Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy.
Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Sa artikulong ito, titingnan natin ang dalawa pang karaniwang gawain na kadalasang matatagpuan sa mga pagsusulit sa mas mataas na matematika. Upang matagumpay na makabisado ang materyal, kailangan mong makahanap ng mga derivative kahit man lang sa isang intermediate na antas. Maaari mong matutunang maghanap ng mga derivative mula sa simula sa dalawang pangunahing aralin at Derivative ng isang kumplikadong function. Kung okay ang iyong differentiation skills, then let's go.

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy

O, sa madaling salita, ang derivative ng isang implicit function. Ano ang isang implicit function? Alalahanin muna natin ang mismong kahulugan ng isang function ng isang variable:

Single variable function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat halaga ng independiyenteng variable ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function.

Ang variable ay tinatawag malayang baryabol o argumento.
Ang variable ay tinatawag dependent variable o function .

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga function na tinukoy sa tahasan anyo. Ano ang ibig sabihin nito? Magsagawa tayo ng isang debriefing gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Isaalang-alang ang function

Nakita namin na sa kaliwa mayroon kaming nag-iisang "manlalaro", at sa kanan - "X's" lang. Iyon ay, ang pag-andar tahasan ipinahayag sa pamamagitan ng malayang baryabol.

Tingnan natin ang isa pang function:

Ito ay kung saan ang mga variable ay halo-halong up. At saka imposible sa anumang paraan ipahayag ang "Y" lamang sa pamamagitan ng "X". Ano ang mga pamamaraang ito? Paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, pag-alis ng mga ito sa mga bracket, paghagis ng mga salik ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp. Isulat muli ang pagkakapantay-pantay at subukang ipahayag ang "y" nang tahasan: . Maaari mong i-twist at iikot ang equation nang maraming oras, ngunit hindi ka magtatagumpay.

Hayaan akong ipakilala sa iyo: – halimbawa implicit function.

Sa kurso ng mathematical analysis napatunayan na ang implicit function umiiral(gayunpaman, hindi palaging), mayroon itong graph (tulad ng isang "normal" na function). Ang implicit function ay eksaktong pareho umiiral first derivative, second derivative, atbp. Tulad ng sinasabi nila, ang lahat ng karapatan ng mga sekswal na minorya ay iginagalang.

At sa araling ito matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Hindi naman ganoon kahirap! Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay nananatiling may bisa. Ang pagkakaiba ay nasa isang kakaibang sandali, na titingnan natin ngayon.

Oo, at sasabihin ko sa iyo ang mabuting balita - ang mga gawain na tinalakay sa ibaba ay isinasagawa ayon sa isang medyo mahigpit at malinaw na algorithm na walang bato sa harap ng tatlong mga track.

Halimbawa 1

1) Sa unang yugto, ikinakabit namin ang mga stroke sa parehong bahagi:

2) Ginagamit namin ang mga tuntunin ng linearity ng derivative (ang unang dalawang panuntunan ng aralin Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon):

3) Direktang pagkita ng kaibhan.
Kung paano ang pagkakaiba ay ganap na malinaw. Ano ang gagawin kung saan may mga "laro" sa ilalim ng mga stroke?

- hanggang sa punto ng kahihiyan, ang derivative ng isang function ay katumbas ng derivative nito: .

Paano mag-iba
Nandito na tayo kumplikadong pag-andar. Bakit? Tila sa ilalim ng sine ay may isang letra lamang na "Y". Ngunit ang katotohanan ay mayroon lamang isang titik na "y" - AY MISMONG FUNCTION(tingnan ang kahulugan sa simula ng aralin). Kaya, ang sine ay isang panlabas na function at isang panloob na function. Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Pinag-iiba namin ang produkto ayon sa karaniwang tuntunin :

Pakitandaan na – isa ring kumplikadong function, anumang "laro na may mga kampana at sipol" ay isang kumplikadong function:

Ang solusyon mismo ay dapat magmukhang ganito:


Kung mayroong mga bracket, palawakin ang mga ito:

4) Sa kaliwang bahagi kinokolekta namin ang mga terminong naglalaman ng "Y" na may prime. Ilipat ang lahat ng iba pa sa kanang bahagi:

5) Sa kaliwang bahagi ay kinukuha namin ang derivative sa mga bracket:

6) At ayon sa tuntunin ng proporsyon, ibinabagsak namin ang mga bracket na ito sa denominator ng kanang bahagi:

