Pagsasama - MT1205: Pagsusuri sa Matematika para sa mga Economist - Business Informatics. Mga pamamaraan para sa pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang function (roots) Integrals ng mga hindi makatwirang function na mga halimbawa

Ang online na calculator na ito ay ginagamit upang kalkulahin ang mga integral ng hindi makatwiran na mga fraction ng form , , .

Hayaan – makatwirang tungkulin ng Ang function na ito, at samakatuwid ang integral nito, ay nabibigyang katwiran sa pamamagitan ng pagpapalit sa x=t r, kung saan ang r ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong r 1, r 2,…, r n. Pagkatapos dx=rt r -1 at sa ilalim ng integral mayroong isang rational function ng t. Katulad nito, kung ang integrand ay isang rational function ng , pagkatapos ay ang integrand function ay rationalized sa pamamagitan ng substitution kung saan ang t ay ang least common multiple ng mga numero r 1 , r 2 ,…, r n . Pagkatapos Substituting sa orihinal na expression, makakakuha tayo ng isang rational function ng t.

Halimbawa. Kalkulahin. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 2 at 3 ay 6. Samakatuwid, ginagawa namin ang kapalit na x = t 6. Pagkatapos dx = 6t 5 dt at

Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar

Halimbawa Blg. 1. Kalkulahin ang tiyak na integral ng isang irrational function:

Solusyon. Integral ng anyong R(x α1, x α2,..., x αk)dx, kung saan ang R ay isang rational function ng x αi, α i =p i /q i - rational fractions (i = 1,2,... , k) , ay binabawasan sa integral ng isang rational function gamit ang substitution x = t q, kung saan ang q ay ang least common multiple (LCM) ng mga denominator ng mga fraction a 1, a 2,..., a k. Sa aming kaso, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, kaya ang hindi bababa sa common multiple ng kanilang mga denominator ay q = LCM(2,3,6) = 6. Ang pagpapalit ng variable na x = t 6 ay humahantong sa ang integral ng fractional rational function, na kinakalkula gaya ng inilarawan sa halimbawa:

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa pagsasama ng mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat) ay ibinigay. Kabilang sa mga ito ang: integration ng linear fractional irrationality, differential binomial, integrals na may square root ng square trinomial. Ang mga pamalit na trigonometric at mga pagpapalit ng Euler ay ibinigay. Isinasaalang-alang ang ilang elliptic integral na ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementary function.

Nilalaman

Integrals mula sa differential binomials

Ang mga integral mula sa differential binomials ay may anyo:
,
kung saan ang m, n, p ay mga rational na numero, a, b ay tunay na mga numero.
Ang ganitong mga integral ay bumababa sa mga integral ng mga rational function sa tatlong kaso.

1) Kung ang p ay isang integer. Pagpapalit x = t N, kung saan ang N ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na m at n.
2) Kung - isang integer. Pagpapalit ng a x n + b = t M, kung saan ang M ang denominator ng numerong p.
3) Kung - isang integer. Pagpapalit ng a + b x - n = t M, kung saan ang M ang denominator ng numerong p.

Sa ibang mga kaso, ang mga naturang integral ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementary function.

Minsan ang gayong mga integral ay maaaring gawing simple gamit ang mga formula ng pagbabawas:
;
.

Mga integral na naglalaman ng square root ng square trinomial

Ang ganitong mga integral ay may anyo:
,
kung saan ang R ay isang rational function. Para sa bawat naturang integral mayroong ilang mga pamamaraan para sa paglutas nito.
1) Ang paggamit ng mga pagbabago ay humahantong sa mas simpleng mga integral.
2) Ilapat ang trigonometriko o hyperbolic na mga pamalit.
3) Ilapat ang mga pamalit na Euler.

Tingnan natin ang mga pamamaraang ito nang mas detalyado.

1) Pagbabago ng integrand function

Ang paglalapat ng formula at pagsasagawa ng algebraic transformations, binabawasan namin ang integrand function sa form:
,
kung saan ang φ(x), ω(x) ay mga rational function.

Uri I

Integral ng form:
,
kung saan ang P n (x) ay isang polynomial ng degree n.

Ang ganitong mga integral ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient gamit ang pagkakakilanlan:

.
Ang pag-iiba ng equation na ito at pag-equate sa kaliwa at kanang panig, makikita natin ang mga coefficient A i.

