Kısmi türevler, çok değişkenli fonksiyonları içeren problemlerde kullanılır. Bulma kuralları, tek değişkenli fonksiyonlarla tamamen aynıdır; tek fark, türev alma sırasında değişkenlerden birinin sabit (sabit sayı) olarak kabul edilmesi gerektiğidir.

Formül

İki değişkenli $ z(x,y) $ fonksiyonuna ait kısmi türevler aşağıdaki $ z"_x, z"_y $ biçiminde yazılır ve aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

Birinci dereceden kısmi türevler

$$ z"_x = \frac(\kısmi z)(\kısmi x) $$

$$ z"_y = \frac(\kısmi z)(\kısmi y) $$

İkinci dereceden kısmi türevler

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Karışık türev

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevi

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ olsun, o zaman karmaşık bir fonksiyonun türevi aşağıdaki formülle belirlenir:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ olsun, o zaman fonksiyonun kısmi türevleri aşağıdaki formülle bulunur:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Örtülü bir fonksiyonun kısmi türevleri

a) $ F(x,y(x)) = 0 $ olsun, sonra $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) $ F(x,y,z)=0 $ olsun, sonra $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Çözüm örnekleri

örnek 1

Birinci dereceden kısmi türevleri bulun $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Çözüm

$ x $'a göre kısmi türevi bulmak için $ y $'ı sabit bir değer (sayı) olarak ele alacağız: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Bir fonksiyonun $y$'a göre kısmi türevini bulmak için $y$'yi bir sabitle tanımlarız: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır!

Cevap

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Örnek 2

İkinci dereceden fonksiyonun kısmi türevlerini bulun $ z = e^(xy) $

Çözüm

Önce birinci dereceden türevleri bulmanız gerekir, sonra bunları bilerek ikinci dereceden türevleri bulabilirsiniz. $y$ bir sabit olsun: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Şimdi $ x $'ı sabit bir değer olarak ayarlayalım: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Birinci türevleri bildiğimize göre ikinciyi de benzer şekilde buluruz. $y$'ı sabit olarak ayarlayın: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $'ı bir sabite ayarladık: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Şimdi geriye kalan tek şey karışık türevi bulmak. $ z"_x $ ile $ y $ arasında ayrım yapabilirsiniz ve $ z"_y $ ile $ x $ arasında ayrım yapabilirsiniz, çünkü $ z""_(xy) = z""_(yx) $ teoremine göre $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Cevap

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Örnek 4

$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ $ F(x,y,z) = 0 $ örtülü fonksiyonunu tanımlasın. Birinci dereceden kısmi türevleri bulun.

Çözüm

Fonksiyonu $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ formatında yazıyoruz ve türevleri buluyoruz: $$ z"_x (y,z - sabit) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - sabit) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Cevap

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Türev bilgisi ve onu hesaplama yöntemleri olmadan fiziksel problemleri veya matematikteki örnekleri çözmek tamamen imkansızdır. Türev matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bugünkü makalemizi bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Belirli bir süredeki ortalama hız:

Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabit belirleyin

Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.

Fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.

Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevleri anlamanıza yardımcı olacağız.

İki değişkenli bir fonksiyon verilsin. Argümana bir artış verelim ve argümanı değiştirmeden bırakalım. Daha sonra fonksiyon, değişkene göre kısmi artış olarak adlandırılan ve şu şekilde gösterilen bir artış alacaktır:

Benzer şekilde, argümanı sabitleyerek ve argümana bir artış vererek, fonksiyonun değişkene göre kısmi bir artışını elde ederiz:

Miktar, fonksiyonun bir noktadaki toplam artışı olarak adlandırılır.

Tanım 4. İki değişkenli bir fonksiyonun bu değişkenlerden birine göre kısmi türevi, fonksiyonun karşılık gelen kısmi artışının, belirli bir değişkenin artışına oranının, ikincisi sıfıra yaklaştığında (eğer bu sınır mevcut). Kısmi türev şu şekilde gösterilir: veya, veya.

