at, samakatuwid, kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d 0.

Patunayan natin ngayon kasapatan tinukoy na kondisyon.

Kung ang kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d 0, kung gayon ang cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, at samakatuwid

alinman sa cos (3α / 2) \u003d 0, o cos (3β / 2) \u003d 0, o cos (3γ / 2) \u003d 0.

Dahil dito,

o 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, ibig sabihin α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

o 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, ibig sabihin β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

o 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

mga yan γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, kung saan k ϵ Z.

Dahil ang α, β, γ ang mga anggulo ng tatsulok, mayroon kaming

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Samakatuwid, para sa α \u003d π / 3 + 2πk / 3 o β \u003d π / 3 + 2πk / 3 o

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 ng lahat kϵZ lamang k \u003d 0 na magkasya.

Kung saan sinusunod ang alinman sa α \u003d π / 3 \u003d 60 °, o β \u003d π / 3 \u003d 60 °, o γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Napatunayan ang pahayag.

May mga katanungan pa ba? Hindi sigurado kung paano gawing simple ang mga trigonometric expression?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.

Mga Seksyon: Matematika

Klase: 11

Aralin 1

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Pagpapasimple ng mga expression na trigonometric.

Paglutas ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric. (2 oras)

Mga Layunin:

• Upang mapagsamantala, gawing pangkalahatan, palawakin ang kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral na nauugnay sa paglalapat ng mga formula ng trigonometry at ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric.

Kagamitan para sa aralin:

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng organisasyon
2. Pagsubok sa mga laptop. Ang talakayan ng mga resulta.
3. Pinapasimple ang mga expression ng trigonometric
4. Paglutas ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric
5. Pansariling gawain.
6. Buod ng aralin. Paliwanag ng takdang-aralin sa bahay.

1. Sandali ng organisasyon. (2 minuto.)

Binabati ng guro ang madla, inanunsyo ang paksa ng aralin, pinapaalalahanan sila sa gawaing dating ibinigay upang ulitin ang mga formula ng trigonometry, at i-set up ang mga mag-aaral para sa pagsubok.

2. Pagsubok. (15min + 3min na talakayan)

Ang layunin ay upang subukan ang kaalaman ng mga trigonometric na pormula at ang kakayahang mailapat ang mga ito. Ang bawat mag-aaral ay may isang laptop sa kanyang mesa na may isang bersyon ng pagsubok.

Maaaring may maraming mga pagpipilian ayon sa gusto mo, magbibigay ako ng isang halimbawa ng isa sa mga ito:

Opsyon I.

Pasimplehin ang mga expression:

a) pangunahing mga pagkakakilanlang trigonometric

1. kasalanan 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) mga formula ng pagdaragdag

3.sin5x - sin3x;

c) pag-convert ng produkto sa isang kabuuan

6.2sin8y komportable;

d) mga pormula ng doble na anggulo

7.2sin5x cos5x;

e) mga formula ng kalahating anggulo

f) triple formula ng mga anggulo

g) unibersal na pagpapalit

h) pagbaba ng degree

16. cos 2 (3x / 7);

Ang mga mag-aaral sa isang laptop ay nakikita ang kanilang mga sagot sa harap ng bawat formula.

Ang gawain ay agad na nasuri ng computer. Ang mga resulta ay ipinapakita sa isang malaking screen para makita ng lahat.

Gayundin, pagkatapos ng pagtatapos ng gawain, ang mga tamang sagot ay ipinapakita sa mga laptop ng mga mag-aaral. Nakikita ng bawat mag-aaral kung saan nagawa ang pagkakamali at kung anong mga pormula ang kailangan niyang ulitin.

3. Pagpapasimple ng mga expression na trigonometric. (25 min.)

Ang layunin ay suriin, sanayin at pagsamahin ang aplikasyon ng pangunahing mga formula ng trigonometry. Paglutas ng mga problema B7 mula sa pagsusulit.

Sa yugtong ito, ipinapayong hatiin ang klase sa mga pangkat ng malakas (magtrabaho nang nakapag-iisa na may kasunod na pag-verify) at mga mahihinang mag-aaral na nagtatrabaho sa guro.

Takdang-aralin para sa matatag na mga nag-aaral (handa nang paunang naka-print). Ang pangunahing diin ay inilalagay sa mga formula ng pagbawas at dobleng anggulo, ayon sa pagsusulit noong 2011.

Pasimplehin ang mga expression (para sa malakas na mga nag-aaral):

Sa kahanay, gumagana ang guro sa mga mahihinang mag-aaral, tinatalakay at nilulutas ang mga gawain sa screen sa ilalim ng pagdidikta ng mga mag-aaral.

