Fonksiyonların sürekliliği. Fonksiyonların sürekliliği - teoremler ve özellikler Bir fonksiyon örneğinin süreklilik aralıkları nasıl bulunur?

Ders 4.

Fonksiyonların sürekliliği

1. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Tanım 1. Fonksiyona izin ver sen=F(X) noktasında tanımlanır X 0 ve bu noktanın bir mahallesinde. İşlev sen=F(X) denir x noktasında sürekli 0 Fonksiyonun bu noktada bir limiti varsa ve fonksiyonun bu noktadaki değerine eşitse yani;

Böylece fonksiyonun devamlılığının koşulu sen=F(X) noktada X 0 bu mu:

Çünkü
ise eşitlik (32) şu şekilde yazılabilir:

(33)

Bu şu anlama gelir: sürekli bir fonksiyonun limitini bulmaF(X) fonksiyon işareti altında limite gidilebilir, yani. bir fonksiyona F(X) argüman yerine X sınır değerini değiştir X 0 .

lim günah X=sin(lim X);

lim arktan X=arctg(lim X); (34)

lim günlüğü X=log(lim X).

Egzersiz yapmak. Limiti bulun: 1) ; 2)
.

Argüman artışı ve fonksiyon kavramlarına dayanarak bir fonksiyonun sürekliliğini tanımlayalım.

Çünkü koşullar ve
özdeşse (Şekil 4), eşitlik (32) şu şekli alır:

veya
.

Tanım 2.İşlev sen=F(X) denir x noktasında sürekli 0 , bir noktada tanımlanmışsa X 0 ve komşuluğu ve argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık gelir.

Egzersiz yapmak. Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin sen=2X 2 1.

Bir noktada sürekli olan fonksiyonların özellikleri

1. Eğer işlevler F(X) Ve φ (X) noktasında süreklidir X 0, sonra toplamları
, iş
ve özel
(verilen
) fonksiyonlar bu noktada süreklidir X 0 .

2. Eğer fonksiyon en=F(X) noktasında süreklidir X 0 ve F(X 0)>0 ise noktanın böyle bir komşuluğu vardır X 0 , burada F(X)>0.

3. Eğer fonksiyon en=F(sen) u 0 noktasında süreklidir ve u= fonksiyonu φ (X) noktasında süreklidir sen 0 = φ (X 0 ), o zaman karmaşık bir fonksiyon sen=F[φ (X)] noktasında süreklidir X 0 .

2. Bir fonksiyonun aralıkta ve doğru parçası üzerinde sürekliliği

Fonksiyon sen=F(X) denir aralıkta sürekli (A; B), eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.

Fonksiyon sen=F(X) denir segmentte sürekli [A; B] aralıkta sürekli ise ( A; B) ve bu noktada X=A sağda (yani) süreklidir ve noktada X=B sürekli bırakılır (ör.
).

3. Fonksiyon süreksizlik noktaları ve sınıflandırılması

Bir fonksiyonun sürekliliğinin bozulduğu noktalara denir. kırılma noktaları bu fonksiyon.

Eğer X=X 0 – fonksiyon kırılma noktası sen=F(X), o zaman bir fonksiyonun sürekliliğinin ilk tanımının koşullarından en az biri karşılanmıyor.

Örnek.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Kırılma noktası X 0'a kırılma noktası denir birinci tür işlevler sen=F(X), eğer bu noktada fonksiyonun solda ve sağda sonlu limitleri varsa (tek taraflı limitler), yani
Ve
. Burada:

Büyüklük | A 1 -A 2 | isminde fonksiyon atlama birinci türden süreksizlik noktasında. ▲

▼Kırılma noktası X 0'a kırılma noktası denir ikinci tür işlevler sen=F(X), eğer tek taraflı limitlerden (sol veya sağ) en az biri mevcut değilse veya sonsuza eşitse. ▲

Egzersiz yapmak.İşlevler için kırılma noktalarını bulun ve türlerini öğrenin:

1)
; 2)
.

4. Sürekli fonksiyonlarla ilgili temel teoremler

Fonksiyonların sürekliliğine ilişkin teoremler doğrudan limitlere ilişkin ilgili teoremlerden kaynaklanır.

Teorem 1.İki sürekli fonksiyonun toplamı, ürünü ve bölümü sürekli bir fonksiyondur (bölgenin sıfıra eşit olmadığı argüman değerleri hariç, bölüm için).