Nahanap na ang derivative. handa na.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang pag-andar ay maaaring muling isulat nang hindi malinaw. Halimbawa, ang function maaaring isulat muli tulad nito: . At ibahin ito gamit ang algorithm na tinalakay lang. Sa katunayan, ang mga pariralang "implicit function" at "implicit function" ay naiiba sa isang semantic nuance. Ang pariralang "implicitly specified function" ay mas pangkalahatan at tama, – ang function na ito ay implicitly na tinukoy, ngunit dito maaari mong ipahayag ang "laro" at ipakita ang function na tahasan. Ang mga salitang "implicit function" ay mas madalas na nangangahulugang "classical" implicit function, kapag ang "laro" ay hindi maipahayag.

Dapat ding tandaan na ang isang "implicit equation" ay maaaring pahiwatig na tumukoy ng dalawa o higit pang mga function nang sabay-sabay, halimbawa, ang equation ng isang bilog ay tuwirang tumutukoy sa mga function , , na tumutukoy sa mga kalahating bilog. Ngunit, sa loob ng balangkas ng artikulong ito, kami ay hindi gagawa ng isang espesyal na pagkakaiba sa pagitan ng mga termino at nuances, ito ay impormasyon lamang para sa pangkalahatang pag-unlad.

Pangalawang solusyon

Pansin! Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa pangalawang paraan kung alam mo kung paano kumpiyansa na maghanap mga partial derivatives. Calculus beginners and dummies, please huwag basahin at laktawan ang puntong ito, kung hindi ay magiging ganap na gulo ang iyong ulo.

Hanapin natin ang derivative ng implicit function gamit ang pangalawang paraan.

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

At isaalang-alang ang isang function ng dalawang variable:

Pagkatapos ang aming derivative ay matatagpuan gamit ang formula
Hanapin natin ang mga partial derivatives:

kaya:

Ang pangalawang solusyon ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng tseke. Ngunit hindi ipinapayong isulat nila ang panghuling bersyon ng takdang-aralin, dahil ang mga partial derivatives ay pinagkadalubhasaan sa ibang pagkakataon, at ang isang mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Derivative ng isang function ng isang variable" ay hindi pa dapat malaman ang mga partial derivatives.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Magdagdag ng mga stroke sa parehong bahagi:

Gumagamit kami ng mga panuntunan sa linearity:

Paghahanap ng mga derivatives:

Pagbubukas ng lahat ng mga bracket:

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, ang natitira sa kanang bahagi:

Panghuling sagot:

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Buong solusyon at sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Karaniwang lumilitaw ang mga fraction pagkatapos ng pagkita ng kaibhan. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong alisin ang mga fraction. Tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Isinama namin ang parehong bahagi sa ilalim ng mga stroke at ginagamit ang linearity rule:

Magkaiba gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient :

Pagpapalawak ng mga bracket:

Ngayon kailangan nating alisin ang fraction. Magagawa ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas makatwiran na gawin ito kaagad. Ang denominator ng fraction ay naglalaman ng . Paramihin sa . Sa detalye, magiging ganito ang hitsura:

Minsan pagkatapos ng pagkita ng kaibhan 2-3 fraction ang lilitaw. Kung mayroon tayong isa pang fraction, halimbawa, kung gayon ang operasyon ay kailangang ulitin - multiply bawat termino ng bawat bahagi sa

Sa kaliwang bahagi ay inilabas namin ito sa mga bracket:

Panghuling sagot:

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang tanging bagay ay bago mo maalis ang fraction, kakailanganin mo munang alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction mismo. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Huwag nating i-stress, ang lahat sa talatang ito ay medyo simple din. Maaari mong isulat ang pangkalahatang formula para sa isang parametrically tinukoy na function, ngunit upang gawing malinaw, agad akong magsusulat ng isang partikular na halimbawa. Sa parametric form, ang function ay ibinibigay ng dalawang equation: . Kadalasan ang mga equation ay nakasulat hindi sa ilalim ng mga kulot na bracket, ngunit sunud-sunod: , .

Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: . O sa mga termino ng tao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng para sa isang "regular" na function, para sa mga American Indian ng isang parametrically tinukoy na function, ang lahat ng mga karapatan ay iginagalang din: maaari kang bumuo ng isang graph, maghanap ng mga derivatives, atbp. Sa pamamagitan ng paraan, kung kailangan mong mag-plot ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function, maaari mong gamitin ang aking programa.