Kalkulahin:

5) kasalanan (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Pasimplehin:

Ito ay ang turn ng talakayan ng mga resulta ng gawain ng malakas na grupo.

Lumilitaw ang mga sagot sa screen, at gayundin, sa tulong ng isang video camera, ang mga gawa ng 5 magkakaibang mag-aaral ay ipinapakita (isang gawain para sa bawat isa).

Nakikita ng mahina na grupo ang kondisyon at pamamaraan ng solusyon. Isinasagawa ang talakayan at pagsusuri. Mabilis itong nangyayari sa paggamit ng mga teknikal na paraan.

4. Solusyon ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric. (30 minuto.)

Ang layunin ay upang ulitin, systematize at gawing pangkalahatan ang solusyon ng pinakasimpleng mga equonometric equation, naitala ang kanilang mga ugat. Solusyon sa problema B3.

Ang anumang equation na trigonometric, kahit paano natin ito malutas, ay hahantong sa pinakasimpleng isa.

Kapag nakumpleto ang takdang-aralin, ang mga mag-aaral ay dapat na iguhit sa pag-record ng mga ugat ng mga equation ng mga espesyal na kaso at ang pangkalahatang form at sa pagpili ng mga ugat sa huling equation.

Malutas ang mga equation:

Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat bilang tugon.

5. Malayang gawain (10 min.)

Ang layunin ay upang subukan ang nakuha kasanayan, makilala ang mga problema, mga pagkakamali at mga paraan upang matanggal ang mga ito.

Inaalok ang magkakaibang antas ng trabaho sa pagpili ng mag-aaral.

Pagpipilian para sa "3"

1) Hanapin ang halaga ng isang expression

2) Pasimplehin ang ekspresyong 1 - kasalanan 2 3α - cos 2 3α

3) Malutas ang equation

Pagpipilian para sa "4"

1) Hanapin ang halaga ng isang expression

2) Malutas ang equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat sa sagot.

Pagpipilian para sa "5"

1) Humanap ng tgα kung

2) Hanapin ang ugat ng equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat sa iyong sagot.

6. Buod ng aralin (5 min.)

Ibinigay ng guro ang katotohanang sa aralin ay inulit at pinagsama nila ang mga formula ng trigonometric, ang solusyon sa pinakasimpleng mga equonometric equation.

Takdang-aralin sa takdang-aralin (handa nang naka-print na batayan nang maaga) na may mga tseke sa susunod na aralin.

Malutas ang mga equation:

9)

10) Ipahiwatig ang pinakamaliit na positibong ugat sa iyong sagot.

Session 2

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric. Pagpili ng mga ugat. (2 oras)

Mga Layunin:

• Upang gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang kaalaman sa paglutas ng mga equonometric equation ng iba`t ibang mga uri.
• Upang maitaguyod ang pag-unlad ng pag-iisip ng matematika ng mga mag-aaral, ang kakayahang obserbahan, ihambing, gawing pangkalahatan, iuri.
• Hikayatin ang mga mag-aaral na pagtagumpayan ang mga paghihirap sa proseso ng aktibidad ng pag-iisip, sa pagpipigil sa sarili, pagsisiyasat sa kanilang mga aktibidad.

Kagamitan para sa aralin: KRMu, mga laptop para sa bawat mag-aaral.

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng organisasyon
2. Pagtalakay d / h at samot. gawa ng huling aralin
3. Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric.
4. Paglutas ng mga equation na trigonometric
5. Pagpili ng mga ugat sa mga equation na trigonometric.
6. Pansariling gawain.
7. Buod ng aralin. Takdang aralin.

1. Sandali ng organisasyon (2 min.)

Binabati ng guro ang madla, inihayag ang paksa ng aralin at ang plano sa trabaho.

2. a) Balik-aral sa takdang-aralin (5 min.)

Ang layunin ay suriin ang pagpapatupad. Ang isang gawain sa tulong ng isang video camera ay ipinapakita sa screen, ang natitira ay pili-pili na nakokolekta para sa tseke ng guro.

b) Pagsusuri sa independiyenteng gawain (3 min.)

Ang layunin ay pag-aralan ang mga pagkakamali, ipahiwatig ang mga paraan upang madaig ang mga ito.

Sa screen, mga sagot at solusyon, ang mga mag-aaral ay paunang nakatalaga sa kanilang trabaho. Ang pagsusuri ay mabilis na umuunlad.

3. Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric (5 min.)

Ang layunin ay maalala ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equonometric equation.

Tanungin ang mga mag-aaral kung anong mga pamamaraan ang alam nila para sa paglutas ng mga equonometric equation. Bigyang-diin na may mga tinatawag na pangunahing (madalas na ginagamit) na pamamaraan:

• variable na kapalit,
• factorization,
• magkakatulad na mga equation,

at may mga inilapat na pamamaraan:

• ayon sa mga formula para sa pag-convert ng isang kabuuan sa isang produkto at isang produkto sa isang kabuuan,
• ng mga formula sa pagbawas ng degree,
• unibersal na pagpapalit ng trigonometric
• pagpapakilala ng isang anggulong pantulong,
• pagpaparami ng ilang function na trigonometric.

Dapat ding alalahanin na ang isang equation ay maaaring malutas sa iba't ibang paraan.

4. Paglutas ng mga equation na trigonometric (30 min.)

Ang layunin ay upang gawing pangkalahatan at pagsamahin ang kaalaman at kasanayan sa paksang ito, upang maghanda para sa desisyon ng C1 mula sa pagsusulit.

Isaalang-alang ko itong kapaki-pakinabang upang malutas ang mga equation para sa bawat pamamaraan kasama ang mga mag-aaral.

Ang mag-aaral ang nagdidikta ng solusyon, ang guro ay nagsusulat sa tablet, ang buong proseso ay ipinapakita sa screen. Papayagan ka nitong mabilis at mahusay na maalala ang dating sakop na materyal.

Malutas ang mga equation:

1) pagbabago ng variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) factoring 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) magkakatulad na mga equation sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) pag-convert ng kabuuan sa produktong cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) pag-convert ng produkto sa kabuuan ng 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) pagbaba ng kapangyarihan sin2x - kasalanan 2 2x + kasalanan 2 3x \u003d 0.5

7) unibersal na trigonometric substitution sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Ang paglutas ng equation na ito, dapat pansinin na ang paggamit ng pamamaraang ito ay humahantong sa isang pagpapaliit ng domain ng kahulugan, dahil ang sine at cosine ay pinalitan ng tg (x / 2). Samakatuwid, bago isulat ang sagot, kailangan mong suriin kung ang mga numero mula sa itinakdang π + 2πn, n Z ay mga kabayo ng equation na ito.

8) pagpapakilala ng isang pandiwang pantulong na anggulo √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) pagpaparami ng ilang trigonometric function na cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Pagpili ng mga ugat ng mga equation na trigonometric (20 min.)

Dahil sa mga kondisyon ng mabangis na kumpetisyon kapag pumapasok sa mga unibersidad, ang paglutas ng isang unang bahagi ng pagsusulit ay hindi sapat, kung gayon ang karamihan sa mga mag-aaral ay dapat magbayad ng pansin sa mga gawain ng pangalawang bahagi (C1, C2, C3).

Samakatuwid, ang layunin ng yugtong ito ng aralin ay upang gunitain ang dati nang pinag-aralan na materyal, upang maghanda para sa paglutas ng problema sa C1 mula sa USE 2011.

Mayroong mga equation na trigonometric kung saan kailangan mong pumili ng mga ugat kapag nagsusulat ng isang sagot. Ito ay dahil sa ilang mga paghihigpit, halimbawa: ang denominator ng maliit na bahagi ay hindi zero, ang ekspresyon sa ilalim ng pantay na ugat ay hindi negatibo, ang ekspresyon sa ilalim ng pag-sign ng logarithm ay positibo, atbp.

Ang mga nasabing equation ay itinuturing na mga equation ng tumaas na pagiging kumplikado at sa bersyon ng USE ay nasa pangalawang bahagi, lalo na C1.

Lutasin ang equation:

Ang maliit na bahagi ay zero kung noon gamit ang bilog ng yunit, pinipili namin ang mga ugat (tingnan ang Larawan 1)

Larawan 1.

nakukuha natin ang x \u003d π + 2πn, n Z

Sagot: π + 2πn, n Z

Sa screen, ang pagpili ng mga ugat ay ipinapakita sa isang bilog sa isang imahe ng kulay.

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, at ang arc ay hindi mawawala ang kahulugan nito. Tapos

Piliin ang mga ugat gamit ang unit circle (tingnan ang Larawan 2)

Figure 2.

5)

Pumunta tayo sa system:

Sa unang equation ng system, ginagawa namin ang pagbabago ng log 2 (sinx) \u003d y, nakukuha namin ang equation pagkatapos , bumalik sa system

piliin ang mga ugat gamit ang yunit ng bilog (tingnan ang Larawan 5),

Larawan 5.