Uri II

Integral ng form:
,
kung saan ang P m (x) ay isang polynomial ng degree m.

Pagpapalit t = (x - α) -1 ang integral na ito ay nabawasan sa naunang uri. Kung m ≥ n, kung gayon ang fraction ay dapat magkaroon ng integer na bahagi.

III uri

Dito ginagawa namin ang pagpapalit:
.
Pagkatapos nito ang integral ay kukuha ng anyo:
.
Susunod, ang mga constants α, β ay dapat piliin upang ang mga coefficient ng t sa denominator ay magiging zero:
B = 0, B 1 = 0.
Pagkatapos ang integral ay nabubulok sa kabuuan ng mga integral ng dalawang uri:
,
,
na pinagsama sa pamamagitan ng mga pamalit:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Trigonometric at hyperbolic substitutions

Para sa mga integral ng anyo, a > 0 ,
mayroon kaming tatlong pangunahing pamalit:
;
;
;

Para sa mga integral, a > 0 ,
mayroon kaming mga sumusunod na kapalit:
;
;
;

At sa wakas, para sa mga integral, a > 0 ,
ang mga pamalit ay ang mga sumusunod:
;
;
;

3) Mga pagpapalit ng Euler

Gayundin, ang mga integral ay maaaring bawasan sa mga integral ng rational function ng isa sa tatlong Euler substitutions:
, para sa isang > 0;
, para sa c > 0 ;
, kung saan ang x 1 ay ang ugat ng equation na a x 2 + b x + c = 0. Kung ang equation na ito ay may tunay na mga ugat.

Mga elliptic integral

Sa konklusyon, isaalang-alang ang mga integral ng form:
,
kung saan ang R ay isang rational function, . Ang ganitong mga integral ay tinatawag na elliptic. Sa pangkalahatan, ang mga ito ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga pag-andar. Gayunpaman, may mga kaso kapag may mga ugnayan sa pagitan ng mga coefficient A, B, C, D, E, kung saan ang mga naturang integral ay ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya na pag-andar.

Nasa ibaba ang isang halimbawa na nauugnay sa mga reflexive polynomial. Ang pagkalkula ng naturang mga integral ay isinasagawa gamit ang mga pamalit:
.

Halimbawa

Kalkulahin ang integral:
.

Gumawa tayo ng substitution.

.
Dito sa x > 0 (u> 0 ) kunin ang itaas na tanda na ′+′. Sa x< 0 (u< 0 ) - ibabang ′-′.

.

Mga sanggunian:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Tingnan din:

Walang unibersal na paraan upang malutas ang mga hindi makatwirang equation, dahil ang kanilang klase ay naiiba sa dami. Itatampok ng artikulo ang mga katangiang uri ng mga equation na may pagpapalit gamit ang paraan ng pagsasama.

Upang magamit ang direktang paraan ng pagsasama, kinakailangan upang kalkulahin ang mga hindi tiyak na integral ng uri ∫ k x + b p d x , kung saan ang p ay isang rational fraction, ang k at b ay mga real coefficient.

Halimbawa 1

Hanapin at kalkulahin ang mga antiderivatives ng function na y = 1 3 x - 1 3 .

Solusyon

Ayon sa panuntunan ng pagsasama, kinakailangang ilapat ang formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, at ang talahanayan ng mga antiderivative ay nagpapahiwatig na mayroong isang handa na solusyon sa pagpapaandar na ito . Nakukuha namin iyon

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Sagot:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

May mga kaso kung saan posible na gamitin ang paraan ng pag-subsuming ng isang differential sign. Ito ay nalulutas sa pamamagitan ng prinsipyo ng paghahanap ng mga hindi tiyak na integral ng anyong ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , kapag ang halaga ng p ay itinuturing na isang rational fraction.

