Lecture

Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Plano

1.Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

2.Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero.

3. Mga aksyon sa kumplikadong mga numero sa trigonometric form.

Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

a) Ang mga kumplikadong numero ay kinakatawan ng mga punto ng eroplano ayon sa sumusunod na panuntunan: a + bi = M ( a ; b ) (Larawan 1).

Larawan 1

b) Ang isang kumplikadong numero ay maaaring katawanin bilang isang vector na nagsisimula sa puntoTUNGKOL SA at magtatapos sa isang naibigay na punto (Larawan 2).

Figure 2

Halimbawa 7. Plot point na kumakatawan sa mga kumplikadong numero:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Larawan 3).

Larawan 3

Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numeroz = a + bi maaaring itakda gamit ang radius - vector may mga coordinate( a ; b ) (Larawan 4).

Larawan 4

Kahulugan . Haba ng vector kumakatawan sa kumplikadong numeroz , ay tinatawag na modulus ng numerong ito at tinutukoy or .

Para sa anumang kumplikadong numeroz modyul nitor = | z | ay natutukoy nang natatangi sa pamamagitan ng formula .

Kahulugan . Ang halaga ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng totoong axis at ng vector na kumakatawan sa isang kumplikadong numero ay tinatawag na argumento ng kumplikadong numero na ito at tinutukoyA rg z oφ .

Kumplikadong argumento ng numeroz = 0 hindi natukoy. Kumplikadong argumento ng numerozAng ≠ 0 ay isang multi-valued na dami at tinutukoy hanggang sa termino2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Saanarg z - ang pangunahing halaga ng argumento, na nakapaloob sa pagitan(-π; π] , yan ay-π < arg z ≤ π (kung minsan ang halaga na kabilang sa pagitan ay kinuha bilang pangunahing halaga ng argumento .

Ang formula na ito para sar =1 madalas na tinutukoy bilang formula ni De Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Halimbawa 11 Kalkulahin(1 + i ) 100 .

Sumulat tayo ng isang kumplikadong numero1 + i sa trigonometrikong anyo.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , kasalanan φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + nagkasala ako )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + kasalanan ko 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Pag-extract ng square root ng isang complex number.

Kapag kinukuha ang square root ng isang complex numbera + bi mayroon kaming dalawang kaso:

Kungb > tungkol sa , Iyon ;

3.1. Polar coordinate

Madalas na ginagamit sa eroplano polar coordinate system . Ito ay tinukoy kung ang isang punto O ay ibinigay, tinatawag poste, at isang sinag na nagmumula sa poste (para sa amin, ito ang axis Ox) ay ang polar axis. Ang posisyon ng point M ay naayos ng dalawang numero: radius (o radius vector) at ang anggulo φ sa pagitan ng polar axis at ng vector . Ang anggulo φ ay tinatawag polar anggulo; sinusukat sa radians at binibilang ng counterclockwise mula sa polar axis.

Ang posisyon ng isang punto sa polar coordinate system ay ibinibigay ng isang nakaayos na pares ng mga numero (r; φ). Sa poste r = 0 at ang φ ay hindi tinukoy. Para sa lahat ng iba pang mga punto r > 0 at ang φ ay tinukoy hanggang sa isang maramihang ng 2π. Sa kasong ito, ang mga pares ng mga numero (r; φ) at (r 1 ; φ 1) ay itinalaga sa parehong punto kung .

Para sa isang rectangular coordinate system xOy ang mga coordinate ng Cartesian ng isang punto ay madaling ipahayag sa mga tuntunin ng mga polar coordinate nito tulad ng sumusunod:

3.2. Geometric na interpretasyon ng isang kumplikadong numero

Isaalang-alang sa eroplano ang Cartesian rectangular coordinate system xOy.

Anumang kumplikadong numero z=(a, b) ay itinalaga ng isang punto ng eroplano na may mga coordinate ( x, y), Saan coordinate x = a, ibig sabihin. ang tunay na bahagi ng complex number, at ang coordinate y = bi ay ang haka-haka na bahagi.

Ang isang eroplano na ang mga punto ay kumplikadong mga numero ay isang kumplikadong eroplano.

Sa figure, ang kumplikadong numero z = (a, b) match point M(x, y).

Mag-ehersisyo.Gumuhit ng mga kumplikadong numero sa coordinate plane:

3.3. Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Ang isang kumplikadong numero sa eroplano ay may mga coordinate ng isang punto M(x; y). kung saan:

Pagsusulat ng complex number - trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero.

Ang numero r ay tinatawag modyul kumplikadong numero z at ipinapahiwatig. Ang module ay isang hindi negatibong tunay na numero. Para sa .

Ang modulus ay zero kung at kung lamang z = 0, ibig sabihin. a=b=0.

Ang numerong φ ay tinatawag argumento z at ipinapahiwatig. Ang argumentong z ay hindi malinaw na tinukoy, tulad ng polar angle sa polar coordinate system, ibig sabihin, hanggang sa isang multiple ng 2π.

Pagkatapos ay tinatanggap namin ang: , kung saan ang φ ay ang pinakamaliit na halaga ng argumento. Obvious naman yun

.

Sa isang mas malalim na pag-aaral ng paksa, isang pantulong na argumento φ* ay ipinakilala, tulad na

Halimbawa 1. Hanapin ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero.

Solusyon. 1) isinasaalang-alang namin ang modyul: ;

2) naghahanap ng φ: ;

3) trigonometrikong anyo:

Halimbawa 2 Hanapin ang algebraic form ng complex number .

Narito ito ay sapat na upang palitan ang mga halaga ng trigonometriko function at baguhin ang expression:

Halimbawa 3 Hanapin ang modulus at argumento ng isang complex number ;

1) ;

2); φ - sa 4 na quarters:

3.4. Mga operasyon na may mga kumplikadong numero sa trigonometriko na anyo

· Pagdagdag at pagbawas ito ay mas maginhawa upang gumanap sa mga kumplikadong numero sa algebraic form:

· Pagpaparami– sa tulong ng mga simpleng pagbabagong trigonometriko, maipapakita iyon kapag nagpaparami, ang mga module ng mga numero ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag: ;

2.3. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero

Hayaang maibigay ang vector sa kumplikadong eroplano sa pamamagitan ng numero.

Tukuyin sa pamamagitan ng φ ang anggulo sa pagitan ng positibong semi-axis na Ox at ng vector (ang anggulo φ ay itinuturing na positibo kung ito ay binibilang na pakaliwa, at negatibo kung hindi).

Tukuyin ang haba ng vector sa pamamagitan ng r. Tapos . Tinutukoy din namin

Pagsusulat ng non-zero complex number z bilang

ay tinatawag na trigonometric form ng complex number z. Ang numerong r ay tinatawag na modulus ng complex number z, at ang numerong φ ay tinatawag na argumento ng complex number na ito at tinutukoy ng Arg z.

Ang trigonometriko na anyo ng pagsulat ng isang kumplikadong numero - (pormula ni Euler) - isang exponential na paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero:

Ang kumplikadong numerong z ay may walang katapusang maraming argumento: kung ang φ0 ay anumang argumento ng numerong z, kung gayon ang lahat ng iba ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Para sa isang kumplikadong numero, ang argumento at trigonometric form ay hindi tinukoy.

Kaya, ang argumento ng isang non-zero complex number ay anumang solusyon sa sistema ng mga equation:

(3)

Ang halaga φ ng argumento ng isang kumplikadong numero z na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na pangunahing halaga at tinutukoy ng arg z.

Mga Argumento Arg z at arg z ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay

, (4)

Ang formula (5) ay resulta ng system (3), kaya lahat ng argumento ng complex number ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay (5), ngunit hindi lahat ng solusyon φ ng equation (5) ay mga argumento ng numerong z.

Ang pangunahing halaga ng argumento ng isang non-zero complex number ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

Ang mga formula para sa multiplikasyon at paghahati ng mga kumplikadong numero sa trigonometriko na anyo ay ang mga sumusunod:

. (7)

Kapag tinataas ang isang kumplikadong numero sa isang natural na kapangyarihan, ginagamit ang formula ni de Moivre:

Kapag kumukuha ng ugat mula sa isang kumplikadong numero, ginagamit ang formula:

, (9)

kung saan k=0, 1, 2, …, n-1.

Suliranin 54. Kalkulahin ang , kung saan .

Katawanin natin ang solusyon ng expression na ito sa exponential form ng pagsulat ng complex number: .

Kung , kung gayon .

tapos , . Samakatuwid, kung gayon At , Saan .

Sagot: , sa .

Suliranin 55. Sumulat ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko:

A); b); V); G); e); e) ; at).

Dahil ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay , kung gayon:

a) Sa isang kumplikadong numero: .

,

kaya lang

b) , Saan ,

G) , Saan ,

e) .

at) , A , Yung .

kaya lang

Sagot: ; 4; ; ; ; ; .

Suliranin 56. Hanapin ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero

.

Hayaan mo, .

tapos , , .

Dahil at , , pagkatapos , at

Samakatuwid, samakatuwid

Sagot: , Saan .

Suliranin 57. Gamit ang trigonometric form ng complex number, gawin ang mga sumusunod na aksyon: .

Isipin ang mga numero at sa trigonometrikong anyo.

1) , saan Pagkatapos

Paghahanap ng halaga ng pangunahing argumento:

Palitan ang mga halaga at sa expression, nakukuha namin

2) saan naman

Pagkatapos

3) Hanapin ang quotient

Sa pag-aakalang k=0, 1, 2, nakakakuha tayo ng tatlong magkakaibang halaga ng nais na ugat:

Kung , kung gayon

kung , kung gayon

kung , kung gayon .

Sagot: :

:

: .

Suliranin 58. Hayaan ang , , , ay magkaibang mga kumplikadong numero at . Patunayan mo yan

isang numero ay isang tunay na positibong numero;

b) nagaganap ang pagkakapantay-pantay:

a) Katawanin natin ang mga kumplikadong numerong ito sa anyong trigonometriko:

Dahil .

Magpanggap tayo na . Pagkatapos

.

Ang huling expression ay isang positibong numero, dahil may mga numero mula sa pagitan sa ilalim ng mga palatandaan ng sine.

kasi ang dami totoo at positibo. Sa katunayan, kung ang a at b ay kumplikadong mga numero at totoo at mas malaki kaysa sa zero, kung gayon .

Bukod sa,

kaya napatunayan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

Suliranin 59. Isulat ang numero sa anyong algebraic .

Kinakatawan namin ang numero sa trigonometric form, at pagkatapos ay hanapin ang algebraic form nito. Meron kami . Para sa nakuha namin ang sistema:

Mula dito sumusunod ang pagkakapantay-pantay: .

Paglalapat ng formula ni De Moivre:

nakukuha namin

Ang trigonometriko na anyo ng ibinigay na numero ay matatagpuan.

Isinulat namin ngayon ang numerong ito sa algebraic form:

.

Sagot: .

Problema 60. Hanapin ang kabuuan , ,

Isaalang-alang ang kabuuan

Ang paglalapat ng De Moivre formula, nakita namin

Ang kabuuan na ito ay ang kabuuan ng n termino ng isang geometric na pag-unlad na may denominator at unang miyembro .

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng naturang pag-unlad, mayroon tayo

Ang paghihiwalay ng haka-haka na bahagi sa huling pagpapahayag, makikita natin

Sa paghihiwalay ng tunay na bahagi, makukuha rin natin ang sumusunod na formula: , , .

Problema 61. Hanapin ang kabuuan:

A) ; b) .

Ayon sa formula ni Newton para sa pagtaas sa isang kapangyarihan, mayroon tayo

Ayon sa pormula ni De Moivre, makikita natin:

Ang equating ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng nakuha na mga expression para sa , mayroon kaming:

At .

Ang mga formula na ito ay maaaring isulat sa isang compact form tulad ng sumusunod:

,

, nasaan ang integer na bahagi ng numero a.

Problema 62. Hanapin ang lahat kung saan .

Dahil ang , pagkatapos, paglalapat ng formula

, Upang kunin ang mga ugat, nakukuha namin ,

Kaya naman, , ,

, .

Ang mga puntos na naaayon sa mga numero ay matatagpuan sa mga vertices ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog na radius 2 na nakasentro sa punto (0;0) (Larawan 30).

Sagot: , ,

, .

Suliranin 63. Lutasin ang equation , .

Sa pamamagitan ng kondisyon; samakatuwid, ang equation na ito ay walang ugat, at, samakatuwid, ito ay katumbas ng equation.

Upang ang numerong z ay maging ugat ng equation na ito, ang numero ay dapat na ika-n ugat ng numero 1.

Kaya't napagpasyahan namin na ang orihinal na equation ay may mga ugat na tinutukoy mula sa mga pagkakapantay-pantay

,

kaya,

,

i.e. ,

Sagot: .

Suliranin 64. Lutasin ang equation sa hanay ng mga kumplikadong numero.

Dahil ang numero ay hindi ang ugat ng equation na ito, kung gayon para sa equation na ito ay katumbas ng equation

Iyon ay, ang equation.

Ang lahat ng mga ugat ng equation na ito ay nakuha mula sa formula (tingnan ang problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Gumuhit sa kumplikadong eroplano ng isang hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay: . (Ikalawang paraan upang malutas ang problema 45)

Hayaan .

Ang mga kumplikadong numero na may parehong mga module ay tumutugma sa mga punto ng eroplano na nakahiga sa isang bilog na nakasentro sa pinagmulan, kaya ang hindi pagkakapantay-pantay bigyang-kasiyahan ang lahat ng mga punto ng isang bukas na singsing na napapalibutan ng mga bilog na may karaniwang sentro sa pinanggalingan at radii at (Larawan 31). Hayaang tumutugma ang ilang punto ng kumplikadong eroplano sa bilang na w0. Numero , ay may modulus na beses na mas maliit kaysa sa modulus w0, isang argumento na mas malaki kaysa sa argument na w0. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang puntong katumbas ng w1 ay maaaring makuha gamit ang isang homothety na nakasentro sa pinanggalingan at koepisyent , pati na rin sa isang counterclockwise na pag-ikot na nauugnay sa pinanggalingan. Bilang resulta ng paglalapat ng dalawang pagbabagong ito sa mga punto ng singsing (Larawan 31), ang huli ay magiging isang singsing na napapalibutan ng mga bilog na may parehong sentro at radii 1 at 2 (Larawan 32).

pagbabagong-anyo ay ipinatupad gamit ang parallel translation sa vector . Ang paglilipat ng singsing na nakasentro sa isang punto sa ipinahiwatig na vector, nakakakuha kami ng isang singsing na may parehong laki na nakasentro sa isang punto (Larawan 22).

Ang iminungkahing pamamaraan, na gumagamit ng ideya ng mga geometric na pagbabagong-anyo ng eroplano, ay malamang na hindi gaanong maginhawa sa paglalarawan, ngunit ito ay napaka-eleganteng at mahusay.

Suliranin 66. Hanapin kung .

Hayaan , pagkatapos at . Ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo . Mula sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong numero, nakukuha natin ang , , kung saan , . Kaya, .

Isulat natin ang numerong z sa trigonometric form:

, Saan , . Ayon sa pormula ni De Moivre, makikita natin ang .

Sagot: - 64.

Problema 67. Para sa isang kumplikadong numero, hanapin ang lahat ng mga kumplikadong numero tulad ng , at .

Katawanin natin ang numero sa trigonometric form:

. Kaya naman . Para sa isang numerong nakukuha natin , maaaring katumbas ng alinman .

Sa unang kaso , sa pangalawa

.

Sagot: , .

Suliranin 68. Hanapin ang kabuuan ng mga bilang na . Tukuyin ang isa sa mga numerong ito.

Tandaan na mula sa mismong pagbabalangkas ng problema ay mauunawaan na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay matatagpuan nang hindi kinakalkula ang mga ugat mismo. Sa katunayan, ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay ang koepisyent ng , kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda (ang pangkalahatang Vieta theorem), i.e.

Ang mga mag-aaral, dokumentasyon ng paaralan, ay gumuhit ng mga konklusyon tungkol sa antas ng asimilasyon ng konseptong ito. Ibuod ang pag-aaral ng mga tampok ng pag-iisip ng matematika at ang proseso ng pagbuo ng konsepto ng isang kumplikadong numero. Paglalarawan ng mga pamamaraan. Diagnostic: I stage. Isinagawa ang panayam sa isang guro sa matematika na nagtuturo ng algebra at geometry sa ika-10 baitang. Naganap ang pag-uusap pagkatapos ng ilang oras...

Resonance "(!)), na kinabibilangan din ng pagtatasa ng sariling pag-uugali. 4. Kritikal na pagtatasa ng pag-unawa ng isang tao sa sitwasyon (mga pagdududa). 5. Panghuli, ang paggamit ng mga rekomendasyon ng legal na sikolohiya (accounting para sa sikolohikal na aspeto ng ang mga propesyonal na aksyon na ginawa ng abogado - propesyonal na sikolohikal na paghahanda). Isaalang-alang natin ngayon ang sikolohikal na pagsusuri ng mga legal na katotohanan. ...

Matematika ng trigonometriko na pagpapalit at pagpapatunay ng pagiging epektibo ng binuo na pamamaraan ng pagtuturo. Mga yugto ng trabaho: 1. Pagbuo ng isang opsyonal na kurso sa paksang: "Paglalapat ng trigonometric substitution para sa paglutas ng mga problema sa algebraic" sa mga mag-aaral sa mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika. 2. Pagsasagawa ng binuong opsyonal na kurso. 3. Pagsasagawa ng diagnostic control...

Ang mga gawaing nagbibigay-malay ay inilaan lamang upang madagdagan ang umiiral na mga pantulong sa pagtuturo at dapat ay nasa isang naaangkop na kumbinasyon sa lahat ng tradisyonal na paraan at elemento ng proseso ng edukasyon. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga problemang pang-edukasyon sa pagtuturo ng humanities mula sa eksaktong, mga problema sa matematika ay sa katotohanan lamang na walang mga formula, mahigpit na algorithm, atbp. sa mga problema sa kasaysayan, na nagpapalubha sa kanilang solusyon. ...

Upang matukoy ang posisyon ng isang punto sa isang eroplano, maaari mong gamitin ang mga polar coordinates [g, (p), Saan G ay ang distansya ng punto mula sa pinanggalingan, at (R- ang anggulo na ginagawa ng radius - ang vector ng puntong ito na may positibong direksyon ng axis Oh. Positibong direksyon ng pagbabago ng anggulo (R counterclockwise na direksyon ay isinasaalang-alang. Gamit ang kaugnayan sa pagitan ng Cartesian at polar coordinates: x \u003d r cos cf, y \u003d r kasalanan (p,

nakukuha natin ang trigonometric form ng complex number

z - r(kasalanan (p + i kasalanan

saan G

Xi + y2, (p ay ang argumento ng isang kumplikadong numero, na matatagpuan mula sa

l X . y y

mga formula cos(p --, kasalanan^9 = - o dahil sa katotohanan na tg(p --, (p-arctg

Tandaan na kapag pumipili ng mga halaga ikasal mula sa huling equation, kinakailangang isaalang-alang ang mga palatandaan x at y.

Halimbawa 47. Sumulat ng complex number sa trigonometric form 2 \u003d -1 + l / Z / .

Solusyon. Hanapin ang modulus at argumento ng complex number:

= yj 1 + 3 = 2 . Sulok ikasal hanapin mula sa mga relasyon cos(p = -, kasalanan(p = - . Pagkatapos

nakukuha namin cos(p = -,suup

u/z g~

• - -. Malinaw, ang puntong z = -1 + V3-/ ay
• 2 Upang 3

sa ikalawang quarter: (R= 120°

Pagpapalit

2 k.. cos-h; kasalanan

sa formula (1) natagpuan ang 27G L

Magkomento. Ang argumento ng isang kumplikadong numero ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa isang termino na isang multiple ng 2p. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng cn^r italaga

halaga ng argumento na nakapaloob sa loob (p 0 %2 Pagkatapos

A) ^ r = + 2kk.

Gamit ang kilalang Euler formula e, nakukuha namin ang exponential form ng complex number.

Meron kami r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Mga operasyon sa mga kumplikadong numero

• 1. Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero r, = X] + y x/ at r 2 - x 2 + y 2 / ay tinutukoy ayon sa formula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Ang operasyon ng pagbabawas ng mga kumplikadong numero ay tinukoy bilang ang operasyon na kabaligtaran sa karagdagan. Kumplikadong numero g \u003d g x - g 2, Kung g 2 + g \u003d g x,

ay ang pagkakaiba ng mga kumplikadong numero 2, at g 2 . Pagkatapos r = (x, - x 2) + (y, - sa 2) /.

• 3. Produkto ng dalawang kumplikadong numero g x= x, +y, -z at 2 2 = x 2+ U2 Ang 'g ay tinutukoy ng formula
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Sa1 Sa2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Sa partikular, y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Makukuha mo ang mga formula ng multiplikasyon para sa mga kumplikadong numero sa mga exponential at trigonometriko na anyo. Meron kami:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Ang dibisyon ng mga kumplikadong numero ay tinukoy bilang ang kabaligtaran na operasyon

pagpaparami, i.e. numero G-- ay tinatawag na quotient ng dibisyon ng r! sa g 2,

Kung r x -1 2 ? 2 . Pagkatapos

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Ang pagpapataas ng isang kumplikadong numero sa isang positibong integer na kapangyarihan ay pinakamahusay na gawin kung ang numero ay nakasulat sa exponential o trigonometric forms.

Sa katunayan, kung z = ge 1 noon

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

Formula g" =r n (cosn(p+ay n(p) ay tinatawag na formula ni De Moivre.

6. Pagkuha ng ugat P- Ang kapangyarihan ng isang kumplikadong numero ay tinukoy bilang ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation p, p- 1,2,3,... ibig sabihin. kumplikadong numero = y[g tinatawag na ugat P- ika antas ng isang kumplikadong numero

d kung G = g x. Mula sa kahulugang ito ay sinusundan iyon g - g", A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, na sumusunod mula sa Moivre formula na isinulat para sa numero = r/*+ ippp(p).

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang argumento ng isang kumplikadong numero ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa isang termino na isang multiple ng 2 at. kaya lang = (p + 2pc, at ang argumento ng numerong r, depende sa kay, magpakilala (p sa at boo

dem kalkulahin sa pamamagitan ng formula (p sa= - + . Malinaw na meron P com-

mga numero ng plex, P ang kapangyarihan nito ay katumbas ng bilang 2. Ang mga numerong ito ay may isa

at ang parehong module, katumbas ng y[r, at ang mga argumento ng mga numerong ito ay nakuha ng Upang = 0, 1, P - 1. Kaya, sa trigonometric form, ang ugat ng i-th degree ay kinakalkula ng formula:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, Upang = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

at sa exponential form - ayon sa formula l[r - y[ge n

Halimbawa 48. Magsagawa ng mga operasyon sa mga kumplikadong numero sa algebraic form:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Halimbawa 49. Itaas ang numero r \u003d Uz - / sa ikalimang kapangyarihan.

Solusyon. Nakukuha natin ang trigonometrikong anyo ng pagsulat ng bilang r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (s-o "(s-o

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 s__±.
• 5 2 1 "

Mula rito O--, A r = 2

Moivre na nakukuha natin: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -US-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Halimbawa 50 Hanapin ang lahat ng mga halaga

Solusyon, r = 2, a ikasal hanapin mula sa equation coy(p = -, zt--.

Ang puntong ito 1 - /d/z ay nasa ikaapat na quarter, i.e. f =--. Pagkatapos

• 1 - 2
• ( ( UG L

Ang mga halaga ng ugat ay matatagpuan mula sa expression

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- at 81П-

Sa kay- 0 mayroon tayong 2 0 = l/2

Maaari mong mahanap ang mga halaga ng ugat ng numero 2 sa pamamagitan ng pagpapakita ng numero sa display

-* SA/ 3 + 2 klase

Sa Upang= 1 mayroon kaming isa pang root value:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

kasama - 7G + / 5Sh - Ako "

l/3__t_

anyo ng katawan. kasi r= 2, a ikasal= , pagkatapos r = 2е 3 , at y[g = y/2e 2