Ang mga pagkakakilanlan ng trigonometric ay nagbabago sa expression. Aralin "pinasimple ang mga expression ng trigonometric"

Ang aralin sa video na "Simplification ng Trigonometric Expressions" ay idinisenyo upang mabuo ang mga kakayahan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema sa trigonometriko gamit ang mga pangunahing identipikasyong trigonometriko. Sa kurso ng aralin sa video, ang mga uri ng trigonometric identities, mga halimbawa ng paglutas ng mga problema gamit ang mga ito ay isinasaalang-alang. Sa pamamagitan ng paggamit ng visual aid, mas madali para sa guro na makamit ang mga layunin ng aralin. Ang isang matingkad na pagtatanghal ng materyal ay nakakatulong upang matandaan ang mahahalagang puntos. Ang paggamit ng mga epekto ng animation at pagdudulas posible upang ganap na mapalitan ang guro sa yugto ng pagpapaliwanag ng materyal. Kaya, gamit ang visual aid na ito sa mga aralin sa matematika, maaaring mapataas ng guro ang pagiging epektibo ng pagtuturo.

Sa simula ng aralin sa video, inihayag ang paksa nito. Kung gayon ang mga pagkilala sa trigonometric na nauna nang naalala. Ipinapakita ng screen ang pagkakapantay-pantay na kasalanan 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d kasalanan t / cos t, kung saan t ≠ π / 2 + πk para sa kϵZ, ctg t \u003d cos t / sin t, wastong para sa t ≠ πk, kung saan kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, para sa t ≠ πk / 2, kung saan tinawag ang kϵZ, ang mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko. Nabanggit na ang mga pagkakakilanlan na ito ay madalas na ginagamit sa paglutas ng mga problema kung saan kinakailangan upang patunayan ang pagkakapantay-pantay o gawing simple ang isang expression.

Bukod dito, isinasaalang-alang ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pagkakakilanlan na ito sa paglutas ng mga problema. Una, iminungkahi na isaalang-alang ang solusyon ng mga problema upang gawing simple ang mga expression. Halimbawa 1, kinakailangan upang gawing simple ang expression ng cos 2 t- cos 4 t + kasalanan 4 t. Upang malutas ang halimbawa, ilagay muna ang karaniwang kadahilanan cos 2 t sa labas ng mga bracket. Bilang resulta ng gayong pagbabagong-anyo sa mga panaklong, nakuha ang ekspresyon 1- cos 2 t, ang halaga kung saan mula sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometrya ay pantay sa kasalanan 2 t. Matapos baguhin ang expression, malinaw na ang isang mas karaniwang kadahilanan na kasalanan 2 t ay maaaring maging panaklong, pagkatapos kung saan ang expression ay tumatagal ng form na kasalanan 2 t (kasalanan 2 t + cos 2 t). Mula sa parehong batayang pagkakakilanlan nakuha namin ang halaga ng pagpapahayag sa mga panaklong, na katumbas ng 1. Bilang isang resulta ng pagiging simple, nakakakuha tayo ng cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d kasalanan 2 t.

Halimbawa 2, ang expression cost / (1- sint) + gastos / (1+ sint) ay dapat ding gawing simple. Yamang ang gastos sa pagpapahayag ay nasa mga numero ng parehong mga praksiyon, maaari itong bracket bilang isang karaniwang kadahilanan. Pagkatapos ang mga praksiyon sa mga bracket ay nabawasan sa isang karaniwang denominador sa pamamagitan ng pagdaragdag (1-sint) (1+ sint). Matapos dalhin ang mga naturang term sa numumer ay nananatiling 2, at sa denominator 1 - kasalanan 2 t. Sa kanang bahagi ng screen, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan 2 t + cos 2 t \u003d 1 ay pinaalalahanan. Gamit ito, nahanap namin ang denominator ng fraction cos 2 t. Matapos mabawasan ang maliit na bahagi, nakakakuha kami ng isang pinasimple na form ng gastos sa pagpapahayag / (1- sint) + gastos / (1+ sint) \u003d 2 / gastos.

Karagdagan, ang mga halimbawa ng mga patunay ng pagkakakilanlan ay isinasaalang-alang, kung saan inilalapat ang nakuha na kaalaman tungkol sa mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometrya. Halimbawa 3, kinakailangan upang patunayan ang pagkakakilanlan (tg 2 t-kasalanan 2 t) · ctg 2 t \u003d kasalanan 2 t. Sa kanang bahagi ng screen, tatlong pagkakakilanlan ang ipinapakita na kakailanganin para sa patunay - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t at tg t \u003d kasalanan t / cos t sa mga paghihigpit. Upang mapatunayan ang pagkakakilanlan, ang mga panaklong ay unang pinalawak, pagkatapos kung saan ang isang produkto ay nabuo na sumasalamin sa pagpapahayag ng pangunahing trigonometric pagkakakilanlan tg t · ctg t \u003d 1. Pagkatapos, ayon sa pagkakakilanlan mula sa kahulugan ng cotangent, ang ctg 2 t ay nagbago. Bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakuha ang expression na 1-cos 2 t. Gamit ang pangunahing pagkakakilanlan, nahanap natin ang kahulugan ng ekspresyon. Sa gayon, napatunayan na (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d kasalanan 2 t.

Halimbawa 4, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression tg 2 t + ctg 2 t, kung tg t + ctg t \u003d 6. Upang makalkula ang expression, una sa kanan at kaliwang panig ng pagkakapantay-pantay (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2 ay parisukat. Ang pinaikling formula ng pagpaparami ay kahawig sa kanang bahagi ng screen. Matapos buksan ang mga bracket sa kaliwang bahagi ng expression, ang kabuuan ng tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t nabuo, para sa pagbabagong anyo kung saan ang isa sa mga trigonometrikong pagkakakilanlan tg t · ctg t \u003d 1 ay maaaring mailapat, ang form na kung saan ay naalalahanan sa kanang bahagi ng screen. Matapos ang pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagkakasabay sa kondisyon ng problema, samakatuwid ang sagot ay 34. Nalulutas ang problema.

Ang aralin sa video na "Simplifying Trigonometric Expressions" ay inirerekomenda para magamit sa isang tradisyonal na aralin sa matematika. Gayundin, ang materyal ay magiging kapaki-pakinabang para sa isang guro na isinasagawa ang pagkatuto ng distansya. Upang mabuo ang mga kasanayan sa paglutas ng mga problema sa trigonometriko.

TEXT CODE:

"Pagpapahiwatig ng mga expression na trigonometric."

