Böylece, .

Heaviside birim fonksiyonu için şu bulunmuştur. Kanıtlanmış teoreme dayanarak, fonksiyon için şu sonuca varılır: L- görüntü olacak, yani

Tanım 3. Sürekli veya parçalı sürekli fonksiyon d(t,l) argüman T parametreye bağlı olarak ben, isminde iğne şeklinde, Eğer:

Tanım 4. Sayısal işlev F, bazı doğrusal uzaylarda tanımlı L, isminde işlevsellik.

Fonksiyonellerin etki edeceği fonksiyonlar kümesini tanımlayalım. Bu koleksiyon olarak seti düşünün k tüm gerçek fonksiyonlar c(x) Her birinin tüm mertebelerden sürekli türevleri vardır ve sonludur, yani belirli bir sınırlı alanın (her fonksiyon için kendine ait) dışında kaybolur. c(x)). Bu fonksiyonları çağıracağız ana ve bunların tüm seti İLE - ana alan.

Tanım 5. Genelleştirilmiş fonksiyon temel alan üzerinde tanımlanan herhangi bir doğrusal sürekli fonksiyoneldir İLE.

Genelleştirilmiş bir fonksiyonun tanımını çözelim:

1) genelleştirilmiş fonksiyon F ana işlevlerde işlevsellik var ts yani her biri ts(karmaşık) bir sayıyla eşleşir (f, c);

2) işlevsellik F doğrusal, yani herhangi bir karmaşık sayı için ben 1 Ve ben 2 ve herhangi bir temel fonksiyon ts 1 Ve ts 2 ;

3) işlevsellik F sürekli, yani eğer.

Tanım 6.Nabız- elektrik akımı veya voltajında ​​kısa süreli tek bir dalgalanma.

Tanım 7.Ortalama yoğunluk- vücut ağırlığı oranı M hacmine kadar V, yani .

Teorem 2.(Genelleştirilmiş ortalama değer teoremi).

Eğer f(t) sürekli ve integrallenebilir bir fonksiyonsa ve bu aralıkta işaret değiştirmiyorsa, o zaman nerede.

Teorem 3.f(x) fonksiyonu sınırlı olsun ve en fazla sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahip olsun. Bu durumda fonksiyon, aralıktaki f(x) fonksiyonu için ters türevdir ve herhangi bir F(x) ters türevi için formül geçerlidir..

Tanım 8. Bazı doğrusal uzaylarda tanımlanan tüm sürekli doğrusal fonksiyonellerin kümesi e, doğrusal bir uzay oluşturur. Buna uzay denir birleşikİle e, ve belirtilir e * .

Tanım 9. Doğrusal uzay e Bazı normların belirtildiği şeye denir normalleştirilmiş uzay.

Tanım 10. Sıra denir zayıf yakınsak k, eğer her biri için ilişki sağlanıyorsa.

Teorem 4.Eğer (x N ) normlu bir uzayda zayıf yakınsak bir dizi ise, o zaman öyle bir sabit C sayısı vardır ki .

DELTA FONKSİYONU

Tanım. Delta işlevi

(2.1)

A genelleştirilmiş fonksiyon

Şekil 1. Delta işlevi

Normalleştirme koşulu

, . (2.2)

AŞekil 1'de gösterildiği gibi, B

İşlev paritesi(2.1)'den takip edilir

. (2.2a)

, (2.2b)

Şekil 1'den aşağıdaki gibi, B.

ortonormallik. Çok sayıda özellik

DELTA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Filtreleme özelliği

alıyoruz

B, bulduk

,

, . (2.5)

Bazın ortonormalliği

(2.5)’te varsayıyoruz

, ,

. (2.7)

Gerçekleştirildi

,

, (2.8)

Kanıt

Argümanı Basitleştirmek

Fonksiyonun kökleri ise , Daha sonra

. (2.9)

Kanıt

.

Küçük bir mahallede genişliyoruz Taylor serisi

ve kendimizi ilk iki terimle sınırlandırıyoruz

(2.8)’i kullanalım

İntegralleri karşılaştırırız ve (2.9) elde ederiz.

Evrişim

Evrişimin tanımından (1.22)

,

en alıyoruz

.

İnanıyoruz ve buluyoruz

ve (2.35a) veririz

. (2.35b)

alıyoruz

. (2.36a)

ve (2.36a) veririz

. (2.36b)

. (2.37a)

alıyoruz

. (2.37b)

Tarak işlevi

(2.53)

Sınırsız bir kristal kafesi, anteni ve diğer periyodik yapıları modeller.