Sa pinakasimpleng mga kaso, posibleng ilarawan nang tahasan ang function. Ipahayag natin ang parameter mula sa unang equation: – at palitan ito sa pangalawang equation: . Ang resulta ay isang ordinaryong cubic function.

Sa mas "malubhang" kaso, hindi gumagana ang trick na ito. Ngunit hindi mahalaga, dahil mayroong isang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang parametric function:

Nahanap namin ang derivative ng "laro na may paggalang sa variable na te":

Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto, natural, para sa titik , kaya, walang bago sa proseso ng paghahanap ng mga derivatives. Itak lang palitan lahat ng "X's" sa table ng letter "Te".

Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te":

Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula:

handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter.

Tulad ng para sa notasyon, sa halip na isulat ito sa pormula, maaari lamang itong isulat nang walang subscript, dahil ito ay isang "regular" na derivative "na may paggalang sa X". Ngunit sa panitikan ay palaging may pagpipilian, kaya hindi ako lilihis sa pamantayan.

Halimbawa 6

Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

kaya:

Ang isang espesyal na tampok ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function ay ang katotohanan na sa bawat hakbang ay kapaki-pakinabang na gawing simple ang resulta hangga't maaari. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, nang makita ko ito, binuksan ko ang mga panaklong sa ilalim ng ugat (bagaman maaaring hindi ko ito nagawa). Malaki ang pagkakataon na kapag pinalitan ang formula, maraming bagay ang mababawasan ng maayos. Bagaman, siyempre, may mga halimbawa na may mga clumsy na sagot.

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Sa artikulo Ang pinakasimpleng karaniwang mga problema sa mga derivatives tumingin kami sa mga halimbawa kung saan kailangan naming hanapin ang pangalawang derivative ng isang function. Para sa isang parametrically tinukoy na function, maaari mo ring mahanap ang pangalawang derivative, at ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula: . Malinaw na para mahanap ang pangalawang derivative, kailangan mo munang hanapin ang unang derivative.

Halimbawa 8

Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically

Una, hanapin natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga praktikal na problema (halimbawa, sa mas mataas na geodesy o analytical photogrammetry), lumilitaw ang mga kumplikadong pag-andar ng ilang mga variable, i.e. mga argumento x, y, z isang function f(x,y,z) ) ay mismong mga function ng mga bagong variable U, V, W ).

Ito, halimbawa, ay nangyayari kapag lumilipat mula sa isang nakapirming coordinate system Oxyz sa mobile system O 0 UVW at likod. Kasabay nito, mahalagang malaman ang lahat ng mga partial derivatives na may kinalaman sa "fixed" - "old" at "moving" - "new" variables, dahil ang mga partial derivatives na ito ay kadalasang nagpapakilala sa posisyon ng isang object sa mga coordinate system na ito. , at, sa partikular, nakakaapekto sa pagsusulatan ng mga aerial na litrato sa isang tunay na bagay . Sa ganitong mga kaso, naaangkop ang mga sumusunod na formula:

Iyon ay, ang isang kumplikadong function ay ibinigay T tatlong "bagong" variable U, V, W sa pamamagitan ng tatlong "lumang" variable x, y, z, Pagkatapos:

Magkomento. Maaaring may mga pagkakaiba-iba sa bilang ng mga variable. Halimbawa: kung

Sa partikular, kung z = f(xy), y = y(x) , pagkatapos ay makuha natin ang tinatawag na "kabuuang hinango" na formula:

Ang parehong formula para sa "kabuuang derivative" sa kaso ng:

kukuha ng form:

Ang iba pang mga pagkakaiba-iba ng mga formula (1.27) - (1.32) ay posible rin.

Tandaan: ang formula na "kabuuang derivative" ay ginagamit sa kursong pisika, seksyong "Hydrodynamics" kapag kinukuha ang pangunahing sistema ng mga equation ng fluid motion.

Halimbawa 1.10. Ibinigay:

Ayon sa (1.31):

§7 Mga partial derivatives ng isang implicitly na ibinigay na function ng ilang variable

Tulad ng nalalaman, ang isang tiyak na tinukoy na function ng isang variable ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang function ng independent variable x ay tinatawag na implicit kung ito ay ibinigay sa pamamagitan ng isang equation na hindi nalutas na may kinalaman sa y :

Halimbawa 1.11.