Teorem 2. Fonksiyonlara izin ver sen=φ (X) noktasında süreklidir X 0 ve fonksiyon sen=F(sen) noktasında süreklidir sen=φ (X 0 ). Daha sonra karmaşık fonksiyon F(φ (X)), sürekli fonksiyonlardan oluşan, noktada süreklidir X 0 .

Teorem 3. Eğer fonksiyon sen=F(X) [ üzerinde sürekli ve kesinlikle monotondur A; B] eksenler Ah, sonra ters fonksiyon en=φ (X) aynı zamanda karşılık gelen segmentte sürekli ve monotondur [ C;D] eksenler OU.

Her temel fonksiyon tanımlandığı her noktada süreklidir.

5. Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri

Weierstrass teoremi. Bir fonksiyon bir segment üzerinde sürekli ise bu segment üzerinde maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Sonuçlar. Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.

Bolzano-Cauchy teoremi. Eğer fonksiyon sen=F(X) aralığında süreklidir [ A; B] ve uçlarında eşit olmayan değerler alır F(A)=A Ve F(B)=B,
, o zaman sayı ne olursa olsun İLE arasında sonuçlandırılmıştır A Ve İÇİNDE, bir nokta var öyle ki F(C)=C.

Geometrik olarak teorem açıktır. Herhangi bir sayı için İLE arasında sonuçlandırılmıştır A Ve İÇİNDE, bu doğru parçasının içinde öyle bir c noktası var ki F(İLE)=C. Dümdüz en=İLE fonksiyonun grafiğini en az bir noktada keser.

Sonuçlar. Eğer fonksiyon sen=F(X) aralığında süreklidir [ A; B] ve uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alır, sonra segmentin içinde [ A; B] en az bir nokta var İle, burada fonksiyon sen=F(X) sıfıra gider: F(C)=0.

Geometrik teoremin anlamı: sürekli bir fonksiyonun grafiği eksenin bir tarafından geçiyorsa Ah diğerine doğru eksenle kesişir Ah.

Tanım. Bir x 0 noktasının komşuluğunda tanımlanan f(x) fonksiyonuna denir. bir noktada sürekli x 0 eğer fonksiyonun limiti ve bu noktadaki değeri eşitse;

Aynı gerçek farklı şekilde yazılabilir:

Tanım. Eğer f(x) fonksiyonu x 0 noktasının bir komşuluğunda tanımlıysa ancak x 0 noktasında sürekli değilse bu fonksiyona fonksiyon denir. patlayıcı fonksiyonudur ve x 0 noktası süreksizlik noktasıdır.

Sürekli fonksiyon örneği:

sen

0 x 0 - x 0 x 0 +x

P süreksiz fonksiyon örneği:

Tanım. Herhangi bir pozitif sayı için >0 varsa, herhangi bir x için koşulu sağlayacak şekilde bir >0 sayısı varsa f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında sürekli denir.

eşitsizlik doğru
.

Tanım. f(x) fonksiyonu çağrılır sürekli x = x 0 noktasında, fonksiyonun x 0 noktasındaki artışı sonsuz küçük bir değerse.

f(x) = f(x 0) + (x)

burada (x) xx 0'da sonsuz küçüktür.

Sürekli fonksiyonların özellikleri.

1) x 0 noktasında sürekli olan fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımı, x 0 noktasında sürekli olan bir fonksiyondur.

2) İki sürekli fonksiyonun bölümü – g(x)'in x 0 noktasında sıfıra eşit olmaması koşuluyla sürekli bir fonksiyondur.

3) Sürekli fonksiyonların süperpozisyonu sürekli bir fonksiyondur.

Bu özellik şu şekilde yazılabilir:

Eğer u = f(x), v = g(x), x = x 0 noktasında sürekli fonksiyonlarsa, v = g(f(x)) fonksiyonu da bu noktada sürekli bir fonksiyondur.

Yukarıdaki özelliklerin geçerliliği limit teoremleri kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.

Bazı temel fonksiyonların sürekliliği.

1) f(x) = C, C = const fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca sürekli bir fonksiyondur.