Fourier dönüşümü ile bir tarak fonksiyonu bir tarak fonksiyonuna dönüşür.

,

(2.8)

alıyoruz

. (2.54)

Özellikler

Eşit işlev

,

periyodik

,

dönem . Delta fonksiyonlarının filtreleme özelliği şunu verir:

. (2.55)

Fourier resmi

Periyodlu periyodik bir fonksiyon için L Fourier görüntüsü Fourier katsayıları cinsinden ifade edilir

, (1.47)

, (1.49)

Periyodu olan bir tarak fonksiyonu için elde ettiğimiz

,

burada delta fonksiyonunun filtreleme özelliği dikkate alınır. (1.47)'den Fourier dönüşümünü buluyoruz

. (2.56)

Bir tarak fonksiyonunun Fourier dönüşümü tarak fonksiyonudur.

(2.56)'dan, argümanın ölçeklendirme dönüşümüne ilişkin Fourier teoremini kullanarak şunu elde ederiz:

. (2.59)

Tarak fonksiyonunun süresinin arttırılması ()periyodu azaltır ve spektrumunun genliğini arttırır .

Fourier serisi

Kullanırız

İçin , alıyoruz

DELTA FONKSİYONU

Tanım. Delta işlevi

bir nokta bozukluğunu modeller ve şu şekilde tanımlanır:

(2.1)

Şekil 2'de gösterildiği gibi, argümanının sıfıra eşit olduğu ve fonksiyonun sonsuz olduğu yerler hariç, fonksiyon tüm noktalarda sıfıra eşittir. 1, A. Argümanın noktalarına değerlerin ayarlanması sonsuza dönmesi nedeniyle belirsizdir, bu nedenle delta işlevi genelleştirilmiş fonksiyon ve normalleştirme biçiminde ek tanım gerektirir.

Şekil 1. Delta işlevi

Normalleştirme koşulu

, . (2.2)

Bir fonksiyonun grafiğinin altındaki alan, bir nokta içeren herhangi bir aralıkta bire eşittir AŞekil 1'de gösterildiği gibi, B. Bu nedenle delta fonksiyonu birim büyüklükte bir nokta bozukluğunu modeller.

İşlev paritesi(2.1)'den takip edilir

. (2.2a)

Elde ettiğimiz bir noktanın simetrisinden

, (2.2b)

Şekil 1'den aşağıdaki gibi, B.

ortonormallik. Çok sayıda özellik

ortonormal sonsuz boyutlu bir temel oluşturur.

Delta fonksiyonu optikte 1882'de Kirchhoff tarafından, elektromanyetik teoride ise 19. yüzyılın 90'lı yıllarında Heaviside tarafından kullanılmıştır.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Kendi kendini yetiştirmiş bir bilim adamı olan Oliver Heaviside, fizikte vektörleri kullanan, vektör analizini geliştiren, operatör kavramını tanıtan ve diferansiyel denklemleri çözmek için bir operatör yöntemi olan operasyonel hesabı geliştiren ilk kişiydi. Daha sonra kendi adıyla anılan anahtarlama fonksiyonunu tanıttı ve bir nokta dürtü fonksiyonu olan delta fonksiyonunu kullandı. Elektrik devreleri teorisinde uygulamalı karmaşık sayılar. İlk kez Maxwell denklemlerini Maxwell'in yaptığı gibi 20 denklem yerine 4 eşitlik şeklinde yazdı. Tanıtılan terimler: iletkenlik, empedans, endüktans, elektret . Uzun mesafeli telgraf iletişimi teorisini geliştirdi ve Dünya'nın yakınında bir iyonosferin (Kennelly-Heaviside katmanı) varlığını tahmin etti.

Genelleştirilmiş fonksiyonların matematiksel teorisi 1936 yılında Sergei Lvovich Sobolev tarafından geliştirildi. Novosibirsk Akademik Kasabasının kurucularından biriydi. SB RAS Matematik Enstitüsü onun adını almıştır.

