a n ifadesi (tamsayı üslü kuvvet), a = 0 ve n'nin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu durumlar dışında tüm durumlarda tanımlanacaktır.

Derecelerin özellikleri

Tamsayı üssü olan derecelerin temel özellikleri:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (ile A sıfıra eşit değil);

(bir m) n = bir (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (ile B sıfıra eşit değil);

a 0 = 1 (ile A sıfıra eşit değil);

Bu özellikler herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için geçerli olacaktır. Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat etmek önemlidir:

Eğer m>n ise a>1 ve a m için a m > a n

Bir sayının derecesi kavramını rasyonel sayıların üs görevi gördüğü durumlara genelleştirebiliriz. Aynı zamanda yukarıdaki özelliklerin tamamının veya en azından bir kısmının yerine getirilmesini isterim.

Örneğin, (a m) n = a (m*n) özelliği karşılanırsa aşağıdaki eşitlik geçerli olacaktır:

(a (m/n)) n = a m .

Bu eşitlik, a (m/n) sayısının, a m sayısının n'inci kökü olması gerektiği anlamına gelir.

Rasyonel üssü r = (m/n) olan bir a sayısının (sıfırdan büyük) kuvveti; burada m bir tamsayı, n ise birden büyük bir doğal sayıdır. n√(am). Tanıma göre: a (m/n) = n√(a m).

Tüm pozitif r'ler için sıfırın kuvveti belirlenecektir. Tanım gereği 0 r = 0. Ayrıca herhangi bir tamsayı için herhangi bir doğal m ve n ve pozitif olduğuna da dikkat edin. Aşu eşitlik doğrudur: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Örneğin: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Rasyonel üssü olan bir derecenin tanımından, herhangi bir pozitif a ve herhangi bir rasyonel r için a r sayısının olacağı doğrudan sonucu çıkar: pozitif.

Rasyonel üssü olan bir derecenin temel özellikleri

Herhangi bir p, q rasyonel sayısı ve herhangi bir a>0 ve b>0 için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Bu özellikler köklerin özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Tüm bu özellikler benzer şekilde kanıtlanmıştır, bu nedenle kendimizi bunlardan yalnızca birini kanıtlamakla sınırlayacağız, örneğin ilk (a p)*(a q) = a (p + q) .

p = m/n ve q = k/l olsun; burada n, l bazı doğal sayılar ve m, k bazı tam sayılardır. O zaman şunu kanıtlamanız gerekir:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Öncelikle m/n k/l kesirlerini ortak bir paydaya getirelim. (m*l)/(n*l) ve (k*n)/(n*l) kesirlerini elde ederiz. Bu gösterimleri kullanarak eşitliğin sol tarafını yeniden yazalım ve şunu elde edelim:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l))))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l))))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n)))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

“Rasyonel üslü üs” video dersi, bu konuyla ilgili bir ders vermek için görsel eğitim materyali içerir. Video dersi, rasyonel üslü derece kavramı, bu derecelerin özellikleri ve pratik sorunları çözmek için eğitim materyalinin kullanımını açıklayan örnekler hakkında bilgi içerir. Bu video dersinin amacı eğitim materyalini açık ve net bir şekilde sunmak, öğrenciler tarafından geliştirilmesini ve ezberlenmesini kolaylaştırmak ve öğrenilen kavramları kullanarak problem çözme yeteneğini geliştirmektir.

Video dersinin temel avantajları, dönüşümleri ve hesaplamaları görsel olarak gerçekleştirme yeteneği, öğrenme verimliliğini artırmak için animasyon efektlerini kullanma yeteneğidir. Ses eşliğinde, doğru matematiksel konuşmanın geliştirilmesine yardımcı olur ve aynı zamanda öğretmenin açıklamasının değiştirilmesini mümkün kılarak ona bireysel çalışma yapma özgürlüğü tanır.

Video dersi konunun tanıtılmasıyla başlar. Yeni bir konunun çalışmasını daha önce çalışılan materyalle ilişkilendirirken, n √a'nın doğal n ve pozitif a için 1/n olarak gösterildiğinin hatırlanması önerilir. Bu n-kök temsili ekranda görüntülenir. Daha sonra, a'nın pozitif bir sayı ve m/n'nin bir kesir olduğu m/n ifadesinin ne anlama geldiğini düşünmeyi öneriyoruz. a m/n = n √a m şeklinde rasyonel üslü bir derecenin tanımı çerçevede vurgulanarak verilmiştir. N'nin bir doğal sayı olabileceği ve m'nin bir tam sayı olabileceği belirtilmektedir.

Derecenin rasyonel üslü tanımı yapıldıktan sonra şu örneklerle anlamı ortaya çıkar: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Ayrıca, ondalık sayıyla temsil edilen bir kuvvetin, kök olarak temsil edilecek bir kesire dönüştürüldüğü bir örneği de gösterir: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ve negatif kuvvete sahip bir örnek: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Derecenin tabanının sıfır olduğu özel durumun özelliği ayrıca belirtilir. Bu derecenin yalnızca pozitif kesirli üs ile anlamlı olduğu belirtilmektedir. Bu durumda değeri sıfırdır: 0 m/n =0.

Rasyonel üslü bir derecenin bir başka özelliği de, kesirli üslü bir derecenin kesirli üslü olarak değerlendirilemeyeceğidir. Yanlış derece gösterimi örnekleri verilmiştir: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Bir sonraki video dersinde rasyonel üslü bir derecenin özelliklerini tartışacağız. Tamsayı üslü bir derecenin özelliklerinin, rasyonel üslü bir derece için de geçerli olacağı belirtiliyor. Bu durumda da geçerli olan özelliklerin listesinin hatırlanması önerilmektedir:

1. Üsleri aynı tabanlarla çarparken üslerin toplamı şu şekilde olur: a p a q =a p+q.
2. Aynı tabanlara sahip derecelerin bölümü, belirli bir tabana ve üsler arasındaki farka göre bir dereceye indirgenir: a p:a q =a p-q.
3. Dereceyi belirli bir kuvvete yükseltirsek, belirli bir tabana ve üslerin çarpımına sahip bir derece elde ederiz: (a p) q =a pq.

Tüm bu özellikler rasyonel üsleri p, q ve pozitif tabanı a>0 olan kuvvetler için geçerlidir. Ayrıca parantezlerin açılması sırasındaki derece dönüşümleri de aynı kalır:

1. (ab) p =a p b p - rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltildiğinde, iki sayının çarpımı, her biri belirli bir kuvvete yükseltilen sayıların çarpımına indirgenir.
2. (a/b) p =a p /b p - bir kesri rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltmek, payı ve paydası belirli bir kuvvete yükseltilmiş bir kesre indirgenir.

Video eğitimi, rasyonel bir üsle kuvvetlerin dikkate alınan özelliklerini kullanan örnekleri çözmeyi tartışıyor. İlk örnek sizden x değişkenlerini kesirli kuvvette içeren bir ifadenin değerini bulmanızı ister: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). İfadenin karmaşıklığına rağmen kuvvetlerin özelliklerini kullanarak oldukça basit bir şekilde çözülebilir. Problemin çözümü, rasyonel üssü olan bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesi ve aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpılması kuralını kullanan ifadenin basitleştirilmesiyle başlar. Verilen x=8 değerini basitleştirilmiş x 1/3 +48 ifadesine yerleştirdikten sonra - 50 değerini elde etmek kolaydır.

İkinci örnekte pay ve paydası rasyonel üslü kuvvetler içeren bir kesri azaltmanız gerekiyor. Derecenin özelliklerini kullanarak, farktan x 1/3 faktörünü çıkarırız, bu daha sonra pay ve paydada azaltılır ve kareler farkı formülünü kullanarak pay çarpanlara ayrılır, bu da aynı değerde daha fazla azalma sağlar. pay ve paydadaki faktörler. Bu tür dönüşümlerin sonucu kısa kesir x 1/4 +3'tür.

Öğretmenin yeni bir ders konusunu açıklaması yerine “Rasyonel Üslü Üslü” video dersi kullanılabilir. Bu kılavuz aynı zamanda öğrencinin bağımsız olarak çalışabilmesi için yeterince eksiksiz bilgi içerir. Materyal aynı zamanda uzaktan eğitim için de yararlı olabilir.

n'nin bir doğal sayı, m'nin bir tam sayı ve a derecesinin tabanının sıfırdan büyük olduğu a (m/n) formundaki bir ifade, kesirli üssü olan derece denir. Ayrıca aşağıdaki eşitlik doğrudur. n√(a m) = a (m/n) .

Zaten bildiğimiz gibi, n'nin bir doğal sayı ve m'nin bir tam sayı olduğu m/n formundaki sayılara kesirli veya rasyonel sayılar denir. Yukarıdakilerin hepsinden, derecenin herhangi bir rasyonel üs ve derecenin herhangi bir pozitif tabanı için tanımlandığını elde ederiz.

Herhangi bir p,q rasyonel sayısı ve herhangi bir a>0 ve b>0 için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Bu özellikler, kesirli üslü kuvvetleri içeren çeşitli ifadeleri dönüştürürken yaygın olarak kullanılır.

Kesirli üslü kuvvetleri içeren ifadelerin dönüşüm örnekleri

Bu özelliklerin ifadeleri dönüştürmek için nasıl kullanılabileceğini gösteren birkaç örneğe bakalım.

1. 7 (1/4) * 7 (3/4)'ü hesaplayın.

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. 9 (2/3) : 9 (1/6)'yu hesaplayın.

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. (16 (1/3)) (9/4)'ü hesaplayın.

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. 24(2/3)'ü hesaplayın.

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. (8/27) (1/3)'ü hesaplayın.

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) ifadesini basitleştirin

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) ))))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. (25 (1/5))*(125 (1/5))'i hesaplayın.

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. İfadeyi basitleştirin

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Gördüğünüz gibi bu özellikleri kullanarak kesirli üslü kuvvetler içeren bazı ifadeleri önemli ölçüde basitleştirebilirsiniz.

İfadeler, ifade dönüşümü

Kuvvet ifadeleri (kuvvetli ifadeler) ve dönüşümleri

Bu yazımızda üslü ifadelerin dönüştürülmesinden bahsedeceğiz. Öncelikle parantez açma, benzer terimleri getirme gibi kuvvet ifadeleri de dahil olmak üzere her türlü ifadeyle gerçekleştirilen dönüşümlere odaklanacağız. Daha sonra özellikle dereceli ifadelerin doğasında olan dönüşümleri analiz edeceğiz: taban ve üsle çalışmak, derecelerin özelliklerini kullanmak vb.

Sayfada gezinme.

Güç ifadeleri nelerdir?

"Güç ifadeleri" terimi pratikte okul matematik ders kitaplarında görünmez, ancak özellikle Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlık amaçlı problem koleksiyonlarında oldukça sık görülür. Güç ifadeleri ile herhangi bir eylemi gerçekleştirmenin gerekli olduğu görevler analiz edildikten sonra, güç ifadelerinin girişlerinde güç içeren ifadeler olarak anlaşıldığı ortaya çıkar. Bu nedenle aşağıdaki tanımı kendiniz için kabul edebilirsiniz:

Tanım.

Güç ifadeleri güçleri içeren ifadelerdir.

Hadi verelim güç ifadelerine örnekler. Ayrıca doğal üslü bir dereceden reel üslü bir dereceye doğru görüş gelişiminin nasıl gerçekleştiğine göre bunları sunacağız.

Bilindiği gibi öncelikle doğal üslü bir sayının kuvvetiyle tanışılır; bu aşamada 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) tipindeki ilk en basit kuvvet ifadeleri bulunur. 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 vb.

Biraz sonra, tamsayı üslü bir sayının kuvveti incelenir, bu da aşağıdaki gibi negatif tamsayı kuvvetlerine sahip kuvvet ifadelerinin ortaya çıkmasına yol açar: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Lisede derecelere geri dönerler. Orada, karşılık gelen güç ifadelerinin ortaya çıkmasını gerektiren rasyonel bir üslü bir derece tanıtılır: , , ve benzeri. Son olarak irrasyonel üslü dereceler ve bunları içeren ifadeler ele alınır: , .

Konu, listelenen kuvvet ifadeleriyle sınırlı değildir: ayrıca değişken üs içine nüfuz eder ve örneğin aşağıdaki ifadeler ortaya çıkar: 2 x 2 +1 veya . Ve onu tanıdıktan sonra, kuvvetleri ve logaritmalarıyla ifadeler ortaya çıkmaya başlar, örneğin x 2·lgx −5·x lgx.

Böylece güç ifadelerinin neyi temsil ettiği sorusunu ele aldık. Daha sonra onları dönüştürmeyi öğreneceğiz.

Güç ifadelerinin ana dönüşüm türleri

Güç ifadeleri ile ifadelerin temel kimlik dönüşümlerinden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Örneğin parantez açabilir, sayısal ifadeleri değerleriyle değiştirebilir, benzer terimler ekleyebilirsiniz. Doğal olarak bu durumda eylemleri gerçekleştirmek için kabul edilen prosedüre uymak gerekir. Örnekler verelim.

Örnek.

2 3 ·(4 2 −12) kuvvet ifadesinin değerini hesaplayın.

Çözüm.

Eylemlerin gerçekleştirilme sırasına göre, önce parantez içindeki eylemleri gerçekleştirin. Burada öncelikle 4 2 kuvvetini 16 değeriyle değiştiriyoruz (gerekirse bkz.) ve ikinci olarak 16−12=4 farkını hesaplıyoruz. Sahibiz 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Ortaya çıkan ifadede 2 3 kuvvetini 8 değeriyle değiştirip 8·4=32 sonucunu hesaplıyoruz. Bu istenen değerdir.

Bu yüzden, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Cevap:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Örnek.

İfadeleri güçlerle basitleştirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Çözüm.

Açıkçası, bu ifade 3·a 4 ·b −7 ve 2·a 4 ·b −7 gibi benzer terimleri içerir ve bunları şu şekilde sunabiliriz: .

Cevap:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Örnek.

Bir ifadeyi güçlerle birlikte ürün olarak ifade edin.

Çözüm.

9 sayısını 3 2'nin kuvveti olarak temsil ederek ve ardından kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) kullanarak bu görevin üstesinden gelebilirsiniz:

Cevap:

Aynı zamanda, özellikle güç ifadelerinin doğasında olan bir takım özdeş dönüşümler de vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Taban ve üs ile çalışma

Tabanı ve/veya üssü yalnızca sayı veya değişken değil, bazı ifadelerden oluşan dereceler vardır. Örnek olarak (2+0.3·7) 5−3.7 ve (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlerini veriyoruz.

Bu tür ifadelerle çalışırken, hem derece tabanındaki ifadeyi hem de üs içindeki ifadeyi, değişkenlerinin ODZ'sinde tamamen eşit bir ifadeyle değiştirebilirsiniz. Yani bildiğimiz kurallara göre derecenin tabanını ayrı ayrı, üssünü ayrı ayrı dönüştürebiliriz. Bu dönüşüm sonucunda orijinaline tamamen eşit bir ifadenin elde edileceği açıktır.

Bu tür dönüşümler, ifadeleri güçlerle basitleştirmemize veya ihtiyaç duyduğumuz diğer hedeflere ulaşmamıza olanak tanır. Örneğin yukarıda bahsettiğimiz (2+0.3 7) 5−3.7 kuvvet ifadesinde taban ve üslerdeki sayılar ile işlemler gerçekleştirebilirsiniz, bu da 4.1 1.3 kuvvetine geçmenizi sağlayacaktır. Parantezleri açıp benzer terimleri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) derecesinin tabanına getirdikten sonra, daha basit bir a 2·(x+ formunun kuvvet ifadesini elde ederiz. 1).

Derece Özelliklerini Kullanma

İfadeleri güçlerle dönüştürmenin ana araçlarından biri, yansıtan eşitliklerdir. Başlıcalarını hatırlayalım. Herhangi bir pozitif a ve b sayısı ve keyfi gerçek sayılar r ve s için, kuvvetlerin aşağıdaki özellikleri doğrudur:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Doğal, tamsayı ve pozitif üsler için a ve b sayılarına ilişkin kısıtlamaların o kadar katı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin, m ve n doğal sayıları için a m ·a n =a m+n eşitliği yalnızca pozitif a için değil, aynı zamanda negatif a ve a=0 için de doğrudur.

Okulda güç ifadelerini dönüştürürken asıl odak noktası, uygun özelliği seçme ve onu doğru şekilde uygulama becerisidir. Bu durumda derece tabanları genellikle pozitiftir ve bu da derece özelliklerinin kısıtlama olmaksızın kullanılmasına olanak tanır. Aynısı, güç tabanlarında değişkenler içeren ifadelerin dönüşümü için de geçerlidir - değişkenlerin izin verilen değerlerinin aralığı genellikle bazların üzerinde yalnızca pozitif değerler alacağı şekildedir, bu da güçlerin özelliklerini özgürce kullanmanıza olanak tanır . Genel olarak, bu durumda herhangi bir derece özelliğini kullanmanın mümkün olup olmadığını sürekli olarak kendinize sormanız gerekir, çünkü özelliklerin yanlış kullanımı eğitim değerinin daralmasına ve diğer sorunlara yol açabilir. Bu noktalar, üslerin özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesi makalesinde ayrıntılı olarak ve örneklerle tartışılmaktadır. Burada kendimizi birkaç basit örneği ele almakla sınırlayacağız.

Örnek.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifadesini a tabanlı bir kuvvet olarak ifade edin.

Çözüm.

İlk olarak, bir kuvveti bir kuvvete yükseltme özelliğini kullanarak ikinci faktör (a 2) −3'ü dönüştürürüz: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güç ifadesi a 2,5 ·a −6:a −5,5 formunu alacaktır. Açıkçası, kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesi özelliklerini aynı temelde kullanmaya devam ediyoruz, elimizde
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Cevap:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Kuvvet ifadelerini dönüştürürken kuvvetlerin özellikleri hem soldan sağa hem de sağdan sola kullanılır.

Örnek.

Kuvvet ifadesinin değerini bulun.

Çözüm.

Sağdan sola uygulanan (a·b) r =a r ·b r eşitliği, orijinal ifadeden formun bir çarpımına ve daha ileriye gitmemize olanak tanır. Ve aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken üslerin toplamı şöyle olur: .

Orijinal ifadeyi başka bir şekilde dönüştürmek mümkündü:

Cevap:

.

Örnek.

a 1,5 −a 0,5 −6 kuvvet ifadesi verildiğinde, yeni bir t=a 0,5 değişkeni ekleyin.

Çözüm.

a 1,5 derecesi, 0,5 3 olarak temsil edilebilir ve daha sonra derecenin özelliğine bağlı olarak (a r) s =a r s derecesinin sağdan sola uygulanmasıyla (a 0,5) 3 biçimine dönüştürülebilir. Böylece, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Artık yeni bir değişken t=a 0,5 eklemek kolaydır, t 3 −t−6 elde ederiz.

Cevap:

t 3 −t−6 .

Üsleri içeren kesirleri dönüştürme

Kuvvet ifadeleri, kuvvetleri olan kesirleri içerebilir veya temsil edebilir. Herhangi bir türdeki kesirlerin doğasında bulunan kesirlerin temel dönüşümlerinden herhangi biri, bu kesirlere tamamen uygulanabilir. Yani, kuvvetleri içeren kesirler azaltılabilir, yeni bir paydaya indirgenebilir, paylarıyla ayrı ayrı ve paydayla ayrı ayrı çalışılabilir, vb. Bu kelimeleri açıklamak için birkaç örneğin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Güç ifadesini basitleştirin .

Çözüm.

Bu güç ifadesi bir kesirdir. Pay ve paydasıyla çalışalım. Payda parantezleri açıyoruz ve kuvvetlerin özelliklerini kullanarak elde edilen ifadeyi basitleştiriyoruz ve paydada da benzer terimleri sunuyoruz:

Ayrıca kesrin önüne eksi koyarak paydanın işaretini de değiştirelim: .

Cevap:

.

Üsleri içeren kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi, rasyonel kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesine benzer şekilde gerçekleştirilir. Bu durumda ek bir faktör daha bulunur ve kesrin pay ve paydası onunla çarpılır. Bu eylemi gerçekleştirirken, yeni bir paydaya indirgemenin VA'nın daralmasına yol açabileceğini hatırlamakta fayda var. Bunun olmasını önlemek için orijinal ifade için ODZ değişkenlerinden değişkenlerin herhangi bir değeri için ek faktörün sıfıra gitmemesi gerekir.

Örnek.

Kesirleri yeni bir paydaya azaltın: a) payda a, b)'ye paydaya.

Çözüm.

a) Bu durumda hangi ek çarpanın istenen sonucu elde etmeye yardımcı olduğunu bulmak oldukça kolaydır. Bu 0,3'ün çarpanıdır, çünkü a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. A değişkeninin izin verilen değerleri aralığında (bu, tüm pozitif gerçek sayıların kümesidir), 0,3'ün kuvvetinin kaybolmadığını, bu nedenle, belirli bir sayının payını ve paydasını çarpma hakkına sahip olduğumuzu unutmayın. bu ek faktöre göre kesir:

b) Paydaya daha yakından baktığınızda şunu görürsünüz:

ve bu ifadeyi ile çarpmak, küplerin toplamını ve yani, verecektir. Ve bu, orijinal kesri azaltmamız gereken yeni paydadır.

Bu şekilde ek bir faktör bulduk. X ve y değişkenlerinin izin verilen değerleri aralığında ifade kaybolmaz, bu nedenle kesrin payını ve paydasını bununla çarpabiliriz:

Cevap:

A) , B) .

Üs içeren kesirlerin azaltılmasında da yeni bir şey yoktur: pay ve payda bir dizi faktör olarak temsil edilir ve pay ve paydanın aynı faktörleri azaltılır.

Örnek.

Kesri azaltın: a) , B) .

Çözüm.

a) Öncelikle pay ve payda, 15'e eşit olan 30 ve 45 sayılarıyla azaltılabilir. Ayrıca x 0,5 +1 oranında ve şu oranda bir azaltmanın gerçekleştirilmesi de açıkça mümkündür: . İşte elimizde olanlar:

b) Bu durumda pay ve paydadaki aynı çarpanlar hemen görülmez. Bunları elde etmek için ön dönüşümler yapmanız gerekecektir. Bu durumda, kareler farkı formülü kullanılarak paydanın çarpanlara ayrılmasından oluşur:

Cevap:

A)

B) .

Kesirleri yeni bir paydaya dönüştürmek ve kesirleri azaltmak esas olarak kesirlerle işlemler yapmak için kullanılır. Eylemler bilinen kurallara göre gerçekleştirilir. Kesirleri eklerken (çıkarırken), ortak bir paydaya indirgenirler, ardından paylar eklenir (çıkarılır), ancak payda aynı kalır. Sonuç, payı payların çarpımı olan ve paydası da paydaların çarpımı olan bir kesirdir. Bir kesirle bölme, onun tersiyle çarpma işlemidir.

Örnek.

Adımları takip et .

Çözüm.

Öncelikle parantez içindeki kesirleri çıkarıyoruz. Bunu yapmak için onları ortak bir paydada buluşturuyoruz. , bundan sonra payları çıkarıyoruz:

Şimdi kesirleri çarpıyoruz:

Açıkçası, x 1/2'lik bir kuvvetle azaltmak mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: .

Ayrıca kareler farkı formülünü kullanarak paydadaki kuvvet ifadesini basitleştirebilirsiniz: .

Cevap:

Örnek.

Güç İfadesini Basitleştirin .

Çözüm.

Açıkçası, bu kesir (x 2,7 +1) 2 kadar azaltılabilir, bu kesri verir . X'in yetkileriyle başka bir şeyin yapılması gerektiği açıktır. Bunu yapmak için ortaya çıkan fraksiyonu bir ürüne dönüştürüyoruz. Bu bize güçlerin aynı temellerle bölünmesi özelliğinden yararlanma fırsatını verir: . Ve sürecin sonunda son çarpımdan kesire geçiyoruz.

Cevap:

.

Ve şunu da ekleyelim ki, negatif üslü faktörleri paydan paydaya veya paydadan paya, üssün işaretini değiştirerek aktarmanın mümkün olduğunu ve birçok durumda istendiğini de ekleyelim. Bu tür dönüşümler genellikle daha sonraki eylemleri basitleştirir. Örneğin, bir güç ifadesi ile değiştirilebilir.

Kökleri ve kuvvetleri olan ifadeleri dönüştürme

Çoğu zaman bazı dönüşümlerin gerekli olduğu ifadelerde kuvvetlerle birlikte kesirli üslü kökler de bulunur. Böyle bir ifadeyi istenilen forma dönüştürmek için çoğu durumda sadece köklere veya sadece kuvvetlere gitmek yeterlidir. Ancak güçlerle çalışmak daha uygun olduğundan genellikle köklerden güçlere doğru hareket ederler. Bununla birlikte, orijinal ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'si, modüle başvurmaya veya ODZ'yi birkaç aralığa bölmeye gerek kalmadan kökleri güçlerle değiştirmenize izin verdiğinde böyle bir geçişin gerçekleştirilmesi tavsiye edilir (bunu daha önce ayrıntılı olarak tartıştık). makale köklerden üslere ve geriye geçiş Rasyonel üslü dereceyle tanıştıktan sonra irrasyonel üslü bir derece tanıtılır, bu da keyfi bir gerçek üslü bir dereceden bahsetmemize olanak tanır.Bu aşamada okul, çalışmak üstel fonksiyon tabanı bir sayı ve üssü bir değişken olan bir kuvvet tarafından analitik olarak verilir. Böylece kuvvet tabanında sayılar ve üslü ifadelerde değişken içeren kuvvet ifadeleriyle karşı karşıya kalıyoruz ve doğal olarak bu tür ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirme ihtiyacı doğuyor.

Belirtilen türdeki ifadelerin dönüşümünün genellikle çözerken yapılması gerektiği söylenmelidir. üstel denklemler Ve üstel eşitsizlikler ve bu dönüşümler oldukça basittir. Vakaların büyük çoğunluğunda derecenin özelliklerine dayanırlar ve çoğunlukla gelecekte yeni bir değişken getirmeyi amaçlarlar. Denklem onları göstermemize izin verecek 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

İlk olarak, üsleri belirli bir değişkenin (veya değişkenli ifadenin) ve bir sayının toplamı olan üslerin yerini ürünler alır. Bu, sol taraftaki ifadenin ilk ve son terimleri için geçerlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Daha sonra, eşitliğin her iki tarafı, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sinde yalnızca pozitif değerler alan 7 2 x ifadesine bölünür (bu, bu tür denklemleri çözmek için standart bir tekniktir, biz değiliz) Şimdi bunun hakkında konuşuyoruz, bu yüzden ifadelerin güçlerle sonraki dönüşümlerine odaklanın):

Artık kesirlerin kuvvetlerini iptal edebiliriz, bu da şunu verir: .

Son olarak, aynı üslere sahip kuvvetlerin oranı, ilişkilerin kuvvetleri ile değiştirilir ve denklem elde edilir. , eşdeğer olan . Yapılan dönüşümler, orijinal üstel denklemin çözümünü ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgeyen yeni bir değişken eklememize olanak tanır.

I. V. Boykov, L. D. Romanova Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için görevlerin toplanması. Bölüm 1. Penza 2003.

30 Numaralı Ders (Cebir ve temel analiz, 11. sınıf)

Ders konusu: Rasyonel üslü derece.

Dersin Amacı: 1 . Derece kavramını genişletin, derece kavramını rasyonel bir üsle verin; Rasyonel üslü bir derecenin köke ve tersinin nasıl dönüştürüleceğini öğretin; Rasyonel üslü kuvvetleri hesaplar.

2. Hafızanın ve düşünmenin gelişimi.

3. Faaliyetin oluşumu.

"Birinin üzerini çizmeye çalışmasına izin verin

matematik diplomasından sonra şunu görecek,

Onlar olmadan çok uzağa gidemezsin. MV Lomonosov

Dersler sırasında.

I. Dersin konusunun ve amacının açıklanması.

II. İşlenen konunun tekrarı ve pekiştirilmesi.

1. Çözülmemiş ev örneklerinin analizi.

2. Bağımsız çalışmayı denetlemek:

Seçenek 1.

1. Denklemi çözün: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Eşitsizliği çözün: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Seçenek 2.

1. Denklemi çözün: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Eşitsizliği çözün: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Yeni materyal öğrenme.

1 . Sayı kavramının açılımını hatırlayalım: N є Z є Q є R.

Bu en iyi aşağıdaki diyagramla temsil edilir:

Doğal (N)

Sıfır

Negatif olmayan sayılar

Negatif sayılar

Kesirli sayılar

Tamsayılar (Z)

mantıksız

Rasyonel (Q)

Gerçek sayılar

2. Alt sınıflarda tam sayı üssü olan bir sayının kuvveti kavramı tanımlandı. a) Üssün a) doğal, b) negatif tamsayı, c) sıfır üssünün tanımını hatırlayın.İfadenin a olduğunu vurgulayın N a=0 ve n≤0 hariç tüm n tam sayıları ve a'nın tüm değerleri için anlamlıdır.

b) Derecelerin özelliklerini tam sayı üssüyle listeleyin.

3. Sözlü çalışma.

1). Hesapla: 1 -5; 4-3; (-100 ; (-5)-2; (1/2) -4; (3/7) -1 .

2). Negatif üssü olan bir kuvvet olarak yazın:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x7; 1/a 9 .

3).Birim ile karşılaştırın: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Şimdi ifadelerin anlamını anlamalısınız 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 vesaire. Bunu yapmak için derece kavramını, derecelerin listelenen tüm özelliklerinin karşılanacağı şekilde genelleştirmek gerekir. Eşitliği düşünün (a m/n ) n = a m . O halde, n'inci kökün tanımı gereği, şunu varsaymak mantıklıdır: a/n a'nın n'inci kökü olacak M . Derecenin rasyonel üslü bir tanımı verilmiştir.

5. Ders kitabındaki 1 ve 2 numaralı örnekleri düşünün.

6. Rasyonel üssü olan derece kavramıyla ilgili bir takım yorumlar yapalım.

Not 1 : Herhangi bir a>0 ve r rasyonel sayısı için a sayısı r>0

Not 2 : Kesirlerin temel özelliği gereği m/n rasyonel sayısı herhangi bir k doğal sayısı için mk/nk şeklinde yazılabilir. Daha sonraDerecenin değeri rasyonel sayının yazılış şekline bağlı değildir,çünkü a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Not 3: Zaman Bunu bir örnekle açıklayalım. Düşünün (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Öte yandan: 1/3 = 2/6 ve sonra (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Bir çelişki elde ederiz.