Halimbawa 2

Hanapin ang di-tiyak na integral ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Solusyon

Tandaan na ang d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Pagkatapos ay kinakailangang isubsume ang differential sign gamit ang mga talahanayan ng antiderivatives. Nakukuha namin iyon

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Sagot:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Ang paglutas ng mga hindi tiyak na integral ay nagsasangkot ng isang pormula ng anyong ∫ d x x 2 + p x + q, kung saan ang p at q ay mga real coefficient. Pagkatapos ay kailangan mong pumili ng isang kumpletong parisukat mula sa ilalim ng ugat. Nakukuha namin iyon

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Ang paglalapat ng formula na matatagpuan sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral, nakukuha namin:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Pagkatapos ay kinakalkula ang integral:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Halimbawa 3

Hanapin ang di-tiyak na integral ng anyong ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Solusyon

Upang makalkula, kailangan mong kunin ang numero 2 at ilagay ito sa harap ng radikal:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Pumili ng isang kumpletong parisukat sa radikal na expression. Nakukuha namin iyon

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Pagkatapos ay kukuha tayo ng di-tiyak na integral ng anyong 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Sagot: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Ang pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar ay isinasagawa sa katulad na paraan. Naaangkop para sa mga function ng form na y = 1 - x 2 + p x + q.

Halimbawa 4

Hanapin ang di-tiyak na integral ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Solusyon

Una kailangan mong kunin ang parisukat ng denominator ng expression mula sa ilalim ng ugat.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Ang table integral ay may anyo na ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, pagkatapos ay makuha natin na ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Sagot:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Ang proseso ng paghahanap ng mga antiderivative irrational function ng form na y = M x + N x 2 + p x + q, kung saan ang mga umiiral na M, N, p, q ay mga real coefficient, at katulad ng pagsasama ng mga simpleng fraction ng ikatlong uri . Ang pagbabagong ito ay may ilang yugto:

pagbubuod ng kaugalian sa ilalim ng ugat, pagbubukod ng kumpletong parisukat ng expression sa ilalim ng ugat, gamit ang mga formula sa tabular.

Halimbawa 5

Hanapin ang mga antiderivatives ng function na y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Solusyon

Mula sa kundisyon mayroon tayong d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x at x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, pagkatapos (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Kalkulahin natin ang integral: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Sagot:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Ang paghahanap para sa mga hindi tiyak na integral ng function na ∫ x m (a + b x n) p d x ay isinasagawa gamit ang paraan ng pagpapalit.

Upang malutas ito ay kinakailangan upang ipakilala ang mga bagong variable:

1. Kapag ang p ay isang integer, kung gayon ang x = z N ay isinasaalang-alang, at ang N ay ang karaniwang denominator para sa m, n.
2. Kapag ang m + 1 n ay isang integer, kung gayon ang a + b x n = z N, at ang N ay ang denominator ng p.
3. Kapag ang m + 1 n + p ay isang integer, kung gayon ang variable na a x - n + b = z N ay kinakailangan, at ang N ay ang denominator ng numerong p.

Halimbawa 6

Hanapin ang tiyak na integral ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Solusyon

Nakukuha natin na ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Kasunod nito na ang m = - 1, n = 1, p = - 1 2, pagkatapos ay ang m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 ay isang integer. Maaari kang magpakilala ng bagong variable ng form - 9 + 2 x = z 2. Kinakailangang ipahayag ang x sa mga tuntunin ng z. Bilang output ay nakukuha natin iyon

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Kinakailangang gumawa ng pagpapalit sa ibinigay na integral. Meron tayo niyan

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Sagot:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Upang gawing simple ang solusyon ng mga hindi makatwirang equation, ginagamit ang mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sa ilalim hindi makatwiran maunawaan ang isang expression kung saan ang independent variable na %%x%% o ang polynomial na %%P_n(x)%% ng degree %%n \in \mathbb(N)%% ay kasama sa ilalim ng sign radikal(mula sa Latin radix- ugat), ibig sabihin. itinaas sa isang fractional na kapangyarihan. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang variable, ang ilang mga klase ng mga integrand na hindi makatwiran na may kinalaman sa %%x%% ay maaaring gawing mga makatwirang expression na may kinalaman sa isang bagong variable.

Ang konsepto ng isang rational function ng isang variable ay maaaring palawigin sa maraming argumento. Kung para sa bawat argument na %%u, v, \dotsc, w%% kapag kinakalkula ang halaga ng isang function, ang mga pagpapatakbo ng aritmetika at pagtaas sa isang integer na kapangyarihan ang ibinibigay, kung gayon ay nagsasalita tayo ng isang rational function ng mga argumentong ito, na kadalasan ay denoted %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Ang mga argumento ng naturang function ay maaaring maging function mismo ng independent variable na %%x%%, kabilang ang mga radical ng anyong %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Halimbawa, ang rational function na $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ na may %%u = x, v = \sqrt(x)%% at %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% ay isang rational function ng $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ mula sa %%x%% at mga radical %%\sqrt(x)%% at %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, habang ang function na %%f(x)%% ay magiging irrational (algebraic) function ng isang independent variable %%x%%.