Ang equation

implicitly na tumutukoy sa dalawang function:

At ang equation

ay hindi tumutukoy sa anumang function.

Theorem 1.2 (pagkakaroon ng implicit function).

Hayaan ang function z =f(x,y) at ang mga partial derivatives nito f" x At f" y tinukoy at tuloy-tuloy sa ilang kapitbahayan U M0 puntos M 0 (x 0 y 0 ) . Bukod sa, f(x 0 ,y 0 )=0 At f"(x 0 ,y 0 )≠0 , pagkatapos ay ang equation (1.33) ay tumutukoy sa kapitbahayan U M0 implicit function y=y(x) , tuloy-tuloy at naiba sa isang tiyak na agwat D nakasentro sa isang punto x 0 , at y(x 0 )=y 0 .

Walang patunay.

Mula sa Theorem 1.2 ito ay sumusunod na sa pagitan na ito D :

ibig sabihin, may pagkakakilanlan sa

kung saan ang "kabuuang" derivative ay matatagpuan ayon sa (1.31)

Ibig sabihin, (1.35) ay nagbibigay ng pormula para sa paghahanap ng derivative ng isang implicitly na ibinigay na function ng isang variable. x .

Ang isang implicit na function ng dalawa o higit pang mga variable ay parehong tinukoy.

Halimbawa, kung sa ilang lugar V space Oxyz ang sumusunod na equation ay humahawak:

pagkatapos ay sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa pag-andar F tahasan itong tumutukoy sa isang function

Bukod dito, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa (1.35), ang mga partial derivatives nito ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Halimbawa 1.12. Ipagpalagay na ang equation

implicitly na tumutukoy sa isang function

hanapin z" x , z" y .

samakatuwid, ayon sa (1.37), nakukuha natin ang sagot.

§8 Mga partial derivatives ng pangalawa at mas mataas na mga order

Depinisyon 1.9 Pangalawang pagkakasunod-sunod na mga partial derivatives ng isang function z=z(x,y) ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Apat sila. Bukod dito, sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa mga function z(x,y) ang pagkakapantay-pantay ay hawak:

Magkomento. Ang mga partial derivatives ng pangalawang order ay maaari ding tukuyin bilang mga sumusunod:

Depinisyon 1.10 Ang mga partial derivative sa ikatlong order ay walo (2 3).

Matututuhan nating maghanap ng mga derivatives ng mga function na tinukoy nang hindi malinaw, iyon ay, tinukoy ng ilang mga equation na nagkokonekta ng mga variable x At y. Mga halimbawa ng mga function na implicit na tinukoy:

,

,

Ang mga derivatives ng mga function na tinukoy nang payak, o mga derivatives ng mga implicit na function, ay matatagpuan nang simple. Ngayon tingnan natin ang kaukulang tuntunin at halimbawa, at pagkatapos ay alamin kung bakit ito kinakailangan sa pangkalahatan.

Upang mahanap ang derivative ng isang function na implicitly na tinukoy, kailangan mong ibahin ang magkabilang panig ng equation na may paggalang sa x. Ang mga terminong iyon kung saan ang X lamang ang naroroon ay magiging karaniwang derivative ng function mula sa X. At ang mga tuntunin sa laro ay dapat na pag-iba-iba gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function, dahil ang laro ay isang function ng X. Upang ilagay ito nang simple, ang nagreresultang derivative ng term na may x ay dapat magresulta sa: ang derivative ng function mula sa y na pinarami ng derivative mula sa y. Halimbawa, ang derivative ng isang term ay isusulat bilang , ang derivative ng isang term ay isusulat bilang . Susunod, mula sa lahat ng ito kailangan mong ipahayag ang "game stroke" na ito at ang nais na derivative ng function na tinukoy nang tahasan ay makukuha. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Halimbawa 1.

Solusyon. Pinag-iiba namin ang magkabilang panig ng equation na may paggalang sa x, sa pag-aakalang i ay isang function ng x:

Mula dito nakukuha natin ang derivative na kinakailangan sa gawain:

Ngayon ay isang bagay tungkol sa hindi maliwanag na pag-aari ng mga pag-andar na tinukoy nang tahasan, at kung bakit kailangan ang mga espesyal na panuntunan para sa kanilang pagkita ng kaibhan. Sa ilang mga kaso, maaari mong tiyakin na ang pagpapalit ng expression sa mga tuntunin ng x sa isang ibinigay na equation (tingnan ang mga halimbawa sa itaas) sa halip na ang laro, ay hahantong sa katotohanan na ang equation na ito ay nagiging isang pagkakakilanlan. Kaya. Ang equation sa itaas ay tahasang tumutukoy sa mga sumusunod na function:

Pagkatapos palitan ang expression para sa squared na laro sa pamamagitan ng x sa orihinal na equation, nakuha namin ang pagkakakilanlan:

.