Pagkakapantay-pantay

1) kasalanan 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sine square te plus cosine square te katumbas ng isa)

2) tgt \u003d, para sa t ≠ + πk, kϵZ (ang tangent te ay pantay sa ratio ng sine te sa cosine te kapag ang pantay ay hindi pantay sa pi ng dalawa plus pi ka, ka ay kabilang sa zet)

3) ctgt \u003d, para sa t ≠ πk, kϵZ (ang cotangent te ay pantay sa ratio ng cosine te sa sine te kapag te ay hindi pantay sa rurok, ang pag-aari sa z).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 para t ≠, kϵZ (ang produkto ng tangent te at ang cotangent te ay pantay sa isa kung ang te ay hindi katumbas ng rurok, na hinati sa dalawa, ka ay kabilang sa z)

ay tinatawag na mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko.

Madalas silang ginagamit upang gawing simple at patunayan ang mga expression na trigonometriko.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito upang gawing simple ang mga expression na trigonometric.

HALIMBAWA 1: Pasimplehin ang expression: cos 2 t - cos 4 t + kasalanan 4 t. (ang ekspresyon ay isang cosine squared at minus ang pang-apat na degree na cosine te kasama ang pang-apat na degree sine te).

Desisyon. cos 2 t - cos 4 t + kasalanan 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + kasalanan 4 t \u003d cos 2 t ∙ kasalanan 2 t + kasalanan 4 t \u003d kasalanan 2 t (cos 2 t + kasalanan 2 t) \u003d kasalanan 2 t 1 \u003d kasalanan 2 t

(kinukuha namin ang karaniwang kadahilanan ng kosine na parisukat sa, sa mga bracket nakuha namin ang pagkakaiba sa pagitan ng yunit at parisukat ng cosine te, na kung saan ay pantay-pantay sa pamamagitan ng unang pagkakakilanlan sa parisukat ng sine te. Nakukuha namin ang kabuuan ng ika-apat na degree na sine te ng produkto kosine square te at sine square te. sa mga panaklong, sa mga panaklong nakuha namin ang kabuuan ng mga parisukat ng kosine at sine, na sa pamamagitan ng pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric ay pantay sa 1. Bilang isang resulta, nakukuha namin ang parisukat ng sine te).

HALIMBAWA 2: Pasimplehin ang expression: +.

(Ang expression ba ay ang kabuuan ng dalawang praksiyon sa numerator ng unang kosina sa denominator isa minus sine te, sa numerator ng pangalawang cosine te sa denominator ang pangalawang yunit kasama ang sine te).

(Alamin natin ang karaniwang kadahilanan na cosine te sa labas ng mga bracket, at sa mga panaklong dalhin natin ito sa karaniwang denominador, na kung saan ay produkto ng isang minus sine te at isang plus sine te.

Sa numerator na nakukuha natin: isa kasama ang sine te kasama ang isang minus sine te, binibigyan namin ng katulad, ang numumer ay pantay sa dalawa pagkatapos ng magkaparehas.

Sa denominador, maaari mong ilapat ang pormula ng pinaikling pagdaragdag (pagkakaiba-iba ng mga parisukat) at makuha ang pagkakaiba sa pagitan ng yunit at parisukat ng sine te, na, ayon sa pangunahing pagkilala sa trigonometriko

ay katumbas ng parisukat ng cosine te. Matapos makansela sa pamamagitan ng cosine te nakakakuha kami ng pangwakas na sagot: dalawa na hinati sa pamamagitan ng cosine te).

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito sa pagpapatunay ng mga expression na trigonometric.

HALIMBAWA 3. Patunayan ang pagkakakilanlan (tg 2 t - kasalanan 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d kasalanan 2 t (produkto ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng tangent te at sine te at ang parisukat ng cotangent te ay pantay sa parisukat ng sine te).

Katibayan.

Ibahin ang anyo ng kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

(tg 2 t - kasalanan 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - kasalanan 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - kasalanan 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - kasalanan 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d kasalanan 2 t

(Buksan natin ang mga bracket, mula sa nauna nang nakuha na kaugnay na kilala na ang produkto ng mga parisukat ng tangent te at ang cotangent te ay pantay sa 1. Alalahanin na ang cotangent te ay pantay sa ratio ng kosine te hanggang sa sine te, na nangangahulugang ang parisukat ng cotangent ay ang ratio ng parisukat ng kosine te at ang parisukat ng sine te.

Matapos kanselahin ang parisukat sa pamamagitan ng sine, nakuha namin ang pagkakaiba sa pagitan ng yunit at ang kosina ng parisukat te, na katumbas ng sine ng square te). Q.E.D.

HALIMBAWA 4 Hanapin ang halaga ng expression tg 2 t + ctg 2 t kung tgt + ctgt \u003d 6.

(ang kabuuan ng mga parisukat ng tangent te at ang cotangent te, kung ang kabuuan ng tangent at cotangent ay anim).

Desisyon. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Sabihin nating magkabilang panig ng orihinal na pagkakapantay-pantay:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (ang parisukat ng kabuuan ng tangent te at ang cotangent te ay pantay sa anim na parisukat). Alalahanin ang pormula para sa pinaikling pagdaragdag: Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang dami ay pantay sa parisukat ng una kasama ng dalawang beses sa produkto ng una sa pangalawang kasama ang parisukat ng pangalawa. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 Nakukuha namin ang tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (tangent square te plus doble produkto ng tangent te at cotangent te plus cotangent squared te ay tatlumpu't anim) ...

Dahil ang produkto ng tangent te at ang cotangent te ay katumbas ng isa, kung gayon tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (ang kabuuan ng mga parisukat ng tangent te at ang cotangent te at dalawa ay tatlumpu't anim).

SA magkapareho na mga pagbabagong-anyo mga ekspresyong trigonometric ang mga sumusunod na pamamaraan ng algebraic ay maaaring magamit: karagdagan at pagbabawas ng magkatulad na termino; pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga panaklong; pagpaparami at paghahati sa pamamagitan ng parehong halaga; aplikasyon ng mga pinaikling mga formula ng pagpaparami; pagpili ng isang buong parisukat; factorization ng isang square trinomial; pagpapakilala ng mga bagong variable upang gawing simple ang mga pagbabagong-anyo.

Kapag nagko-convert ng mga expression na trigonometric na naglalaman ng mga praksyon, maaari mong gamitin ang mga katangian ng proporsyon, pagbabawas ng mga praksyon, o pag-convert ng mga praksyon sa isang karaniwang denominador. Bilang karagdagan, maaari mong gamitin ang pagpili ng bahagi ng integer ng isang maliit na bahagi, na pinararami ang numerator at denominator ng maliit na bahagi sa pamamagitan ng parehong halaga, at, kung maaari, isaalang-alang ang homogeneity ng numerator o denominator. Kung kinakailangan, maaari kang kumatawan ng isang bahagi bilang kabuuan o pagkakaiba-iba ng ilang mga mas simple na praksyon.

Bilang karagdagan, ang paglalapat ng lahat ng mga kinakailangang pamamaraan para sa pag-convert ng mga expression na trigonometric, kinakailangan na patuloy na isinasaalang-alang ang saklaw ng mga pinapayagan na mga halaga ng mga naipinahayag na expression.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 1.