6. Malayang gawain (15 min.)

Ang layunin ay upang pagsamahin at suriin ang paglagom ng materyal, upang makilala ang mga pagkakamali, upang mabalangkas ang mga paraan upang maitama ang mga ito.

Ang trabaho ay inaalok sa tatlong mga bersyon, na inihanda nang maaga sa isang naka-print na batayan, para sa pagpili ng mga mag-aaral.

Maaari mong malutas ang mga equation sa anumang paraan.

Pagpipilian para sa "3"

Malutas ang mga equation:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

Pagpipilian para sa "4"

Malutas ang mga equation:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

Pagpipilian para sa "5"

Malutas ang mga equation:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

2)

7. Buod ng aralin, takdang-aralin (5 min.)

Ang guro ay nagbubuod ng aralin, sa sandaling muling nakakuha ng pansin sa katotohanan na ang trigonometric equation ay maaaring malutas sa maraming mga paraan. Ang pinakamahusay na paraan upang makamit ang mabilis na mga resulta ay ang isa na pinakamahusay na natutunan ng indibidwal na mag-aaral.

Kapag naghahanda para sa pagsusulit, kailangan mong sistematikong ulitin ang mga formula at pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.

Ang takdang-aralin (handa nang maaga sa isang naka-print na batayan) ay ipinamamahagi at mga puna kung paano malutas ang ilang mga equation.

Malutas ang mga equation:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) kasalanan 2 x + kasalanan 2 2x - kasalanan 2 3x - kasalanan 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Pangalawang paaralan

No. 18 "

mga Engels, rehiyon ng Saratov.

Guro sa matematika.

"Mga expression ng Trigonometric at kanilang mga pagbabago"

Panimula ………………………………………………………………………… .... 3

Kabanata 1 Pag-uuri ng mga gawain para sa paggamit ng mga transformations ng trigonometriko expression ............................... ........................ ... 5

1.1. Mga gawain sa pagkalkula mga halaga ng mga trigonometric na expression ……… .5

1.2. Mga gawain para sa pagpapadali ng mga trigonometric expression ... 7

1.3. Mga gawain para sa pag-convert ng mga expression na numerong trigonometric ... ..7

1.4 Mixed asignatura ......................................................... ..... 9

Kabanata 2. Mga aspetong metodolohikal ng samahan ng panghuling paguulit ng paksang "Pagbabago ng mga trigonometric expression" ………………………… 11

2.1 Ang tematikong pag-uulit sa baitang 10 ………………………………………… 11

Pagsubok 1 …………………………………………………………………………… ..12

Pagsubok 2 …………………………………………………………………………… ..13

Pagsubok 3 …………………………………………………………………………… ..14

2.2 Pangwakas na pag-uulit sa baitang 11 …………………………………………… 15

Pagsubok 1 …………………………………………………………………………… ..17

Pagsubok 2 …………………………………………………………………………… ..17

Pagsubok 3 …………………………………………………………………………… ..18

Konklusyon. ………………………………………………………………………… 19 19

Listahan ng mga ginamit na panitikan ……………………………………… .. …… .20

Panimula.

Sa mga kundisyon ngayon, ang pinakamahalagang katanungan ay: "Paano tayo makakatulong na matanggal ang ilang mga puwang sa kaalaman ng mga mag-aaral at maiiwasan sila mula sa mga posibleng pagkakamali sa pagsusulit?" Upang malutas ang isyung ito, kinakailangang maghanap mula sa mga mag-aaral na hindi pormal na paglagom ng materyal na programa, ngunit ang malalim at kamalayan na pag-unawa nito, ang pagbuo ng bilis ng mga kalkulasyon sa bibig at mga pagbabago, pati na rin ang pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga simpleng problema "sa isip." Kinakailangan upang kumbinsihin ang mga mag-aaral na kung mayroon lamang isang aktibong posisyon, sa pag-aaral ng matematika, napapailalim sa pagkuha ng mga praktikal na kasanayan, kasanayan at kanilang paggamit, maaasahan mo ang tunay na tagumpay. Kinakailangan na gamitin ang bawat pagkakataon upang maghanda para sa Unified State Exam, kasama ang mga piling paksa sa mga markang 10-11, na regular na pinag-aaralan ang mga mahirap na gawain sa mga mag-aaral, pinipili ang pinaka-makatuwirang paraan ng paglutas sa mga aralin at karagdagang mga aralin.Positibong resulta samga lugar ng paglutas ng mga tipikal na problema ay maaaring makamit kung ang mga guro sa matematika ay, na lumilikha mahusay na pangunahing pagsasanay ng mga mag-aaral, maghanap ng mga bagong paraan sa paglutas ng mga problema na binuksan sa harap namin, aktibong eksperimento, ilapat ang mga modernong teknolohiyang pedagogical, pamamaraan, pamamaraan na lumilikha ng kanais-nais na mga kondisyon para sa mabisang pagsasakatuparan sa sarili at pagpapasiya sa sarili ng mga mag-aaral sa mga bagong kondisyong panlipunan.