2) Rasyonel fonksiyon
paydanın sıfır olduğu durumlar dışında x'in tüm değerleri için süreklidir. Dolayısıyla bu tür bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

3) Sin ve cos trigonometrik fonksiyonlar tanım bölgelerinde süreklidir.

y = sinx fonksiyonu için özellik 3'ü kanıtlayalım.

y = sin(x + x) – sinx fonksiyonunun artışını veya dönüşümden sonra yazalım:

Aslında iki fonksiyonun çarpımı için bir sınır vardır.
Ve
. Bu durumda kosinüs fonksiyonu х0'da sınırlı bir fonksiyondur.
, ve çünkü

sinüs fonksiyonunun limiti
, o zaman х0'da sonsuz küçüktür.

Dolayısıyla sınırlı bir fonksiyonun ve sonsuz küçük bir fonksiyonun çarpımı vardır, dolayısıyla bu çarpım, yani. у fonksiyonu sonsuz küçüktür. Yukarıda tartışılan tanımlara uygun olarak, y = sinx fonksiyonu tanım alanındaki herhangi bir x = x 0 değeri için sürekli bir fonksiyondur, çünkü bu noktadaki artışı sonsuz küçük bir değerdir.

Kırılma noktaları ve sınıflandırılması.

Bu noktanın kendisi hariç olmak üzere, x 0 noktası civarında sürekli olan bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. Bir fonksiyonun kırılma noktasının tanımından, eğer fonksiyon bu noktada tanımlanmamışsa veya bu noktada sürekli değilse x = x 0'ın bir kırılma noktası olduğu sonucu çıkar.

Bir fonksiyonun sürekliliğinin tek taraflı olabileceği de unutulmamalıdır. Bunu şu şekilde açıklayalım.

ise fonksiyona sağ sürekli olduğu söylenir.

Tek taraflı limit ise (yukarıya bakın)
ise fonksiyona sürekli bırakıldığı söylenir.

Tanım. x 0 noktasına denir kırılma noktası f(x) x 0 noktasında tanımlı değilse veya bu noktada sürekli değilse f(x) fonksiyonu.

Tanım. x 0 noktasına denir 1. tür süreksizlik noktası, eğer bu noktada f(x) fonksiyonunun sonlu fakat eşit olmayan sol ve sağ limitleri varsa.

Bu tanımın koşullarını sağlamak için fonksiyonun x = x 0 noktasında tanımlanmasına gerek yoktur, solunda ve sağında tanımlanmış olması yeterlidir.

Tanımdan, 1. türden süreksizlik noktasında bir fonksiyonun yalnızca sonlu bir sıçramaya sahip olabileceği sonucuna varabiliriz. Bazı özel durumlarda 1. tür süreksizlik noktasına bazen denir. çıkarılabilir kırılma noktası, ancak aşağıda bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Tanım. x 0 noktasına denir 2. tür süreksizlik noktası, eğer bu noktada f(x) fonksiyonu tek taraflı limitlerden en az birine sahip değilse veya bunlardan en az biri sonsuzsa.

Bir fonksiyonun aralık ve parça üzerinde sürekliliği.

Tanım. f(x) fonksiyonu çağrılır bir aralıkta sürekli (bölüm), eğer aralığın (bölüm) herhangi bir noktasında sürekli ise.

Bu durumda parçanın veya aralığın uçlarında fonksiyonun sürekliliğine gerek yoktur; parçanın veya aralığın uçlarında yalnızca tek taraflı süreklilik gerekir.

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri.

Özellik 1: (Weierstrass'ın ilk teoremi (Carl Weierstrass (1815-1897) - Alman matematikçi)). Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır; Parçada –M  f(x)  M koşulu sağlanır.

Bu özelliğin kanıtı, x 0 noktasında sürekli olan bir fonksiyonun belirli bir komşulukla sınırlı olduğu ve parçayı noktaya kadar "daralmış" sonsuz sayıda parçaya böldüğünüz gerçeğine dayanmaktadır. x 0 ise x 0 noktasının belli bir komşuluğu oluşur.

Özellik 2: Segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, üzerindeki en büyük ve en küçük değerleri alır.

Onlar. f(x 1) = m, f(x 2) = M olacak şekilde x 1 ve x 2 değerleri vardır ve

m  f(x)  M

Fonksiyonun bir segmentte birkaç kez alabileceği en büyük ve en küçük değerleri (örneğin f(x) = sinx) not edelim.

Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farka denir. tereddüt bir segmentte çalışır.

Özellik 3: (İkinci Bolzano-Cauchy teoremi). Aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, bu aralıkta iki keyfi değer arasındaki tüm değerleri alır.

Özellik 4: Eğer f(x) fonksiyonu x = x 0 noktasında sürekliyse, o zaman x 0 noktasının, fonksiyonun işaretini koruduğu bir komşuluğu vardır.

Özellik 5: (Bolzano'nun ilk teoremi (1781-1848) - Cauchy). Bir f(x) fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde sürekliyse ve parçanın uçlarında zıt işaretli değerlere sahipse, o zaman bu parçanın içinde f(x) = 0 olan bir nokta vardır.

Onlar. eğer işaret(f(a))  işaret(f(b)) ise  x 0: f(x 0) = 0.

Örnek.

x = -1 noktasında fonksiyon x = 1 noktasında süreklidir 1. türden süreksizlik noktası

en

Örnek. Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve varsa süreksizlik noktalarının türünü belirleyin.

x = 0 noktasında fonksiyon x = 1 noktasında süreklidir 1. türden süreksizlik noktası

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımı verilmiştir. Heine'ye göre, Cauchy'ye göre ve artışlar açısından eşdeğer tanımlar dikkate alınmıştır. Bir parçanın uçlarındaki tek taraflı sürekliliğin belirlenmesi. Süreklilik eksikliğinin formülasyonu. Heine ve Cauchy tanımlarını kullanarak bir fonksiyonun sürekliliğini kanıtlamanın gerekli olduğu örnekler analiz edilmiştir.

İçerik

Ayrıca bakınız: Bir fonksiyonun limiti - tanımlar, teoremler ve özellikler

Bir noktada süreklilik

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini belirleme
Fonksiyon f (X) isminde x noktasında sürekli 0 mahalle U (x0) bu noktada ve eğer x'in limiti x'e doğru gidiyorsa 0 vardır ve fonksiyonun x noktasındaki değerine eşittir 0 :
.

Bu şu anlama gelir: x 0 - bu son noktadır. İçindeki fonksiyon değeri yalnızca sonlu bir sayı olabilir.

Sağda sürekliliğin tanımı (solda)
Fonksiyon f (X) isminde x noktasında sağda (solda) sürekli 0 , eğer bu noktanın sağ taraftaki (sol taraftaki) bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve x noktasındaki sağ (sol) limit ise 0 x'teki fonksiyon değerine eşit 0 :
.

Örnekler

örnek 1

Heine ve Cauchy tanımlarını kullanarak fonksiyonun her x için sürekli olduğunu kanıtlayın.

Rastgele bir sayı olsun. Verilen fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğunu kanıtlayalım. Fonksiyon tüm x için tanımlanmıştır. Dolayısıyla bir noktada ve onun herhangi bir mahallesinde tanımlanır.

Heine'nin tanımını kullanıyoruz

Kullanalım. Şuna yakınsayan keyfi bir dizi olsun: . Elimizdeki dizilerin çarpımının limiti özelliğini uygulayarak:
.
'ye yakınsayan keyfi bir dizi olduğundan, o zaman
.
Süreklilik kanıtlanmıştır.

Cauchy tanımını kullanıyoruz

Kullanalım.
Olayı ele alalım. Noktanın herhangi bir mahallesindeki işlevi dikkate alma hakkımız var. Bu nedenle şunu varsayacağız:
(A1.1) .

Formülü uygulayalım:
.
(A1.1) dikkate alınarak aşağıdaki tahminde bulunulur:

;
(A1.2) .

(A1.2)'yi uygulayarak farkın mutlak değerini tahmin ederiz:
;
(A1.3) .
.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A1.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .

.

Şimdi asıl noktaya bakalım. Bu durumda
.
.

.
Bu, fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, n'nin bir doğal sayı olduğu fonksiyonun tüm reel eksen üzerinde sürekli olduğu kanıtlanabilir.

Örnek 2

Kullanarak fonksiyonun herkes için sürekli olduğunu kanıtlayın.

Verilen fonksiyon adresinde tanımlanmıştır. noktasında sürekli olduğunu kanıtlayalım.

Olayı ele alalım.
Noktanın herhangi bir mahallesindeki işlevi dikkate alma hakkımız var. Bu nedenle şunu varsayacağız:
(A2.1) .