Kalkulahin ang А \u003d (kasalanan (2x - π) kos (3π - x) + kasalanan (2x - 9π / 2) kos (x + π / 2)) 2 + (kos (x - π / 2) kos ( 2x - 7π / 2) +
+ kasalanan (3π / 2 - x) kasalanan (2x -5π / 2)) 2

Desisyon.

Ito ay sumusunod mula sa mga pormula ng pagbawas:

kasalanan (2x - π) \u003d -sin 2x; kos (3π - x) \u003d -cos x;

kasalanan (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; kos (x + π / 2) \u003d -sin x;

kos (x - π / 2) \u003d kasalanan x; kos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

kasalanan (3π / 2 - x) \u003d -cos x; kasalanan (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Kung saan, sa pamamagitan ng kabutihan ng mga pormula para sa pagdaragdag ng mga argumento at ang pangunahing identidad ng trigonometric, nakuha namin

A \u003d (kasalanan 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x kasalanan 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d kasalanan 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d kasalanan 2 3x + kos 2 3x \u003d 1

Sagot: 1.

Halimbawa 2.

I-convert ang expression М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - kasalanan (α + β) kasalanan γ + cos γ sa isang produkto.

Desisyon.

Mula sa mga formula para sa pagdaragdag ng mga argumento at mga pormula para sa pagbabago ng kabuuan ng mga function ng trigonometric sa isang produkto pagkatapos ng kaukulang pagpapangkat, mayroon kami

М \u003d (cos (α + β) cos γ - kasalanan (α + β) kasalanan γ) + kos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) kos ((β - γ) / 2) + (kos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) kos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) kos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (kos ((β - γ) / 2) + kos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) kos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) kos ((α + β) / 2) kos ((α + γ) / 2).

Sagot: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) kos ((α + γ) / 2) kos ((β + γ) / 2).

Halimbawa 3.

Ipakita na ang expression A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ay tumatagal para sa lahat ng x mula sa R \u200b\u200bisa at ang parehong kahulugan. Hanapin ang halagang ito.

Desisyon.

Narito ang dalawang paraan upang malutas ang problemang ito. Paglalapat ng unang pamamaraan, sa pamamagitan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat at paggamit ng kaukulang pangunahing formula ng trigonometric, nakukuha namin

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) kos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x kasalanan 2 π / 6 + 1/2 (kos 2x + cos π / 3) \u003d

Kasalanan 2 x + 1/2 kos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 kos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Ang paglutas ng problema sa pangalawang paraan, isaalang-alang ang A bilang isang pag-andar ng x mula sa R \u200b\u200bat kalkulahin ang hinango nito. Pagkatapos ng mga pagbabagong nakukuha namin

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) kasalanan (x + π / 6) + (kasalanan (x + π / 6) kos (x - π / 6) + kos (x + π / 6) kasalanan (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) kasalanan (x - π / 6) \u003d

Kasalanan 2 (x + π / 6) + kasalanan ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - kasalanan 2 (x - π / 6) \u003d

Kasalanan 2x - (kasalanan (2x + π / 3) + kasalanan (2x - π / 3)) \u003d

Kasalanan 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d kasalanan 2x - kasalanan 2x ≡ 0.

Samakatuwid, sa pamamagitan ng kabutihan ng criterion para sa patuloy na isang function na naiiba sa isang agwat, tapusin natin iyon

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Sagot: A \u003d 3/4 para sa x € R.

Ang mga pangunahing pamamaraan ng nagpapatunay ng mga pagkilala sa trigonometriko ay:

at) binabawasan ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan sa kanan sa pamamagitan ng naaangkop na pagbabago;
b) pagbawas ng kanang bahagi ng pagkakakilanlan sa kaliwa;
sa) pagbawas ng kanan at kaliwang panig ng pagkakakilanlan sa parehong uri;
d) pagbabawas sa zero ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang panig ng pagkakakilanlan na napatunayan.

Halimbawa 4.

Suriin na ang kos 3x \u003d -4cos x kos (x + π / 3) kos (x + 2π / 3).

Desisyon.

Ang pagbabago ng kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito ayon sa kaukulang mga formula ng trigonometric, mayroon kami

4cos x cos (x + π / 3) kos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + kos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3)))

2cos x (cos (2x + π) + kos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Ang kanang bahagi ng pagkakakilanlan ay nabawasan sa kaliwa.

Halimbawa 5.

Patunayan na ang kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2 kung ang α, β, γ ay mga panloob na anggulo ng ilang tatsulok.

Desisyon.

Isinasaalang-alang na ang α, β, γ ay ang mga panloob na anggulo ng ilang tatsulok, nakuha namin iyon

α + β + γ \u003d π at samakatuwid γ \u003d π - α - β.

kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 (π - α - β) - 2cos α kos β cos (π - α - β) \u003d

Kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + kasalanan 2 (α + β) + (kos (α + β) + kos (α - β) (cos (α + β) \u003d

Kasalanan 2 α + kasalanan 2 β + (kasalanan 2 (α + β) + kos 2 (α + β)) + kos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Halimbawa 6.

Upang patunayan na para sa isa sa mga anggulo α, β, γ ng tatsulok na 60 °, kinakailangan at sapat na kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d 0.

Desisyon.

Ang kundisyon ng problemang ito ay nagtatakda ng katibayan ng parehong pangangailangan at sapat.

Una, patunayan natin pangangailangan.

Maaari itong ipakita na

kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d -4cos (3α / 2) kos (3β / 2) kos (3γ / 2).

Samakatuwid, isinasaalang-alang na ang kos (3/2 60 °) \u003d kos 90 ° \u003d 0, nakuha namin na kung ang isa sa mga anggulo ng α, β o γ ay 60 °, kung gayon.

kos (3α / 2) kos (3β / 2) kos (3γ / 2) \u003d 0 at, samakatuwid, kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d 0.

Patunayan natin ngayon sapat tinukoy na kondisyon.

Kung ang kasalanan 3α + kasalanan 3β + kasalanan 3γ \u003d 0, kung gayon kos (3α / 2) kos (3β / 2) kos (3γ / 2) \u003d 0, at samakatuwid

alinman sa kos (3α / 2) \u003d 0, o kos (3β / 2) \u003d 0, o kos (3γ / 2) \u003d 0.

Samakatuwid,

o 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, i.e. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

o 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, i.e. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

o 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

mga. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, kung saan k ϵ Z.

Dahil ang α, β, γ ang mga anggulo ng tatsulok, mayroon kami

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Samakatuwid, para sa α \u003d π / 3 + 2πk / 3 o β \u003d π / 3 + 2πk / 3 o

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 sa lahat ng kϵZ lamang k \u003d 0 ang umaangkop.

Kung saan sumusunod ang alinman sa α \u003d π / 3 \u003d 60 °, o β \u003d π / 3 \u003d 60 °, o γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Napatunayan ang pahayag.