Ang Trigonometry ay isang mahalagang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan. Ang mahusay na kaalaman at matatag na kasanayan sa trigonometry ay katibayan ng isang sapat na antas ng kulturang matematika, isang kailangang-kailangan na kondisyon para sa matagumpay na pag-aaral ng matematika, pisika, isang bilang ng teknikaldisiplina.

Kaugnayan ng trabaho. Ang isang makabuluhang bahagi ng mga nagtapos sa paaralan ay nagpapakita ng bawat taon sa napakahirap na paghahanda sa mahalagang seksyon ng matematika, na pinatunayan ng mga resulta ng mga nakaraang taon (ang porsyento ng pagkumpleto noong 2011 - 48.41%, 2012 - 51.05%), dahil ipinakita ang pagtatasa ng pagpasa sa pinag-isang pagsusulit sa estado na ang mga mag-aaral ay nagkakamali kapag nakumpleto ang mga takdang-aralin ng partikular na seksyon na ito, o hindi na kumuha ng mga naturang takdang-aralin. Sa isa Sa pagsusulit sa estado, ang mga katanungan ng trigonometry ay matatagpuan sa halos tatlong uri ng takdang-aralin. Ito ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric sa gawain B5, at gumagana kasama ang mga trigonometric expression sa gawain B7, at ang pag-aaral ng mga function na trigonometric sa gawain B14, pati na rin ang gawain B12, na mayroong mga formula na naglalarawan sa mga pisikal na phenomena at naglalaman ng mga trigonometric function. At bahagi lamang ito ng mga gawain ni B! Ngunit mayroon ding mga paboritong equation na trigonometric sa pagpili ng mga ugat ng C1, at "hindi masyadong paboritong" mga gawaing geometriko C2 at C4.

Layunin. Pag-aralan ang materyal ng Pinagsamang Estado na Pagsusulit ng mga gawain B7, na nakatuon sa mga pagbabago ng mga expression na trigonometric at inuri ang mga gawain ayon sa anyo ng kanilang pagtatanghal sa mga pagsubok.

Ang gawain ay binubuo ng dalawang mga kabanata, isang pagpapakilala at isang konklusyon. Binibigyang diin ng panimula ang kaugnayan ng trabaho. Ang unang kabanata ay nagbibigay ng isang pag-uuri ng mga gawain para sa paggamit ng mga pagbabago ng mga trigonometric na expression sa mga gawain sa pagsubok ng Unified State Exam (2012).

Sa ikalawang kabanata, ang samahan ng pag-uulit ng paksang "Pagbabago ng mga trigonometric expression" sa 10, 11 mga marka ay isinasaalang-alang at ang mga pagsubok sa paksang ito ay binuo.

Kasama sa listahan ng panitikan ang 17 mapagkukunan.

Kabanata 1. Pag-uuri ng mga gawain para sa paggamit ng mga transformation ng mga trigonometric expression.

Alinsunod sa pamantayan ng pangalawang (kumpleto) na edukasyon at ang mga kinakailangan para sa antas ng pagsasanay ng mga mag-aaral, ang mga gawain para sa kaalaman ng mga pangunahing kaalaman sa trigonometry ay kasama sa mga kinakailangang codifier.

Ang pag-aaral ng mga pangunahing kaalaman ng trigonometry ay magiging pinaka-epektibo kapag:

positibong pagganyak ng mga mag-aaral para sa pag-uulit ng dating pinag-aralan na materyal ay ibibigay;

ang isang diskarte na nakatuon sa personalidad ay ipapatupad sa proseso ng pang-edukasyon;

ang isang sistema ng mga gawain ay mailalapat, na nag-aambag sa pagpapalawak, pagpapalalim, systematization ng kaalaman ng mga mag-aaral;

gagamitin ang mga advanced na teknolohiya sa pagtuturo.