Formülü uygulayalım:
(A2.2) .
Hadi koyalım. Daha sonra
.

(A2.1) dikkate alınarak aşağıdaki tahminde bulunulur:


.
Bu yüzden,
.

Bu eşitsizliği uygulayarak ve (A2.2)'yi kullanarak farkı tahmin ediyoruz:

.
Bu yüzden,
(A2.3) .

Pozitif sayıları tanıtıyoruz ve bunları aşağıdaki ilişkilerle birleştiriyoruz:
.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A2.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .

Bu, herhangi bir pozitif için her zaman bir olduğu anlamına gelir. Daha sonra eşitsizliği sağlayan tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik otomatik olarak sağlanır:
.
Bu, fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğu anlamına gelir.

Şimdi asıl noktaya bakalım. Verilen fonksiyonun sağdaki bu noktada sürekli olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu durumda
.
Pozitif sayıları girin ve:
.

Bu, herhangi bir pozitif için her zaman var olduğunu gösterir. O halde tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
Bu demektir . Yani fonksiyon sağ tarafta süreklidir.

Benzer şekilde, n'nin bir doğal sayı olduğu fonksiyonun için sürekli olduğu kanıtlanabilir.

Referanslar:
O.I. Besov. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.

Ayrıca bakınız: Tanım. Bir f(x) fonksiyonu belirli bir aralıkta tanımlansın ve x 0 bu aralıkta bir nokta olsun. Eğer ise f(x)'in x 0 noktasında sürekli olduğu söylenir.
Tanımdan, yalnızca f(x)'in tanımlandığı noktalarla ilgili olarak süreklilikten bahsedebileceğimiz anlaşılmaktadır (bir fonksiyonun limiti tanımlanırken böyle bir koşul belirlenmemiştir). Sürekli fonksiyonlar için yani f ve lim işlemleri değişmelidir. Buna göre, bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin iki tanımına iki süreklilik tanımı verilebilir - “diziler dilinde” ve “eşitsizlikler dilinde” (ε-δ dilinde). Bunu kendinizin yapmanız önerilir.
Pratik kullanım için bazen sürekliliği artışlar dilinde tanımlamak daha uygundur.
Δx=x-x 0 değerine argümanın artışı denir ve Δy=f(x)-f(x 0), x 0 noktasından x noktasına hareket ederken fonksiyonun artışıdır.
Tanım. f(x) x 0 noktasında tanımlı olsun. Bir f(x) fonksiyonu, bu noktada argümanın sonsuz küçük bir artışı, fonksiyonun sonsuz küçük bir artışına karşılık geliyorsa, yani Δx→0 için Δy→0 ise x 0 noktasında sürekli olarak adlandırılır.

Örnek No.1. y=sinx fonksiyonunun herhangi bir x değeri için sürekli olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. X 0 keyfi bir nokta olsun. Buna Δx'lik bir artış vererek, x=x 0 + Δx noktasını elde ederiz. O halde Δy=f(x)-f(x 0) = sin(x 0 +Δx)-sin(x) = . Aldık .

Tanım . y=f(x) fonksiyonuna sağdaki (soldaki) x 0 noktasında sürekli denir, eğer
.
Bir iç noktada sürekli olan bir fonksiyon hem sağdan hem de soldan sürekli olacaktır. Bunun tersi de doğrudur: Bir fonksiyon sol ve sağdaki bir noktada sürekliyse, o noktada da sürekli olacaktır. Ancak bir fonksiyon yalnızca bir tarafta sürekli olabilir. Örneğin, , , f(1)=1, dolayısıyla bu fonksiyon yalnızca solda süreklidir (bu fonksiyonun grafiği için yukarıdaki paragraf 5.7.2'ye bakınız).
Tanım. Bir fonksiyon, eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise, bu aralıkta sürekli olarak adlandırılır.
Özellikle aralık bir parça ise, uçlarında tek taraflı süreklilik ima edilir.