May mga katanungan pa ba? Hindi sigurado kung paano gawing simple ang mga expression na trigonometric?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa mapagkukunan.

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Sekondarya ng paaralan

Hindi. 18 "

mga Engels, rehiyon ng Saratov.

Guro ng matematika.

"Mga expression ng Trigonometric at ang kanilang mga pagbabagong-anyo"

Panimula ………………………………………………………………… .... 3

Kabanata 1 Pag-uuri ng mga gawain para sa paggamit ng mga pagbabagong-anyo ng mga ekspresyong trigonometric …………………………. ………………… ... 5

1.1. Mga gawain sa pagkalkula mga halaga ng mga expression na trigonometric ……… .5

1.2. Mga Gawain para sa pagpapagaan ng mga expression ng trigonometric ... 7

1.3. Mga gawain para sa pag-convert ng mga numerong trigonometric na expression ... ..7

1.4 Mga pinaghalong mga takdang-aralin …………………………………………… ..... 9

Kabanata 2. Mga aspeto ng metolohikal na samahan ng pangwakas na pag-uulit ng paksang "Pagbabago ng mga ekspresyong trigonometric" ...

2.1 Ang teokratikong pag-uulit sa baitang 10 ………………………………… ... 11

Pagsubok 1 ………………………………………………………………… ..12

Pagsubok 2 ………………………………………………………………… ..13

Pagsubok 3 ………………………………………………………………… ..14

2.2 Pangwakas na pag-uulit sa grade 11 ………………………………… ... 15

Pagsubok 1 ………………………………………………………………… ..17

Pagsubok 2 ………………………………………………………………… ..17

Pagsubok 3 ………………………………………………………………… ..18

Konklusyon. …………………………………………………………………… 19

Listahan ng mga ginamit na panitikan ………………………………… .. …… .20

Panimula.

Sa mga kondisyon ngayon, ang pinakamahalagang tanong ay: "Paano tayo makakatulong upang maalis ang ilang mga gaps sa kaalaman ng mga mag-aaral at bigyan sila ng babala laban sa mga posibleng pagkakamali sa pagsusulit?" Upang malutas ang isyung ito, kinakailangan na maghanap mula sa mga mag-aaral hindi pormal na asimilasyon ng materyal ng programa, ngunit ang malalim at malay na pag-unawa nito, ang pagbuo ng bilis ng mga kalkulasyon at pagbabagong-anyo, pati na rin ang pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga simpleng problema "sa isip." Kinakailangan upang makumbinsi ang mga mag-aaral na kung mayroong aktibong posisyon, sa pag-aaral ng matematika, napapailalim sa pagkuha ng mga praktikal na kasanayan, kasanayan at paggamit nito, maaari kang umasa sa totoong tagumpay. Kinakailangan na gamitin ang bawat pagkakataon upang maghanda para sa Pinagsamang Pinagsamang Estado, kabilang ang mga elective subject sa mga grade 10-11, regular na pag-aralan ang mga mahirap na gawain sa mga mag-aaral, pagpili ng pinaka-makatuwiran na paraan ng paglutas sa mga aralin at karagdagang mga aralin.Positibong resulta saang mga lugar ng paglutas ng mga tipikal na problema ay maaaring makamit kung ang mga guro ng matematika, paglikha mahusay na pangunahing pagsasanay ng mga mag-aaral, maghanap ng mga bagong paraan sa paglutas ng mga problema na nagbukas sa harap namin, aktibong eksperimento, mag-apply ng moderno teknolohiyang pedagogical, mga pamamaraan, mga pamamaraan na lumikha ng kanais-nais na mga kondisyon para sa epektibong pagsasakatuparan ng sarili at pagpapasiya sa sarili ng mga mag-aaral sa mga bagong kondisyon sa lipunan.

Ang Trigonometry ay isang mahalagang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan. Ang mahusay na kaalaman at matatag na kasanayan sa trigonometrya ay katibayan ng isang sapat na antas ng kultura ng matematika, isang kailangang-kailangan na kondisyon para sa matagumpay na pag-aaral ng matematika, pisika, isang bilang ng mga teknikaldisiplina.

Kaugnayan ng trabaho. Ang isang makabuluhang bahagi ng mga nagtapos sa paaralan ay nagpapakita mula sa taon hanggang sa napakahirap na paghahanda sa mahalagang seksyong ito ng matematika, tulad ng napatunayan ng mga resulta ng mga nakaraang taon (ang porsyento ng pagkumpleto noong 2011 - 48.41%, 2012 - 51.05%), dahil ang pagsusuri ng pagpasa sa pinag-isang pinag-isang pagsusulit ng estado ay nagpakita na ang mga mag-aaral ay gumawa ng maraming mga pagkakamali kapag nakumpleto ang mga gawain ng partikular na seksyon na ito, o huwag gawin ang gayong mga gawain. Sa isa Sa pagsusulit ng estado, ang mga katanungan ng trigonometrya ay matatagpuan sa halos tatlong uri ng mga takdang aralin. Ito ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric sa gawain B5, at magtrabaho kasama ang mga expression na trigonometriko sa gawain B7, at ang pag-aaral ng mga function ng trigonometriko sa gawain B14, pati na rin ang gawain B12, na may mga pormula na naglalarawan ng mga pisikal na phenomena at naglalaman ng mga function na trigonometriko. At ito ay bahagi lamang ng mga gawain ng B! Ngunit may mga mahal pa rin mga equation ng trigonometric sa pagpili ng mga ugat ng C1, at "hindi masyadong paboritong" mga geometric na gawain C2 at C4.

Layunin. Suriin materyal sa pagsusulit mga gawain B7, na nakatuon sa mga pagbabagong-anyo ng mga expression na trigonometric at pag-uri ng mga gawain ayon sa anyo ng kanilang pagtatanghal sa mga pagsubok.

Ang gawain ay binubuo ng dalawang mga kabanata, pagpapakilala at pagtatapos. Binibigyang diin ng pagpapakilala ang kaugnayan ng gawain. Ang unang kabanata ay nagbibigay ng isang pag-uuri ng mga gawain para sa paggamit ng mga pagbabagong-anyo ng mga ekspresyong trigonometric sa pagsubok mga gawain ng pagsusulit (2012).

Sa ikalawang kabanata, ang samahan ng pag-uulit ng paksang "Pagbabago ng mga expression ng trigonometric" sa 10, 11 mga marka ay isinasaalang-alang at binuo ang mga pagsubok sa paksang ito.

Ang listahan ng panitikan ay may kasamang 17 na mapagkukunan.

Kabanata 1. Pag-uuri ng mga gawain para sa paggamit ng mga pagbabagong-anyo ng mga expression na trigonometric.