Nasuri ang mga mapagkukunan ng panitikan at Internet para sa paghahanda para sa pagsusulit, iminungkahi namin ang isa sa mga posibleng pag-uuri ng mga gawain B7 (KIM USE 2012-trigonometry): mga gawain para sa pagkalkula halaga ng mga trigonometric expression; takdang aralin para sapag-convert ng mga numerong trigonometric expression; mga gawain para sa pag-convert ng mga expression ng alpabetikong trigonometric; magkahalong gawain.

1.1. Mga gawain sa pagkalkula mga halaga ng trigonometric expression.

Ang isa sa mga pinaka-karaniwang uri ng mga simpleng problema sa trigonometry ay ang pagkalkula ng mga halaga ng mga function na trigonometric ayon sa halaga ng isa sa mga ito:

a) Paggamit ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan at mga kahihinatnan nito.

Halimbawa 1 ... Hanapin kung
at
.

Desisyon.
,
,

Kasi tapos
.

Sagot

Halimbawa 2 ... Hanapin
, kung
at.

Desisyon.
,
,
.

Kasi tapos
.

Sagot ...

b) Paggamit ng mga formula ng doble na anggulo.

Halimbawa 3 ... Hanapin
, kung
.

Desisyon. , .

Sagot
.

Halimbawa 4 ... Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
.

Desisyon. ...

Sagot
.

1. Hanapin , kung
at
... Sagot -0.2

2. Hanapin , kung
at
... Sagot 0,4

3. Hanapin
, kung Sagot -12.884. Hanapin
, kung
... Sagot -0.845. Hanapin ang kahulugan ng expression:
... Sagot 66. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
. Sagot -19

1.2. Mga gawain upang gawing simple ang mga expression na trigonometric. Ang mga pormula sa paghahagis ay dapat na maunawaan nang mabuti ng mga mag-aaral, dahil makakahanap sila ng karagdagang aplikasyon sa mga aralin ng geometry, physics at iba pang mga kaugnay na disiplina.

Halimbawa 5 . Pasimplehin ang mga expression
.

Desisyon. ...

Sagot
.

Mga gawain sa pagtulong sa sarili:

1. Pasimplehin ang ekspresyon
. Sagot 0.62. Hanapin
, kung
at ... Sagot 10.563. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
, kung
. Sagot 2

1.3. Mga gawain para sa pag-convert ng mga expression na numerong trigonometric.

Kapag nagsasanay ng mga kasanayan at kakayahan ng mga gawain para sa pagbabago ng mga numerong trigonometric expression, dapat mong bigyang-pansin ang kaalaman sa talahanayan ng mga halaga ng mga function na trigonometric, ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay at pagiging regular ng mga trigonometric function.

a) Paggamit ng eksaktong mga halaga ng mga function na trigonometric para sa ilang mga anggulo.

Halimbawa 6 ... Kalkulahin
.

Desisyon.
.

Sagot
.

b) Paggamit ng mga katangian ng pagkakapareho pagpapaandar ng trigonometric.

Halimbawa 7 ... Kalkulahin
.

Desisyon. .

Sagot

sa) Paggamit ng mga katangian ng pagiging regularpagpapaandar ng trigonometric.

Halimbawa 8 . Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
.

Desisyon. ...

Sagot
.

Mga gawain sa pagtulong sa sarili:

1. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
. Sagot -40.52. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
. Sagot 17

3. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
. Sagot 6

. Sagot -24
Sagot -64

1.4 Magkahalong takdang-aralin.

Ang form na pagsubok ng sertipikasyon ay may napakahalagang mga tampok, kaya't mahalagang bigyang-pansin ang mga gawaing nauugnay sa paggamit ng maraming mga formula ng trigonometric nang sabay.

Halimbawa 9. Hanapin
, kung
.

Desisyon.
.

Sagot
.

Halimbawa 10 ... Hanapin
, kung
at
.

Desisyon. .

Kasi tapos
.

Sagot
.

Halimbawa 11. Hanapin
, kung

Desisyon. , ,
,
,
,
,
.

Sagot

Halimbawa 12. Kalkulahin
.

Desisyon. .

Sagot
.

Halimbawa 13. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
, kung
.

Desisyon. .

Sagot
.

Mga gawain sa pagtulong sa sarili:

1. Hanapin
, kung
. Sagot -1.75
2. Hanapin
, kung
. Sagot 33. Hanapin
, kung Sagot 0.254. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
, kung
. Sagot 0.35. Hanapin ang kahulugan ng pagpapahayag
, kung
. Sagot lima

Kabanata 2. Mga aspetong pang-metodolohikal ng samahan ng panghuling pag-uulit ng paksang "Pagbabago ng mga ekspresyong trigonometriko."