Sürekli fonksiyonların özellikleri

1. Tüm temel fonksiyonlar kendi tanım alanlarında süreklidir.
2. Belirli bir aralıkta verilen f(x) ve φ(x) bu aralığın x 0 noktasında sürekli ise fonksiyonlar bu noktada da sürekli olacaktır.
3. Eğer y=f(x), X'ten itibaren x 0 noktasında sürekliyse ve z=φ(y), Y'den itibaren karşılık gelen y 0 =f(x 0) noktasında sürekliyse, bu durumda z=φ karmaşık fonksiyonu (f(x)) x 0 noktasında sürekli olacaktır.

Fonksiyon araları ve sınıflandırılması

f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki sürekliliğinin bir işareti eşitliktir, bu da üç koşulun varlığına işaret eder:
1) f(x) x 0 noktasında tanımlıdır;
2) ;
3) .
Bu gereksinimlerden en az birinin ihlal edilmesi durumunda x 0'a fonksiyonun kırılma noktası denir. Başka bir deyişle kırılma noktası bu fonksiyonun sürekli olmadığı noktadır. Kırılma noktalarının tanımından bir fonksiyonun kırılma noktalarının şu şekilde olduğu anlaşılmaktadır:
a) f(x)'in süreklilik özelliğini kaybettiği fonksiyonun tanım bölgesine ait noktalar,
b) f(x)'in tanım alanına ait olmayan, fonksiyonun tanım kümesinin iki aralığının bitişik noktaları olan noktalar.
Örneğin bir fonksiyon için x=0 noktası bir kırılma noktasıdır çünkü bu noktadaki fonksiyon tanımlı değildir ve fonksiyon f(x) tanım bölgesinin iki aralığına (-∞,1) ve (1,∞) komşu olan x=1 noktasında bir süreksizliği vardır ve mevcut değildir.

Kırılma noktaları için aşağıdaki sınıflandırma benimsenmiştir.
1) Eğer x 0 noktasında sonlu taneler varsa Ve , ancak f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), bu durumda x 0 denir Birinci türden süreksizlik noktası , ve denir fonksiyon atlama .

Örnek 2. İşlevi düşünün
Fonksiyon yalnızca x=2 noktasında kırılabilir (diğer noktalarda herhangi bir polinom gibi süreklidir).
Bulacağız , . Tek taraflı limitler sonlu fakat birbirine eşit olmadığından, x=2 noktasında fonksiyon birinci türden bir süreksizliğe sahiptir. dikkat et ki , dolayısıyla bu noktadaki fonksiyon sağda süreklidir (Şekil 2).
2) İkinci türden süreksizlik noktaları tek taraflı limitlerden en az birinin ∞'a eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir.

Örnek 3. y=2 1/ x fonksiyonu x=0 dışındaki tüm x değerleri için süreklidir. Tek taraflı limitleri bulalım: , dolayısıyla x=0 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır (Şekil 3).
3) x=x 0 noktasına denir çıkarılabilir kırılma noktası , eğer f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0) ise.
Bu noktada fonksiyonun değerini ayarlayarak değiştirmenin (yeniden tanımlamanın veya yeniden tanımlamanın) yeterli olması anlamında boşluğu “ortadan kaldıracağız” ve fonksiyon x 0 noktasında sürekli hale gelecektir.
Örnek 4. biliniyor ki ve bu limit x'in sıfıra eğilimine bağlı değildir. Ancak x=0 noktasındaki fonksiyon tanımlı değildir. Fonksiyonu f(0)=1 olarak yeniden tanımlarsak, bu noktada sürekli olduğu ortaya çıkar (diğer noktalarda sinx ve x sürekli fonksiyonlarının bölümü kadar süreklidir).
Örnek 5. Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin .
Çözüm. y=x 3 ve y=2x fonksiyonları tanımlanmış ve belirtilen aralıklar dahil her yerde süreklidir. x=0 aralıklarının birleşim noktasını inceleyelim:
, , . Bunu elde ederiz, bu da x=0 noktasında fonksiyonun sürekli olduğunu gösterir.
Tanım. Birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktası veya çıkarılabilir süreksizlik dışında bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyona, bu aralıkta parçalı sürekli denir.