Ang mga expression na pinalitan namin ay nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng equation para sa laro.

Kung iibahin natin ang katumbas na tahasang pag-andar

pagkatapos ay makukuha natin ang sagot tulad ng sa halimbawa 1 - mula sa isang function na tinukoy nang tahasan:

Ngunit hindi lahat ng function na tinukoy nang tahasan ay maaaring katawanin sa form y = f(x) . Kaya, halimbawa, ang mga implicitly specified function

ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga pag-andar, iyon ay, ang mga equation na ito ay hindi malulutas nang may paggalang sa laro. Samakatuwid, mayroong isang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang function na implicitly na tinukoy, na napag-aralan na namin at patuloy na ilalapat sa iba pang mga halimbawa.

Halimbawa 2. Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay:

.

Ipinapahayag namin ang prime at - sa output - ang derivative ng function na implicitly na tinukoy:

Halimbawa 3. Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay:

.

Solusyon. Pinag-iiba namin ang magkabilang panig ng equation na may paggalang sa x:

.

Halimbawa 4. Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay:

.

Solusyon. Pinag-iiba namin ang magkabilang panig ng equation na may paggalang sa x:

.

Ipinapahayag at nakukuha namin ang derivative:

.

Halimbawa 5. Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay:

Solusyon. Inilipat namin ang mga termino sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi at iniiwan ang zero sa kanan. Pinag-iiba namin ang magkabilang panig ng equation na may paggalang sa x.

Gaya ng nalalaman, ang isang implicitly na ibinigay na function ng isang variable ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang function na y ng independent variable x ay tinatawag na implicit kung ito ay ibinigay ng isang equation na hindi naresolba na may kinalaman sa y:

Halimbawa 1.11.

Ang equation

implicitly na tumutukoy sa dalawang function:

At ang equation

ay hindi tumutukoy sa anumang function.

Theorem 1.2 (pagkakaroon ng implicit function).

Hayaang ang function na z =f(x,y) at ang mga partial derivatives nito na f"x at f"y ay matukoy at tuluy-tuloy sa ilang kapitbahayan UM0 ng point M0(x0y0). Bilang karagdagan, ang f(x0,y0)=0 at f"(x0,y0)≠0, pagkatapos ay tinukoy ng equation (1.33) sa kapitbahayan ng UM0 ang isang implicit function na y= y(x), tuloy-tuloy at naiba sa ilang interval D na may sentro sa puntong x0, at y(x0)=y0.

Walang patunay.

Mula sa Theorem 1.2 sumusunod na sa pagitan na ito D:

ibig sabihin, may pagkakakilanlan sa

kung saan ang "kabuuang" derivative ay matatagpuan ayon sa (1.31)

Ibig sabihin, (1.35) ay nagbibigay ng pormula para sa paghahanap ng derivative ng isang implicitly na ibinigay na function ng isang variable x.

Ang isang implicit na function ng dalawa o higit pang mga variable ay parehong tinukoy.

Halimbawa, kung sa ilang rehiyon V ng Oxyz space ang equation ay mayroong:

pagkatapos ay sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa function F ito implicitly tumutukoy sa function

Bukod dito, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa (1.35), ang mga partial derivatives nito ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Halimbawa 1.12. Ipagpalagay na ang equation

implicitly na tumutukoy sa isang function

hanapin ang z"x, z"y.

samakatuwid, ayon sa (1.37), nakukuha natin ang sagot.

11.Paggamit ng mga partial derivatives sa geometry.

12. Extrema ng isang function ng dalawang variable.

Ang mga konsepto ng maximum, minimum, at extremum ng isang function ng dalawang variable ay katulad ng mga katumbas na konsepto ng function ng isang independent variable (tingnan ang seksyon 25.4).

Hayaang tukuyin ang function na z = ƒ(x;y) sa ilang domain D, point N(x0;y0) О D.