Alinsunod sa pamantayan ng pangalawang (kumpleto) na edukasyon at mga kinakailangan para sa antas ng pagsasanay ng mga mag-aaral, ang mga gawain sa kaalaman sa mga pangunahing kaalaman ng trigonometrya ay kasama sa mga kinakailangang codifier.

Ang pag-aaral ng mga pangunahing kaalaman ng trigonometrya ay magiging epektibo sa:

ibibigay ang positibong pagganyak ng mga mag-aaral para sa pag-uulit ng dating pinag-aralan na materyal;

isang diskarte na nakatuon sa pagkatao ay ipatutupad sa proseso ng edukasyon;

ang isang sistema ng mga gawain ay ilalapat, na nag-aambag sa pagpapalawak, pagpapalalim, pag-systemate ng kaalaman ng mga mag-aaral;

ang mga advanced na teknolohiya sa pagtuturo ay gagamitin.

Matapos suriin ang mga mapagkukunan ng panitikan at Internet sa paghahanda para sa pagsusulit, iminungkahi namin ang isa sa mga posibleng pag-uuri ng mga gawain B7 (KIM USE 2012-trigonometry): mga gawain para sa pagkalkula mga halaga ng mga expression na trigonometric; mga takdang aralin para sapag-convert ng mga numerong trigonometric expression; mga gawain para sa pag-convert ng alpabetong trigonometric expression; halo-halong mga gawain.

1.1. Mga gawain sa pagkalkula mga halaga ng mga expression na trigonometric.

Ang isa sa mga pinaka-karaniwang uri ng mga simpleng problema sa trigonometrya ay ang pagkalkula ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng halaga ng isa sa mga ito:

a) Gamit ang pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric at ang mga kahihinatnan nito.

Halimbawa 1 ... Hanapin kung
at
.

Desisyon.
,
,

Dahil pagkatapos
.

Sagot.

Halimbawa 2 ... Maghanap
, kung ang
at.

Desisyon.
,
,
.

Dahil pagkatapos
.

Sagot. ...

b) Paggamit ng mga dobleng pormula ng anggulo.

Halimbawa 3 ... Maghanap
, kung ang
.

Desisyon. , .

Sagot.
.

Halimbawa 4 ... Hanapin ang kahulugan ng expression
.

Desisyon. ...

Sagot.
.

1. Maghanap , kung ang
at
... Sagot. -0.2

2. Maghanap , kung ang
at
... Sagot. 0,4

3. Maghanap
, kung ang . Sagot. -12.884. Maghanap
, kung ang
... Sagot. -0.845. Hanapin ang kahulugan ng expression:
... Sagot. 66. Hanapin ang kahulugan ng expression
. Sagot. -labinsiyam

1.2. Mga Gawain upang gawing simple ang mga expression ng trigonometric. Ang mga formula ng paghahagis ay dapat na mahusay na pinagkadalubhasaan ng mga mag-aaral, dahil makakahanap sila ng karagdagang aplikasyon sa mga aralin ng geometry, pisika at iba pang mga kaugnay na disiplina.

Halimbawa 5 . Pasimplehin ang mga expression
.

Desisyon. ...

Sagot.
.

Mga gawain sa tulong sa sarili:

1. Pasimplehin ang expression
. Sagot. 0.62. Maghanap
, kung ang
at ... Sagot. 10.563. Hanapin ang kahulugan ng expression
, kung ang
. Sagot. 2

1.3. Mga gawain para sa pag-convert ng numerong trigonometric na mga expression.

Kapag nagsasagawa ng mga kasanayan at kakayahan ng mga gawain para sa pagbabagong-anyo ng mga expression na trigonometric na expression, dapat mong bigyang pansin ang kaalaman sa talahanayan ng mga halaga ng mga function ng trigonometric, ang mga katangian ng pagkakapare-pareho at pagkakapareho ng mga function ng trigonometric.

a) Gamit ang eksaktong mga halaga ng pag-andar ng trigonometriko para sa ilang mga anggulo.

Halimbawa 6 ... Kalkulahin
.

Desisyon.
.

Sagot.
.

b) Paggamit ng mga katangian ng pagkakapare-pareho mga pag-andar ng trigonometriko.

Halimbawa 7 ... Kalkulahin
.

Desisyon. .

Sagot.

sa) Paggamit ng mga katangian ng periodicitymga pag-andar ng trigonometriko.

Halimbawa 8 . Hanapin ang kahulugan ng expression
.

Desisyon. ...

Sagot.
.

Mga gawain sa tulong sa sarili:

1. Hanapin ang kahulugan ng expression
. Sagot. -40.52. Hanapin ang kahulugan ng expression
. Sagot. 17

3. Hanapin ang kahulugan ng expression
. Sagot. 6

. Sagot. -24
Sagot. -64

1.4 Mga pinaghalong mga takdang aralin.

Ang form ng pagsubok ng sertipikasyon ay may napaka makabuluhang tampok, kaya mahalagang bigyang-pansin ang mga gawain na nauugnay sa paggamit ng ilang mga formula ng trigonometric nang sabay.

Halimbawa 9. Maghanap
, kung ang
.

Desisyon.
.

Sagot.
.

Halimbawa 10 ... Maghanap
, kung ang
at
.

Desisyon. .

Dahil pagkatapos
.

Sagot.
.

Halimbawa 11. Maghanap
, kung ang .

Desisyon. , ,
,
,
,
,
.

Sagot.

Halimbawa 12. Kalkulahin
.

Desisyon. .

Sagot.
.

Halimbawa 13. Hanapin ang kahulugan ng expression
, kung ang
.

Desisyon. .

Sagot.
.

Mga gawain sa tulong sa sarili:

1. Maghanap
, kung ang
. Sagot. -1.75
2. Maghanap
, kung ang
. Sagot. 33. Maghanap
, kung ang . Sagot. 0.254. Hanapin ang kahulugan ng expression
, kung ang
. Sagot. 0.35. Hanapin ang kahulugan ng expression
, kung ang
. Sagot. lima

Kabanata 2. Mga aspeto ng metolohikal na samahan ng pangwakas na pag-uulit ng paksang "Pagbabago ng mga ekspresyong trigonometric."

Isa sa mga pinakamahalagang isyu na nag-aambag sa karagdagang pagdami ng pagganap sa akademiko, ang pagkamit ng malalim at pangmatagalang kaalaman sa mga mag-aaral ay ang tanong ng pag-uulit ng dating na materyal. Ipinapakita ng kasanayan na mas kapaki-pakinabang na ayusin ang isang pampakol na pag-uulit sa grade 10; sa grade 11 - panghuling pag-uulit.

2.1. Thematic na pag-uulit sa grade 10.

Sa proseso ng pagtatrabaho sa materyal na matematika, ang pag-uulit ng bawat nakumpletong paksa o isang buong seksyon ng kurso ay nagiging mahalaga.

Sa temang pag-uulit, ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa ay naayos sa huling yugto ng daanan nito o pagkatapos ng pahinga.