Ang isa sa pinakamahalagang isyu na nag-aambag sa karagdagang pagtaas ng pagganap ng akademiko, ang nakamit na malalim at pangmatagalang kaalaman sa mga mag-aaral ay ang tanong ng paulit-ulit na dating naipasa na materyal. Ipinapakita ng pagsasanay na mas kapaki-pakinabang na mag-ayos ng isang tematikong pag-uulit sa baitang 10; sa baitang 11 - pangwakas na pag-uulit.

2.1. Tematikong pag-uulit sa baitang 10.

Sa proseso ng pagtatrabaho sa materyal na matematika, ang pag-uulit ng bawat nakumpletong paksa o isang buong seksyon ng kurso ay nagiging lalong mahalaga.

Sa tematikong pag-uulit, ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa ay sistematado sa huling yugto ng daanan nito o pagkatapos ng pahinga.

Para sa pag-uulit na pampakay, ang mga espesyal na aralin ay inilalaan, kung saan ang materyal ng isang paksa ay nakatuon at nabuong pangkalahatan.

Ang pag-uulit sa aralin ay isinasagawa sa pamamagitan ng isang pag-uusap na may malawak na paglahok ng mga mag-aaral sa pag-uusap na ito. Pagkatapos nito, hiniling sa mga mag-aaral na ulitin ang isang tukoy na paksa at binalaan na isagawa ang pagsusulit na gawain.

Ang isang pagsubok sa isang paksa ay dapat isama ang lahat ng mga pangunahing katanungan. Matapos makumpleto ang trabaho, ang mga katangian ng pagkakamali ay sinusuri at ang pag-uulit ay inayos upang maalis ang mga ito.

Para sa mga aralin ng tematikong pag-uulit, nag-aalok kami ng nabuo mga pansubok na papelsa paksang "Conversion ng trigonometric expression."

Pagsubok Blg 1

Bilang ng pagsubok 2

Bilang ng pagsubok 3

Talahanayan ng sagot

Pagsusulit

2.2. Pangwakas na pag-uulit sa baitang 11.

Isinasagawa ang pangwakas na pag-uulit sa huling yugto ng pag-aaral ng mga pangunahing isyu ng kurso sa matematika at isinasagawa sa isang lohikal na koneksyon sa pag-aaral ng materyal na pang-edukasyon para sa seksyon na ito o ng kurso bilang isang buo.

Ang pangwakas na pag-uulit ng materyal sa pagsasanay ay may mga sumusunod na layunin:

1. Pag-aktibo ng materyal ng buong kurso sa pagsasanay upang linawin ang lohikal na istraktura nito at bumuo ng isang sistema sa loob ng mga koneksyon sa paksa at inter-paksa.

2. Pagpapalalim at, kung maaari, pagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral sa mga pangunahing isyu ng kurso sa proseso ng pag-uulit.

Dahil sa sapilitang pagsusulit sa matematika para sa lahat ng nagtapos, ang unti-unting pagpapakilala ng Unified State Exam ay pinipilit ang mga guro na gumawa ng isang bagong diskarte sa paghahanda at paghahatid ng mga aralin, isinasaalang-alang ang pangangailangan upang matiyak na ang lahat ng mga mag-aaral ay master ang pang-edukasyon na materyal sa isang pangunahing antas, pati na rin ang pagkakataon para sa mga nag-uudyok na mag-aaral na interesado sa pagkuha ng mataas na marka para sa pagpasok sa isang unibersidad, pabago-bagong pag-unlad sa mastering ng materyal sa isang advanced at mataas na antas.

Sa mga aralin ng pangwakas na pag-uulit, maaari mong isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain:

Halimbawa 1 . Kalkulahin ang halaga ng pagpapahayag.Desisyon. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Sagot 0.5. Halimbawa 2. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng integer na maaaring kunin ng expression
.

Desisyon. Kasi
maaaring tumagal ng anumang halagang pagmamay-ari ng segment [–1; 1], kung gayon
kumukuha ng anumang halaga ng segment [–0.4; 0.4], samakatuwid. Ang integer na halaga ng ekspresyon ay isa - bilang 4.

Sagot: 4 Halimbawa 3 . Pasimplehin ang ekspresyon
.

Solusyon: Gumamit tayo ng pormula para sa pagtukoy sa kabuuan ng mga cube:. Meron kami

Meron kami:
.

Sagot: 1

Halimbawa 4. Kalkulahin
.

Desisyon. ...