Ang isang punto (x0;y0) ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na z=ƒ(x;y) kung mayroong d-kapitbahayan ng punto (x0;y0) na para sa bawat punto (x;y) ay naiiba sa (xo;yo), mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay na ƒ(x;y) ay nagtataglay<ƒ(хо;уо).

A Ang pinakamababang punto ng function ay tinutukoy sa katulad na paraan: para sa lahat ng mga puntos (x; y) maliban sa (x0; y0), mula sa d-kapitbahayan ng punto (xo; yo) ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

Sa Figure 210: Ang N1 ay ang pinakamataas na punto, at ang N2 ay ang pinakamababang punto ng function na z=ƒ(x;y).

Ang halaga ng function sa punto ng maximum (minimum) ay tinatawag na maximum (minimum) ng function. Ang maximum at minimum ng isang function ay tinatawag na extrema nito.

Tandaan na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang extremum point ng function ay nasa loob ng domain ng kahulugan ng function; maximum at minimum ay may lokal (lokal) na karakter: ang halaga ng function sa punto (x0; y0) ay inihambing sa mga halaga nito sa mga puntong sapat na malapit sa (x0; y0). Sa rehiyon D, ang isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema o wala.

46.2. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum

Isaalang-alang natin ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function.

Theorem 46.1 (mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung sa puntong N(x0;y0) ang differentiable function na z=ƒ(x;y) ay may extremum, ang mga partial derivatives nito sa puntong ito ay katumbas ng zero: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Ayusin natin ang isa sa mga variable. Ilagay natin, halimbawa, y=y0. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng function ƒ(x;y0)=φ(x) ng isang variable, na mayroong extremum sa x = x0. Samakatuwid, ayon sa kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang function ng isang variable (tingnan ang seksyon 25.4), φ"(x0) = 0, i.e. ƒ"x(x0;y0)=0.

Katulad nito, maaari itong ipakita na ƒ"y(x0;y0) = 0.

Sa geometriko, ang mga pagkakapantay-pantay na ƒ"x(x0;y0)=0 at ƒ"y(x0;y0)=0 ay nangangahulugan na sa sukdulang punto ng function na z=ƒ(x;y) ang tangent plane sa ibabaw na kumakatawan sa function ƒ(x;y) ), ay parallel sa Oxy plane, dahil ang equation ng tangent plane ay z=z0 (tingnan ang formula (45.2)).

Z tala. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum sa mga punto kung saan hindi bababa sa isa sa mga bahagyang derivatives ay hindi umiiral. Halimbawa, ang function ay may pinakamataas sa puntong O(0;0) (tingnan ang Fig. 211), ngunit walang mga partial derivatives sa puntong ito.

Ang punto kung saan ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivatives ng function na z ≈ ƒ(x; y) ay katumbas ng zero, ibig sabihin, f"x=0, f"y=0, ay tinatawag na stationary point ng function na z.

Ang mga nakatigil na punto at mga punto kung saan ang hindi bababa sa isang bahagyang derivative ay hindi umiiral ay tinatawag na mga kritikal na punto.

Sa mga kritikal na punto, ang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum o hindi. Ang pagkakapantay-pantay ng mga partial derivatives sa zero ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum. Isaalang-alang, halimbawa, ang function na z = xy. Para dito, ang puntong O(0; 0) ay kritikal (sa ito z"x=y at z"y - x mawala). Gayunpaman, ang function na z=xy ay walang extremum dito, dahil sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng puntong O(0; 0) may mga puntos kung saan ang z>0 (mga puntos ng una at ikatlong quarter) at z< 0 (точки II и IV четвертей).

Kaya, upang mahanap ang extrema ng isang function sa isang partikular na lugar, kinakailangan na isailalim ang bawat kritikal na punto ng function sa karagdagang pananaliksik.

Theorem 46.2 (sapat na kondisyon para sa isang extremum). Hayaang ang function na ƒ(x;y) sa isang nakatigil na punto (xo; y) at ang ilan sa mga kapitbahayan nito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa pangalawang order kasama. Kalkulahin natin sa punto (x0;y0) ang mga halaga A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Tukuyin natin

1. kung Δ > 0, ang function na ƒ(x;y) sa punto (x0;y0) ay may extremum: maximum kung A< 0; минимум, если А > 0;

2. kung Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Sa kaso ng Δ = 0, maaaring mayroong o walang extremum sa punto (x0;y0). Higit pang pananaliksik ang kailangan.