Sergei Lvovich Sobolev (1908–1989)

DELTA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Filtreleme özelliği

Süreksizliklerin olmadığı düzgün bir fonksiyon için (2.1)'den

alıyoruz

Şekil 2'de gösterilen delta fonksiyonunu bir limit formunda varsayarsak ve kullanırız. 1, B, bulduk

,

Entegrasyon, filtreleme özelliğini integral formda verir

, . (2.5)

Bazın ortonormalliği

(2.5)’te varsayıyoruz

, ,

ve sürekli spektrumlu bir bazın ortonormallik koşulunu elde ederiz

. (2.7)

Bağımsız değişken ölçeklendirme

Gerçekleştirildi

,

, (2.8)

Kanıt

Delta fonksiyonunun çarpımını aralık boyunca düzgün bir fonksiyonla entegre ederiz:

değişken değişiminin yapıldığı ve filtreleme özelliğinin kullanıldığı yer. Başlangıç ​​ve son ifadelerin karşılaştırılması (2.8)'i verir.

Argümanı Basitleştirmek

Fonksiyonun kökleri ise , Daha sonra

. (2.9)

Kanıt

Fonksiyon sadece noktaların yakınında sıfırdan farklıdır, bu noktalarda sonsuzdur.

Sonsuzluğun girdiği ağırlığı bulmak için ürünü aralık boyunca düzgün bir fonksiyonla entegre ediyoruz. Katkılar yalnızca noktaların yakınında sıfırdan farklıdır

. , (2.10) .. (2.35a)

Fourier'in argüman kayması teoremi

ve (2.35a) veririz

. (2.35b)

(1.1)'den ve integral gösterimden (2.24)

alıyoruz

. (2.36a)

Bir fonksiyonun faz kaymasına ilişkin Fourier teoremi

ve (2.36a) veririz

. (2.36b)

(2.35a) ve Fourier farklılaşma teoreminden

. (2.37a)

(2.36a) ve argümanla çarpmaya ilişkin Fourier teoreminden

alıyoruz

. (2.37b)

Dirac delta işlevi

Delta fonksiyonu (5-fonksiyonu), İngiliz fizikçi P. A. M. Dirac tarafından kuantum mekaniğinin matematiksel aygıtını yaratırken "zorunlulukla" tanıtıldı. Matematikçiler bir süre bunu "anlayamadılar" ve ardından özel bir durumu δ fonksiyonu olan genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisini yarattılar.

(Saf) tanıma göre, δ fonksiyonu bir nokta dışında her yerde sıfırdır, ancak bu fonksiyonun kapsadığı alan bire eşittir:

Bunlar çelişkili

gereksinimler "normal" tipte bir işlevle karşılanamaz.

Zeldovich Ya.B. Yeni başlayan fizikçiler ve teknisyenler için yüksek matematik. -M.: Nauka, 1982.

Aslında bir diferansiyel gibi δх bir sayı değildir (sıfıra eşit) ve "sonsuz küçük miktar" ifadesinin niteliksel olarak anlaşılması, doğru anlaşılması zordur δх bir sayı olarak değil, bir limit (işlem) olarak ve δ fonksiyonu aynı zamanda bir limit (işlem) olarak da doğru bir şekilde anlaşılabilir. İncirde. 3.7.1 ve 3.7.2, limiti δ fonksiyonu olan çeşitli fonksiyonları (parametreye bağlı olarak) gösterir. Bu tür sonsuz sayıda işlev vardır; herkes kendi işlevini seçebilir.

δ-fonksiyonunun birçok yararlı özelliği vardır; özellikle Kronecker sembolünün süreklilik analoğudur. peki

ile karşılaştırmak

Bir başka şaşırtıcı ilişki, entegrasyon yoluyla nasıl farklılaştırılacağını gösteriyor:

Nerede 8 - türev 8- işlevler.

Pirinç. 3.7.1 - δ-'ye iki ardışık yaklaşım

Dirac'ın işlevleri. Gösterilen özellik

Pirinç. 3.7.2 - Sınırda olan iki fonksiyon A ->∞ δ fonksiyonlarını verir:

Son olarak, δ fonksiyonundan itibaren aralığın:

Nerede (x) içinde- Heaviside fonksiyonu,

bir noktada mola vererek adım x = 0 .

Faz geçişleri

Faz geçişlerinden bahsedebilmek için öncelikle fazların ne olduğunu tanımlamak gerekir. Aşama kavramı birçok olayda bulunur, bu nedenle genel bir tanım vermek yerine (ne kadar genel olursa, olması gerektiği gibi o kadar soyut ve belirsiz olur), birkaç örnek vereceğiz.