Para sa pampakay na pag-uulit, ang mga espesyal na aralin ay inilalaan, kung saan ang materyal ng isang paksa ay puro at pangkalahatan.

Ang pag-uulit sa aralin ay isinasagawa sa pamamagitan ng isang pag-uusap na may malawak na paglahok ng mga mag-aaral sa pag-uusap na ito. Pagkatapos nito, hilingin sa mga mag-aaral na ulitin ang isang tukoy na paksa at binalaan na gagawin ang pagsubok sa pagsusulit.

Ang isang pagsubok sa isang paksa ay dapat isama ang lahat ng mga pangunahing katanungan. Matapos makumpleto ang gawain, ang mga pagkakamali sa katangian ay nasuri at inulit ang pag-uulit upang maalis ang mga ito.

Para sa mga aralin ng pampakay na pag-uulit, nag-aalok kami na binuo mga papeles sa pagsuboksa paksa na "Pagbabago ng mga expression na trigonometric."

Pagsubok No. 1

Pagsubok bilang 2

Pagsubok bilang 3

Sagot sa talahanayan

Pagsusulit

2.2. Pangwakas na pag-uulit sa grade 11.

Ang pangwakas na pag-uulit ay isinasagawa sa huling yugto ng pag-aaral ng mga pangunahing isyu sa kurso ng matematika at isinasagawa sa lohikal na koneksyon sa pag-aaral ng materyal na pang-edukasyon para sa seksyon na ito o ang kurso bilang isang buo.

Ang panghuling pag-uulit ng materyal sa pagsasanay ay may mga sumusunod na layunin:

1. Pag-activate ng materyal ng buong kurso ng pagsasanay upang linawin ang lohikal na istraktura nito at bumuo ng isang sistema sa loob ng mga koneksyon at inter-subject na koneksyon.

2. Nagpapalalim at, kung maaari, ang pagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral sa pangunahing mga isyu ng kurso sa proseso ng pag-uulit.

Ibinigay ang sapilitang pagsusulit sa matematika para sa lahat ng mga nagtapos, ang unti-unting pagpapakilala ng mga Pinag-isang Pinag-isang Estado ng Exam ay pinipilit ang mga guro na gumawa ng isang bagong diskarte sa paghahanda at paghahatid ng mga aralin, isinasaalang-alang ang pangangailangan upang matiyak na ang lahat ng mga mag-aaral ay pinagkadalubhasaan ang materyal na pang-edukasyon sa isang pangunahing antas, pati na rin ang pagkakataon para sa mga motivated na mag-aaral na interesadong makakuha ng mataas na mga marka para sa pagpasok sa isang unibersidad, dynamic na pag-unlad sa mastering ang materyal sa isang advanced at mataas na antas.

Sa mga aralin ng pangwakas na pag-uulit, maaari mong isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain:

Halimbawa 1 . Kalkulahin ang halaga ng expression.Desisyon. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Sagot. 0.5. Halimbawa 2. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng integer na maaaring makuha ng expression
.

Desisyon. Bilang
maaaring tumagal ng anumang halaga, segment [-1; 1], kung gayon
tumatagal ng anumang halaga ng segment [-0.4; 0.4], samakatuwid. Ang halaga ng integer ng expression ay isa - numero 4.

Sagot: 4 Halimbawa 3 . Pasimplehin ang expression
.

Solusyon: Gumamit tayo ng pormula para sa pagpapatunay ng kabuuan ng mga cube:. Meron kami

Meron kami:
.

Sagot: 1

Halimbawa 4. Kalkulahin
.

Desisyon. ...

Sagot: 0.28

Para sa mga aralin ng pangwakas na pag-uulit, nag-aalok kami ng mga binuo na pagsubok sa paksang "Pagbabago ng mga ekspresyong trigonometric".

Mangyaring ipasok ang pinakamalaking integer na hindi hihigit sa 1

Konklusyon.

Ang pagkakaroon ng nagtrabaho sa pamamagitan ng may-katuturang pamamaraan ng panitikan sa paksang ito, maaari nating tapusin na ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga gawain na may kaugnayan sa pagbabagong-anyo ng trigonometriko sa kurso sa matematika ng paaralan ay napakahalaga.

Sa takbo ng gawaing nagawa, isinasagawa ang pag-uuri ng mga gawain na B7. Itinuturing mga formula ng trigonometric pinaka-karaniwang ginagamit sa 2012 CMMs. Ang mga halimbawa ng mga gawain na may mga solusyon ay ibinibigay. Ang magkakaibang mga pagsubok ay binuo para sa pag-aayos ng pag-uulit at pagratipisasyon ng kaalaman bilang paghahanda sa pagsusulit.

Maipapayo na ipagpatuloy ang gawain na sinimulan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric sa gawain B5, pag-aaral ng mga function ng trigonometriko sa gawain B14, gawain B12, na naglalaman ng mga pormula na naglalarawan ng mga pisikal na phenomena at naglalaman ng mga function ng trigonometric.

Sa konklusyon, nais kong tandaan na ang pagiging epektibo ng pagpasa ng pagsusulit ay higit na tinutukoy ng kung gaano kabisa ang proseso ng paghahanda ay naayos sa lahat ng antas ng edukasyon, kasama ang lahat ng mga kategorya ng mga mag-aaral. At kung pinamamahalaan namin upang maging form ng kalayaan, responsibilidad at kahanda ng mga mag-aaral upang magpatuloy sa pag-aaral sa buong kanilang kasunod na buhay, hindi lamang natin matatutupad ang pagkakasunud-sunod ng estado at lipunan, ngunit pinatataas din ang ating sariling pagpapahalaga sa sarili.

Ang pag-uulit ng materyal na pang-edukasyon ay nangangailangan ng guro malikhaing gawain... Dapat siyang magbigay ng isang malinaw na koneksyon sa pagitan ng mga uri ng pag-uulit, ipatupad ang isang malalim na naisip na sistema ng pag-uulit. Ang pamamahala sa sining ng pag-aayos ng pag-uulit ay gawain ng guro. Ang lakas ng kaalaman ng mga mag-aaral ay higit sa lahat ay nakasalalay sa solusyon nito.

Panitikan.

Vygodsky Ya.Ya., Handbook ng pang-elementarya sa matematika. -M .: Nauka, 1970.

Ang mga problema ng pagtaas ng kahirapan sa algebra at ang mga prinsipyo ng pagsusuri: Aklat ng Teksto para sa 10-11 na grado ng pangalawang paaralan / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. - M .: Edukasyon, 1990.

Paglalapat ng mga pangunahing formula ng trigonometric sa pagbabagong-anyo ng mga expression (ika-10 baitang) // Kapistahan ng mga ideya ng pedagogical. 2012-2013.