Sagot: 0.28

Para sa mga aralin ng pangwakas na pag-uulit, nag-aalok kami ng mga nabuong pagsusulit sa paksang "Pagbabago ng mga trigonometric expression".

Mangyaring ipasok ang pinakamalaking integer na hindi hihigit sa 1

Konklusyon.

Nagtrabaho sa pamamagitan ng nauugnay na literaturang pang-metodolohikal sa paksang ito, mahihinuha natin na ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga gawaing nauugnay sa mga pagbabago ng trigonometric sa kurso ng matematika sa paaralan ay napakahalaga.

Sa kurso ng gawaing nagawa, ang pag-uuri ng mga gawaing B7 ay natupad. Ang mga formula ng trigonometric na kadalasang ginagamit sa mga CMM ng 2012 ay isinasaalang-alang. Ang mga halimbawa ng mga gawain na may mga solusyon ay ibinigay. Ang mga naiibang pagsusulit ay binuo para sa pag-aayos ng pag-uulit at sistematisasyon ng kaalaman bilang paghahanda sa pagsusulit.

Maipapayo na ipagpatuloy ang gawaing sinimulan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang solusyon ng pinakasimpleng mga equation na trigonometric sa gawain B5, pag-aaral ng mga function na trigonometric sa gawain B14, gawain B12, na naglalaman ng mga formula na naglalarawan sa mga pisikal na phenomena at naglalaman ng mga trigonometric function.

Bilang pagtatapos, nais kong tandaan na ang pagiging epektibo ng pagpasa sa pagsusulit ay higit na natutukoy ng kung gaano kahusay na naayos ang proseso ng paghahanda sa lahat ng antas ng edukasyon, kasama ang lahat ng mga kategorya ng mga mag-aaral. At kung mapangasiwaan natin ang form ng kalayaan, responsibilidad at kahandaan ng mga mag-aaral na magpatuloy sa pag-aaral sa kabuuan ng kanilang kasunod na buhay, hindi lamang natin tutuparin ang pagkakasunud-sunod ng estado at lipunan, ngunit taasan din ang ating sariling pagpapahalaga sa sarili.

Ang pag-uulit ng materyal sa pagtuturo ay nangangailangan ng malikhaing gawain mula sa guro. Dapat siyang magbigay ng isang malinaw na koneksyon sa pagitan ng mga uri ng pag-uulit, magpatupad ng isang malalim na naisip na sistemang pag-uulit. Ang mastering ang sining ng pag-oorganisa ng pag-uulit ay gawain ng guro. Ang lakas ng kaalaman ng mga mag-aaral ay higit sa lahat nakasalalay sa solusyon nito.

Panitikan.

Vygodsky Ya.Ya., Handbook ng elementarya na matematika. -M.: Nauka, 1970.

Mga problema sa pagtaas ng kahirapan sa algebra at mga prinsipyo ng pagtatasa: Teksbuk para sa 10-11 na mga marka ng sekundaryong paaralan / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. - M.: Edukasyon, 1990.

Paglalapat ng pangunahing mga formula ng trigonometric sa pagbabago ng mga expression (ika-10 baitang) // Festival ng mga ideyang pedagogical. 2012-2013.

A.G. Koryanov , Prokofiev A.A. Naghahanda kami ng magagaling na mag-aaral at mahusay na mag-aaral para sa pagsusulit. - M.: Pedagogical University na "Setyembre Una", 2012. - 103 p.

Kuznetsova E.N. Pagpapasimple ng mga expression na trigonometric. Paglutas ng mga equonometric equation ng iba't ibang mga pamamaraan (paghahanda para sa pagsusulit). Ika-11 baitang. 2012-2013.

Kulanin E. D. 3000 Mga Suliranin sa Kumpetisyon sa Matematika. Pang-4 sa kanila., Rev. at idagdag. - M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Mga problemang pampamaraan ng pag-aaral ng trigonometry sa sekundaryong paaralan // Matematika sa paaralan. 2002. Hindi. 6.

Pichurin L.F. Tungkol sa trigonometry at hindi lamang tungkol dito: -M. Edukasyon, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometry sa paaralan: -M. : Pedagogical University "Setyembre Una", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematika. Algebra Simula ng pagsusuri sa matematika. Antas ng profile: aklat-aralin para sa baitang 10 - M.: BINOM. Laboratoryo ng kaalaman, 2007.

Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda para sa pagsusulit.

Paghahanda para sa Pinagsamang Estadong Pagsusulit sa Matematika "Oh, ang trigonometry na ito! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Project "Matematika? Madali !!!"http://www.resolventa.ru/