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Ang mga nasabing integral ay narasyonal sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable na %%t = \sqrt[n](x)%%, pagkatapos ay %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Halimbawa 1

Hanapin ang %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Ang integrand ng ninanais na argumento ay nakasulat bilang isang function ng radicals ng degree %%2%% at %%3%%. Dahil ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng %%2%% at %%3%% ay %%6%%, ang integral na ito ay isang integral ng uri %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% at maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit ng %%\sqrt(x) = t%%. Pagkatapos ay %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Samakatuwid, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Kunin natin ang %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% at $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\kanan) - 6 \ln\kaliwa|\sqrt(x) + 1\kanan| + C \end(array) $$

Ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ay isang espesyal na kaso ng fractional linear irrationalities, i.e. integral ng form na %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kung saan %% ad - bc \neq 0%%, na maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit sa variable na %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Pagkatapos ay $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Halimbawa 2

Hanapin ang %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Kunin natin ang %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Samakatuwid, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga naturang integral ay binabawasan sa mga tabular kung, pagkatapos na ihiwalay ang kumpletong parisukat, isang pagbabago ng mga variable ay ginawa.

Halimbawa 3

Hanapin ang integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Isinasaalang-alang na ang %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kukunin natin ang %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, pagkatapos ay $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kaliwa|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C. \end(array) $$

Sa mas kumplikadong mga kaso, upang mahanap ang mga integral ng form na %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ay ginagamit

Integrals ng form (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - integers). Sa mga integral na ito, ang integrand ay makatwiran na may paggalang sa variable ng integration at ang mga radical ng x. Kinakalkula ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng x=t s, kung saan ang s ay ang karaniwang denominator ng mga fraction, ... Sa ganoong kapalit ng variable, ang lahat ng relasyon = r 1, = r 2, ... ay mga integer, ibig sabihin, ang integral ay nabawasan sa isang rational function ng variable t:

Integrals ng form (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - integers). Ang mga integral na ito ay sa pamamagitan ng pagpapalit:

kung saan ang s ay ang karaniwang denominator ng mga fraction, ..., ay binabawasan sa isang rational function ng variable t.

Integrals ng form Upang kalkulahin ang integral I 1, pumili ng kumpletong parisukat sa ilalim ng radical sign:

at inilapat ang pagpapalit:

Bilang resulta, ang integral na ito ay nabawasan sa isang tabular:

Sa numerator ng integral I 2, ang pagkakaiba ng expression sa ilalim ng radical sign ay nakikilala, at ang integral na ito ay kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang integral:

kung saan ang I 1 ay ang integral na kinakalkula sa itaas.

Ang pagkalkula ng integral I 3 ay nabawasan sa pagkalkula ng integral I 1 sa pamamagitan ng pagpapalit:

Integral ng form Ang mga espesyal na kaso ng pagkalkula ng mga integral ng ganitong uri ay isinasaalang-alang sa nakaraang talata. Mayroong ilang iba't ibang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga ito. Isaalang-alang natin ang isa sa mga diskarteng ito, batay sa paggamit ng mga pamalit na trigonometriko.

Ang square trinomial ax 2 +bx+c sa pamamagitan ng paghihiwalay sa kumpletong parisukat at pagbabago ng variable ay maaaring katawanin sa anyo Kaya, sapat na upang limitahan ang ating sarili sa pagsasaalang-alang sa tatlong uri ng mga integral:

Integral sa pamamagitan ng pagpapalit

u=ksint (o u=kcost)

binabawasan sa integral ng isang rational function na may kinalaman sa sint at gastos.

Mga integral ng anyo (m, n, p є Q, a, b є R). Ang mga integral na isinasaalang-alang, na tinatawag na integral ng isang differential binomial, ay ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga function lamang sa sumusunod na tatlong kaso:

1) kung p є Z, pagkatapos ay inilapat ang pagpapalit:

kung saan ang s ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na m at n;

2) kung Z, pagkatapos ay ginagamit ang pagpapalit:

kung saan s ang denominator ng fraction

3) kung Z, pagkatapos ay inilapat ang pagpapalit:

kung saan s ang denominator ng fraction