Dolayısıyla tanım gereği elimizde:

Fonksiyonların kısmi türevleri, bir değişkene göre türev alırken sabit kabul edildiği ve bir değişkene göre türev alırken sabit kabul edildiği dikkate alınarak, bir değişkenin fonksiyonu olarak aynı kurallara ve formüllere göre hesaplanır. .

Örnek 3. Fonksiyonların kısmi türevlerini bulun:

Çözüm. a) Bulmak için onu sabit bir değer olarak kabul ediyoruz ve bir değişkenin fonksiyonu olarak türevini alıyoruz:

Benzer şekilde, sabit bir değer varsayarsak şunu buluruz:

Tanım 5. Bir fonksiyonun toplam diferansiyeli, bu fonksiyonun kısmi türevlerinin karşılık gelen bağımsız değişkenlerin artışlarıyla toplamıdır;

Bağımsız değişkenlerin diferansiyellerinin artışlarıyla çakıştığı düşünülürse, yani; toplam diferansiyel formül şu şekilde yazılabilir:

Örnek 4. Fonksiyonun tam diferansiyelini bulun.

Çözüm. Çünkü toplam diferansiyel formülünü kullanarak bulduğumuz

Yüksek dereceli kısmi türevler

Kısmi türevlere birinci dereceden kısmi türevler veya birinci kısmi türevler denir.

Tanım 6. Bir fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevleri, birinci dereceden kısmi türevlerin kısmi türevleridir.

Dört tane ikinci dereceden kısmi türev vardır. Bunlar aşağıdaki şekilde belirlenir:

3., 4. ve daha yüksek mertebeden kısmi türevler de benzer şekilde tanımlanır. Örneğin, sahip olduğumuz bir fonksiyon için:

Farklı değişkenlere göre alınan ikinci veya daha yüksek mertebeden kısmi türevlere karışık kısmi türevler denir. Bir fonksiyon için bunlar türevlerdir. Karışık türevlerin sürekli olması durumunda eşitliğin geçerli olduğuna dikkat edin.

Örnek 5. Bir fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevlerini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri Örnek 3'te bulunmaktadır:

x ve y değişkenlerine göre türev alarak şunu elde ederiz:

Hesap makinesi, tüm temel fonksiyonların türevlerini hesaplayarak ayrıntılı bir çözüm sunar. Farklılaşma değişkeni otomatik olarak belirlenir.

Bir fonksiyonun türevi- matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biri. Türevin ortaya çıkışı, örneğin bir noktanın belirli bir andaki anlık hızının hesaplanması, zamana bağlı yol biliniyorsa, bir noktadaki fonksiyona teğet bulma sorunu gibi sorunlara yol açmıştır.

Çoğu zaman, bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun artışının, eğer varsa, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlanır.

Tanım. Fonksiyon noktanın bazı komşuluklarında tanımlansın. Daha sonra fonksiyonun bir noktadaki türevine, eğer varsa, limit denir.

Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır?

Fonksiyonları ayırt etmeyi öğrenmek için öğrenmeniz ve anlamanız gerekir. farklılaşma kuralları ve kullanmayı öğren türev tablosu.

Farklılaşma kuralları

Bir gerçel değişkenin keyfi türevlenebilir fonksiyonları olsun ve bir gerçel sabit olsun. Daha sonra

- fonksiyonların çarpımını ayırt etme kuralı

- bölüm fonksiyonlarının türevi için kural

0" yükseklik = "33" genişlik = "370" stil = "dikey hizalama: -12px;"> — değişken üslü bir fonksiyonun türevi

— karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı

- bir güç fonksiyonunun türevini alma kuralı

Bir fonksiyonun çevrimiçi türevi

Hesap makinemiz herhangi bir fonksiyonun türevini çevrimiçi olarak hızlı ve doğru bir şekilde hesaplayacaktır. Program türevi hesaplarken hata yapmayacak ve uzun ve sıkıcı hesaplamalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır. Çevrimiçi hesap makinesi, çözümünüzün doğru olup olmadığını kontrol etmeniz ve yanlışsa hatayı hızlı bir şekilde bulmanız gereken durumlarda da yararlı olacaktır.