İlk olarak, onların fiziğinden bir örnek. Hayatımızdaki sıradan, en yaygın sıvı olan suyun üç fazı bilinmektedir: sıvı, katı (buz) ve gaz (buhar). Her biri kendi parametre değerleriyle karakterize edilir. Önemli olan dış koşullar değiştiğinde bir fazın (buz) bir başka faza (sıvı) dönüşmesidir. Teorisyenlerin bir diğer favori nesnesi ise ferromıknatıslardır (demir, nikel ve diğer birçok saf metal ve alaşım). Düşük sıcaklıklarda (aşağıdaki nikel için) T= 3600 İLE) bir nikel numunesi ferromanyetiktir; harici manyetik alan kaldırıldığında mıknatıslanmış halde kalır, yani. kalıcı mıknatıs olarak kullanılabilir. Yukarıdaki sıcaklıklarda TS bu özellik kaybolur; harici manyetik alan kapatıldığında paramanyetik duruma geçer ve kalıcı bir mıknatıs değildir. Sıcaklık değiştiğinde, bir fazdan diğerine bir geçiş (faz geçişi) meydana gelir.

Süzülme teorisinden bir geometrik örnek daha verelim. Ağdaki bağların rastgele kesilmesi, sonunda kalan bağların konsantrasyonunun azalmasıyla R Belli bir değerin altında olacak rs artık ızgara boyunca "bir uçtan diğer uca" yürümek mümkün olmayacak. Böylece, akış durumundaki - "sızdıran" aşamadaki ağ "sızıntısız" aşamaya geçecektir.

Bu örneklerden, dikkate alınan sistemlerin her biri için, sistemin hangi aşamada olduğunu belirleyen bir sıra parametresi olduğu açıktır. Ferromanyetizmada düzen parametresi sıfır dış alandaki mıknatıslanmadır; süzülme teorisinde ise ağın bağlantısı veya örneğin iletkenliği veya sonsuz bir kümenin yoğunluğudur.

Faz geçişlerinin farklı türleri vardır. Birinci dereceden faz geçişleri, bir sistemde birden fazla fazın aynı anda bulunabildiği geçişlerdir. Örneğin 0° sıcaklıkta C buz suda yüzer. Sistem termodinamik dengedeyse (ısı beslemesi veya uzaklaştırılması yok), o zaman buz erimez veya büyümez. İkinci dereceden faz geçişlerinde birden fazla fazın aynı anda bulunması mümkün değildir. Bir nikel parçası ya paramanyetik durumdadır ya da ferromanyetik durumdadır. Rastgele kesilmiş bağlantılara sahip bir ağ ya bağlantılıdır ya da değildir.

L.D. tarafından başlatılan ikinci dereceden faz geçişleri teorisinin oluşturulmasında belirleyici. Landau, bir sipariş parametresinin tanıtımı vardı (bunu göstereceğiz) G]) sistem aşamasının ayırt edici bir özelliği olarak. Fazlardan birinde, örneğin paramanyetik, r] = 0 ve diğerinde ferromanyetik, G ^ 0. Manyetik olaylar için sıra parametresi ] sistemin mıknatıslanmasıdır.

Faz geçişlerini tanımlamak için sistemin durumunu belirleyen belirli bir parametre fonksiyonu tanıtılmıştır - G(n, T,...). Fiziksel sistemlerde bu Gibbs enerjisidir. Her olguda (süzülme, "küçük dünyalar" ağı vb.) bu işlev "bağımsız olarak" belirlenir. Bu fonksiyonun temel özelliği L.D.'nin ilk varsayımıdır. Landau - denge durumunda bu fonksiyon minimum bir değer alır:

Fiziksel sistemlerde termodinamik dengeden bahsederiz, karmaşık zincirler teorisinde ise kararlılıktan söz edebiliriz. Minimalite koşulunun, sıra parametresinin değiştirilmesiyle belirlendiğine dikkat edin.

L.D.'nin ikinci varsayımı. Landau - faz dönüşümü sırasında n = 0. Bu varsayıma göre, faz geçiş noktası yakınındaki b(n,T,...) fonksiyonu, sıra parametresi n'nin kuvvetleri cinsinden bir seriye genişletilebilir:

burada bir fazda n = 0 (manyetizma hakkında konuşuyorsak paramanyetik ve bir ızgaradan bahsediyorsak tutarsız) ve diğerinde (ferromanyetik veya bağlı) n ^ 0.

durumdan

bu bize iki çözüm sunuyor

İçin T > Tc n = 0 çözümü gerçekleşmelidir ve T< Тс çözüm n ^ 0. Bu durum şu şekilde karşılanabilir: T > Tc ve n = 0 seç bir > 0. Bu durumda ikinci kök yoktur. Ve bu vesileyle T < TS ikinci bir çözüm olmalı, yani. yerine getirilmesi gerekiyor A< 0. Böylece:

bir > 0 saat T > Tc, A< 0 saat T< Тс ,

Landau'nun ikinci varsayımı A(Tc) = 0 koşulunun sağlanmasını gerektirir. A(T) fonksiyonunun bu gereksinimleri karşılayan en basit biçimi şöyledir:

Sözde kritik indeks ve fonksiyon C(g],T)şu şekli alır:

İncirde. 3.8.1 b(n, T) bağımlılığını göstermektedir. T > Tc Ve T< Тс .

Pirinç. 3.8.1 - Parametre Fonksiyon Grafikleri G(n, T) İçin T > Tc Ve T< Тс

Poston T., Stewart I. Felaket teorisi ve uygulamaları. - M.: Mir, 1980. Gilmore R. Uygulamalı afet teorisi. - M.: Mir, 1984.

Parametrelerin niteliksel bağımlılığı G(j], T) sipariş parametresinde] Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.8.1 (G0 = 0). Sıra parametresinin ] sıcaklığa bağımlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.8.2.

Daha gelişmiş bir teori şunu dikkate alır: T > Tc sipariş parametresi] çok küçük olmasına rağmen tam olarak sıfıra eşit değildir.

Sistemin durumdan geçişi saat = 0 saat T > Tc olan bir durumda H- 0 azalırken T ve değerlere ulaşmak T £ Tc konum stabilitesinin kaybı olarak anlaşılabilir saat = 0 saat T £ Tc. Son zamanlarda bir matematik teorisi ortaya çıktı

Pek çok farklı olguyu tek bir bakış açısıyla anlatan muhteşem ismiyle “Afetler Teorisi”. Felaket teorisi açısından ikinci dereceden faz geçişi bir “toplanma felaketidir”.

Pirinç. 3.8.2 - Sipariş parametresi bağımlılığı N sıcaklıktan: T< Tc ve yakında Tc sipariş parametresi N bir güç fonksiyonu gibi davranır ve ne zaman T> Tc n = 0

Federal Eğitim Ajansı

Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu
Vyatka Devlet İnsani Üniversitesi

Matematik Fakültesi

Matematiksel Analiz ve Matematik Öğretim Yöntemleri Bölümü

Nihai eleme çalışması

Dirac işlevi

Beşinci sınıf öğrencisi tarafından tamamlandı

Matematik Fakültesi Prokasheva E.V.

________________________________/imza/

Bilim danışmanı:

Onçukova L.V.

imza/

İnceleyen:

Matematiksel Analiz ve MMM Bölümü Kıdemli Öğretim Görevlisi Faleleeva S.A.

________________________________/ imza/

Devlet sertifikasyon komisyonunda savunmaya kabul edildi

"___" __________2005 Baş. Departman M.V. Krutikhin

Giriiş................................................. ....... ................................................... ................ ........ 3

Bölüm 1. Dirac fonksiyonunun tanımı.................................................. ...................... 4

1.1. Temel konseptler................................................ ...................... ................................. 4

1.2. Dirac delta fonksiyonunun tanımına yol açan problemler………...10

1.2.1. Momentum problemi……………………………………………….10

1.2.2.Maddi bir noktanın yoğunluğu ile ilgili problem………………………………..11

1.3. Delta fonksiyonunun matematiksel tanımı………………………..16

Bölüm 2. Dirac fonksiyonunun uygulanması……………………………………………19

2.1. Süreksiz fonksiyonlar ve türevleri………………………………….19

2.2. Süreksiz Fonksiyonların Türevini Bulma………………………...21

Sonuç…………………………………………………………………………………25

giriiş

Bilimin gelişimi, teorik gerekçesi için giderek daha fazla “yüksek matematik” gerektirir; bunun başarılarından biri de genelleştirilmiş fonksiyonlar, özellikle de Dirac fonksiyonudur. Şu anda genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi, klasik matematiksel analizin yeteneklerini genişleten, ele alınan problemlerin kapsamını genişleten ve aynı zamanda hesaplamalarda önemli basitleştirmelere yol açan, temel işlemleri otomatikleştiren bir dizi dikkate değer özelliğe sahip olduğundan fizik ve matematikle ilgilidir. operasyonlar.

Bu çalışmanın amaçları:

1) Dirac fonksiyonu kavramını inceleyin;

2) tanımına yönelik fiziksel ve matematiksel yaklaşımları göz önünde bulundurun;

3) süreksiz fonksiyonların türevlerinin bulunmasına yönelik uygulamayı gösterir.

Çalışmanın amaçları: Delta fonksiyonunun matematik ve fizikte kullanılma olanaklarını göstermek.

Makale, Dirac delta fonksiyonunu tanımlamanın ve tanıtmanın çeşitli yollarını ve problem çözmedeki uygulamasını sunmaktadır.

Bölüm 1

Dirac fonksiyonunun tanımı

1.1. Temel konseptler.

Matematiksel analizin farklı sorularında, "işlev" teriminin değişen derecelerde genellikle anlaşılması gerekir. Bazen sürekli fakat türevlenemeyen işlevler dikkate alınır, diğer sorularda bir veya daha fazla kez türevlenebilen işlevlerden bahsettiğimizi varsaymamız gerekir, vb. Ancak bazı durumlarda klasik fonksiyon kavramı, hatta en geniş anlamıyla yorumlanır. bu fonksiyonun tanım alanından her bir x değerine belirli bir y=f(x) sayısı atamanın keyfi bir kural olarak yetersiz olduğu ortaya çıkar.

İşte önemli bir örnek: Matematiksel analiz aygıtını belirli problemlere uygularken, belirli analiz işlemlerinin imkansız olduğu bir durumla yüzleşmek zorundayız; örneğin türevi olmayan bir fonksiyonun (bazı noktalarda ve hatta her yerde) türevi temel bir fonksiyon olarak anlaşılırsa türevi alınamaz. Bu tür zorluklardan kendimizi yalnızca analitik fonksiyonların dikkate alınmasıyla sınırlayarak kaçınılabilir. Bununla birlikte, izin verilen işlevlerin aralığının bu kadar daraltılması çoğu durumda pek istenmeyen bir durumdur. İşlev kavramını daha da genişletme ihtiyacı özellikle akut hale geldi.

Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olan en büyük İngiliz teorik fizikçisi P. Dirac, 1930 yılında teorik fiziğin problemlerini çözmek için yeterli klasik matematiğe sahip değildi ve "delta fonksiyonu" adı verilen yeni bir nesneyi tanıttı. fonksiyonun klasik tanımının çok ötesinde.

P. Dirac, “Kuantum Mekaniğinin Prensipleri” adlı kitabında δ(x) delta fonksiyonunu şu şekilde tanımlamıştır:

Ayrıca şu koşul da belirlenir:

Şekil 1'de gösterildiği gibi δ(x)'e benzer bir fonksiyonun grafiğini açıkça hayal edebilirsiniz.

Bu fikir fizikte genel olarak kabul görmektedir.

Şunu vurgulamak gerekir ki δ(X) alışılmış anlamda bir fonksiyon değildir, çünkü bu tanım, bir fonksiyonun ve bir integralin klasik tanımı açısından uyumsuz koşulları ima eder:

Klasik analizde Dirac'ın öngördüğü özelliklere sahip hiçbir fonksiyon yoktur. Sadece birkaç yıl sonra S.L. Sobolev ve L. Schwartz'a göre delta fonksiyonu matematiksel tasarımını aldı, ancak sıradan değil, genelleştirilmiş bir fonksiyon olarak.

Dirac fonksiyonunu düşünmeye geçmeden önce ihtiyaç duyacağımız temel tanım ve teoremleri tanıtıyoruz:

Tanım 1. Bir f(t) fonksiyonunun görüntüsü veya L - belirli bir f(t) fonksiyonunun görüntüsü, eşitlikle tanımlanan karmaşık bir p değişkeninin bir fonksiyonudur:

Tanım 2.İşlev F(T) , şu şekilde tanımlanmış:

Bulacağız L– Heaviside fonksiyonunun görüntüsü:

f(t) fonksiyonu t'de olsun<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Yardımcı bir fonksiyon kullanarak δ(x) görüntüsünü bulmak için gecikme teoremini göz önünde bulundurun:

Teorem 1.EğerF(P) fonksiyonun bir görüntüsü varF(T), yani fonksiyonun görüntüsüF(T- T 0 ), yani eğerL{ F(T)}= F(P), O

Kanıt.

Sahip olduğumuz bir görüntünün tanımı gereği