A.G. Koryanov , Prokofiev A.A. Naghahanda kami ng magagandang mag-aaral at mahusay na mga mag-aaral para sa pagsusulit. - M .: Pedagogical University "Setyembre Una", 2012. - 103 p.

Kuznetsova E.N. Ang pagpapasimple ng mga expression na trigonometric. Ang paglutas ng mga equation ng trigonometric sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan (paghahanda para sa pagsusulit). Ika-11 na baitang. 2012-2013.

Kulanin E. D. 3000 Mga Problema sa Kumpetisyon sa Matematika. Ika-4 nila., Rev. at idagdag. - M .: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Mga pamamaraan na pamamaraan sa pag-aaral ng trigonometrya sa sekondaryong paaralan / Matematika sa paaralan. 2002. Hindi. 6.

Pichurin L.F. Tungkol sa trigonometrya at hindi lamang tungkol dito: -M. Edukasyon, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometry sa paaralan: -M. : Pamantayang Panteksto "Setyembre Una", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Mga matematika. Algebra. Simula ng pagsusuri sa matematika.Higit sa profile: aklat-aralin para sa grade 10 - M. .: BINOM. Laboratory ng Kaalaman, 2007.

Portal ng pang-edukasyon para sa paghahanda para sa pagsusulit.

Paghahanda para sa Pinag-isang Pagsubok ng Estado sa Matematika "Oh, trigonometrya na ito! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Project "Matematika? Madali !!!"http://www.resolventa.ru/

Mga Seksyon: Mga matematika

Klase: 11

Aralin 1

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Ang pagpapasimple ng mga expression na trigonometric.

Paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric. (2 oras)

Mga layunin:

• Upang maisaayos, gawing pangkalahatan, mapalawak ang kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral na may kaugnayan sa aplikasyon ng mga formula ng trigonometrya at ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric.

Kagamitan para sa aralin:

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng organisasyon
2. Pagsubok sa mga laptop. Ang talakayan ng mga resulta.
3. Pagpapasimple ng mga expression na trigonometric
4. Paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric
5. Pansariling gawain.
6. Buod ng aralin. Paliwanag ng takdang-aralin sa bahay.

1. sandali ng organisasyon. (2 minuto.)

Ang guro ay naghahatid ng mga tagapakinig, inihayag ang paksa ng aralin, paalalahanan sila sa gawain na ibinigay nang una upang ulitin ang mga formula ng trigonometrya, at magtakda ng mga mag-aaral para sa pagsubok.

2. Pagsubok. (15min + 3min discussion)

Ang layunin ay subukan ang kaalaman ng mga formula ng trigonometric at ang kakayahang ilapat ang mga ito. Ang bawat mag-aaral ay may laptop sa kanyang desk na may bersyon ng pagsubok.

Maaaring mayroong anumang bilang ng mga pagpipilian, bibigyan ako ng isang halimbawa ng isa sa mga ito:

Pagpipilian I

Pasimplehin ang mga expression:

a) pangunahing mga pagkilala sa trigonometriko

1.sin 2 3y + kos 2 3y + 1;

b) karagdagan mga formula

3.sin5x - sin3x;

c) pag-convert ng produkto sa isang kabuuan

6.2sin8y maginhawa;

d) dobleng pormula ng anggulo

7.2sin5x cos5x;

e) kalahating anggulo ng mga formula

f) mga formula ng triple anggulo

g) unibersal na pagpapalit

h) pagbaba ng degree

16.cos 2 (3x / 7);

Ang mga mag-aaral sa isang laptop ay nakikita ang kanilang mga sagot sa tapat ng bawat pormula.

Ang gawain ay agad na sinuri ng computer. Ang mga resulta ay ipinapakita sa isang malaking screen upang makita ng lahat.

Gayundin, pagkatapos ng pagtatapos ng gawain, ang mga tamang sagot ay ipinapakita sa mga laptop ng mga mag-aaral. Nakita ng bawat mag-aaral kung saan nagawa ang pagkakamali at kung ano ang mga pormula na kailangan niyang ulitin.

3. Pagpapahiwatig ng mga expression na trigonometric. (25 min.)

Ang layunin ay upang suriin, pagsasanay at pagsama-sama ang aplikasyon ng mga pangunahing formula ng trigonometrya. Paglutas ng mga problema B7 mula sa pagsusulit.

Sa yugtong ito, ipinapayong hatiin ang klase sa mga grupo ng malakas (gumana nang nakapag-iisa sa kasunod na pag-verify) at mga mahihinaang mag-aaral na nagtatrabaho sa guro.

Takdang-aralin para sa malakas na mga nag-aaral (inihanda nang maaga sa isang nakalimbag na batayan). Ang pangunahing diin ay sa mga pormula ng pagbawas at dobleng anggulo, ayon sa pagsusulit sa 2011.

Pasimplehin ang mga ekspresyon (para sa mga malakas na estudyante):

Kaayon, gumagana ang guro sa mga mahihina na mag-aaral, tinalakay at lutasin ang mga gawain sa screen sa ilalim ng pagdidikta ng mga mag-aaral.

Kalkulahin:

5) kasalanan (270º - α) + kos (270º + α)

6)

Pasimplehin:

Ito ay ang pagliko ng talakayan ng mga resulta ng gawain ng matibay na pangkat.

Ang mga sagot ay lilitaw sa screen, at din, sa tulong ng isang video camera, ang mga gawa ng 5 iba't ibang mga mag-aaral ay ipinapakita (isang gawain para sa bawat isa).

Nakikita ng mahina na pangkat ang kondisyon at pamamaraan ng solusyon. Ang talakayan at pagsusuri ay umuunlad. Sa paggamit ng mga teknikal na paraan, mabilis itong nangyari.

4. Solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric. (30 minuto.)

Ang layunin ay upang ulitin, systematize at gawing pangkalahatan ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric, naitala ang kanilang mga ugat. Solusyon sa problema B3.

Anumang equation ng trigonometric, hindi mahalaga kung paano natin malulutas ito, ay humahantong sa pinakasimpleng.

Kapag nakumpleto ang takdang aralin, ang mga mag-aaral ay dapat na iguguhit sa pag-record ng mga ugat ng mga equation ng mga espesyal na kaso at ang pangkalahatang form at sa pagpili ng mga ugat sa huling equation.

Malutas ang mga equation:

Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat bilang tugon.

5. Independent na trabaho (10 min.)

Ang layunin ay subukan ang nakuha na mga kasanayan, makilala ang mga problema, mga pagkakamali at mga paraan upang maalis ang mga ito.

Ang iba't ibang antas ng trabaho ay inaalok sa pagpili ng mag-aaral.

Pagpipilian para sa "3"

1) Hanapin ang halaga ng isang expression

2) Pasimplehin ang expression 1 - kasalanan 2 3α - cos 2 3α

3) Malutas ang equation

Pagpipilian para sa "4"

1) Hanapin ang halaga ng isang expression

2) Malutas ang equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat sa sagot.