MGA GAWAIN

1.

Halimbawa. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function. Solusyon. Ang unang hakbang ay paghahanap ng domain ng kahulugan ng isang function. Sa aming halimbawa, ang expression sa denominator ay hindi dapat pumunta sa zero, samakatuwid, . Lumipat tayo sa derivative function: Upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function batay sa isang sapat na pamantayan, nilulutas namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa domain ng kahulugan. Gumamit tayo ng generalization ng interval method. Ang tanging tunay na ugat ng numerator ay x = 2, at ang denominator ay napupunta sa zero sa x = 0. Hinahati ng mga puntong ito ang domain ng kahulugan sa mga pagitan kung saan ang derivative ng function ay nagpapanatili ng sign nito. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero. Karaniwan naming tinutukoy ng mga plus at minus ang mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo o negatibo. Ang mga arrow sa ibaba ay schematically na nagpapakita ng pagtaas o pagbaba ng function sa kaukulang agwat. kaya, At . Sa punto x = 2 ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy, kaya dapat itong idagdag sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga pagitan. Sa punto x = 0 hindi tinukoy ang function, kaya hindi namin isasama ang puntong ito sa mga kinakailangang agwat. Nagpapakita kami ng isang graph ng function upang ihambing ang mga resulta na nakuha dito. Sagot: ang pag-andar ay tumataas nang may , bumababa sa pagitan (0; 2] .

2.

Mga halimbawa.

Itakda ang mga pagitan ng convexity at concavity ng isang curve y = 2 – x 2 .

Hahanapin natin y"" at tukuyin kung saan positibo ang pangalawang derivative at kung saan ito negatibo. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. kasi y"" = e x > 0 para sa alinman x, kung gayon ang kurba ay malukong kahit saan.

y = x 3 . kasi y"" = 6x, Iyon y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 sa x> 0. Samakatuwid, kapag x < 0 кривая выпукла, а при x Ang > 0 ay malukong.

3.

4. Ibinigay ang function na z=x^2-y^2+5x+4y, vector l=3i-4j at point A(3,2). Hanapin ang dz/dl (tulad ng pagkakaintindi ko, ang derivative ng function sa direksyon ng vector), gradz(A), |gradz(A)|. Hanapin natin ang mga partial derivatives: z(tungkol sa x)=2x+5 z(tungkol sa y)=-2y+4 Hanapin natin ang mga halaga ng mga derivative sa punto A(3,2): z(may paggalang sa x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(ni y)(3,2)=-2*2+4=0 Mula saan, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivative ng function na z sa direksyon ng vector l: dz/dl=z(sa x)*cosa+z(sa y) *cosb, a, b-angles ng vector l na may mga coordinate axes. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Ang isang function na Z= f(x; y) ay tinatawag na implicit kung ito ay ibinibigay ng equation na F(x,y,z)=0 na hindi nalutas na may kinalaman sa Z. Hanapin natin ang mga partial derivatives ng function na Z na implicitly na ibinigay. Upang gawin ito, pinapalitan ang function na f(x;y) sa equation sa halip na Z, makuha namin ang pagkakakilanlan F(x,y, f(x,y))=0. Ang mga partial derivatives ng isang function na magkaparehong katumbas ng zero na may paggalang sa x at y ay katumbas din ng zero.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (tinuturing na pare-pareho)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xconsidered constant)

saan
At

Halimbawa: Hanapin ang mga partial derivatives ng function na Z na ibinigay ng equation
.

Dito F(x,y,z)=
;
;
;
. Ayon sa mga formula na ibinigay sa itaas mayroon kaming:

At

1. Derivative ng direksyon

Hayaang maibigay ang isang function ng dalawang variable Z= f(x; y) sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong M (x,y). Isaalang-alang ang ilang direksyon na tinukoy ng unit vector
, Saan
(tingnan ang larawan).

Sa isang tuwid na linya na dumadaan sa direksyong ito sa puntong M, kinukuha namin ang punto M 1 (
) upang ang haba
segmentMM 1 ay katumbas ng
. Ang pagtaas ng function na f(M) ay tinutukoy ng kaugnayan, kung saan
konektado ng mga relasyon. Limitasyon ng ratio sa
ay tatawaging derivative ng function
sa punto
patungo sa at italaga .