Süreksiz fonksiyon örnekleri

Örnek 1. Fonksiyon x=2 noktası dışında (-∞,+∞) üzerinde tanımlı ve süreklidir. Mola türünü belirleyelim. Çünkü Ve ise x=2 noktasında ikinci türden bir süreksizlik vardır (Şekil 6).
Örnek 2. Fonksiyon, paydanın sıfır olduğu x=0 dışındaki tüm x'ler için tanımlı ve süreklidir. x=0 noktasındaki tek taraflı limitleri bulalım:
Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır, dolayısıyla x=0 birinci türden bir süreksizlik noktasıdır (Şekil 7).
Örnek 3. Fonksiyonun hangi noktalarda ve ne tür süreksizliklere sahip olduğunu belirleyin
Bu fonksiyon [-2,2] üzerinde tanımlanır. x 2 ve 1/x sırasıyla [-2,0] ve , aralıklarında sürekli olduğundan süreksizlik ancak aralıkların birleşim noktasında yani x=0 noktasında meydana gelebilir. 'den beri x=0 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır.

Örnek 4. İşlev boşluklarını ortadan kaldırmak mümkün mü:
A) x=2 noktasında;
B) x=2 noktasında;
V) x=1 noktasında?
Çözüm. Örnek a) ile ilgili olarak, x=2 noktasındaki f(x) süreksizliğinin ortadan kaldırılamayacağını hemen söyleyebiliriz, çünkü bu noktada sonsuz tek taraflı limitler vardır (bkz. örnek 1).
b) g(x) fonksiyonu x=2 noktasında sonlu tek taraflı limitlere sahip olmasına rağmen

(,),

ama örtüşmüyorlar, dolayısıyla aradaki fark da giderilemiyor.
c) φ(x) fonksiyonunun x=1 süreksizlik noktasında eşit tek taraflı sonlu limitleri vardır: . Bu nedenle, x=1'deki fonksiyon f(1)=2 yerine f(1)=1 konularak yeniden tanımlanarak boşluk ortadan kaldırılabilir.

Örnek No. 5. Dirichlet fonksiyonunun olduğunu gösterin

sayısal eksen üzerindeki her noktada süreksizdir.
Çözüm. x 0 (-∞,+∞)'dan herhangi bir nokta olsun. Her mahallesinde hem rasyonel hem de irrasyonel noktalar vardır. Bu, x 0'ın herhangi bir komşuluğunda fonksiyonun 0 ve 1 değerlerine sahip olacağı anlamına gelir. Bu durumda fonksiyonun x 0 noktasındaki limiti ne solda ne de sağda olamaz, yani şu anlama gelir: Dirichlet fonksiyonu gerçek eksen üzerindeki her noktada ikinci türden süreksizliklere sahiptir.

Örnek 6. İşlev kesme noktalarını bulun

ve türlerini belirleyin.
Çözüm. Kırıldığından şüphelenilen noktalar x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3 noktalarıdır.
x 1 =2 f(x) noktasında ikinci türden bir süreksizlik vardır, çünkü
.
x 2 =5 noktası bir süreklilik noktasıdır, çünkü fonksiyonun bu noktadaki ve yakınındaki değeri birinci değil ikinci çizgi tarafından belirlenir: .
x 3 =3: noktasını inceleyelim, Buradan x=3'ün birinci türden bir süreksizlik noktası olduğu sonucu çıkar.

Bağımsız karar için.
Fonksiyonları süreklilik açısından inceleyin ve süreksizlik noktalarının türünü belirleyin:
1) ; Cevap: x=-1 – çıkarılabilir süreksizlik noktası;
2) ; Cevap: x=8 noktasındaki ikinci tür süreksizlik;
3) ; Cevap: x=1'de birinci tür süreksizlik;
4)
Cevap: x 1 =-5 noktasında çıkarılabilir bir boşluk vardır, x 2 =1'de ikinci türden bir boşluk vardır ve x 3 =0 noktasında birinci türden bir boşluk vardır.
5) Fonksiyonun çalışması için A sayısı nasıl seçilmelidir?

x=0'da sürekli olur mu?
Cevap: A=2.
6) Fonksiyonun çalışması için A sayısını seçmek mümkün müdür?

x=2'de sürekli olur mu?
Cevap: hayır.

Heine'ye göre sürekliliğin tanımı

Gerçek bir değişkenin \(f\left(x \right)\) fonksiyonunun şu şekilde olduğu söylenir: sürekli herhangi bir dizi için \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)gerçek sayılar kümesi) noktasında \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ), öyle ki \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] ilişkisi \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] Pratikte, \(f\left(x \right)\) fonksiyonunun sürekliliği için aşağıdaki \(3\) koşullarını kullanmak uygundur. \(x = a\) noktasında (aynı anda yürütülmesi gereken):

1. \(f\left(x \right)\) fonksiyonu \(x = a\) noktasında tanımlanır;
2. Limit \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) mevcuttur;
3. \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) eşitliği geçerlidir.

