Ang set equivalence relation ay may mga sumusunod na katangian. Relasyon ng equivalence. Pagkakapantay-pantay at pagkakasunud-sunod na mga relasyon
Anotasyon: Maraming mga bagong konsepto ang inilalarawan, tulad ng ugnayang equivalence, ugnayang partial order, at partial set ng isomorphic. Ang ilang mga theorems sa paksang ito ay napatunayan na may mga detalyadong paliwanag, mga graph at mga halimbawa. Ang isang malaking bilang ng mga halimbawa ng mga bahagyang order ay ibinigay. Ang ilang mga konstruksyon ay inilarawan na nagpapahintulot sa isa na bumuo ng mga order na set mula sa iba. Ang panayam ay nailalarawan sa pamamagitan ng maraming mga gawain para sa independiyenteng solusyon
Pagkakapantay-pantay at pagkakasunud-sunod na mga relasyon
Paalalahanan ka namin binary na relasyon sa isang set ay tinatawag na isang subset; sa halip na 
madalas magsulat.
Tinatawag ang binary relation sa isang set ugnayang katumbas, kung ang mga sumusunod na katangian ay natutugunan:
Ang sumusunod na malinaw ngunit madalas na ginagamit na pahayag ay totoo:
Teorama 11. (a) Kung ang isang set ay nahahati sa isang unyon ng magkahiwalay na mga subset, kung gayon ang kaugnayan na "nakahiga sa parehong subset" ay isang katumbas na ugnayan.
(b) Kahit ano ugnayang katumbas ay nakuha sa inilarawan na paraan mula sa ilang partisyon.
Patunay. Ang unang pahayag ay medyo halata; Magbibigay tayo ng patunay ng pangalawa upang makita kung saan ginagamit ang lahat ng punto ng kahulugan ng equivalence. Kaya, hayaan ang isang katumbas na relasyon. Para sa bawat elemento, isaalang-alang ito equivalence class- ang hanay ng lahat kung saan ay totoo.
Patunayan natin na para sa dalawang magkaibang , ang mga naturang set ay hindi nagsalubong o nagtutugma. Hayaan silang magsalubong, iyon ay, magkaroon ng isang karaniwang elemento. Pagkatapos at , kung saan (symmetry) at (transitivity), pati na rin ang (symmetry). Samakatuwid, para sa alinman sa mga ito ay sumusunod (transitivity) at vice versa.
Ito ay nananatiling tandaan na, dahil sa reflexivity, ang bawat elemento ay kabilang sa klase na tinukoy nito, iyon ay, ang buong hanay ay talagang nahahati sa magkahiwalay na mga klase.
78. Ipakita na ang mga kinakailangan ng symmetry at transitivity ay maaaring palitan ng isa: (habang pinapanatili ang pangangailangan ng reflexivity).
79. Ilang magkakaibang equivalence relations ang umiiral sa set 
?
80. Dalawang equivalence relations ang ibinibigay sa set, na tinutukoy ng at , pagkakaroon at equivalence classes, ayon sa pagkakabanggit. Magiging equivalence relation ba ang intersection nila? Ilang klase kaya siya? Ano ang masasabi mo tungkol sa pagkakaisa ng mga relasyon?
81. (Ramsey's theorem) Ang set ng lahat - elemental na subset ng isang infinite set ay nahahati sa mga klase (, - natural na mga numero). Patunayan mo na meron walang katapusang set, lahat ng elemental na subset na nabibilang sa parehong klase.
(Ito ay malinaw: kung walang katapusang set ay nahahati sa isang may hangganang bilang ng mga klase, pagkatapos ay ang isa sa mga klase ay walang katapusan. Kailan at ang pahayag ay maaaring buuin tulad ng sumusunod: mula sa isang walang katapusan na hanay ng mga tao ay maaaring pumili ng alinman sa walang hanggan maraming magkapares na kakilala o walang hanggan maraming magkapares na estranghero. Ang huling bersyon ng pahayag na ito - na sa alinmang anim na tao ay mayroong tatlong magkapares na kakilala o tatlong magkapares na estranghero - ay isang kilalang problema para sa mga mag-aaral.)
Tinatawag ang set ng equivalence classes salik - marami itinatakda sa pamamagitan ng ugnayang equivalence. (Kung ang kaugnayan ay pare-pareho sa mga karagdagang istruktura sa , makakakuha tayo ng mga pangkat ng kadahilanan, mga singsing ng kadahilanan, atbp.)
Makakatagpo tayo ng mga ugnayang katumbas ng higit sa isang beses, ngunit sa ngayon ang pangunahing paksa natin ay ang mga relasyon sa pagkakasunud-sunod.
Tinatawag ang binary relation sa isang set ugnayang bahagyang pagkakasunud-sunod, kung ang mga sumusunod na katangian ay natutugunan:
(Kasunod ng tradisyon, gumagamit kami ng simbolo (sa halip na isang letra) bilang tanda ng isang ugnayan ng pagkakasunud-sunod.) Ang isang set na may bahagyang pagkakaugnay na pagkakasunod-sunod na ibinigay dito ay tinatawag na bahagyang iniutos.
Sinasabi nila na dalawang elemento bahagyang iniutos set maihahambing, kung o . Tandaan na ang kahulugan ng isang bahagyang pagkakasunud-sunod ay hindi nangangailangan na anumang dalawang elemento ng hanay ay maihahambing. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kinakailangang ito, nakukuha namin ang kahulugan linear order (linearly ordered set).
Narito ang ilang halimbawa ng mga bahagyang order:
- Mga numerical set na may karaniwang ugnayan ng pagkakasunud-sunod (dito ang pagkakasunod-sunod ay magiging linear).
- Sa hanay ng lahat ng mga pares ng tunay na numero maaari naming ipakilala bahagyang pagkakasunud-sunod, isinasaalang - alang na , kung at . Ang order na ito ay hindi na magiging linear: ang mga pares ay hindi maihahambing.
- Sa isang hanay ng mga function na may tunay na mga argumento at mga halaga, maaari kang pumasok bahagyang pagkakasunud-sunod, isinasaalang-alang na kung
sa harap ng lahat. Hindi magiging linear ang order na ito. - Sa hanay ng mga positibong integer, matutukoy natin ang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang na , kung divides . Hindi rin magiging linear ang order na ito.
- Ang kaugnayang "anumang prime divisor ng isang numero ay isa ring divisor ng isang numero" ay hindi magiging isang order relation sa hanay ng mga positive integer (ito ay reflexive at transitive, ngunit hindi antisymmetric).
- Hayaan ay isang arbitrary set. Pagkatapos, sa set ng lahat ng subset ng set, ang inclusion relation ay magiging partial order.
- Sa mga titik ng alpabetong Ruso, tinutukoy ng tradisyon ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod (). Ang pagkakasunud-sunod na ito ay linear - para sa alinmang dalawang titik na masasabi mo kung alin ang mauna (kung kinakailangan, sa pamamagitan ng pagtingin sa diksyunaryo).
- Tinukoy sa mga salita ng alpabetong Ruso leksikograpikal order (tulad ng sa isang diksyunaryo). Maaari itong pormal na tukuyin tulad ng sumusunod: kung ang isang salita ay simula ng salita , kung gayon (halimbawa, ). Kung wala sa mga salita ang simula ng isa pa, tingnan ang unang titik sa pagkakasunud-sunod ng mga salita: kung gayon ang salita kung saan ang titik na ito ay mas maliit sa alpabetikong pagkakasunud-sunod ay magiging mas maliit. Ang pagkakasunud-sunod na ito ay linear din (kung hindi, ano ang gagawin ng mga compiler ng diksyunaryo?).
- Ang pagkakapantay-pantay na ugnayan () ay din ugnayan ng bahagyang pagkakasunud-sunod, kung saan walang dalawang magkaibang elemento ang maihahambing.
- Magbigay tayo ngayon ng pang-araw-araw na halimbawa. Hayaang magkaroon ng maraming mga karton na kahon. Ipakilala natin ang pagkakasunud-sunod dito, isinasaalang-alang na kung ang kahon ay ganap na kasya sa loob ng kahon (o kung at ang parehong kahon). Depende sa hanay ng mga kahon, ang order na ito ay maaaring linear o hindi.
RELASYON
Ang mga relasyon ay mga pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng parehong set, iyon ay, mga sulat na ang mga pangunahing hanay ay nag-tutugma:
x A, y A saloobin Г = ((x,y)| P(x,y)), P(x,y) ilang pahayag (predicate).
Kung (x,y) Г, tapos sasabihin nila yan X ay nasa isang relasyon G Upang sa.
Halimbawa, ang pagkakaroon ng parehong natitira (para sa mga numero), pagiging nasa parehong distansya mula sa isang linya (para sa mga puntos), mga relasyon sa pamilya o mga relasyon sa kapwa (para sa maraming tao).
Mas mahigpit na kahulugan:
Ang binary relation ay dalawang set:
1) pagsuporta sa set A,
2) isang set ng mga pares Г=((x,y)| x A, y A), na isang subset ng square ng supporting set.
Ang ugnayang n-ary, o ugnayang n-ary (ternary, quaternary, ...) ay isang sumusuportang hanay A at mga hanay ng dimensyon ng tuple n, na isang subset ng set Isang n.
Isang halimbawa ng isang ternary na relasyon: pagiging bahagi ng "tatlong manlalaro".
Kung ang isang relasyon ay naiintindihan lamang bilang isang hanay ng mga tuple (nang walang sumusuportang set), kung gayon ang lahat ng mga batas ng set theory ay maaaring gamitin. Ang unibersal na hanay ay ang parisukat ng sumusuportang hanay, iyon ay, ang hanay ng lahat ng posibleng tuple (kapag ang bawat elemento ay nauugnay sa bawat iba pang elemento).
Ang isang relasyon ay maaari ding tukuyin bilang isang dalawang-lugar na panaguri ng mga variable ng bagay x, y, na kumukuha ng halagang "totoo" kung (x, y) G at mali kung hindi pag-aari.
Mga pagtatalaga: (x, y) Г, у = Г(x), у = Гx o simple lang xGu, halimbawa, ang ugnayang pagkakapantay-pantay (x = y), pagkakaugnay-ugnay (X< у) .
Kung (x, y) G, Iyon xGu tumatagal ang halaga na "totoo", kung hindi - "mali".
Kung ang mga relasyon ay tinukoy sa isang discrete set, maaari silang isulat sa anyo ng isang matrix
A i , j = 
Ang isang relasyon ay isang espesyal na kaso ng pagsusulatan; para dito maaari mong ipakilala ang mga kabaligtaran na relasyon, isang komposisyon ng mga relasyon:
Г -1 =((y,x)| (x,y) Г), Г ◦ Δ = ((x,z) | y ((x,y) Г &(y,z Δ))).
Ipinakilala nila ang konsepto ng isang "elemento ng yunit" Δ 0 = ((x,x)) - "na may kaugnayan sa sarili." Sa representasyon ng matrix ito ang magiging pangunahing dayagonal).
Mga katangian ng binary na relasyon
1 Reflexivity – "na may kaugnayan sa sarili"
xGx - totoo(halimbawa, mga relasyon x=x, x≤x, x≥x).
2 Anti-reflexivity - "hindi na may kaugnayan sa sarili"
xGx - kasinungalingan(halimbawa, mga relasyon x≠x, x
Kung ang isang set ay hindi "reflexive", hindi ito nangangahulugan na ito ay "anti-reflexive".
3 Simetrya "pagsasarili kung aling elemento ang una at alin ang pangalawa"
хГу – katotohanan → уГх – katotohanan(halimbawa, mga relasyon x=y, x≠y).
4 Antisymmetry "na hindi hihigit sa"
(xGy – true) at (yGx – true) → (x=y) (halimbawa, mga relasyon x≤y, x≥y).
5 Asymmetry (di-simetrya) "malampasan"
xGy – totoo → yGx – mali (halimbawa, mga relasyon X<у, х>sa).
6. Transitivity "paghawa"
(xГу – totoo) at (yГz – totoo) → (хГz – totoo)(halimbawa, mga relasyon x=y, x<у, х>y, x≤y, x≥y, ugali x≠y ay walang transitivity).
ESPESYAL NA UGNAYAN NG BINARY
Isaalang-alang natin ang "kaugnayang pagkakapantay-pantay", ang "relasyong di-mahigpit na pagkakasunud-sunod", ang "relasyong mahigpit na pagkakasunud-sunod" at ang "relasyong pangingibabaw".
Relasyon ng equivalence
Ang isang katumbas na ugnayan ay isang reflexive(x~x), simetriko ((x~y)=(y~x)), palipat ((x~y)&(y~z)→(x~z)) saloobin.
Mga halimbawa: pagkakapantay-pantay, pagkakakilanlan, pagkakapantay-pantay ng mga hanay, pagkakapantay-pantay ng mga lohikal na pahayag, pagkakatulad ng mga geometric na figure, parallelism ng mga linya, ngunit ang perpendicularity ng mga linya ay hindi isang katumbas na ugnayan.
Ang isang subset ng mga elemento na katumbas ng isang elemento ay tinatawag equivalence class o kaugnay na klase.
Anumang elemento mula sa isang klase ay tinatawag na isang kinatawan ng klase.
Ari-arian.
Ang lahat ng elemento sa klase ay katumbas ng bawat isa.
Ang mga elemento mula sa iba't ibang klase ay hindi katumbas.
Ang isang elemento ay maaari lamang mapabilang sa sarili nitong klase.
Ang buong set ay maaaring katawanin bilang isang unyon ng mga klase.
Kaya, ang isang set ng equivalence classes o isang kumpletong sistema ng mga klase ay bumubuo ng partition ng supporting set. Paalala: ang paghahati sa isang set ay kumakatawan dito bilang magkahiwalay na mga subset.
Index ng partisyon– bilang ng mga equivalence classes.
Factor set patungkol sa ugnayan ng equivalence, ito ang set ng lahat ng klase o kinatawan ng isang klase.
Ang cardinality ng isang factor set ay katumbas ng partition index.
Mag-order ng mga relasyon
Ang kaugnayan ng pagkakasunud-sunod ay tumutukoy sa dalawang uri ng mga relasyon sa binary.
Saloobin maluwag na pagkakasunud-sunod tinatawag na reflexive (x≥x), antisymmetric ((x≤y)&(y≤x)→ (x=y)), palipat ((x≥y)&(y≥z)→(x≥z)) saloobin.
Sabi nila, may loose order ang isang set. Ang mga konsepto ≤ , ≥ ay may mas malawak na kahulugan: walang mas masahol pa - walang mas mahusay, walang mas maaga - walang huli, at iba pa. Sa set theory, isang halimbawa ng hindi mahigpit na pagkakasunud-sunod ay hindi mahigpit na pagsasama (bilang isang subset ng isa pang set0.
Saloobin mahigpit na utos tinatawag na anti-reflexive (((X
((x>y)&(y
Sinasabi nila na ang isang set ay may mahigpit na pagkakasunud-sunod. Sa mga konsepto< , >mayroon silang mas malawak na kahulugan: mas masama ay mas mabuti, mas maaga ay mamaya, at iba pa. Sa set theory, ang isang halimbawa ng mahigpit na pagkakasunud-sunod ay mahigpit na pagsasama (pagiging isang subset ng isa pang set nang hindi katumbas nito).
Nag-order ng mga set
Tinatawag ang set linearly ordered, kung anumang elemento ang maihahambing (iyon ay, sabihin: mas malaki kaysa, mas mababa sa o katumbas ng).
Ang hanay ng mga tunay o integer na numero: mga klasikong halimbawa ng isang nakaayos na hanay.
Kung posible na magtatag ng isang relasyon sa pagkakasunud-sunod sa isang set, ngunit hindi para sa lahat ng mga pares ng mga elemento, kung gayon ang naturang set ay tinatawag bahagyang iniutos.
Ito ay isang set ng mga vector, isang set ng mga kumplikadong numero, set sa set theory. Sa ilang sitwasyon, maaari nating sabihin ang "mas marami ay mas kaunti" o "maging isang superset at isang subset", ngunit hindi sa lahat ng pagkakataon.
Mga kaugnay na kahulugan
Ang set ng lahat ng equivalence classes ay tinutukoy ng .
Mga halimbawa ng ugnayang equivalence
Isang mas kumplikadong halimbawa, ngunit ganap na mahalaga:
Kapag ang isang doktor ay nagrereseta ng isang gamot para sa iyo, talagang ipinapahiwatig niya sa reseta ang klase ng mga katumbas na gamot; hindi siya maaaring magpahiwatig ng isang ganap na tiyak na kopya ng pakete ng mga tablet o ampoules. Yung. Ang lahat ng mga uri ng mga gamot ay nahahati sa mga klase ayon sa mga ugnayang katumbas. Kung hindi dahil sa katotohanang ito, hindi magiging posible ang modernong gamot.
Kaya, ang lahat ng uri ng mga recipe ng salad at cocktail, GOST at classifier ay tumutukoy din sa mahahalagang ugnayan ng pagkakapareho. Ang mga ugnayang equivalence ay pumupuno sa ating buong buhay at hindi isang abstract na libangan para sa mga mathematician.
Factorization ng mga pagmamapa
Ang hanay ng mga equivalence classes na tumutugma sa equivalence relation ay tinutukoy ng simbolo at tinatawag na factor-set medyo . Bukod dito, ang surjective mapping
tinawag natural na pagpapakita(o canonical projection) sa factor set .
Hayaan ang , maging set, maging isang pagmamapa, pagkatapos ay ang binary relation na tinukoy ng panuntunan
ay isang katumbas na ugnayan sa . Sa kasong ito, ang pagmamapa ay nagpapahiwatig ng pagmamapa na tinukoy ng panuntunan
o, ano ang pareho,
.Sa kasong ito lumalabas factorization pagmamapa sa surjective mapping at injective mapping.
Ang mapping factorization ay malawakang ginagamit sa humanities at sa mga lugar ng teknolohiya kung saan hindi posibleng gumamit ng mga numerical value. Nagbibigay-daan sa iyo ang mapping factorization na gawin nang walang mga formula kung saan hindi magagamit ang mga formula. Magbigay tayo ng isang halimbawa na mauunawaan ng sinuman at hindi nangangailangan ng pag-unawa sa kumplikadong simbolismo ng matematika.
Ang iskedyul ng paaralan ay isang tipikal na halimbawa ng factorization. Sa kasong ito, ang hanay ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan, ang hanay ng lahat ng mga asignaturang pang-akademiko, na ibinahagi sa araw ng linggo, na tumutukoy sa oras ng mga klase. Ang mga equivalence classes ay mga klase (mga grupo ng mga mag-aaral). Display – ang iskedyul ng klase na ipinapakita sa mga diary ng mag-aaral. Display - naka-post ang iskedyul ng klase sa lobby ng paaralan. Mayroon ding display dito - mga listahan ng mga klase. Ang halimbawang ito ay napakalinaw na nagpapakita ng mga praktikal na benepisyo ng factorization: imposibleng isipin ang iskedyul ng klase bilang isang talahanayan na sumasalamin sa lahat ng mga mag-aaral ng paaralan nang paisa-isa. Ginawang posible ng factorization na ipakita ang impormasyong kailangan ng mga mag-aaral sa isang compact na form na maginhawa para sa paggamit sa mga sitwasyon kung saan hindi mailalapat ang mga formula.
Gayunpaman, ang mga benepisyo ng factorization ay hindi limitado dito. Pinapayagan ang factorization para sa isang dibisyon ng paggawa sa pagitan ng mga kalahok sa aktibidad: ang punong guro ay gumuhit ng isang iskedyul, at isulat ito ng mga mag-aaral sa kanilang mga talaarawan. Katulad nito, pinapayagan ang factorization ng mga reseta para sa isang dibisyon ng paggawa sa pagitan ng manggagamot, na gumagawa ng diagnosis at nagsusulat ng reseta, at ng parmasyutiko, na nagsisiguro ng pagkakapantay-pantay ng mga iniresetang gamot. Ang apotheosis ng factorization ay ang conveyor belt, na nagpapatupad ng pinakamataas na dibisyon ng paggawa sa pamamagitan ng standardisasyon ng mga bahagi.
Ngunit ang mga benepisyo ng factorization ay hindi limitado dito. Ginawang posible ng factorization upang matiyak ang modularity ng modernong teknolohiya, na nagbibigay dito ng walang uliran na flexibility ng mga function. Maaari mong panatilihin ang lumang SIM card at bumili ng isang ganap na bagong telepono upang makasama nito, o magpasok ng bagong memorya ng video sa iyong lumang computer. Ang lahat ng ito ay flexibility, modularity, na batay sa factorization.
Panitikan
- A. I. Kostrikin, Panimula sa Algebra. M.: Nauka, 1977, 47-51.
- A. I. Maltsev, Algebraic systems, M.: Nauka, 1970, 23-30.
- V. V. Ivanov, Pagsusuri sa matematika. NSU, 2009.
Tingnan din
- Ang kaugnayan ng pagpapaubaya ay isang mahinang anyo ng pagkakapareho.
- Ang equivalence ay isang lohikal na operasyon.
Wikimedia Foundation. 2010.
- Ospital pneumonia
- Mitel
Tingnan kung ano ang "Equivalence relation" sa ibang mga diksyunaryo:
ugnayang katumbas- - Mga paksa sa telekomunikasyon, mga pangunahing konsepto EN equivalence relation... Gabay ng Teknikal na Tagasalin
Uri ng pagkakapantay-pantay na relasyon- isang katumbas na kaugnayan, isang konsepto ng lohika at matematika, na nagpapahayag ng katotohanan ng pagkakaroon ng parehong mga palatandaan (mga katangian) sa iba't ibang mga bagay. Sa paggalang sa mga karaniwang katangian, ang iba't ibang mga bagay na ito ay hindi nakikilala (magkapareho, pantay,... ...
Saloobin ng pagpaparaya- Ang katagang ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Pagpaparaya. Ang ugnayang pagpapaubaya (o simpleng pagpapaubaya) sa isang set ay isang binary relation na nakakatugon sa mga katangian ng reflexivity at symmetry, ngunit hindi kinakailangan... ... Wikipedia
Ratio (matematika)- Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Saloobin. Ang isang relasyon ay isang istrukturang matematikal na pormal na tumutukoy sa mga katangian ng iba't ibang mga bagay at ang kanilang mga relasyon. Ang mga ugnayan ay karaniwang inuuri ayon sa bilang ng mga bagay na iniuugnay... Wikipedia
UGALI- sa lohika, isang bagay na, hindi katulad ng isang ari-arian, ay hindi nagpapakilala sa isang hiwalay na bagay, ngunit isang pares, tatlo, atbp. mga bagay. Ang tradisyunal na lohika ay hindi isinasaalang-alang ang O.; sa modernong lohika ang O. ay isang proposisyonal na function ng dalawa o higit pang mga variable. Binary... Philosophical Encyclopedia
Relasyon ng kagustuhan- sa teorya ng consumer, ito ay isang pormal na paglalarawan ng kakayahan ng mamimili na maghambing (pag-order ayon sa kagustuhan) ng iba't ibang hanay ng mga kalakal (mga hanay ng mamimili). Upang ilarawan ang isang kagustuhang relasyon, hindi kinakailangang sukatin ang kagustuhan... ... Wikipedia
Saloobin (pilosopiko)- Saloobin, isang pilosopiko na kategorya na nagpapahayag ng likas na katangian ng pag-aayos ng mga elemento ng isang tiyak na sistema at ang kanilang pagtutulungan; isang emosyonal-volitional na saloobin ng isang tao patungo sa isang bagay, ibig sabihin, isang pagpapahayag ng kanyang posisyon; paghahambing ng kaisipan ng iba't ibang bagay... ... Great Soviet Encyclopedia
saloobin- Ang RELATIONSHIP ay isang set ng mga inorder n ok na indibidwal (kung saan ang n ay 1), i.e. dalawa, tatlo, atbp. Ang bilang n ay tinatawag na "locality", o "arity", O. at, nang naaayon, nagsasalita sila ng n lokal (n arno) O. Kaya, halimbawa, ang double O. ay tinatawag na... ... Encyclopedia of Epistemology at Philosophy of Science
Saloobin- I Attitude ay isang pilosopiko na kategorya na nagpapahayag ng likas na katangian ng pagsasaayos ng mga elemento ng isang tiyak na sistema at ang kanilang pagtutulungan; isang emosyonal-volitional na saloobin ng isang tao patungo sa isang bagay, ibig sabihin, isang pagpapahayag ng kanyang posisyon; paghahambing ng kaisipan ng iba't ibang...... Great Soviet Encyclopedia
Equivalence class- Ang equivalence relation () sa isang set X ay isang binary relation kung saan natutugunan ang mga sumusunod na kundisyon: Reflexivity: para sa alinmang a sa X, Symmetry: if, then, Transitivity: if... Wikipedia
Mga libro
- Paggawa ng mga desisyon sa pananalapi sa ilalim ng mga kondisyon ng comparative uncertainty: Monograph, Bayuk O.A.. Sa monograph, isang bagong lohikal na diskarte sa paggawa ng desisyon kapag pumipili sa pagitan ng mga bagay na walang kapantay ay binuo at theoretically substantiated, na nagtatatag ng isang espesyal na relasyon ng kagustuhan at...
I. Dibisyon sa mga klase. Relasyon ng equivalence
Kahulugan 2.1. Tawagin natin ang mapagpapalit na iyon at ang mga bagay lamang ng isang ibinigay na set M na may parehong hanay ng mga pormal na tampok na mahalaga sa isang partikular na sitwasyon.
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng M x ang hanay ng lahat ng mga bagay na maaaring palitan ng bagay na x. Malinaw na ang x M x at ang unyon ng lahat ng M x (para sa lahat ng posibleng x mula sa M) ay tumutugma sa kumpletong set M:
Magpanggap na tayo. Nangangahulugan ito na mayroong ilang elementong z tulad na ito ay sabay-sabay na nabibilang sa at at. Kaya ang x ay mapagpapalit sa z at z ay mapapalitan ng y. Samakatuwid, ang x ay maaaring palitan ng y, at samakatuwid ay may anumang elemento ng. Sa gayon. Ang reverse switching ay ipinapakita sa parehong paraan. Kaya, ang mga set na nagaganap sa unyon (2.1) ay maaaring hindi nagsalubong o ganap na nag-tutugma.
Kahulugan 2.2. Tatawagin namin ang isang sistema ng mga hindi walang laman na subset (M 1, M 2,….) ng isang set M bilang partition ng set na ito kung
Ang mga set mismo ay tinatawag na partition classes.
Kahulugan 2.3. Ang ugnayang c sa isang set M ay tinatawag na katumbas (o equivalence relation) kung mayroong partition (M 1, M 2,...) ng set M na ang (x, y) ay nagtataglay kung at kung x at y nabibilang sa ilang pangkalahatang klase M i ng isang naibigay na partisyon.
Hayaan ang (M 1 , M 2 ,….) na maging partition ng set M. Batay sa partisyon na ito, tinukoy namin ang kaugnayan mula c hanggang M: (x, y), kung ang x at y ay kabilang sa ilang pangkalahatang klase M i ng partisyon na ito. Malinaw na ang kaugnayan sa ay isang katumbas. Tawagan natin ang katumbas na ugnayan na naaayon sa ibinigay na partisyon.
Kahulugan 2.4. Kung sa bawat subset M i pipiliin natin ang elementong x i na nakapaloob dito, ang elementong ito ay tatawaging pamantayan para sa bawat elemento y na kasama sa parehong set M i . Sa pamamagitan ng kahulugan, ipagpalagay natin na ang kaugnayan c* “na maging isang pamantayan” (x i, y) ay natupad
Madaling makita na ang equivalence c na tumutugma sa isang partition ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod: (z, y) kung ang z at y ay may karaniwang pamantayan (x i, z) at (x i, y).
Halimbawa 2.1: Isaalang-alang bilang M ang set ng mga hindi negatibong integer at kunin ang partition nito sa set M 0 ng even na mga numero at ang set M 1 ng mga kakaibang numero. Ang katumbas na katumbas na ugnayan sa hanay ng mga integer ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
at mababasa ang: n ay maihahambing sa m modulo 2. Natural na pumili ng 0 para sa even na mga numero at 1 para sa mga kakaibang numero bilang mga pamantayan. Katulad nito, ang paghahati ng parehong set M sa k subsets M 0, M 1,... M k-1, kung saan ang M j ay binubuo ng lahat ng mga numero na kapag hinati sa k ay nagbibigay ng natitirang j, nakarating tayo sa equivalence relation:
na humahawak kung ang n at m ay may parehong nalalabi kapag hinati sa k.
Natural na piliin ang katumbas na natitirang j bilang pamantayan sa bawat M j.
II. Factor set
Hayaan ay isang equivalence relation. Pagkatapos, ayon sa theorem, mayroong isang partition (M 1, M 2,....) ng set M sa mga klase ng mga elemento na katumbas ng bawat isa - ang tinatawag na equivalence classes.
Kahulugan 2.5. Ang set ng mga equivalence classes na may kinalaman sa isang relasyon ay tinutukoy ng M/ at binabasa bilang quotient set ng set M na may kinalaman sa isang relasyon.
Hayaan ang μ: M > S na maging surjective mapping ng set M sa ilang set S.
Para sa anumang μ: M > S - surjective mapping mayroong equivalence relation sa set M para mailagay ang M/ at S sa one-to-one na sulat.
III. Mga katangian ng pagkakapareho
Kahulugan 2.6. Ang ugnayang c sa isang set M ay tinatawag na equivalence relation kung ito ay reflexive, simetriko at transitive.
Theorem 2.1: Kung ang isang relasyon c sa isang set M ay reflexive, simetriko at transitive, mayroong partition (M 1 , M 2 ,….) ng set M na ang (x, y) ay humahawak kung at kung x at y nabibilang sa ilang pangkalahatang klase M i ng isang naibigay na partisyon.
Sa kabaligtaran: Kung ang isang partition ay ibinigay (M 1, M 2,....) at ang binary relation c ay ibinigay bilang "napabilang sa pangkalahatang klase ng partition", kung gayon ang c ay reflexive, simetriko at transitive.
Patunay:
Isaalang-alang ang isang reflexive, simetriko at transitive na kaugnayan c sa M. Hayaan para sa anumang binubuo ng lahat ng z kung saan (x, z) c
Lemma 2.1: Para sa alinmang x at y, alinman o
Mula sa lemma at ang reflexivity ng kaugnayan c sumusunod na ang mga set ng form ay bumubuo ng isang partisyon ng set M. (Ang partisyon na ito ay natural na matatawag na partisyon na naaayon sa orihinal na kaugnayan). Hayaan ngayon (x, y) c. Nangangahulugan ito na y. Ngunit gayundin ang x sa bisa ng (x, x) c. Samakatuwid, ang parehong mga elemento ay kasama sa. Kaya, kung (x, y) c, kung gayon ang x at y ay kasama sa pangkalahatang klase ng partisyon. Sa kabaligtaran, hayaan mo at v. Ipakita natin na ang (u, v) c. Sa katunayan, mayroon tayong (x, u) c at (x, v) c. Samakatuwid, sa pamamagitan ng simetrya (u, x) c. Sa pamamagitan ng transitivity, mula sa (u, x) c at (x, v) c ay sumusunod sa (u, v) c. Ang unang bahagi ng teorama ay napatunayan na.
Hayaang magbigay ng partition (M 1, M 2,….) ng set M. ang unyon ng lahat ng klase ng partisyon ay tumutugma sa M, kung gayon ang anumang x ay kasama sa ilang klase. Kasunod nito na (x, x) c, i.e. s - reflexively. Kung ang x at y ay nasa ilang klase, ang y at x ay nasa parehong klase. Nangangahulugan ito na ang (x, y) c ay nagpapahiwatig ng (y, x) c, i.e. simetriko ang relasyon. Hayaan ngayon ang (x, y) c at (y, z) c hold. Nangangahulugan ito na ang x at y ay nasa ilang klase, at ang y at z ay nasa ilang klase. Ang mga klase ay may isang karaniwang elemento y, at samakatuwid ay nag-tutugma. Nangangahulugan ito na ang x at z ay kasama sa klase, i.e. Ang (x, z) ay humahawak at ang ugnayan ay palipat. Ang teorama ay napatunayan.
IV. Mga operasyon sa mga katumbas.
Dito namin tinukoy ang ilang set-theoretic na operasyon sa mga katumbas at ipinakita ang kanilang mahahalagang katangian nang walang patunay.
Alalahanin na ang isang relasyon ay isang pares (), kung saan ang M ay ang set ng mga elemento na pumapasok sa relasyon, at ang set ng mga pares kung saan ang relasyon ay nasiyahan.
Kahulugan 2.7. Ang intersection ng mga relasyon (c 1, M) at (c 2, M) ay ang ugnayang tinukoy ng intersection ng mga kaukulang subset. (x, y) na may 1 na may 2 kung at lamang kung (x, y) na may 1 at (x, y) na may 2 sa parehong oras.
Theorem 2.2: Ang intersection ng equivalence with 1 with 2 with 1 with 2 ay mismong isang equivalence relation.
Kahulugan 2.8. Ang unyon ng mga relasyon (na may 1, M) at (na may 2, M) ay isang relasyon na tinukoy ng unyon ng mga kaukulang subset. (x, y) na may 1 na may 2 kung at lamang kung (x, y) na may 1 o (x, y) na may 2.
Theorem 2.3: Upang ang unyon ng mga equivalence na may 1 at 2 ay maging isang equivalence relation sa sarili nito, ito ay kinakailangan at sapat na
mula sa 1 mula sa 2 = mula sa 1 mula sa 2
Kahulugan 2.9. Ang direktang kabuuan ng mga relasyon (c 1, M 1) at (c 2, M 2) ay tinatawag na ratio). Ang direktang kabuuan ay tinutukoy (c 1, M 1) (c 2, M 2).
Kaya, kung (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), kung gayon M =.
Theorem 2.4: Kung, at ang mga relasyon ay katumbas, kung gayon ang direktang kabuuan ng mga relasyon (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), ay isang katumbas din.
V. Mga uri ng relasyon
Ipakilala natin ang ilang mas mahalagang uri ng mga relasyon. Ang mga halimbawa ay ibibigay sa ikatlong kabanata.
Kahulugan 2.10. Ang ugnayang c sa isang set M ay tinatawag na tolerance kung ito ay reflexive at simetriko.
Kahulugan 2.11. Ang ugnayang c sa isang set M ay tinatawag na relasyon ng mahigpit na pagkakasunud-sunod kung ito ay anti-reflexive at transitive.
Kahulugan 2.12. Ang isang mahigpit na ugnayan ng pagkakasunud-sunod c ay tinatawag na isang perpektong mahigpit na pagkakasunud-sunod kung para sa alinmang pares ng mga elementong x at y mula sa M alinman sa (x, y) o (y, x) ay totoo
Kahulugan 2.13. Ang isang kaugnayan c sa isang set M ay tinatawag na isang kaugnayan ng hindi mahigpit na pagkakasunud-sunod kung maaari itong katawanin sa anyo:
kung saan mayroong isang mahigpit na pagkakasunud-sunod sa M, at ang E ay isang diagonal na relasyon.
Lecture 22. Equivalence at order relations sa isang set
1. Relasyon ng equivalence. Ang koneksyon sa pagitan ng equivalence relation at ang partition ng isang set sa mga klase.
2. Kaugnayan ng kaayusan. Mahigpit at hindi mahigpit na mga relasyon sa pagkakasunud-sunod, mga ugnayang linear order. Pag-order ng mga set.
3. Pangunahing konklusyon
Tingnan natin ang hanay ng mga fraction X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) pagkakapantay-pantay na ugnayan. Ang kaugnayang ito:
Reflexively, dahil ang bawat fraction ay katumbas ng sarili nito;
Symmetrically, dahil mula sa katotohanan na ang fraction m/n katumbas ng isang fraction p/q, ito ay sumusunod na ang fraction p/q katumbas ng isang fraction m/n;
Palipat, dahil mula sa katotohanan na ang fraction m/n katumbas ng isang fraction p/q at fraction p/q katumbas ng isang fraction r/s, ito ay sumusunod na ang fraction m/n katumbas ng isang fraction r/s.
Ang kaugnayan ng pagkakapantay-pantay ng mga praksyon ay sinasabing ugnayang katumbas.
Kahulugan. Ang ugnayang R sa isang set X ay tinatawag na equivalence relation kung ito ay may mga katangian ng reflexivity, symmetry at transitivity nang sabay-sabay.
Ang mga halimbawa ng equivalence relations ay ang equality relations ng geometric figures, ang parallelism relation ng mga linya (sa kondisyon na ang mga coinciding lines ay itinuturing na parallel).
Bakit ang ganitong uri ng relasyon ay natutukoy sa matematika? Isaalang-alang ang kaugnayan ng pagkakapantay-pantay ng mga fraction na tinukoy sa set X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (Larawan 106). Nakita namin na ang set ay nahahati sa tatlong subset: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). Ang mga subset na ito ay hindi nagsalubong, at ang kanilang unyon ay nag-tutugma sa set X, mga. may partition kami ng set X sa mga klase. Hindi ito nagkataon.
sa lahat, kung ang isang katumbas na ugnayan ay ibinibigay sa isang set X, pagkatapos ay bumubuo ito ng isang partition ng set na ito sa magkapares na magkahiwalay na mga subset (mga klase ng equivalence).
Kaya, itinatag namin na ang kaugnayan ng pagkakapantay-pantay sa isang hanay ng mga praksyon (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) ay tumutugma sa pagkahati ng set na ito sa mga klase ng equivalence , na ang bawat isa ay binubuo ng pantay na mga fraction sa kanilang mga sarili.
Totoo rin ang kabaligtaran: kung ang anumang relasyon na tinukoy sa isang set X ay bumubuo ng isang partition ng set na ito sa mga klase, kung gayon ito ay isang katumbas na relasyon.
Isaalang-alang, halimbawa, sa set X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) ang kaugnayang “magkaroon ng parehong nalalabi kapag hinati sa 3.” Bumubuo ito ng partition ng set X sa mga klase: isasama ng isa ang lahat ng mga numero na kapag hinati sa 3 ay nag-iiwan ng natitirang 0 (ito ang mga numero 3, 6, 9), ang pangalawa - mga numero na kapag hinati sa 3 ay nag-iiwan ng natitirang 1 (ito ang mga numero 1, 4 , 7 , 10), at sa pangatlo - lahat ng mga numero, kapag hinati sa 3 ang natitira ay 2 (ito ang mga numero 2, 5, 8). Sa katunayan, ang mga resultang subset ay hindi nagsalubong at ang kanilang unyon ay nag-tutugma sa set X. Dahil dito, ang kaugnayan "ay may parehong natitira kapag hinati sa 3" na tinukoy sa set X, ay isang katumbas na ugnayan. Tandaan na ang pahayag tungkol sa relasyon sa pagitan ng katumbas na relasyon at ang paghahati ng isang set sa mga klase ay nangangailangan ng patunay. Ibinababa namin ito. Sabihin na lang natin na kung ang isang equivalence relation ay may pangalan, ang katumbas na pangalan ay ibibigay sa mga klase. Halimbawa, kung ang isang pagkakapantay-pantay na ugnayan ay tinukoy sa isang hanay ng mga segment (at ito ay isang katumbas na ugnayan), kung gayon ang hanay ng mga segment ay nahahati sa mga klase ng pantay na mga segment (tingnan ang Fig. 99). Ang pagkakatulad na kaugnayan ay tumutugma sa pagkahati ng isang hanay ng mga tatsulok sa mga klase ng magkatulad na tatsulok.
Kaya, ang pagkakaroon ng katumbas na kaugnayan sa isang tiyak na hanay, maaari nating hatiin ang set na ito sa mga klase. Ngunit maaari mo ring gawin ang kabaligtaran: hatiin muna ang set sa mga klase, at pagkatapos ay tukuyin ang isang katumbas na relasyon, isinasaalang-alang na ang dalawang elemento ay katumbas kung at kung sila ay kabilang sa parehong klase ng partisyon na pinag-uusapan.
Ang prinsipyo ng paghahati ng set sa mga klase gamit ang ilang equivalence relation ay isang mahalagang prinsipyo ng matematika. Bakit?
Una, katumbas - nangangahulugan ito ng katumbas, mapagpapalit. Samakatuwid, ang mga elemento ng parehong equivalence class ay mapagpapalit. Kaya, ang mga fraction na nasa parehong equivalence class (1/2, 2/4, 3/6) ay hindi nakikilala mula sa punto ng view ng pagkakapantay-pantay, at ang fraction na 3/6 ay maaaring palitan ng isa pa, halimbawa 1 /2. At ang kapalit na ito ay hindi magbabago sa resulta ng mga kalkulasyon.
Pangalawa, dahil sa klase ng equivalence ay may mga elemento na hindi nakikilala mula sa punto ng view ng ilang kaugnayan, naniniwala kami na ang equivalence class ay tinutukoy ng alinman sa mga kinatawan nito, i.e. isang arbitrary na elemento ng klase na ito. Kaya, anumang klase ng pantay na fraction ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagtukoy ng anumang fraction na kabilang sa klase na ito. Ang pagtukoy ng equivalence class ng isang kinatawan ay nagpapahintulot, sa halip na lahat ng elemento ng set, na pag-aralan ang isang set ng mga indibidwal na kinatawan mula sa equivalence classes. Halimbawa, ang equivalence relation "upang magkaroon ng parehong bilang ng vertices," na tinukoy sa isang set ng polygons, ay bumubuo ng partition ng set na ito sa mga klase ng triangles, quadrangles, pentagons, atbp. Ang mga katangiang likas sa isang partikular na klase ay isinasaalang-alang sa isa sa mga kinatawan nito.
Pangatlo, ang paghahati ng isang set sa mga klase gamit ang isang katumbas na ugnayan ay ginagamit upang ipakilala ang mga bagong konsepto. Halimbawa, ang konsepto ng isang "bundle ng mga linya" ay maaaring tukuyin bilang na karaniwan sa mga parallel na linya.
Sa pangkalahatan, ang anumang konsepto kung saan nagpapatakbo ang isang tao ay kumakatawan sa isang tiyak na klase ng pagkakapareho. "Table", "bahay", "libro" - lahat ng mga konseptong ito ay mga pangkalahatang ideya tungkol sa maraming partikular na bagay na may parehong layunin.
Ang isa pang mahalagang uri ng relasyon ay pagkakasunud-sunod ng mga relasyon.
Kahulugan. Ang isang ugnayang R sa isang set X ay tinatawag na ugnayan ng pagkakasunud-sunod kung ito ay may mga katangian ng antisymmetry at transitivity nang sabay-sabay. .
Kabilang sa mga halimbawa ng mga ugnayan ng pagkakasunud-sunod ang: ang ugnayang “mas mababa sa” sa hanay ng mga natural na numero; ang kaugnayan ay "mas maikli" sa isang hanay ng mga segment, dahil ang mga ito ay antisymmetric at transitive.
Kung ang isang relasyon sa pagkakasunud-sunod ay mayroon ding pag-aari ng pagiging konektado, kung gayon ito ay sinasabing isang relasyon linear order.
Halimbawa, ang ugnayang "mas mababa sa" sa hanay ng mga natural na numero ay isang kaugnayan ng linear na pagkakasunud-sunod, dahil mayroon itong mga katangian ng antisymmetry, transitivity at pagkakakonekta.
Kahulugan. Ang isang set X ay tinatawag na ordered kung ito ay may kaugnayan sa pagkakasunud-sunod.
Kaya, ang set N ng mga natural na numero ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagtukoy ng "mas mababa sa" kaugnayan dito.
Kung ang isang ugnayan ng order ay tinukoy sa isang set X, ay may ari-arian ng pagiging konektado, pagkatapos ay sinasabi namin iyon linearly order nito isang grupo ng X.
Halimbawa, ang hanay ng mga natural na numero ay maaaring i-order gamit ang parehong "mas mababa sa" na ugnayan at ang "maramihang" na ugnayan - pareho ang mga ito ay mga ugnayan sa pagkakasunud-sunod. Ngunit ang "mas mababa sa" relasyon, hindi tulad ng "maramihang" relasyon, ay mayroon ding pag-aari ng pagkakakonekta. Nangangahulugan ito na ang ugnayang "mas mababa sa" ay nag-uutos ng hanay ng mga natural na numero nang linearly.
Hindi dapat isipin ng isang tao na ang lahat ng mga relasyon ay nahahati sa mga relasyon ng pagkakapantay-pantay at mga relasyon ng kaayusan. Mayroong isang malaking bilang ng mga relasyon na hindi katumbas ng relasyon o pagkakasunud-sunod.