=

Kung ang function na Z ay naiba sa punto
, pagkatapos ay ang pagtaas nito sa puntong ito na isinasaalang-alang ang mga relasyon para sa
maaaring isulat sa sumusunod na anyo.

paghahati ng dalawang bahagi sa pamamagitan ng

at pumasa sa limitasyon sa
nakakakuha tayo ng formula para sa derivative ng function na Z= f(x; y) sa direksyon:

1. Gradient

Isaalang-alang ang isang function ng tatlong variable
naiba sa isang punto
.

Ang gradient ng function na ito
sa puntong M ay isang vector na ang mga coordinate ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga partial derivatives
Simula ngayon. Upang magpahiwatig ng gradient, gamitin ang simbolo
.
=
.

.Ang gradient ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pinakamabilis na paglaki ng function sa isang naibigay na punto.

Dahil ang unit vector may mga coordinate (
), pagkatapos ay ang itinuro na derivative para sa kaso ng isang function ng tatlong variable ay nakasulat sa form, i.e. ay may formula para sa scalar product ng mga vectors At
. Isulat muli natin ang huling formula gaya ng sumusunod:

, Saan - anggulo sa pagitan ng vector At
. Dahil ang
, pagkatapos ay sumusunod na ang derivative ng function sa direksyon ay tumatagal ng max na halaga sa =0, ibig sabihin. kapag ang direksyon ng mga vectors At
magkatugma. Kung saan
Iyon ay, sa katunayan, ang gradient ng isang function ay nagpapakilala sa direksyon at magnitude ng pinakamataas na rate ng pagtaas ng function na ito sa isang punto.

1. Extremum ng isang function ng dalawang variable

Ang mga konsepto ng max, min, extremum ng isang function ng dalawang variable ay katulad ng mga katumbas na konsepto ng isang function ng isang variable. Hayaang tukuyin ang function na Z= f(x; y) sa ilang domain D, atbp. M
nabibilang sa lugar na ito. Punto M
ay tinatawag na max point ng function na Z= f(x; y) kung mayroong ganoong δ-kapitbahayan ng punto
, na para sa bawat punto mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay
. Ang puntong min ay tinutukoy sa katulad na paraan, tanging ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ang magbabago
. Ang halaga ng function sa puntong max(min) ay tinatawag na maximum (minimum). Ang maximum at minimum ng isang function ay tinatawag na extrema.

1. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum

Teorama:(Mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung sa puntong M
ang differentiable function na Z= f(x; y) ay may extremum, kung gayon ang mga partial derivatives nito sa puntong ito ay katumbas ng zero:
,
.

Patunay: Kapag naayos ang isa sa mga variable na x o y, binabago namin ang Z = f(x; y) sa isang function ng isang variable, para sa labis na kung saan ang mga kundisyon sa itaas ay dapat matugunan. Geometrically pagkakapantay-pantay
At
nangangahulugan na sa sukdulang punto ng function Z= f(x; y), ang tangent plane sa ibabaw na kumakatawan sa function na f(x,y)=Z ay parallel sa OXY plane, dahil ang equation ng tangent plane ay Z = Z 0. Ang punto kung saan ang first-order partial derivatives ng function Z = f (x; y) ay katumbas ng zero, i.e.
,
, ay tinatawag na nakatigil na punto ng function. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum sa mga punto kung saan hindi bababa sa isa sa mga bahagyang derivatives ay hindi umiiral. HalimbawaZ=|-
| ay may max sa puntong O(0,0), ngunit walang derivatives sa puntong ito.

Ang mga nakatigil na punto at mga punto kung saan hindi umiiral ang kahit isang bahagyang derivative ay tinatawag kritikal na puntos. Sa mga kritikal na punto, ang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum o hindi. Ang pagkakapantay-pantay ng mga partial derivatives sa zero ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum. Halimbawa, kapag Z=xy, ang punto O(0,0) ay kritikal. Gayunpaman, ang function na Z=xy ay walang extremum dito. (Dahil sa quarters I at III Z>0, at sa quarters II at IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorama: (Sapat na kondisyon para sa extrema). Hayaan sa isang nakatigil na punto
at sa isang partikular na kapitbahayan ang function na f(x; y) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 2nd order inclusive. Magkalkula tayo sa punto
mga halaga
,
At
. Tukuyin natin

Kung
, extremum sa punto
ito ay maaaring o hindi. Higit pang pananaliksik ang kailangan.