Cauchy sürekliliğinin tanımı (gösterim \(\varepsilon - \delta\))

Gerçek sayılar kümesini \(\mathbb(R)\) gerçek sayıların başka bir alt kümesi \(B\) ile eşleştiren \(f\left(x \right)\) fonksiyonunu düşünün. \(f\left(x \right)\) fonksiyonunun olduğu söyleniyor sürekli \(a \in \mathbb(R)\) noktasında, eğer herhangi bir sayı için \(\varepsilon > 0\) bir sayı \(\delta > 0\) varsa, öyle ki tüm \(x \in \ için) mathbb (R)\), \[\left| ilişkisini karşılıyor (x - a) \sağ| Sürekliliğin argüman ve fonksiyon artışları cinsinden tanımı

Sürekliliğin tanımı aynı zamanda argüman ve fonksiyonun artışları kullanılarak da formüle edilebilir. Eğer eşitlik \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ise fonksiyon \(x = a\) noktasında süreklidir. ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] burada \(\Delta x = x - a\).

Bir fonksiyonun sürekliliğine ilişkin yukarıdaki tanımlar reel sayılar kümesinde eşdeğerdir.

İşlev belirli bir aralıkta sürekli , eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.

Süreklilik teoremleri

Teorem 1.
\(f\left(x \right)\) fonksiyonu \(x = a\) noktasında sürekli olsun ve \(C\) bir sabit olsun. O halde \(Cf\left(x \right)\) fonksiyonu \(x = a\) için de süreklidir.

Teorem 2.
\((f\left(x \right))\) ve \((g\left(x \right))\), \(x = a\ noktasında sürekli olan iki fonksiyon verildiğinde). O halde bu fonksiyonların toplamı \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) \(x = a\) noktasında da süreklidir.

Teorem 3.
İki fonksiyonun \((f\left(x \right))\) ve \((g\left(x \right))\) \(x = a\) noktasında sürekli olduğunu varsayalım. O halde bu fonksiyonların çarpımı \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) \(x = a\) noktasında da süreklidir.

Teorem 4.
\((f\left(x \right))\) ve \((g\left(x \right))\), \(x = a\ için sürekli) iki fonksiyonu verildiğinde. O halde bu fonksiyonların oranı \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) \(x = a\ için de süreklidir. ) tabi ki \((g\left(a \right)) \ne 0\).

Teorem 5.
\((f\left(x \right))\) fonksiyonunun \(x = a\) noktasında türevlenebilir olduğunu varsayalım. O halde \((f\left(x \right))\) fonksiyonu bu noktada süreklidir (yani türevlenebilirlik, fonksiyonun bu noktada sürekliliğini ima eder; bunun tersi doğru değildir).

Teorem 6 (Sınır değer teoremi).
Eğer bir \((f\left(x \right))\) fonksiyonu kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli ise \(\left[ (a,b) \right]\), o zaman bu fonksiyonun üstünden ve altından sınırlıdır aralık. Başka bir deyişle, \(\left[ (a,b) \right]\) aralığındaki tüm \(x\) için \ olacak şekilde \(m\) ve \(M\) sayıları vardır (Şekil 1) .

Şekil 1		İncir. 2

Teorem 7 (Ara değer teoremi).
\((f\left(x \right))\) fonksiyonunun kapalı ve sınırlı bir aralıkta \(\left[ (a,b) \right]\) sürekli olmasını sağlayın. O halde, eğer \(c\), \((f\left(a \right))\)'den büyük ve \((f\left(b \right))\)'den küçük bir sayıysa, o zaman bir sayı vardır \(( x_0)\), öyle ki \ Bu teorem Şekil 2'de gösterilmektedir.

Temel fonksiyonların sürekliliği

Tüm temel işlevler tanım alanlarının herhangi bir noktasında süreklidirler.

Fonksiyon çağrılır temel sınırlı sayıda kompozisyon ve kombinasyondan oluşturulmuşsa
(\(4\) işlemlerini kullanarak - toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) . Bir demet temel temel işlevler içerir: