Olasılık teorisi formülleri ve problem çözme örnekleri. Programcılar için matematik: olasılık teorisi Olasılık teorisinde p a nedir

“Kazalar tesadüfi değildir”... Kulağa bir filozofun söylediği gibi gelebilir ama aslında rastlantısallığı incelemek büyük matematik biliminin kaderidir. Matematikte şans konusu olasılık teorisiyle ele alınır. Makalede formüller ve görev örnekleri ile bu bilimin ana tanımları sunulacak.

Olasılık teorisi nedir?

Olasılık teorisi rastgele olayları inceleyen matematik disiplinlerinden biridir.

Konuyu biraz daha açık hale getirmek için küçük bir örnek verelim: Eğer bir parayı havaya atarsanız, yazı veya tura gelebilir. Madeni para havadayken bu olasılıkların her ikisi de mümkündür. Yani olası sonuçların olasılığı 1:1'dir. 36 kartlık bir desteden bir kart çekilirse olasılık 1:36 olarak gösterilecektir. Burada, özellikle matematiksel formüllerin yardımıyla keşfedilecek ve tahmin edilecek hiçbir şey yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, belirli bir eylemi birçok kez tekrarlarsanız, belirli bir modeli tanımlayabilir ve buna dayanarak diğer koşullardaki olayların sonucunu tahmin edebilirsiniz.

Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, klasik anlamda olasılık teorisi, olası olaylardan birinin sayısal bir değerde meydana gelme olasılığını inceler.

Tarihin sayfalarından

Olasılık teorisi, formüller ve ilk görevlerin örnekleri, kart oyunlarının sonucunu tahmin etme girişimlerinin ilk ortaya çıktığı uzak Orta Çağ'da ortaya çıktı.

Başlangıçta olasılık teorisinin matematikle hiçbir ilgisi yoktu. Pratikte yeniden üretilebilecek bir olayın ampirik gerçekleri veya özellikleriyle gerekçelendirildi. Bir matematik disiplini olarak bu alanda ilk çalışmalar 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kurucuları Blaise Pascal ve Pierre Fermat'tı. Uzun süre kumar üzerine çalıştılar ve belli kalıpları gördüler ve bunları halka anlatmaya karar verdiler.

Aynı teknik, Pascal ve Fermat'ın araştırmalarının sonuçlarına aşina olmamasına rağmen Christiaan Huygens tarafından icat edildi. Disiplinin tarihinde ilk sayılan “olasılık teorisi” kavramı, formülleri ve örnekleri onun tarafından ortaya atılmıştır.

Jacob Bernoulli'nin çalışmaları, Laplace ve Poisson teoremlerinin önemi de azımsanmayacak düzeydedir. Olasılık teorisini daha çok bir matematik disiplini haline getirdiler. Olasılık teorisi, formüller ve temel görev örnekleri Kolmogorov'un aksiyomları sayesinde bugünkü halini aldı. Tüm değişikliklerin sonucunda olasılık teorisi matematiğin dallarından biri haline geldi.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Olaylar

Bu disiplinin ana kavramı “olay”dır. Üç tür olay vardır:

• Güvenilir. Zaten olacak olanlar (para düşecek).
• İmkansız. Hiçbir koşulda gerçekleşmeyecek olaylar (paranın havada asılı kalması).
• Rastgele. Olacakları veya olmayacakları. Tahmin edilmesi çok zor olan çeşitli faktörlerden etkilenebilirler. Bir madeni paradan bahsedersek, sonucu etkileyebilecek rastgele faktörler vardır: madalyonun fiziksel özellikleri, şekli, orijinal konumu, atış kuvveti vb.

Örneklerdeki tüm olaylar, farklı bir role sahip olan P hariç, büyük Latin harfleriyle gösterilmiştir. Örneğin:

• A = “öğrenciler derse geldi.”
• Ā = “öğrenciler derse gelmedi.”

Pratik görevlerde olaylar genellikle kelimelerle yazılır.

Olayların en önemli özelliklerinden biri olasılıklarının eşit olmasıdır. Yani, eğer bir parayı atarsanız, düşene kadar ilk düşüşün tüm çeşitleri mümkündür. Ancak olaylar da aynı derecede mümkün değildir. Bu, birisi kasıtlı olarak bir sonucu etkilediğinde meydana gelir. Örneğin, ağırlık merkezinin kaydırıldığı "işaretli" oyun kartları veya zarlar.

Etkinlikler aynı zamanda uyumlu ve uyumsuz olabilir. Uyumlu olaylar birbirinin oluşumunu dışlamaz. Örneğin:

• A = “öğrenci derse geldi.”
• B = “öğrenci derse geldi.”

Bu olaylar birbirinden bağımsızdır ve birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemez. Uyumsuz olaylar, birinin meydana gelmesinin diğerinin meydana gelmesini dışlaması gerçeğiyle tanımlanır. Aynı madeni paradan bahsedersek, "yazı" kaybı aynı deneyde "tura" çıkmasını imkansız hale getirir.

Etkinliklerle ilgili eylemler

Olaylar çoğaltılabilir ve toplanabilir; buna göre disiplinde mantıksal bağlaçlar “AND” ve “OR” tanıtılmıştır.

Tutar, A veya B olayının ya da ikisinin aynı anda meydana gelebilmesi gerçeğine göre belirlenir. Eğer uyumsuzlarsa son seçenek imkansızdır; ya A ya da B atılacaktır.

Olayların çoğalması A ve B'nin aynı anda ortaya çıkmasından ibarettir.

Artık temelleri, olasılık teorisini ve formülleri daha iyi hatırlamak için birkaç örnek verebiliriz. Aşağıda problem çözme örnekleri.

1. Egzersiz: Şirket üç tür iş için sözleşme almak üzere bir yarışmaya katılmaktadır. Meydana gelebilecek olası olaylar:

• A = “Firma ilk sözleşmeyi alacak.”
• A 1 = “Firma ilk sözleşmeyi alamayacak.”
• B = “firma ikinci bir sözleşme alacak.”
• B 1 = “firma ikinci bir sözleşme alamayacak”
• C = “firma üçüncü bir sözleşme alacak.”
• C 1 = “firma üçüncü bir sözleşme alamayacak.”

Olaylara ilişkin eylemleri kullanarak aşağıdaki durumları ifade etmeye çalışacağız:

• K = “şirket tüm sözleşmeleri alacak.”

Matematiksel formda denklem şu forma sahip olacaktır: K = ABC.

• M = “şirket tek bir sözleşme alamayacak.”

M = A 1 B 1 C 1.

Görevi karmaşıklaştıralım: H = “şirket bir sözleşme alacak.” Şirketin hangi sözleşmeyi (birinci, ikinci veya üçüncü) alacağı bilinmediğinden, olası olayların tamamının kaydedilmesi gerekir:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ve MÖ 1 1, firmanın birinci ve üçüncü sözleşmeyi almadığı, ancak ikinciyi aldığı bir dizi olaydır. Diğer olası olaylar uygun yöntem kullanılarak kaydedildi. Disiplindeki υ sembolü “OR” bağlacı anlamına gelir. Yukarıdaki örneği insan diline çevirirsek, şirket ya üçüncü sözleşmeyi ya ikinciyi ya da birinciyi alacaktır. Benzer şekilde “Olasılık Teorisi” disiplinindeki diğer koşulları da yazabilirsiniz. Yukarıda sunulan formüller ve problem çözme örnekleri, bunu kendi başınıza yapmanıza yardımcı olacaktır.

Aslında olasılık

Belki de bu matematik disiplininde bir olayın olasılığı merkezi kavramdır. Olasılığın 3 tanımı vardır:

• klasik;
• istatistiksel;
• geometrik.

Her birinin olasılık çalışmasında yeri vardır. Olasılık teorisi, formüller ve örnekler (9. sınıf) esas olarak şuna benzeyen klasik tanımı kullanır:

• A durumunun olasılığı, onun gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranına eşittir.

Formül şuna benzer: P(A)=m/n.

A aslında bir olaydır. A'nın tersi bir durum ortaya çıkarsa Ā veya A 1 olarak yazılabilir.

m olası olumlu durumların sayısıdır.

n - gerçekleşebilecek tüm olaylar.

Örneğin, A = “kalp renginden bir kart çek.” Standart bir destede 36 kart vardır ve bunların 9'u kupadır. Buna göre sorunu çözme formülü şöyle görünecektir:

P(A)=9/36=0,25.

Sonuç olarak desteden kalp renginde bir kartın çekilme olasılığı 0,25 olacaktır.

Yüksek matematiğe doğru

Artık olasılık teorisinin ne olduğu, okul müfredatında karşılaşılan problem çözme formülleri ve örnekleri çok az biliniyor. Ancak üniversitelerde öğretilen yüksek matematikte olasılık teorisine de rastlanmaktadır. Çoğunlukla teorinin geometrik ve istatistiksel tanımları ve karmaşık formüllerle çalışırlar.

Olasılık teorisi çok ilginçtir. Olasılığın istatistiksel (veya frekans) tanımıyla formülleri ve örnekleri (yüksek matematik) küçük çapta çalışmaya başlamak daha iyidir.

İstatistiksel yaklaşım klasik yaklaşımla çelişmez ancak onu biraz genişletir. İlk durumda bir olayın hangi olasılıkla meydana geleceğini belirlemek gerekliyse, bu yöntemde olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğini belirtmek gerekir. Burada Wn(A) ile gösterilebilecek yeni bir “göreceli frekans” kavramı tanıtılmaktadır. Formül klasik olandan farklı değil:

Tahmin için klasik formül hesaplanırsa, deney sonuçlarına göre istatistiksel formül hesaplanır. Örneğin küçük bir görevi ele alalım.

Teknolojik kontrol departmanı ürünleri kalite açısından kontrol eder. 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. Kaliteli bir ürünün sıklık olasılığı nasıl bulunur?

A = “kaliteli bir ürünün görünümü.”

Wn(A)=97/100=0,97

Yani kaliteli bir ürünün frekansı 0,97’dir. 97'yi nereden buldun? Kontrol edilen 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. 100'den 3 çıkarıp 97 elde ediyoruz, bu kaliteli mal miktarıdır.

Kombinatorik hakkında biraz

Olasılık teorisinin başka bir yöntemine kombinatorik denir. Temel prensibi şudur: Eğer belirli bir A seçimi m farklı şekilde yapılabiliyorsa ve bir B seçimi de n farklı şekilde yapılabiliyorsa, o zaman A ve B'nin seçimi çarpma yoluyla yapılabilir.

Örneğin A şehrinden B şehrine giden 5 yol vardır. B şehrinden C şehrine 4 yol vardır. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidebilirsiniz?

Çok basit: 5x4=20 yani A noktasından C noktasına yirmi farklı yoldan ulaşabilirsiniz.

Görevi karmaşıklaştıralım. Solitaire'de kartları yerleştirmenin kaç yolu vardır? Destede 36 kart var; bu başlangıç ​​noktasıdır. Yol sayısını bulmak için, başlangıç ​​​​noktasından her seferinde bir kartı "çıkarmanız" ve çarpmanız gerekir.

Yani 36x35x34x33x32...x2x1= sonuç hesap makinesi ekranına sığmadığından basitçe 36! olarak belirtilebilir. İmza "!" sayının yanındaki sayı dizisinin tamamının birbiriyle çarpıldığını gösterir.

Kombinatorikte permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon gibi kavramlar vardır. Her birinin kendine has formülü var.

Bir kümenin elemanlarının sıralı bir kümesine düzenleme denir. Yerleştirmeler tekrarlanabilir, yani bir öğe birkaç kez kullanılabilir. Ve tekrarlanmadan, öğeler tekrarlanmadığında. n tüm öğelerdir, m yerleştirmeye katılan öğelerdir. Tekrarlama olmadan yerleştirme formülü şöyle görünecektir:

A n m =n!/(n-m)!

Yalnızca yerleştirme sırası farklılık gösteren n elemanın bağlantılarına permütasyon denir. Matematikte şöyle görünür: P n = n!

M'nin n elementinin kombinasyonları, hangi elementlerin olduğu ve toplam sayılarının ne olduğunun önemli olduğu bileşiklerdir. Formül şöyle görünecek:

a n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli'nin formülü

Olasılık teorisinde, her disiplinde olduğu gibi, kendi alanında onu yeni bir seviyeye taşıyan seçkin araştırmacıların çalışmaları bulunmaktadır. Bu çalışmalardan biri, belirli bir olayın bağımsız koşullar altında meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlayan Bernoulli formülüdür. Bu, bir deneyde A'nın ortaya çıkmasının, aynı olayın daha önceki veya sonraki denemelerde meydana gelip gelmemesine bağlı olmadığını göstermektedir.

Bernoulli denklemi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

(A) olayının gerçekleşme olasılığı (p) her deneme için sabittir. N sayıda deneyde durumun tam olarak m kez ortaya çıkma olasılığı yukarıda sunulan formülle hesaplanacaktır. Buna göre q sayısının nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkıyor.

A olayı p sayıda meydana gelirse, buna göre gerçekleşmeyebilir. Birim, bir disiplindeki bir durumun tüm sonuçlarını belirtmek için kullanılan bir sayıdır. Bu nedenle q, bir olayın gerçekleşmeme olasılığını gösteren bir sayıdır.

Artık Bernoulli'nin formülünü (olasılık teorisi) biliyorsunuz. Aşağıda problem çözme örneklerini (birinci seviye) ele alacağız.

Görev 2: Bir mağaza ziyaretçisi 0,2 olasılıkla satın alma işlemi gerçekleştirecektir. Mağazaya bağımsız olarak 6 ziyaretçi girdi. Bir ziyaretçinin satın alma yapma olasılığı nedir?

Çözüm: Kaç ziyaretçinin (biri veya altısı) alışveriş yapması gerektiği bilinmediğinden, olası tüm olasılıkları Bernoulli formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

A = “ziyaretçi alışveriş yapacak.”

Bu durumda: p = 0,2 (görevde belirtildiği gibi). Buna göre q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (mağazada 6 müşteri olduğu için). m sayısı 0'dan (tek bir müşteri satın alma işlemi yapmayacak) 6'ya (mağazaya gelen tüm ziyaretçiler bir şey satın alacak) kadar değişecektir. Sonuç olarak çözüme ulaşıyoruz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Hiçbir alıcı 0,2621 olasılıkla alım yapmayacak.

Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi) başka nasıl kullanılır? Aşağıda problem çözme örnekleri (ikinci seviye) yer almaktadır.

Yukarıdaki örnekten sonra C ve r'nin nereye gittiğine dair sorular ortaya çıkıyor. P'ye göre, 0'ın üssü bir sayı bire eşit olacaktır. C'ye gelince, aşağıdaki formülle bulunabilir:

C n m = n! /m!(n-m)!

İlk örnekte sırasıyla m = 0 olduğundan, prensipte sonucu etkilemeyen C = 1'dir. Yeni formülü kullanarak iki ziyaretçinin ürün satın alma olasılığının ne olduğunu bulmaya çalışalım.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Olasılık teorisi o kadar da karmaşık değil. Örnekleri yukarıda sunulan Bernoulli formülü bunun doğrudan kanıtıdır.

Poisson formülü

Poisson denklemi düşük olasılıklı rastgele durumları hesaplamak için kullanılır.

Temel formül:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

Bu durumda λ = n x p. İşte basit bir Poisson formülü (olasılık teorisi). Aşağıda problem çözme örneklerini ele alacağız.

Görev 3: Fabrika 100.000 parça üretti. Arızalı parçanın meydana gelmesi = 0,0001. Bir partide 5 adet hatalı parça olma olasılığı nedir?

Gördüğünüz gibi evlilik pek olası olmayan bir olaydır ve bu nedenle hesaplama için Poisson formülü (olasılık teorisi) kullanılır. Bu tür problemleri çözme örnekleri disiplindeki diğer görevlerden farklı değildir; gerekli verileri verilen formüle koyarız:

A = “Rastgele seçilen bir parça kusurlu olacaktır.”

p = 0,0001 (görev koşullarına göre).

n = 100000 (parça sayısı).

m = 5 (kusurlu parçalar). Verileri formülde değiştiririz ve şunu elde ederiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Tıpkı yukarıda yazılan çözüm örnekleri olan Bernoulli formülü (olasılık teorisi) gibi, Poisson denkleminin de bilinmeyen bir e değeri vardır.Aslında aşağıdaki formülle bulunabilir:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Ancak e'nin hemen hemen tüm değerlerini içeren özel tablolar vardır.

De Moivre-Laplace teoremi

Bernoulli şemasında deneme sayısı yeterince büyükse ve A olayının tüm şemalarda meydana gelme olasılığı aynıysa, o zaman A olayının bir dizi testte belirli sayıda meydana gelme olasılığı şu şekilde bulunabilir: Laplace'ın formülü:

n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplace formülünü (olasılık teorisi) daha iyi hatırlamak için aşağıda sorun örnekleri verilmiştir.

Öncelikle X m'yi bulalım, verileri (hepsi yukarıda listelenmiştir) formülde yerine koyalım ve 0,025 elde edelim. Tabloları kullanarak değeri 0,3988 olan ϕ(0,025) sayısını buluruz. Artık tüm verileri formülde değiştirebilirsiniz:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Yani uçucunun tam olarak 267 kez çalışma olasılığı 0,03'tür.

Bayes formülü

Aşağıda yardımı ile problem çözme örnekleri verilecek olan Bayes formülü (olasılık teorisi), bir olayın olasılığını, onunla ilişkilendirilebilecek koşullara göre tanımlayan bir denklemdir. Temel formül aşağıdaki gibidir:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ve B kesin olaylardır.

P(A|B) koşullu bir olasılıktır, yani B olayının doğru olması koşuluyla A olayı gerçekleşebilir.

P (B|A) - B olayının koşullu olasılığı.

Dolayısıyla, “Olasılık Teorisi” adlı kısa dersin son kısmı Bayes formülüdür, aşağıda problemlerin çözüm örnekleri yer almaktadır.

Görev 5: Depoya 3 firmadan telefon getirildi. Aynı zamanda ilk tesiste üretilen telefonların payı %25, ikinci tesiste %60, üçüncü tesiste ise %15'tir. Ayrıca ilk fabrikada kusurlu ürün oranının ortalama %2, ikinci fabrikada %4 ve üçüncü fabrikada %1 olduğu da bilinmektedir. Rastgele seçilen bir telefonun arızalı olma olasılığını bulmanız gerekiyor.

A = “rastgele seçilen telefon.”

B 1 - ilk fabrikanın ürettiği telefon. Buna göre tanıtım B 2 ve B 3 görünecektir (ikinci ve üçüncü fabrikalar için).

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

P(B1) = %25/%100 = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - böylece her seçeneğin olasılığını bulduk.

Şimdi istenen olayın koşullu olasılıklarını, yani şirketlerdeki kusurlu ürün olasılığını bulmanız gerekiyor:

P(A/B1) = %2/%100 = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Şimdi verileri Bayes formülünde yerine koyalım ve şunu elde edelim:

P(A) = 0,25x0,2 + 0,6x0,4 + 0,15x0,01 = 0,0305.

Makale olasılık teorisini, formülleri ve problem çözme örneklerini sunuyor, ancak bu geniş bir disiplinin buzdağının yalnızca görünen kısmı. Ve yazılanlardan sonra hayatta olasılık teorisine ihtiyaç olup olmadığı sorusunu sormak mantıklı olacaktır. Sıradan bir insanın cevap vermesi zordur; ikramiyeyi birden fazla kez kazanmak için kullanan birine sormak daha iyidir.

Matematik dersi okul çocukları için pek çok sürpriz hazırlıyor, bunlardan biri de olasılık teorisiyle ilgili bir problem. Öğrenciler neredeyse yüzde yüz bu tür görevleri çözmede sorun yaşıyor. Bu konuyu anlamak ve anlamak için temel kuralları, aksiyomları ve tanımları bilmeniz gerekir. Kitaptaki metni anlamak için tüm kısaltmaları bilmeniz gerekir. Bütün bunları öğrenmeyi teklif ediyoruz.

Bilim ve uygulaması

"Kuklalar için olasılık teorisi" konusunda hızlandırılmış bir ders sunduğumuz için öncelikle temel kavramları ve harf kısaltmalarını tanıtmamız gerekiyor. Başlangıç ​​olarak “olasılık teorisi” kavramını tanımlayalım. Bu nasıl bir bilimdir ve neden gereklidir? Olasılık teorisi, matematiğin rastgele olay ve nicelikleri inceleyen dallarından biridir. Ayrıca bu rastgele değişkenlerle gerçekleştirilen kalıpları, özellikleri ve işlemleri de dikkate alıyor. Bu ne için? Bilim, doğa olaylarının incelenmesinde yaygınlaştı. Hiçbir doğal ve fiziksel süreç şansın varlığı olmadan gerçekleşemez. Deney sırasında sonuçlar mümkün olduğu kadar doğru kaydedilse bile aynı test tekrarlanırsa sonuç büyük olasılıkla aynı olmayacaktır.

Kesinlikle görev örneklerine bakacağız, kendiniz görebilirsiniz. Sonuç, dikkate alınması veya kaydedilmesi neredeyse imkansız olan birçok farklı faktöre bağlıdır, ancak yine de deneyin sonucu üzerinde büyük bir etkiye sahiptirler. Canlı örnekler arasında gezegenlerin yörüngesini belirleme veya hava tahminini belirleme görevi, işe giderken tanıdık bir kişiyle karşılaşma olasılığı ve bir sporcunun atlama yüksekliğini belirleme yer alıyor. Olasılık teorisi aynı zamanda borsalardaki komisyonculara da büyük yardım sağlamaktadır. Olasılık teorisindeki bir problem, daha önce çözümü pek çok sorunla karşı karşıya olan bir problem, aşağıda verilen üç dört örnekten sonra sizin için önemsiz bir şey haline gelecektir.

Olaylar

Daha önce de belirtildiği gibi bilim olayları inceler. Olasılık teorisi, biraz sonra problem çözme örneklerine bakacağız, yalnızca tek bir türü inceliyor - rastgele. Ancak yine de olayların üç türden olabileceğini bilmeniz gerekir:

• İmkansız.
• Güvenilir.
• Rastgele.

Her birini biraz tartışmayı öneriyoruz. İmkansız bir olay hiçbir koşulda gerçekleşmeyecektir. Örnekler arasında şunlar yer alır: suyun sıfırın üzerindeki sıcaklıklarda dondurulması, bir torba toptan bir küpün çıkarılması.

Tüm koşullar yerine getirilirse her zaman %100 garantiyle güvenilir bir olay meydana gelir. Örneğin: yapılan iş için maaş aldınız, vicdanlı bir şekilde çalıştıysanız, sınavları geçtiyseniz ve diplomanızı savunduysanız yüksek mesleki eğitim diploması aldınız vb.

Her şey biraz daha karmaşık: Deney sırasında gerçekleşebilir veya gerçekleşmeyebilir, örneğin en fazla üç deneme yaptıktan sonra kart destesinden bir as çekmek. Sonucu ya ilk denemede alabilirsiniz ya da hiç alamayabilirsiniz. Bilimin incelediği bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.

Olasılık

Bu, genel anlamda, bir olayın gerçekleştiği deneyimin başarılı bir şekilde sonuçlanma ihtimalinin değerlendirilmesidir. Olasılık, özellikle niceliksel değerlendirmenin imkansız veya zor olması durumunda niteliksel düzeyde değerlendirilir. Olasılık teorisindeki bir problemin çözümü veya daha doğrusu bir tahmini, başarılı bir sonucun mümkün olan en yüksek payını bulmayı içerir. Matematikte olasılık bir olayın sayısal özellikleridir. P harfi ile gösterilen sıfırdan bire kadar değerler alır. P sıfıra eşitse olay gerçekleşemez, bir ise olay yüzde yüz olasılıkla gerçekleşir. P bire ne kadar yaklaşırsa, başarılı bir sonucun olasılığı o kadar güçlü olur ve bunun tersi de sıfıra yakınsa, o zaman olay düşük olasılıkla gerçekleşecektir.

Kısaltmalar

Yakında karşılaşacağınız olasılık problemi aşağıdaki kısaltmaları içerebilir:

• P ve P(X);
• A, B, C, vb;

Bazıları da mümkündür: gerektiğinde ek açıklamalar yapılacaktır. Öncelikle yukarıda sunulan kısaltmaları açıklığa kavuşturmanızı öneririz. Listemizdeki ilk faktör faktöriyeldir. Daha açık hale getirmek için örnekler veriyoruz: 5!=1*2*3*4*5 veya 3!=1*2*3. Daha sonra verilen kümeler süslü parantez içinde yazılır, örneğin: (1;2;3;4;...;n) veya (10;140;400;562). Aşağıdaki gösterim, olasılık teorisiyle ilgili görevlerde sıklıkla bulunan doğal sayılar kümesidir. Daha önce de belirtildiği gibi, P bir olasılıktır ve P(X), bir X olayının meydana gelme olasılığıdır. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir, örneğin: A - beyaz bir top yakalandı, B - mavi , C - kırmızı veya sırasıyla . Küçük harf n, tüm olası sonuçların sayısıdır ve m, başarılı olanların sayısıdır. Buradan temel problemlerde klasik olasılığı bulma kuralını elde ederiz: P = m/n. "Aptallar için" olasılık teorisi muhtemelen bu bilgiyle sınırlıdır. Şimdi pekiştirmek için çözüme geçelim.

Problem 1. Kombinatorik

Öğrenci grubu, aralarından bir muhtar, onun yardımcısı ve bir sendika liderinin seçilmesi gereken otuz kişiden oluşuyor. Bu eylemi yapmanın yollarının sayısını bulmak gerekir. Benzer bir görev Birleşik Devlet Sınavında da görünebilir. Şu anda ele aldığımız problemlerin çözümü olan olasılık teorisi, kombinatorik sürecindeki problemleri, klasik olasılığı bulmayı, geometrik olasılığı ve temel formüllerle ilgili problemleri içerebilir. Bu örnekte kombinatorik kursundaki bir görevi çözüyoruz. Çözüme geçelim. Bu görev en basit olanıdır:

1. n1=30 - öğrenci grubunun olası başkanları;
2. n2=29 - Milletvekili görevini üstlenebilecek olanlar;
3. n3=28 kişi sendikacı pozisyonuna başvuruyor.

Tek yapmamız gereken olası seçenek sayısını bulmak, yani tüm göstergeleri çarpmak. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 30*29*28=24360.

Bu, sorulan sorunun cevabı olacaktır.

Sorun 2. Yeniden Düzenleme

Konferansta 6 katılımcı konuşmaktadır, sıralama kura ile belirlenmektedir. Olası beraberlik seçeneklerinin sayısını bulmamız gerekiyor. Bu örnekte altı elementin permütasyonunu düşünüyoruz, yani 6'yı bulmamız gerekiyor!

Kısaltmalar paragrafında ne olduğundan ve nasıl hesaplandığından bahsetmiştik. Toplamda 720 çizim seçeneğinin olduğu ortaya çıkıyor. İlk bakışta zor bir işin çok kısa ve basit bir çözümü vardır. Bunlar olasılık teorisinin dikkate aldığı görevlerdir. Aşağıdaki örneklerde daha üst düzey problemlerin nasıl çözüleceğine bakacağız.

Sorun 3

Yirmi beş kişilik bir öğrenci grubu altı, dokuz ve on kişilik üç alt gruba ayrılmalıdır. Elimizde: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Değerleri gerekli formülde değiştirmeye devam ediyoruz, şunu elde ediyoruz: N25(6,9,10). Basit hesaplamalardan sonra cevabı alıyoruz - 16.360.143.800 Görev sayısal bir çözüm elde etmenin gerekli olduğunu söylemiyorsa faktöriyel şeklinde verilebilir.

Sorun 4

Üç kişi birden ona kadar sayıları tahmin etti. Birinin numaralarının eşleşme olasılığını bulun. Öncelikle tüm sonuçların sayısını bulmalıyız - bizim durumumuzda bu bindir, yani on üzeri üçüncü kuvvettir. Şimdi herkes farklı sayılar tahmin ettiğinde seçeneklerin sayısını bulalım, bunun için on, dokuz ve sekizi çarpıyoruz. Bu rakamlar nereden geldi? İlki bir sayı tahmin ediyor, on seçeneği var, ikincinin zaten dokuzu var ve üçüncünün kalan sekizden seçim yapması gerekiyor, böylece 720 olası seçeneğe sahip oluyoruz. Daha önce hesapladığımız gibi toplamda 1000 seçenek var ve tekrarlar olmadan 720 seçenek var, bu nedenle geri kalan 280 ile ilgileniyoruz. Şimdi klasik olasılığı bulmak için bir formüle ihtiyacımız var: P = . Cevabını aldık: 0,28.

Gerçekte veya hayalimizde gerçekleşen olayları 3 gruba ayırabiliriz. Bunlar mutlaka gerçekleşecek belli olaylar, imkansız olaylar ve tesadüfi olaylardır. Olasılık teorisi rastgele olayları inceler; olabilecek veya olmayabilecek olaylar. Bu makale, matematikte Birleşik Devlet Sınavının 4. görevinde (profil düzeyi) yer alacak olan olasılık formülleri teorisini ve olasılık teorisindeki problem çözme örneklerini kısaca sunacaktır.

Neden olasılık teorisine ihtiyacımız var?

Tarihsel olarak, bu sorunların incelenmesi ihtiyacı 17. yüzyılda kumarın gelişimi, profesyonelleşmesi ve kumarhanelerin ortaya çıkışıyla bağlantılı olarak ortaya çıkmıştır. Bu, kendi incelemesini ve araştırmasını gerektiren gerçek bir olguydu.

Kağıt, zar ve rulet oynamak, sınırlı sayıda eşit derecede olası olaydan herhangi birinin meydana gelebileceği durumlar yarattı. Belirli bir olayın meydana gelme olasılığına ilişkin sayısal tahminler verilmesine ihtiyaç vardı.

20. yüzyılda, görünüşte önemsiz olan bu bilimin, mikrokozmosta meydana gelen temel süreçleri anlamada önemli bir rol oynadığı ortaya çıktı. Modern olasılık teorisi yaratıldı.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisinin incelenmesinin amacı olaylar ve onların olasılıklarıdır. Bir olay karmaşıksa, olasılıkları kolayca bulunabilen basit bileşenlere ayrılabilir.

A ve B olaylarının toplamına C olayı denir; bu, A olayının veya B olayının veya A ve B olaylarının aynı anda meydana gelmesinden oluşur.

A ve B olaylarının çarpımı bir C olayıdır; bu, hem A olayının hem de B olayının meydana geldiği anlamına gelir.

A ve B olayları aynı anda gerçekleşemiyorsa uyumsuz olarak adlandırılır.

Bir A olayı gerçekleşemiyorsa imkansız olarak adlandırılır. Böyle bir olay sembolüyle gösterilir.

Bir A olayının gerçekleşmesi kesin ise kesin olarak adlandırılır. Böyle bir olay sembolüyle gösterilir.

Her A olayının bir P(A) sayısıyla ilişkilendirilmesine izin verin. Bu uygunlukla aşağıdaki koşulların sağlanması durumunda bu P(A) sayısına A olayının olasılığı denir.

Önemli bir özel durum, eşit derecede olası temel sonuçların olduğu ve bu sonuçların keyfi olarak A olaylarını oluşturduğu durumdur. Bu durumda olasılık, formül kullanılarak girilebilir. Bu şekilde tanıtılan olasılığa klasik olasılık denir. Bu durumda 1-4 arasındaki özelliklerin karşılandığı kanıtlanabilir.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan olasılık teorisi problemleri esas olarak klasik olasılıkla ilgilidir. Bu tür görevler çok basit olabilir. Gösterim versiyonlarındaki olasılık teorisi problemleri özellikle basittir. Olumlu sonuçların sayısını hesaplamak kolaydır; tüm sonuçların sayısı koşulun hemen yanında yazılmıştır.

Formülü kullanarak cevabı buluyoruz.

Olasılığın belirlenmesine ilişkin matematikte Birleşik Devlet Sınavından bir problem örneği

Masada 20 turta var - 5'i lahanalı, 7'si elmalı ve 8'i pilavlı. Marina pastayı almak istiyor. Pirinç kekini alma olasılığı nedir?

Çözüm.

Eşit olasılıklı 20 temel sonuç vardır, yani Marina 20 pastadan herhangi birini alabilir. Ancak Marina'nın pirinçli turtayı alma olasılığını tahmin etmemiz gerekiyor, yani burada A, pirinçli turtanın seçimidir. Bu, olumlu sonuçların (pirinçli turta seçimi) sayısının yalnızca 8 olduğu anlamına gelir. O zaman olasılık aşağıdaki formülle belirlenecektir:

Bağımsız, Zıt ve Keyfi Olaylar

Ancak açık görev bankasında daha karmaşık görevler bulunmaya başlandı. Bu nedenle okuyucunun dikkatini olasılık teorisinde incelenen diğer konulara çekelim.

A ve B olaylarının her birinin olasılığı diğer olayın olup olmamasına bağlı değilse bağımsız olaylardır denir.

B olayı, A olayının gerçekleşmemiş olmasıdır, yani. B olayı A olayının tersidir. Ters olayın olasılığı bir eksi doğrudan olayın olasılığına eşittir, yani. .

Olasılık toplama ve çarpma teoremleri, formüller

A ve B keyfi olayları için, bu olayların toplamının olasılığı, ortak olaylarının olasılığı olmadan olasılıklarının toplamına eşittir; .

Bağımsız A ve B olayları için, bu olayların meydana gelme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir; bu durumda .

Son 2 ifadeye olasılıkların toplanması ve çarpımı teoremleri denir.

Sonuçların sayısını saymak her zaman bu kadar basit değildir. Bazı durumlarda kombinatorik formüllerin kullanılması gerekli olabilir. En önemli şey belirli koşulları sağlayan olayların sayısını saymaktır. Bazen bu tür hesaplamalar bağımsız görevler haline gelebilir.

6 boş sandalyeye 6 öğrenci kaç farklı şekilde oturabilir? İlk öğrenci 6 yerden herhangi birini alacaktır. Bu seçeneklerin her biri ikinci öğrencinin yer alması için 5 yola karşılık gelir. Üçüncü öğrenciye 4, dördüncü öğrenciye 3, beşinci öğrenciye 2 boş yer kalmıştır ve kalan tek yeri altıncı öğrenci alacaktır. Tüm seçeneklerin sayısını bulmak için 6 sembolüyle gösterilen ürünü bulmanız gerekir! ve "altı faktöriyel" okur.

Genel durumda bu sorunun cevabı, n elementin permütasyon sayısı formülüyle verilmektedir.

Şimdi öğrencilerimizle başka bir durumu ele alalım. 6 boş sandalyeye 2 öğrenci kaç farklı şekilde oturabilir? İlk öğrenci 6 yerden herhangi birini alacaktır. Bu seçeneklerin her biri ikinci öğrencinin yer alması için 5 yola karşılık gelir. Tüm seçeneklerin sayısını bulmak için ürünü bulmanız gerekir.

Genel olarak bu sorunun cevabı, n elemanın k eleman üzerindeki yerleşim sayısı formülü ile verilmektedir.

Bizim durumumuzda.

Ve bu serideki son vaka. 6 öğrenciden üçünü kaç farklı şekilde seçebilirsiniz? İlk öğrenci 6 şekilde, ikincisi 5 şekilde, üçüncüsü ise dört şekilde seçilebilir. Ancak bu seçenekler arasında aynı üç öğrenci 6 kez karşımıza çıkıyor. Tüm seçeneklerin sayısını bulmak için değeri hesaplamanız gerekir: . Genel olarak bu sorunun cevabı, elementlerin elementlere göre kombinasyon sayısı formülü ile verilir:

Bizim durumumuzda.

Olasılığı belirlemek için matematikte Birleşik Devlet Sınavından problem çözme örnekleri

Görev 1. Tarafından düzenlenen koleksiyondan. Yaşçenko.

Tabakta 30 turta var: 3'ü etli, 18'i lahanalı ve 9'u kirazlı. Sasha rastgele bir pasta seçiyor. Sonunda kiraz alma olasılığını bulun.

.

Cevap: 0.3.

Görev 2. Tarafından düzenlenen koleksiyondan. Yaşçenko.

Her 1000 ampulden ortalama 20'si arızalı. Bir partiden rastgele alınan bir ampulün çalışma olasılığını bulun.

Çözüm: Çalışan ampul sayısı 1000-20=980'dir. O zaman bir partiden rastgele alınan bir ampulün çalışma olasılığı:

Cevap: 0,98.

Öğrenci U'nun bir matematik sınavı sırasında 9'dan fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,67'dir. U.'nun 8'den fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,73'tür. U'nun tam olarak 9 problemi doğru çözme olasılığını bulun.

Bir sayı doğrusu hayal edersek ve üzerine 8 ve 9 noktalarını işaretlersek “U” koşulunun oluştuğunu görürüz. tam olarak 9 problemi doğru çözecektir” koşulunda “U. 8'den fazla problemi doğru çözecektir”, ancak “U. 9’dan fazla problemi doğru çözecektir.”

Ancak “U. 9'dan fazla problemi doğru çözecektir” koşulu, “U. 8’den fazla problemi doğru çözecektir.” Dolayısıyla olayları belirlersek: “U. tam olarak 9 problemi doğru çözecek" - A'dan "U. 8'den fazla problemi doğru şekilde çözecek" - B, "U. 9'dan fazla problemi C aracılığıyla doğru bir şekilde çözecektir. Bu çözüm şöyle görünecektir:

Cevap: 0,06.

Geometri sınavında öğrenci, sınav soruları listesinden bir soruyu yanıtlar. Bunun Trigonometri sorusu olma olasılığı 0,2'dir. Bunun Dış Açılar ile ilgili bir soru olma olasılığı 0,15'tir. Bu iki konuyu aynı anda ilgilendiren soru bulunmamaktadır. Bir öğrencinin sınavda bu iki konudan birinde soru alma olasılığını bulun.

Hangi olaylara sahip olduğumuzu düşünelim. Bize iki uyumsuz olay veriliyor. Yani soru ya “Trigonometri” konusuyla ya da “Dış açılar” konusuyla ilgili olacaktır. Olasılık teoremine göre, uyumsuz olayların olasılığı her olayın olasılıklarının toplamına eşittir, bu olayların olasılıklarının toplamını bulmamız gerekir, yani:

Cevap: 0,35.

Oda üç lambalı bir fenerle aydınlatılıyor. Bir lambanın bir yıl içerisinde sönme olasılığı 0,29'dur. Yıl boyunca en az bir lambanın yanmama olasılığını bulun.

Olası olayları ele alalım. Her biri diğer ampullerden bağımsız olarak yanabilen veya yanmayabilen üç ampulümüz var. Bunlar bağımsız olaylardır.

Daha sonra bu tür etkinlikler için seçenekleri belirteceğiz. Aşağıdaki gösterimleri kullanalım: - Ampul yanıyor, - Ampul yanmış. Ve hemen yanında olayın olasılığını hesaplayacağız. Örneğin “ampul yandı”, “ampul yanıyor”, “ampul yanıyor” olmak üzere üç bağımsız olayın meydana gelme olasılığı: burada “ampul yandı” olayının olasılığı yanıyor” olayı, “ampul yanmıyor” olayının tersi olan olayın olasılığı olarak hesaplanır, yani: .

Olasılık teorisi, bazı rastgele olayların olasılıklarından, birinciyle bir şekilde ilişkili diğer rastgele olayların olasılıklarını bulmayı sağlayan bir matematik bilimidir.

Bir olayın meydana geldiğini bildiren ifade olasılıkÖrneğin ½'ye eşit olan değer, güvenilir bilgi için çabaladığımızdan dolayı henüz kendi başına nihai bir değeri temsil etmemektedir. Nihai bilişsel değer, olasılık teorisinin, bir A olayının meydana gelme olasılığının birliğe çok yakın olduğunu veya (ki bu aynı şeydir) A olayının gerçekleşmeme olasılığının çok yüksek olduğunu belirtmemize olanak tanıyan sonuçlarıdır. küçük. "Yeterince küçük olasılıkların ihmal edilmesi" ilkesi uyarınca böyle bir olayın pratikte kesin olduğu kabul edilir. Aşağıda (Limit Teoremleri bölümünde), bilimsel ve pratik açıdan ilgi çeken bu tür sonuçların genellikle A olayının meydana gelip gelmemesinin birbiriyle zayıf bir şekilde ilişkili olan çok sayıda rastgele faktöre bağlı olduğu varsayımına dayandığı gösterilmektedir. birbirleriyle. Dolayısıyla olasılık teorisinin çok sayıda rastgele faktörün etkileşimi sırasında ortaya çıkan örüntüleri aydınlatan bir matematik bilimi olduğunu da söyleyebiliriz.

Olasılık teorisinin konusu.

Belirli koşullar S ile A olayı arasındaki doğal bağlantıyı tanımlamak için, belirli koşullar altında oluşup oluşmaması kesin olarak belirlenebilen doğa bilimleri genellikle aşağıdaki iki şemadan birini kullanır:

a) S koşullarının her gerçekleşmesiyle A olayı meydana gelir. Örneğin bu form, verilen başlangıç ​​koşulları ve bir cisim veya cisimler sistemi üzerine etki eden kuvvetlerin, hareketin benzersiz bir şekilde meydana geleceğini belirten klasik mekaniğin tüm kanunlarına sahiptir. tanımlanmış yol.

b) S koşulları altında, A olayının p'ye eşit belirli bir P (A / S) olasılığı vardır. Örneğin, radyoaktif radyasyon yasaları, her radyoaktif madde için, belirli bir madde miktarından, belirli sayıda N atomun belirli bir zaman diliminde bozunma olasılığının belirli olduğunu belirtir.

Belirli bir n deneme serisindeki (yani, S koşullarının n tekrarlanan uygulamasından) A olayının sıklığını, A'nın meydana geldiği denemelerin m sayısının toplam n sayısına oranı h = m/n olarak adlandıralım. . A olayının, p'ye eşit belirli bir olasılığa sahip S koşulları altında varlığı, hemen hemen her yeterince uzun test serisinde A olayının sıklığının yaklaşık olarak p'ye eşit olması gerçeğiyle ortaya çıkar.

İstatistiksel modeller, yani (b) tipi bir şemayla tanımlanan modeller, ilk olarak zar gibi kumar oyunlarında keşfedildi. Doğum ve ölüme ilişkin istatistiksel kalıplar da çok uzun zamandır bilinmektedir (örneğin, yeni doğmuş bir bebeğin erkek olma olasılığı 0,515'tir). 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın 1. yarısı. fizik, kimya, biyoloji vb. alanlarda çok sayıda istatistiksel yasanın keşfiyle işaretlenmiştir.

Olasılık teorisi yöntemlerinin birbirinden çok uzak bilim alanlarıyla ilgili istatistiksel modellerin incelenmesine uygulanma olasılığı, olayların olasılıklarının her zaman aşağıda tartışılacak olan bazı basit ilişkileri sağlaması gerçeğine dayanmaktadır (bkz. Olasılık teorisinin temel kavramları bölümü). Olay olasılıklarının özelliklerinin bu basit ilişkiler temelinde incelenmesi olasılık teorisinin konusudur.

Olasılık teorisinin temel kavramları.

Matematiksel bir disiplin olarak olasılık teorisinin temel kavramları, en basit şekilde, temel olasılık teorisi olarak adlandırılan çerçeve içerisinde tanımlanır. Temel olasılık teorisinde ele alınan her T testi, E1, E2,..., ES olaylarından yalnızca biriyle (duruma bağlı olarak biri veya diğeri) bitecek şekildedir. Bu olaylara deneme sonuçları denir. Her sonuç Ek, pozitif bir pk sayısıyla ilişkilidir - bu sonucun olasılığı. pk sayıları bire eşit olmalıdır. Daha sonra "Ya Ei, ya Ej,... ya da Ek'in meydana gelmesi" olgusunu içeren A olayları dikkate alınır. Ei, Ej,..., Ek sonuçları, A'nın lehine olarak adlandırılır ve tanım gereği, A olayının P(A) olasılığının, onun lehine olan sonuçların olasılıklarının toplamına eşit olduğu varsayılır:

P (A) = pi + ps + … + pk. (1)

p1 = p2 =... ps = 1/S özel durumu aşağıdaki formüle yol açar

P(A) = r/s. (2)

Formül (2), herhangi bir A olayının olasılığının, A lehine sonuçların r sayısının tüm "eşit derecede mümkün" sonuçların sayısı s'ye oranına eşit olduğu, olasılığın klasik tanımını ifade eder. Olasılığın klasik tanımı, “olasılık” kavramını sadece “eşit olasılık” kavramına indirgemekte ve net bir tanım yapılmamaktadır.

Örnek. İki zar atıldığında, 36 olası sonucun her biri (i, j) olarak belirlenebilir; burada i, ilk zarda görünen puanların sayısıdır, j ise ikinci zarda görünen puanlardır. Sonuçların eşit derecede olası olduğu varsayılmaktadır. Olay A - “puanların toplamı 4”, üç sonuç (1; 3), (2; 2), (3; 1) tarafından tercih ediliyor. Dolayısıyla P(A) = 3/36 = 1/12.

Verilen herhangi bir olaya dayanarak iki yeni olay belirlenebilir: bunların birleşimi (toplam) ve kombinasyonu (çarpım). B Olayı, "A1, A2,... veya Ar meydana geliyor" biçimindeyse A 1, A 2,..., Ar,- olaylarının birleşimi olarak adlandırılır.

C olayı, "hem A1, A2,..., hem de Ar meydana geliyor" biçimindeyse, A1, A.2,..., Ar olaylarının birleşimi olarak adlandırılır. Olayların birleşimi È işaretiyle, birleşimi ise Ç işaretiyle gösterilir. Böylece şunu yazıyorlar:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

A ve B olaylarının aynı anda gerçekleşmesi imkansız ise, yani test sonuçları arasında hem A hem de B lehine tek bir olay bulunmuyorsa uyumsuz olarak adlandırılır.

Olayların birleştirilmesi ve birleştirilmesiyle ilgili tanıtılan işlemler, matematik teorisinin iki ana teoremi ile ilişkilidir: olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremleri.

Olasılık toplama teoremi. A1, A2,..., Ar olaylarının her ikisi de tutarsız ise, bunların birleşme olasılığı olasılıklarının toplamına eşittir.

Dolayısıyla, yukarıdaki iki zar atma örneğinde, B olayı - "puanların toplamı 4'ü geçmiyor", puanların toplamının eşit olması gerçeğinden oluşan üç uyumsuz A2, A3, A4 olayının birleşimidir sırasıyla 2, 3, 4 Bu olayların olasılıkları 1/36; 2/36; 3/36. Toplama teoremine göre P(B) olasılığı şuna eşittir:

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

A koşulu göz önüne alındığında B olayının koşullu olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir:

gösterilebileceği gibi frekansların özelliklerine tam olarak uygundur. A1, A2,..., Ar olayları, diğerlerinden herhangi birinin gerçekleşmesi koşuluyla her birinin koşullu olasılığı, "koşulsuz" olasılığına eşitse bağımsız olarak adlandırılır.

Olasılık çarpımı teoremi. A1, A2,..., Ar olaylarını birleştirme olasılığı, A1 olayının olasılığı ile A1'in meydana gelmiş olması koşuluyla A2 olayının olasılığı çarpımının, olayın olasılığı ile çarpımına eşittir. Ar, A1, A2,... ., Ar-1'in gelmesi şartıyla. Bağımsız olaylar için çarpma teoremi şu formüle yol açar:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

yani bağımsız olayların bir araya gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Formül (3) her iki kısmında da bazı olayların karşıtlarıyla değiştirilmesi durumunda geçerliliğini korur.

Örnek. Atış başına isabet olasılığı 0,2 olan hedefe 4 atış yapılır. Farklı atışlardan elde edilen hedef isabetlerinin bağımsız olaylar olduğu varsayılır. Hedefi tam olarak üç kez vurma olasılığı nedir?

Her test sonucu dört harften oluşan bir diziyle gösterilebilir [örneğin, (y, n, n, y), birinci ve dördüncü atışların isabet ettiği (başarılı) ve ikinci ve üçüncü atışların isabet etmediği (başarısız) anlamına gelir). 2×2×2×2 = 16 sonuç olacak. Bireysel atış sonuçlarının bağımsızlığı varsayımına uygun olarak, bu sonuçların olasılıklarını belirlemek için formül (3) ve buna ilişkin bir not kullanılmalıdır. Bu nedenle, sonucun olasılığı (y, n. n, n) 0,2 × 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,1024'e eşit olarak ayarlanmalıdır; burada 0,8 = 1-0,2 tek atışta ıskalama olasılığıdır. “Hedefe üç kez vurulması” olayı (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) sonuçları tarafından tercih edilmektedir. (n, y, y, y), her birinin olasılığı aynıdır:

0,2×0,2×0,2×0,8 =...... =0,8×0,2×0,2×0,2 = 0,0064;

bu nedenle gerekli olasılık eşittir

4×0,0064 = 0,0256.

Analiz edilen örneğin mantığını genelleştirerek olasılık teorisinin temel formüllerinden birini türetebiliriz: Eğer A1, A2,..., An olayları bağımsızsa ve her birinin p olasılığı varsa, o zaman bunlardan tam olarak m'sinin meydana gelme olasılığı şöyledir: eşittir

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

burada Cnm, m'nin n elemanının kombinasyon sayısını belirtir. Büyük n için formül (4) kullanılarak yapılan hesaplamalar zorlaşır. Önceki örnekte atış sayısı 100 olsun ve soru, atış sayısının 8 ile 32 arasında olması ihtimali x'in bulunması için sorulur. Formül (4)'ün uygulanması ve toplama teoremi doğru bir sonuç verir, ancak istenen olasılığın pratikte kullanılamaz ifadesi

X olasılığının yaklaşık değeri Laplace teoremi kullanılarak bulunabilir.

ve hata 0,0009'u aşmaz. Bulunan sonuç 8 £ m £ 32 olayının neredeyse kesin olduğunu gösteriyor. Bu, olasılık teorisinde limit teoremlerinin kullanımının en basit ama tipik örneğidir.

Temel olasılık teorisinin temel formülleri aynı zamanda toplam olasılık formülünü de içerir: A1, A2,..., Ar olayları ikili olarak uyumsuzsa ve bunların birleşimi güvenilir bir olaysa, o zaman herhangi bir B olayı için olasılığı şuna eşittir: toplam

Olasılık çarpım teoremi özellikle bileşik testler dikkate alındığında faydalıdır. Bir T denemesinin her bir sonucu karşılık gelen Ai, Bj,..., Xk, Yl sonuçlarının bir kombinasyonu ise, bir T denemesinin T1, T2,..., Tn-1, Tn denemelerinden oluştuğu söylenir. denemeler T1, T2,... , Tn-1, Tn. Şu ya da bu nedenle olasılıklar sıklıkla bilinir

Olayların olası, olası ve rastgele olarak sınıflandırılması. Basit ve karmaşık temel olay kavramları. Olaylara ilişkin işlemler. Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı ve özellikleri. Olasılık teorisinde kombinatorik unsurları. Geometrik olasılık. Olasılık teorisinin aksiyomları.

Olay sınıflandırması

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Altında etkinlik Bir deneyim ya da test sonucunda ortaya çıkabilecek her türlü gerçeği anlayabilir. Altında deneyim, veya Ölçek, belirli bir dizi koşulun uygulanmasını ifade eder.

Olay örnekleri:

- silahla ateş ederken hedefi vurmak (deneyim - atış yapmak; olay - hedefi vurmak);
– üç kez yazı tura atıldığında iki amblemin kaybı (deneyim - üç kez yazı tura atma; olay - iki amblemin kaybı);
– bir hedefe olan mesafeyi ölçerken, belirlenen sınırlar dahilinde bir ölçüm hatasının ortaya çıkması (deneyim - menzil ölçümü; olay - ölçüm hatası).

Buna benzer sayısız örnek verilebilir. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle vb. gösterilir.

Ayırt etmek ortak etkinlikler Ve uyumsuz. Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay, ilk zarda üç puan kaybı, ikinci zarda ise üç puan kaybıdır. ve - ortak etkinlikler. Mağazanın aynı stil ve bedende ancak farklı renklerde bir grup ayakkabı almasına izin verin. Etkinlik - rastgele alınan bir kutuda siyah ayakkabılar bulunur, bir etkinlik - kutuda kahverengi ayakkabılar bulunur ve - uyumsuz etkinlikler.

Olayın adı güvenilir Belirli bir deneyin koşulları altında meydana geleceği kesin ise.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşemeyen bir olaya imkansız denir. Örneğin, standart parçalardan oluşan bir partiden standart bir parçanın alınması durumu güvenilirdir ancak standart olmayan bir parçanın alınması imkansızdır.

Olayın adı olası, veya rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak görünebilirse de görünmeyebilir. Rastgele bir olaya örnek olarak, bitmiş ürün grubunun denetimi sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenmiş ürünün boyutu ile belirtilen ürün arasındaki tutarsızlık veya otomatik kontrol sistemindeki bağlantılardan birinin arızası verilebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün, eğer test koşullarına göre bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha mümkün değilse. Örneğin, bir mağazaya birden fazla üretim tesisi tarafından eşit miktarda ampul tedarik edilsin. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren etkinlikler de aynı derecede mümkündür.

Önemli bir kavram tam bir etkinlik grubu. Belirli bir deneydeki birçok olay, eğer deney sonucunda bunlardan en az birinin ortaya çıkacağından eminse, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir kavanozda altısı kırmızı, dördü beyaz ve beşi sayılara sahip on top vardır. - bir çekilişte kırmızı bir topun ortaya çıkması, - beyaz bir topun ortaya çıkması, - üzerinde rakam bulunan bir topun ortaya çıkması. Etkinlikler, ortak etkinliklerin tam bir grubunu oluşturur.

Karşıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Altında zıt Bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka meydana gelmesi gereken bir olay olarak anlaşılmaktadır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Örneğin, üretilen ürünlerin bir partisi iyi ve kusurlu ürünlerden oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bunun ya iyi bir olay ya da kusurlu bir olay olduğu ortaya çıkabilir.

Olaylara ilişkin işlemler

Olasılık teorisinde rastgele olayları incelemek için bir aparat ve metodoloji geliştirirken, olayların toplamı ve çarpımı kavramı çok önemlidir.

Birkaç olayın toplamı veya birleşimi, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların toplamı şu şekilde gösterilir:

Örneğin, bir olay hedefi ilk atışla vuruyorsa, bir olay - ikinciyle, o zaman olay genel olarak hedefi vuruyorsa, hangi atışla olduğu önemli değildir - birinci, ikinci veya her ikisi.

Birkaç olayın ürünü veya kesişimi, tüm bu olayların ortaklaşa meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların üretimi belirtilir

Örneğin ilk atışta hedefin vurulması olayı varsa, ikinci atışta hedefin vurulması olayı ise her iki atışta hedefin vurulması olayıdır.

Olayların toplamı ve çarpımı kavramlarının açık bir geometrik yorumu vardır. Olay bölgeye giren bir noktadan ibaret olsun, olay bölgeye giren noktadan oluşsun, o halde olay Şekil 2'de gölgelenen bölgeye giren noktadan oluşsun. Şekil 1'de gösterilen olay, bir noktanın Şekil 2'de gölgelenen alana çarpmasıdır. 2.

Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı

Olayları, meydana gelme olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçüm uygulanır.

Bir olayın olasılığı, bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının ölçüsünü ifade eden bir sayıdır.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.

Bir olayın olasılığı, benzersiz şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumların toplam sayısı içinden, kendisi için uygun olan durumların sayısına oranına eşittir. yani.

Bu olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurarak, benzersiz bir şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, bunların toplam sayısını, belirli bir durum için uygun olan durumların sayısını hesaplamak gerekir. olayı belirleyin ve ardından formül (1.1)'i kullanarak hesaplamayı yapın.

Formül (1.1)'den, bir olayın olasılığının negatif olmayan bir sayı olduğu ve olumlu vaka sayısının toplam vaka sayısına oranına bağlı olarak sıfırdan bire değişebileceği sonucu çıkar:

Olasılığın Özellikleri

Mülk 1. Belirli bir olay için tüm durumlar uygunsa, o zaman bu olayın gerçekleşmesi kesindir. Sonuç olarak, söz konusu olay güvenilirdir ve gerçekleşme olasılığı da bu durumda olduğundan

Mülk 2. Bir olayın tek bir olumlu durumu yoksa bu olayın tecrübe sonucu meydana gelmesi mümkün değildir. Sonuç olarak, söz konusu olay imkansızdır ve gerçekleşme olasılığı şudur: Bu durumda:

Mülk 3. Tam bir grubu oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Mülk 4. Ters olayın meydana gelme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir:

zıt olayın meydana gelmesine elverişli vakaların sayısı nerede? Dolayısıyla zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile olayın meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütmeye dayanarak belirlenebilmesidir.

Örnek 1. Abone, telefon numarasını çevirirken bir rakamı unutup rastgele çevirmiştir. Doğru numaranın çevrilme olasılığını bulun.

Çözüm. İstenilen numaranın çevrilmesi olayını belirtelim. Abone 10 rakamdan herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar tek olasıdır (rakamlardan biri çevrilmelidir) ve eşit derecede mümkündür (rakam rastgele aranır). Olayı destekleyen yalnızca bir sonuç vardır (gerekli yalnızca bir sayı vardır). Gerekli olasılık, olay için olumlu sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranına eşittir:

Kombinatorik elemanları

Olasılık teorisinde yerleşimler, permütasyonlar ve kombinasyonlar sıklıkla kullanılır. Bir set verilirse, o zaman yerleştirme (kombinasyon) elemanlarının by kümesinin elemanlarının herhangi bir sıralı (sırasız) alt kümesidir. Yerleştirildiğinde çağrılır yeniden düzenleme elementlerden.

Örneğin bir küme verilmiş olsun. Bu ikili kümenin üç öğesinin yerleşimleri , , , , , ; kombinasyonlar - , , .

İki kombinasyon en az bir öğe açısından farklılık gösterir ve yerleşimler ya öğelerin kendisinde ya da göründükleri sıraya göre farklılık gösterir. Elementlerin kombinasyonlarının sayısı formülle hesaplanır.

elemanların yerleşim sayısıdır; - elemanların permütasyon sayısı.

Örnek 2. 10 parçalık bir partide 7 standart parça vardır. Rastgele alınan 6 parçadan tam olarak 4 tanesinin standart parça olma olasılığını bulun.

Çözüm. Olası test sonuçlarının toplam sayısı, 10 parçadan 6 parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına, yani 6'nın 10 öğesinin kombinasyon sayısına eşittir. Olay için uygun olan sonuçların sayısı (6 parça arasında) alınan parçalardan tam 4 adet standart parça vardır) şu şekilde belirlenir: 7 standart parçadan farklı şekillerde 4 standart parça alınabilir; bu durumda geri kalan parçalar standart dışı olmalıdır; Standart olmayan parçalardan standart olmayan 2 parçayı çıkarmanın yolları vardır. Bu nedenle, olumlu sonuçların sayısı eşittir. Başlangıç ​​olasılığı, olaya uygun sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranına eşittir:

Olasılığın istatistiksel tanımı

Formül (1.1), yalnızca deneyimin bir vaka modeline indirgenmesi durumunda olayların olasılıklarını doğrudan hesaplamak için kullanılır. Pratikte, olasılığın klasik tanımı genellikle iki nedenden dolayı uygulanamaz: Birincisi, olasılığın klasik tanımı, toplam vaka sayısının sonlu olması gerektiğini varsayar. Aslında çoğu zaman sınırlı değildir. İkincisi, bir deneyin sonuçlarını eşit derecede olası ve uyumsuz olaylar biçiminde sunmak çoğu zaman imkansızdır.

Tekrarlanan Deneyler sırasında olayların meydana gelme sıklığı, bazı sabit değerler etrafında istikrar kazanma eğilimindedir. Dolayısıyla, frekansların etrafında gruplandığı ve deneylerin gerçekleştirildiği koşullar kümesi ile olay arasındaki nesnel bağlantının bir özelliği olan, ele alınan olayla belirli bir sabit değer ilişkilendirilebilir.

Rastgele bir olayın olasılığı, deneme sayısı arttıkça bu olayın frekanslarının etrafında gruplandırıldığı sayıdır.

Olasılığın bu tanımına denir istatistiksel.

Olasılığı belirlemeye yönelik istatistiksel yöntemin avantajı, gerçek bir deneye dayanmasıdır. Bununla birlikte, önemli dezavantajı, olasılığı belirlemek için çok sayıda deney yapılmasının gerekli olmasıdır ve bunlar sıklıkla malzeme maliyetleriyle ilişkilidir. Bir olayın olasılığının istatistiksel olarak belirlenmesi, bu kavramın içeriğini tam olarak ortaya koysa da aslında olasılığın hesaplanmasını mümkün kılmaz.

Olasılığın klasik tanımı, sonlu sayıda eşit derecede olası olayların tam grubunu dikkate alır. Pratikte çoğu zaman olası test sonuçlarının sayısı sonsuzdur. Bu gibi durumlarda klasik olasılık tanımı geçerli değildir. Ancak bazen bu gibi durumlarda başka bir olasılık hesaplama yöntemi kullanabilirsiniz. Kesinlik sağlamak için kendimizi iki boyutlu durumla sınırlandırıyoruz.

Düzlemde başka bir alan bölgesini içeren belirli bir alan bölgesi verilsin (Şekil 3). Alana rastgele bir nokta atılır. Bölgeye bir noktanın düşme olasılığı nedir? Rastgele atılan bir noktanın bölgedeki herhangi bir noktaya çarpabileceği, bölgenin herhangi bir yerine çarpma olasılığının parçanın alanıyla orantılı olduğu, konumuna ve şekline bağlı olmadığı varsayılmaktadır. Bu durumda alana rastgele bir nokta atıldığında alana çarpma olasılığı;

Dolayısıyla genel durumda, bir noktanın belirli bir alan içindeki bir çizgi, düzlem veya uzayda rastgele görünme olasılığı, bu alanın konumu ve sınırları tarafından değil, yalnızca boyutuyla, yani uzunluğuyla belirlenirse. , alan veya hacim, ardından Rastgele bir noktanın belirli bir bölgeye düşme olasılığı, bu bölgenin boyutunun, belirli bir noktanın görünebileceği tüm bölgenin boyutuna oranı olarak tanımlanır. Bu olasılığın geometrik tanımıdır.

Örnek 3. Yuvarlak bir hedef sabit açısal hızla dönmektedir. Hedefin beşte biri yeşile, geri kalanı beyaza boyanmıştır (Şek. 4). Hedefe öyle bir atış yapılır ki, hedefi vurmak güvenilir bir olaydır. Yeşil renkli hedef sektörü vurma olasılığını belirlemeniz gerekiyor.

Çözüm. "Atış yeşil renkli sektöre çarptı" ifadesini kullanalım. Daha sonra . Olasılık, hedefin herhangi bir yerine isabet edilmesi eşit derecede mümkün olduğundan, hedefin yeşil boyalı kısmının alanının hedefin tüm alanına oranı olarak elde edilir.

Olasılık teorisinin aksiyomları

Rastgele bir olayın olasılığının istatistiksel tanımından, bir olayın olasılığının, bu olayın deneysel olarak gözlemlenen frekanslarının etrafında gruplandırıldığı sayı olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle olasılık teorisinin aksiyomları, bir olayın olasılığının frekansın temel özelliklerine sahip olmasını sağlayacak şekilde tanıtılmıştır.

Aksiyom 1. Her olay, koşulu karşılayan ve olasılığı adı verilen belirli bir sayıya karşılık gelir.