Pagpipilian para sa "5"

1) Maghanap ng tgα kung

2) Hanapin ang ugat ng equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat sa iyong sagot.

6. Buod ng aralin (5 min.)

Binubuo ng guro ang katotohanan na sa aralin ay inulit nila at pinagsama ang mga formula ng trigonometric, ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric.

Takdang-aralin sa takdang-aralin (inihanda sa isang naka-print na batayan nang maaga) na may mga pagsusuri sa lugar sa susunod na aralin.

Malutas ang mga equation:

9)

10) Ipahiwatig ang pinakamaliit na positibong ugat sa iyong sagot.

Session 2

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometric. Pagpili ng mga ugat. (2 oras)

Mga layunin:

• Upang gawing pangkalahatan at pagratipunan ang kaalaman sa paglutas ng mga equation ng trigonometric ng iba't ibang uri.
• Upang maisulong ang pag-unlad ng pag-iisip ng matematika ng mga mag-aaral, ang kakayahang obserbahan, ihambing, gawing pangkalahatan, uriin.
• Hikayatin ang mga mag-aaral na malampasan ang mga paghihirap sa proseso ng aktibidad ng pag-iisip, sa pagpipigil sa sarili, pagpasok sa kanilang mga aktibidad.

Kagamitan para sa aralin: KRMu, laptop para sa bawat mag-aaral.

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng organisasyon
2. Pagtalakay d / h at samot. gawa ng huling aralin
3. Ang pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometric.
4. Paglutas ng mga equation ng trigonometric
5. Ang pagpili ng mga ugat sa mga equation ng trigonometric.
6. Pansariling gawain.
7. Buod ng aralin. Takdang aralin.

1. Sandali ng organisasyon (2 min.)

Inaanyayahan ng guro ang madla, inanunsyo ang paksa ng aralin at ang plano sa trabaho.

2. a) Repasuhin ang araling-bahay (5 min.)

Ang layunin ay upang suriin ang pagpapatupad. Ang isang gawain sa tulong ng isang video camera ay ipinapakita sa screen, ang natitira ay selektibong nakolekta para sa tseke ng guro.

b) Pagtatasa ng malayang gawain (3 min.)

Ang layunin ay pag-aralan ang mga pagkakamali, ipahiwatig ang mga paraan upang malampasan ang mga ito.

Sa screen, mga sagot at solusyon, ang mga mag-aaral ay paunang naitalaga sa kanilang trabaho. Ang pagsusuri ay mabilis na umuusbong.

3. Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometric (5 min.)

Ang layunin ay alalahanin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometric.

Tanungin ang mga mag-aaral kung anong mga pamamaraan ang alam nila para sa paglutas ng mga equation ng trigonometric. Bigyang-diin na mayroong mga tinatawag na pangunahing (madalas ginagamit) na pamamaraan:

• variable na kapalit,
• factorization,
• homogenous equation,

at may mga inilalapat na pamamaraan:

• sa pamamagitan ng mga formula para sa pag-convert ng isang kabuuan sa isang produkto at isang produkto sa isang kabuuan,
• sa pamamagitan ng mga formula ng pagbabawas ng degree,
• unibersal na trigonometriko na kapalit
• pagpapakilala ng isang pandiwang pantulong,
• pagpaparami ng ilang trigonometric function.

Dapat ding alalahanin na ang isang equation ay maaaring malutas sa iba't ibang paraan.

4. Paglutas ng mga equation ng trigonometric (30 min.)

Ang layunin ay upang gawing pangkalahatan at pagsamahin ang kaalaman at kasanayan sa paksang ito, upang maghanda para sa desisyon ng C1 mula sa pagsusulit.

Itinuturing kong nararapat na malutas ang mga equation para sa bawat pamamaraan kasama ang mga mag-aaral.

Ang mag-aaral ay nagdidikta ng pagpapasya, isinusulat ng guro sa tablet, ang buong proseso ay ipinapakita sa screen. Papayagan ka nitong mabilis at mahusay na maalala ang dating saklaw na materyal.

Malutas ang mga equation:

1) pagbabago ng variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) factoring 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) homogenous equation kasalanan 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) pag-convert ng kabuuan sa produkto ng cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) pag-convert ng produkto sa kabuuan ng 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) pagbaba ng kapangyarihan sin2x - kasalanan 2 2x + kasalanan 2 3x \u003d 0.5

7) unibersal na trigonometriko kapalit na sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Ang paglutas ng equation na ito, dapat tandaan na ang paggamit ng pamamaraang ito ay humahantong sa isang makitid ng domain ng kahulugan, dahil ang sine at cosine ay pinalitan ng tg (x / 2). Samakatuwid, bago isulat ang sagot, kailangan mong suriin kung ang mga numero mula sa set π + 2πn, ang Z ay mga kabayo ng equation na ito.

8) pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo √3sinx + kosx - √2 \u003d 0

9) pagpaparami ng ilang trigonometric function na cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Pagpili ng mga ugat ng mga equation ng trigonometric (20 min.)

Dahil sa mga kondisyon ng mabangis na kumpetisyon kapag pumapasok sa mga unibersidad, ang paglutas ng isang unang bahagi ng pagsusulit ay hindi sapat, kung gayon ang karamihan sa mga mag-aaral ay dapat bigyang pansin ang mga gawain ng ikalawang bahagi (C1, C2, C3).

Samakatuwid, ang layunin ng yugtong ito ng aralin ay upang alalahanin ang naunang pinag-aralan na materyal, upang maghanda sa paglutas ng problemang C1 mula sa USE 2011.

Mayroong mga equation ng trigonometric kung saan kailangan mong pumili ng mga ugat kapag sumulat ng isang sagot. Ito ay dahil sa ilang mga paghihigpit, halimbawa: ang denominator ng maliit na bahagi ay hindi zero, ang expression sa ilalim ng kahit na ugat ay hindi negatibo, ang expression sa ilalim ng pag-sign ng logarithm ay positibo, atbp.

Ang ganitong mga equation ay itinuturing na mga equation ng pagtaas ng pagiging kumplikado at sa bersyon ng pagsusulit ay nasa pangalawang bahagi, lalo na ang C1.

Malutas ang equation:

Ang maliit na bahagi ay zero kung pagkatapos gamit ang yunit ng bilog, pipiliin namin ang mga ugat (tingnan ang Larawan 1)

Larawan 1.

nakakakuha tayo ng x \u003d π + 2πn, n Z

Sagot: π + 2πn, n Z

Sa screen, ang pagpili ng mga ugat ay ipinapakita sa isang bilog sa isang imahe ng kulay.

Ang produkto ay pantay sa zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay pantay sa zero, at ang arko ay hindi mawawala ang kahulugan nito. Pagkatapos

Piliin ang mga ugat gamit ang yunit ng bilog (tingnan ang Larawan 2)